地図投影法のしくみ：大きく見えるグリーンランド

この模型が示すもの

メルカトル図法でグリーンランドがアフリカと同じくらい大きく見えるのは、赤道から遠い地域の面積を拡大するためです。平面の地図では、地球儀のすべての性質を同時には保てません。図法を比べると、面積を保つものと角度を保つものの違いがわかります。

教室の世界地図では、グリーンランドがアフリカと同じくらいに見えます。地球儀では、巨大な大陸の隣にある比較的小さな島です。どちらも意図的に誤って描いているわけではありません。球を平らにするには、どこかを引き伸ばす必要があります。平面の地図はすべて、どこを伸ばすかを選んでいます。この展示では 25 種類の地図について、その選択を点ごとに示します。

模型は半径 1 の地球儀から始まります。「地球儀から地図へ」のスライダーで紙を巻きつけ、切り開いて平らにします。紙の形は図法によって異なります。メルカトル図法とその仲間では赤道に接する円筒、横メルカトル図法では横倒しにして 1 本の子午線に接する円筒です。円錐図法では中緯度を覆う円錐が扇形に開きます。方位図法では 1 点で地球儀に接する平面を使います。そのうち心射図法、平射図法、衛星からの眺めでは、小さなランプが投影に使う光の出どころを示します。最後の地図は地球儀を正二十面体に移し、20 枚の面を開きます。再生すると、地球儀から地図へ、そして地球儀へ戻る動きを繰り返します。

地球儀は 144 × 72 個の格子で覆われています。処理の遅いスマートフォンでは 72 × 36 個です。格子の各頂点を選んだ図法の式で配置し、海岸線の画像も格子とともに動かすため、大陸は式に従って伸びます。赤い点は半径 500 km のティソーの円です。緑色の形はドラッグできる国で、最初はグリーンランドです。操作欄の下にある実験パネルでは、ほかの 34 か国も選べます。茶色の輪郭は比較の基準として動かさないアフリカです。紫とオレンジの線は 2 都市を結ぶ経路で、最短経路と、コンパスの方位を一定に保つ経路です。隅のパネルには図法、保たれる性質、国の中心での面積倍率、地図上の面積、アフリカとの面積比が表示されます。

操作欄の下には、さらに詳しい機能があります。図法一覧では 25 種類すべてを解説し、何を保つかを示します。面積表では選んだ国の地図上の面積を全図法で比較し、小さい順に並べます。経路の道具は距離と方位を示します。平面の地図を押すと、その点のひずみを測れます。6 つの課題では条件に合う地図を探します。48 件の事例では、有名な地図、用途、面積の比較を 1 回の操作で再現できます。

地球儀を平らにできない理由

オレンジの皮を半分にして押し広げると裂けます。皮は同時に 2 方向へ曲がっていますが、紙はそうではありません。円筒や円錐は 1 方向だけに曲がっているため、紙を伸ばさずに巻いて作れます。球は違い、どの点でも、どの方向でも同じ曲率を持ちます。

Carl Friedrich Gauss は 1827 年、伸ばさずに曲げる限り、この曲率は曲面に保たれる性質だと証明しました。平面の曲率はゼロで、球の曲率はゼロではありません。どれほど曲げても一方を他方にはできません。平面の世界地図では必ず、ある距離を伸ばし、別の距離を縮める必要があります。

地図ができるのは、何を守るかを選ぶことです。ごく小さな範囲の角度を正しく保ち、地球儀上の小さな円を地図でも円にするものを正角図法といいます。面積を正しく保ち、各国が本来の割合で紙を占めるものは正積図法です。特定の線に沿った距離や、ある 1 点からの距離を正しく保つこともできます。すべての大円を直線にすることもできます。しかし、すべてを同時には実現できません。特に、正角でありながら正積でもある地図は存在しません。図法一覧の印は、それぞれが何を選んだかを示します。

地球儀から平面の地図へ

多くの図法は、実際の影ではありません。緯度 φ と経度 λ を受け取り、紙の上の点 x, y を返す式です。それでも、地球儀に紙を巻くという昔からの説明は役立ちます。紙と地球儀が接する場所では縮尺が正しい、という地図の性質がわかるためです。

赤道に巻いた円筒は、赤道に沿って地球儀に接します。広げると長方形になり、子午線は等間隔の縦の直線、緯線は横の直線になります。すべての円筒図法はこの格子を共有し、異なるのは緯線の間隔だけです。ln tan(45° + φ/2) に従って並べるとメルカトル図法、等間隔なら正距円筒図法、sin φ に従って並べるとランベルト正積円筒図法になります。

ランプシェードのように地球儀を覆う円錐は、1 本の緯線で接するか、2 本の緯線で交わります。広げると扇形になり、子午線は頂点に集まる直線、緯線は円弧になります。円錐図法は、アメリカ合衆国、中国、ヨーロッパのように中緯度で東西に広がる地域に適しています。

1 点で地球儀に接する平面を使うのが方位図法です。どれも中心からの方位を正しく保ちます。ここでは 3 種類が実際の透視投影です。ランプを地球儀の中心に置けば心射図法、中心の反対側の点に置けば平射図法です。ランプを無限遠に置けば正射図法、衛星の高さに置けば垂直透視図法になります。正距方位図法とランベルト正積方位図法は同じ平面を使いますが、光ではなく式で各点を配置します。

このどれにも属さない地図もあります。サンソン図法、モルワイデ図法、ロビンソン図法、イコールアース図法などの擬円筒図法では、緯線は直線のまま、子午線が極に向かって内側へ曲がります。グード・ホモロサイン図法は海の部分で地図を切り開きます。正二十面体の地図は地球儀を 20 枚の三角形で包み、それを展開します。この模型では擬円筒図法にも円筒のアニメーションを使い、紙を開くにつれて子午線が曲がる様子を見せます。

角度を保ち、面積を手放すメルカトル図法

Mercator が求めたのは、船がコンパスの方位を一定にして進む等角航路を、直線として描ける海図でした。航海士は 2 つの港に定規を当て、任意の子午線との角度を読み、その方位へ進めます。

円筒図法の地図では子午線は平行ですが、地球儀では極で集まります。緯度 φ における子午線間の実際の距離は赤道での cos φ 倍なのに、地図では変わりません。そのため緯線は東西に 1 / cos φ、つまり φ の正割だけ伸びます。小さな形をゆがめないよう、メルカトル図法は南北にもまったく同じ倍率で伸ばします。緯線の間隔はこの細かな伸びの積み重ねで、y = R ln tan(45° + φ/2) となります。

模型で数値を確かめられます。緯度 60° の緯線は赤道から地球半径の 1.317 倍、75° では 2.028 倍の高さに来ます。85° ではすでに 3.131 倍で、緯線の長さは実際の 11.47 倍です。極は無限遠になるため、この地図は 85° で止めています。

両方向に sec φ 倍伸ばすため、面積は sec² φ 倍になります。30° では 1.33 倍、ソウルの緯度 37.57° では 1.59 倍、60° ではちょうど 4 倍、75° では 14.9 倍です。模型の赤いティソーの円は円のままで、これが正角という意味です。ただし 60° の円は赤道の円の 2 倍の幅になり、面積は 4 倍になります。

Web メルカトル図法と横メルカトル図法

スマートフォンの地図は、ほぼメルカトル図法です。Web 地図は、縦横がちょうど等しくなる南北 85.0511° で世界を切ります。正方形の世界は 4 枚の正方形タイルに分けられ、それぞれをさらに 4 枚に分けることを拡大率ごとに繰り返せます。Google の資料はこの仕組みを説明しており、図法は EPSG:3857「擬似メルカトル」として登録されています。「擬似」と呼ぶのは、少し扁平な地球上で測った緯度を、そのまま球の式に入れるためです。実際の楕円体では厳密な正角ではなく、測量では重要ですが、普通に使うとほぼ気づきません。この模型の球では、切る緯度以外は同じ地図です。

円筒を横倒しにし、赤道ではなく 1 本の子午線に接するようにすると横メルカトル図法になります。正角という性質は変わらず、中央子午線上の縮尺が正しく、そこから離れるとゆっくり大きくなります。中央子午線から 3° 以内では縮尺誤差は 1,000 分の 1.4 未満です。そのためユニバーサル横メルカトル座標系は世界を幅 6° の 60 帯に分け、帯ごとに横メルカトル図法を使います。中央子午線の縮尺を 0.9996 に縮め、誤差を帯全体に分散させます。韓国の国家座標系 EPSG:5179 は、同じ 0.9996 を使い、東経 127.5° を中心とする 1 つの横メルカトル図法です。模型では全世界を表示するため、中央子午線から遠く離れた場所が極端に伸びる様子がわかります。

グリーンランド、アフリカ、国の本当の大きさ

グリーンランドの面積は 217 万 km² です。国連人口統計年鑑によると、アフリカの陸地面積は 2,960 万 km² で、その 13.7 倍です。グリーンランドは北緯約 72° にあり、メルカトル図法では面積が 10 倍以上になります。アフリカは赤道をまたぎ、面積はほとんど拡大されません。模型のメルカトル地図では、グリーンランドは紙の上で約 3,580 万 km²、アフリカは 3,270 万 km² を占め、グリーンランドのほうが少し大きくなります。

グリーンランドを赤道へ動かすと、地図上の面積は本来の約 217 万 km² まで小さくなります。陸地は変わらず、地図上の位置だけが変わったのです。破線の輪郭は元の位置を示します。一覧のどの国でも同じ比較ができます。面積の道具の下の表には、現在の位置にある国を 25 種類すべての図法で描いた面積が、小さい順に並びます。

模型の輪郭から得られる比較の例です。Natural Earth 1:110m を使い、各国で最も大きい陸塊だけを対象にしています。

各輪郭の面積は半径 6,371.0088 km の球で計算します。海岸線の簡略化によって合計が約 1 パーセント変わるため、模型でのアフリカはグリーンランドの 13.5 倍で、公式の 13.7 倍とは異なります。

この錯覚は東西ではなく南北に生じます。メルカトル図法の伸びは緯度だけで決まるため、同じ緯度にある 2 か国は公平に比較できます。ヨーロッパ、北アメリカ、北アジアは実際より大きく、アフリカ、南アメリカ、インド、東南アジアは小さく見えます。教室にどの地図を掲げるかという長年の議論は、この違いをめぐるものです。

ティソーの円でひずみを測る

フランスの数学者 Nicolas Auguste Tissot は 1859 年と 1881 年、どの図法でも地球儀上の無限小の円が地図上では楕円になると示しました。この楕円をティソーの指示楕円といい、大きさと形がその点のひずみを表します。模型では、ティソーの円に近い振る舞いをする半径 500 km の円を、7 つの緯度に描きます。

楕円は 4 つの数値で表せます。実験パネルの測定機能は、押した点についてその値を示します。子午線方向の縮尺は h で、1 なら南北距離が正しく、2 なら 2 倍です。緯線方向の縮尺は k です。両方向のなす角のずれを補正した積が面積倍率 s です。角度の最大変化 ω は形のひずみを測り、正角図法では 0 です。式は Snyder の資料にあり、模型では北と東へそれぞれ 10 万分の 1 ラジアン動かし、投影後の点の移動を測って計算します。

ヒートマップは同じ数値を面全体に色で示します。面積表示では、白は本来の面積、赤は拡大、青は縮小です。メルカトル図法では極付近が赤くなり、正積図法では地図全体が白のままです。形状表示では、赤いほど角度が大きく変わります。メルカトル図法は全体が白、正積図法は周辺ほど赤くなります。

中央子午線から 17° 離れた場所について、模型が示す 3 つの緯度での値です。面積倍率と角度変化 ω を並べています。

ロビンソン図法とヴィンケル第三 図法では、半径 1 の地球儀に対して世界全体を少し小さく描くため、赤道付近の面積倍率は 1 未満です。重要なのは地図全体でどの程度変わるかです。同じ緯度の範囲で、ロビンソン図法は 0.82 から 1.19、メルカトル図法は 1 から 4 まで変わります。

面積を保つ地図

Johann Heinrich Lambert は 1772 年、最も単純な正積図法を記述しました。赤道に接する円筒上で、緯線を高さ sin φ に置きます。2 本の緯線に挟まれた帯の面積は、地球儀と地図でまったく同じになります。球とそれを囲む円筒は、同じ高さで水平に切り出した各帯の面積が等しいと、すでに Archimedes が示していたためです。その代わりに形が変わり、極付近では緯線が密集して国が平たくつぶれます。

地図を横に伸ばし、同じ倍率で縦に縮めると、形を正しくする緯度を選べます。それを 45° にすると、James Gall が 1855 年に記述し、Arno Peters が 1973 年に広めた、現在のゴール＝ピーターズ図法になります。縦長で幅が狭く、赤道の小さな円は高さが幅の 2 倍の楕円になります。h = 1.414、k = 0.707 です。

正積図法は長方形とは限りません。サンソン図法は各緯線を実際の長さで中央に配置するため、子午線は正弦曲線になり、極で輪郭がとがります。モルワイデ図法（1805 年）は世界を縦横比 1 対 2 の楕円に収め、南北 40°44′ で縮尺が正しくなります。ハンメル図法（1892 年）はランベルト正積方位図法の半分を横に 2 倍に伸ばし、緯線が曲がります。グード図法（1923 年）は赤道付近のサンソン図法と 40°44′ より極側のモルワイデ図法をつなぎ、海で切り開きます。各大陸に中央子午線を設け、形を比較的よく保つためです。イコールアース図法（2018 年）は、ボストンの学校がゴール＝ピーターズ図法を選んだ後、ロビンソン図法に似た正積図法として設計されました。

模型でこれらの面積ヒートマップを表示すると、地図全体が白のままです。国を動かしても面積は変わらず、変わるのは形だけです。ゴール＝ピーターズ図法のグリーンランドは赤道では縦長、本来の場所では横長ですが、どちらも面積は 217 万 km² です。

折衷図法

壁掛け地図や地図帳の多くは、角度も面積も厳密には保ちません。どの種類の誤差も適度に抑え、自然に見える姿を目指します。

最古の世界地図の格子かもしれない正距円筒図法は、緯度と経度をそのまま座標にします。すべての子午線に沿った距離が正しく、各緯線は sec φ 倍になります。緯度経度の格子データを自然に表せる形式なので、衛星画像や気候モデルはよくこの形で保存されます。ミラー円筒図法（1942 年）は緯度を 0.8 倍してメルカトル図法を適用し、結果を 0.8 で割り戻すため、極まで収まります。ゴール平射円筒図法（1855 年）は 45° で地球儀と交わり、イギリスの地図帳でよく使われました。

Arthur Robinson は 1963 年、異なる方法を選びました。式から始めず、緯線の長さと間隔の表を目で調整して大陸が自然に見えるようにし、その表に地図を合わせました。Rand McNally が使用し、National Geographic は 66 年間使ったファン・デル・グリンテン図法に代えて 1988 年に採用しました。1998 年には、Oswald Winkel が 1921 年に考案した、正距円筒図法とエイトフ図法を平均するヴィンケル第三 図法へ移りました。極付近の陸地の形がより保たれます。両図法では面積倍率が赤道の約 0.8 から 60° の約 1.2 へ増えます。グリーンランドはまだ大きすぎますが、10 倍ではなく約 50 パーセントの拡大です。

方位図法と地球儀の中のランプ

心射図法は実際の影です。地球儀の中心に光を置き、接する平面に各点を投影します。大円はすべて中心を通る平面上にあり、光を通る平面と投影面の交線は直線です。そのため心射図法では大円が直線になり、直線になるのは大円だけです。代わりに極端な伸びが生じ、半球より狭い範囲しか収まりません。模型は中心から 62° で止めますが、そこですでに半径は 1.881 R、ほぼ 12,000 km です。Snyder によれば最古の図法かもしれず、紀元前約 550 年の Thales に帰されます。

ランプを中心の反対側へ移すと、紀元前 2 世紀の Hipparchus が知っていた平射図法になります。正角であり、さらに地球儀上のどんな大きさの円も地図では円になるという性質があります。周辺ほど大きくなり、中心から 90° では幅が 2 倍、面積が 4 倍です。極を中心とする平射図法は海氷図で標準的に使われ、NSIDC は氷縁付近のひずみを抑えるため、70° で縮尺が正しくなる格子を使います。

ランプを遠くに置いて光を平行にすると、遠方のカメラから見た地球と同じ正射図法です。衛星の高さに置けば垂直透視図法になります。高さスライダーで視点が動きます。高度 400 km の国際宇宙ステーションからは半径 2,200 km の円盤、地球の 3 パーセントが見えます。20,200 km の GPS 軌道からは 38 パーセント、GOES-East などの気象衛星がある 35,786 km の静止軌道からは 42 パーセントで、中心から 81° までの円盤です。月からでも見えるのは 49 パーセントだけです。

影を使わない方位図法も 2 種類あります。正距方位図法は、中心からあらゆる方向への距離を正しく保ちます。北極を中心にすると、北緯 37.57° のソウルは中心から 5,830 km、南極は 20,015 km 離れた外周になります。国連の紋章はこの地図です。「出発都市を中心に」を有効にすると、中心がソウルになり、世界各地への距離と方位が正しく示されます。ランベルト正積方位図法は面積を保ち、半径 2 R の円に全世界を収めます。

中緯度に合う円錐

中緯度で東西に長い国には、円筒より円錐がよく合います。ランベルト正角円錐図法（1772 年）は角度を保ち、2 本の標準緯線で縮尺が正しくなります。アメリカの航空図とこの模型では、標準緯線は 33° と 45° です。その間では縮尺がやや小さく、35° で 0.997 となり、外側では大きくなります。一般的な飛行距離の範囲では直線が大円に近いため、航空に適しています。

アルベルス正積円錐図法（1805 年）は面積を保ちます。Snyder は、アメリカ地質調査所が 48 州の地図に使う標準緯線を 29.5° と 45.5° としており、模型もそれに従います。アルベルス図法の北極は点ではなく円弧です。正距円錐図法は子午線を実際の長さで描くため南北距離が正しく、Ptolemy は西暦約 150 年に単純な形を記述しました。

模型では地球儀を覆う円錐に点が移り、経度 180° の子午線で切って平らな扇形に開きます。ランベルトの円錐は南極付近の面積を極端に拡大するため、模型は南緯 38° で止めています。

多面体を開く

R. Buckminster Fuller は、上下も中心もない地図は作れないかと考えました。Life 誌は 1943 年、14 面の立方八面体を切り抜いて作る最初のダイマクション世界地図を掲載しました。後には 20 面の正二十面体を使いました。12 個の頂点がすべて海に来るよう配置し、大陸が 1 つの海の中でほぼつながった島になるよう展開しました。

模型も Fuller と同じ頂点位置の正二十面体を使います。地球儀の中心からの心射図法で各面を埋め、陸地をできるだけつなぐ展開図を求めます。Fuller 本人は、間隔がもっと均等になる独自の変換を使いました。アニメーションでは、地球儀がまず多面体になり、各面が展開図の位置へ開きます。最初の面から遠い面ほど遅れて動きます。模型は 12 個の頂点が正二十面体を作り、展開した面が重ならないことを確認しています。

Hajime Narukawa のオーサグラフは現代の後継です。2016 年の日本のグッドデザイン大賞を受賞し、地球儀を多面体を経て、どの方向にも敷き詰められる長方形へ移します。

最短経路と一定の方位

球の 2 点間の最短経路は大円の弧です。大円とは地球の中心を中心とする円です。等角航路、別名ロクソドロームは、すべての子午線と同じ角度で交わる経路で、コンパスの方位を一定にする船はこれを進みます。両者が一致するのは赤道上か、同じ子午線上だけです。

ソウルとニューヨークはどちらも北緯 40° 付近です。等角航路は方位 88.5° でほぼ真東へ進み、距離は 13,715 km です。大円航路は北から東へ 16° の方向に出発し、北極圏で北緯 77.4° まで上がり、長さは 11,053 km です。等角航路のほうが 24 パーセント長くなります。東アジアと北アメリカを結ぶ飛行機が大きく北へ向かう理由です。ロンドンからニューヨークでは、都市間が近いため差は小さく、5,794 km と 5,570 km、約 4 パーセントです。シドニーからサンパウロへの大円航路は南極に近い南緯 74.4° まで下がります。

描かれ方は図法によって変わり、実験パネルは現在の地図でどちらが直線になるかを示します。メルカトル図法では等角航路が直線、大円航路は極側へ曲がります。心射図法では大円が直線です。出発都市を中心にした正距方位図法でも、大円は中心からの直線になります。航海士は両方の海図を組み合わせました。心射図法の海図に大円を引き、途中の点をメルカトル海図へ写し、点から点へ短い等角航路をつないで進みました。

確かめられる数値

模型の式は、Snyder の 15 図法の計算例と照合しています。メルカトル図法では中央子午線 180°、北緯 35°、西経 75° に対して x = 1.8325957、y = 0.6528366、モルワイデ図法では x = 0.1788845、y = −0.9208758 です。また、すべての正積図法で地図全体の面積倍率が 1 から 0.002 パーセント以内、すべての正角図法で ω が 0.002° 未満に収まること、ソウルとニューヨークを結ぶ大円が心射図法で直線になることも確かめています。

図法の選び方

何にでも最適な図法はないため、地図制作者はまず、地図で何を答えたいかを考えます。

コンパスで進むためなら、直線が一定方位になるメルカトル図法です。最短経路を探すなら心射図法か、出発点を中心とした正距方位図法です。国別の人口、森林、降水量など、地域に広がる量を比較するなら正積図法を使わないと、量の印象が誤ります。世界全体ならイコールアース、モルワイデ、グード、大陸ならランベルト正積方位、中緯度の国ならアルベルスが候補です。測量や大縮尺地図で局所的な形を保つなら正角図法を選び、南北に長い地域では横メルカトル、東西に長ければランベルト正角円錐、極付近なら極平射図法を使います。壁に掛ける一般的な世界地図には、ヴィンケル第三 やロビンソンのように各種の誤差を適度に抑える折衷図法が使えます。

面積の道具で違いをすぐに確かめられます。国を選び、赤道から 60° へ動かすと、表の正積図法は「× 1.00」のままですが、メルカトル図法は 4 に上がります。

短い歴史

心射図法は最古の図法かもしれず、紀元前約 550 年のミレトスの Thales に帰されます。Hipparchus は紀元前 2 世紀に平射図法と正射図法を知っていました。Ptolemy は正距円筒図法を西暦約 100 年のティルスの Marinus に帰し、西暦約 150 年の『地理学』では既知の世界を描く円錐図法を記述しました。

Gerardus Mercator は 1569 年、航海士向けの大型世界地図で図法を発表しました。緯線の間隔は、おそらく作図によって決めたと考えられます。イングランドの Edward Wright は数学を解き、1599 年に表を公表しました。Johann Heinrich Lambert は 1772 年、正角円錐、横メルカトル、正積方位、正積円筒など 7 図法を導入しました。1805 年には Heinrich Albers が円錐図法、Carl Mollweide が楕円の地図を発表しました。James Gall は 1855 年に 3 種類の円筒図法を記述しました。Tissot は 1859 年と 1881 年にひずみの解析を発表し、1892 年に Ernst Hammer、1921 年に Oswald Winkel の第 3 図法、1923 年に Paul Goode のホモロサイン図法、1942 年に Osborn Miller の円筒図法が続きました。

20 世紀には図法の選択が社会的な論争になりました。Arno Peters は 1973 年、熱帯をより公平に描く地図として発表しましたが、地図学者はそれが Gall の 1855 年の地図であり、形を大きくゆがめると指摘しました。1989 年、アメリカの地図学団体は、一般向けの地図で長方形の世界地図を使わないよう出版社に求めました。National Geographic は 1988 年からロビンソン、1998 年からヴィンケル第三 図法を使いました。オンライン地図は正方形のタイルに適した Web メルカトルに落ち着きました。2017 年にボストンの公立学校はメルカトルの隣にゴール＝ピーターズ地図を掲げ、2018 年には Šavrič、Patterson、Jenny がイコールアース図法で応えました。

模型で簡略化したこと

地球は平均半径 6,371.0088 km の球として扱います。実際の地球は極方向に約 0.3 パーセント扁平で、測量用の投影は楕円体の式を使いますが、世界地図の縮尺では差は見えません。海岸線と国境は Natural Earth の 1:110 million をさらに簡略化したものです。各国は最大の陸塊だけで表し、アメリカはアラスカとハワイを除く 48 州、カナダは北極諸島を除く本土、ノルウェーはスバールバル諸島を除く本土です。

各図法のパラメーターは 1 組です。円錐図法は Snyder のアメリカ向け標準緯線を使い、衛星の眺めは出発都市を中心にします。横メルカトルは事例で変更しない限りグリニッジを中央子午線とします。正二十面体では Fuller 独自の変換でなく心射図法を使います。メルカトルは 85°、心射は中心から 62°、ランベルトの円錐は南緯 38° で止めます。地球儀と地図の間のアニメーションは点の行き先を示すもので、式に厳密に従うのは最後の平面地図だけです。