Как работают проекции карт: Гренландия и Африка

Что показывает модель

На карте Меркатора Гренландия кажется такой же большой, как Африка, потому что эта проекция увеличивает площади вдали от экватора. Плоская карта не может одновременно сохранить все свойства глобуса. Сравнение проекций показывает, какие из них сохраняют площади, а какие углы.

На школьной карте мира Гренландия выглядит примерно равной Африке. На глобусе это сравнительно небольшой остров рядом с огромным материком. Ни одно изображение не искажено намеренно. Сферу нельзя расплющить, не растянув какие-то её участки. Каждая плоская карта выбирает, где именно произойдёт растяжение. Этот экспонат показывает такой выбор точка за точкой для 25 разных карт.

Вначале модель представляет собой глобус радиусом 1. Ползунок «От глобуса к карте» оборачивает его бумагой, разрезает бумагу и разворачивает её на плоскости. Форма бумаги зависит от проекции. Для Меркатора и родственных проекций это цилиндр, касающийся экватора. Для поперечной проекции Меркатора цилиндр лежит на боку и касается одного меридиана. Конические карты используют конус над средними широтами, раскрывающийся веером. Азимутальные карты используют плоскость, касающуюся глобуса в одной точке. Для трёх из них, гномонической, стереографической и спутникового вида, небольшая лампа показывает источник света, отбрасывающего тень. Последняя карта переносит глобус на икосаэдр и разворачивает его 20 граней. При воспроизведении модель повторяет переход от глобуса к карте и обратно.

Глобус покрывает сетка из 144 на 72 ячейки, на медленных телефонах из 72 на 36. Каждый узел размещается по формуле выбранной проекции. Изображение берегов движется вместе с сеткой, поэтому материки растягиваются точно по формуле. Красные точки представляют круги Тиссо радиусом 500 km. Зелёную страну можно перетаскивать в любое место. Сначала выбрана Гренландия, а лаборатория под элементами управления предлагает ещё 34 страны. Коричневый контур Африки остаётся на месте как ориентир для сравнения. Фиолетовая и оранжевая линии соединяют два города: одна показывает кратчайший путь, другая путь с постоянным компасным курсом. Панель в углу показывает проекцию, сохраняемые свойства, масштаб площади в центре страны, её площадь на карте и отношение площади Африки к площади страны.

Под элементами управления находятся дополнительные инструменты. Список объясняет все 25 проекций и отмечает, что каждая сохраняет. Таблица размеров показывает выбранную страну сразу на всех проекциях, от наименьшего изображения к наибольшему. Инструмент маршрутов сообщает расстояния и курсы. Нажатие на плоскую карту измеряет искажение в выбранной точке. Шесть заданий предлагают найти определённую карту, а 48 примеров одним нажатием воспроизводят известные карты, применения и сравнения размеров.

Почему глобус нельзя сделать плоским

Попытка расплющить половину апельсиновой кожуры приводит к разрывам. Кожура искривлена сразу в двух направлениях, а бумага нет. Бумагу можно без растяжения свернуть в цилиндр или конус: эти формы искривлены только в одном направлении. У сферы иначе: в каждой точке её кривизна одинакова во всех направлениях.

Carl Friedrich Gauss доказал в 1827 году, что такая кривизна сохраняется при любом изгибании поверхности, если её не растягивать. У плоскости кривизна нулевая, у сферы нет. Поэтому одним изгибанием превратить одно в другое невозможно. Любая плоская карта мира должна растянуть одни расстояния и сократить другие.

Карта может выбрать, что сохранить. Можно сохранить углы в каждой малой окрестности, чтобы крошечный круг на глобусе оставался кругом на карте. Такие карты называют равноугольными, или конформными. Можно сохранить площади, чтобы каждая страна занимала верную долю бумаги. Такие карты называют равновеликими. Можно сохранить расстояния вдоль определённых линий или от одной точки. Можно сделать все большие круги прямыми. Но всё это одновременно невозможно. В частности, ни одна карта не бывает одновременно равноугольной и равновеликой. Значки в списке проекций показывают выбор каждой карты.

Как глобус превращается в плоскую карту

Большинство проекций не представляют настоящих теней. Это формулы, которые получают широту φ и долготу λ и возвращают точку x, y на бумаге. Тем не менее старое представление об обёрнутой вокруг глобуса бумаге полезно: оно показывает, где карта точна. В местах касания бумаги и глобуса масштаб верен.

Цилиндр вокруг экватора касается глобуса вдоль экватора. После разворачивания получается прямоугольник с прямыми вертикальными меридианами через равные интервалы и прямыми горизонтальными параллелями. Все цилиндрические карты имеют такую сетку. Различается только расстояние между параллелями. Расположение по ln tan(45° + φ/2) даёт Меркатора, равные интервалы дают квадратную цилиндрическую карту, а расположение по sin φ даёт равновеликую карту Ламберта.

Конус, надетый на глобус как абажур, касается его по одной параллели или пересекает по двум. В развёртке получается веер: меридианы становятся прямыми, сходящимися в вершине, а параллели дугами окружностей. Конические карты подходят для территорий, протяжённых с запада на восток в средних широтах, например США, Китая или Европы.

Плоскость, касающаяся глобуса в одной точке, даёт азимутальную карту. Все такие карты сохраняют направления из центральной точки. Здесь представлены три настоящие перспективные проекции. Лампа в центре глобуса даёт гномоническую карту. Лампа в точке напротив центра карты даёт стереографическую. Бесконечно далёкая лампа даёт ортографическую, а лампа на высоте спутника вертикальную перспективную проекцию. Азимутальная равнопромежуточная и азимутальная равновеликая Ламберта используют ту же плоскость, но размещают точки формулой, а не светом.

Некоторые карты не относятся ни к одной из этих групп. Псевдоцилиндрические проекции, например синусоидальная, Мольвейде, Робинсона и Equal Earth, сохраняют прямые параллели, но изгибают меридианы к полюсам. Гомолосинусоидальная проекция Гуда разрезает карту в океанах. Карта на икосаэдре оборачивает глобус 20 треугольниками и разворачивает их. Модель использует цилиндрическую анимацию и для псевдоцилиндрических карт, чтобы было видно, как меридианы изгибаются при разворачивании бумаги.

Меркатор сохраняет углы, но меняет размеры

Mercator хотел получить карту, на которой путь корабля с постоянным компасным курсом, локсодромия, был бы прямым. Тогда штурман может приложить линейку к двум портам, измерить угол с любым меридианом и держать этот курс.

На цилиндрической карте меридианы параллельны, а на глобусе сходятся у полюсов. На широте φ истинное расстояние между меридианами составляет лишь cos φ от расстояния на экваторе, но на карте остаётся прежним. Поэтому каждая параллель растягивается с запада на восток в 1 / cos φ раз, то есть в секанс φ. Чтобы малые формы не искажались, Меркатор растягивает направление с севера на юг ровно во столько же раз. Интервалы параллелей складываются из этих малых растяжений, и получается y = R ln tan(45° + φ/2).

Числа можно проверить в модели. Параллель 60° располагается на 1,317 радиуса Земли выше экватора, параллель 75° на 2,028 радиуса. На 85° высота уже равна 3,131 радиуса, а параллель нарисована в 11,47 раза длиннее истинной. Сам полюс оказался бы бесконечно далеко, поэтому карта заканчивается на 85°.

Поскольку оба направления растянуты в sec φ раз, площади увеличены в sec² φ раз. На 30° это 1,33, на широте Сеула 37,57° это 1,59, на 60° ровно 4, а на 75° уже 14,9. Красные круги Тиссо в модели остаются круглыми: в этом смысл равноугольности. Но круг на 60° вдвое шире экваториального и занимает вчетверо большую площадь.

Веб-Меркатор и поперечная проекция Меркатора

Карта в телефоне почти совпадает с Меркатором. Веб-карты обрезают мир на 85,0511° северной и южной широты, где высота карты точно равна ширине. Квадратный мир можно разделить на 4 квадратные плитки, каждую ещё на 4 и так далее на каждом уровне увеличения. Документация Google описывает эту разбивку. Проекция зарегистрирована как EPSG:3857, «псевдо-Меркатор». Приставка означает, что широты, измеренные на слегка сплюснутой Земле, подставляются в формулу для сферы. На настоящем эллипсоиде результат не вполне равноуголен. Это важно для геодезистов, хотя большинство пользователей не замечает разницы. На сфере этой модели обе карты совпадают, кроме линии обрезки.

Если повернуть цилиндр набок, чтобы он касался одного меридиана вместо экватора, получится поперечная проекция Меркатора. Она остаётся равноугольной. Теперь масштаб верен вдоль центрального меридиана и медленно растёт при удалении от него. В пределах 3° от центрального меридиана ошибка масштаба меньше 1,4 тысячной. Поэтому универсальная поперечная система Меркатора делит мир на 60 зон шириной 6°, каждая со своей поперечной проекцией. Масштаб на центральном меридиане уменьшают до 0,9996, распределяя ошибку по зоне. Национальная сетка Южной Кореи EPSG:5179 использует одну поперечную проекцию Меркатора на 127,5° E с тем же масштабом 0,9996. В модели показан весь мир, и видно, насколько сильно он растягивается вдали от центрального меридиана.

Гренландия, Африка и истинный размер стран

Площадь Гренландии составляет 2,17 миллиона km². Площадь суши Африки по Демографическому ежегоднику ООН равна 29,6 миллиона km², то есть в 13,7 раза больше. Гренландия расположена примерно на 72° N, где Меркатор увеличивает площади более чем в десять раз. Африка пересекает экватор и почти не увеличивается. На карте Меркатора в модели Гренландия занимает около 35,8 миллиона km² бумаги, а Африка 32,7 миллиона. Поэтому Гренландия получается немного больше.

При переносе Гренландии на экватор её площадь на карте уменьшается примерно до истинных 2,17 миллиона km². Суша не менялась, изменилось только её положение на карте. Пунктир отмечает исходный контур. То же можно сделать с любой страной из списка. Таблица под инструментом размеров показывает страну в её нынешнем положении на всех 25 проекциях, от наименьшей площади изображения до наибольшей.

Несколько сравнений по контурам модели из Natural Earth 1:110m, только крупнейшая часть суши каждой страны:

Площадь каждого контура вычисляется на сфере радиусом 6371,0088 km. Упрощение берегов меняет суммы примерно на процент. Поэтому в модели Африка в 13,5 раза больше Гренландии, а не в 13,7 раза, как в официальных данных.

Иллюзия действует с севера на юг, а не с запада на восток. Меркатор растягивает только в зависимости от широты, поэтому две страны на одинаковой широте сравниваются справедливо. Европа, Северная Америка и Северная Азия выглядят больше истинного размера, а Африка, Южная Америка, Индия и Юго-Восточная Азия меньше. В этом суть давнего спора о карте для школьного класса.

Круги Тиссо измеряют искажение

В 1859 и 1881 годах французский математик Nicolas Auguste Tissot показал, что любая проекция превращает бесконечно малый круг на глобусе в эллипс на карте. Размер и форма этого эллипса, индикатрисы Тиссо, полностью описывают искажение в точке. Модель рисует круги радиусом 500 km на семи широтах. Они достаточно малы, чтобы вести себя почти как круги Тиссо.

Каждый эллипс описывают четыре числа. Измерительный инструмент лаборатории показывает их для любой выбранной точки. Масштаб вдоль меридиана обозначен h: 1 означает верное расстояние с севера на юг, 2 удвоенную длину. Масштаб вдоль параллели обозначен k. Их произведение с поправкой на возможную косоугольность этих направлений даёт масштаб площади s. Наибольшее изменение угла ω измеряет искажение формы. На равноугольной карте оно равно 0. Формулы приведены у Snyder. Модель вычисляет их непосредственно из проекции, перемещая точку на стотысячную долю радиана к северу и востоку и измеряя её смещение на карте.

Цветовая карта показывает те же числа по всей поверхности. В режиме площади белый означает истинный размер, красный увеличение, синий уменьшение. У Меркатора полюса красные. Любая равновеликая карта остаётся полностью белой. В режиме формы красный означает большее изменение углов. Меркатор везде остаётся белым, а равновеликие карты краснеют к краям.

Значения модели на трёх широтах в 17° от центрального меридиана, масштаб площади / изменение угла ω:

Робинсон и тройная проекция Винкеля рисуют весь мир немного меньше глобуса радиусом 1, поэтому у экватора масштаб площади ниже 1. Важен его разброс по карте: от 0,82 до 1,19 у Робинсона против диапазона от 1 до 4 у Меркатора на тех же широтах.

Карты с сохранением площадей

Johann Heinrich Lambert описал простейшую равновеликую карту в 1772 году. Каждую параллель помещают на высоту sin φ на цилиндре, касающемся экватора. Полоса между параллелями имеет на карте точно ту же площадь, что на глобусе. Ещё Archimedes показал, что соответствующие горизонтальные полосы сферы и описанного вокруг неё цилиндра равновелики. Цена в форме: у полюсов параллели сближаются и каждая страна сплющивается.

Можно выбрать, где формы будут верны, растянув карту вбок и сжав по вертикали в одинаковое число раз. Если выбрать 45°, получится карта, которую James Gall описал в 1855 году, а Arno Peters популяризовал в 1973 году. Сейчас её называют Галл–Петерс. Она выглядит высокой и узкой: на экваторе малый круг становится эллипсом с высотой вдвое больше ширины, h = 1,414 и k = 0,707.

Равновеликие карты не обязательно прямоугольны. Синусоидальная проекция рисует каждую параллель истинной длины по центру карты. Меридианы становятся синусоидами, а контур заостряется у полюсов. Мольвейде (1805) помещает мир в эллипс с шириной вдвое больше высоты и верным масштабом на 40°44′ N и S. Хаммер (1892) берёт половину азимутальной равновеликой карты Ламберта и растягивает до двойной ширины, отчего параллели изгибаются. Гуд (1923) соединил синусоидальную проекцию у экватора с Мольвейде за 40°44′ и разрезал карту в океанах. Каждый материк получает собственный центральный меридиан и сохраняет приемлемую форму. Equal Earth (2018) разработали после выбора Галла–Петерса школами Бостона как равновеликую карту, похожую на Робинсона.

Включите режим площадей для любой из этих карт. Вся карта останется белой. При перемещении страны её площадь на карте не меняется, меняется только форма. На Галле–Петерсе Гренландия у экватора высокая и узкая, а на исходном месте низкая и широкая. В обоих случаях она занимает 2,17 миллиона km².

Компромиссные карты

Большинство настенных карт и карт в атласах не сохраняет точно ни углы, ни площади. Они стремятся к естественному изображению с умеренными ошибками всех видов.

Квадратная цилиндрическая карта, возможно древнейшая мировая сетка, использует широту и долготу непосредственно как координаты. Расстояния вдоль всех меридианов верны, каждая параллель растянута в sec φ раз. Это естественный формат данных на широтно-долготной сетке, поэтому спутниковые изображения и климатические модели часто хранят именно так. Цилиндрическая проекция Миллера (1942) представляет Меркатора с широтами, умноженными на 0,8, и результатом, делённым обратно на 0,8, чтобы поместились полюса. Стереографический цилиндр Галла (1855) пересекает глобус на 45° и был распространён в британских атласах.

Arthur Robinson выбрал другой подход в 1963 году. Вместо исходной формулы он на глаз подбирал таблицу длин и интервалов параллелей, пока материки не стали выглядеть естественно, а затем подогнал карту к таблице. Её использовал Rand McNally. National Geographic принял её в 1988 году после 66 лет использования Ван-дер-Гринтена. В 1998 году National Geographic перешёл к тройной проекции Винкеля, предложенному Oswald Winkel в 1921 году среднему между квадратной цилиндрической картой и картой Аитова. Она меньше деформирует сушу у полюсов. На обеих картах масштаб площади растёт примерно от 0,8 на экваторе до 1,2 на 60°. Гренландия всё ещё слишком велика, но примерно на 50 процентов, а не в десять раз.

Азимутальные карты и лампа внутри глобуса

Гномоническая карта представляет настоящую тень. Свет в центре глобуса проецирует каждую точку на касающуюся его плоскость. Каждый большой круг лежит в плоскости через центр. Такая плоскость проходит через источник света и пересекает экран по прямой. Поэтому каждый большой круг на гномонической карте становится прямым, и только большие круги обладают этим свойством. Цена в огромном растяжении: помещается меньше полушария. Модель заканчивается в 62° от центра, где радиус уже равен 1,881 R, почти 12 000 km. Snyder отмечает, что это, возможно, древнейшая проекция, приписываемая Thales около 550 года до н. э.

Перенос лампы в противоположную точку даёт стереографическую карту, известную Hipparchus во 2 веке до н. э. Она равноугольна и имеет более сильное свойство: любой круг на глобусе независимо от размера становится кругом на карте. Размеры растут к краям. В 90° от центра всё вдвое шире и вчетверо больше по площади. Полярные стереографические карты стандартны для морского льда. NSIDC задаёт верный масштаб сетки на 70°, чтобы уменьшить искажения кромки льда.

Если отнести лампу очень далеко, лучи станут параллельными. Получится ортографическая карта, вид глобуса далёкой камерой. Если поставить лампу на высоте спутника, получится вертикальная перспектива. Ползунок высоты перемещает точку наблюдения. С Международной космической станции на 400 km виден диск радиусом 2200 km, 3 процента Земли. С орбиты GPS на 20 200 km видно 38 процентов. С геостационарной орбиты на 35 786 km, где находятся метеоспутники вроде GOES-East, видно 42 процента: диск до 81° от центра. Даже с Луны видно только 49 процентов.

Две азимутальные карты не используют тени. Азимутальная равнопромежуточная проекция сохраняет истинные расстояния от центра во всех направлениях. В варианте с Северным полюсом в центре Сеул на 37,57° N находится в 5830 km от центра, а Южный полюс становится внешней окружностью в 20 015 km. Эту карту использует эмблема ООН. Переключатель «Центр в первом городе» переносит центр в Сеул, показывая верное расстояние и направление из Сеула в любое место. Азимутальная равновеликая проекция Ламберта сохраняет площади и помещает весь мир в круг радиусом 2 R.

Конусы для средних широт

Для страны, протяжённой с запада на восток в средних широтах, конус подходит лучше цилиндра. Равноугольная коническая проекция Ламберта (1772) сохраняет углы и имеет верный масштаб на двух стандартных параллелях. Американские авиационные карты используют параллели 33° и 45°, как и модель. Между ними масштаб слегка занижен, 0,997 на 35°, снаружи растёт. На обычных расстояниях полёта прямая на этой карте близка к большому кругу, что удобно для пилотов.

Равновеликая коническая проекция Альберса (1805) вместо этого сохраняет площади. Snyder приводит 29,5° и 45,5° как стандартные параллели, используемые Геологической службой США для 48 штатов. Модель использует те же значения. На карте Альберса Северный полюс представляет дугу, а не точку. Равнопромежуточная коническая проекция рисует меридианы истинной длины, сохраняя расстояния с севера на юг. Ptolemy описал простой вариант около 150 года н. э.

В модели конус накрывает глобус, точки скользят на него, затем он открывается плоским веером с разрезом по меридиану 180°. Конус Ламберта настолько увеличивает размеры у Южного полюса, что модель обрезает его на 38° S.

Развёртка многогранника

R. Buckminster Fuller задал другой вопрос: можно ли сделать карту без верха и центра? Журнал Life напечатал его первый мир Dymaxion в 1943 году как выкройку на кубооктаэдре с 14 гранями. Позднее он использовал икосаэдр с 20 гранями. Он расположил тело так, чтобы все 12 вершин попали в океан, и развернул его так, чтобы материки образовали почти неразрывный остров в едином океане.

Модель делает то же с икосаэдром, вершины которого расположены так же, как у Fuller. Она заполняет каждую грань гномонической проекцией из центра глобуса. Сам Fuller использовал собственное преобразование с более равномерными интервалами. Затем модель ищет развёртку, сохраняющую как можно больше связной суши. В анимации глобус сначала становится многогранником, затем грани откидываются на свои места в развёртке. Грани, более далёкие от первой, начинают двигаться позже. Модель проверяет, что 12 вершин образуют правильный икосаэдр и грани развёртки не перекрываются.

Современный наследник этой идеи, AuthaGraph от Hajime Narukawa, получил главный приз японской Good Design в 2016 году. Он преобразует глобус через многогранник в прямоугольник, которым можно замостить плоскость во всех направлениях.

Кратчайший путь и постоянный курс

На сфере кратчайший путь между двумя точками представляет дугу большого круга, центр которого совпадает с центром Земли. Локсодромия пересекает все меридианы под одним углом. По ней идёт корабль, сохраняющий постоянный компасный курс. Эти пути совпадают только вдоль экватора или одного меридиана.

Сеул и Нью-Йорк находятся примерно на 40° N. Локсодромия идёт почти точно на восток, курсом 88,5°, и имеет длину 13 715 km. Большой круг начинается под углом 16° к востоку от севера, поднимается до 77,4° N над Арктикой и имеет длину 11 053 km. Локсодромия на 24 процента длиннее. Поэтому рейсы между Восточной Азией и Северной Америкой уходят так далеко на север. Между Лондоном и Нью-Йорком разница меньше, 5794 km против 5570 km, около 4 процентов, поскольку города ближе. Большой круг из Сиднея в Сан-Паулу опускается до 74,4° S, недалеко от Антарктиды.

Каждая карта рисует эти маршруты по-своему. Лаборатория сообщает, какой из них прямой на текущей карте. У Меркатора локсодромия прямая, а большой круг выгибается к полюсу. В гномонической проекции большой круг прямой. В азимутальной равнопромежуточной с центром в первом городе он идёт прямой из центра. Штурманы использовали обе карты вместе: проводили большой круг на гномонической карте, считывали промежуточные точки и переносили их на карту Меркатора, чтобы идти от точки к точке последовательностью коротких локсодромий.

Числа, которые можно проверить

Формулы модели сверены с численными примерами Snyder для 15 проекций: от Меркатора с x = 1,8325957, y = 0,6528366 для 35° N, 75° W при центральном меридиане 180° до Мольвейде с x = 0,1788845, y = −0,9208758. Также проверено, что каждая равновеликая карта сохраняет масштаб площади 1 с отклонением не более 0,002 процента по всей карте, каждая равноугольная держит ω ниже 0,002°, а большой круг между Сеулом и Нью-Йорком прямой на гномонической карте.

Как выбрать проекцию

Нет проекции, лучшей для всего. Поэтому картографы начинают с вопроса, на который должна ответить карта.

Для движения по компасу подходит Меркатор: прямая означает постоянный курс. Для поиска кратчайшего маршрута нужна гномоническая карта или азимутальная равнопромежуточная с центром в исходной точке. Для сравнения величин, распределённых по территории, например населения, лесов или осадков по странам, нужна равновеликая карта. Иначе изображение обманывает в отношении количества. Для всего мира подойдут Equal Earth, Мольвейде или Гуд, для материка азимутальная равновеликая Ламберта, для страны средних широт Альберс. Если для геодезии или крупномасштабных карт нужны верные местные формы, выбирают равноугольную: поперечного Меркатора для территорий, вытянутых с севера на юг, равноугольный конус Ламберта для вытянутых с запада на восток, полярную стереографическую у полюсов. Для общей настенной карты мира компромисс вроде тройной Винкеля или Робинсона удерживает все ошибки умеренными.

Инструмент размеров быстро показывает значение выбора. Переместите любую страну с экватора на 60° и посмотрите на таблицу: равновеликие карты остаются на «× 1,00», а Меркатор доходит до 4.

Краткая история

Гномоническая карта, вероятно, древнейшая. Её приписывают Thales из Милета около 550 года до н. э. Hipparchus знал стереографическую и ортографическую во 2 веке до н. э. Ptolemy приписывал квадратную цилиндрическую карту Marinus из Тира около 100 года н. э. Около 150 года н. э. «География» Ptolemy описывала конические карты известного мира.

Gerardus Mercator представил свою проекцию в 1569 году на большой мировой карте для мореплавателей. Вероятно, интервалы параллелей он подбирал графически. Edward Wright из Англии вывел математику и опубликовал таблицы в 1599 году. Johann Heinrich Lambert ввёл семь проекций в 1772 году, включая равноугольную коническую, поперечного Меркатора, азимутальную равновеликую и цилиндрическую равновеликую. Heinrich Albers представил свой конус, а Carl Mollweide свой эллипс в 1805 году. James Gall описал три цилиндрические карты в 1855 году. Tissot опубликовал анализ искажений в 1859 и 1881 годах. Затем появились карта Ernst Hammer в 1892 году, тройная Oswald Winkel в 1921 году, гомолосинусоидальная Paul Goode в 1923 году и цилиндрическая Osborn Miller в 1942 году.

В 20 веке выбор карты стал предметом общественного спора. Arno Peters представил свою карту в 1973 году как более справедливое изображение тропиков. Картографы заметили, что это карта Gall 1855 года и что она сильно искажает формы. В 1989 году американские картографические общества призвали издателей отказаться от прямоугольных карт мира для общих целей. National Geographic использовал Робинсона с 1988 года, а тройную Винкеля с 1998 года. Онлайн-карты остановились на Веб-Меркаторе ради квадратных плиток. В 2017 году государственные школы Бостона повесили карты Галла–Петерса рядом с Меркатором, а в 2018 году Šavrič, Patterson и Jenny ответили проекцией Equal Earth.

Что упрощает модель

Земля считается сферой со средним радиусом 6371,0088 km. Настоящая Земля примерно на 0,3 процента сплюснута у полюсов. Геодезические проекции используют формулы эллипсоида, но в масштабе карты мира разница незаметна. Берега и контуры стран взяты из Natural Earth в масштабе 1:110 миллионов и дополнительно упрощены. Каждая страна представлена только крупнейшей частью суши: 48 штатов США без Аляски и Гавайев, материковая Канада без арктических островов, материковая Норвегия без Шпицбергена.

Каждая проекция показана с одним набором параметров. Конические карты используют параллели Snyder для США, спутниковый вид центрирован на первом городе, а поперечный Меркатор использует Гринвич как центральный меридиан, если пример его не меняет. На икосаэдре используются гномонические грани, а не собственное преобразование Fuller. Меркатор заканчивается на 85°, гномоническая карта в 62° от центра, конус Ламберта на 38° S. Анимации между глобусом и картой показывают, куда идут точки. Только окончательная плоская карта точно следует формуле.