食塩が立方体になるしくみと結晶の単位格子

食塩の粒が小さな立方体になるのはなぜですか？

食塩が立方体になるのは、ナトリウムイオンと塩化物イオンが規則的な結晶構造をつくり、直角に交わる特定の面に沿って割れるためです。ガラスにはこのような長距離の繰り返しがなく、曲面に沿って割れます。結晶の単位格子は、原子の配置と目に見える粒の形を結び付けます。

黒い皿に食塩を少し出し、虫眼鏡で見ると、多くの粒に平らな面と直角の角があります。誰かが切りそろえたわけではありません。ナトリウムと塩素の原子の並び方が何度も繰り返され、目に見える大きさの形になっています。

この展示では、鉱物便覧、半導体データベース、結晶構造の原著論文の格子定数から、41 種類の結晶と 14 種類のブラベー格子を球と棒で組み立てます。単位格子 1 個、最大 10 × 10 × 10 個の格子を積んだブロック、成長した結晶の外形という 3 段階で観察できます。同じ画面でミラー指数の面を切り、原子の隣接数を数え、格子面に X 線を当て、鉄を加熱して格子を変化させ、完全結晶に欠陥を入れられます。出典は末尾に示します。

結晶は同じ箱の繰り返しです

結晶は、原子の配列が 3 方向に繰り返される固体です。箱 1 個とその中身が分かれば、全体を記述できます。箱を辺の長さだけずらして複製し、残りの 2 方向にも繰り返すと結晶全体になります。この箱が単位格子で、辺の長さを格子定数と呼びます。

結晶の完全な記述には 2 つの要素が必要です。格子は箱の繰り返し位置を示す点の配列です。基底は各点に置かれる中身で、銅なら原子 1 個、食塩ならイオン 2 個、砂糖なら分子全体です。格子が同じでも基底を変えると別の物質になります。岩塩、ペリクレース、方鉛鉱は同じ格子と同じ種類の基底を持ち、イオンだけが異なります。

立方晶の単位格子は 1 つの長さで表せます。食塩は a = 0.564 nm、ダイヤモンドは a = 0.357 nm です。六方晶では 2 つ必要です。底面は角が 120° と 60°、辺が a のひし形で、高さが c です。黒鉛は a = 0.2464 nm、c = 0.6711 nm です。対称性が最も低い格子では、辺の長さ 3 つと角度 3 つの計 6 つが必要です。

数値欄には、結晶系、ブラベー格子の記号、空間群が表示されます。空間群は格子の対称性に基底の対称性を加えたものです。全部で 230 種類あり、このモデルでは石英の P3₂21、方解石とコランダムの R3̄c、黄鉄鉱の Pa3̄ などの対称操作を使い、公表構造の少数の座標から全原子を配置します。

点を繰り返す 14 通りの方法

1850 年、Auguste Bravais は、すべての点で周囲の様子が同じになる空間内の点配列が 14 通りしかないことを示しました。「ブラベー格子」スライダーか操作部の下の表で切り替えられます。格子点だけを描き、頂点は灰色、体心は赤、面心は青、底心は緑で示します。

14 種類の格子は箱の形によって 7 つの結晶系に分類されます。

• 立方晶系：3 辺が等しく、すべての角が直角です。単純、体心、面心があります。
• 正方晶系：底面が正方形で、高さが異なります。単純と体心があります。
• 斜方晶系：3 辺が異なり、すべての角が直角です。単純、底心、体心、面心があります。
• 六方晶系：等しい 2 辺が 120° で交わり、第 3 の辺は両方に垂直です。
• 三方晶系：菱面体格子で、3 辺が等しく、3 つの角も等しいものの 90° ではありません。
• 単斜晶系：1 つの角が 90° ではありません。単純と底心があります。
• 三斜晶系：等しい辺も直角もありません。

これ以上ないのは、一部の心の置き方が新しい格子をつくらないからです。たとえば面心正方格子は、より小さい体心正方格子として描き直せるので、重複して数えません。「軸」と「角度」で箱を伸ばしたり傾けたりすると、格子同士の関係が分かります。

5 回対称がないのはなぜでしょうか。正五角形で床を埋めようとすると隙間ができます。格子でも同様で、並進による繰り返しと両立するのは、1 回転を 1、2、3、4、6 等分する回転だけです。Dan Shechtman が 1982 年に観察した 10 回対称の回折像が意外だったのはこのためです。それは秩序があっても周期的には繰り返さない準結晶で、2011 年のノーベル化学賞につながりました。

単位格子から粒、そして石へ

画面下のボタンで 3 段階の表示を切り替えます。

単位格子では、単位格子 1 個を球と棒で示します。頂点、辺、面の原子は隣の格子と共有しますが、球全体を描きます。そのため食塩では 27 個のイオンが見えても、この格子に属するのは 8 個分です。

ブロックでは、各辺に沿って格子を積みます。銅や食塩の小さい格子なら最大 10 × 10 × 10 個、つまり 1000 個で、食塩では 9,000 個以上のイオンになります。各原子は同じ球の複製で、位置と色を個別に指定して一括描画するため、大きなブロックも携帯電話で滑らかに動きます。1 格子に 240 個の原子を持つ C₆₀ などは、上限を小さくしています。

外形では、成長した結晶の形を示します。実際の結晶は格子面に沿う平面に囲まれ、成長の遅い面ほど大きく残ります。食塩は {100} 面の立方体、ダイヤモンドはよく {111} 面の八面体になります。石英は菱面体面で端を閉じた六角柱、方解石は {104} 面の菱面体に割れ、黄鉄鉱は五角形の面 12 枚を持つ五角十二面体になります。モデルは大きな箱を各結晶の面で切り、Handbook of Mineralogy にある典型的な晶癖に合うよう、各面の距離を設定しています。

外形の数値欄には、幅 1 mm の粒に入る単位格子数を示します。食塩なら約 5.6 × 10¹⁸ 個で、すべて同じ向きに並びます。小さな箱の形が手で持てる結晶の形になるのは、この膨大な繰り返しによります。

岩塩は 2 つの格子が重なった構造です

食塩の単位格子では、ナトリウムイオンが 8 頂点と 6 面の中心にあります。これを面心立方格子と呼びます。塩化物イオンは 12 辺の中点と箱の中心にあります。塩化物イオンだけを見ても面心立方格子で、辺の半分だけずれています。食塩は各イオンの面心立方格子が互いに入り込んだ構造です。

どの辺でもナトリウム、塩素、ナトリウムと交互に並びます。各ナトリウムの最近接には、3 軸の両方向に計 6 個の塩化物イオンがあり、塩化物イオンの最近接もナトリウム 6 個です。距離は辺の半分の 0.282 nm です。Shannon の表では、この 6 配位で Na⁺ の半径は 102 pm、Cl⁻ は 181 pm です。和は 283 pm なので、「球の大きさ」を 100% にしたときのように、辺に沿って接します。

食塩モデルの棒は、電子を共有する意味での結合ではありません。食塩は正負イオン間の引力で結び付き、棒は隣接関係だけを示します。シルビン (KCl)、ペリクレース (MgO)、方鉛鉱 (PbS) も同じ配置なので、岩塩型構造と呼ばれます。

隣にはいくつ入りますか

「隣接原子」を有効にすると、中心原子の最近接原子を結んだ配位多面体が表示されます。4 個なら四面体、6 個なら八面体、8 個なら立方体、12 個なら立方八面体です。

Linus Pauling は 1929 年、イオン結晶について簡単な規則を示しました。陽イオンは通常、周囲の陰イオンより小さく、隙間の中で不安定にならない範囲で陰イオンに囲まれます。半径比 r₊/r₋ がその数を決めます。

半径には、配位数ごとの値を載せた Shannon の 1976 年の表を使っています。セシウムは塩化物イオン 8 個を周囲に置ける大きさなので、CsCl は NaCl と違い、一方のイオンが頂点、他方が中心にあります。蛍石ではカルシウムの周囲にフッ化物イオン 8 個、フッ化物イオンの周囲にカルシウム 4 個があり、CaF₂ の式に対応します。

この規則は目安で、絶対ではありません。KCl の半径比は 0.762 で 8 配位を予測しますが、シルビンは食塩と同じ 6 配位です。コランダム Al₂O₃ は 0.382 なので 4 配位を予測しますが、実際にはアルミニウムの周囲に酸素 6 個の八面体があります。モデルでは実測構造と比を並べ、規則が当てはまる場合と外れる場合を示します。

金属は同じ球を積んだ構造です

純金属は 1 種類の原子からなる単純な結晶で、結晶全体に共有された電子が結び付けます。原子を同じ球と見なすと、効率のよい積み方は限られます。

面心立方構造（銅、アルミニウム、金、γ 鉄）では各原子が 12 個に接し、充填率は 74.05%、π/√18 です。Johannes Kepler は 1611 年、等しい球をこれ以上密に詰められないと予想しました。計算機で検証した証明は 2017 年に公表されました。

六方最密構造（マグネシウム、チタン）は、面心立方構造と同じ球の層を ABCABC ではなく ABAB に積みます。c/a が 1.633 なら同じ 74.05% です。マグネシウムは c/a = 1.624 と近い値です。亜鉛は c 方向に伸び、c/a = 1.856 なので、同じ層に近い隣接原子 6 個、離れた位置に 6 個があります。

体心立方構造（α 鉄、タングステン）では 8 個がつくる立方体の中心に原子があり、充填率は 68.02%、π√3/8 で、最密充填より少し小さくなります。

単純立方構造は 52.36%、π/6 にとどまります。常圧でこの構造をとる元素はポロニウムだけです。

銅と α 鉄で「隣接原子」を切り替えると、12 配位の立方八面体と 8 配位の立方体を比較できます。数値欄の充填率は接する球から計算し、銅は 74%、鉄は 68% と表示されます。

金属の曲げやすさも格子に依存します。面心立方金属はすべり面とすべり方向の容易な組み合わせが 12 通りあり、銅、アルミニウム、金は曲げたり、線に引いたり、薄く打ち延ばしたりできます。マグネシウムなどの六方晶金属は室温での組み合わせが少なく、加工しにくくなります。

ダイヤモンドと黒鉛は同じ原子で結合が違います

どちらも純粋な炭素ですが、片方は最も硬い鉱物、もう片方は筆記できるほど軟らかい物質です。炭素原子の外側の電子 4 個の使い方が異なります。

ダイヤモンドでは各炭素が長さ 0.154 nm の共有結合を 4 本つくり、隣接原子は四面体の頂点にあります。立方単位格子は炭素の面心立方格子と、それを体対角線の 4 分の 1 だけずらした格子からなります。1 格子に属する原子は 8 個です。強い結合が全方向を向くので、原子を押し離しやすい方向がありません。接する球の充填率はわずか 34% で、共有結合の網目は密な詰め込みより結合そのものに支えられていると分かります。

黒鉛では各炭素が同一平面の隣接原子と長さ 0.142 nm の結合を 3 本つくり、六角形の平らなシートになります。隣の層までは 0.3355 nm と結合長の 2 倍以上あり、層間には弱い力しか働きません。積み方は ABAB で、1 層おきに位置が一致するため、高さ c は隙間 2 個分の 0.6711 nm です。黒鉛のオレンジ色の印は、原子とその真上の原子の間の隙間を示します。

1 層だけならグラフェンです。2004 年に Andre Geim と Konstantin Novoselov が粘着テープで黒鉛から剥がし、2010 年のノーベル物理学賞を受賞しました。グラフェンの重さは体積でなく面積当たりで表します。面積 (√3/2)a² の格子に原子 2 個として、モデルは 1 平方メートル当たり 0.761 mg と計算します。ノーベル委員会の 0.77 mg に近い値です。

炭素には別の代表的な形もあります。1985 年発見の C₆₀ は、炭素 60 個が五角形 12 枚と六角形 20 枚からなるサッカーボール型の閉じたかごをつくります。固体ではかごが面心立方に積まれ、a = 1.417 nm と銅の約 4 倍です。モデルは各かごの 60 原子をすべて描きます。実物の分子は室温でその場で回転し、249 K 未満で向きが固定されます。

半導体のシリコンとその仲間

シリコンは a = 0.5431 nm のダイヤモンド型構造です。最も精密に測られた結晶で、CODATA の格子定数は 543.102 0511 pm です。この精度を利用し、シリコン 28 の研磨球の原子を数えてアボガドロ定数を求めました。球の質量、体積、格子の大きさを測り、密度の式を逆に使うと 1 モルの原子数が分かります。

ゲルマニウムも同じ構造で a = 0.5658 nm です。1947 年の最初のトランジスタにはその結晶が使われました。交互の格子位置を別の元素に置き換えると、ヒ化ガリウム (GaAs) や炭化ケイ素 (SiC) の閃亜鉛鉱型構造となり、レーザー、高速無線チップ、電力用電子機器に使われます。窒化ガリウムは六方晶のウルツ鉱型で、やはり各原子が異種原子の四面体に囲まれます。良質の GaN 結晶は高輝度青色 LED を可能にし、2014 年のノーベル物理学賞につながりました。

半導体は微量の適切な不純物で電気伝導が変わります。シリコンで「置換」を選ぶと原子 3 個がリンになります。リンは外側の電子が 1 個多く、それが電流を運べます。電子が 1 個少ないホウ素では正孔ができます。チップ用シリコンは 99.9999999% を超える純度にしてから、意図的に添加します。

チップ用単結晶は Jan Czochralski が 1916 年に見いだした方法で育てます。溶融シリコンに種結晶を触れさせ、回転しながらゆっくり引き上げます。丸いインゴットになるため、外形表示のシリコンは多面体でなく円柱です。これを切断してウエハーにします。

多面体を組み合わせた鉱物

多くの鉱物は、球よりも多面体のつながりで理解しやすくなります。

石英 SiO₂ は SiO₄ 四面体からなり、ケイ素の周囲 0.161 nm に酸素が 4 個あります。酸素は 2 つの四面体に共有され、すべての頂点で網目がつながります。四面体は c 軸に沿う左右のらせんをつくり、左水晶と右水晶になります。モデルは Levien、Prewitt、Weidner が 1980 年に精密化した座標を使います。

方解石 CaCO₃ は、炭素から 0.128 nm の位置に酸素 3 個を持つ平らな炭酸基が、カルシウムイオンの間に層をつくります。各カルシウムの最近接酸素は 6 個です。方向ごとに光の遅れ方が違う層状で偏りのある配置が、強い複屈折を生みます。

コランダム Al₂O₃ は酸化物イオンの最密充填で、八面体隙間の 3 分の 2 にアルミニウムが入ります。純粋なら無色で、少量のクロムが置換すると赤いルビー、鉄とチタンが入ると青色になります。赤以外の宝石質コランダムはサファイアです。「置換」でクロムを入れられます。

ルチル TiO₂ は TiO₆ 八面体の鎖が c 軸に沿って並びます。二酸化チタンの多くは塗料、紙、プラスチックの白色顔料になります。

黄鉄鉱 FeS₂ は、岩塩の塩化物イオンを距離 0.216 nm の硫黄原子対に置き換えたような構造です。対は 4 本の体対角線方向を向いて対称性を下げ、条線のある立方体や五角十二面体という形につながります。

ペロブスカイト ABX₃ は、小さいイオン（SrTiO₃ ならチタン）が酸素八面体の中心、大きいイオン（ストロンチウム）が八面体間の大きな隙間に入り、酸素 12 個に囲まれます。チタン酸ストロンチウムは理想的な立方晶型です。この型の結晶を使う太陽電池は、2009 年の効率約 4% から、研究室でシリコン電池に並ぶ水準になりました。

コバルト酸リチウム LiCoO₂ は CoO₂ 層の間にリチウムイオンが入ります。充電で隙間から出て、放電で戻ります。John Goodenough のグループが 1980 年に正極材料として報告しました。

氷は水素結合で支えられる結晶です

普通の氷は六方晶を表す h を付けて氷 Ih と呼びます。水分子の酸素は、約 0.276 nm 離れた酸素 4 個に四面体状に囲まれ、ダイヤモンドの炭素に似ています。隣接酸素の間には必ず水素が 1 個あります。一方の酸素とは 99 pm の共有結合、他方とは 177 pm の水素結合でつながります。

各分子は隣接分子へ水素を 2 個差し出し、2 個受け取ります。モデルはブロック全体でこの規則を満たすよう水素を配置します。実際の氷では、どの酸素の近くにどの水素があるかは無秩序で時間変化します。表示は許される配置の一例です。

四面体の配列は、折れ曲がった六角環と空の通路を持つ開いた構造をつくります。融けると網目の一部が崩れ、分子が密に詰まります。0 °C で氷の密度は 0.9167 g/cm³、同温度の水は 0.99984 g/cm³ (NIST) なので氷は浮きます。

氷には別の結晶形もあります。氷 Ic は 1 分子当たり 4 本の水素結合を保ちながら、六方晶でなくダイヤモンドのように層を積み、立方格子は 0.6358 nm です。高層大気の非常に低い温度で微小液滴が凍るとできます。氷 VII は触れ合わない 2 つの立方晶の網目が入り組み、約 2 GPa 以上が必要です。密度は約 1.65 g/cm³ と普通の氷のほぼ 2 倍で、2018 年には深部マントル由来のダイヤモンド中で発見されました。

分子を積み木にする結晶

砂糖やタンパク質では基底が分子全体で、分子内の結合は分子間の力よりずっと強くなります。格子を見やすくするため、モデルは分子 1 個を球 1 個で描きます。

スクロースは単斜晶で 1 格子に 2 分子を持ちます。半回転と格子半分の並進を組み合わせた 2 回らせん軸で、一方が他方に重なります。格子は 1.086 × 0.871 × 0.776 nm、β = 102.9° で、計算密度は 1.590 g/cm³、実測は 1.587 です。

タンパク質結晶の格子はずっと大きくなります。卵白の酵素リゾチームの正方晶は a = 7.91 nm、c = 3.79 nm、1 格子に 8 分子です。タンパク質だけなら密度は水より低い 0.80 g/cm³ です。残りは水で、Brian Matthews は 1968 年、タンパク質 1 ダルトン当たりの格子体積が約 2.2 ų で、結晶のほぼ半分が溶媒だと示しました。1965 年に構造が決まったリゾチームは最初の酵素で、今も多くの酵素構造がタンパク質結晶学で求められます。

面の名前はミラー指数です

結晶の面は 3 つの整数 (h k l)、ミラー指数で表します。原点に最も近く、辺を a/h、b/k、c/l で切る面を考えます。0 はその辺に平行なことを示します。(1 0 0) は立方体の面、(1 1 0) は 2 辺を切って第 3 の辺に平行、(1 1 1) は角を切る面です。{100} の波括弧は対称性で等価な面の族を表し、立方晶の {100} には 3 つあります。

「ミラー指数面」を有効にして h、k、l を設定すると、h x + k y + l z = 整数 となる平行な面をブロック内に描き、中央の面の原子に色を付けます。面間隔 d と、面の 1 平方ナノメートル当たりの原子数が表示されます。

立方晶では d = a / √(h² + k² + l²) です。銅の (1 1 1) は間隔 0.3615 / √3 = 0.2087 nm、面上は三角形配列で 1 平方ナノメートル当たり 17.67 原子です。面心立方金属で最も密な面なので {111} に沿ってすべります。体心立方の鉄では {110} が最密です。他の結晶系では、どの格子形状にも使える逆格子から d を計算します。

結晶が割れる面

結晶をたたくと、横切る結合が少ないか弱い面に沿って割れやすくなります。鉱物学では劈開と呼びます。Handbook of Mineralogy は岩塩に {001} の完全劈開があると記載しています。立方晶では互いに直角の 3 面があり、すべてで割ると、どの破片も平らな面と直角の角を持つ箱になります。

ダイヤモンドの完全劈開は角を斜めに切る {111} です。「分割」を有効にすると、割れる面を横切る結合は原子当たり 1 本で、両側では 3 本ずつつながっていることが分かります。宝石加工では、切断や研磨の前にこの性質を利用します。

黒鉛は弱い力だけで結ばれた層間で劈開し、層が滑って剥がれるため、鉛筆で紙に線を残せます。蛍石は {111} で割れ、立方体から八面体を取り出せます。方解石は直角でない 3 方向の {104} に沿って割れ、破片は菱面体になります。石英は四面体が全方向につながり、明瞭な劈開がなく、貝殻状の曲面で割れます。

モデルはブロック中央を通る劈開面の族から、原子層間の隙間が最も広い位置を選びます。ダイヤモンドでは、原子当たり 1 本の結合が横切る二重層間です。

X 線回折とブラッグの法則

結晶の原子間隔は X 線波長に近いため、構造に応じた散乱模様ができます。1913 年、William Lawrence Bragg は反射の図で説明しました。各原子面で弱く反射した X 線は、深い面からの光の余分な道のり 2 d sin θ が波長の整数倍のときだけ強め合います。

n λ = 2 d sin θ

θ は入射線と面の角度、d は面間隔、整数 n は次数です。反射線は入射方向から 2θ だけ曲がるので、回折計は 2θ を記録します。

「X 線」を有効にすると、左の管からの紫色の線が選んだ (h k l) 面を通り、検出器へ向かいます。「角度 2θ」を動かすと、ブラッグ条件を満たす位置で黄色の線が点灯します。食塩と銅 Kα 線 (λ = 1.5406 Å) では、(2 0 0) の面間隔は 0.2820 nm、反射角は 2θ = 31.70° です。モリブデン Kα の 0.7093 Å にすると、同じ面でも 14.45° になります。

小さなグラフは粉末回折図形です。粉末は結晶があらゆる方向を向くため、すべての面群の反射を同時に記録できます。各線は面の族 1 つです。位置は格子とブラッグの法則から正確に求めます。高さは格子内の全原子の散乱波を位相込みで足す構造因子に、等価な面の数と角度因子を掛けます。食塩と銅 Kα 線の強い線は (2 0 0) が 31.70°、(2 2 0) が 45.45°、(2 2 2) が 56.47° で、実測と対応します。

向きを変えても反射しない面もあります。面心立方格子の (1 0 0) では面心原子の波が頂点原子の波を打ち消し、銅の最初の線は 43.32° の (1 1 1) になります。ダイヤモンドとシリコンでは、ずれた格子が (2 0 0) も打ち消します。系統消滅と呼ぶこれらの欠けた反射から格子型を判別できます。銅の (1 0 0) を選ぶと反射なしと表示され、線は点灯しません。

塩化カリウムはさらに微妙です。K⁺ と Cl⁻ はどちらも電子が 18 個で、X 線にはほぼ同じに見えます。両者の差に依存する (1 1 1) はほぼ消え、半分の格子を持つ単純立方晶のような図形になります。食塩は Na⁺ が 10 個、Cl⁻ が 18 個なので (1 1 1) が明瞭です。

912 °C の鉄と相転移

「温度」は −200 から 1600 °C まで動かせます。温度が高いほど原子は位置の周りで大きく振動し、モデルも揺れを増やします。融点を超えると秩序を失い、原子は接していても格子には並びません。

鉄は加熱途中でも格子が変わります。912 °C 未満は体心立方の α 鉄、フェライトです。912 から 1394 °C は面心立方の γ 鉄、オーステナイトです。1394 °C から融点 1538 °C までは再び体心立方の δ 鉄です。面心立方では原子が密になるため、912 °C の転移で少し収縮します。大きな隙間には炭素も多く入ります。鋼の熱処理では γ 領域で炭素を溶かし、冷却速度を調整して異なる配置に閉じ込めます。

スズでは逆の変化が起きます。13.2 °C より上では正方晶の金属、白色スズが安定で、それ以下はダイヤモンド型の灰色スズが安定です。長い低温期間が必要な遅い変化ですが、起きると体積が約 4 分の 1 増えて崩れます。ボタンやオルガン管の破損をスズペストのせいとする昔話は、多くが確認困難です。

氷は 0 °C で融けます。温度による相のある結晶は自動で切り替わり、鉄やスズでスライダーを動かすと各相を観察できます。γ 鉄と δ 鉄の格子定数は、Basinski、Hume-Rothery、Sutton が 1955 年に高温で測定した値です。

実在の結晶には欠陥があります

実在の結晶は完全ではなく、欠陥が役立つ性質を生むこともあります。「欠陥」はブロック表示で使います。

• 空孔：本来の位置から原子が抜けたものです。食塩ではナトリウムと塩化物が一緒に抜け、電気的中性を保ちます。空孔を通じて原子が固体内を移動し、拡散が起きます。
• 格子間原子：格子位置の間に余分な原子が入ったものです。鉄では最大の隙間に炭素を置き、鋼の出発点を示します。
• 置換：通常の位置を別種の原子が占めます。銅に亜鉛なら黄銅、コランダムにクロムならルビー、ダイヤモンドにホウ素なら青い Hope Diamond、シリコンにリンならトランジスタにつながります。
• 刃状転位：余分な原子の半面が内部で終わります。赤い ⊥ の方向から見ると、上の面がその端の周囲で曲がります。転位が 1 列ずつすべりを進めるため、純金属は完全結晶に必要な応力の数千分の 1 で降伏します。G. I. Taylor、Egon Orowan、Michael Polanyi が 1934 年に独立に提案しました。
• 双晶境界：面の両側で結晶が鏡像になります。モデルは (1 1 1) より上を反転し、面心立方金属の黄銅や銅で見られる整合双晶を示します。

転位には弾性論の変位場を使います。原子モデルでの標準的な構成法で、バーガースベクトルは格子の 1 辺分です。

密度を確かめます

単位格子の中身と大きさから密度が分かります。1 格子の質量は Z · M / N_A で、Z は所属する化学式単位数、M はモル質量、N_A はアボガドロ定数 6.022 140 76 × 10²³ 毎モル（定義により厳密）です。体積で割ると ρ = Z · M / (N_A · V) です。立方晶は V = a³、六方晶は V = (√3 / 2) · a² · c、一般には 3 辺のベクトルがつくる箱の体積です。

食塩は Z = 4、M = 22.990 + 35.45 = 58.44 g/mol (CIAAW 原子量) です。体積は (0.56404 nm)³ = 0.17944 nm³、つまり 1.7944 × 10⁻²² cm³ です。したがって ρ = 4 × 58.44 / (6.022 × 10²³ × 1.7944 × 10⁻²²) = 2.163 g/cm³ となります。便覧の実測 2.168 との差は 0.2% です。操作部の下では、選んだ結晶について同じ計算を示します。

黒鉛の実測密度が計算より低いのは、天然試料に空隙や積層欠陥があるためです。便覧の計算値も 2.26 です。氷は冷却で少し収縮するので、密度は温度に依存します。NIST は 0 °C で 0.9167 g/cm³、−20 °C で 0.9196 としています。

数値欄には「ρ 描画値」もあります。画面の全ての球の質量をブロック体積で割った値です。食塩 1 格子では 7.24 g/cm³ と 3 倍以上になります。原因は共有です。頂点のイオンは 8 格子、辺なら 4 格子、面なら 2 格子で共有するので、一部だけがこの格子に属します。食塩は 27 イオンを描きますが、所属は 8 個分です。ナトリウムは 8 × ⅛ + 6 × ½ = 4、塩化物は 12 × ¼ + 1 = 4 です。積むほど表面の割合が減り、ρ 描画値は真値へ近づきます。2 × 2 × 2 で 4.22、4 × 4 × 4 で 3.08、10 × 10 × 10 で 2.50 です。幅半ミリメートルの食塩粒は約 890,000 格子分なので、実物では表面の割合はごく小さくなります。

モデルで省略したこと

構造を見やすくするため球を原子より小さく描きます。大きさ 100% ではイオン結晶に Shannon の半径を、他では最近接距離の半分を使います。砂糖とリゾチームの分子は球 1 個です。原子は位置の周りで振動し、高温ほど振幅が増すため、格子定数も温度で変わりますが、高温の鉄以外は室温の格子に固定しています。X 線強度は全原子に共通の滑らかな角度依存減衰を使うので、線の高さは近似、位置は正確です。C₆₀ の向きは固定しています。外形は典型的な晶癖で、実物には変形もあります。氷の水素も時間変化せず、1 配置に固定しています。

結晶構造はどう測られたのでしょうか

Nicolas Steno は 1669 年、大きさの違う石英でも対応する面の角度が同じと気付きました。同年 Erasmus Bartholin は透明な方解石、アイスランドスパーで二重像を観察しました。René-Just Haüy は方解石の破片が小さい菱面体になることから、1784 年の著書で結晶は同一の小ブロックの積み重ねだと提案しました。Bravais は 1850 年に格子を数え、世紀末には 230 空間群が知られていました。

原子の配列を調べられたのは、Max von Laue のグループが 1912 年に結晶に X 線を通し、斑点模様を記録してからです。X 線が波で、結晶が規則的配列であることを同時に示しました。William Henry Bragg と息子 William Lawrence Bragg は斑点から構造を求め、1913 年に食塩、続いてダイヤモンドを解き、1915 年のノーベル物理学賞を共同受賞しました。その後、鉱物、金属、生命分子へと広がり、Dorothy Hodgkin のペニシリンとビタミン B₁₂、Rosalind Franklin と Raymond Gosling が 1952 年に記録した DNA 繊維の回折像、1965 年の最初の酵素リゾチームへつながりました。ここで使う格子定数も、以後の 1 世紀に精密化された同種の測定によります。