고딕 성당이 버티는 법

모형이 보여 주는 것

프랑스의 큰 성당 신랑에 서서 위를 올려다보면 돌 천장이 10층 건물보다 높은 곳에 걸려 있습니다. 그런데 그 천장을 받치는 벽은 대부분 색유리입니다. 유리가 돌 지붕을 받칠 수는 없으니 다른 무언가가 그 일을 맡고 있을 것입니다. 답은 건물 바깥에 있습니다. 돌로 된 반쪽 아치들이 노 젓는 배의 노처럼 줄지어 건물에 기대어 있습니다.

첫 장면은 전성기 고딕 성당 신랑의 세 칸을 앞쪽 기둥에서 잘라 낸 단면입니다. 가운데가 리브 볼트를 얹은 신랑이고, 양옆에 낮은 측랑이 있으며, 측랑 바깥에 피너클을 얹은 버트레스가 섭니다. 플라잉 버트레스는 버트레스에서 측랑 지붕을 건너 신랑 벽 윗부분까지 뻗어 있습니다. 치수는 아미앵 대성당과 비슷하게 잡았습니다. 기둥 중심 사이가 14.4 m, 볼트가 휘기 시작하는 높이가 29.5 m, 꼭대기가 42 m입니다. 어느 한 건물을 실측한 값은 아닙니다.

초록 선은 추력선입니다. 볼트가 미는 힘이 돌 속을 지나 땅까지 내려가는 길을 그렸습니다. 구석의 표에는 한 칸 한쪽에 걸리는 힘이 나옵니다. 막대로 볼트와 피너클 무게, 바람, 버트레스의 깊이와 위치, 고측창 폭을 바꾸고, 스위치로 플라잉 버트레스를 빼거나 첨두 볼트를 반원 볼트로 바꿀 수 있습니다. 선이 돌 밖으로 나가면 빨갛게 바뀌고, 선이 빠져나간 부분이 넘어갑니다. 모형의 어느 부분이든 누르면 그 부품의 설명이 나옵니다.

위쪽 막대에 장면이 여섯 개 더 있습니다. 성당 전체는 서쪽 문에서 회랑까지 걸어 볼 수 있습니다. 원통 볼트부터 부채꼴 볼트까지 볼트 여섯 가지가 나란히 서 있습니다. 진짜 블록으로 쌓은 아치 네 개는 모양마다 돌이 얼마나 두꺼워야 하는지 보여 줍니다. 건설 현장은 작업 순서를, 보베 성가대석 모형은 중세에서 가장 높았던 볼트가 어떻게 무너졌는지를 보여 주고, 스테인드글라스 창은 조각, 납, 쇠막대로 풀립니다. 조작 칸 아래에는 과제 일곱 개, 높이 경쟁 그래프, 한 칸의 숫자 풀이, 출처를 단 성당과 사건 37개가 있습니다.

돌 천장은 왜 벽을 바깥으로 밀까

돌은 누르는 힘에는 강하고 당기는 힘에는 약합니다. 돌과 모르타르로 쌓은 볼트는 돌끼리 서로 눌러야만 무게를 버틸 수 있습니다. 그래서 볼트 속의 힘은 곡선을 따라 흐르다가 아래쪽에서 비스듬히 빠져나옵니다. 이 비스듬한 힘을 둘로 나누면 세로 성분은 볼트의 무게이고, 가로 성분은 벽 꼭대기를 바깥으로 미는 힘입니다. 이 가로 성분을 추력이라고 부릅니다.

의자 두 개에 긴 널빤지를 걸쳐 놓으면 의자는 널빤지 무게만 받습니다. 그런데 널빤지 두 장을 텐트처럼 서로 기대 세우면 무언가가 막지 않는 한 아래쪽이 양옆으로 미끄러져 벌어집니다. 볼트는 텐트 쪽에 가깝습니다. 모형에서 한 칸 한쪽의 볼트 무게는 813 kN으로 약 83톤이고, 옆으로 162 kN을 밉니다. 이 힘이 바닥에서 29.5 m 높이에 걸리니 벽을 넘어뜨리는 지렛대가 매우 깁니다.

첨두 아치가 반원 아치보다 덜 미는 이유

고딕 이전의 로마네스크 성당은 주로 반원 아치를 썼습니다. 고딕 건축가들은 두 개의 호가 꼭대기에서 뾰족하게 만나도록 아치를 그렸습니다. 폭이 같으면 첨두 아치가 더 높이 솟고, 높이 솟은 아치는 옆으로 덜 밉니다. 가파른 텐트가 납작한 텐트보다 말뚝을 덜 끌어당기는 것과 같은 이치입니다.

볼트를 무게가 곡선을 따라 고르게 퍼진 아치로 보고, 꼭대기와 양쪽 시작점에 경첩이 있다고 놓겠습니다(3힌지 아치). 그러면 시작점에 대한 모멘트 식 하나로 추력이 정해집니다. 추력 H × 높이 = 반쪽 아치 무게 × 시작점에서 무게중심까지의 가로 거리입니다. 반지름 a인 반원이라면 반쪽 아치 길이는 πa/2, 무게중심은 중심에서 2a/π, 높이는 a이므로 H = (1 − 2/π) W = 0.363 W가 됩니다. 같은 폭의 정삼각형 첨두 아치(각 반쪽을 반대편 시작점에서 반지름 2a로 그린 아치)는 높이가 a√3이고, 같은 식에서 H = 0.200 W가 나옵니다.

모형 값(a = 7.2 m, 두께 0.35 m에 해당하는 돌 껍질, 1 m³당 22 kN, 칸 길이 7 m)을 넣으면 반원 볼트는 한쪽 무게 610 kN에 추력 222 kN입니다. 첨두 볼트는 곡선이 더 길어서 무게가 813 kN으로 3분의 1이 더 무겁지만 추력은 162 kN뿐입니다. 더 무거운 볼트가 27% 덜 미는 셈입니다. 하중이 모두 꼭대기 한 점에 실린다면 반원 아치는 하중의 절반, 첨두 아치는 0.289배로 밀어서 42% 차이가 납니다.

첨두 아치에는 장점이 하나 더 있습니다. 높이가 폭에 묶여 있지 않아서 좁은 아치와 넓은 아치를 같은 높이로 맞출 수 있습니다. 덕분에 정사각형이 아닌 칸에도 볼트를 얹기가 훨씬 쉬워졌습니다.

기댈 곳이 없는 벽은 어떻게 될까

플라잉 버트레스를 꺼 보세요. 이제 벽 혼자서 볼트의 추력을 모두 받아야 합니다. 모형의 정역학 계산에서는 벽과 기둥을 합쳐 한 칸에 두께 1.5 m, 길이 2.2 m, 높이 42.5 m의 단단한 돌기둥 하나로 봅니다. 지붕과 볼트까지 얹으면 땅을 누르는 힘은 4,018 kN입니다.

162 kN이 29.5 m 높이에서 밀면 벽 밑동에는 4,790 kN·m의 모멘트가 걸립니다. 이것을 세로 힘으로 나누면 추력선은 벽 밑동에서 중심으로부터 1.19 m 떨어진 곳을 지납니다. 벽 두께의 절반은 0.75 m뿐이므로 선이 돌 밖으로 0.44 m 나가 있습니다. 돌덩어리는 땅을 잡아당길 수 없으니 바깥 모서리를 축으로 돌아 넘어지고 볼트가 내려앉습니다. 모형에서는 벽이 9° 기울고 볼트가 떨어지는 모습으로 보여 줍니다.

그렇다면 벽이 혼자 서려면 얼마나 두꺼워야 할까요? 밑동에서 계산하면 두께 1.94 m에서 선이 겨우 가장자리에 걸립니다. 여유는 전혀 없습니다. 이음매가 조금도 벌어지지 않도록 선을 가운데 3분의 1 안에 두려면 3.52 m가 필요합니다. 막대로 볼트 무게를 절반으로 줄이면 1.5 m 벽도 간신히 서고, 선은 바깥면까지 88% 지점을 지납니다. 플라잉 버트레스가 없던 로마네스크 성당의 벽이 두껍고 창이 작았던 까닭이 여기에 있습니다.

플라잉 버트레스는 측랑 너머로 힘을 옮깁니다

플라잉 버트레스는 벽 꼭대기 근처에서 추력을 받아 측랑 너머 바깥의 무거운 기둥으로 넘겨 주는 반쪽 아치입니다. 모형에서는 볼트 시작점보다 1 m 낮은 28.5 m 높이에서 벽에 닿고, 25 m 높이에서 버트레스에 내려앉습니다. 무게는 137 kN입니다.

플라잉 버트레스에도 무게가 있으므로 그 속의 추력선은 곧은 선이 아닙니다. 162 kN의 미는 힘이 지나가는 동안 6.65 m 길이에 퍼진 자기 무게가 더해져서, 선은 양 끝을 이은 직선보다 가운데에서 0.70 m 위로 휘어 오릅니다. 그래서 플라잉 버트레스는 윗면이 곧게 경사지고 아랫면은 아치 모양으로 파여 있어 이 곡선을 품습니다. 선은 단면 가운데에서 가장자리까지의 43% 안쪽에 머뭅니다. 벽 쪽 끝에서는 벽을 17 kN만큼 위로 밀어 올리고, 버트레스 쪽 끝에서는 154 kN으로 내리누릅니다.

플라잉 버트레스가 있으면 벽에는 볼트 시작점과 플라잉 버트레스 머리 사이의 작은 모멘트, 162 kN × 1 m만 남습니다. 벽의 추력선은 중심에서 0.04 m, 바깥면까지 11% 지점으로 옮겨 갑니다. 벽은 거의 자기 무게만 지면 됩니다.

피너클이 버트레스 꼭대기에 있는 이유

버트레스는 계단 모양 돌 블록입니다. 16 m까지는 깊이 4.2 m이고, 그 위는 2.2 m로 좁아집니다. 어느 높이에서 잘라 봐도 추력선이 단면 안에 있어야 합니다. 플라잉 버트레스는 버트레스 꼭대기 가까이에 내려앉는데, 그 위에는 힘을 아래로 꺾어 줄 돌이 거의 없어서 선이 바깥면 쪽으로 향합니다. 가장 위험한 자리는 16 m 계단 바로 위입니다.

피너클이 없으면 그 단면에서 추력선은 안쪽 면에서 2.30 m 떨어진 곳을 지납니다. 위쪽 블록은 깊이가 2.2 m뿐이니 선이 밖으로 나가고, 버트레스 윗부분이 넘어갑니다. 안쪽 면에서 0.7 m 자리에 200 kN 피너클을 얹으면 가로로 미는 힘은 그대로인데 세로 힘이 커집니다. 합친 힘이 더 가파르게 서면서 선은 2.04 m 자리로 돌아오고, 가운데에서 바깥면까지의 85% 지점에 머뭅니다. 피너클의 역할이 바로 이것입니다. 그 무게가 추력선을 아래로 꺾어 줍니다. 꼭대기의 뾰족한 장식은 꾸밈이지만 그 아래 돌은 무게추입니다.

볼트를 반원으로 바꾸면 같은 버트레스가 서기 위해 피너클이 약 400 kN은 되어야 합니다(97%). 첨두 볼트를 25% 무겁게 하면 200 kN으로는 모자라고(108%), 400 kN이면 선이 88% 지점으로 돌아옵니다.

바람이 더하는 힘

바람은 건물 옆면 전체를 밉니다. 가파른 지붕, 고측창, 버트레스까지 모두 받습니다. 모형은 이것을 칸마다 옆으로 미는 힘 하나로 바꿉니다. 움직이는 공기의 압력은 공기 밀도의 절반에 속도의 제곱을 곱한 값, ½ × 1.25 kg/m³ × v²입니다. 모형은 이 압력이 7 m 한 칸의 지붕과 벽 210 m²에 걸리고, 한쪽에서 미는 힘과 반대쪽에서 빨아당기는 힘을 합쳐 압력 계수를 1.0으로 둡니다. 30 m/s에서는 562 Pa, 힘으로 118 kN입니다. 15 m/s에서는 속도가 절반이라 30 kN으로 줄어듭니다.

이 힘은 어디로 갈까요? 모형에서는 채움돌로 단단해진 볼트 허리를 거쳐 기점 높이에서 벽에 닿고, 모두 바람 반대쪽이 받습니다. 그쪽 플라잉 버트레스는 볼트의 162 kN에 바람을 더해 30 m/s에서 281 kN을 받아 버트레스로 넘깁니다. 바람 쪽은 바람이 없을 때 그대로 둡니다. 조심스럽게 잡은 가정입니다. 실제 성당은 바람을 양쪽이 나눠 받고, 지붕 높이에 위쪽 플라잉 버트레스를 한 단 더 둔 성당도 많습니다.

문제는 플라잉 버트레스가 아닙니다. 그 선은 30 m/s에서 가장자리까지 43%에서 56%로 옮겨 갈 뿐입니다. 버트레스가 문제입니다. 가장 약한 곳인 16 m 계단 바로 위에서 바람이 14.2 m/s를 넘으면 선이 바깥면을 뚫고, 30 m/s에서는 148%가 됩니다. 모형의 버트레스는 바람이 없을 때도 여유가 적게(85%) 가늘게 그렸기 때문에, 센 바람 정도로도 바람이 하는 일을 보여 줍니다. 되돌리는 방법은 둘입니다. 400 kN 피너클만으로는 124%로 아직 밖입니다. 400 kN 피너클에 버트레스를 20% 깊게 하면 86%, 300 kN 피너클에 30% 깊게 하면 80%가 됩니다.

플라잉 버트레스를 빼면 바람은 이미 버티지 못하던 벽에 볼트의 힘과 함께 더해집니다. 벽의 비율은 바람이 없을 때 159%에서 20 m/s에서 210%가 됩니다.

버트레스를 옮기거나 깊게 하면

「버트레스 깊이」 막대는 처음 깊이 4.2 m와 2.2 m인 두 단을 함께 늘이고 줄입니다. 깊어지면 무게가 늘고, 선이 바깥면에 닿기까지 갈 수 있는 거리도 늘어납니다. 둘 다 도움이 됩니다. 깊이를 80%로 줄이면 계단 위에서 선이 133%에 이르러 버트레스가 넘어가고, 약 93%까지는 버팁니다. 120%에서는 선이 바깥면까지 58% 지점에 머물고, 150%에서는 가장 위험한 곳이 계단이 아니라 꼭대기 근처로 옮겨 가며 42%가 됩니다.

「버트레스 위치」는 측랑이 넓어진 것처럼 버트레스를 신랑에서 최대 3 m 더 멀리 밀어냅니다. 버트레스 자체는 그대로라 비율도 86%로 같습니다. 대신 플라잉 버트레스가 더 멀리 뻗어야 합니다. 무게가 137 kN에서 187 kN이 되고 선이 더 처져서, 3 m에서는 가장자리까지 43%가 아니라 84% 지점을 지납니다.

벽이 유리가 된 과정

플라잉 버트레스가 추력을 가져가면 기둥 사이 벽은 자기 무게와 지붕 일부만 지면 됩니다. 두꺼운 돌덩어리일 필요가 없으니 크게 뚫을 수 있습니다. 모형의 고측창은 폭 4.4 m에 끝이 뾰족한 창으로, 한 칸에 유리가 43.6 m²입니다. 창턱부터 볼트까지 기둥 사이 벽면의 54%가 유리인 셈입니다. 그 아래 트리포리움에는 작은 아치가 줄지어 있고, 다시 그 아래 아케이드는 측랑 쪽으로 트여 있습니다.

「고측창 폭」 막대는 창 폭을 2.4 m(20.8 m², 벽면의 26%)부터, 기둥 쪽 벽만 겨우 남는 5.2 m(54.0 m², 67%)까지 바꿉니다. 창 안의 장식인 가운데 기둥, 작은 첨두 아치 두 개, 잎 장식 네 개를 단 둥근 창도 함께 커집니다. 모형에서 유리는 무게를 바꾸지 않으므로 힘은 움직이지 않습니다. 플라잉 버트레스만 있으면 창은 거의 마음대로 낼 수 있습니다.

창을 지난 빛은 바닥에 색색의 무늬로 떨어집니다. 「시각」 막대로 해를 아침에서 오후로 옮기면 무늬도 따라 움직이고, 고화질 설정에서는 창과 바닥 사이에 빛줄기가 옅게 걸립니다.

진짜 돌로 쌓은 아치

첫 장면의 볼트는 꼭대기와 기점에 경첩을 고정한 얇은 아치입니다. 실제 아치는 두껍고, 추력도 하나로 정해져 있지 않습니다. 「아치 모양」 장면은 같은 14.4 m 경간에 아치 네 개를 쐐기 모양 돌로 쌓았습니다. 돌과 돌 사이 이음매는 곡선에 직각으로 잘랐습니다. 그리고 다른 질문을 던집니다. 돌 안에 들어가는 추력선이 하나라도 있을까요?

자크 하이먼은 1966년에 돌 구조에서는 이 질문이 핵심이라는 것을 보였습니다. 돌을 서로 당기지 못하고, 부서지지 않을 만큼 강하고, 미끄러지지 않는 블록으로 봅니다. 그러면 하중과 균형을 이루는 추력선을 하나라도 아치 안에 그릴 수 있는 한 아치는 설 수 있습니다. 이것이 안전 정리입니다. 아치가 실제로 어느 선을 쓰는지는 말해 주지 않습니다. 그것은 침하와 균열에 따라 달라집니다. 그런 선이 있는 동안 아치가 안전하다는 것만 말합니다.

모형은 아치마다 꼭대기의 추력과, 그 추력이 꼭대기 이음매를 지나는 높이를 모두 찾아봅니다. 이음매마다 꼭대기 추력과 꼭대기에서 그 이음매까지의 무게가 만드는 모멘트로 선이 지나는 자리가 정해집니다. 이음매 하나가 추력에 한계를 하나씩 주므로 맞는 추력의 범위를 정확히 구할 수 있고, 그중 추력이 가장 작은 선을 그립니다. 선이 돌 면에 닿는 곳에는 힌지를 점으로 찍습니다.

두께가 1.0 m일 때는 네 아치 모두 맞습니다. 반원 아치는 반쪽이 깊이 1 m당 249 kN이고 꼭대기 추력이 적어도 90 kN/m는 되어야 합니다. 반지름 14.4 m 원호 두 개로 12.47 m 솟은 첨두 아치는 332 kN/m로 더 무거운데도 64 kN/m면 됩니다. 후기 고딕의 사심 아치는 기점의 반지름 3.6 m 작은 원호와 반지름 14.4 m 큰 원호로 만들어 4.93 m만 솟고, 무게 209 kN/m에 121 kN/m가 필요합니다. 늘어뜨린 사슬 모양을 첨두 아치 높이에 맞춘 현수선 아치는 53 kN/m입니다.

아치를 얇게 하면 하나씩 무너집니다. 반원 아치는 0.774 m보다 얇으면 안에 들어가는 선이 없습니다. 반지름의 0.1075배입니다. 1907년 밀란코비치가 이음매를 반지름 방향으로 낸 반원 아치에서 찾은 값입니다. 이 한계에서 선은 꼭대기와 기점에서 바깥 면에, 꼭대기에서 약 55도 내려간 곳에서 안쪽 면에 닿습니다. 힌지가 다섯 개가 되면 아치는 움직이는 기구가 됩니다. 사심 아치가 0.785 m에서 가장 먼저 무너지고, 첨두 아치는 0.61 m, 현수선 아치는 선이 돌 한가운데를 따라갈 수 있어서 거의 두께가 없을 때까지 버팁니다.

꼭대기에 탑이나 용마루 같은 하중을 얹으면 순서가 바뀝니다. 꼭대기에 200 kN/m를 얹으면 반원 아치는 1.36 m, 첨두 아치는 0.99 m가 필요합니다. 자기 무게에만 꼭 맞던 현수선 아치는 이제 약 1.03 m가 필요합니다. 첨두 아치는 리브와 채움돌을 얹은 볼트처럼 고르지 않은 하중에 알맞은 타협입니다.

원통 볼트에서 부채꼴 볼트까지

「볼트」 장면에는 한 칸을 돌로 덮는 방법 여섯 가지가 나란히 섭니다. 칸은 모두 10 m 정사각형이고 9 m 높이에서 시작합니다.

원통 볼트는 반원통입니다. 길이 전체에서 바깥으로 밀기 때문에 벽 전체가 두꺼워야 하고 창을 낼 자리가 거의 없습니다. 교차 볼트는 원통 두 개를 직각으로 엇갈리게 놓습니다. 두 원통이 만나는 주름인 그로인이 무게를 모아 네 모서리로 내려보내므로 그 사이 벽은 열 수 있습니다. 리브 볼트는 이 주름을 먼저 나무 홍예틀 위에 돌 리브로 쌓고, 그 사이에 얇은 판을 채웁니다. 리브가 하중을 네 점으로 모으고, 뾰족하게 그리면 바깥으로 미는 힘이 줄어듭니다. 쉬제르 수도원장이 다시 지은 생드니는 1144년 무렵의 성가대 뒤쪽에서 리브 볼트와 색유리를 함께 썼습니다.

육분 볼트는 두 배 길이의 칸 가운데에 가로 리브를 하나 더 넣어 여섯 칸으로 나눕니다. 받침마다 하중이 달라서 굵은 기둥과 가는 기둥이 신랑을 따라 번갈아 섭니다. 1284년 뒤 보베 성가대석을 다시 지을 때 새로 넣은 가운데 기둥이 네 조각 볼트를 여섯 조각 볼트로 바꿨습니다. 티어스런 볼트는 기점마다 리브를 더 뻗어 꼭대기를 따라가는 마룻대 리브에 닿게 합니다. 판은 작아지고 볼트는 야자수 잎처럼 보입니다. 부채꼴 볼트는 기점마다 돌 원뿔이 자라고, 같은 곡선의 리브를 표면에 무늬로 새깁니다. 케임브리지 킹스 칼리지 예배당의 존 와스텔 볼트는 1512년부터 1515년 사이에 지었고, 1503년에 시작해 1516년에 완성한 웨스트민스터의 헨리 7세 성모 예배당도 천장이 부채꼴 볼트입니다. 볼트를 누르거나 「볼트」 막대를 옮기면 주황색 화살표가 무게가 내려오는 곳을 가리킵니다.

성당 전체를 걸어 보기

「성당 전체」 장면은 한 칸을 아미앵에 가까운 크기의 라틴 십자형 건물 전체로 넓힙니다. 측랑이 딸린 신랑 여덟 칸, 나무 첨탑을 얹은 교차부, 양쪽 끝 벽에 장미창을 낸 세 칸짜리 익랑, 곧은 성가대석 네 칸, 다섯 면의 후진, 그 둘레의 회랑, 바깥으로 뻗은 소성당 일곱 개가 있습니다. 모형은 길이 약 126 m, 측랑까지 폭 31 m이고 익랑 길이는 56 m입니다. 국립기념물센터에 따르면 실제 아미앵은 길이 145 m, 안 부피 약 200,000 m³이고 볼트는 바닥에서 42.30 m 높이에 있습니다.

설 자리 막대로 위에서, 문 세 개와 장미창과 탑 두 개가 있는 서쪽 정면 앞, 문 안, 신랑, 교차부 아래, 성가대석, 회랑으로 옮겨 갈 수 있습니다. 안에서는 카메라가 눈높이 1.7 m에 서고, 끌어서 둘러봅니다. 신랑 바닥에는 아미앵의 미로를 본뜬 팔각형 무늬가 있습니다. 아미앵 미로의 길은 234 m이고 가운데 돌은 1288년에 놓였습니다. 남쪽 고측창의 색 빛이 바닥에 떨어져 해를 따라갑니다.

건물은 한 칸과 같은 부품으로 조립했습니다. 입면 하나, 볼트 하나, 기둥 하나, 버트레스와 피너클과 플라잉 버트레스를 단 측랑 한 칸을 되풀이하고, 돌 종류마다 한 번에 그립니다. 「속 보기」를 켜면 지붕이 투명해져서 볼트를 위에서 볼 수 있습니다.

성당을 올리는 순서

「건설 현장」 장면은 두 칸을 여섯 단계로 올립니다. 먼저 단단한 땅까지 기초를 파서 잡석과 모르타르로 채우고, 기둥을 14 m 높이의 아케이드 주두까지 세웁니다. 이어서 아케이드 아치를 나무 홍예틀 위에 쌓습니다. 홍예틀은 아치 모양에 맞춘 틀로, 쐐기돌이 들어갈 때까지 돌을 받칩니다. 비계 장대는 서로 묶고, 벽에 남긴 구멍에 받침목이라는 짧은 나무를 꽂아 판자를 얹습니다.

위쪽 벽이 올라갈 때는 트레드휠 기중기로 돌을 들어 올립니다. 큰 바퀴 안에서 사람이 걸으면 축이 돌며 밧줄을 감습니다. 베벌리 대성당의 역사 소개에 따르면 그곳에서는 가운데 탑의 볼트 위에 트레드휠 기중기를 두고, 바퀴 안에서 걷는 사람이 지붕 속으로 자재를 끌어 올렸습니다. 재생을 누르면 모형의 바퀴가 돌고 돌이 올라갑니다.

지붕은 높은 볼트보다 먼저 올렸습니다. 그래야 볼트를 지붕 밑에서 쌓고 갓 바른 모르타르를 마른 채로 둘 수 있습니다. 케임브리지 킹스 칼리지 예배당은 1512년까지 건물 전체 길이에 나무와 납으로 지붕을 덮었고, 그 아래 부채꼴 볼트는 1515년에 끝났습니다. 리브는 벽에 매단 홍예틀 위에 먼저 올리고, 돌마다 본에 맞춰 깎아 곡선이 쐐기돌에서 만나게 했습니다. 그다음 판돌로 리브 사이 칸을 채우고, 모르타르가 굳으면 홍예틀을 내려 다음 칸으로 옮겼습니다. 땅 위의 석공 작업장에는 돌을 다듬는 작업대와 나무 망치, 끌, 직각자, 컴퍼스, 본이 있습니다.

비계는 오래 남기도 했습니다. 솔즈베리 첨탑 안에는 1360년의 큰 폭풍 뒤 첨탑을 보강하려고 넣은 나무 비계가 지금도 있습니다.

보베: 무너진 볼트

보베 대성당은 1225년에 가장 높은 교회를 목표로 시작했습니다. 보베 대성당 협회에 따르면 성가대석 볼트 높이는 46.7 m입니다. Mapping Gothic France는 약 46.5 m, 2025년 학술지 Heritage의 연구는 48 m로 적습니다. 성가대석은 1272년에 쓰이기 시작했습니다. 1284년 11월 29일 볼트 일부가 무너지며 위쪽 벽과 플라잉 버트레스 일부도 함께 무너졌습니다. 수리는 1347년 무렵 끝났습니다. 곧은 칸마다 더 가는 새 기둥을 가운데에 세워 3칸이 6칸이 되었고, 볼트는 여섯 조각 볼트가 되었습니다. 1500년부터 익랑을 지었고, 신랑 대신 교차부 위에 첨탑을 얹은 탑을 올렸습니다. 탑은 1569년에 약 150 m로 완성했지만 4년 뒤 무너졌습니다. 신랑은 한 칸에서 멈췄습니다.

볼트가 무너진 까닭은 지금도 논쟁 중이고, 2025년 Heritage의 검토 논문이 그 흐름을 정리합니다. 파울 프랑클은 기초를 탓했습니다. 자크 하이먼은 건물이 12년 동안 그랬듯 자기 무게로는 안정했다고 보고, 작은 국부적 계기를 찾았습니다. 1976년 모리 울프와 로버트 마크는 광탄성 모형으로 번갈아 부는 바람이 버트레스 체계의 가는 중간 기둥에 금을 냈다고 제안했고, 바람을 결정적인 원인으로 처음 내세웠습니다. 스티븐 머리는 시공의 불일치와 15 m가 넘는 유난히 넓은 칸을, 마리오 코모는 기둥의 느린 크리프 좌굴을 들었습니다.

보베 장면은 한 칸의 정역학을 더 높고 가는 비례로 씁니다. 꼭대기 46.7 m, 볼트 기점 34.1 m, 두께 1.25 m의 벽, 깊이 5.0 m와 3.0 m의 버트레스에 250 kN 피너클, 1272년의 칸 길이 9 m입니다. 바람이 없을 때 성가대석이 서도록 고른 모형 값입니다. 그러면 볼트 반쪽은 1,060 kN이고 기둥 줄마다 212 kN을 밀며, 가장 위험한 곳이 74%입니다. 바람을 올리면 1272년 성가대석은 20.5 m/s에서 무너지기 시작하고, 25 m/s에서 선이 113%에 이르러 가운데 칸이 무너집니다. 다시 지은 성가대석으로 바꿔 보세요. 칸마다 가운데 기둥이 생겨 기둥 줄 하나가 받는 볼트가 절반인 106 kN이 되고, 같은 구조가 45.8 m/s까지 버팁니다. 30 m/s에서는 62%입니다. 모형이 1284년에 무슨 일이 있었는지 증명하지는 않습니다. 원인이 무엇이든 칸을 나누는 것이 왜 알맞은 수리였는지를 보여 줍니다.

스테인드글라스 창을 만드는 법

중세 유리 만들기에 대해 알려진 것은 대부분 테오필루스라고 스스로를 부른 12세기 수도사가 『여러 기술에 대하여』에 적어 둔 것입니다. 유리는 모래와 나무 재로 만들고, 녹아 있을 때 금속을 넣어 색을 냈으며, 원통으로 불거나 원판으로 돌려 판유리로 폈습니다. 빨간 유리는 너무 어두워서 보통 투명 유리 위에 빨간 층을 얇게 입혔고, 이것을 씌운 유리라고 부릅니다.

「스테인드글라스」 장면은 창 하나를 만든 순서대로 풉니다. 먼저 분필이나 석회를 칠한 나무 탁자 위에 창을 실제 크기로 그리고, 조각마다 색을 글자로 적었습니다. 1400년 무렵 종이가 흔해지기 전에는 이 탁자가 유일한 도면이었습니다. 조각은 달군 쇠로 판유리에서 떼어 내고, 가장자리를 끼워 갉아 내는 쇠갈고리인 그로징 아이언으로 모양을 맞췄습니다. 얼굴과 옷 주름은 어두운 유리 물감으로 그려 가마에 구우면 물감이 유리에 녹아 붙습니다. 조각을 같은 탁자 위에 다시 늘어놓고 H자 모양 납 띠인 케임에 끼운 뒤, 이음매를 땜질하고 빗물이 들지 않게 납 밑에 퍼티를 밀어 넣었습니다. 마지막으로 돌에 박은 쇠막대에 판을 걸고 납 끈을 땜해 묶었습니다. 가로 막대는 무게를 받고, 바람에 창이 흔들리지 않게도 합니다.

모형 창은 폭 2 m로, 정사각형 판 네 장과 뾰족한 머리 부분에 유리 조각이 모두 106개, 납이 81 m, 납 띠가 셋 이상 만나는 땜 자리가 83곳입니다. 샤르트르의 유리는 2,500 m²에 인물이 3,500명 넘게 그려져 있습니다. 루이 9세를 위해 7년이 안 걸려 지은 파리 생트샤펠에는 높이 15 m 창 15개에 장면 1,113개가 있습니다.

실제 성당은 얼마나 높을까

높이 경쟁은 조작 칸 아래 두 그래프에 있습니다. 볼트로 보면 1194년 화재 뒤 다시 지은 샤르트르가 37 m에 폭 16.4 m로 가장 넓은 고딕 신랑이고, 1211년에 시작한 랭스가 약 38 m, 1220년에 시작한 아미앵이 42.30 m, 1225년에 시작한 보베가 46.7 m입니다. 보베는 그래프에서 지은 모습 그대로 남지 못한 유일한 곳입니다. 1517년에 끝난 웨스트민스터 사원 신랑은 31 m로 잉글랜드에서 가장 높은 고딕 볼트이고, 1248년에 시작해 1880년에 끝난 쾰른은 가운데 신랑이 43.35 m입니다.

탑과 첨탑의 경쟁은 더 오래 이어졌습니다. 1311년에 완성한 링컨의 탑과 첨탑은 160 m에 이르러 238년 동안 세계에서 가장 높은 건물이었습니다. 1300년 무렵부터 1329년 사이에 올린 솔즈베리 첨탑은 123 m로 지금 잉글랜드에서 가장 높습니다. 빈의 남쪽 탑은 1433년에 136.4 m로, 스트라스부르 첨탑은 1439년에 142 m로 완성했습니다. 보베는 1569년에 약 150 m로 다시 도전했다가 1573년에 탑을 잃었습니다. 쾰른의 탑 157.22 m는 1880년에, 울름의 큰 탑 161.53 m는 1890년에 완성했습니다. 2025년 10월 30일 바르셀로나 사그라다 파밀리아의 가운데 탑이 162.91 m가 되어 울름을 넘었습니다. 다시 지은 파리 노트르담 첨탑은 2023년 12월 16일 금빛 수탉을 올렸고, 땅에서 약 96 m 높이입니다.

모형이 실제 성당보다 단순한 점

• 볼트를 평면 아치로 봅니다. 실제 리브 볼트는 하중을 3차원으로 나르는 껍질이고, 힘을 칸의 네 모서리로 모읍니다.
• 한 칸 장면의 추력은 꼭대기와 기점의 경첩으로 정했습니다. 아치 장면에서 보듯 실제 볼트는 여러 크기의 추력으로 설 수 있고, 실제로 어느 값을 쓰는지는 균열과 침하에 따라 달라집니다.
• 볼트 허리 위의 채움돌은 그렸지만 계산에 넣지 않았습니다. 실제 채움돌은 낮은 곳에 무게를 더해 추력의 방향을 잡아 줍니다.
• 바람은 칸마다 기점 높이의 힘 하나이고, 바람 반대쪽이 모두 받습니다. 실제 성당은 양쪽이 나눠 받고, 이를 위해 위쪽 플라잉 버트레스를 한 단 더 둔 곳이 많습니다.
• 측랑 볼트도 신랑 기둥을 안쪽으로, 버트레스를 바깥쪽으로 밉니다. 이 힘은 넣지 않았습니다.
• 벽과 기둥은 단단한 돌기둥 하나로, 버트레스는 직사각형 블록 두 개로 봅니다. 실제 기둥에는 가는 기둥, 통로, 계단이 있습니다.
• 창 크기는 어떤 무게도 바꾸지 않습니다.
• 돌은 단단하고 당기는 힘을 받지 않으며 부서지거나 미끄러지지 않는다고 놓았습니다. 실제 돌과 모르타르는 조금씩 눌리고 가라앉습니다.
• 성당 전체, 건설 현장, 보베 성가대석, 창은 한 칸의 비례로 만든 모형이고 어느 건물의 실측이 아닙니다.

숫자를 검산한 방법

정역학 계산을 손으로 푼 값과 하나씩 맞춰 보았습니다. H = 0.363 W와 H = 0.200 W라는 닫힌 식, 두 반쪽 볼트의 무게, 벽 밑동의 치우침 H × 29.5 ÷ N, 선을 가장자리에 걸치게 하는 벽 두께, 플라잉 버트레스 양 끝의 받침 힘이 자기 무게와 같은지, 피너클이 있을 때와 없을 때 계단 위 단면, 직사각형과 뾰족한 머리를 더한 창 면적입니다. 새로 넣은 부분도 손으로 확인했습니다. 바람 힘 ½ × 1.25 × 30² × 210 = 118 kN, 바람을 더한 계단 위 단면, 반원 아치의 최소 두께를 밀란코비치의 0.1075와, 힌지를 54.5도 근처와 비교하고, 그린 선이 모든 이음매 안에 있는지, 더 작은 추력은 맞지 않는지, 꼭대기 하중이 있을 때와 없을 때 반쪽 아치의 기점 모멘트 균형, 사심 아치 원호가 매끈하게 만나는지, 더 깊은 버트레스와 더 긴 플라잉 버트레스의 무게, 보베 칸을 절반으로 나누면 기둥 줄당 추력도 절반이 되는지 봅니다. 68개 손계산이 모두 1% 안쪽으로 맞습니다.