Wie funktioniert eine Pendeluhr und wie wirkt ihre Länge?

Was für eine Uhr das ist

Ein längeres Pendel braucht mehr Zeit für eine Schwingung. Deshalb läuft eine Pendeluhr mit größerer wirksamer Pendellänge langsamer. Wird der Pendelkörper angehoben, verkürzt sich diese Länge und die Uhr läuft schneller. Die Hemmung gibt das Räderwerk im Takt der Schwingungen frei und liefert dabei kleine Anstöße.

Warum tickt eine Uhr den ganzen Tag im gleichen Takt? Dieses Exponat beantwortet die Frage anhand einer vollständigen Pendeluhr. Anschließend lassen sich die Fehler hervorrufen, die Uhrmacher in drei Jahrhunderten zu vermeiden lernten.

Das Modell ist eine etwa 1,6 m hohe Standuhr, im Englischen auch grandfather clock genannt. Ihr Nussbaumgehäuse hat zwei Glastüren, eine im Kopf vor dem Zifferblatt und eine im Kasten vor dem Pendel. Darin arbeitet ein gewichtgetriebenes Werk mit skelettiertem Gestell, durch das jedes Rad sichtbar bleibt. Eine kleine Glocke schlägt die vollen Stunden. Unter „Ansicht“ stehen „Ganze Uhr“, „Innenansicht“ mit abgenommenem Gehäuse, „Hemmung“ als Nahansicht des tickenden Teils und „Turmuhr“ zur Wahl. Letztere zeigt ein Modell der Great Clock of Westminster im Maßstab 1:8.

Der Kraftfluss lässt sich von unten nach oben verfolgen. Ein Gewicht zieht an einer Schnur auf einer Trommel. An der Trommel sitzt das Großbodenrad, das eine Folge kleinerer, schnellerer Räder antreibt, das Gehwerk. Am Ende steht das Hemmungsrad. Auf seinen Zähnen ruht der Anker, der mit dem Pendel hin und her schwingt. Das Pendel bestimmt, wie schnell sich alles bewegen darf. Das Gewicht liefert nur die Antriebskraft.

Die Zahlen entsprechen der tatsächlichen Auslegung dieses Modells. Es besitzt ein Sekundenpendel und ein Hemmungsrad mit 30 Zähnen. Räder mit 96, 64 und 60 Zähnen treiben Triebe mit jeweils 8 Zähnen an. Beim Öffnen der Seite werden die Zeiger auf die örtliche Zeit gestellt. Die kleine Tabelle in der Bühne zeigt die aktuelle Schlagdauer, die tägliche Vor- oder Nacheilung, die örtliche Schwerebeschleunigung, die wirksame Pendellänge, die Schwingungsweite und die verbleibende Laufzeit des Gewichts. Alle Werte werden auf der Seite aus den Einstellungen unter „Steuerung“ berechnet.

Warum das Gewicht nicht einfach herunterfällt

Ein Gewicht ist der einfachste Energiespeicher für eine Uhr. Beim Anheben speichert es Energie, beim Absinken gibt es sie so schnell ab, wie das Werk es zulässt. Anders als eine aufgewickelte Feder zieht es mit gleicher Kraft, ob noch viel oder wenig Schnur auf der Trommel liegt. Deshalb blieben Präzisionsregulatoren noch lange gewichtgetrieben, als Federn in Haushaltsuhren längst üblich waren.

Ohne Werk fiele das Gewicht in wenigen Augenblicken auf den Boden. In der Uhr darf es nur so schnell sinken, wie sich das Großbodenrad dreht: einmal in 12 Stunden. Die Trommel dieses Modells mit 20,5 mm Radius gibt dabei je Umdrehung 12,9 cm Schnur frei, also etwa 25,8 cm pro Tag. Echte Acht-Tage-Uhren hängen das Gewicht an eine Rolle, die den Fallweg halbiert, und tragen genug Schnur für die ganze Woche. „Schnur auf der Trommel“ stellt im Modell die verbleibenden Windungen von 0 bis 16 ein. Eine Windung reicht für 12 Stunden, 16 Windungen für acht Tage. Der sichtbare Fallweg ist verkürzt, damit er ins Gehäuse passt. Bei null Windungen bleibt die Uhr stehen. Das Pendel schwingt noch eine Weile allein weiter, immer schwächer, bis es die Hemmung nicht mehr auslösen kann.

„Gewicht“ verändert die Zugkraft über eine Masse von 1 bis 8 kg. Bei einer Pendeluhr macht ein schwereres Gewicht die Uhr nicht unmittelbar schneller. Es vergrößert die Schwingungsweite etwas, weil jeder Hemmungsimpuls mehr Energie überträgt. Die größere Schwingungsweite verändert den Gang geringfügig durch den später erläuterten Kreisfehler. Bei der ältesten Hemmung, Spindel und Waag, beeinflusst das Gewicht den Gang dagegen direkt und stark.

Vier Räder erhöhen die Drehzahl auf das 720-Fache

Jede Welle trägt ein großes Rad und einen kleinen gezahnten Trieb. Das Rad einer Welle treibt den Trieb der nächsten an. Weil der Trieb viel kleiner ist, dreht sich die nächste Welle schneller. Die Zähne eines Triebs heißen in der Uhrmacherei auch Blätter.

Das Großbodenrad dreht sich einmal in 12 Stunden. Die Minutenradwelle dreht sich daher 12-mal in 12 Stunden, also einmal pro Stunde. Sie trägt den Minutenzeiger. Die Kleinbodenradwelle dreht sich 8-mal pro Stunde und die Hemmungsradwelle nochmals 7,5-mal schneller: 60-mal pro Stunde, einmal pro Minute. Deshalb kann der Sekundenzeiger direkt auf der Hemmungsradwelle sitzen.

Das Räderwerk vervielfacht nur die Drehzahl. Keines seiner Teile weiß, was eine Sekunde ist. Ohne Hemmung würde das Gewicht das ganze Werk rasend schnell drehen und die Zeiger über das Zifferblatt jagen.

Mit „Kleinbodenrad“ lässt sich das Rad mit 60 Zähnen gegen eines mit 54 bis 66 Zähnen austauschen. Der Sekundenzeiger bleibt davon unberührt, weil seine Hemmungsradwelle weiterhin einmal pro Minute dreht. Minuten- und Stundenzeiger reagieren dagegen: Bei 61 Zähnen dreht sich das Hemmungsrad 61-mal pro Umdrehung des Minutenzeigers. Dieser geht um einen Anteil von 1 zu 61 nach, rund 1417 Sekunden pro Tag. Uhrmacher wählen Zahnzahlen für exakte Übersetzungen. Schon ein Zahn zu viel ist ein grober Fehler. Das Pendel kann vollkommen richtig schwingen und die Uhr trotzdem falsch gehen.

Die Hemmung gibt jeweils einen halben Zahn frei

Die Hemmung vermittelt zwischen Gehwerk und Pendel. Sie erfüllt gleichzeitig zwei Aufgaben: Sie lässt das Werk in kleinen, gleichmäßigen Schritten vorlaufen und gibt dem Pendel bei jeder Schwingung etwas Energie zurück, damit es nicht stehen bleibt.

Dieses Modell verwendet die ruhende Ankerhemmung, die in fast allen Präzisionspendeluhren eingesetzt wurde. Bei Tempo 0,25× zeigt der vierte Führungsschritt einen Zyklus im Detail:

1. Ruhe. Ein Zahn des Hemmungsrads liegt auf der gekrümmten Ruhefläche einer Palette. Diese Fläche ist ein Kreisbogen um den Ankerdrehpunkt. Während der Zahn darauf drückt, kann die Palette vorbeigleiten, ohne das Rad zurückzuschieben. Das Rad steht vollkommen still, das Pendel schwingt frei.
2. Auslösung und Hebung. Auf dem Rückweg zur Mitte gleitet die Ruhefläche vom Zahn, der nun auf die schräge Hebefläche trifft. Das Rad dreht sich, und der Zahn drückt entlang der Schräge. Über Anker und Pendelgabel erhält das Pendel einen kleinen Anstoß. Er erfolgt nahe dem tiefsten Punkt der Schwingung, wo er am günstigsten wirkt.
3. Fall. Der Zahn gleitet vom Ende der Palette. Das Rad springt ein kurzes Stück weiter, bis auf der anderen Seite ein Zahn auf der Ruhefläche der zweiten Palette landet. Dieses Auftreffen ist das hörbare Ticken.

Die beiden Paletten liegen bei dieser Konstruktion um 90° am Hemmungsrad versetzt. Der Ankerdrehpunkt liegt dadurch etwa um das 1,41-Fache des Radradius über der Radmitte, also um die Quadratwurzel aus 2. Jeder Arm trifft das Rad tangential. Die Paletten überspannen siebeneinhalb Zähne. Wenn eine Palette eine Zahnspitze hält, liegt die andere genau zwischen zwei Zähnen. Jede Schwingung gibt einen halben Zahn frei, zwei Schwingungen einen ganzen.

Bei der älteren rückführenden Ankerhemmung sind die Ruheflächen keine Kreisbögen. Deshalb schiebt das Pendel das Rad nach jedem Tick etwas zurück. Das ist an alten Uhren erkennbar: Ruckt der Sekundenzeiger nach jedem Tick kurz rückwärts, besitzt die Uhr eine rückführende Hemmung.

Vier Hemmungen aus sechs Jahrhunderten

„Hemmung“ tauscht den tickenden Teil des Werks aus. Jede Ausführung war für ihre Zeit eine bestmögliche Lösung.

Spindel und Waag, seit dem 14. Jahrhundert. Die ersten mechanischen Uhren hatten kein Pendel. Eine senkrechte Spindel trägt zwei kleine Lappen, die die Zähne eines Kronrads auffangen. Dessen Zähne zeigen entlang der Radachse. Oben sitzt die Waag, ein Balken mit zwei Gewichten. Das Kronrad drückt gegen einen Lappen, die Waag schwenkt, der andere Lappen fängt gegenüber einen Zahn auf, und der Antrieb kehrt sich um. Die Waag hat keine eigene natürliche Schwingungsdauer. Sie bewegt sich so schnell, wie das Kronrad sie antreiben kann. Ein schwereres Antriebsgewicht beschleunigt die Uhr, nach außen verschobene Waaggewichte verlangsamen sie. Bei eingesetzter Spindel verschiebt „Pendellänge“ im Modell diese Gewichte. Die Waag schwingt weit, etwa 40° nach jeder Seite. Ihr Gang folgt dem Antrieb. Der Wechsel von 4 kg auf 6 kg lässt die Spindeluhr im Modell täglich mehr als fünf Stunden vorgehen.

Rückführender Anker, London, etwa 1671. Mit dem Pendel erhielt die Uhr endlich einen Regler mit eigener Schwingungsdauer. Der Anker erlaubte Ausschläge von nur wenigen Grad und machte lange, langsame Pendel praktikabel. Seine Palettenflächen sind gerade Schrägen. Nach jedem Tick setzt sich die Schwingung fort und schiebt das Hemmungsrad etwas zurück. Im Modell zittert es jedes Mal kurz rückwärts, wenn ein Zahn zur Ruhe kommt.

Ruhende Hemmung, George Graham, etwa 1715. Graham formte die Ruheflächen als Kreisbögen um den Ankerdrehpunkt. Der Zahn ruht auf dem Bogen, ohne sich zu bewegen. Rad und Sekundenzeiger stehen zwischen den Schlägen völlig still. Der Anstoß erfolgt nahe dem tiefsten Punkt und stört die Schwingungsdauer dort am wenigsten. Diese Hemmung ist beim Öffnen des Modells eingestellt. Sie blieb der Standard für Präzisionspendeluhren bis zur Ablösung durch elektrische Uhren.

Grashüpferhemmung, John Harrison, 1720er-Jahre. Harrison war Tischler und baute seine ersten Uhren überwiegend aus Holz. Er suchte eine Uhr, die kein Öl brauchte, weil eindickendes Öl den Gang verändert. Seine Grashüpferhemmung fängt jeden Zahn mit einem gelenkigen Arm auf, der ohne Gleitreibung sauber wegschwenkt. Nach Royal Museums Greenwich hielten seine Präzisionsstanduhren der mittleren 1720er-Jahre die Zeit auf etwa eine Sekunde im Monat genau.

Eine fünfte Bauart, die Schwerkrafthemmung, erscheint an der Turmuhr. Dort hebt das Räderwerk lediglich zwei Arme an. Das Pendel erhält seine Anstöße von den unter ihrem Eigengewicht fallenden Armen. Dazu später mehr.

Warum das Pendel den Takt vorgibt

Die Periodendauer eines Pendels, also die Zeit für eine vollständige Hin- und Herbewegung, hängt fast nur von seiner Länge und der Schwerkraft ab. Für kleine Ausschläge gilt:

T = 2π √(L / g)

Ein Sekundenpendel braucht eine Sekunde je Halbschwingung, seine volle Periode beträgt also 2 Sekunden. Bei Normfallbeschleunigung g = 9,80665 m/s² erfordert das L = gT²/4π² = 0,9936 m, gemessen von der Biegestelle der Aufhängungsfeder bis zum Schwingungsmittelpunkt des Pendelkörpers. Das ist der lange Stab im Modell und der Grund für die hohe Form solcher Standuhren.

Das Hemmungsrad mit 30 Zähnen passt genau zum Sekundenpendel: 2 Schläge je Zahn × 30 Zähne = 60 Schläge je Umdrehung = eine Umdrehung pro Minute.

„Pendellänge“ macht den Zusammenhang sichtbar. Die Periode wächst mit der Quadratwurzel der Länge. Ein Viertel der Länge bedeutet deshalb den doppelten Takt: Bei 0,25 m dauert ein Schlag etwa 0,50 s, die Uhr läuft doppelt so schnell. Für die halbe Schlagdauer ist ein viermal kürzeres Pendel nötig. Deshalb ticken Kaminuhren mit kurzen Pendeln schnell und Turmuhren mit langen Pendeln langsam. Die Reguliermutter arbeitet nach demselben Prinzip, verschiebt den Pendelkörper aber nur um Bruchteile eines Millimeters.

Schwerkraft ist nicht überall gleich

Die Formel enthält eine zweite Variable, die nicht konstant ist. Die Schwerkraft ist an den Polen etwa 0,5% stärker als am Äquator. Einerseits wölbt sich die Erde am Äquator nach außen, sodass die Oberfläche weiter vom Erdmittelpunkt entfernt liegt. Andererseits wirkt dort die Erdrotation stärker nach außen. Mit der Höhe nimmt die Schwerebeschleunigung ebenfalls ab, um etwa 0,003 m/s² je Kilometer.

Das Modell nutzt die WGS-84-Normalschwereformel für die Erdgestalt und ergänzt diese Höhenkorrektur. Die Uhr wurde auf Meereshöhe bei 45° Breite reguliert. Mit „Breitengrad“ und „Höhe“ oder den Ortsknöpfen im Labor unter der Steuerung lässt sie sich versetzen:

Fünf Millimeter liegen zwischen dem Sekundenpendel am Äquator und dem am Pol.

Wärme, Kälte und kompensierte Pendel

Metalle dehnen sich bei Erwärmung aus. Ein Stahlstab wächst je Grad Celsius um etwa 12 Millionstel seiner Länge. Bei einem Pendel von 0,994 m sind das 0,012 mm je Grad. Das klingt unbedeutend, bis klar wird, dass ein Millimeter etwa 43 Sekunden pro Tag ausmacht. Wird der Raum um 10 °C wärmer, geht ein einfaches Stahlpendel täglich etwa 5 Sekunden nach. Deshalb läuft eine nicht kompensierte Uhr im Sommer langsamer und im Winter schneller.

„Pendelstab“ bietet fünf Lösungen.

• Stahlstab. Der einfache Stab im Modell. Seine Ausdehnung beträgt etwa 12 × 10⁻⁶ je °C. Zwischen 5 °C und 30 °C verändert sich der Gang um etwa 13 s pro Tag.
• Holzstab. Geradfaseriges Holz dehnt sich entlang der Faser viel weniger aus, im Modell etwa 4 × 10⁻⁶ je °C. Deshalb wurde es in vielen guten Haushaltsuhren verwendet. Es quillt allerdings bei Feuchtigkeit, auf die ein Metallstab nicht reagiert.
• Rostpendel. John Harrisons Entwurf von 1726 lässt Stahlstäbe nach unten wachsen und Messingstäbe nach oben. Messing dehnt sich um etwa 19 × 10⁻⁶ je °C aus. Werden die Längen so gewählt, dass Stahllänge × 12 gleich Messinglänge × 19 ist, heben sich die Änderungen auf. Für 0,994 m wirksame Länge erfordert das etwa 2,70 m Stahl und 1,70 m Messing in Reihe. Deshalb liegen bei Rostpendeln fünf oder neun Stäbe nebeneinander.
• Quecksilbergefäß. George Grahams Lösung von 1721 nutzt ein Glasgefäß mit Quecksilber als Pendelkörper. Wenn der Stab länger wird und das Gefäß absenkt, dehnt sich das Quecksilber aus. Sein Spiegel steigt und hebt den Schwerpunkt des Körpers an. Quecksilber vergrößert sein Volumen je Grad um etwa 181 Millionstel. Im Modell ergibt sich eine etwa 14,6 cm hohe Säule zur Kompensation eines Stahlstabs von 0,994 m.
• Invarstab. Invar ist eine Eisenlegierung mit etwa 36% Nickel und dehnt sich kaum aus, im Modell etwa 1,2 × 10⁻⁶ je °C. Viele Präzisionsregulatoren des 20. Jahrhunderts verwendeten sie.

Ein echtes kompensiertes Pendel gleicht nie alles vollständig aus. Deshalb verbleibt auch beim Rostpendel und beim Quecksilbergefäß des Modells eine kleine Ausdehnung. In der dritten Laboraufgabe wird der Raum auf 30 °C erwärmt. Nach dem beobachteten Nachgang des Stahlpendels lässt sich ein Stab wählen, der den Unterschied zwischen 5 °C und 30 °C innerhalb von 2 Sekunden täglich hält. Das Jahresdiagramm führt von 5 °C im Januar bis 30 °C im Juli. Beim Stahlpendel schwankt die Zeitabweichung über das Jahr um mehrere Minuten, bei den kompensierten Pendeln bleibt sie innerhalb weniger Sekunden.

Kreisfehler und Antrieb

T = 2π √(L / g) gilt exakt nur für verschwindend kleine Ausschläge. Größere Schwingungen dauern etwas länger. Christiaan Huygens untersuchte dieses Problem in seinem Buch Horologium Oscillatorium von 1673. Bei einem Ausschlag von θ nach jeder Seite wächst die Periode ungefähr um den Anteil θ²/16, wobei θ im Bogenmaß steht. Die Korrektur ist klein, verschwindet aber nie ganz. Das Pendel mit ruhender Hemmung schwingt um ±3°. Gegenüber einer unendlich kleinen Schwingung kostet das bereits etwa 15 Sekunden täglich. Diesen festen Anteil gleicht die Reguliermutter einmalig aus.

Problematisch wird eine Änderung der Schwingungsweite. Wenn sich die Antriebskraft durch eindickendes Öl, einen verschmutzten Zapfen oder ein anderes Gewicht ändert, verändern sich Ausschlag und Gang. Der Wechsel von ±3° auf ±4° führt zu etwa 11,5 Sekunden Nachgang pro Tag. Deshalb waren Hemmungen mit kleinen, gleichmäßigen Ausschlägen ein großer Fortschritt. Auch die unterschiedlichen Wirkungen von „Gewicht“ erklären sich so:

Im Modell wächst die Schwingungsweite mit der Quadratwurzel des Antriebs. Diese einfache Annahme genügt, um den Unterschied zu zeigen. Der Astronom George Airy bewies 1826, dass ein symmetrisch um den tiefsten Punkt verteilter Anstoß die Periode nicht verändert. Deshalb gibt die ruhende Hemmung ihren Impuls dort ab.

Die berechneten Zahlen

Diese Werte folgen aus der Pendelformel. Bei Länge, Temperatur und Schwerkraft skaliert die Periode mit der Quadratwurzel aus L/g. Eine relative Änderung einer dieser Größen ergibt deshalb die halbe relative Gangänderung. Für die Amplitude wurde die exakte Periode großer Schwingungen verwendet, berechnet über das arithmetisch-geometrische Mittel. Die Seite vergleicht sie mit der Reihe 1 + θ²/16 + 11θ⁴/3072 + … .

Die Reguliermutter unter dem Pendelkörper ist die Einstellung für den Besitzer. Beim Drehen hebt oder senkt sie den Körper um Bruchteile eines Millimeters. Wie die erste Tabellenzeile zeigt, entspricht ein Millimeter mehr als 40 Sekunden pro Tag. Die erste Laboraufgabe beginnt mit einer Uhr, die täglich etwa 10 Sekunden nachgeht. Etwa ein Viertelmillimeter an der Mutter behebt das.

Die Stunden schlagen

Eine Schlaguhr hat neben dem Gehwerk ein zweites Räderwerk, in vielen Standuhren mit eigenem Gewicht. Erreicht der Minutenzeiger die volle Stunde, gibt ein Hebel dieses Schlagwerk frei. Es hebt einen Hammer und lässt ihn für jede angezeigte Stunde einmal auf die Glocke fallen: einmal um ein Uhr, zwölfmal mittags und um Mitternacht, insgesamt 78 Schläge in 12 Stunden. Währenddessen dreht sich ein kleiner Windfang. Der Luftwiderstand an seinen Flügeln hält die Abstände gleichmäßig. Nach der richtigen Schlagzahl wird das Werk bis zur nächsten Stunde wieder gesperrt.

„Stundenschlag“ schaltet das Schlagen im Modell ein oder aus. Im Labor löst ein Knopf sofort die aktuelle Stunde aus. Song I-yeongs Armillaruhr von 1669 erfüllte dieselbe Aufgabe anders: Eisenkugeln rollten durch eine Rinne und lösten den Hammer aus.

Eine Turmuhr: die Great Clock of Westminster

Bei „Ansicht: Turmuhr“ fährt die Kamera zu einem Modell im Maßstab 1:8 der Uhr im Elizabeth Tower. Meist heißt sie Big Ben, obwohl das streng genommen der Name ihrer Stundenglocke ist. UK Parliament nennt die Abmessungen: vier Zifferblätter mit 7 m Durchmesser, jeweils 324 Scheiben Opalglas und IV für vier Uhr. Die Minutenzeiger sind 4,2 m lang, das Werk misst 4,7 m auf 1,4 m und ruht auf einem 5 Tonnen schweren Gusseisenrahmen. Das Pendel ist 4,4 m lang, wiegt 310 kg und schlägt alle 2 Sekunden. Sein 203 kg schwerer Körper besteht aus konzentrischen Rohren aus Stahl und Zink.

Ein Schlag von 2 Sekunden erfordert in Londons Schwerkraft eine wirksame Länge von etwa 3,98 m. Deshalb beträgt die gesamte Pendellänge 4,4 m. Im Modell hängt es durch einen Schlitz im Boden des Uhrenraums.

Als der königliche Astronom George Airy 1846 den Wettbewerb für die Uhr begutachtete, verlangte er eine Genauigkeit von einer Sekunde beim Stundenschlag. Erst Edmund Beckett Denisons Entwurf vom Februar 1852 erfüllte die Forderung. Die Uhr wurde im April 1859 eingebaut und lief ab dem 31. Mai 1859. Ihre Zeit wurde telegrafisch mit den Chronometern in Greenwich verglichen.

Denisons Antwort war die doppelte dreiarmige Schwerkrafthemmung. Wind und Schnee drücken auf die riesigen Turmuhrzeiger, und die Kraft läuft durch das Räderwerk zurück. Bei einer Ankerhemmung würde sie das Pendel erreichen und seinen Ausschlag verändern. In der Schwerkrafthemmung berührt das Werk das Pendel nie direkt. Es hebt lediglich abwechselnd zwei Arme an, die anschließend unter ihrem Eigengewicht fallen und das Pendel anstoßen. Dieser Anstoß bleibt gleich, was auch mit den Zeigern geschieht. Ein Windfang an der Hemmungsradwelle bremst das Rad, damit es nicht auf die Arme hämmert.

Reguliert wird die Great Clock mit Pennymünzen aus der Zeit vor der Dezimalwährung auf einer Ablage am Pendel. Eine zusätzliche Münze lässt die Uhr in 24 Stunden zwei Fünftelsekunden, 0,4 s, vorgehen, weil sie den Schwingungsmittelpunkt geringfügig anhebt. Die letzte Laboraufgabe startet mit 1,2 Sekunden Nachgang täglich. Drei Pennys korrigieren ihn.

Wie genau die Uhren wurden

Das Vergleichsdiagramm im Labor zeigt die von den Quellen genannten täglichen Fehler auf logarithmischer Skala. Die eigene Uhr mit ihren aktuellen Einstellungen kommt hinzu:

In etwa 230 Jahren verbesserten sich die besten Pendeluhren um das Mehrtausendfache. Meist wurden die genannten Fehler einzeln bekämpft: zunächst an der Hemmung, also Kreisfehler und Antrieb, dann am Stab mit seiner Temperaturempfindlichkeit und schließlich an der Verbindung zwischen Pendel und Werk. Riefler machte sie nahezu frei, Shortt trennte sie ganz, indem ein zweites, abhängiges Pendel die Zeiger antrieb.

Wie die Pendeluhr entstand

Im 14. Jahrhundert tauchten in europäischen Türmen mechanische Uhren auf, geregelt durch Spindel und Waag. Ihr Gang hing stark von der Antriebskraft ab. Fehler von vielen Minuten täglich waren normal.

1656 baute Christiaan Huygens die erste Pendeluhr. Galileo hatte Pendel Jahrzehnte zuvor untersucht und eine Pendeluhr skizziert, vor seinem Tod 1642 jedoch keine vollendet. Huygens' frühe Uhren wichen täglich weniger als eine Minute ab, spätere Verbesserungen weniger als zehn Sekunden. 1673 veröffentlichte er Horologium Oscillatorium, eine mathematische Untersuchung der Pendelbewegung, die das Problem weiter Ausschläge erklärte.

Um 1670 folgte die Ankerhemmung. NIST datiert William Clements erste Londoner Uhren mit der neuen rückführenden Ankerhemmung auf 1671. George Graham machte die ruhende Ausführung ab etwa 1715 in seinen Präzisionsregulatoren bekannt. Im 19. Jahrhundert hatte sie sich in den meisten hochwertigen Pendeluhren verbreitet.

In Korea baute der Astronomieprofessor Song I-yeong 1669 eine Armillaruhr für das Office of Special Counselors. Zwei Gewichte treiben sie an. Eines bewegt das Gehwerk, das andere ein Schlagwerk, in dem Eisenkugeln durch eine Rinne rollen und den Hammer auslösen. Sie ist die einzige erhaltene astronomische Uhr der Joseon-Zeit, wird im Korea University Museum aufbewahrt und ist ein Nationalschatz Koreas.

Anfang des 20. Jahrhunderts erreichten Pendeluhren ihren Höhepunkt. Siegmund Rieflers Uhr von 1889 mit nahezu freiem Pendel hielt die Zeit auf eine Hundertstelsekunde, 0,01 s, pro Tag genau. Die Shortt-Uhr mit freiem Pendel von 1921 ersetzte sie in vielen Observatorien. NIST, damals National Bureau of Standards, nutzte ab 1904 eine Riefler und ab 1929 eine Shortt als Zeitintervallnormal. Ab den 1920er-Jahren entwickelte Quarzoszillatoren und später Atomuhren ließen alle mechanischen Zeitmesser weit hinter sich. Heute definiert die Frequenz des Cäsium-133-Atoms die Sekunde selbst. Pendel werden an Atomen gemessen, nicht umgekehrt.

Die Schwarzwälder Kuckucksuhr und das Bahnhäusle

Die bekannteste Gewichtsuhr Deutschlands hängt in vielen Wohnzimmern: die Kuckucksuhr aus dem Schwarzwald. Ihre typische Form entstand nach dem Deutschen Uhrenmuseum Furtwangen dort, wo das Museum heute steht. 1850 wurde der Ingenieur Robert Gerwig (1820 bis 1885) Gründungsdirektor der Großherzoglich Badischen Uhrenmacherschule in Furtwangen. Im September 1850 rief er Künstler und Architekten auf, Uhrenkästen und Schilder zu entwerfen, damit die kleinen Werkstätten gegen die ersten Uhrenfabriken bestehen konnten.

Herausragend war der Entwurf von Friedrich Eisenlohr (1804 bis 1852), Architekt vieler Bauten an der ersten badischen Staatseisenbahn. Er nahm die Fassade eines Bahnwärterhäuschens und setzte ein Zifferblatt hinein. Die einzige bekannte Uhr nach seinem Originalentwurf, 51 cm hoch und ohne Kuckuck, besitzt das Museum (Inv. 2003-081). Ab Mitte der 1850er Jahre setzte ein Boom ein: Auf der Gewerbeausstellung in Villingen 1858 boten zahlreiche Aussteller Kuckucksuhren im „Bahnhäuschenkasten“ an. Ab den 1860er Jahren kamen Schnitzereien mit Laub und Waldtieren dazu, geschnitzte Zeiger und Gewichte in Form von Tannenzapfen.

Diese Gewichte treiben das Werk an, wie beim Modell oben das Gewicht im Kasten. Die Uhr wurde arbeitsteilig gefertigt, und 1873 nannte Karl Schott, Leiter der Furtwanger Landesgewerbehalle, die Kuckucksuhr „eine der gesuchtesten Schwarzwälder Uhren“. Nach 1900 stieg auch Junghans, damals die größte Uhrenfabrik der Welt, in das Geschäft ein.

Wie sich der Fehler summiert

Wenige Sekunden täglich sind schwer vorstellbar. Die Bühne zeigt deshalb die spätere Zeigerstellung. Geisterzeiger setzt rote Zeiger auf die Stellung nach einem Tag, einer Woche, 30 Tagen oder einem Jahr beim aktuellen Fehler. Vorspulen lässt diese Tage in etwa drei Sekunden verstreichen, während die roten Zeiger von den wirklichen abweichen.

Eine bei 45° Breite regulierte Uhr verliert am Äquator etwa 114 Sekunden täglich. Nach einer Woche liegt ihr Geisterminutenzeiger 13,3 Minuten zurück. Ein Stahlpendel in einem Raum mit 30 °C verliert täglich 5,4 Sekunden, woraus in einer Woche 38 und in 30 Tagen 162 Sekunden werden. Mit einem kompensierten Stab bleiben die Zeiger nah beieinander.

Die Schaltfläche für 0,0 s startet die feinste Regulierung. Die Uhr kommt nach Seoul bei 24 °C und geht zunächst täglich 32,0 Sekunden nach. Die Mutter bewegt sich pro Knopfdruck um 0,1 mm, entsprechend etwa 4,3 Sekunden täglich. Fein bedeutet 1/250 Umdrehung. Bei 0,5 mm Gewindesteigung sind das 0,002 mm oder etwa 0,09 Sekunden täglich. Damit lässt sich 0,0 Sekunden erreichen; die Mutter endet nahe 1,49 mm.

Der Stab unter der Lupe

Wärmeausdehnung ist in Originalgröße unsichtbar. Die Stablupe vergleicht das Pendel bei 20 °C mit dem jetzigen und vergrößert nur die Änderung um Hunderte bis wenige Tausend Male. Von 20 °C auf 40 °C wächst die wirksame Stahllänge um 0,238 mm, Holz um 0,080 mm. Das Wood Handbook des US Forest Products Laboratory nennt für trockenes Holz längs der Faser 3,1 bis 4,5 Millionstel pro Kelvin; das Modell nutzt 4. Invar wächst um 0,024 mm. Guillaume erhielt 1920 den Physiknobelpreis für die Entdeckung der dafür wichtigen Anomalien in Nickelstahllegierungen.

Beim Rostpendel zeigen zwei Pfeile die Bewegungen. Stahlstäbe mit zusammen 2,70 m Länge drücken den Pendelkörper 0,647 mm abwärts, Messingstäbe heben ihn 0,631 mm zurück: Es bleiben 0,016 mm. Beim Quecksilberpendel senkt der Stab das Gefäß um 0,238 mm, während steigendes Quecksilber den Schwerpunkt um 0,227 mm hebt; übrig bleiben 0,012 mm. Dieser Rest ist die kleine Modellausdehnung kompensierter Stäbe von 0,8 und 0,6 Millionstel je °C, keine Messung einer bestimmten Uhr.

Schwerkraft auf der Karte

Die Weltkarte im Labor enthält 18 Städte. Eine Stadt setzt auch ihre Höhe; ein anderer Kartenpunkt setzt die Breite auf Meereshöhe. Die WGS-84-Normalschwereformel hängt nur von der Breite ab, liefert also nördlich und südlich dieselben Werte. Pro Höhenmeter sinkt die Schwere um 3,086 × 10⁻⁶ m/s². Die Skala reicht von 9,780 m/s² am Äquator bis 9,832 m/s² an den Polen. Die von NIST angegebene Standardschwere 9,80665 m/s² ist ein fester Referenzwert nahe dem Wert bei 45°.

Die Uhr wurde bei 45° auf Meereshöhe reguliert. Ohne Korrektur verliert sie in Quito auf 2.850 m fast am Äquator täglich 153 Sekunden, in Lhasa auf 3.650 m 108 und in Seoul 30 Sekunden. In London gewinnt sie 25, in Reykjavík 70 und am Nordpol 114 Sekunden. Das Sekundenpendel ändert sich ebenfalls: von 990,1 mm in Quito auf 996,2 mm am Pol.

Wasseruhren, astronomische Uhren und Harrisons Zwischenmodelle

Koreas schlagende Wasseruhr entstand vor jeder Pendeluhr. Jang Yeong-sil baute Jagyeongnu 1434 unter König Sejong. Wasser floss durch ein kleineres Gefäß in ein hohes Auffanggefäß. Eisenkugeln lösten nacheinander Glocke, Gong und Trommel aus oder ließen Holzfiguren eine Stundentafel hochhalten. Die erhaltenen Teile stammen von 1536 und sind ein Nationalschatz im Nationalen Palastmuseum Koreas. Das große Bronzegefäß hat 93,5 cm Durchmesser und 70,0 cm Höhe.

Die Prager astronomische Uhr baute Mikuláš von Kadaň 1410; Ende des 15. Jahrhunderts wurde sie verbessert. 1865 blieb sie stehen und sollte entfernt werden, bis Ludvík Hainz sie reparierte. Sie zeigt vier Zeitarten, darunter die ungleichen babylonischen Stunden zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang. Die Uhr im Straßburger Münster ist die dritte. Nach dem endgültigen Stillstand der zweiten 1788 baute Schwilgué 1838 bis 1842 ein neues Werk ins Renaissancegehäuse.

H2 und H3 liegen zwischen H1 und H4. H2 von 1737 bis 1739 erhielt ein Remontoir für gleichmäßige Kraft an zwei Unruhen, wurde aber wegen eines Fehlers nie auf See getestet. H3 wurde 1740 begonnen und fast 19 Jahre gebaut und reguliert, ohne den Preis zu gewinnen. Bimetallstreifen und Rollenlager mit Käfig werden noch heute verwendet. Diese Uhren und Guillaumes Invar ergänzen die nun 49 Einträge im Labor.

Was das Modell vereinfacht

• Der Fallweg des Gewichts ist auf die Gehäusehöhe verkürzt. Auf dem Bildschirm entsprechen 16 Windungen 0,47 m, während die echte Trommel etwa 2 m Schnur abgäbe.
• Spindel und Waag sitzen zum Austauschen im selben Werk wie die übrigen Hemmungen. Echte Waaguhren waren Turm- und Zimmeruhren mit anderen Räderwerken und eigenen Zahnzahlen ihrer Kronräder. Hier dauert bei 4 kg ein Schlag 1 Sekunde, damit die Zeiger vergleichbar bleiben.
• Bei jeder Hemmung wächst die Schwingungsweite mit der Quadratwurzel des Antriebs. Echte Hemmungen besitzen zusätzliche kleine Fehler. Der rückführende Anker gleicht beispielsweise einen Teil des Kreisfehlers aus. Das Modell lässt solche Effekte weg.
• Die Ausdehnungskoeffizienten sind typische Tabellenwerte. Kompensierte Stäbe behalten eine kleine Restausdehnung statt eines perfekten Nullwerts.
• Die Turmuhr ist eine Skizze im Maßstab 1:8. Ihre drei Werke erscheinen als einfache Räder und Trommeln, und das Hemmungsrad dreht sich im Modell je Schlag um 60°.
• Luftdruck, Feuchtigkeit, Steifigkeit der Aufhängungsfeder und die Massenverteilung des Pendels werden nicht modelliert. Ein echtes Sekundenpendel ist insgesamt etwas länger als 0,994 m, weil sein Schwingungsmittelpunkt etwas unterhalb der Mitte des Pendelkörpers liegt.

Selbst ausprobieren

Das Labor unter der Steuerung bietet zehn Aufgaben. Jede stellt die Uhr passend ein, und ein Häkchen erscheint beim Erreichen des Ziels. Der Fortschritt bleibt in diesem Browser gespeichert.

1. Eine täglich 10 Sekunden nachgehende Uhr nur mit der Reguliermutter korrigieren.
2. Das Sekundenpendel finden: Bei Mutterstellung null die Länge für einen Schlag von 1,000 s einstellen.
3. Den sommerlichen Nachgang untersuchen: Raum erwärmen und einen temperaturkompensierenden Stab wählen.
4. Die Uhr zum Äquator bringen und nachregulieren.
5. Spindel und ruhende Hemmung beim Gewichtswechsel von 4 kg auf 6 kg vergleichen.
6. Big Ben mit Pennys regulieren.
7. 0,0 s täglich anstreben: Die Uhr in Seoul mit Mutter und Feinknöpfen auf der Bühne regulieren.
8. Ein Sommermonat: Einen Stab wählen, dessen Geisterzeiger nach 30 Tagen bei 30 °C höchstens 25 Sekunden abweichen.
9. Die Uhr auf der Weltkarte nach Lhasa versetzen und regulieren.
10. In der Stablupe einen Stab finden, der zwischen 20 °C und 40 °C weniger als 0,05 mm wächst.

Unter den Aufgaben folgen ein Rechner für die Zeigerabweichung nach einem Tag, einer Woche, einem Monat und einem Jahr, der Raumtemperaturverlauf eines Jahres, Orte mit unterschiedlicher Schwerkraft, das Genauigkeitsdiagramm, eine Weltkarte der Schwerkraft und 49 Uhren sowie Wendepunkte der Geschichte. Jeder Eintrag nennt seine Quelle und besitzt einen Knopf für die passende Modelleinstellung.