아치와 다리가 버티는 법

모형이 보여 주는 것

오래된 돌다리 밑에 서서 위를 올려다보면 이상한 점이 하나 있습니다. 돌과 돌 사이에 중력을 이길 만큼 센 접착제가 없는데도 아치는 몇백 년을 버팁니다. 근처의 강철 철교는 가는 막대가 그물처럼 엮인 전혀 다른 모양이고, 바닷가의 현수교는 케이블 두 줄에 도로를 매달아 놓았습니다. 생김새는 달라도 세 다리가 푸는 문제는 같습니다. 틈 위에 놓인 무게를 양쪽 땅까지 무사히 내려보내는 일입니다.

모형은 이 세 가지를 나란히 놓았습니다. 왼쪽은 반원형 돌 아치, 가운데는 프랫 트러스, 오른쪽은 주탑 두 개와 앵커리지 두 개를 갖춘 현수교입니다. 크기는 모형마다 따로 줄였기 때문에 아치는 폭 약 8 m, 트러스는 30 m, 현수교는 주탑 사이가 160 m입니다. 「하중 위치」와 「하중 크기」 막대를 움직이면 세 다리 위의 하중이 함께 옮겨 가고, 구석 계기판에 그 위치에서 계산한 힘이 나옵니다. 「쌓은 돌」 막대와 「홍예틀」 스위치로는 아치를 쌓고 나무 받침을 빼 볼 수 있습니다.

돌은 밀 수만 있습니다

돌은 누르는 힘에는 아주 강하지만 당기는 힘에는 아주 약합니다. 모르타르 없이 쌓은 돌덩이는 당기는 힘을 전혀 견디지 못하고 이음매가 그냥 벌어집니다. 그래서 돌다리는 모든 이음매가 서로 눌리고, 어느 이음매도 벌어지지 않도록 모양을 잡아야 합니다.

아치는 돌과 차의 무게를 비스듬히 미는 힘으로 바꿔서 이 일을 해냅니다. 쐐기 모양 돌 하나하나가 옆 돌에 기대고, 그 미는 힘이 곡선을 따라 돌아 양쪽 받침으로 내려갑니다. 미는 방향이 비스듬하니 받침은 두 가지를 버텨야 합니다. 아래로 내려오는 무게와, 추력이라고 부르는 옆으로 미는 힘입니다. 옆에서 받쳐 주는 것이 사라지면 아치의 발이 벌어지고 꼭대기가 내려앉습니다.

로버트 훅은 1675년에 라틴어 철자 바꾸기 수수께끼로 알맞은 아치 모양을 발표했습니다. 풀어 보면 「늘어진 사슬을 거꾸로 뒤집으면 단단한 아치의 모양이 된다」는 뜻입니다. 사슬은 당기는 힘만 받을 수 있으니, 모든 고리가 순수하게 당겨지는 모양으로 늘어집니다. 이 모양을 위아래로 뒤집으면 모든 고리가 순수하게 눌리는 모양이 되고, 돌에게는 바로 이것이 필요합니다.

홍예틀 위에서 쌓고 이맛돌로 닫습니다

아치의 절반만으로는 설 수 없습니다. 돌은 저마다 안쪽으로 기울어 있는데, 반대편에 기댈 것이 없으면 돌아가며 떨어집니다. 그래서 먼저 아치 안쪽 모양대로 윗면을 깎은 나무틀, 홍예틀을 세우고 그 위에 양쪽 발에서부터 가운데를 향해 돌을 쌓습니다.

꼭대기에 마지막으로 끼우는 돌이 이맛돌(키스톤)입니다. 이 돌을 밀어 넣는 순간 두 반쪽이 서로 기대며 고리가 닫힙니다. 그다음 홍예틀 기둥 위의 쐐기를 쳐서 빼면 틀이 몇 센티미터 내려앉고, 아치는 처음으로 제 무게를 스스로 받습니다. 모형에서 「쌓은 돌」을 15보다 적게 두고 홍예틀을 끄면 돌이 무너집니다. 15개를 다 쌓은 다음 같은 스위치를 끄면 아치는 그대로 섭니다.

모형의 이맛돌은 모양이 특별하지 않습니다. 다른 돌 열네 개와 크기도 무게도 같습니다. 이맛돌을 이맛돌로 만드는 것은 마지막에 들어간다는 사실입니다.

숫자로 보는 추력선

모형의 아치 고리는 중심선 반지름 4 m, 두께 0.6 m, 너비 3 m입니다. 화강암 단위중량을 1세제곱미터당 23.5 kN으로 잡으면 고리 전체 무게는 π × 4 × 0.6 × 3 × 23.5 = 532 kN, 약 54톤이고, 돌 15개가 35 kN씩 나눠 가집니다.

돌 하나하나를 무게중심에 걸린 하중 하나로 보고 수평 추력 H를 하나 정합니다. 한쪽 발에서 출발한 미는 힘은 첫 번째 하중을 만날 때까지 곧게 가다가, 그 하중만큼 아래로 꺾이고, 다시 다음 하중까지 곧게 갑니다. 이렇게 꺾이며 이어진 선이 추력선입니다. 각 구간의 기울기는 아직 실어 날라야 할 수직력을 H로 나눈 값이며, 늘어진 사슬의 모양을 정하는 규칙과 똑같습니다.

아치는 정해진 범위 안에서 H를 스스로 고릅니다. 추력이 작으면 깊고 뾰족한 추력선이, 추력이 크면 납작한 추력선이 나옵니다. 자크 헤이먼의 안전 정리에 따르면, 이런 선 가운데 하나라도 모든 이음매에서 돌 두께 안을 지나게 그릴 수 있으면 돌이 부서지거나 미끄러지지 않는 한 아치는 그 하중에서 무너지지 않습니다. 모형은 가능한 선을 모두 찾아보고 가장자리에서 가장 멀리 떨어진 선을 그립니다. 계기판의 백분율은 그 선이 가장 많이 치우친 이음매에서 고리 가운데로부터 얼마나 벗어났는지를 두께의 절반에 대한 비율로 나타낸 값입니다. 제 무게만 실렸을 때는 71%여서 여유가 있습니다. 이때 받침 하나는 옆으로 104 kN, 위로 266 kN을 되밀어 주는데, 266 kN은 고리 무게의 절반입니다.

고리에 하중을 올리면 추력선이 그 아래에서 날카롭게 꺾여야 합니다. 꼭대기에 약 100 kN을 올리면 여유가 다 사라져 두께 안에 들어오는 선이 하나도 남지 않습니다. 이 모형에서 가장 위험한 자리는 꼭대기 바로 옆, 경간의 45% 지점으로, 72 kN이면 한계에 닿습니다. 경간의 4분의 1 지점에서는 129 kN까지 버티고, 발 가까이에서는 하중이 거의 곧장 받침으로 내려가므로 500 kN을 넘어도 괜찮습니다. 추력선이 가장자리에 닿는 이음매는 아치가 벌어지며 경첩처럼 도는 자리입니다. 이런 경첩이 네 군데 생기면 고리가 움직일 수 있는 기구가 되어 무너집니다. 모형에서는 그런 이음매가 빨갛게 바뀝니다.

맨 고리만 있는 경우가 가장 불리합니다. 실제 돌다리는 고리 위에 흙과 돌을 채우고 길을 냅니다. 채움재의 무게가 추력선을 제자리에 붙잡아 주고, 바퀴 하중도 고리의 넓은 부분으로 퍼뜨려 줍니다.

트러스는 휨을 누름과 당김으로 바꿉니다

트러스는 통짜 보 대신 곧은 막대를 끝끼리 이어 삼각형을 여럿 만든 구조입니다. 이음부를 핀으로 보고 하중이 이음부에만 실린다고 하면, 막대마다 길이 방향의 힘 하나만 걸립니다. 파랑으로 칠한 압축이거나 빨강으로 칠한 인장입니다.

이 힘은 절점법으로 구합니다. 핀 하나하나에서 막대의 힘과 하중, 지점 반력을 더하면 가로로도 세로로도 0이 되어야 합니다. 모형 트러스는 절점이 12개라 식이 24개 나오고, 막대 21개와 지점 반력 3개를 합한 미지수도 정확히 24개입니다. 이 식을 한꺼번에 풀면 모든 힘이 나옵니다.

200 kN 트럭을 한가운데에 세웁니다. 트러스 두 개가 100 kN씩 나눠 받고, 양쪽 지점이 50 kN씩 밀어 올립니다. 가운데 칸을 잘라 모멘트를 세우면 경간 중앙의 휨모멘트는 50 kN × 15 m = 750 kN·m이고, 위아래 현재 사이가 5 m이니 상현재는 750 ÷ 5 = 150 kN 압축을 받습니다. 같은 칸의 하현재는 100 kN 인장, 사재는 50 ÷ sin 45° = 71 kN 인장입니다. 계기판에도 같은 값이 나옵니다.

트럭이 움직이면 사재의 부호가 바뀝니다

프랫 트러스의 사재는 가운데를 향해 내려가도록 기울어 있습니다. 이렇게 두면 대칭 하중에서 사재가 인장을 받는데, 긴 쇠막대는 값싸게 만들 수 있어도 가는 막대가 눌리면 휘어 버릴까 걱정하던 19세기 기술자에게 잘 맞는 배치였습니다. 토머스 프랫과 케일럽 프랫이 1844년에 고안했습니다.

그런데 트럭은 가운데에 머물지 않습니다. 경간의 3분의 1 지점으로 옮기면 가운데 칸의 전단력 방향이 뒤집힙니다. 인장 71 kN을 받던 사재 U2L3이 이번에는 압축 47 kN을 받습니다. 기술자는 하중이 지나가는 동안 막대 하나의 힘이 어떻게 변하는지 그린 영향선으로 이 문제를 다루고, 막대마다 양쪽 방향의 가장 나쁜 값을 확인합니다. 인장만 받도록 만든 옛 프랫 트러스가 가운데 칸에 엇갈린 보조 사재를 덧댄 것도 이 때문입니다.

늘어진 케이블이 포물선이 되는 이유

현수교 상판은 수직 행어에 매달려 있고, 모형에서는 8 m마다 하나씩 있습니다. 케이블 한 줄이 맡는 상판 무게는 1미터에 40 kN이고, 이 무게가 같은 간격마다 같은 크기, 행어 하나에 320 kN씩 케이블에 전해집니다.

케이블은 휨을 견디지 못하므로, 어느 지점에서든 처진 깊이는 같은 경간의 단순보가 같은 하중을 받을 때의 휨모멘트를 수평 장력 H로 나눈 값과 같아야 합니다. 균등 하중의 휨모멘트 그래프는 포물선이니 케이블도 포물선이 됩니다. 경간 중앙의 휨모멘트는 wL² ÷ 8이고 그 자리의 처짐이 f이므로 H = wL² ÷ (8f) = 40 × 160² ÷ (8 × 16) = 8,000 kN입니다. 주탑 가까이에서는 상판 무게의 수직 성분까지 더해져 장력이 8,558 kN으로 커집니다.

사슬이 제 무게만으로 늘어지면 현수선(카테너리)이 됩니다. 무게가 경간을 따라 고르게 놓이지 않고 휘어진 길이를 따라 퍼져 있기 때문입니다. 경간 160 m, 처짐 16 m에서 두 곡선의 차이는 가장 큰 곳도 52 mm입니다. 실제 케이블은 제 무게와 상판을 함께 지므로 모양이 두 곡선 사이에 놓입니다.

트럭이 올라오면 이 규칙이 깨집니다. 모형에는 보강형이 없어서, 300 kN 트럭(케이블 한 줄에 150 kN)을 경간 4분의 1 지점에 올리면 케이블이 그 자리에서 꺾입니다. 케이블 길이는 변하지 않으니 나머지 부분은 조금 올라가고, H는 8,213 kN으로 커지며, 트럭 밑 케이블은 0.24 m 내려갑니다. 모형은 이 움직임을 10배로 키워 보여 줍니다. 실제 현수교는 단단한 보강형으로 이런 하중을 여러 행어에 나눕니다.

주탑과 앵커리지

케이블은 주탑 꼭대기의 새들(안장)을 넘어 뒤쪽 경간을 타고 앵커리지까지 내려갑니다. 새들이 구를 수 있으면 양쪽의 수평 장력이 같아지므로 주탑에는 주로 수직 하중이 걸립니다. 모형의 뒤쪽 케이블은 50 m를 가는 동안 16 m 내려갑니다. 그 장력은 H를 이 기울기의 코사인으로 나눈 값으로, 상판 무게만 있을 때 8,400 kN이고, 앵커리지를 위로 2,560 kN만큼 끌어 올립니다. 앵커리지가 그렇게 큰 덩어리인 까닭이 여기에 있습니다. 그 무게로 케이블 끝을 눌러 두어야 합니다.

한국의 홍예교와 현수교

우리나라에 남아 있는 돌 아치 다리는 홍예교 또는 홍교라고 부르며, 무지개다리라는 뜻입니다. 순천 선암사 승선교는 돌 약 140개로 쌓은 반원형 홍예 하나로 된 다리입니다. 국가유산청에 따르면 1707년에 처음 놓았고 1713년 수해 뒤 보수했으며, 1963년에 보물로 지정되었습니다. 보성 벌교 홍교는 1729년에 놓였고 1737년에 고치면서 홍예 세 칸 다리가 되었으며, 지금 남은 홍교 가운데 가장 큽니다. 두 다리 모두 홍예 꼭대기 밑으로 용머리를 새긴 돌이 튀어나와 있습니다.

현수교로는 1973년 6월 22일에 개통한 길이 660 m의 남해대교가 우리나라 첫 현수교입니다. 여수와 광양을 잇는 이순신대교는 주탑 사이 경간이 1,545 m이고, 2012년 5월에 임시 개통한 뒤 2013년 2월 8일에 정식으로 개통했습니다.

계산 예: 아치가 납작할수록 더 세게 밉니다

모형 아치의 양 받침 사이를 봅니다. 경간 L = 8 m, 처짐(라이즈) f = 4 m이고, 이는 반지름 4 m와 같습니다. 꼭대기에 100 kN을 얹고 3힌지 아치로 생각합니다. 힌지는 양쪽 받침과 꼭대기에 하나씩 있습니다. 대칭이므로 받침 하나가 위로 50 kN씩 받칩니다. 꼭대기 힌지에서 아치를 잘라 왼쪽 절반의 모멘트를 그 힌지 기준으로 잡으면, 50 kN 반력은 꼭대기에서 4 m 떨어져 있고 수평 추력 H는 꼭대기 아래 4 m에 작용합니다. 그래서 50 × 4 = H × 4이고 H = 50 kN입니다. 일반식으로는 H = PL ÷ (4f) = 100 × 8 ÷ 16 = 50 kN입니다.

경간과 하중은 그대로 두고 아치만 납작하게 만들어 봅니다. f = 2 m이면 같은 식에서 H = 100 kN, f = 1 m이면 200 kN이 나옵니다. 수직 반력은 매번 50 kN 그대로이고, 옆으로 미는 힘만 바뀝니다. 그 힘은 라이즈에 반비례합니다. 납작한 아치에는 더 강한 돌보다 더 단단한 받침이 필요합니다.

고르게 퍼진 하중 w에서도 같은 규칙이 성립합니다. 포물선 아치가 미터당 w를 받으면 H = wL² ÷ (8f)이고, 이는 케이블 공식을 거꾸로 세운 것과 같습니다. 605년에 완공된 중국 허베이의 자오저우교가 좋은 대비를 보여 줍니다. 미국토목학회(ASCE)는 이 다리의 경간을 37 m, 라이즈를 23.9 ft(약 7.3 m)로 적었습니다. 이 다리와 같은 경간의 반원 아치를 모두 고른 하중을 받는 포물선으로 단순화하면(가정입니다), 전체 하중 1 kN당 추력은 L ÷ (8f)입니다. 자오저우교는 37 ÷ (8 × 7.3) = 0.63이고, 라이즈가 경간의 절반인 반원은 0.25입니다. 낮은 아치는 같은 하중에도 옆으로 약 2.5배 세게 밀고, 그 대가로 길이 완만해집니다.

홍예틀 위에서 한 켜씩

「쌓은 돌」 슬라이더는 0에서 15까지 세고, 모형의 돌 하나는 약 35 kN입니다. 돌이 10개일 때 나무 홍예틀은 달리 기댈 곳이 없는 석조 약 350 kN을 받치고 있습니다. 그 상태에서 「홍예틀」을 끄면 돌이 무너집니다. 덜 쌓은 고리는 닫힌 구조가 아니라서, 한쪽 받침에서 다른 쪽 받침까지 이어지는 추력선을 그릴 수 없기 때문입니다.

돌이 15개가 되면 상황이 완전히 달라집니다. 고리가 닫혔고, 모형은 그 안에서 추력선을 찾아내며, 홍예틀은 더 이상 쓸모 있는 힘을 받지 않습니다. 그래도 시공자는 틀을 한 번에 치우지 않고 단계적으로 내립니다. 미국 벽돌산업협회의 아치 기술 노트는 틀을 푸는 일을 쐐기돌을 넣은 뒤의 단계로 다룹니다.

이때 아치가 한 가지 상태로 딱 정해지지는 않습니다. 수평 추력은 어떤 범위 안 어디에서나 자리를 잡을 수 있습니다. 블록, 드종, 오흐센도르프는 고리 두께가 반지름의 18%인 반원 아치에서 최소 추력이 자중의 약 16%, 최대가 약 24%라고 보고했습니다. 모형의 고리는 반지름 4 m에 두께 0.6 m로 15%여서 조금 더 얇고, 범위도 그만큼 좁습니다. 모형이 그리는 추력 104 kN은 고리 무게 532 kN의 19.5%로, 그런 범위의 한가운데쯤에 있습니다. 받침이 조금 벌어지면 추력은 범위의 아래쪽으로 옮겨 가고, 고리 안에 들어가는 선이 하나라도 남아 있는 한 아치는 계속 섭니다.

아치, 트러스, 케이블 비교

세 구조는 같은 문제를 세 가지 방식으로 풉니다. 가장 뚜렷한 차이는 받침에 어떤 힘을 주는가입니다.

• 돌 아치. 고리는 늘 압축입니다. 받침은 아래로, 또 바깥으로 밀립니다. 모형에서 고리 자중만 있을 때 아래로 266 kN, 바깥으로 104 kN입니다.
• 프랫 트러스. 받침을 수직으로만 누릅니다. 부재는 하중의 위치에 따라 압축이나 인장을 받고, 휨은 현재가 맡습니다. 모형에서 100 kN 하중의 현재 힘은 경간 중앙 모멘트를 높이로 나눈 값, 750 ÷ 5 = 150 kN입니다. 높이가 절반인 2.5 m 트러스라면 같은 하중에 현재가 300 kN을 져야 합니다.
• 현수교. 케이블은 늘 인장이고 받침을 안쪽과 위쪽으로 당깁니다. 수평 장력은 H = wL² ÷ (8f)이므로 처짐이 절반이면 두 배가 됩니다. 모형의 8,000 kN은 처짐 8 m에서 16,000 kN이 됩니다.

고른 하중에서 수평력을 받는 하중과 비교해 보면, 모형 케이블은 H ÷ (wL) = 160 ÷ (8 × 16) = 1.25입니다. 처짐이 경간의 10분의 1이기 때문입니다. 같은 단순화에서 반원 아치는 라이즈가 경간의 절반이어서 0.25입니다. 경간의 10분의 1 정도로 처지는 케이블은 아치가 미는 것보다 옆으로 5배 세게 당기고, 앵커리지와 뒤쪽 케이블이 그렇게 육중한 이유가 여기에 있습니다.

재료도 같은 논리를 따릅니다. 돌과 주철은 눌릴 때 강하고 당겨질 때 부서지기 쉬워서 아치에 맞습니다. 강철은 둘 다 견뎌서 트러스에 맞습니다. 강철 선재 케이블은 압축에는 쓸모가 없지만 인장에는 뛰어나서 현수교에 맞습니다. 영국 슈롭셔 콜브룩데일의 아이언브리지를 보면 습관이 어떻게 이어지는지 알 수 있습니다. 잉글리시 헤리티지는 이 다리를 반원 리브 다섯 개로 이루어진 경간 30 m의 주철 외아치로 설명하고, 이음에는 목공의 장부 이음과 어깨 이음을 빌려 왔다고 적었습니다.

실제 다리가 시험하는 것

프랑스 퐁뒤가르. 유네스코는 이 로마 수도교를 3단의 아치로 쌓아 높이가 약 48.77 m에 이르며, 아래 두 단은 큰 석재로 지었다고 설명합니다. 같은 크기의 아치가 줄지어 있으면 각 아치가 이웃을 옆으로 밀고, 그 힘은 맨 끝 받침을 뺀 모든 교각에서 서로 상쇄됩니다. 알짜 추력은 양 끝 받침만 버티면 됩니다.

중국 자오저우교, 605년. ASCE 기록은 세계에서 가장 오래된 열린 스팬드럴 아치교라고 부릅니다. 이춘이 얇고 굽은 석회암 판 28장을 쇠 장부로 이어 만들었고, 상판 양끝의 작은 아치가 하중을 큰 아치로 나누며 홍수 때 물을 흘려보냅니다. 낮은 라이즈는 위의 추력 계산과 맞아떨어집니다.

영국 아이언브리지, 1779년. 잉글리시 헤리티지는 철 378톤이 들어갔고 비용이 처음 견적 3,200파운드보다 훨씬 많은 약 6,000파운드였다고 기록합니다. BBC 역사 페이지는 주요 주물이 482개이고 첫 아치가 1779년 7월 2일 세번강을 건넜다고 적었습니다. 잉글리시 헤리티지는 부재의 70%를 하나씩 맞춰 따로 주조해서 똑같은 것이 거의 없다고 덧붙입니다. BBC 페이지에 따르면 남쪽 교대는 심하게 움직여 1802년에 헐렸습니다. 아치는 추력을 받는 땅만큼만 믿을 만하다는 뜻입니다.

골든게이트교, 1937년. ASCE 기록에 따르면 주경간은 4,200 ft(약 1,280 m)로 완공 당시 세계에서 가장 긴 단일 경간이었고, 공사는 1932년 11월에 시작했습니다. 모형의 160 m보다 8배 깁니다. 규모가 어떻게 달라지는지만 보려고 모형의 처짐 비율 10분의 1과 미터당 40 kN 하중을 그대로 둔다고 해 봅니다. 그러면 수평 장력은 경간에 비례해 8,000 kN에서 64,000 kN으로 커집니다. 실제 다리의 하중과 처짐은 다르므로 이 값은 규모 점검일 뿐 그 다리의 수치가 아닙니다.

타코마 내로스교, 1940년. 처음 설계에는 높이 25 ft 보강 트러스가 있었습니다. 더 싼 설계가 높이 8 ft의 속 찬 판형 보로 이를 대신했고, 다리는 1940년 7월 1일에 개통했습니다. ASCE는 개통 넉 달 뒤인 1940년 11월 7일, 시속 42마일의 바람에 무너졌다고 기록합니다. 원인은 공기역학이었고, 모형에는 이 부분이 전혀 없습니다. 상판은 폭에 비해 매우 얕아 높이 대 폭이 1 대 72였고, 그래서 쉽게 비틀렸습니다. 1950년의 대체 다리는 높이 33 ft 보강 트러스를 쓰고 상판에 바람이 지나갈 틈을 냈습니다.

흔한 오해

• 「이맛돌이 아치 전체를 떠받친다.」 모든 돌은 이웃에게 눌리고, 이맛돌도 그중 하나입니다. 모형에서 이맛돌은 다른 14개와 크기도 무게도 같습니다. 중요한 것은 이 돌이 고리를 닫는다는 점입니다.
• 「꼭대기에 얹는 하중이 가장 위험하다.」 모형에서는 그렇지 않습니다. 고리는 꼭대기에서 약 100 kN을 견디지만 경간 45% 지점에서는 72 kN, 4분의 1 지점에서는 129 kN까지입니다. 가장 위험한 자리는 하중이 추력선을 고리 한가운데에서 가장 멀리 밀어내는 곳입니다.
• 「부재가 많을수록 트러스가 강하다.」 부재는 힘을 질 때만 도움이 됩니다. 모형에서 양 끝에 가장 가까운 수직재는 하중이 그 절점 위에 있지 않으면 힘이 0이고, 사재는 트럭이 움직이면 인장에서 압축으로 바뀔 수 있습니다.
• 「매달린 케이블은 현수선이다.」 케이블 자중이 지배적일 때만 그렇습니다. 상판이 케이블보다 훨씬 무거우면 모양은 포물선이고, 모형에서 두 곡선은 160 m에서 최대 52 mm밖에 다르지 않습니다.
• 「타코마 내로스교는 공진으로 무너졌다.」 미국물리학회는 교과서에 실린 이 설명이 틀렸다고 지적합니다. 연방공공사업청은 공진을 개연성이 낮은 원인으로 보았고, 받아들여진 설명은 비틀림 플러터입니다. 상판 자신의 움직임이 바람에서 더 많은 에너지를 끌어오는 자려 진동입니다.

화면에서 해 보기

1. 무대 위쪽의 장면 단추로 돌 아치, 트러스, 현수교, 실제 다리, 셋 나란히를 고릅니다. 다리 하나를 고르면 그 다리가 무대를 가득 채웁니다.
2. 돌 아치에서 쇠추를 고리 위로 끌어 옮깁니다. 초록 선이 따라 움직이고, 선을 타고 흐르는 점이 받침까지 내려가는 힘을 보여 줍니다. 경간의 45% 근처에서는 75 kN만으로도 추력선이 고리 밖으로 밀려납니다.
3. 고리의 아무 돌이나 눌러 봅니다. 돌이 빠지면 이맛돌까지 고리 전체가 무너집니다. 「돌 다시 끼우기」를 누르면 다시 섭니다.
4. 홍예틀을 켠 채 「쌓은 돌」을 10으로 맞추고 「홍예틀」을 끕니다. 돌이 무너집니다. 15개를 모두 쌓고 다시 끄면 아치가 섭니다.
5. 하중 없이 「고리 두께」를 0.60 m에서 줄여 봅니다. 약 0.43 m보다 얇아지면 어떤 추력선도 고리 안에 들어가지 못합니다.
6. 트러스에서 트럭을 끌어 옮깁니다. 가운데에 200 kN을 올리면 상현재가 150 kN 압축을 받습니다. 경간의 3분의 1로 옮기면 사재 U2L3의 색이 빨강에서 파랑으로 바뀝니다.
7. 현수교에서 「하중 크기」를 300으로 맞추고 트럭을 경간 4분의 1 지점으로 끕니다. 케이블이 꺾이며 0.24 m 내려가고, 화면에는 10배로 그려집니다.
8. 실제 다리에서 자오저우교, 브루클린교, 금문교, 아카시 해협대교를 엽니다. 모두 실제 경간과 높이의 비율대로 그렸습니다.
9. 조작 탭에는 도전 과제 11개가 있습니다. 100 kN 이하로 아치를 무너뜨리는 것부터 장면에 숨은 볼거리 7개를 찾는 것까지입니다.

모형이 실제 다리보다 단순한 점

• 아치는 채움재도, 옆벽도, 길도 없는 맨 고리입니다. 이음매는 반지름 방향이고 돌은 변형하지 않으며, 헤이먼의 가정처럼 돌의 부서짐과 미끄러짐은 따지지 않았습니다.
• 아치 하중은 돌 하나에 얹힌 수직 집중하중 하나입니다.
• 트러스는 핀 절점이고, 트러스와 상판의 자중을 넣지 않았으며, 트럭을 가까운 가로보 두 개가 나눠 받는 집중하중 하나로 보았습니다.
• 현수교 상판에는 굽힘 강성이 없고, 케이블은 늘어나지 않으며, 뒤쪽 케이블은 곧고, 주탑의 새들은 자유롭게 구릅니다. 케이블과 상판의 움직임은 10배로 키워 그렸습니다.

숫자를 검산한 방법

정역학 계산은 손계산으로도 확인했습니다. 트러스 경간 중앙에 100 kN을 올리면 지점 반력, 상현재 150 kN, 하현재 100 kN, 단사재와 사재 70.7 kN, 양 끝 옆 수직재의 0까지 손계산과 같게 나오고, 트럭 위치 61곳에서 절점 12개가 모두 평형을 이루는 것도 확인합니다. 아치에서는 꼭대기에 하중을 받는 3힌지 아치의 H = PL ÷ (4f)를 그대로 재현하고, t/R = 18%인 반원 아치의 추력 범위를 자중의 16%에서 24%로 구합니다. 블록, 드종, 오흐센도르프가 보고한 값은 16%와 25%입니다. 케이블에서는 행어 위치가 y = 4fx(L − x) ÷ L² 위에 놓이는지, H = wL² ÷ (8f)인지 확인합니다.