Wie funktionieren Kartenprojektionen? Grönland und Afrika

Was das Modell zeigt

Grönland wirkt auf einer Mercatorkarte so groß wie Afrika, weil diese Projektion Flächen weit vom Äquator vergrößert. Eine ebene Karte kann nicht alle Eigenschaften eines Globus zugleich bewahren. Der Vergleich zeigt, welche Projektionen Flächen und welche Winkel erhalten.

Auf einer Weltkarte im Klassenzimmer scheint Grönland ungefähr so groß wie Afrika. Auf einem Globus ist es eine eher kleine Insel neben einem riesigen Kontinent. Keines der beiden Bilder ist absichtlich falsch. Eine Kugel lässt sich nicht flach drücken, ohne Teile zu dehnen. Jede ebene Karte legt fest, wo diese Dehnung stattfindet. Dieses Exponat zeigt diese Entscheidung Punkt für Punkt für 25 verschiedene Karten.

Das Modell beginnt mit einem Globus vom Radius 1. Der Regler „Globus zur Karte“ umhüllt ihn mit Papier, schneidet das Papier auf und breitet es aus. Die Papierform hängt von der Projektion ab. Für Mercator und verwandte Karten ist es ein Zylinder am Äquator. Für die transversale Mercatorprojektion liegt der Zylinder auf der Seite und berührt einen Meridian. Bei Kegelprojektionen liegt ein Kegel über den mittleren Breiten und öffnet sich zu einem Fächer. Azimutalprojektionen verwenden eine Ebene, die den Globus in einem Punkt berührt. Bei drei davon, der gnomonischen, stereografischen und Satellitenansicht, zeigt eine kleine Lampe, wo das Licht für den Schatten herkommt. Die letzte Karte überträgt den Globus auf ein Ikosaeder und klappt dessen 20 Flächen auf. Die Wiedergabe wiederholt den Übergang vom Globus zur Karte und zurück.

Ein Gitter aus 144 mal 72 Zellen bedeckt den Globus, auf langsamen Telefonen sind es 72 mal 36. Jede Gitterecke erhält ihre Lage aus der Projektionsformel. Das Küstenbild bewegt sich mit dem Gitter, sodass sich die Kontinente genau nach der Formel dehnen. Die roten Punkte sind Tissot-Kreise mit je 500 km Radius. Die grüne Form ist ein frei verschiebbares Land, zunächst Grönland. Das Labor unter den Reglern bietet 34 weitere Länder. Afrikas brauner Umriss bleibt als Maßstab stehen. Violett und Orange zeigen zwei Wege zwischen zwei Städten: den kürzesten und den mit gleichbleibendem Kompasskurs. Die Anzeige in der Ecke nennt Projektion, erhaltene Eigenschaften, Flächenmaßstab im Landeszentrum, Kartenfläche des Landes und das Größenverhältnis zu Afrika.

Unter den Reglern folgen weitere Werkzeuge. Die Projektionsliste erläutert alle 25 Karten und kennzeichnet ihre erhaltenen Eigenschaften. Die Größentabelle zeigt das gewählte Land auf allen Projektionen zugleich, von der kleinsten zur größten Darstellung. Das Routenwerkzeug nennt Entfernungen und Kurse. Ein Druck auf die ebene Karte misst die Verzerrung an diesem Punkt. Sechs Aufgaben verlangen bestimmte Karten. 48 Beispiele stellen bekannte Karten, Anwendungen und Größenvergleiche mit einem Druck ein.

Warum ein Globus nicht flach wird

Eine halbe Orangenschale reißt beim Flachdrücken. Sie ist gleichzeitig in zwei Richtungen gekrümmt, Papier nicht. Papier lässt sich ohne Dehnung zu einem Zylinder oder Kegel rollen, denn diese Formen sind nur in einer Richtung gekrümmt. Eine Kugel ist anders: An jedem Punkt ist ihre Krümmung in allen Richtungen gleich.

Carl Friedrich Gauss bewies 1827, dass diese Krümmung beim Biegen einer Fläche erhalten bleibt, solange sie nicht gedehnt wird. Eine Ebene hat keine Krümmung, eine Kugel schon. Durch bloßes Biegen wird deshalb keine zur anderen. Jede ebene Weltkarte muss manche Entfernungen strecken und andere verkürzen.

Eine Karte kann auswählen, was sie bewahrt. Sie kann Winkel in jeder kleinen Umgebung erhalten, sodass ein winziger Kreis auf dem Globus auf der Karte ein Kreis bleibt. Solche Karten heißen winkeltreu oder konform. Sie kann Flächen erhalten, sodass jedes Land seinen richtigen Anteil am Papier bekommt. Solche Karten sind flächentreu. Sie kann Entfernungen entlang bestimmter Linien oder von einem Punkt aus erhalten. Sie kann jeden Großkreis als Gerade abbilden. All dies zugleich ist unmöglich, insbesondere kann keine Karte gleichzeitig winkel- und flächentreu sein. Die Kennzeichen in der Projektionsliste zeigen die jeweilige Entscheidung.

Wie aus dem Globus eine ebene Karte wird

Die meisten Projektionen sind keine echten Schatten. Es sind Formeln, die aus Breite φ und Länge λ einen Punkt x, y auf dem Papier berechnen. Das alte Bild vom Papier um den Globus hilft trotzdem: Wo Papier und Globus sich berühren, stimmt der Maßstab.

Ein Zylinder um den Äquator berührt ihn entlang des Äquators. Abgerollt ergibt er ein Rechteck mit gleichmäßig verteilten senkrechten Meridianen und waagerechten Breitenkreisen. Alle Zylinderkarten teilen dieses Gitter. Nur der Abstand der Breitenkreise unterscheidet sie. Mit ln tan(45° + φ/2) entsteht Mercator, bei gleichen Abständen die quadratische Plattkarte, mit sin φ Lamberts flächentreue Zylinderprojektion.

Ein Kegel über dem Globus, ähnlich einem Lampenschirm, berührt ihn entlang eines Breitenkreises oder schneidet ihn entlang zweier. Abgerollt wird er zum Fächer: Die Meridiane sind Geraden durch die Spitze, die Breitenkreise Kreisbögen. Kegelkarten passen zu Gebieten, die sich in mittleren Breiten weit nach Osten und Westen erstrecken, etwa den Vereinigten Staaten, China oder Europa.

Eine Ebene, die den Globus in einem Punkt berührt, liefert eine Azimutalprojektion. Alle erhalten die Richtungen von diesem Mittelpunkt aus. Hier sind drei echte perspektivische Projektionen vertreten. Liegt die Lampe im Kugelzentrum, entsteht die gnomonische Karte. Am gegenüberliegenden Punkt entsteht die stereografische. Eine unendlich entfernte Lampe liefert die orthografische, eine Lampe in Satellitenhöhe die vertikale Perspektive. Die mittabstandstreue und die Lambertsche flächentreue Azimutalprojektion benutzen dieselbe Ebene, setzen die Punkte aber nach Formeln statt durch Licht.

Manche Karten passen in keine dieser Gruppen. Pseudozylindrische Karten wie Sinusoidal, Mollweide, Robinson und Equal Earth behalten gerade Breitenkreise, biegen die Meridiane jedoch zu den Polen hin nach innen. Goodes Homolosine schneidet die Karte in den Ozeanen auf. Die Ikosaederkarte umhüllt den Globus mit 20 Dreiecken und klappt sie auf. Auch für pseudozylindrische Karten verwendet das Modell die Zylinderanimation, sodass beim Abrollen die Krümmung der Meridiane sichtbar wird.

Mercator erhält Winkel und verzichtet auf richtige Größen

Mercator wollte eine Seekarte, auf der ein Schiffskurs mit gleichbleibender Kompassrichtung, eine Loxodrome, gerade verläuft. Dann lässt sich ein Lineal zwischen zwei Häfen anlegen, der Winkel zu einem beliebigen Meridian ablesen und dieser Kurs steuern.

Auf einer Zylinderkarte verlaufen die Meridiane parallel, auf dem Globus treffen sie sich an den Polen. Auf Breite φ beträgt ihr wirklicher Abstand nur cos φ des Abstands am Äquator, auf der Karte bleibt er jedoch gleich. Jeder Breitenkreis wird deshalb in Ost-West-Richtung um 1 / cos φ gedehnt, die Sekante von φ. Damit kleine Formen unverzerrt bleiben, dehnt Mercator in Nord-Süd-Richtung um denselben Faktor. Die Abstände der Breitenkreise summieren diese kleinen Dehnungen und ergeben y = R ln tan(45° + φ/2).

Die Zahlen lassen sich im Modell prüfen. Der Breitenkreis bei 60° liegt 1,317 Erdradien über dem Äquator, der bei 75° liegt 2,028 Radien darüber. Bei 85° sind es bereits 3,131 Radien, und der Breitenkreis wird 11,47-mal länger als in Wirklichkeit. Der Pol läge unendlich weit entfernt, deshalb endet die Karte bei 85°.

Weil beide Richtungen um sec φ gedehnt werden, wachsen Flächen um sec² φ. Bei 30° ist das 1,33, auf Seouls Breite von 37,57° sind es 1,59, bei 60° genau 4 und bei 75° bereits 14,9. Die roten Tissot-Kreise bleiben im Modell rund, das bedeutet winkeltreu. Der Kreis bei 60° ist jedoch doppelt so breit wie der am Äquator und hat die vierfache Fläche.

Web Mercator und transversale Mercatorprojektion

Die Karte auf dem Telefon ist fast eine Mercatorkarte. Webkarten schneiden die Welt bei 85,0511° Nord und Süd ab, wo die Karte genau so hoch wie breit wird. Diese quadratische Welt lässt sich in 4 quadratische Kacheln teilen, jede davon wieder in 4 weitere, und so fort für jede Zoomstufe. Googles Dokumentation erläutert diese Kachelung. Die Projektion ist als EPSG:3857 „Pseudo-Mercator“ registriert. „Pseudo“ bedeutet, dass Breiten vom leicht abgeplatteten Erdkörper in die Kugelformel eingesetzt werden. Auf dem wirklichen Ellipsoid ist das Ergebnis nicht ganz winkeltreu, was in der Vermessung wichtig ist, sonst aber kaum auffällt. Auf der Kugel dieses Modells sind beide Karten bis auf den Zuschnitt gleich.

Wird der Zylinder auf die Seite gedreht, sodass er statt des Äquators einen Meridian berührt, entsteht die transversale Mercatorprojektion. Sie bleibt winkeltreu. Nun stimmt der Maßstab entlang dieses Mittelmeridians und wächst mit dem Abstand langsam an. Innerhalb von 3° zum Mittelmeridian bleibt der Maßstabsfehler unter 1,4 Promille. Deshalb teilt das UTM-System die Welt in 60 Zonen von je 6° Breite mit eigener transversaler Mercatorprojektion. Am Mittelmeridian wird der Maßstab auf 0,9996 verkleinert, um den Fehler über die Zone zu verteilen. Südkoreas Landeskoordinatensystem EPSG:5179 verwendet eine einzige transversale Mercatorprojektion bei 127,5° E mit denselben 0,9996. Im Modell ist die ganze Welt sichtbar, einschließlich der extremen Dehnung weit vom Mittelmeridian.

Grönland, Afrika und die wirkliche Größe der Länder

Grönland bedeckt 2,17 Millionen km². Afrikas Landfläche beträgt laut dem Demografischen Jahrbuch der Vereinten Nationen 29,6 Millionen km², das 13,7-Fache. Grönland liegt etwa bei 72° N, wo Mercator Flächen mehr als verzehnfacht. Afrika liegt beiderseits des Äquators und wird kaum vergrößert. Auf der Mercatorkarte des Modells belegt Grönland etwa 35,8 Millionen km² Papier, Afrika 32,7 Millionen. Grönland erscheint also etwas größer.

Wird Grönland zum Äquator gezogen, sinkt seine Kartenfläche auf ungefähr die wirklichen 2,17 Millionen km². Das Land selbst bleibt gleich, nur seine Lage auf der Karte ändert sich. Der gestrichelte Umriss markiert den Ursprungsort. Dasselbe funktioniert mit jedem Land der Liste. Die Tabelle unter dem Größenwerkzeug zeigt die Fläche des Landes an seiner jetzigen Position auf allen 25 Projektionen, von der kleinsten zur größten Darstellung.

Einige Vergleiche anhand der Modellumrisse aus Natural Earth 1:110m, jeweils nur die größte Landmasse eines Landes:

Die Fläche jedes Umrisses wird auf einer Kugel mit 6371,0088 km Radius berechnet. Vereinfachte Küsten verändern die Summen um etwa ein Prozent. Deshalb ist Afrika im Modell 13,5-mal so groß wie Grönland, nicht 13,7-mal wie in den amtlichen Zahlen.

Die Täuschung verläuft von Norden nach Süden, nicht von Osten nach Westen. Mercator dehnt nur nach geografischer Breite. Zwei Länder auf derselben Breite werden daher fair verglichen. Europa, Nordamerika und Nordasien erscheinen zu groß, Afrika, Südamerika, Indien und Südostasien zu klein. Darum dreht sich der lange Streit über die Weltkarte an der Klassenzimmerwand.

Tissot-Kreise als Maß für Verzerrung

Der französische Mathematiker Nicolas Auguste Tissot zeigte 1859 und 1881, dass jede Projektion einen unendlich kleinen Kreis auf dem Globus in eine Ellipse auf der Karte überführt. Größe und Form dieser Tissotschen Indikatrix beschreiben die Verzerrung an einem Punkt vollständig. Das Modell zeichnet an sieben Breiten Kreise mit 500 km Radius, klein genug, um sich annähernd wie Tissots Kreise zu verhalten.

Vier Zahlen beschreiben jede Ellipse. Das Messwerkzeug im Labor zeigt sie für jeden gewählten Punkt. Der Maßstab entlang des Meridians heißt h: 1 bedeutet unveränderte Nord-Süd-Entfernung, 2 die doppelte Länge. Entlang des Breitenkreises heißt der Maßstab k. Ihr um eine mögliche Schiefstellung korrigiertes Produkt ist der Flächenmaßstab s. Die größte Winkeländerung ω misst die Formverzerrung und ist auf einer winkeltreuen Karte 0. Snyder nennt die Formeln. Das Modell berechnet sie direkt aus der Projektion, indem es einen Punkt um ein Hunderttausendstel Radiant nach Norden und Osten verschiebt und seine neue Kartenposition misst.

Die Farbkarte stellt dieselben Zahlen auf der ganzen Oberfläche dar. Im Flächenmodus bedeutet Weiß richtige Größe, Rot Vergrößerung und Blau Verkleinerung. Bei Mercator leuchten die Pole rot. Jede flächentreue Karte bleibt vollständig weiß. Im Formmodus bedeutet Rot stärkere Winkelverzerrung. Mercator bleibt überall weiß, während flächentreue Karten zu den Rändern hin rot werden.

Modellwerte an drei Breiten, jeweils 17° vom Mittelmeridian entfernt, als Flächenmaßstab / Winkeländerung ω:

Robinson und Winkel-Tripel zeichnen die Welt insgesamt etwas kleiner als den Globus vom Radius 1. Deshalb liegt ihr Flächenmaßstab nahe dem Äquator unter 1. Entscheidend ist seine Veränderung über die Karte: bei Robinson von 0,82 bis 1,19, gegenüber 1 bis 4 bei Mercator im selben Bereich.

Flächentreue Karten

Johann Heinrich Lambert beschrieb 1772 die einfachste flächentreue Karte. Auf einem Zylinder am Äquator wird jeder Breitenkreis auf die Höhe sin φ gesetzt. Der Streifen zwischen zwei Breitenkreisen hat dann auf der Karte genau dieselbe Fläche wie auf dem Globus. Schon Archimedes hatte gezeigt, dass jede waagerechte Zone einer Kugel und des sie umgebenden Zylinders gleich groß ist. Der Preis ist die Form: Nahe den Polen drängen sich die Breitenkreise, und jedes Land wird flach zusammengedrückt.

Durch seitliches Strecken und senkrechtes Stauchen um denselben Faktor lässt sich wählen, wo die Formen stimmen. Bei 45° entsteht die Karte, die James Gall 1855 beschrieb und Arno Peters 1973 bekannt machte, heute Gall–Peters genannt. Sie wirkt hoch und schmal. Am Äquator wird ein kleiner Kreis zu einer doppelt so hohen wie breiten Ellipse, mit h = 1,414 und k = 0,707.

Flächentreue Karten müssen nicht rechteckig sein. Die Sinusoidalprojektion zeichnet jeden Breitenkreis in wahrer Länge, mittig auf der Karte. Meridiane werden zu Sinuskurven, der Umriss läuft an den Polen spitz zu. Mollweide (1805) bringt die Welt in einer doppelt so breiten wie hohen Ellipse unter und hat bei 40°44′ N und S den richtigen Maßstab. Hammer (1892) nimmt die Hälfte der Lambertschen flächentreuen Azimutalkarte und verdoppelt ihre Breite, wodurch die Breitenkreise gekrümmt werden. Goode (1923) verbindet Sinusoidal nahe dem Äquator mit Mollweide jenseits von 40°44′ und schneidet in den Ozeanen. Jeder Kontinent erhält dadurch einen eigenen Mittelmeridian und eine brauchbare Form. Equal Earth (2018) entstand nach der Wahl von Gall–Peters an Bostons Schulen als flächentreue Karte mit dem Aussehen von Robinson.

Bei diesen Projektionen bleibt die Flächenfarbkarte im Modell vollständig weiß. Auch beim Verschieben eines Landes bleibt dessen Kartenfläche gleich, nur die Form ändert sich. Grönland wird auf Gall–Peters am Äquator lang und schmal, am Ursprungsort kurz und breit. In beiden Fällen belegt es 2,17 Millionen km².

Vermittelnde Karten

Die meisten Wandkarten und Atlanten erhalten weder Winkel noch Flächen exakt. Sie suchen ein stimmiges Bild mit mäßigen Fehlern aller Arten.

Die quadratische Plattkarte, vielleicht das älteste Weltkartengitter, verwendet Breite und Länge direkt als Koordinaten. Entfernungen entlang jedes Meridians stimmen, jeder Breitenkreis wird um sec φ gestreckt. Sie ist das natürliche Format für ein geografisches Breiten-Längen-Gitter, weshalb Satellitenbilder und Klimamodelle oft so gespeichert werden. Millers Zylinderprojektion (1942) ist eine Mercatorkarte, bei der die Breite zunächst mit 0,8 multipliziert und das Ergebnis wieder durch 0,8 geteilt wird. So passen die Pole hinein. Galls stereografische Zylinderprojektion (1855) schneidet den Globus bei 45° und war in britischen Atlanten verbreitet.

Arthur Robinson ging 1963 anders vor. Statt von einer Formel auszugehen, veränderte er eine Tabelle mit Längen und Abständen der Breitenkreise nach Augenmaß, bis die Kontinente stimmig aussahen, und passte die Karte an diese Tabelle an. Rand McNally verwendete sie. National Geographic übernahm sie 1988 nach 66 Jahren Van der Grinten. 1998 wechselte National Geographic zu Winkel-Tripel, Oswald Winkels Mittelung der quadratischen Plattkarte und der Aitoff-Karte von 1921. Sie verformt Land nahe den Polen weniger. Bei beiden Karten wächst der Flächenmaßstab von etwa 0,8 am Äquator auf etwa 1,2 bei 60°. Grönland ist noch zu groß, aber um ungefähr 50 Prozent statt um das Zehnfache.

Azimutalkarten und die Lampe im Globus

Die gnomonische Karte ist ein echter Schatten. Licht im Kugelzentrum wirft jeden Punkt auf eine Ebene, die den Globus berührt. Jeder Großkreis liegt in einer Ebene durch das Zentrum. Eine Ebene durch die Lichtquelle schneidet die Projektionsebene in einer Geraden. Daher werden alle Großkreise auf der gnomonischen Karte gerade, und nur diese. Der Preis ist eine enorme Dehnung. Weniger als eine Halbkugel passt hinein. Das Modell endet 62° vom Zentrum entfernt, wo der Radius bereits 1,881 R oder fast 12.000 km beträgt. Snyder nennt sie möglicherweise die älteste Projektion und schreibt sie Thales um 550 v. Chr. zu.

Wandert die Lampe zum gegenüberliegenden Punkt, entsteht die stereografische Karte, die Hipparchus im zweiten Jahrhundert v. Chr. kannte. Sie ist winkeltreu und bewahrt sogar jeden Kreis beliebiger Größe als Kreis. Zum Rand hin wachsen die Größen. Bei 90° vom Zentrum ist alles doppelt so breit und viermal so groß. Polare stereografische Karten sind Standard für Meereis. NSIDC legt den richtigen Gittermaßstab auf 70°, damit der Eisrand wenig verzerrt wird.

Bei sehr großer Entfernung werden die Lichtstrahlen parallel. Es entsteht die orthografische Karte, der Blick einer fernen Kamera auf den Globus. In Satellitenhöhe entsteht die vertikale Perspektive. Der Höhenregler verschiebt den Blickpunkt. Von der Internationalen Raumstation in 400 km Höhe ist eine Scheibe mit 2200 km Radius sichtbar, 3 Prozent der Erde. Aus der GPS-Umlaufbahn in 20.200 km sind es 38 Prozent. Aus der geostationären Bahn in 35.786 km, wo Wettersatelliten wie GOES-East stehen, sind es 42 Prozent, bis 81° vom Zentrum. Selbst vom Mond sieht man nur 49 Prozent.

Zwei Azimutalkarten sind keine Schatten. Die mittabstandstreue Azimutalprojektion erhält Entfernungen vom Zentrum in jeder Richtung. Mit dem Nordpol im Zentrum liegt Seoul bei 37,57° N genau 5830 km entfernt. Der Südpol wird zum äußeren Rand in 20.015 km Entfernung. Das Emblem der Vereinten Nationen verwendet diese Karte. Mit „Erste Stadt als Zentrum“ wird stattdessen Seoul zum Mittelpunkt, und Entfernung und Richtung von Seoul zu jedem Ort stimmen. Die Lambertsche flächentreue Azimutalprojektion erhält Flächen und bringt die ganze Welt in einem Kreis vom Radius 2 R unter.

Kegel für mittlere Breiten

Für ein Land, das sich in mittleren Breiten nach Osten und Westen erstreckt, passt ein Kegel besser als ein Zylinder. Lamberts winkeltreue Kegelprojektion (1772) erhält Winkel und hat entlang zweier Standardparallelen den richtigen Maßstab. US-Flugkarten verwenden 33° und 45°, ebenso das Modell. Dazwischen ist der Maßstab etwas zu klein, bei 35° beträgt er 0,997, außerhalb nimmt er zu. Bei üblichen Flugstrecken liegt eine Gerade auf dieser Karte nahe am Großkreis, was der Luftfahrt entgegenkommt.

Albers' flächentreue Kegelprojektion (1805) erhält stattdessen Flächen. Snyder nennt 29,5° und 45,5° als Standardparallelen der US Geological Survey für die 48 Bundesstaaten. Das Modell übernimmt sie. Auf der Albers-Karte ist der Nordpol ein Bogen, kein Punkt. Die abstandstreue Kegelprojektion zeichnet Meridiane in wahrer Länge und erhält dadurch Nord-Süd-Entfernungen. Ptolemy beschrieb um 150 n. Chr. eine einfache Variante.

Im Modell liegt der Kegel über dem Globus. Die Punkte gleiten auf ihn, dann öffnet er sich entlang des 180°-Meridians zum ebenen Fächer. Lamberts Kegel vergrößert die Umgebung des Südpols so stark, dass das Modell bei 38° S endet.

Ein Polyeder aufklappen

R. Buckminster Fuller fragte, ob eine Karte ohne Oben und ohne Zentrum möglich sei. Die Zeitschrift Life druckte seine erste Dymaxion-Welt 1943 als Ausschneidebogen auf einem Kuboktaeder mit 14 Flächen. Später verwendete er das Ikosaeder mit 20 Flächen. Er ordnete den Körper so an, dass alle 12 Ecken im Meer lagen, und klappte ihn so auf, dass die Kontinente fast eine zusammenhängende Insel in einem einzigen Ozean bildeten.

Das Modell verwendet ein Ikosaeder mit Fullers Eckpositionen. Es füllt jede Fläche durch gnomonische Projektion aus dem Kugelzentrum. Fuller selbst verwendete eine eigene Transformation mit gleichmäßigeren Abständen. Anschließend sucht es eine Abwicklung, die möglichst viel Land zusammenhält. In der Animation wird der Globus zuerst zum Körper, dann schwenken die Flächen an ihre Positionen im Netz. Weiter von der ersten Fläche entfernte Teile bewegen sich später. Das Modell prüft, dass die 12 Ecken ein regelmäßiges Ikosaeder bilden und sich keine Flächen im Netz überlagern.

Hajime Narukawas AuthaGraph, 2016 mit Japans Good Design-Hauptpreis ausgezeichnet, ist ein moderner Nachfolger. Er überführt den Globus über ein Polyeder in ein Rechteck, das sich in allen Richtungen lückenlos aneinanderlegen lässt.

Kürzester Weg und konstanter Kurs

Auf einer Kugel ist der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten der Bogen eines Großkreises, dessen Mittelpunkt im Erdzentrum liegt. Eine Loxodrome schneidet jeden Meridian unter demselben Winkel. Ein Schiff mit gleichbleibendem Kompasskurs folgt ihr. Beide Wege fallen nur am Äquator und entlang eines Meridians zusammen.

Seoul und New York liegen beide nahe 40° N. Die Loxodrome führt bei 88,5° fast genau nach Osten und ist 13.715 km lang. Der Großkreis startet 16° östlich von Nord, erreicht über der Arktis 77,4° N und misst 11.053 km. Die Loxodrome ist also 24 Prozent länger. Deshalb führen Flüge zwischen Ostasien und Nordamerika so weit nach Norden. Von London nach New York ist der Unterschied wegen der geringeren Entfernung kleiner: 5794 km gegenüber 5570 km, etwa 4 Prozent. Von Sydney nach São Paulo führt der Großkreis bis 74,4° S, nahe an die Antarktis.

Jede Karte zeichnet diese Wege anders. Das Labor nennt die auf der gewählten Karte gerade Route. Bei Mercator ist die Loxodrome gerade, während sich der Großkreis zum Pol wölbt. Auf der gnomonischen Karte ist der Großkreis gerade. Auf der mittabstandstreuen Azimutalkarte mit der ersten Stadt im Zentrum verläuft er gerade vom Mittelpunkt aus. In der Navigation wurden beide Karten gemeinsam verwendet: Der Großkreis wurde auf einer gnomonischen Karte eingezeichnet, Zwischenpunkte abgelesen und auf eine Mercatorkarte übertragen. Gesteuert wurde zwischen ihnen entlang kurzer Loxodromen.

Nachprüfbare Zahlen

Die Formeln werden mit Snyders Rechenbeispielen für 15 Projektionen verglichen: von Mercator mit x = 1,8325957 und y = 0,6528366 für 35° N, 75° W und Mittelmeridian 180° bis zu Mollweide mit x = 0,1788845 und y = −0,9208758. Außerdem bleibt bei jeder flächentreuen Karte der Flächenmaßstab überall innerhalb von 0,002 Prozent bei 1, bei jeder winkeltreuen Karte ω unter 0,002°. Der Großkreis von Seoul nach New York wird auf der gnomonischen Karte gerade.

Eine Projektion auswählen

Keine Projektion eignet sich für alles. Die Kartografie beginnt daher mit der Frage, die eine Karte beantworten soll.

Für einen Kompasskurs eignet sich Mercator, denn eine Gerade bedeutet einen konstanten Kurs. Für die kürzeste Route eignen sich die gnomonische oder eine mittabstandstreue Azimutalkarte mit dem Startpunkt im Zentrum. Zum Vergleich flächenhaft verteilter Größen wie Bevölkerung, Wald oder Niederschlag je Land braucht es eine flächentreue Karte, sonst entsteht ein falscher Eindruck der Mengen. Für die Welt kommen Equal Earth, Mollweide oder Goode infrage, für einen Kontinent die Lambertsche flächentreue Azimutalprojektion, für ein Land mittlerer Breiten Albers. Für Vermessung und großmaßstäbige Karten mit richtigen lokalen Formen sind winkeltreue Karten geeignet: transversale Mercatorprojektion für Nord-Süd-Gebiete, Lamberts winkeltreue Kegelprojektion für Ost-West-Gebiete, polare stereografische Karten nahe den Polen. Eine allgemeine Weltkarte an der Wand kann mit Winkel-Tripel oder Robinson alle Fehler mäßig halten.

Das Größenwerkzeug zeigt den Unterschied rasch. Wird ein Land vom Äquator auf 60° geschoben, bleiben die flächentreuen Karten bei „× 1,00“, während Mercator auf 4 steigt.

Eine kurze Geschichte

Die gnomonische Projektion ist vermutlich die älteste. Sie wird Thales von Milet um 550 v. Chr. zugeschrieben. Hipparchus kannte stereografische und orthografische Karten im 2. Jahrhundert v. Chr. Ptolemy schrieb die quadratische Plattkarte Marinus von Tyros um 100 n. Chr. zu. Um 150 n. Chr. beschrieb seine Geographie Kegelkarten der bekannten Welt.

Gerardus Mercator stellte seine Projektion 1569 auf einer großen Weltkarte für die Navigation vor. Vermutlich legte er die Breitenkreisabstände zeichnerisch fest. Edward Wright aus England erarbeitete die Mathematik und veröffentlichte 1599 Tabellen. Johann Heinrich Lambert führte 1772 sieben Projektionen ein, darunter die winkeltreue Kegel-, transversale Mercator-, flächentreue Azimutal- und flächentreue Zylinderprojektion. Heinrich Albers stellte 1805 seinen Kegel vor, Carl Mollweide seine Ellipse. James Gall beschrieb 1855 drei Zylinderkarten. Tissot veröffentlichte seine Verzerrungsanalyse 1859 und 1881. Es folgten Ernst Hammer 1892, Oswald Winkels Tripel 1921, Paul Goodes Homolosine 1923 und Osborn Millers Zylinder 1942.

Im 20. Jahrhundert wurde die Kartenwahl öffentlich umstritten. Arno Peters stellte seine Karte 1973 als gerechtere Darstellung der Tropen vor. Kartografen verwiesen darauf, dass Gall sie bereits 1855 beschrieben hatte und dass sie Formen stark verzerrt. Amerikanische kartografische Gesellschaften forderten Verlage 1989 auf, rechteckige Weltkarten nicht mehr für allgemeine Zwecke einzusetzen. National Geographic verwendete ab 1988 Robinson und ab 1998 Winkel-Tripel. Onlinekarten entschieden sich wegen der quadratischen Kacheln für Web Mercator. Bostons öffentliche Schulen hängten 2017 Gall–Peters neben Mercator. Šavrič, Patterson und Jenny antworteten 2018 mit Equal Earth.

Vereinfachungen des Modells

Die Erde gilt als Kugel mit ihrem mittleren Radius von 6371,0088 km. Die wirkliche Erde ist an den Polen um etwa 0,3 Prozent abgeplattet. Vermessungsprojektionen verwenden Ellipsoidformeln, doch im Maßstab einer Weltkarte bleibt der Unterschied unsichtbar. Küsten und Landesumrisse stammen aus Natural Earth im Maßstab 1:110 Millionen und werden weiter vereinfacht. Jedes Land ist nur durch seine größte Landmasse vertreten: die 48 US-Bundesstaaten ohne Alaska und Hawaii, Kanada ohne die arktischen Inseln, Norwegen ohne Spitzbergen.

Jede Projektion wird mit einem Parametersatz gezeichnet. Kegelkarten verwenden Snyders Standardparallelen für die Vereinigten Staaten. Die Satellitenansicht ist auf die erste Stadt zentriert. Die transversale Mercatorprojektion verwendet Greenwich als Mittelmeridian, sofern ein Beispiel ihn nicht ändert. Die Ikosaederkarte benutzt gnomonische Flächen statt Fullers eigener Transformation. Mercator endet bei 85°, die gnomonische Karte 62° vom Zentrum, Lamberts Kegel bei 38° S. Die Animationen zwischen Globus und Karte zeigen die Wege der Punkte. Nur die fertige ebene Karte folgt der Formel genau.