지진에 버티는 건물

진동대 위의 건물 세 동

같은 기준으로 지은 건물 두 동 가운데 하나는 금이 가고 하나는 멀쩡한 까닭은 무엇일까요? 답의 한 부분은 박자입니다. 건물마다 타고난 박자가 있고, 땅도 저마다의 박자로 흔들립니다. 둘이 맞으면 크지 않은 흔들림도 큰 피해를 냅니다. 나머지 답은 엔지니어가 건물 아래와 속, 지붕 위에 넣어 그 박자를 바꾸거나 에너지를 빼앗는 장치들입니다.

모형은 건물 세 동을 강철 진동대 하나에 올려 똑같은 땅 흔들림을 줍니다. 세 동은 같은 바닥판과 기둥으로 만들었고, 높이는 3, 6, 10, 15, 20, 30, 45, 60층 가운데에서 고를 수 있습니다. 왼쪽 건물은 늘 진동대에 볼트로 고정한 일반 건물입니다. 가운데와 오른쪽 건물에는 장치 열한 가지 가운데 하나씩을 달 수 있습니다. 건물 아래에 넣는 받침 네 가지, 모든 층에 넣는 댐퍼나 가새 네 가지, 지붕 위에서 움직이는 질량 세 가지입니다.

땅은 여덟 가지로 움직입니다. 사인파는 주기와 세기가 하나로 일정해 공진을 가장 또렷하게 보여 줍니다. 실제 기록 하나는 1940년 미국 캘리포니아 엘센트로에서 잰 땅의 움직임으로, 진짜 지진이 어떻게 생겼는지 보여 줍니다. 합성파 여섯은 잘 알려진 지진의 최대 가속도, 주된 주기, 길이를 맞춰 만들었습니다. 1995년 고베, 1994년 노스리지, 2011년 오사카까지 닿은 장주기 지진동, 2016년 경주, 2017년 포항, 1985년 멕시코시티입니다. 진동대 아래에 흙층을 넣어 무른 땅이 흔들림을 어떻게 바꾸는지도 볼 수 있습니다.

구석의 판독표는 건물마다 주기, 최대 층간 변위, 지붕 가속도를 보여 주고, 장치에 따라 숫자를 하나 더 보여 줍니다. 받침이 미끄러진 거리, 지붕 감쇠기가 움직인 거리, 또는 항복하는 부재가 빼앗은 에너지입니다. 그래프는 지난 10초 동안의 최대 층간 변위와 지붕 가속도를 그립니다. 세 번째 그래프는 사인파일 때는 흔들림 주기별 최대 변위를, 지진 기록일 때는 그 지진의 응답 스펙트럼을 그리고 건물마다 주기 자리에 점을 찍습니다.

무대 아래 막대에서 장면 여섯 개를 더 열 수 있습니다. 장치를 가까이 보는 장면, 물 찬 모래가 액상화되는 상자, 공진을 보여 주는 진자 줄, 타이베이 101과 감쇠기, 면진층 안, 받침 위에 얹은 다리입니다.

건물마다 고유주기가 있는 까닭

건물은 무겁고, 기둥은 조금 휘었다가 되돌아옵니다. 스프링에 매단 질량과 같은 두 가지 재료입니다. 건물 꼭대기를 옆으로 밀었다 놓으면 이 두 가지만으로 정해지는 빠르기로 앞뒤로 흔들립니다. 한 번 흔들리는 데 걸리는 시간이 고유주기입니다. 단단한 건물은 빨리, 무거운 건물은 느리게 흔들립니다. 질량 하나와 스프링 하나라면 T = 2π√(m/k)입니다.

모형의 층마다 400 t짜리 질량 하나로 봅니다. 한 층의 기둥을 합쳐 옆으로 미는 스프링 하나로 봅니다. 강성은 일반 건물의 1차 주기가 한 층에 0.1초가 되도록 골랐습니다. 흔히 쓰는 어림셈으로, 3층이면 0.3초, 6층이면 0.6초, 60층이면 6.0초입니다. 같은 질량 N개를 같은 스프링 N개로 이으면 j번째 모드는 ω = 2√(k/m) sin((2j − 1)π/(2(2N + 1)))라는 정확한 식이 있습니다. 6층이면 층 강성은 755 MN/m이고, 처음 세 모드의 주기는 0.600초, 0.204초, 0.127초입니다.

안내 2단계에서 이것을 바로 볼 수 있습니다. 진동대를 멈춘 채 건물마다 1차 모드 모양으로 밀었다가 놓았습니다. 일반 건물은 0.60초마다, 고무 받침 위 건물은 2.55초마다 흔들립니다. 감쇠 2%인 일반 건물은 한 번 흔들릴 때마다 흔들림이 e^(−2π × 0.02) = 0.88배로 줄어, 절반이 되기까지 다섯 번 반쯤 흔들립니다. 지붕에 감쇠기를 단 건물은 몇 번 만에 멈춥니다.

그네를 제때 밀면 생기는 일

놀이터 그네를 떠올려 보세요. 아무 때나 밀면 별일이 없습니다. 그네가 내 앞에 올 때마다 밀면 점점 높이 올라갑니다. 땅도 건물에 똑같이 합니다. 0.6초마다 흔들리면 바닥판이 되돌아오는 순간마다 땅이 밀어 주어 흔들림이 계속 커집니다. 한 번 흔들릴 때 감쇠가 빼앗는 에너지가 땅이 넣는 에너지와 같아져야 멈춥니다. 이것이 공진입니다.

마지막 흔들림의 크기는 주로 감쇠가 정합니다. 모드 하나만 보면 공진 때 최대 변위는 같은 가속도를 천천히 걸었을 때 변위의 1/(2ζ)배입니다. ζ = 0.02면 25배입니다. 그래서 0.05 g뿐인데도 6층 일반 건물의 지붕은 땅에 대해 14.1 cm 움직이고, 같은 0.05 g를 1초 주기로 넣으면 1 cm도 움직이지 않습니다. 0.6초에서의 최대 층간 변위는 1초일 때의 약 14배로, 이 페이지 첫머리의 숫자가 이것입니다.

공진 장면은 막대 하나에 매단 진자 여덟 개로 같은 것을 보여 줍니다. 막대는 고른 주기로 앞뒤로 흔들립니다. 진자마다 제 주기 2π√(L/g)가 있어, 25 cm 줄은 1.0초, 2.5 m 놀이터 그네는 3.17초입니다. 흔들림과 주기가 맞는 진자만 크게 흔들리고 나머지는 조금 떨다 맙니다. 판독표 아래 막대그래프가 여덟 개의 흔들림을 한꺼번에 보여 주므로, 주기를 바꾸면 봉우리가 옆으로 옮겨 갑니다. 엔지니어들은 이 장치를 바턴의 진자라고 부르는데, 건물이 왜 땅의 주기를 따지는지 가장 또렷하게 보여 줍니다.

맨 아래층이 가장 많이 휘는 까닭

공진 중인 일반 건물을 보면 맨 아래층이 가장 많이 기웁니다. 1층 기둥은 위에 있는 모든 층의 관성을 붙잡아야 하고, 꼭대기 층 기둥은 지붕만 붙잡으면 됩니다. 층마다 강성이 같으면 가장 아래층이 가장 많이 휩니다.

엔지니어는 이것을 층간 변위로 잽니다. 한 층이 바로 아래층에 대해 옆으로 움직인 거리이고, 흔히 층 높이에 대한 비율로 씁니다. 0.6초, 0.05 g에서 6층 모형의 1층은 3.5 m 층 높이에 대해 3.4 cm 움직이니 0.97%입니다. 층간 변위가 크면 벽에 금이 가고 유리가 깨지며 결국 기둥이 상합니다. 0.6초에서 세기를 0.08 g로 올리면 층간 변위가 우리나라 기준이 중요도 I등급 건물에 정한 한계 1.5%를 넘습니다.

공진에 답하는 세 가지 방법

문제가 보이면 답은 크게 세 가지이고, 모형의 장치 열한 가지도 이 셋으로 나뉩니다.

첫째는 건물의 주기를 땅이 대개 가장 세게 흔들리는 주기에서 멀리 옮기는 방법입니다. 옆으로 무른 받침이 이렇게 합니다. 건물 전체가 느리게 흔들리게 만들어, 대부분 지진의 빠른 충격은 밑으로 지나가게 합니다.

둘째는 감쇠를 더해 에너지가 건물에서 빨리 빠져나가 공진이 쌓이지 못하게 하는 방법입니다. 오일 댐퍼, 항복하는 강판, 항복을 허용한 가새가 층 안에서 이 일을 합니다. 지붕 위 동조 질량은 건물과 엇갈려 흔들리며 같은 일을 합니다.

셋째는 내진벽이나 가새로 건물을 더 단단하고 강하게 만드는 방법입니다. 가장 오래된 답입니다. 층간 변위는 줄지만 주기도 짧아져, 흔히 건물을 흔들림이 가장 센 쪽으로 옮기고, 감쇠는 하나도 더하지 않습니다.

장치 장면은 장치 열한 가지를 하나씩 앞뒤로 움직이며 옆에 고리를 그립니다. 장치의 힘을 움직인 거리에 따라 그린 것입니다. 가는 선은 스프링처럼 에너지를 담았다 돌려준다는 뜻이고, 두꺼운 고리는 흔들릴 때마다 에너지를 열로 바꾼다는 뜻입니다. 고리 안 넓이가 한 번 흔들릴 때 빼앗는 에너지입니다.

고무 받침으로 주기를 멀리 옮기기

고무 받침은 주기를 옮기는 가장 간단한 방법입니다. 얇은 고무층과 강판을 번갈아 붙여 쌓았습니다. 강판이 고무가 무게에 눌려 옆으로 부풀지 못하게 막으므로 위에서 누르는 힘에는 아주 단단합니다. 옆으로는 고무층이 쉽게 밀립니다.

모형에서는 건물이 완전한 강체라면 정한 면진 주기로 흔들리도록 받침 전체의 강성을 줍니다. 처음 값 2.5초라면 6층 건물 아래 받침은 17.7 MN/m이고, 위 건물도 조금은 휘므로 1차 주기는 2.55초가 됩니다. 받침에는 감쇠 10%도 주었는데, 고감쇠 고무가 내는 감쇠를 대신합니다.

다시 0.6초로 흔들면 가운데 건물은 거의 움직이지 않습니다. 층간 변위는 0.01% 아래이고, 지붕 가속도는 땅의 8분의 1쯤입니다. 움직임은 거의 다 받침에서 일어나는데, 그마저도 0.5 cm가 안 됩니다. 2.55초 주기 건물이 따라가기에는 땅이 너무 빨리 오갑니다.

납 기둥, 휘어진 접시, 미끄럼판

평범한 고무 받침에는 약점이 둘 있습니다. 바람에도 건물이 밀릴 만큼 무르고, 스스로 내는 감쇠가 크지 않습니다. 납 고무 받침은 둘 다 고칩니다. 1975년 뉴질랜드 과학산업연구부(DSIR)의 빌 로빈슨은 적층 고무 받침 한가운데에 납 기둥을 박아 넣는 생각을 떠올렸습니다. 납은 항복하기 전까지 단단하다가 항복하면 거의 굳지 않고 흐르며, 상온에서 성질을 되찾습니다. 그래서 납 기둥은 바람에는 건물을 붙잡고, 지진에는 항복해 흔들릴 때마다 에너지를 열로 바꿉니다. 모형에서 납은 1 cm 움직인 뒤 건물 무게의 5%에서 항복합니다. 장치 장면의 고리는 두툼한 평행사변형인데, 기울기는 고무가, 두께는 납이 정합니다.

마찰 진자 받침은 다른 길을 갑니다. 건물이 휘어진 강철 접시 속의 관절 미끄럼판 위에 얹혀 있습니다. 땅이 움직이면 미끄럼판이 곡면을 타고 올라가고 중력이 되돌려, 진자와 똑같이 흔들립니다. 진자의 주기는 길이에만 달려 있으므로 이 받침의 주기도 접시 반지름에만 달려 있어 T = 2π√(R/g)입니다. 반지름 2.24 m 접시면 건물이 1,000 t이든 100,000 t이든 3.0초입니다. 층에 사람과 가구가 들어차도 주기가 변하지 않는다는 것이 실제 장점입니다. 미끄럼판과 접시 사이의 마찰이 에너지를 빼앗는데, 모형에서는 무게의 5%입니다. 빅터 자야스와 동료들이 1990년에 이 방식을 소개했습니다.

평평한 미끄럼판은 더 간단합니다. 잘 닦은 스테인리스 위에 PTFE 판을 얹습니다. 힘이 마찰력, 모형에서는 무게의 10%에 이를 때까지는 아무것도 움직이지 않고, 그보다 크면 건물이 그냥 미끄러집니다. 평평한 미끄럼판은 가운데로 돌아올 방법이 없어 건물을 되돌리는 무른 고무 받침과 함께 씁니다.

모형은 납과 마찰을 같은 방식으로 다룹니다. 정한 힘까지는 단단하다가 그 힘에서 미끄러지는 요소입니다. 단순하게 한 것입니다. 실제 납은 오래 흔들리면 데워져 힘이 줄고, 실제 마찰은 속도와 압력에 따라 달라집니다.

면진의 약점은 길고 느린 흔들림입니다

면진은 공진을 없애지 않고 옮깁니다. 주기를 2.5초로 놓으면 이번에는 땅이 6층 면진 건물과 박자가 맞습니다. 받침 위 건물의 층간 변위는 일반 건물의 공진 때보다 여전히 훨씬 작지만, 0.05 g뿐인데도 밑동이 받침 위에서 39.5 cm 밀립니다. 실제 면진 건물은 둘레에 틈(해자)을 남긴 구덩이에 앉아 있고, 그 틈은 받침이 움직일 것으로 보는 가장 큰 거리보다 넓어야 합니다. 이 전시의 과제에서는 틈이 80 cm입니다.

그래서 면진은 주로 단단한 지반 위의 강하고 낮거나 중간 높이인 건물에 씁니다. 뉴질랜드 캔터베리 지진 왕립조사위원회는 납 고무 받침이 단단한 지반 위의 강하고 비교적 낮은 구조물에 가장 잘 맞고, 깊고 무른 지반 위의 고층 건물에는 효과가 없다고 분명히 적었습니다. 무른 지반은 긴 주기로 흔들릴 수 있고, 고층 건물은 이미 주기가 길어서 주기를 더 늘려도 얻는 것이 적습니다.

도호쿠 합성파를 60층 건물에 넣어 보세요. 땅의 가속도는 0.03 g뿐이지만 6.5초마다 오는 파가 몇 분 동안 이어집니다. 주기 6.0초인 60층 일반 건물은 지붕이 2.09 m 흔들립니다. 고무 받침 위에 올리면 지붕은 2.58 m 움직여, 받침이 없을 때보다 더 흔들립니다.

모든 층에 넣는 감쇠기

두 번째 방법인 감쇠 더하기는 고층 건물에도 통합니다. 오일 댐퍼는 피스톤이 기름을 작은 구멍으로 밀어내는 실린더입니다. 힘이 거리보다 속도에 따라 정해지므로, 건물이 흔들림 한가운데를 가장 빠르게 지날 때 가장 세게 밉니다. 모형에서는 층마다 V자 가새에 단 오일 댐퍼가 1차 모드에 감쇠 15%를 더합니다. 고리는 타원입니다. 힘과 움직임이 4분의 1 박자 어긋나기 때문입니다.

강재 댐퍼는 항복하는 금속을 씁니다. 모양 낸 강판이 V자 가새 꼭대기와 위 보 사이에 끼워져 있습니다. 강판은 S자로 휘며 작은 층간 변위, 모형에서는 0.2%에서 항복해 골조가 상하기 훨씬 전에 일하고, 그 뒤로는 흔들릴 때마다 에너지를 열로 바꿉니다. 좌굴방지 가새는 모르타르를 채운 강관 속에 긴 강철 심재를 넣어 같은 일을 합니다. 보통 가새는 밀리면 옆으로 휘어 힘을 잃는데, 여기서는 모르타르가 심재의 좌굴을 막아 당길 때뿐 아니라 밀 때도 항복합니다. 이런 신일본제철의 언본드 가새는 1991년 12월 일본건축센터에서 내진 부재로 인정받았습니다.

도호쿠 합성파에서 차이가 드러납니다. 층마다 오일 댐퍼를 달면 60층 지붕은 2.09 m가 아니라 79 cm, 강재 댐퍼면 65 cm, 좌굴방지 가새면 45 cm 움직입니다. 오사카부가 2011년 뒤 높이 256 m 사키시마 청사에 고른 답도 이런 것이었습니다. 청사의 긴 변 방향에 강재 댐퍼를 달았고, 공사는 2012년부터 2013년까지 밤낮없이 이어졌습니다.

단단하다고 늘 좋은 것은 아닙니다

층 강성을 세 배로 만드는 내진벽이나 가새는 가장 익숙한 답입니다. 모형에서 6층 건물의 주기는 √3분의 1로 줄어 0.60초에서 0.35초가 되고 층간 변위도 함께 줍니다. 엘센트로에서 6층 건물의 층간 변위는 0.77%에서 0.20%로 떨어집니다. 하지만 벽에는 에너지를 빼앗는 것이 없어 지붕 가속도는 거의 그대로, 1.26 g에서 1.14 g입니다. 병원이나 데이터센터처럼 안에 든 것이 중요한 건물이라면 기둥을 덜 휘게 하는 것보다 바닥을 덜 흔드는 것이 더 중요할 때가 많습니다. 에너지가 짧은 주기에 몰린 경주 합성파에서는 단단한 벽을 단 3층 건물의 지붕이 1.24 g로 흔들려 일반 건물의 0.73 g보다 큽니다. 납 고무 받침 위라면 지붕은 0.11 g만 느낍니다.

지붕에 얹은 두 번째 질량

동조 질량 감쇠기는 건물의 강성은 그대로 두고, 지붕에 주기를 거의 같게 맞춘 작은 진동계를 하나 더 얹습니다. 건물이 흔들리기 시작하면 덩어리는 지붕보다 4분의 1 박자쯤 늦게 움직입니다. 그러면 지붕이 바깥으로 나가는 순간 스프링이 지붕을 되잡아 당기고, 대시포트가 덩어리의 움직임을 열로 바꿉니다.

6층 건물의 덩어리는 66 t으로, 건물 1차 모드 질량 1,319 t의 5%입니다(지붕에서 1이 되도록 맞춘 1차 모드에 참여하는 질량). 조율은 G. B. 워버턴이 1982년 밑동이 흔들리는 구조물에 대해 낸 식을 따릅니다. 감쇠기 진동수는 건물의 √(1 − μ/2)/(1 + μ)배, 감쇠비는 √(3μ / (8(1 + μ)(1 − μ/2)))입니다. μ = 0.05면 진동수비 0.940, 감쇠기 주기 0.638초, 감쇠 13.5%가 됩니다. 이보다 오래된 J. P. 덴 하르토흐의 식은 밑동이 아니라 힘으로 미는 기계에 대한 것으로 1/(1 + μ)와 √(3μ / (8(1 + μ)³))이고, 이때 응답 봉우리는 정적 변위의 √(1 + 2/μ)배, 질량 5%면 약 6.4배입니다. 두 식은 수치로도 확인했습니다.

높고 뾰족하던 봉우리 하나가 건물의 새 주기 0.694초와 0.554초 근처의 낮은 봉우리 둘로 갈라집니다. 어떤 주기로 흔들어도 0.05 g에서 오른쪽 건물의 최대 층간 변위는 0.21%로, 일반 건물의 0.97%보다 훨씬 작습니다. 감쇠기를 잠그면 덩어리는 지붕 위의 66 t 무게일 뿐입니다. 주기는 0.615초로 조금 늘고 뾰족한 봉우리가 돌아옵니다.

감쇠기 질량과 주파수비 슬라이더로 조율이 왜 중요한지 볼 수 있습니다. 덩어리가 무거우면 두 봉우리가 낮고 넓어집니다. 너무 빠르거나 느리게 맞추면 한쪽 봉우리가 훨씬 높아집니다. 실제 지진에서는 동조 질량이 사인파에서보다 덜 돕습니다. 덩어리가 제 흔들림을 쌓는 데 몇 번의 흔들림이 필요한데, 그때쯤이면 가장 센 충격이 지나가 버릴 수 있기 때문입니다. 고베에서는 10층 건물의 층간 변위를 2.08%에서 1.34%로 줄입니다.

물탱크와 능동 질량 구동기

움직이는 질량이 물이어도 됩니다. 얕은 탱크의 물은 길이와 깊이에 따라 정해지는 주기로 출렁이며, ω² = (πg/L) tanh(πh/L)입니다. 물속 망이 물결을 부숴 감쇠를 냅니다. 모형은 물의 깊이를 탱크 길이의 0.15로 잡아 탱크 크기를 정합니다. 이때 출렁이는 물은 물 전체 질량의 약 76%이고, 모형은 건물 1차 모드 질량의 2%만큼을 출렁이는 물로 씁니다. 주기 1.1초 건물이라면 탱크가 길이 36 cm, 깊이 5 cm로 작아서 실제 건물에는 여러 개를 놓아야 하고, 6.5초 건물이라면 길이 13 m, 깊이 2 m 탱크 하나면 됩니다. 필라델피아의 58층 컴캐스트 센터는 물 1,300톤 넘게 담은 U자 물기둥이라는 비슷한 장치를 씁니다.

능동 질량 감쇠기는 전기를 씁니다. 무른 스프링 위의 작은 질량을 구동기가 지붕 속도에 맞춰 밀어, 건물에 걸리는 반작용이 건물의 움직임을 거스르게 합니다. 실제 건물에 처음 쓴 것은 1989년 도쿄의 11층, 높이 33.1 m 교바시 세이와 빌딩으로, 4 t과 1 t짜리 능동 질량 구동기 두 대를 달았습니다. 모형에서 질량은 1차 모드 질량의 2%이고 스프링은 건물 진동수의 절반에 맞춰, 어느 높이에서나 제어가 안정합니다. 지붕 속도로 밀면 감쇠가 몇 % 늘어납니다. 잠그면 전원이 끊긴 능동 감쇠기와 같아져 얹힌 무게일 뿐입니다.

타이베이 101의 감쇠기

건물 속 감쇠기 가운데 가장 유명한 것은 타이베이 101 안에 매달려 있습니다. 구조 설계자들의 논문은 101층, 높이 508 m 타워의 흔들림 주기를 약 7초로 예상했는데, 골조가 유난히 단단해 높이에 비해 짧은 편입니다. 주 감쇠기는 진자입니다. 강판을 쌓아 만든 660 t 구로, 건물 전체 질량의 0.24%이고, 92층에 매달려 적도가 88층 바닥보다 1 m 위에 있습니다. 엔지니어들은 매단 케이블을 붙잡는 블록을 옮겨 주기를 맞추는데, 기타 줄을 프렛에서 누르는 것과 같습니다. 구 아래 대시포트는 속도의 제곱에 따라 버티므로, 바람에 느리게 흔들릴 때는 거의 버티지 않고 갑자기 충격이 오면 구를 붙잡아 둡니다. 첨탑의 작은 스프링 감쇠기 두 대는 첨탑 자체의 진동을 맡습니다.

운영사는 감쇠기의 주목적을 강풍에 흔들림을 줄여 쾌적하게 하는 것이라고 설명합니다. 2015년 8월 태풍 사우델로르 때는 100 cm 넘게 흔들려 그때까지 가장 크게 움직였습니다.

타이베이 101 장면은 주기 7초인 모형 타워 옆에 감쇠기 방을 크게 잘라 보여 줍니다. 모형은 타워를 감쇠 1%인 1차 모드로, 구를 워버턴 식으로 조율한 진자로 봅니다. 구를 1차 모드 질량의 0.7%로 두면 진자 길이는 12.4 m가 됩니다. 돌풍은 무작위이고 타워 주기 근처로 걸러집니다. 꼭대기 가속도를 1,000분의 1 g 단위로 지켜보다가 감쇠기를 잠그고 다시 보세요.

실제 지진은 사인파가 아닙니다

사인파는 공진을 가장 또렷하게 보여 주지만, 어떤 지진도 주기 하나를 지키지 않습니다. 실제 기록은 몇 초에서 몇 분 동안 여러 주기 사이를 세게 또 약하게 오갑니다. 1940년 엘센트로 기록은 Mw 6.9 임피리얼 밸리 지진 때 임피리얼 밸리 관개국 건물에서 잰 남북 성분입니다. 미국 국립지구물리자료센터가 배포하는 보정 기록은 퍼블릭 도메인이고, 0.02초 간격으로 53.7초 이어지며 2.12초에 최대 341.7 cm/s², 0.35 g를 기록했습니다. 전시는 앞 30초를 씁니다.

기록이 건물을 얼마나 세게 흔드는지는 건물 주기에 달려 있고, 응답 스펙트럼이 이것을 한눈에 보여 줍니다. 주기마다 그 주기에 감쇠 5%인 1층 건물을 떠올려 기록 위에서 흔들어 보고, 가장 큰 가속도를 적습니다. 이 값들을 주기에 따라 그리면 스펙트럼입니다. 기록이 재생되면 세 번째 그래프가 이 스펙트럼을 그리고 건물마다 주기 자리에 점을 찍습니다. 엘센트로에서 6층 일반 건물은 0.60초로 곡선 꼭대기 가까이에 있고, 면진 건물은 곡선이 낮은 2.55초에 있습니다. 숫자도 그렇게 나옵니다. 일반 건물의 층간 변위는 0.77%, 고무 받침 위 건물은 0.13%이고 받침은 21 cm 움직입니다.

나머지 여섯은 합성파이고, 전시는 나오는 곳마다 그렇게 표시합니다. 무작위 잡음에서 시작해, 땅의 주된 주기와 퍼짐을 주는 필터(가나이-다지미 모형)로 모양을 잡고, 가장 느린 흐름을 걸러 내고(클러프-펜지엔 필터), 올라갔다 머물다 잦아드는 포락선을 씌우고, 단층 가까운 지진에는 속도 펄스를 더합니다. 그다음 그 지진에 대해 출처가 밝힌 최대 가속도에 맞춰 크기를 정합니다. 난수 씨앗을 고정해 늘 같은 파가 나옵니다. 이 파들은 지진마다 성격을 닮았을 뿐 어떤 기록을 베낀 것이 아닙니다.

단층 가까이: 고베와 노스리지

단층 가까이에서는 파열이 그쪽으로 달려오면서 땅이 1초쯤 이어지는 큰 밀림 한 번으로 움직일 때가 많습니다. 이것을 속도 펄스라고 부릅니다. 1995년 효고현 남부 지진 때 고베 해양기상대는 818 gal, 0.82 g를 기록했고 가장 큰 피해는 단층에서 몇 km 떨어진 곳에 몰렸습니다. 1994년 노스리지 지진 때 타자나 언덕 위 관측점은 1.78 g를 기록했습니다. 고베 합성파는 최대 0.82 g에 1.0초 펄스, 노스리지 합성파는 최대 1.0 g에 1.4초 펄스입니다.

펄스는 에너지가 긴 주기에 있어 면진에 까다롭습니다. 고베에서 10층 일반 건물의 층간 변위는 2.08%로 어떤 기준 한계보다도 큽니다. 납 고무 받침은 층간 변위를 0.66%로 낮추지만 밑동은 56 cm 움직입니다. 단층 가까운 면진 건물에 넓은 해자가 필요한 까닭이고, 첫 과제가 층간 변위 1% 아래와 받침 80 cm 안을 함께 요구하는 까닭입니다.

면진은 병원이 계속 일하도록 지켜 온 기록이 있습니다. 노스리지 때 면진 받침 149개 위의 8층 USC 대학병원은 밑동으로 들어가는 흔들림이 약 3분의 2 줄었고 피해가 없었습니다. 고베 지진 때는 도시 가까운 면진 건물인 WEST 전산센터가 아주 잘 견뎌 일본에서 면진이 널리 알려졌고, 면진 건물 수가 크게 늘었습니다.

멀리서: 1985년 멕시코시티와 2011년 오사카

멀다고 늘 안전한 것은 아닙니다. 1985년 규모 8.0 미초아칸 지진은 멕시코시티에서 약 380 km 떨어진 태평양 연안 앞바다에서 일어났습니다. 도시의 일부는 옛 호수 바닥 점토 위에 서 있고, 이 무른 흙층은 2초 근처에서 공진합니다. 호수 바닥의 SCT 관측소에서 동서 방향 최대 가속도는 168 gal이었고, 주기 약 2초에서는 같은 도시 언덕 지대 관측소보다 7배에서 10배 세게 흔들렸습니다. 주기가 2초에 가까운 건물이 가장 큰 피해를 입었습니다.

멕시코시티 합성파는 최대 0.17 g에 약 2초의 길고 고른 파입니다. 높이가 다른 일반 건물에 넣어 보세요. 주기 2.0초인 20층 건물은 층간 변위가 3.03%까지 가지만, 6층 건물은 0.17%, 10층 건물은 0.40%뿐입니다. 네 번째 과제가 이것입니다.

2011년 규모 9.0 도호쿠 지진은 장주기 파를 수백 km 밖까지 보냈습니다. 도쿄와 770 km 떨어진 오사카의 고층 건물이 10분 넘게 흔들렸습니다. 무너진 건물은 없었지만 여러 건물을 며칠 동안 쓰지 못했고, 오사카의 한 건물은 지면 약 3% g에서 층간 변위비가 0.5% 가까이 갔습니다. 55층 사키시마 청사의 꼭대기 층은 짧은 변 방향으로 한쪽 최대 137 cm 움직였고, 내부 360곳이 손상되었으며 엘리베이터 4대에 사람이 갇혔습니다.

짧고 날카롭게: 경주와 포항

최근 우리나라의 가장 큰 지진 두 개는 반대였습니다. 짧고 날카로우며 높은 진동수가 많았습니다. 2016년 9월 12일 규모 5.8 경주 지진은 1978년 계기 관측을 시작한 뒤 가장 큰 지진이었는데, 진앙 근처 암반에서 0.260.28 g, 흙 지반에서 0.350.4 g를 기록했고 에너지 대부분이 5 Hz 위에 있었습니다. 피해는 주로 낮고 단단한 건물에 났습니다. 2017년 11월 15일 Mw 5.4 포항 지진은 9.3 km 떨어진 관측소에서 약 0.58 g를 기록했습니다.

경주 합성파를 3층, 10층, 60층에 넣어 보면 모양이 뚜렷합니다. 3층 일반 건물은 층간 변위 0.22%에 지붕 0.73 g, 10층 건물은 0.11%, 60층 건물은 0.09%이고, 고층 건물 지붕은 거의 가속되지 않습니다. 짧은 주기의 흔들림은 짧은 주기의 건물을 찾아갑니다. 포항 합성파에서 3층 일반 건물 지붕은 2.19 g를 느끼고, 납 고무 받침 위라면 0.17 g를 느낍니다.

무른 땅은 흔들림을 키웁니다

지반 조작은 암반과 진동대 사이에 흙층을 넣습니다. 모형은 흙층을 제 주기를 가진 진동계 하나로 봅니다. 단단한 지반은 0.3초, 연약 지반은 1.0초, 호수 바닥은 2.0초이고 감쇠는 15%, 12%, 8%입니다. 흙층 주기 근처의 흔들림은 올라오며 커지고, 거기서 먼 흔들림은 줄어듭니다. 주기 1.0초인 10층 일반 건물에 엘센트로를 넣어 보세요. 암반에서는 층간 변위가 0.95%입니다. 건물과 주기가 맞는 연약 지반에서는 3.07%까지 갑니다. 호수 바닥에서는 높은 진동수가 걸러져 최대 지반 가속도가 0.16 g로 떨어지지만, 6층 면진 건물의 받침은 21 cm가 아니라 59 cm 움직입니다. 무른 땅이 늘 더 나쁜 것은 아니지만, 어떤 건물이 위험한지는 늘 바꿉니다.

땅이 액체처럼 될 때

물 찬 느슨한 모래는 힘을 아예 잃을 수 있습니다. 흔들릴 때마다 모래알은 더 촘촘하게 자리 잡으려 합니다. 알 사이의 물이 그만큼 빨리 빠져나가지 못하므로 물이 대신 하중을 받고, 물의 압력이 오릅니다. 물의 압력이 위 모래 무게와 같아지면 모래알끼리 더는 누르지 않고 모래가 무거운 액체처럼 흐릅니다. 그 위의 건물은 가라앉아 기울고, 묻힌 탱크와 맨홀은 떠오르며, 모래와 물이 지표로 솟아 모래 분출이 생깁니다.

액상화 장면은 유리 상자에 10 m 모래를 열 겹으로 그려 넣었습니다. 모형은 시드와 이드리스의 니가타 연구 뒤로 엔지니어들이 써 온 간편법을 따릅니다. 하중은 반복 응력비 CSR = 0.65 (a_max/g) (σv/σ'v) r_d로, 지하수위 아래에서는 물이 무게 일부를 떠받치므로 커집니다. 저항 CRR은 표준관입시험 타격 횟수 (N1)60에서 유드와 동료들(2001)의 식으로 구하고, 타격 횟수는 상대밀도에서 46 Dr²로 어림합니다. 모래가 견디는 반복 횟수는 CSR이 N^−0.34에 비례한다는 데서 나오고, 간극수압은 반복 횟수에 따라 r_u = (2/π) arcsin((N/N_L)^(1/1.4))로 오릅니다. 모두 경향을 보여 주려는 모형 값입니다.

경향은 뚜렷합니다. 지하수위가 0.5 m 아래인 느슨한 모래는 0.15 g에서 몇 번 만에 액상화됩니다. 보통 모래는 지하수위가 4.5 m보다 깊어야 20번을 버팁니다. 조밀한 모래는 어느 수위에서나 버팁니다. 일곱 번째 과제가 이것이고, 엔지니어가 건물을 짓기 전에 모래를 다지거나 물을 빼는 까닭입니다.

액상화에는 오랜 기록이 있습니다. 1964년 규모 7.5 니가타 지진 때 가와기시초 아파트가 액상화된 모래 위에서 크게 기울었지만 건물 자체는 거의 부서지지 않았고, 속이 빈 콘크리트 하수관 상자가 지표로 떠올랐습니다. 1989년 로마프리에타 지진 때는 땅이 옆으로 밀려 모스 랜딩의 해양생물학 건물이 찢어졌습니다. 2017년 포항 지진 뒤에는 진앙 주변 곳곳에서 모래가 솟아, 우리나라에서 액상화가 넓게 보인 첫 사례가 되었습니다. 2011년 이시노마키에서는 면진 적십자병원 아래 땅을 모래 말뚝으로 다져 두어 액상화되지 않았습니다.

면진층 안으로

면진 건물에는 받침 말고도 필요한 것이 많습니다. 틈을 건너는 것은 모두 늘어나거나 휘거나 미끄러져야 합니다. 물과 가스 배관은 휘는 고리로, 전선은 넉넉히 늘어뜨려, 입구마다 틈 위를 미끄러지는 강판 덮개를 두고, 엘리베이터와 계단이 건물을 땅에 묶지 않게 합니다. 면진층 장면은 납 고무 받침 12개와 오일 댐퍼 4개 위의 5층 병원을 이런 세부까지 그려 고른 지진으로 흔듭니다.

면진이 가장 큰 값을 하는 건물은 지진 직후에도 일해야 하는 병원입니다. 8층 USC 대학병원은 노스리지를 피해 없이 넘겼습니다. 이시노마키 적십자병원은 2011년 지진 직후 그 지역에서 기능을 지킨 유일한 시설이었습니다. 아소 의료센터의 면진층은 2016년 구마모토 지진 때 납 고무 받침 45개와 고무 받침 27개 위에서 한쪽으로 46 cm, 양쪽으로 약 90 cm 움직였습니다. 크라이스트처치 여성병원은 크라이스트처치 지진을 큰 손상 없이 넘겼습니다. 웰링턴의 테 파파 박물관은 6층, 5만 t짜리 건물로 납 고무 받침 152개 위에 400 mm 틈을 두고 서 있는데, 규모 7.8 카이코우라 지진 때 15~20 mm 움직였고 손상된 소장품은 아홉 점뿐이었습니다. 2023년 튀르키예 지진 뒤에도 아다나 시립병원은 기능을 지켰고, 면진 장치를 설계한 회사는 이웃 건물보다 흔들림이 약 75% 작았다고 밝혔습니다.

받침 위의 다리

다리도 같은 생각을 씁니다. 거더 상판은 대개 교각 머리의 받침 위에 놓입니다. 받침을 고정하면 상판의 관성이 고스란히 교각을 밀어, 교각이 그 힘을 견딜 만큼 강해야 합니다. 받침이 옆으로 무르면 상판은 느리게 흔들리고 교각은 차분하지만, 상판이 더 움직여 교대의 받침 자리에서 미끄러져 떨어지지 않아야 합니다. 다리 장면은 교각 두 개 위의 2,000 t 상판으로 두 경우를 비교합니다. 받침을 고정하고 교각 머리를 보다가, 풀고 상판을 보세요.

그리스의 리온-안티리온 다리는 더 나아갑니다. 그때까지 만든 적 없는 크기의 점성 댐퍼가 매달린 상판과 주탑을 잇고, 접속교는 탄성 받침과 댐퍼 위에 놓였습니다. 사람도 공진을 일으킬 수 있습니다. 런던의 밀레니엄 브리지는 문을 열자 사람들이 다리의 옆 흔들림에 발을 맞춰 걸으면서 한쪽으로 최대 75 mm 흔들렸습니다. 아럽은 약 500만 파운드를 들여 점성 댐퍼 37개와 동조 질량 감쇠기 몇 개를 달았고, 시험에서 직원 700명이 건너도 흔들림은 몇 mm에 머물렀습니다.

우리나라 내진 설계 기준

우리나라 건축물 내진 설계는 국가건설기준센터를 통해 공표되는 KDS 41 17 00을 따릅니다. 설계 층간 변위를 내진특등급 건물은 층 높이의 1.0%, I등급은 1.5%, II등급은 2.0%로 제한합니다. 설계에서 고려하는 가장 큰 지진은 재현주기 2,400년 지진으로 보고, 16장과 17장에서 면진 건물과 제진(감쇠 장치를 더한) 건물을 다룹니다.

기준은 건물 주기를 빠르게 어림하는 식도 줍니다. 철근콘크리트 모멘트 골조라면 T = 0.0466 h^0.9이고, h는 높이(m)입니다. 6층 모형 높이 21 m를 넣으면 0.0466 × 21^0.9 = 0.72초로, 모형의 0.60초와 비슷한 범위입니다.

내진 설계를 해야 하는 건물의 범위는 점점 넓어졌습니다. 국토교통부에 따르면 1988년 6층 이상 건물에서 시작했습니다. 국토안전관리원은 그 뒤의 단계로 2005년 3층 이상, 2017년 2월 2층 이상 또는 500 m² 이상, 2017년 10월 2층 이상 또는 200 m² 이상을 꼽습니다.

직접 확인할 수 있는 숫자

• 6층 일반 건물 1차 주기: 2π / (2 × √(754.8 × 10⁶ / 400 × 10³) × sin(π/26)) = 0.600초.
• 0.05 g에서 1층의 정적 층간 변위: 6 × 400,000 kg × 0.4905 m/s² / 754.8 MN/m = 1.56 mm.
• 공진 때 지붕, 모드 하나로 어림: Γ A / (2ζω²) = 1.258 × 0.4905 / (2 × 0.02 × 10.47²) = 0.141 m. 전체 계산도 같은 14.1 cm입니다.
• 면진, 강체 건물: k = M(2π/T)² = 2,800,000 kg × (2π/2.5)² = 17.7 MN/m.
• 마찰 진자: R = g (T/2π)² = 9.81 × (3.0/2π)² = 2.24 m.
• 6층 동조 질량: 0.05 × 1,319 t = 66 t, 스프링 66,000 kg × (2π/0.638)² = 6.40 MN/m.
• 질량 5%일 때 덴 하르토흐의 봉우리: √(1 + 2/0.05) = 6.40.
• 2.5 m 그네: 2π√(2.5/9.81) = 3.17초.
• 7초 타이베이 101 진자: f = 0.991일 때 g (T/(2π f))²로 12.4 m.
• 납 고무 받침: 한 번 흔들릴 때 에너지 = 4 Q_d (D − d_y). 모형은 이 값과 0.01% 안으로 맞습니다.

모형은 이렇게 계산합니다

건물 하나는 질량이 이어진 사슬입니다. 면진층 바닥판이 있으면 그것부터, 그다음 층들, 지붕 감쇠기가 있으면 마지막에 그것입니다. 질량마다 바로 아래 질량과 스프링, 대시포트로 이어지고, 항복하거나 미끄러지는 장치라면 정한 힘까지는 단단하다가 그 힘에서 미끄러지는 요소가 더해집니다. 질량마다 이웃하고만 닿아 있으므로 식이 삼중대각 행렬이 되고, 한 번 푸는 데 드는 시간이 층수의 제곱이 아니라 층수에 비례합니다.

움직임은 1초에 240번, 뉴마크 평균가속도법으로 나아갑니다. 한 단계 안의 가속도를 평균값으로 두는 방법으로, 단계를 아무리 크게 잡아도 터지지 않습니다. 장치가 항복하거나 미끄러지면 힘이 맞을 때까지 한 단계를 몇 번 되풀이합니다(뉴턴 반복). 주파수 응답 곡선과 판독표의 주기는 항복하는 장치를 등가 성질로 바꿔 계산합니다. 받침은 25 cm, 층 감쇠기는 층간 변위 1%를 설계 변위로 잡아, 그때의 할선 강성과 한 번 흔들릴 때 같은 에너지를 빼앗는 감쇠를 씁니다.

이 모두를 시험했습니다. 1층 구조물의 자유 진동, 갑자기 걸린 일정한 하중, 오래 이어진 사인파에서 정확한 식과 0.2%에서 0.5% 안으로 맞습니다. 장치와 주기 조합 10가지가 정상 상태 해와 1% 안으로 맞습니다. 마찰 진자의 주기는 2π√(R/g)와 맞고, 덴 하르토흐의 봉우리와 최적 조율은 수치 탐색으로 다시 나오며, 납의 한 번 흔들림 에너지는 4Q_d(D − d_y)와 맞고, 과제마다 적어도 한 가지 설정으로 풀리되 처음 상태로는 풀리지 않으며, 엘센트로 기록의 최대값과 시각이 파일과 맞습니다.

모형에서 단순하게 한 것

• 건물은 한 방향으로만 움직이고 비틀리지 않습니다.
• 건물 골조는 탄성 그대로입니다. 실제 콘크리트는 금이 가고 실제 강철은 항복하므로, 층간 변위가 몇 %에 이르면 건물은 이 모형처럼 움직이지 않습니다. 3%를 넘으면 판독표가 그렇게 알려 줍니다.
• 층은 질량 하나이고 층마다 강성이 같습니다. 실제 고층 건물은 아래로 갈수록 단단합니다.
• 장치는 단순하게 했습니다. 납과 마찰은 정한 힘에서 미끄러지는 요소로, 오일 댐퍼는 선형 대시포트로, 물탱크는 스프링에 매단 질량으로 봅니다.
• 합성파는 지진마다 성격을 닮았을 뿐 그 기록과 똑같지 않습니다.
• 흙층은 진동계 하나입니다. 실제 흙은 세게 흔들리면 물러집니다.
• 액상화 상자는 간편 설계식을 따르며, 모래알과 틈을 하나하나 계산하지 않습니다.
• 화면의 움직임은 과장해서 그렸고(배율은 판독표에 있습니다), 아주 큰 움직임은 건물이 진동대 위에 남도록 눌러서 그렸습니다. 판독표의 숫자는 누르지 않았습니다.

짧은 역사

로빈슨이 고무 받침에 납 기둥을 넣는 생각을 떠올린 것은 1975년 4월 2일이고, 첫 받침 두 개는 1977년 4월 웰링턴 윌리엄 클레이턴 빌딩을 위해 시험했습니다. 1977년 문을 연 뉴욕 시티코프 센터의 꼭대기 층에는 압축 기름 받침 위에 뜬 400 t 콘크리트 덩어리가 있었는데, 초고층 건물의 동조 질량 감쇠기로는 이른 편이었습니다. 1988년 캘리포니아의 풋힐 법원 청사가 미국 최초의 면진 건물로 소개되었습니다. 1989년 도쿄의 교바시 세이와 빌딩이 실제 크기로 능동 제어를 한 첫 건물이 되었습니다. 1990년 마찰 진자 받침이 발표되었고, 1991년 일본에서 좌굴방지 가새가 인정받았습니다.

1995년 고베 지진 때까지 면진은 드물었습니다. 노스리지와 고베에서 면진 건물이 잘 견딘 일이 이것을 바꿨고, 특히 일본에서 그랬습니다. 그 뒤 면진 병원들은 2011년 도호쿠, 2016년 구마모토, 2023년 튀르키예 지진을 겪으면서도 계속 일했고, 오사카와 도쿄의 고층 건물에는 2011년 장주기 흔들림 뒤 감쇠기를 달았습니다.