지도 투영: 세계 지도는 왜 늘어나 보일까

모형이 보여 주는 것

교실 벽의 세계 지도를 보면 그린란드가 아프리카만큼 커 보입니다. 지구본에서는 큰 대륙 옆의 아담한 섬일 뿐입니다. 어느 쪽도 일부러 틀리게 그린 것은 아닙니다. 구면은 어딘가를 늘이지 않고는 평평하게 펼 수 없고, 평면 지도는 저마다 어디를 늘일지 고릅니다. 이 전시는 그 선택이 25가지 지도에서 점 하나하나에 어떻게 일어나는지 보여 줍니다.

모형은 반지름 1인 지구본에서 시작합니다. 「지구본에서 지도로」 조작을 움직이면 지구본을 종이로 감싸고, 종이를 자른 뒤 평평하게 폅니다. 종이의 모양은 투영마다 다릅니다. 메르카토르와 그 친척들은 적도에 닿는 원통을 씁니다. 횡축 메르카토르는 옆으로 눕혀 경선 하나에 닿는 원통을 씁니다. 원추 지도는 중위도에 씌운 원뿔을 쓰고, 이 원뿔은 부채꼴로 펼쳐집니다. 방위 지도는 지구에 한 점으로 닿는 평면을 쓰는데, 그중 세 가지(심사, 평사, 위성 시점)는 그림자를 던지는 불빛이 어디에 있는지 작은 등불로 보여 줍니다. 마지막 지도는 지구를 정이십면체에 옮긴 뒤 면 20개를 펼칩니다. 재생을 누르면 지구본에서 지도로, 다시 지구본으로 되풀이합니다.

지구본은 144 × 72칸 격자로 덮여 있습니다(느린 휴대폰에서는 72 × 36칸). 격자 꼭짓점마다 고른 투영의 식으로 자리를 정하고 해안선 그림이 격자를 따라가므로, 대륙은 식이 말하는 그대로 늘어납니다. 빨간 점은 반지름 500 km 인 티소 원입니다. 초록색 모양은 어디로든 끌 수 있는 나라로, 처음에는 그린란드이고 조작 아래 실험 칸에서 다른 나라 34곳을 고를 수 있습니다. 갈색 윤곽은 아프리카로, 자로 쓰려고 제자리에 둡니다. 보라색과 주황색 선은 두 도시를 잇는 두 길입니다. 하나는 가장 짧은 길이고 다른 하나는 나침반 방향을 하나로 유지하는 길입니다. 모서리 숫자판은 투영 이름, 그 지도가 지키는 것, 나라 중심의 넓이 배율, 지도 위 나라 크기, 그 나라가 아프리카에 몇 번 들어가는지를 보여 줍니다.

조작 아래에는 더 있습니다. 투영 목록은 지도 25가지를 설명하고 각 지도가 지키는 것을 배지로 표시합니다. 크기 표는 고른 나라가 모든 투영에서 얼마나 크게 그려지는지 작은 것부터 큰 것까지 한 번에 보여 줍니다. 항로 도구는 거리와 방위를 알려 줍니다. 펼친 지도를 누르면 그 자리의 왜곡을 잽니다. 특정한 지도를 찾는 과제 여섯 가지가 있고, 사례 48가지는 유명한 지도와 쓰임, 크기 비교를 한 번에 불러옵니다.

지구본은 왜 평평하게 펴지지 않을까

귤껍질 반쪽을 평평하게 펴려고 하면 찢어집니다. 껍질은 두 방향으로 동시에 굽어 있는데 종이는 그렇지 않기 때문입니다. 종이는 늘이지 않고도 원통이나 원뿔로 말 수 있습니다. 이 두 모양은 한 방향으로만 굽어 있기 때문입니다. 구는 다릅니다. 모든 점에서, 모든 방향으로 똑같이 굽어 있습니다.

카를 프리드리히 가우스는 1827년에 이 곡률이 늘이지 않고 휘기만 하는 한 바뀌지 않는다는 것을 증명했습니다. 평면의 곡률은 0이고 구의 곡률은 0이 아니므로, 아무리 휘어도 하나를 다른 하나로 만들 수 없습니다. 그래서 모든 평면 세계 지도는 어떤 거리는 늘이고 어떤 거리는 줄입니다.

지도가 할 수 있는 일은 무엇을 지킬지 고르는 것입니다. 작은 영역마다 각을 정확하게 지켜 지구 위의 작은 원을 지도에서도 원으로 남길 수 있습니다. 이런 지도를 정각 도법이라고 합니다. 넓이를 정확하게 지켜 나라마다 제 몫의 종이를 차지하게 할 수도 있습니다. 이것이 정적 도법입니다. 특정한 선을 따라, 또는 한 점에서 잰 거리를 정확하게 둘 수도 있고, 모든 대권을 직선으로 만들 수도 있습니다. 하지만 이 모두를 한꺼번에 할 수는 없고, 특히 정각이면서 정적인 지도는 없습니다. 투영 목록의 배지가 각 지도의 선택을 보여 줍니다.

지구본이 평면 지도가 되는 방법

투영 대부분은 실제 그림자가 아닙니다. 위도 φ 와 경도 λ 를 넣으면 종이 위의 점 x, y 를 돌려주는 식입니다. 그래도 종이로 지구를 감싸는 옛 그림은 쓸모가 있습니다. 종이가 지구에 닿는 곳에서 지도의 축척이 정확하다는 것을 알려 주기 때문입니다.

적도에 감은 원통은 적도를 따라 지구에 닿습니다. 펼치면 경선이 고른 간격의 수직선이고 위선이 수평선인 직사각형이 됩니다. 모든 원통 지도가 이 격자를 씁니다. 다른 점은 위선 사이 간격뿐입니다. 간격을 ln tan(45° + φ/2)로 두면 메르카토르, 고르게 두면 플라트 카레, sin φ 로 두면 람베르트의 정적 지도가 됩니다.

갓처럼 지구에 씌운 원뿔은 위선 하나를 따라 닿거나 위선 두 개를 따라 지구를 자릅니다. 펼치면 부채꼴이 되어 경선은 꼭짓점에서 만나는 직선, 위선은 원호가 됩니다. 원추 지도는 미국, 중국, 유럽처럼 중위도에서 동서로 긴 나라에 잘 맞습니다.

지구에 한 점으로 닿는 평면은 방위 지도를 만듭니다. 방위 지도는 모두 중심점에서 본 방향이 정확합니다. 그중 셋은 실제 투시 투영입니다. 등불을 지구 중심에 두면 심사 도법, 중심의 맞은편 점에 두면 평사 도법, 무한히 먼 곳에 두면 정사 도법, 위성 높이에 두면 수직 투시 도법이 됩니다. 정거방위와 람베르트 정적방위는 같은 평면을 쓰지만 빛이 아니라 식으로 점을 놓습니다.

어디에도 들지 않는 지도도 있습니다. 사인곡선, 몰바이데, 로빈슨, 이퀄 어스 같은 의원통 도법은 위선을 곧게 두고 경선을 극 쪽으로 안쪽으로 굽힙니다. 구드 호몰로사인은 바다에서 지도를 가릅니다. 정이십면체 지도는 지구를 삼각형 20개로 감싼 뒤 펼칩니다. 모형은 의원통 도법에도 원통 애니메이션을 써서, 종이가 펴지는 동안 경선이 굽는 모습을 볼 수 있게 했습니다.

메르카토르는 각을 지키고 크기를 포기합니다

메르카토르는 나침반 방향을 하나로 유지하는 배의 항로인 항정선이 직선으로 그려지는 해도를 원했습니다. 그러면 항해사는 두 항구 사이에 자를 대고 아무 경선에 대해 각도를 읽어 그 방향으로 배를 몰면 됩니다.

원통 지도에서 경선은 평행하지만 지구 위에서는 극에서 만납니다. 위도 φ 에서 두 경선 사이 실제 거리는 적도에서의 cos φ 배뿐인데, 지도에서는 그대로입니다. 그래서 모든 위선이 동서로 1 / cos φ 배(sec φ 배) 늘어납니다. 작은 모양이 찌그러지지 않도록 메르카토르는 남북으로도 똑같은 배율로 늘입니다. 위선 간격은 이 작은 늘임을 모두 더한 값이고, 계산하면 y = R ln tan(45° + φ/2)가 됩니다.

모형에서 숫자를 확인할 수 있습니다. 60° 위선은 적도에서 지구 반지름의 1.317배, 75° 위선은 2.028배 높이에 놓입니다. 85°에서는 이미 3.131배 높이이고, 그곳의 위선은 실제보다 11.47배 길게 그려집니다. 극 자체는 끝없이 먼 곳에 있으므로 지도는 85°에서 멈춥니다.

두 방향이 모두 sec φ 배 늘어나므로 넓이는 sec² φ 배 늘어납니다. 30°에서 1.33, 서울의 위도 37.57°에서 1.59, 60°에서 정확히 4, 75°에서 14.9입니다. 모형의 빨간 티소 원은 둥근 모양을 지키는데, 이것이 정각이라는 뜻입니다. 하지만 60°의 원은 적도의 원보다 폭이 두 배이고 넓이는 네 배입니다.

웹 메르카토르와 횡축 메르카토르

휴대폰 지도는 거의 메르카토르입니다. 웹 지도는 세계를 북위·남위 85.0511°에서 자르는데, 그 위도에서 지도의 높이와 폭이 정확히 같아집니다. 정사각형 세계는 정사각형 타일 4장으로, 그 타일은 다시 4장씩으로 확대 단계마다 나눌 수 있습니다. 구글 문서가 이 타일 방식을 설명하고, 이 투영은 EPSG:3857 「유사 메르카토르」로 등록되어 있습니다. 「유사」가 붙은 까닭은 웹 지도가 살짝 납작한 실제 지구에서 잰 위도를 구면 식에 그대로 넣기 때문입니다. 실제 타원체에서는 완전한 정각이 아니며, 측량하는 사람에게는 중요하지만 대부분의 사용자는 알아채지 못합니다. 이 모형의 구면에서 두 지도는 자르는 위도만 빼면 같습니다.

원통을 옆으로 눕혀 적도 대신 경선 하나에 닿게 하면 횡축 메르카토르가 됩니다. 여전히 정각이고, 이제 그 중앙 경선을 따라 축척이 정확하며 경선에서 멀어질수록 천천히 커집니다. 중앙 경선에서 3° 안에서는 축척 오차가 1,000분의 1.4보다 작습니다. 그래서 UTM 좌표계는 세계를 폭 6°의 구역 60개로 나누고 구역마다 횡축 메르카토르를 쓰며, 중앙 경선의 축척을 0.9996으로 줄여 오차를 구역 전체에 나눕니다. 대한민국의 국가 좌표계 EPSG:5179는 동경 127.5°에 같은 0.9996을 쓰는 횡축 메르카토르 하나입니다. 모형의 횡축 메르카토르는 세계 전체를 보여 주므로, 중앙 경선에서 먼 곳이 얼마나 심하게 늘어나는지 볼 수 있습니다.

그린란드, 아프리카, 나라의 진짜 크기

그린란드의 넓이는 217만 km² 입니다. 국제연합 인구통계연감에 따르면 아프리카의 땅 넓이는 2,960만 km²로 13.7배입니다. 그린란드는 북위 72° 언저리에 있어 메르카토르가 넓이를 열 배 넘게 키우고, 아프리카는 적도에 걸쳐 있어 거의 키우지 않습니다. 모형의 메르카토르 지도에서 그린란드는 종이 위 약 3,580만 km², 아프리카는 3,270만 km²를 차지해 그린란드가 조금 더 크게 나옵니다.

그린란드를 적도로 끌어내리면 지도 위 크기가 실제 넓이 217만 km² 가까이로 줄어듭니다. 땅은 그대로이고 지도 위 자리만 바뀌었습니다. 점선 윤곽이 원래 자리를 표시합니다. 목록의 다른 나라에도 똑같이 해 볼 수 있습니다. 크기 도구 아래 표는 그 나라가 지금 자리에서 투영 25가지에 얼마나 크게 그려지는지 가장 작은 것부터 가장 큰 것까지 늘어놓습니다.

모형 윤곽(Natural Earth 1:110m, 나라마다 가장 큰 땅덩이만)으로 비교한 예입니다.

윤곽마다 넓이는 반지름 6,371.0088 km 구에서 계산했습니다. 해안선을 단순하게 하면 합계가 1퍼센트쯤 달라지므로, 모형의 아프리카는 공식 수치의 13.7배가 아니라 그린란드의 13.5배입니다.

이 착시는 남북 방향으로 생기고 동서 방향으로는 생기지 않습니다. 메르카토르는 위도에 따라서만 늘이므로 같은 위도의 두 나라는 공정하게 비교됩니다. 유럽, 북아메리카, 북아시아는 실제보다 커 보이고 아프리카, 남아메리카, 인도, 동남아시아는 작아 보입니다. 교실 벽에 어떤 지도를 걸지를 두고 오래 이어진 논쟁의 중심이 여기에 있습니다.

티소 원으로 왜곡을 재는 법

1859년과 1881년에 프랑스 수학자 니콜라 오귀스트 티소는 어떤 투영이든 지구 위의 아주 작은 원을 지도 위의 타원으로 바꾼다는 것을 보였습니다. 티소 지시원이라고 부르는 이 타원의 크기와 모양이 그 점의 왜곡을 모두 알려 줍니다. 모형은 티소의 원처럼 행동할 만큼 작은 반지름 500 km 원을 일곱 위도에 그립니다.

타원 하나는 숫자 네 개로 나타내고, 실험 칸의 측정 도구가 누른 자리의 값을 보여 줍니다. 경선을 따라 잰 축척이 h 입니다. 1이면 남북 거리가 정확하고 2이면 두 배로 그려진 것입니다. 위선을 따라 잰 축척이 k 입니다. 두 방향 사이 기울어짐을 고쳐 곱한 값이 넓이 배율 s 이고, 각이 가장 많이 바뀌는 양 ω 가 모양이 얼마나 찌그러지는지 나타냅니다. 정각 지도에서 ω 는 0입니다. 스나이더가 식을 제시하며, 모형은 점을 북쪽과 동쪽으로 10만분의 1 라디안씩 옮겨 지도에서 어디로 가는지 재어 직접 계산합니다.

히트맵은 같은 숫자로 표면 전체를 칠합니다. 넓이 보기에서는 흰색이 실제 크기, 빨강이 더 큼, 파랑이 더 작음입니다. 메르카토르는 극이 빨갛게 달아오르고, 정적 지도는 모두 지도 전체가 흰색입니다. 모양 보기에서는 빨강일수록 각이 많이 틀어진 곳입니다. 메르카토르는 어디나 흰색이고, 정적 지도는 가장자리로 갈수록 빨개집니다.

중앙 경선에서 17° 떨어진 곳의 모형 값입니다(넓이 배율 / 각 틀어짐 ω).

로빈슨과 빈켈 트리펠은 세계 전체를 반지름 1 지구본보다 조금 작게 그리므로 적도 근처 넓이 배율이 1보다 작습니다. 중요한 것은 지도 전체에서 얼마나 바뀌느냐입니다. 같은 범위에서 로빈슨은 0.82에서 1.19로, 메르카토르는 1에서 4로 바뀝니다.

넓이를 지키는 지도

요한 하인리히 람베르트는 1772년에 가장 단순한 정적 지도를 설명했습니다. 적도에 닿는 원통에서 위선마다 높이 sin φ 에 놓는 것입니다. 그러면 두 위선 사이 띠의 넓이가 지구 위와 지도 위에서 정확히 같습니다. 구와 그것을 둘러싼 원통은 어느 수평 조각에서나 넓이가 같다는 것을 아르키메데스가 이미 보였기 때문입니다. 대신 모양을 내줍니다. 극 근처에서는 위선이 몰려 나라마다 납작하게 눌립니다.

지도를 가로로 늘이고 세로로 같은 배율만큼 줄이면 모양이 맞는 위도를 고를 수 있습니다. 45°에서 모양이 맞게 하면 제임스 갈이 1855년에 설명하고 아르노 피터스가 1973년에 내세운 지도가 됩니다. 지금은 갈-피터스라고 부릅니다. 높고 좁아 보입니다. 적도에서 작은 원은 세로가 가로의 두 배인 타원이 되어 h = 1.414, k = 0.707입니다.

정적 지도가 꼭 직사각형일 필요는 없습니다. 사인곡선 도법은 모든 위선을 실제 길이로 지도 가운데에 맞춰 그리므로 경선이 사인 곡선이 되고 윤곽은 극에서 뾰족합니다. 몰바이데(1805)는 세계를 가로가 세로의 두 배인 타원에 넣고 북위·남위 40°44′에서 축척이 정확합니다. 함머(1892)는 람베르트 정적방위 지도의 반쪽을 가로로 두 배 늘려 위선이 굽습니다. 구드(1923)는 적도 부근의 사인곡선과 40°44′ 너머의 몰바이데를 잇고 바다에서 지도를 잘라, 대륙마다 자기 중앙 경선 위에서 괜찮은 모양을 지키게 했습니다. 이퀄 어스(2018)는 보스턴의 학교들이 갈-피터스를 고른 뒤, 로빈슨처럼 보이는 정적 지도로 만들어졌습니다.

모형에서 이 지도들에 넓이 히트맵을 켜 보세요. 지도 전체가 흰색으로 남습니다. 이어서 나라를 옮겨 보면 어디로 가든 지도 위 크기는 그대로이고 모양만 바뀝니다. 갈-피터스에서 적도로 간 그린란드는 높고 가늘고, 제자리에서는 낮고 넓지만, 어느 쪽이든 217만 km²를 차지합니다.

절충 지도

벽과 지도책에 걸린 세계 지도 대부분은 각도도 넓이도 정확하게 지키지 않습니다. 모든 종류의 오차를 적당히 두고 자연스러워 보이는 그림을 노립니다.

아마 가장 오래된 세계 지도 격자인 플라트 카레는 위도와 경도를 그대로 좌표로 씁니다. 모든 경선을 따라 잰 거리는 정확하고 모든 위선은 sec φ 배 늘어납니다. 위도·경도 격자 위의 자료에 자연스러운 형식이라 위성 영상과 기후 모형 자료가 이렇게 저장되는 일이 많습니다. 밀러 원통(1942)은 위도에 0.8을 곱해 메르카토르 식에 넣고 결과를 0.8로 다시 나눈 지도로, 극까지 들어갑니다. 갈의 평사 원통(1855)은 45°에서 지구를 자르며 영국 지도책에서 흔히 썼습니다.

아서 로빈슨은 1963년에 다른 길을 택했습니다. 식에서 출발하지 않고 위선 길이와 간격 표를 눈으로 고쳐 가며 대륙이 자연스러워 보일 때까지 맞춘 뒤, 지도를 그 표에 맞췄습니다. 랜드 맥널리가 이 지도를 썼고, 내셔널지오그래픽은 반 데르 그린텐을 66년 쓴 끝에 1988년에 로빈슨을 택했습니다. 1998년에는 오스발트 빈켈이 1921년에 만든, 플라트 카레와 에이토프 지도의 평균인 빈켈 트리펠로 바꿨습니다. 극 근처 땅을 덜 찌그러뜨리기 때문입니다. 두 지도 모두 넓이 배율이 적도의 약 0.8에서 60°의 약 1.2로 커지므로 그린란드는 여전히 크게 그려지지만, 열 배가 아니라 50퍼센트쯤입니다.

방위 지도와 지구 속의 등불

심사 도법은 진짜 그림자입니다. 지구 중심에 불을 두고 점마다 지구에 닿은 평면 위로 그림자를 던지게 합니다. 모든 대권은 중심을 지나는 평면 위에 있고, 불을 지나는 평면은 종이와 직선으로 만납니다. 그래서 심사 도법에서는 모든 대권이 직선이 되고, 대권이 아닌 선은 직선이 되지 않습니다. 대신 엄청나게 늘어납니다. 반구보다 좁은 곳만 들어가고, 모형은 중심에서 62°에서 멈추는데 그곳의 반지름이 이미 1.881 R, 1만 2천 km 가까이 됩니다. 스나이더는 이 도법이 가장 오래된 투영일 수 있으며 기원전 550년경 탈레스에게 돌린다고 적었습니다.

등불을 중심의 맞은편 점으로 옮기면 그림자가 평사 도법이 됩니다. 기원전 2세기 히파르코스가 알던 도법입니다. 정각이고, 더 강한 성질도 있습니다. 지구 위의 원은 크기와 상관없이 모두 지도에서 원이 됩니다. 가장자리로 갈수록 크기가 커져, 중심에서 90° 떨어진 곳은 폭이 두 배, 넓이가 네 배로 그려집니다. 극 평사 도법은 해빙 지도의 표준이며, NSIDC 는 얼음 가장자리의 왜곡이 작도록 70°에서 정확하게 격자를 맞췄습니다.

등불을 아주 멀리 두면 빛이 평행해집니다. 멀리 있는 카메라가 본 지구, 정사 도법입니다. 위성 높이에 두면 수직 투시 도법이 됩니다. 높이 조작으로 시점을 옮길 수 있습니다. 400 km 높이의 국제우주정거장에서는 반지름 2,200 km 원, 지구 표면의 3퍼센트가 보입니다. 20,200 km 의 GPS 궤도에서는 38퍼센트가 보입니다. GOES-East 같은 기상위성이 있는 35,786 km 정지궤도에서는 42퍼센트, 중심에서 81°까지 닿는 원이 보입니다. 달에서 보아도 49퍼센트뿐입니다.

방위 지도 둘은 그림자가 아닙니다. 정거방위 도법은 중심에서 모든 방향으로 잰 거리를 정확하게 지킵니다. 북극 중심 지도에서 북위 37.57°의 서울은 중심에서 5,830 km 떨어져 있고, 남극은 20,015 km 밖의 바깥 테두리가 됩니다. 국제연합 문장이 이 지도를 씁니다. 「출발 도시 중심」을 켜면 서울이 중심이 되어, 서울에서 모든 곳까지의 실제 거리와 방향을 보여 줍니다. 람베르트 정적방위 도법은 넓이를 지키며 세계 전체를 반지름 2 R 원 안에 넣습니다.

중위도를 위한 원뿔

중위도에서 동서로 긴 나라에는 원통보다 원뿔이 잘 맞습니다. 람베르트 정각원추(1772)는 각을 지키고, 표준위선 두 개를 따라 축척이 정확합니다. 미국 항공 지도는 표준위선 33°와 45°를 쓰고, 모형도 같습니다. 두 위선 사이에서는 축척이 조금 작고(35°에서 0.997), 바깥에서는 커집니다. 이 지도의 직선은 보통 비행 거리에서 대권에 가까워 조종사에게 알맞습니다.

알베르스 정적원추(1805)는 대신 넓이를 지킵니다. 스나이더는 미국 지질조사국이 본토 48개 주를 그릴 때 표준위선 29.5°와 45.5°를 쓴다고 적었고, 모형도 이 값을 씁니다. 알베르스 지도에서 북극이 점이 아니라 원호라는 점을 눈여겨보세요. 정거원추 도법은 경선을 실제 길이로 그려 남북 거리가 정확합니다. 프톨레마이오스가 서기 150년경 그 단순한 형태를 설명했습니다.

모형에서는 원뿔이 지구 위에 놓이고, 점들이 원뿔로 미끄러져 간 뒤, 180° 경선을 따라 잘린 원뿔이 평평한 부채꼴로 열립니다. 람베르트 원뿔은 남극 쪽 크기를 너무 키우므로 모형은 남위 38°에서 멈춥니다.

다면체를 펼치기

R. 버크민스터 풀러는 다른 질문을 던졌습니다. 위도 가운데도 없는 지도라면 어떨까. 『라이프』지는 1943년 그의 첫 다이맥시언 세계를 14면 육팔면체 오려 접기로 실었고, 그는 나중에 20면 정이십면체를 썼습니다. 그는 꼭짓점 12개가 모두 바다에 오도록 입체를 놓고, 대륙이 한 바다 속의 거의 끊기지 않은 섬 하나가 되도록 펼쳤습니다.

모형도 풀러의 꼭짓점 자리에 놓은 정이십면체로 같은 일을 합니다. 면마다 지구 중심에서 심사 투영으로 채우고(풀러는 간격이 더 고른 자기만의 변환을 썼습니다), 땅이 되도록 많이 이어지는 전개도를 찾습니다. 애니메이션에서 지구가 먼저 입체가 되고, 이어서 면마다 전개도의 제자리로 젖혀집니다. 첫 면에서 먼 면일수록 늦게 움직입니다. 모형은 꼭짓점 12개가 정이십면체를 이루는지, 전개도에서 면끼리 겹치지 않는지 확인합니다.

2016년 일본 굿디자인 대상을 받은 나루카와 하지메의 오사그래프는 그 현대판 후손입니다. 다면체를 거쳐 지구를 사방으로 이어 붙일 수 있는 직사각형으로 접습니다.

가장 짧은 길과 같은 방향 길

구 위에서 두 점 사이 가장 짧은 길은 대권입니다. 대권은 중심이 지구 중심인 원의 호입니다. 항정선은 모든 경선과 같은 각도로 만나는 길로, 나침반 방향 하나를 지키는 배가 따라가는 길입니다. 두 길은 적도와 경선 위에서만 같습니다.

서울과 뉴욕은 둘 다 북위 40° 근처입니다. 항정선은 거의 정동쪽, 88.5° 방향으로 13,715 km 를 갑니다. 대권은 북쪽에서 16° 동쪽으로 출발해 북극해 위 북위 77.4°까지 올라가며 길이는 11,053 km 이므로, 항정선이 24퍼센트 더 깁니다. 동아시아와 북아메리카를 잇는 항공편이 북쪽 멀리 올라가는 까닭입니다. 런던에서 뉴욕까지는 두 도시가 더 가까워 5,794 km 와 5,570 km, 4퍼센트쯤 차이입니다. 시드니에서 상파울루까지 대권은 남위 74.4°까지 내려가 남극 가까이 지나갑니다.

지도마다 두 길을 다르게 그리고, 실험 칸은 지금 지도에서 어느 쪽이 곧은지 알려 줍니다. 메르카토르에서는 항정선이 곧고 대권은 극 쪽으로 휩니다. 심사 도법에서는 대권이 곧습니다. 출발 도시를 중심으로 한 정거방위 도법에서는 대권이 중심에서 뻗는 직선입니다. 항해사는 두 해도를 함께 썼습니다. 심사 도법 해도에 대권을 긋고 그 위의 점들을 읽은 뒤, 그 점들을 메르카토르 해도로 옮겨 짧은 항정선을 이어 가며 배를 몰았습니다.

직접 확인할 수 있는 숫자

모형의 식은 스나이더가 풀어 놓은 예제로 투영 15가지를 대조했습니다. 메르카토르(중앙 경선 180°, 북위 35° 서경 75°에서 x = 1.8325957, y = 0.6528366)부터 몰바이데(x = 0.1788845, y = −0.9208758)까지입니다. 정적 지도마다 넓이 배율이 지도 전체에서 1과 0.002퍼센트 안으로 같은지, 정각 지도마다 ω 가 0.002°보다 작은지, 서울–뉴욕 대권이 심사 도법에서 직선인지도 확인합니다.

투영 고르는 법

모든 일에 가장 좋은 투영은 없으므로, 지도 제작자는 지도가 답해야 할 질문에서 시작합니다.

나침반으로 배를 모는 지도라면 메르카토르를 씁니다. 직선이 그대로 같은 방향 항로입니다. 가장 짧은 길을 찾는 지도라면 심사 도법이나 출발점을 중심으로 한 정거방위 도법을 씁니다. 나라별 인구, 숲, 강수량처럼 넓이에 퍼진 양을 비교한다면 정적 지도를 써야 합니다. 그렇지 않으면 그림이 양을 속입니다. 세계 전체라면 이퀄 어스, 몰바이데, 구드, 대륙 하나라면 람베르트 정적방위, 중위도 나라라면 알베르스입니다. 측량이나 큰 축척 지도처럼 좁은 곳의 모양을 지켜야 한다면 정각 지도를 씁니다. 남북으로 긴 지역은 횡축 메르카토르, 동서로 긴 지역은 람베르트 정각원추, 극 지역은 극 평사 도법입니다. 벽에 거는 일반 세계 지도라면 빈켈 트리펠이나 로빈슨 같은 절충 지도가 모든 오차를 적당히 둡니다.

크기 도구로 무엇이 걸려 있는지 금방 볼 수 있습니다. 아무 나라나 골라 적도에서 60°로 밀어 올리며 표를 보세요. 정적 지도는 「× 1.00」에 머무르고 메르카토르는 4까지 올라갑니다.

짧은 역사

심사 도법은 아마 가장 오래된 투영으로, 기원전 550년경 밀레토스의 탈레스에게 돌립니다. 히파르코스는 기원전 2세기에 평사 도법과 정사 도법을 알았습니다. 프톨레마이오스는 서기 100년경 티레의 마리노스가 플라트 카레를 썼다고 적었고, 서기 150년경 그의 『지리학』은 알려진 세계를 그리는 원추 지도를 설명했습니다.

게라르두스 메르카토르는 1569년 항해사를 위한 큰 세계 해도에서 자기 투영을 선보였습니다. 위선 간격은 아마 그림으로 정했을 것입니다. 영국의 에드워드 라이트가 그 수학을 풀어 1599년에 표로 펴냈습니다. 요한 하인리히 람베르트는 1772년에 정각원추, 횡축 메르카토르, 정적방위, 정적원통을 포함한 투영 일곱 가지를 내놓았습니다. 하인리히 알베르스는 원추를, 카를 몰바이데는 타원을 1805년에 발표했습니다. 제임스 갈은 1855년에 원통 지도 세 가지를 설명했습니다. 티소는 1859년과 1881년에 왜곡 분석을 펴냈습니다. 이어서 에른스트 함머의 지도가 1892년, 오스발트 빈켈의 트리펠이 1921년, 폴 구드의 호몰로사인이 1923년, 오즈번 밀러의 원통이 1942년에 나왔습니다.

20세기에는 지도 선택이 공개 논쟁이 되었습니다. 아르노 피터스는 1973년에 열대 지역을 공정하게 보여 준다며 자기 지도를 선보였고, 지도학자들은 그것이 갈의 1855년 지도이며 모양을 심하게 찌그러뜨린다고 지적했습니다. 1989년 미국 지도학 단체들은 출판사에 일반 목적으로 직사각형 세계 지도를 쓰지 말자고 권했습니다. 내셔널지오그래픽은 1988년부터 로빈슨을, 1998년부터 빈켈 트리펠을 썼습니다. 온라인 지도는 정사각형 타일 때문에 웹 메르카토르로 정해졌습니다. 2017년 보스턴 공립학교들이 메르카토르 옆에 갈-피터스 지도를 걸었고, 2018년 샤브리치, 패터슨, 예니가 이퀄 어스로 답했습니다.

모형에서 단순하게 한 것

지구는 평균 반지름 6,371.0088 km 인 구로 다룹니다. 실제 지구는 극 쪽이 0.3퍼센트쯤 더 납작하고, 측량용 투영은 타원체 식을 씁니다. 세계 지도 축척에서는 그 차이가 보이지 않습니다. 해안선과 나라 윤곽은 Natural Earth 1:1억 1천만 자료를 더 단순하게 한 것이고, 나라마다 가장 큰 땅덩이 하나만 씁니다. 미국은 알래스카와 하와이 없이 본토 48개 주, 캐나다는 북극 섬들 없이 본토, 노르웨이는 스발바르 없이 본토입니다.

투영마다 한 가지 설정으로 그립니다. 원추 지도는 스나이더가 미국에 쓴 위선을, 위성 시점은 출발 도시 중심을, 횡축 메르카토르는 사례가 바꾸지 않는 한 그리니치를 중앙 경선으로 씁니다. 정이십면체 지도는 풀러 자신의 변환 대신 심사 면을 씁니다. 메르카토르는 85°, 심사 도법은 중심에서 62°, 람베르트 원추는 남위 38°에서 멈춥니다. 지구본과 지도 사이 애니메이션은 점이 어디로 가는지 보여 주려는 것이고, 식을 정확히 따르는 것은 마지막 평면 지도뿐입니다.