소리는 어떻게 생겼을까: 음파, 주파수, 데시벨

스피커에서 귀까지 무엇이 건너올까

낮은 베이스 음을 크게 트는 스피커 앞에 손바닥을 대면 무언가가 미는 느낌이 듭니다. 음량을 보통으로 줄이면 손에는 아무것도 느껴지지 않는데, 방 건너편에서도 음 하나하나가 또렷하게 들립니다. 그렇다면 방을 건너오는 것은 무엇일까요? 스피커 앞의 공기는 아닙니다. 그 공기는 거의 제자리에 있습니다. 건너오는 것은 공기 한 층에서 다음 층으로 넘겨지는 아주 작은 압력 변화의 무늬입니다.

위 모형은 그 무늬를 눈에 보이게 만든 것입니다. 스피커 콘이 점으로 그린 공기 기둥을 밀면, 파동이 지나가면서 점들이 몰렸다가 흩어집니다. 모형 속 거리는 실제 크기 그대로입니다. 공기 기둥 아래 자는 미터 단위입니다. 시간은 다릅니다. 440 Hz를 내는 실제 스피커의 콘은 1초에 440번 앞뒤로 움직이므로, 모형은 이를 수백 배 느리게 보여 주고 점이 움직이는 거리도 크게 부풀립니다. 모형 구석의 숫자 상자에 두 배율이 모두 나옵니다. 모형 아래 화면 세 개는 음향 기술자가 소리를 볼 때 쓰는 방식 그대로, 같은 소리를 파형과 스펙트럼, 스펙트로그램으로 보여 줍니다.

무대 위쪽 버튼으로 소리를 더 따라가는 장면 여덟 개를 열 수 있습니다. 생활 속 소리의 데시벨 사다리, 귀 속, 기타 줄과 관과 북, 지나가는 구급차와 음속을 넘는 제트기, 손뼉을 치면 울리는 방, 가루가 정상파 무늬로 모이는 관, 여덟 가지 물질 속 경주, 소음 제거 헤드폰입니다. 무대 아래 화면은 언제나 지금 장면의 소리를 보여 줍니다.

공기가 층을 이루며 움직이는 까닭

스피커는 종이 피스톤을 단 모터입니다. 구리선을 감은 코일이 영구자석의 좁은 틈 안에 들어 있습니다. 도선에 전류가 흐르면 자기장이 도선을 밀고, 코일이 콘에 붙어 있으니 콘도 함께 움직입니다. 전류 방향을 바꾸면 콘은 반대로 움직입니다. 그래서 코일에 교류 신호를 넣으면 콘이 그 신호를 그대로 따라 합니다.

콘이 앞으로 나오면 바로 앞의 공기가 눌립니다. 눌린 층은 다음 층을 밀고, 그 층은 또 다음 층을 밉니다. 콘이 뒤로 물러나면 평소보다 공기가 조금 묽은 층이 생기고, 이 묽은 층도 같은 방식으로 퍼져 나갑니다. 눌린 층을 압축, 묽은 층을 팽창(희박)이라고 부릅니다. 모형에서는 주황색과 파란색으로 칠했습니다.

공기가 파동이 나아가는 방향과 같은 선을 따라 움직이므로, 공기 속 소리는 종파입니다. 기타 줄의 파동은 다릅니다. 파동은 줄을 따라 달리지만 줄 자체는 옆으로 흔들립니다. 기체는 옆으로 흔드는 파동을 거의 전하지 못합니다. 기체 한 층이 옆 층 곁을 미끄러져 지나가도 옆 층을 거의 끌고 가지 않기 때문입니다.

모형의 점은 자기 자리 근처에서 앞뒤로만 흔들립니다. 점 하나만 따라가 보면 어디로도 가지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 스피커에서 멀어지는 것은 무늬이고, 그 무늬가 소리의 속도로 나아갑니다.

공기는 실제로 얼마나 움직일까

움직임은 아주 작습니다. 한 방향으로 나아가는 음파에서 공기의 변위 ξ와 압력 변화 p 사이에는 다음 관계가 있습니다.

ξ = p / (ρ c ω)

여기서 ρ = 1.204 kg/m³는 20 °C 공기의 밀도, c는 소리의 속도, ω = 2πf입니다. 압력이 1파스칼 오르내리는 94 dB의 큰 소리를 440 Hz로 내면 다음과 같습니다.

ξ = 1 / (1.204 × 343 × 2π × 440) = 0.00000088 m

0.88마이크로미터로, 머리카락 굵기의 100분의 1쯤입니다. 1,000 Hz라면 0.39마이크로미터입니다. 젊은 귀가 겨우 듣는 가장 작은 소리, 1,000 Hz에서 20마이크로파스칼이라면 공기는 100분의 1나노미터도 움직이지 않습니다. 원자 하나보다 작은 거리입니다. 그래서 모형은 이 움직임을 수만 배로 키워서 보여 줍니다.

파장 계산하기

압축 하나에서 다음 압축까지의 거리가 파장 λ입니다. 파장은 두 숫자로 정해집니다. 무늬가 얼마나 빨리 나아가는지, 그리고 콘이 얼마나 자주 미는지입니다.

λ = c / f

마른 공기에서 소리의 속도는 온도에 따라 달라집니다. 섭씨온도 T에서 c ≈ 331.3 × √(1 + T/273.15) m/s이고, 20 °C에서는 343.2 m/s가 나옵니다. 이 페이지는 343 m/s로 반올림해서 씁니다.

음높이 슬라이더를 움직이면 자 위의 주황색 막대 길이가 그에 맞게 바뀝니다. 가장 낮은 베이스 음은 파장이 방보다 길어서 벽을 넘고 모퉁이를 쉽게 돌아 나옵니다. 높은 음은 빛처럼 행동하는 편이라 쉽게 가로막힙니다.

크기와 데시벨

귀가 듣는 압력 변화는 들을 수 있는 가장 작은 소리인 20마이크로파스칼부터, 귀가 아프기 시작하는 200파스칼 언저리까지 이어집니다. 1천만 배 차이입니다. 이런 범위를 보통 눈금으로 적으면 쓸모가 없으므로, 소리의 크기는 10의 거듭제곱을 세는 데시벨로 나타냅니다.

L = 20 × log₁₀(p / p₀), p₀ = 20 µPa

10이 아니라 20을 곱하는 것은 소리의 에너지가 압력의 제곱에 비례하기 때문입니다. 이 식에서 규칙 두 가지가 나옵니다. 압력이 두 배가 되면 6.02 dB가 오릅니다. 같은 기계를 한 대에서 두 대로 늘려 에너지가 두 배가 되면 3.01 dB가 오릅니다. 그리고 10 dB가 오를 때마다 에너지는 10배가 됩니다.

이 페이지의 크기 슬라이더도 dB로 표시하지만, 기준은 이 페이지가 내는 가장 큰 신호입니다. 0 dB가 「최대」라는 뜻입니다. 방 안에서 실제로 몇 dB가 되는지는 스피커와 볼륨 손잡이에 달려 있고, 웹 페이지는 그것을 알 수 없습니다. 그래서 소리는 버튼을 누른 뒤에만, 원래도 작게 잡은 최대 음량보다 10.5 dB 낮은 곳에서 시작합니다.

어느 정도부터 너무 클까

보건 기관은 같은 눈금으로 기준을 정합니다. 세계보건기구(WHO)의 안전한 청취 안내는 80 dB를 1주일에 40시간까지 안전한 수준으로 봅니다. 10 dB가 오르면 에너지가 10배이므로, 90 dB는 1주일에 4시간, 100 dB는 20분까지만 안전합니다. WHO는 젊은 성인 10억 명 이상이 안전하지 않은 청취 습관 때문에 되돌릴 수 없는, 피할 수 있었던 청력 손실을 입을 위험에 놓여 있다고 추정합니다.

일터 소음에 대해서는 미국 국립산업안전보건연구원(NIOSH, CDC 소속)이 8시간 평균 85 dBA를 권고 한도로 정해 두었습니다. dBA의 A는 귀가 듣는 방식에 맞춰 보정했다는 뜻입니다. 귀가 잘 못 듣는 낮은 주파수는 덜 세게 셉니다. 미국 국립 난청 및 의사소통장애 연구소(NIDCD)는 70 dBA 이하의 소리는 오래 들어도 청력 손실을 일으킬 가능성이 낮다고 설명합니다.

생활 환경의 소음은 더 낮은 숫자로 판단합니다. 걱정하는 것이 귀의 손상이 아니라 잠과 스트레스이기 때문입니다. WHO 유럽 지역 소음 지침은 도로 교통 소음을 낮·저녁·밤 가중 평균 53 dB 미만, 밤에는 45 dB 미만으로 줄이라고 권고합니다. 우리나라 환경정책기본법 시행령의 소음 환경기준은 가장 조용해야 하는 「가」 지역(전용주거지역, 녹지지역 등)의 경우 낮(06:00~22:00) 50 dB(A), 밤 40 dB(A)이고, 도로변에서는 낮 65 dB(A), 밤 55 dB(A)입니다. 한국환경공단의 국가소음정보시스템이 이 기준과 함께 측정값을 공개합니다. 측정 방법은 국립환경과학원이 고시하는 소음·진동 공정시험기준을 따릅니다.

음색: 같은 라 음인데 플루트와 바이올린이 다른 까닭

플루트와 바이올린으로 440 Hz 라 음을 내면 어느 악기인지 바로 구별됩니다. 둘 다 1초에 440번 되풀이되지만, 한 번 되풀이되는 모양이 다릅니다. 되풀이되는 모양은 무엇이든 기본 주파수의 정수배에 놓인 사인파를 더해서 만들 수 있습니다. 440, 880, 1,320, 1,760 Hz 하는 식입니다. 이것을 배음이라고 하고, 배음들의 세기 비율이 우리가 음색으로 듣는 것입니다.

배음 개수 슬라이더는 성분을 하나씩 더하고, 배음 세기 슬라이더는 배음이 얼마나 빨리 약해지는지를 a_n = 1/n^p 꼴로 정합니다. 대표적인 모양 두 가지를 버튼으로 넣어 두었습니다.

• 사각파는 홀수 배음(1, 3, 5, 7 …)만 있고, 세기는 각각 1/n입니다. 클라리넷처럼 속이 빈 소리가 납니다.
• 톱니파는 모든 배음이 있고, 세기는 각각 1/n입니다. 활로 켜는 현악기에 가까운, 밝고 거친 소리가 납니다.

스펙트럼 화면에서 배음은 n × f 간격으로 고르게 늘어선 봉우리로 나타납니다. 사각파에서는 봉우리가 하나 걸러 하나씩 빠져 있습니다. 사각파의 기본음 성분은 사각파 자체보다 4/π ≈ 1.27배 높습니다. 높은 배음들이 모서리를 깎아 내려 사각형을 만들기 때문입니다.

화면 세 개 읽는 법

파형은 마이크가 기록하는 것과 같습니다. 한 지점의 압력을 시간에 따라 그린 것입니다. 화면에는 마지막 네 주기가 나오므로 440 Hz에서는 4 × 2.27 = 9.1 ms를 보여 줍니다. 그 아래 가는 띠는 최근 2초 동안의 전체 크기입니다.

스펙트럼은 다른 질문에 답합니다. 어떤 주파수가 들어 있고, 각각 얼마나 센가입니다. 이 페이지는 1초에 48,000번 잰 표본 4,096개에 고속 푸리에 변환(FFT)을 적용해 스펙트럼을 계산합니다. 이것은 4,096 ÷ 48,000 = 85 ms 분량의 소리이고, 주파수 범위를 48,000 ÷ 4,096 = 11.7 Hz 너비의 칸으로 나눕니다. 세로축은 dB입니다. 보통 눈금으로 그리면 약한 배음이 보이지 않기 때문입니다.

스펙트로그램은 스펙트럼을 시간 순서로 옆에 이어 붙인 그림입니다. 위로 갈수록 높은 주파수이고, 색이 짙을수록 에너지가 큽니다. 말소리나 새소리, 음악은 이 그림으로 볼 때 가장 잘 읽힙니다.

여기에는 늘 맞바꿈이 있습니다. 주파수가 Δf만큼 다른 두 소리를 구별하려면 대략 1/Δf초 길이의 소리를 보아야 합니다. 주파수를 더 잘게 나누면 시간은 그만큼 흐려집니다.

맥놀이: 거의 같은 두 음

두 번째 음 슬라이더를 4 Hz로 두면 이 페이지는 440 Hz와 444 Hz를 함께 냅니다. 사인파 두 개를 더하고 삼각함수 공식을 쓰면 다음과 같습니다.

sin(2πf₁t) + sin(2πf₂t) = 2 cos(π(f₁ − f₂)t) × sin(π(f₁ + f₂)t)

결과는 두 주파수의 평균인 442 Hz 소리인데, 크기가 커졌다 작아졌다 합니다. 코사인 값이 +1이나 −1이 될 때마다 소리가 가장 커지고, 이것이 1초에 |f₁ − f₂|번 일어납니다. 그래서 맥놀이 주기는 다음과 같습니다.

T = 1 / |f₁ − f₂| = 1 / 4 = 0.25 s

1 Hz 차이라면 맥놀이 한 번이 1초이고, 10 Hz 차이라면 빠르게 떨리는 소리가 됩니다. 피아노 조율사는 현 사이의 맥놀이를 듣고, 맥놀이가 느려져 사라질 때까지 핀을 돌립니다.

스펙트럼 화면에서는 앞에서 말한 한계가 보입니다. 칸 너비가 11.7 Hz이므로 440 Hz와 444 Hz를 나누지 못하고, 봉우리 하나가 커졌다 작아졌다 할 뿐입니다. 둘을 나누려면 칸이 4 Hz보다 좁아야 하고, 그러려면 적어도 4분의 1초 분량의 소리가 필요합니다. 예를 들어 표본 16,384개(칸 2.9 Hz, 0.34초)입니다. 대신 파형 아래 크기 띠와 스펙트로그램에서는 커졌다 작아지는 모습이 또렷하게 보입니다.

이 페이지의 마이크

「마이크」 버튼을 누르고 접근을 허용하면 화면 세 개가 마이크로 들어오는 소리로 바뀝니다. 휘파람을 불면 거의 순수한 사인파와 날카로운 봉우리 하나가 보입니다. 허밍을 하면 배음이 줄지어 나타납니다. 「스」 소리를 내면 4 kHz 위쪽으로 넓게 번진 에너지가 보입니다.

마이크 신호는 브라우저 안에서 Web Audio API로 분석할 뿐이고, 녹음하거나 저장하거나 어디로 보내지 않습니다. 스피커에 연결하지도 않고, 마이크를 켜는 동안에는 시험음을 꺼서 스피커 소리가 마이크로 되돌아 들어가지 않게 합니다. 크기는 dBFS로 표시합니다. 마이크 입력이 받을 수 있는 가장 큰 신호를 기준으로 한 상대값입니다. 휴대폰이나 노트북 마이크는 실제 음압에 맞춰 보정되어 있지 않기 때문입니다.

소리는 얼마나 빠르고, 왜 빨라지거나 느려질까

소리는 물질의 한 부분에서 다음 부분으로 넘겨지는 압력의 무늬이므로, 빠르기는 두 가지로 정해집니다. 눌렀을 때 물질이 얼마나 세게 되밀어 내는지, 그리고 물질이 얼마나 무거운지입니다. 기체에서는 이 둘이 결국 온도와 분자의 무게로 바뀝니다. 이상기체라면

c = √(γ R T / M)

입니다. γ는 비열비(공기는 1.40), R = 8.314 J/(mol K), T는 켈빈 온도, M은 몰질량(공기는 0.029 kg/mol)입니다. 20 °C에서 계산하면 343 m/s가 나옵니다. 식에 압력은 들어 있지 않습니다. 공기를 더 세게 누르면 단단해지는 만큼 무거워져서 둘이 서로 상쇄되기 때문입니다. 높은 산 위에서 소리가 느린 것은 기압이 낮아서가 아니라 공기가 차갑기 때문입니다.

손으로 계산할 때는 c ≈ 331.3 + 0.606 T(T는 섭씨)라는 근사식을 씁니다. −20 °C에서 20 °C까지는 정확한 식과 0.25 m/s 안에서 맞습니다. 이 페이지의 온도 슬라이더는 정확한 식으로 계산하고 근사식을 옆에 함께 보여 줍니다. 척 예거가 처음으로 음속을 넘은 높이의 기온인 −56 °C에서는 음속이 295 m/s밖에 되지 않습니다.

가벼운 기체는 빠릅니다. 헬륨은 γ = 5/3, M = 0.004 kg/mol이라 음속이 1,007 m/s로 공기의 2.9배입니다. 무거운 기체는 느립니다. 공기보다 약 다섯 배 무거운 육플루오린화황에서는 약 135 m/s입니다. 액체와 고체는 기체보다 훨씬 무겁지만 그보다 훨씬 더 단단해서 더 빠릅니다. 20 °C 민물은 1,482 m/s(러버스·흐라프 식), 염분 35퍼밀의 바닷물은 1,521 m/s(매켄지 식), 강철은 약 5,960 m/s, 알루미늄은 약 6,420 m/s(케이·레이비 표)입니다.

물질별 음속 장면에서는 같은 펄스가 길이가 같은 레인 여덟 개를 동시에 출발합니다. 금속 레인의 펄스는 출발하자마자 도착하고, 육플루오린화황의 펄스는 20초가 지나도 기어가고 있습니다. 숫자 상자에는 100 m를 가는 데 걸리는 시간과 음향 임피던스 ρc가 나옵니다. 임피던스는 두 물질이 만나는 곳에서 소리가 얼마나 반사되는지를 정합니다. 공기와 물은 임피던스가 약 3,600배 차이가 나서, 공기 속 소리는 물 표면에서 거의 다 튕겨 나갑니다.

이 숫자들은 설명이 나오기 훨씬 전부터 측정되었습니다. 17세기 피에르 가상디는 총구의 불빛과 총소리 사이의 시간을 재서 약 478 m/s를 얻었는데, 너무 큰 값이었습니다. 1650년대에 조반니 보렐리와 빈첸초 비비아니는 350 m/s를 얻었습니다. 1738년 파리 과학아카데미는 먼 거리에서 대포를 쏘아 소리를 재고, 0 °C와 바람 없는 조건으로 고쳐 332 m/s를 얻었습니다. 오늘날 값과 1 % 안에서 맞습니다. 1808년 장바티스트 비오는 약 1 km 길이의 철관을 타고 온 소리와 관 속 공기를 타고 온 소리를 비교했습니다. 1826년 다니엘 콜라동과 샤를 스튀름은 제네바 호수 물속의 종을 치는 순간 물 위에서 화약에 불을 붙이고, 호수 건너편에서 그 시간 차를 쟀습니다. 결과는 8 °C에서 1,435 m/s였고, 위 식으로 그 온도의 민물을 계산하면 1,439 m/s가 나옵니다.

데시벨 사다리

데시벨 장면에는 미국 질병통제예방센터(CDC)가 든 대표값으로 소리 15가지를 한 눈금에 세웠습니다. 숨소리 10 dB, 시계 초침 20 dB, 작은 속삭임 30 dB, 냉장고 40 dB, 대화 60 dB, 세탁기 70 dB, 차 안에서 듣는 도심 소음 8085 dB, 휘발유 잔디깎이 90 dB, 오토바이 95 dB, 들어오는 지하철 100 dB, 록 공연 105110 dB, 사이렌 바로 옆 120 dB, 폭죽 140~150 dB입니다. 마지막 막대는 실제로 만날 수 있는 소리가 아닙니다. 194 dB에서는 압력 변화가 대기압과 같아져서, 파동의 낮은 쪽 압력이 0보다 작아져야 합니다. 그보다 센 폭발음도 있지만, 그것은 보통의 소리가 아니라 충격파입니다.

사다리를 읽는 데는 규칙 두 가지면 됩니다. 10 dB 커지면 에너지는 10배이므로, 100 dB의 지하철은 젊은 귀가 들을 수 있는 가장 작은 소리보다 에너지가 100억 배 큽니다. 그리고 트인 곳에서 작은 음원의 소리는 공 모양으로 퍼지므로, 세기가 거리의 제곱에 반비례해 줄어듭니다. 거리가 두 배가 될 때마다 20 log₁₀ 2 = 6.02 dB씩 줄어듭니다. 거리 슬라이더를 움직이면 소음계가 음원에서 멀어지면서, 두 배 거리에서는 6 dB, 열 배 거리에서는 20 dB 작게 읽습니다. 실내에서는 벽에서 되돌아오는 소리가 계속 더해지므로 이보다 덜 줄어듭니다.

막대 뒤의 색 막대 세 개는 기관들이 쓰는 기준선입니다. WHO와 ITU의 안전한 듣기 기기 표준은 성인에게 80 dB로 주 40시간을 허용량으로 봅니다. 미국 국립산업안전보건연구원(NIOSH)은 하루 8시간 평균 85 dBA를 권고 한도로 두고, 3 dB 커질 때마다 시간을 절반으로 줄입니다. 한국의 산업안전보건기준에 관한 규칙은 하루 8시간 85 dB 이상을 소음작업으로 정하고, 강렬한 소음작업을 90 dB 8시간, 95 dB 4시간, 100 dB 2시간, 105 dB 1시간, 110 dB 30분, 115 dB 15분으로 정합니다. 5 dB마다 시간이 절반이 되는 방식입니다. 숫자 상자에는 고른 막대에 대해 세 기준이 모두 나옵니다. 이 값들은 소리를 서로 비교하기 위한 기준값이고, 누군가의 청력을 재는 검사가 아닙니다.

귀 속에서 일어나는 일

귀 속 장면은 귀의 각 부분을 10배로 키워 잘라 보여 줍니다. 소리는 먼저 길이 약 25 mm의 귓구멍을 지나갑니다. 귓구멍은 끝이 고막으로 막힌 관입니다. 한쪽이 막힌 관은 길이가 파장의 4분의 1일 때 공명하므로 343 ÷ (4 × 0.025) ≈ 3.4 kHz 근처에서 울리고, 사람의 청력도 대략 그 근처에서 가장 예민합니다.

고막은 지름 약 9 mm의 얇은 원뿔 모양 막입니다. 그 뒤 공기가 찬 가운데귀에서 작은 뼈 세 개(망치뼈, 모루뼈, 등자뼈)가 고막의 떨림을 달팽이관의 난원창으로 전합니다. 이 뼈들은 어긋남 하나를 해결합니다. 달팽이관은 액체로 차 있는데, 공기에서 액체로 곧장 들어오는 소리는 대부분 튕겨 나가 버립니다. 가운데귀는 변압기처럼 일합니다. 고막의 유효 넓이는 등자뼈 발판의 약 17배이고, 뼈들이 약 1.3배의 지렛대 역할을 더합니다. 둘을 합치면 압력이 약 22배, 약 27 dB 커집니다.

달팽이관은 두 바퀴 반쯤 감긴 관입니다. 그 안을 따라 기저막이 놓여 있는데, 펴면 길이가 약 35 mm이고 난원창 쪽(바닥)은 좁고 단단하며 반대쪽 끝(꼭대기)은 넓고 부드럽습니다. 소리가 들어오면 기저막을 따라 달리는 파동이 생기고, 이 파동은 점점 커지다가 어느 자리를 지나면 금세 사라집니다. 가장 크게 흔들리는 자리는 주파수에 따라 다릅니다. 게오르크 폰 베케시는 해부한 사람의 달팽이관에서 이 진행파를 관찰했고, 그 공로로 1961년 노벨 생리의학상을 받았습니다.

도널드 그린우드는 자리와 음높이의 관계를 식 하나로 정리했습니다. 사람은

f = 165.4 × (10^(2.1x) − 0.88)

입니다. x는 꼭대기에서 잰 거리를 전체 길이에 대한 비율로 나타낸 값입니다. x = 0이면 20 Hz, x = 1이면 20.7 kHz가 나옵니다. 1,000 Hz는 x = 0.40, 바닥에서 약 21 mm인 곳에서 가장 크게 흔들립니다. 이 장면은 달팽이관 아래에 기저막을 곧게 펴서 20배로 늘여 그리고, 그 아래 주파수 눈금을 붙였습니다. 음높이를 바꾸면 가장 크게 흔들리는 자리가 옮겨 갑니다. 높은 음은 바닥 쪽에 몰려 있는데, 나이가 들면서 청력이 줄어들 때 대개 먼저 영향을 받는 곳도 이쪽입니다.

줄과 관과 북

악기는 특정 주파수로 잘 떨리는 물체입니다. 악기 장면에는 세 종류가 있습니다.

기타 줄은 양쪽 끝이 고정되어 있어서, 너트와 브리지 사이에 반 파장이 정수 개 들어가는 모양으로만 떨 수 있습니다. 그 주파수는 f_n = n v / 2L입니다. v는 줄을 따라 파동이 달리는 빠르기, L은 줄의 길이입니다. 줄 길이 648 mm의 기타에서 A줄을 110 Hz로 맞추면 v = 2 × 0.648 × 110 = 143 m/s입니다. 실제로 줄을 퉁기면 여러 모양이 한꺼번에 떨립니다. 줄을 길이의 p 지점에서 삼각형으로 당겼다 놓으면, n번째 배음은 sin(nπp) / n²에 비례하는 크기로 시작합니다. 한가운데(p = 0.5)를 퉁기면 짝수 번째 배음이 모두 0이 됩니다. 그 배음들은 모두 정확히 그 자리에 움직이지 않는 점이 있기 때문입니다. 소리는 둥글고 비어 있는 듯 들립니다. 브리지 가까이 퉁기면 높은 배음이 많이 남아 소리가 밝고 날카로워집니다. 퉁기는 자리 슬라이더로 떨리는 줄과 스펙트럼에서 이것을 확인할 수 있습니다.

관에서는 공기가 떨립니다. 열린 끝은 방과 맞닿아 있어서 압력이 거의 바뀌지 않고, 그 대신 공기가 자유롭게 움직입니다. 막힌 끝에서는 공기가 전혀 움직이지 못합니다. 그래서 양쪽이 열린 관은 가장 낮은 음의 모든 정수배 f_n = n c / 2L에서 공명하고, 한쪽이 막힌 관은 홀수배 f_n = (2n − 1) c / 4L에서만, 그것도 한 옥타브 낮게 공명합니다. 양쪽이 열린 플루트와 리드 쪽이 막힌 클라리넷의 차이가 이것입니다. 클라리넷은 같은 길이의 플루트보다 낮은 음을 내고, 세게 불면 옥타브가 아니라 12도를 뛰어오릅니다. 열린 끝 바로 바깥의 공기도 함께 움직이므로, 관은 열린 끝마다 반지름의 약 0.61배만큼 더 긴 것처럼 울립니다. 레바인과 슈윙거가 1948년에 이 끝 보정을 계산했습니다. 유리관 속 점들은 첫 세 모드에서 공기가 움직이는 모습입니다.

북 가죽은 원 둘레가 고정되어 있고, 떨리는 모양은 베셀 함수로 정해집니다. 가장 낮은 모드 (0,1)은 통째로 부풀었다 꺼집니다. (1,1)은 가만히 있는 지름 하나를 사이에 두고 시소처럼 움직이고, (0,2)에는 가만히 있는 고리가 생깁니다. 주파수는 가장 낮은 모드의 1, 1.59, 2.14, 2.30, 2.65배로 정수배가 아닙니다. 그래서 평범한 북은 줄이나 관보다 음높이가 덜 또렷합니다. 팀파니는 이 문제를 비켜 갑니다. 솥 속 공기가 모드들을 옮겨서 (1,1), (2,1), (3,1)이 1 : 1.5 : 2에 가까워지고, 귀는 이것을 하나의 음높이로 듣습니다.

배음으로 소리 만들기

화면 아래 슬라이더 여덟 개로 첫 여덟 성분을 직접 섞어 소리를 만들 수 있습니다. 슬라이더 하나가 배음 하나의 세기입니다. 「사각파」를 고르면 홀수 슬라이더가 1/n로 줄어들고 짝수는 0이 됩니다. 「삼각파」를 고르면 홀수 성분이 1/n²로 줄고 하나 걸러 하나씩 뒤집혀서 모서리가 부드러워집니다. 「홀수 배음만」은 클라리넷 낮은 음역처럼 짝수 성분을 뺀 소리이고, 「오르간」은 오르간 스톱처럼 1, 2, 4, 8배 옥타브를 쌓은 소리입니다. 파형과 스펙트럼, 공기 기둥, 소리가 모두 슬라이더를 따라가므로, 음색이 바뀌는 것을 보면서 동시에 들을 수 있습니다.

도플러 효과와 소닉붐

음원이 움직이면 파동의 마루가 하나씩 조금씩 다른 자리에서 출발합니다. 음원 앞쪽에서는 마루들이 몰리고, 뒤쪽에서는 벌어집니다. 도플러 장면은 길 위에 마루 하나마다 고리 하나를 그려서 이 몰림을 그대로 보여 줍니다. 음원이 듣는 사람에게 곧장 v의 속도로 다가오면 들리는 주파수는

f' = f × c / (c − v)

이고, 곧장 멀어지면 f' = f × c / (c + v)입니다. 시속 90 km(25 m/s)로 달리는 구급차의 700 Hz 사이렌은 다가올 때 755 Hz, 지나간 뒤 652 Hz로 들립니다. 반음 두 개가 넘게 떨어지는 셈입니다. 다가오는 소리가 정확히 반음 높게 들리려면 음원이 c × (1 − 2^(−1/12)) ≈ 19.3 m/s, 시속 약 69 km로 움직여야 합니다. 길가에 선 사람에게는 각도가 바뀌는 동안 음높이가 두 값 사이를 미끄러지듯 바뀌고, 모서리의 그래프가 그 변화를 그립니다.

크리스티안 도플러는 1842년 쌍성의 빛을 두고 이 생각을 내놓았습니다. 1845년 크리스토프 바위스 발로트는 네덜란드에서 달리는 기차 위의 나팔수에게 일정한 음을 불게 하고, 선로 옆의 음악가들에게 음높이를 판단하게 해서 소리로 이를 확인했습니다.

음속에 이르면 식이 무너집니다. 앞쪽 마루들이 겹겹이 쌓여 충격파 하나가 됩니다. 음속을 넘으면 음원이 자기 소리를 앞질러 가고, 마루들이 원뿔을 따라 겹칩니다. 원뿔의 반각 θ는 sin θ = c / v를 따릅니다. 마하 2에서는 양쪽으로 30°입니다. 땅 위의 사람은 원뿔이 지나갈 때까지 아무것도 듣지 못하다가, 쌓인 압력을 한꺼번에 쾅 하는 소리로 듣습니다. 1947년 10월 14일 척 예거는 고도 43,000 ft에서 Bell X-1로 마하 1.06을 내며 처음으로 음속을 넘은 비행기를 몰았습니다. 1997년 10월 15일에는 스러스트SSC가 시속 1,227.985 km로 음속을 넘은 첫 자동차가 되었습니다. 2025년에 처음 난 NASA의 X-59는 충격파가 땅에 닿을 때 훨씬 작은 「쿵」이 되도록 모양을 다듬은 비행기입니다.

메아리와 잔향

빈 계단실에서 손뼉을 치면 소리가 몇 초 동안 공중에 남지만, 푹신한 가구가 가득한 침실에서는 금세 멎습니다. 소리가 부딪히는 면마다 그 일부를 삼키기 때문입니다. 흡음률 α는 면이 삼키는 비율입니다. 칠한 회벽은 약 0.02, 커튼과 카펫, 사람이 앉은 의자는 0.3에서 0.9 정도입니다.

월리스 세이빈은 1890년대 하버드 대학교에서 강연자의 말이 알아듣기 어려운 강의실을 고치다가 이 규칙을 찾았습니다. 소리를 끈 뒤 소리가 60 dB 줄어드는 데 걸리는 시간을 잔향 시간이라고 합니다. 잔향 시간은

T60 = 0.161 × V / A

입니다. V는 방의 부피(m³), A는 면마다 넓이에 흡음률을 곱해 더한 흡음 면적(m²)입니다. 1900년 문을 연 보스턴 심포니홀은 이 식으로 설계한 첫 공연장입니다.

메아리와 잔향 장면은 방 여섯 곳의 크기로 상자를 짓고, 그 안을 튀어 다니는 소리 에너지 알갱이로 채웁니다. 알갱이는 벽에 부딪힐 때마다 그 벽의 흡음률만큼 작아지므로, 방이 조용해지는 모습을 눈으로 볼 수 있습니다. 모형 교실은 9 × 7 × 3 m에 딱딱한 면뿐이라 잔향 시간이 1.1초입니다. 말을 잘 알아들으려면 1초보다 훨씬 짧아야 하고, 평균 흡음률을 약 0.23으로 올리면 0.6초가 됩니다. 1870년에 문을 연 빈 무지크페라인 대강당은 부피 약 15,000 m³, 1,680석입니다. 레오 베라넥은 관객이 찼을 때 중간 주파수 잔향 시간을 2.0초로 적었고, 모형은 평균 흡음률 0.31에서 그 값에 이릅니다. 흡음이 아주 많은 방에서는 세이빈 식이 시간을 조금 길게 내므로, 숫자 상자에는 아이링 식 T60 = 0.161 V / (−S ln(1 − α))도 함께 나옵니다.

야외 극장은 반대쪽 끝입니다. 지붕도 벽도 없으니 위로 올라간 소리는 돌아오지 않고, 모형의 잔향 시간은 1초의 몇 분의 1밖에 되지 않습니다. 기원전 4세기에 지은 에피다우로스 극장을 두고 데클레르크와 데케이저는 2007년, 계단식 돌 좌석 줄이 목소리 주파수보다 낮은 바스락거림을 더 많이 걸러 내서 말소리가 맨 뒷줄까지 잘 전해진다는 것을 보였습니다.

정상파와 쿤트관

끝이 막힌 관으로 파동을 보내면 되돌아옵니다. 대부분의 주파수에서는 돌아오는 파동과 나가는 파동이 맞았다 어긋났다 하면서 별일이 일어나지 않습니다. 그런데 관 안에 반 파장이 정확히 정수 개 들어가면, 반사될 때마다 이미 있던 파동과 박자가 맞아서 관이 울립니다. 이것이 정상파입니다. 마디라고 부르는 자리는 거의 움직이지 않고, 마디와 마디 사이 한가운데에서 공기가 가장 크게 오갑니다.

1866년 아우구스트 쿤트는 유리관 바닥에 고운 코르크 가루를 뿌리고 관 속 공기를 울렸습니다. 공기가 움직이는 곳에서는 가루가 흩어지고, 반 파장 간격의 변위 마디에는 작은 더미로 쌓였습니다. 더미 간격 d와 주파수 f를 알면 음속이 나옵니다. c = 2 d f입니다. 관을 다른 기체로 채우면 더미의 자리가 바뀌는데, 쿤트는 이 방법으로 여러 기체의 음속을 비교했습니다. 장면 속 관의 길이는 1 m입니다. 20 °C 공기에서 858 Hz로 울리면 반 파장 다섯 개(λ/2 = 20 cm)가 들어가고, 공명 숫자가 가장 커지며 가루가 모입니다. 관 위의 판은 공기가 움직이는 폭(파란색)과 압력이 바뀌는 폭(주황색)을 보여 줍니다. 한쪽이 가장 클 때 다른 쪽은 0입니다.

소음을 소리로 지우기

주파수와 크기가 같은 두 파동이 정확히 엇박자로 만나면, 한쪽의 마루가 다른 쪽의 골에 겹쳐서 합이 0이 됩니다. 파울 뤼크는 이것을 소음에 쓰는 방법으로 1936년 특허를 받았습니다. 소음을 마이크로 받아 위상을 뒤집어 스피커로 내보내는 방법입니다. 1953년 RCA의 해리 올슨과 에버렛 메이는 듣는 사람 머리 주변의 좁은 곳에서 낮은 소음을 줄이는 「전자 흡음기」를 실제로 만들었습니다.

소음 제거 헤드폰은 좁은 공간에서 같은 일을 합니다. 컵 바깥의 마이크가 소음을 듣고, 회로가 그것을 뒤집고, 스피커가 그 결과를 귀로 내보내며, 안쪽의 두 번째 마이크가 남은 소리를 확인합니다. 어려운 것은 시간입니다. 반대 소리가 τ만큼 늦으면 위상이 360° × f × τ만큼 어긋납니다. 이 장면은 30 µs의 어긋남을 둡니다. 100 Hz에서는 1.1°밖에 되지 않아 소음 에너지의 99.9 % 넘게 지워지지만(−34 dB), 1 kHz에서는 10.8°라 14 dB만 줄고, 5 kHz에서는 54°라 거의 줄지 않습니다. 그래서 능동 소음 제거는 엔진이나 에어컨 같은 낮고 일정한 소리에 가장 잘 듣고, 높은 소리는 쿠션이 막습니다. 위상 슬라이더를 180°에서 벗어나게 돌리면 주황색 합이 다시 커지고, 지연까지 메우는 값으로 돌리면 거의 사라집니다.

모형에서 단순하게 한 것

• 시간을 느리게 했습니다. 배율은 숫자 상자에 나오고, 440 Hz에서 약 800분의 1입니다.
• 움직임을 부풀렸습니다. 이 배율도 숫자 상자에 나오며, 보통 수만 배입니다.
• 파동을 관 속에 가두었습니다. 실제 스피커는 소리를 사방으로 내보내고, 거리가 두 배가 될 때마다 레벨이 약 6 dB씩 줄어듭니다. 모형은 층이 잘 보이도록 곧은 공기 기둥으로 그렸고, 퍼지는 모습은 데시벨 장면에서 보여 줍니다.
• 공기 기둥에는 메아리가 없습니다. 실제 방에서는 벽에서 되돌아오는 소리가 더해집니다. 메아리와 잔향 장면이 이것을 다루지만, 방의 모든 면을 평균 흡음률 하나로 묶고, 큰 공연장의 높은 주파수에서 중요해지는 공기 자체의 흡수는 뺐습니다.
• 귀는 단순하게 그렸습니다. 10배로 키운 단면이고, 달팽이관은 매끈한 관이며, 기저막의 진행파는 그린우드 식이 말하는 자리에서 가장 커지도록 모양을 손으로 정했습니다. 실제 청각에서 바깥털세포가 소리를 키우는 능동 증폭은 넣지 않았습니다.
• 악기는 이상적인 모형입니다. 줄은 휘는 힘이 없고, 관은 교과서의 끝 보정을 넣은 원통이며, 북 가죽은 팀파니를 조율하는 솥 속 공기의 영향이 없는 이상적인 막입니다.
• 도플러 장면의 길은 1 : 40이고, 시간은 8배 느리며, 차와 사람은 8배 크게 그렸습니다. 고리는 마루 하나하나가 아니라 짧은 간격마다 하나씩 그렸습니다.
• 소음 제거는 30 µs의 어긋남이 고정된 한 가지 음으로만 계산합니다. 실제 헤드폰은 계속 바뀌는 소음에 맞춰 필터를 쉬지 않고 고칩니다.
• 3D에서는 높은 배음을 덜어 냈습니다. 파장이 점 세 줄보다 짧은 성분은 3D 공기 기둥에서 빼지만, 화면과 소리에는 그대로 들어 있습니다.