Schallwellen sichtbar machen: Frequenz und Dezibel

Was vom Lautsprecher zum Ohr wandert

Halten Sie die Hand vor einen Lautsprecher, der einen tiefen Basston spielt, und Sie spüren seinen Druck. Drehen Sie die Musik auf normale Lautstärke zurück, spüren Sie nichts mehr und hören trotzdem jeden Ton quer durch den Raum. Was durchquert also tatsächlich den Raum? Nicht die Luft beim Lautsprecher: Sie bleibt mehr oder weniger an ihrem Platz. Durch den Raum wandert ein Muster winziger Druckänderungen, das von einer Luftschicht zur nächsten weitergegeben wird.

Das Modell oben macht dieses Muster sichtbar. Eine Lautsprechermembran drückt auf eine als Punkte gezeichnete Luftsäule, und die Punkte rücken zusammen und auseinander, während die Welle vorbeizieht. Die Entfernungen im Modell sind wirklichkeitsgetreu: Der Maßstab unter der Luftsäule ist in Metern angegeben. Die Zeit ist es nicht. Die Membran eines echten Lautsprechers bewegt sich bei 440 Hz in jeder Sekunde 440-mal hin und her; das Modell verlangsamt sie deshalb mehrere Hundert Male und übertreibt außerdem die Bewegung jedes Punktes. Das Feld in der Modellecke zeigt beide Faktoren. Unter dem Modell zeigen drei Anzeigen denselben Schall so, wie ein Tontechniker ihn betrachten würde: als Wellenform, Spektrum und Spektrogramm.

Die Schaltflächen am oberen Rand der Bühne öffnen acht weitere Szenen, die dem Schall weiter folgen: eine Skala alltäglicher Dezibelpegel, das Innere des Ohrs, eine Gitarrensaite, ein Rohr und eine Trommel, einen vorbeifahrenden Krankenwagen und ein Überschallflugzeug, einen nach einem Klatschen nachhallenden Raum, ein Rohr, in dem Staub das Muster einer stehenden Welle bildet, ein Wettrennen durch acht Materialien und einen Kopfhörer mit aktiver Geräuschunterdrückung. Die Anzeigen unter der Bühne zeigen immer, wie die aktuelle Szene klingt.

Warum sich die Luft in Schichten bewegt

Ein Lautsprecher ist ein Motor mit einem Kolben aus Papier. Eine Kupferdrahtspule sitzt im schmalen Spalt eines Dauermagneten. Fließt Strom durch den Draht, übt das Magnetfeld eine Kraft darauf aus; weil die Spule an der Membran festgeklebt ist, bewegt sich diese mit. Wird der Strom umgekehrt, bewegt sich die Membran in die andere Richtung. Speist man die Spule mit Wechselstrom, folgt die Membran dessen Verlauf.

Bewegt sich die Membran vorwärts, drückt sie die Luft unmittelbar davor zusammen. Diese verdichtete Schicht drückt auf die nächste, diese wiederum auf die nächste und so weiter. Zieht sich die Membran zurück, hinterlässt sie eine Schicht, in der die Luft etwas dünner als gewöhnlich ist, und dieser dünnere Bereich wandert auf dieselbe Weise nach außen. Die zusammengedrückten Schichten heißen Verdichtungen, die dünnen Verdünnungen. Im Modell sind sie orange und blau gefärbt.

Weil sich die Luft entlang derselben Linie bewegt, auf der die Welle wandert, ist Schall in Luft eine Longitudinalwelle. Eine Welle auf einer Gitarrensaite ist anders: Die Saite bewegt sich seitwärts, während die Welle entlang der Saite läuft. Luft kann keine seitliche Welle übertragen, weil eine Gasschicht beim Vorbeigleiten eine andere kaum mitzieht.

Die Punkte im Modell schwingen nur um ihren eigenen Platz hin und her. Beobachten Sie einen einzelnen Punkt: Er wandert niemals fort. Was sich vom Lautsprecher entfernt, ist das Muster, und zwar mit Schallgeschwindigkeit.

Wie weit sich die Luft tatsächlich bewegt

Die Bewegung ist sehr klein. Bei einer in eine Richtung laufenden Schallwelle hängt die Auslenkung der Luft ξ mit der Druckänderung p folgendermaßen zusammen:

ξ = p / (ρ c ω)

Dabei ist ρ = 1,204 kg/m³ die Luftdichte bei 20 °C, c die Schallgeschwindigkeit und ω = 2πf. Nehmen wir einen lauten Ton von 94 dB bei 440 Hz, dessen Druckschwankung 1 Pascal beträgt:

ξ = 1 / (1,204 × 343 × 2π × 440) = 0,00000088 m

Das sind 0,88 Mikrometer, etwa ein Hundertstel der Breite eines Haars. Bei 1000 Hz sind es 0,39 Mikrometer. Beim leisesten Schall, den ein junges Ohr hören kann, 20 Mikropascal bei 1000 Hz, bewegt sich die Luft weniger als ein Hundertstel Nanometer, weniger als die Größe eines Atoms. Das Modell vergrößert die Bewegung um das Zigtausendfache, damit sie überhaupt sichtbar wird.

Die Wellenlänge ausrechnen

Der Abstand von einer Verdichtung zur nächsten ist die Wellenlänge λ. Sie ergibt sich aus zwei Zahlen: wie schnell das Muster wandert und wie oft die Membran drückt.

λ = c / f

In trockener Luft hängt die Schallgeschwindigkeit von der Temperatur ab: c ≈ 331,3 × √(1 + T/273,15) m/s, mit T in Grad Celsius. Bei 20 °C ergibt das 343,2 m/s, auf dieser Seite auf 343 m/s gerundet. Damit gilt:

Bewegen Sie den Tonhöhenregler, ändert der orange Balken auf dem Maßstab seine Länge entsprechend. Die tiefsten Basstöne haben Wellenlängen länger als ein Zimmer; deshalb gelangen Bässe so leicht durch Wände und um Ecken, während hohe Töne sich eher wie Licht verhalten und leicht abgeschirmt werden.

Lautstärke und Dezibel

Die hörbaren Druckschwankungen reichen von 20 Mikropascal, der Hörschwelle, bis etwa 200 Pascal, wo Schall schmerzhaft wird. Das ist ein Faktor von zehn Millionen. Eine lineare Skala wäre unbrauchbar; deshalb wird der Schallpegel in Dezibel angegeben, die Zehnerpotenzen zählen:

L = 20 × log₁₀(p / p₀), mit p₀ = 20 µPa

Der Faktor ist 20 statt 10, weil die Schallenergie mit dem Quadrat des Drucks wächst. Aus der Formel folgen zwei Regeln. Eine Verdopplung des Drucks fügt 6,02 dB hinzu. Eine Verdopplung der Energie, etwa durch zwei gleiche Maschinen statt einer, fügt 3,01 dB hinzu. Jeder Schritt von 10 dB bedeutet die zehnfache Energie.

Der Lautstärkeregler dieser Seite ist ebenfalls in dB beschriftet, jedoch relativ zum lautesten Signal, das die Seite erzeugt; 0 dB bedeutet also „Vollaussteuerung“. Der tatsächliche Pegel im Zimmer hängt von Ihren Lautsprechern und Ihrem Lautstärkeregler ab, die eine Webseite nicht kennen kann. Deshalb beginnt der Ton bei −10,5 dB eines ohnehin leisen Höchstwerts und erst, nachdem Sie die Schaltfläche drücken.

Wie laut ist zu laut?

Gesundheitsbehörden legen Grenzwerte anhand derselben Skala fest. Die Empfehlungen der Weltgesundheitsorganisation zum sicheren Hören behandeln 80 dB für bis zu 40 Stunden wöchentlich als sicher. Weil 10 dB mehr die zehnfache Energie bedeuten, gelten 90 dB nur für 4 Stunden wöchentlich als sicher und 100 dB für etwa 24 Minuten (40 Stunden ÷ 100). Nach Schätzungen der WHO droht mehr als 1 Milliarde junger Erwachsener durch unsicheres Hören ein dauerhafter, vermeidbarer Hörverlust.

Für Lärm am Arbeitsplatz empfiehlt das US-amerikanische National Institute for Occupational Safety and Health einen Grenzwert von durchschnittlich 85 dBA über einen achtstündigen Arbeitstag. Das A in dBA bedeutet, dass die Messung entsprechend dem Ohr gewichtet wird: Tiefe Frequenzen, die das Ohr schlecht hört, zählen weniger. Das National Institute on Deafness and Other Communication Disorders weist darauf hin, dass Schall bis einschließlich 70 dBA selbst bei langer Einwirkung wahrscheinlich keinen Hörverlust verursacht.

Umgebungslärm wird nach niedrigeren Zahlen beurteilt, weil es um Schlaf und Stress und nicht um Schäden am Ohr geht. Die WHO-Leitlinien für Europa empfehlen Straßenverkehrslärm unter 53 dB im Tag-Abend-Nacht-Mittel und unter 45 dB nachts. In Korea beträgt der Umweltgrenzwert für die ruhigsten Wohngebiete tagsüber (06:00 bis 22:00) 50 dB(A) und nachts 40 dB(A), an Straßen erhöht auf 65 und 55 dB(A). Das nationale Lärminformationssystem der Korea Environment Corporation veröffentlicht Messungen im Vergleich mit diesen Werten.

Klangfarbe: Warum Flöte und Geige beim selben Ton verschieden klingen

Spielen Sie auf einer Flöte und einer Geige ein A bei 440 Hz, lassen sich beide sofort unterscheiden. Beide wiederholen sich 440-mal pro Sekunde, doch die Form jeder Wiederholung ist anders. Jede periodische Form lässt sich aus Sinuswellen mit ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz zusammensetzen: 440, 880, 1320, 1760 Hz und so weiter. Das sind die Harmonischen; die Mischung ihrer Stärken hören wir als Klangfarbe.

Der Harmonischenregler fügt Teiltöne einzeln hinzu; der Regler für die Obertonstärke legt fest, wie rasch sie nach a_n = 1/n^p abnehmen. Zwei klassische Formen sind eingebaut:

• Rechteckwelle: nur ungerade Harmonische (1, 3, 5, 7 …), jede mit Stärke 1/n. Sie klingt hohl, ein wenig wie eine Klarinette.
• Sägezahn: jede Harmonische mit Stärke 1/n. Er klingt hell und schnarrend, eher wie eine gestrichene Saite.

In der Spektrumanzeige stehen die Harmonischen als gleichmäßig verteilte Spitzen mit dem Abstand n × f nebeneinander. Bei der Rechteckwelle fehlt jede zweite Spitze. Ihr Grundton ist tatsächlich 4/π ≈ 1,27-mal höher als das Rechteck selbst, weil die höheren Harmonischen die Ecken wieder herunterschneiden.

Die drei Anzeigen lesen

Die Wellenform zeigt, was ein Mikrofon aufzeichnet: Druck an einem Punkt über der Zeit. Die Anzeige zeigt die letzten vier Perioden des Tons und umfasst bei 440 Hz somit 4 × 2,27 = 9,1 ms. Darunter zeigt ein schmaler Streifen die gesamte Lautstärke der letzten zwei Sekunden.

Das Spektrum beantwortet eine andere Frage: Welche Frequenzen sind vorhanden, und wie stark ist jede einzelne? Die Seite berechnet es mit einer schnellen Fourier-Transformation aus 4096 Abtastwerten, die 48.000-mal pro Sekunde erfasst werden. Das umfasst 4096 ÷ 48.000 = 85 ms Schall und unterteilt den Frequenzbereich in 48.000 ÷ 4096 = 11,7 Hz breite Frequenzintervalle. Die senkrechte Skala ist in dB angegeben, weil leise Harmonische auf einer linearen Skala unsichtbar wären.

Das Spektrogramm reiht Spektren im Zeitverlauf nebeneinander, mit nach oben steigender Frequenz und dunklerer Farbe bei höherer Energie. Sprache, Vogelgesang und Musik lassen sich so leichter lesen als in den beiden anderen Ansichten.

Es bleibt immer ein Kompromiss. Um zwei Frequenzen mit dem Unterschied Δf zu trennen, muss die Analyse ungefähr 1/Δf Sekunden Schall betrachten. Feinere Frequenzdetails bedeuten unschärfere Zeitangaben.

Schwebungen: Zwei fast gleiche Töne

Stellen Sie den Regler für den zweiten Ton auf 4 Hz. Die Seite spielt jetzt 440 Hz und 444 Hz gemeinsam. Addiert man zwei Sinuswellen, ergibt etwas Trigonometrie:

sin(2πf₁t) + sin(2πf₂t) = 2 cos(π(f₁ − f₂)t) × sin(π(f₁ + f₂)t)

Das Ergebnis ist ein Ton mit der mittleren Frequenz 442 Hz, dessen Lautstärke an- und abschwillt. Die Lautstärke erreicht immer dann ein Maximum, wenn der Kosinus +1 oder −1 erreicht; das geschieht |f₁ − f₂|-mal pro Sekunde. Die Schwebungsdauer ist deshalb:

T = 1 / |f₁ − f₂| = 1 / 4 = 0,25 s

Bei 1 Hz Abstand dauert die Schwebung eine Sekunde; bei 10 Hz Abstand entsteht ein schnelles Flattern. Klavierstimmer hören auf Schwebungen zwischen Saiten und drehen den Wirbel, bis die Schwebung ganz langsam wird und verschwindet.

Die Spektrumanzeige zeigt die oben beschriebene Grenze. Mit 11,7 Hz breiten Frequenzintervallen kann sie 440 Hz und 444 Hz nicht trennen; sichtbar ist eine einzelne Spitze, die wächst und schrumpft. Zur Trennung wären Intervalle unter 4 Hz nötig, also mindestens eine Viertelsekunde Schall, beispielsweise 16.384 Abtastwerte (2,9 Hz breite Intervalle, 0,34 s). Der Lautstärkestreifen unter der Wellenform und das Spektrogramm zeigen das Anschwellen beide deutlich.

Das Mikrofon auf dieser Seite

Drücken Sie „Mikrofon“ und erlauben Sie den Zugriff; die drei Anzeigen wechseln dann zu dem, was Ihr Mikrofon aufnimmt. Pfeifen Sie, erscheint eine beinahe reine Sinuswelle mit einer scharfen Spitze. Summen Sie, erscheint eine Reihe von Harmonischen. Sagen Sie „sss“, verteilt sich die Energie zu einem breiten Streifen oberhalb von 4 kHz.

Das Mikrofonsignal wird mit der Web Audio API in Ihrem Browser analysiert und niemals aufgezeichnet, gespeichert oder irgendwohin gesendet. Es ist nicht mit den Lautsprechern verbunden, und während das Mikrofon eingeschaltet ist, wird der Ton abgeschaltet, sodass keine Rückkopplung vom Lautsprecher entstehen kann. Die Pegel erscheinen in dBFS, relativ zum lautesten Signal, das der Mikrofoneingang aufnehmen kann, weil ein Handy- oder Laptopmikrofon nicht auf tatsächlichen Schalldruck kalibriert ist.

Wie schnell Schall wandert und warum sich das ändert

Schall ist ein Druckmuster, das von einem Stück Materie zum nächsten weitergegeben wird; seine Geschwindigkeit hängt deshalb von zwei Dingen ab: wie stark das Material beim Zusammendrücken zurückdrückt und wie schwer es ist. Bei einem Gas laufen beide auf Temperatur und Molekülmasse hinaus. Für ein ideales Gas gilt:

c = √(γ R T / M)

Dabei ist γ das Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten (1,40 für Luft), R = 8,314 J/(mol K), T die Temperatur in Kelvin und M die molare Masse (0,029 kg/mol für Luft). Bei 20 °C ergibt das 343 m/s. Der Druck taucht nicht auf: Drückt man Luft stärker zusammen, wird sie im selben Verhältnis steifer und dichter, und beides hebt sich auf. Luft auf einem Berggipfel überträgt Schall nur deshalb langsamer, weil sie kälter ist.

Eine praktische Faustregel lautet c ≈ 331,3 + 0,606 T, mit T in Grad Celsius. Zwischen −20 und 20 °C weicht sie weniger als 0,25 m/s von der genauen Formel ab. Der Temperaturregler dieser Seite verwendet die genaue Formel und zeigt daneben die Faustregel. Bei −56 °C, der Temperatur in jener Höhe, in der Chuck Yeager erstmals schneller als der Schall flog, beträgt die Geschwindigkeit nur 295 m/s.

Leichte Gase sind schnell. Helium hat γ = 5/3 und M = 0,004 kg/mol; darin wandert Schall deshalb mit 1007 m/s, 2,9-mal schneller als in Luft. Schwere Gase sind langsam: Schwefelhexafluorid, etwa fünfmal dichter als Luft, überträgt Schall mit ungefähr 135 m/s. Flüssigkeiten und Festkörper sind viel steifer als Gase und deshalb noch schneller, obwohl auch sie viel dichter sind. Süßwasser bei 20 °C überträgt Schall mit 1482 m/s (nach der Formel von Lubbers und Graaff), Meerwasser mit 1521 m/s (Mackenzies Gleichung bei einem Salzgehalt von 35 Promille), Stahl mit etwa 5960 m/s und Aluminium mit etwa 6420 m/s (Tabellen von Kaye und Laby).

Die Szene „Geschwindigkeit in Materialien“ schickt denselben Impuls gleichzeitig über acht gleich lange Bahnen. Die Metallimpulse kommen fast schon vor dem Start des Rennens an; der Schwefelhexafluoridimpuls kriecht zwanzig Sekunden später immer noch. Die Anzeige nennt die für 100 m benötigte Zeit und die akustische Impedanz ρc, die bestimmt, wie viel Schall an der Grenze zweier Materialien reflektiert wird. Die Impedanz von Luft und Wasser unterscheidet sich um einen Faktor von etwa 3600; deshalb wird fast der gesamte Schall in Luft an einer Wasseroberfläche zurückgeworfen.

Menschen maßen diese Zahlen lange, bevor jemand sie erklären konnte. Pierre Gassendi maß im 17. Jahrhundert den Zeitabstand zwischen Mündungsfeuer und Knall eines Geschützes und erhielt etwa 478 m/s, zu viel. In den 1650er-Jahren erhielten Giovanni Borelli und Vincenzo Viviani 350 m/s. Im Jahr 1738 feuerte die Akademie der Wissenschaften in Paris Kanonen über eine lange Messstrecke ab und kam, auf 0 °C und Windstille korrigiert, auf 332 m/s, innerhalb von 1 % des heutigen Wertes. Im Jahr 1808 verglich Jean-Baptiste Biot Schall in etwa einem Kilometer Eisenrohr mit dem Schall in der darin enthaltenen Luft. Im Jahr 1826 schlugen Daniel Colladon und Charles Sturm eine Glocke unter dem Genfersee an, entzündeten gleichzeitig darüber Schießpulver und maßen den Zeitabstand über den See: 1435 m/s bei 8 °C. Die obige Formel ergibt bei dieser Temperatur für Süßwasser 1439 m/s.

Die Dezibelskala

Die Szene „Dezibel“ ordnet fünfzehn Geräusche auf einer Skala an und verwendet typische Pegel der US-amerikanischen Centers for Disease Control and Prevention: normales Atmen bei 10 dB, eine tickende Uhr bei 20, leises Flüstern bei 30, einen Kühlschrank bei 40, ein Gespräch bei 60, eine Waschmaschine bei 70, Stadtverkehr im Auto bei 80 bis 85, einen Benzinrasenmäher bei 90, ein Motorrad bei 95, eine herannahende U-Bahn bei 100, ein Rockkonzert bei 105 bis 110, eine nahe Sirene bei 120 und Knallkörper bei 140 bis 150. Der letzte Balken ist kein Schall, dem man begegnen kann: Bei 194 dB entspricht die Druckschwankung dem Luftdruck selbst, und die untere Wellenhälfte bräuchte einen Druck unter 0. Stärkere Explosionen gibt es, doch sie sind Stoßwellen und kein gewöhnlicher Schall.

Zwei Regeln erleichtern das Lesen der Skala. Zehn Dezibel mehr bedeuten die zehnfache Energie; eine herannahende Bahn bei 100 dB trägt deshalb zehn Milliarden Mal so viel Energie wie der leiseste Schall, den ein junges Ohr hören kann. Außerdem breitet sich Schall einer kleinen Quelle im Freien über eine Kugelfläche aus; seine Intensität fällt deshalb mit dem Quadrat der Entfernung. Jede Verdopplung der Entfernung kostet 20 log₁₀ 2 = 6,02 dB. Bewegen Sie den Entfernungsregler: Das Messgerät entfernt sich von der Quelle und zeigt bei doppelter Entfernung 6 dB weniger und bei zehnfacher 20 dB weniger. In Innenräumen ist die Abnahme kleiner, weil Wandreflexionen immer wieder Schall hinzufügen.

Die drei farbigen Stäbe hinter den Balken sind behördlich verwendete Grenzwerte. Der WHO- und ITU-Standard für sichere Audiogeräte setzt 80 dB über 40 Wochenstunden als zulässige Dosis für Erwachsene an. NIOSH, das US-Institut für Arbeitsschutz, empfiehlt durchschnittlich höchstens 85 dBA über einen 8-stündigen Arbeitstag und halbiert die Zeit für jeweils 3 dB mehr. Koreas Vorschriften zu Sicherheits- und Gesundheitsschutzstandards am Arbeitsplatz bezeichnen Arbeit oberhalb von 85 dB über 8 Stunden als Lärmarbeit; als Grenze für starke Lärmarbeit nennen sie 90 dB für 8 Stunden, 95 dB für 4 Stunden, 100 dB für 2 Stunden, 105 dB für 1 Stunde, 110 dB für 30 Minuten und 115 dB für 15 Minuten: eine Austauschrate von 5 dB. Die Anzeige gibt alle drei für den gewählten Balken aus. Es sind Vergleichsrichtwerte für Geräusche, kein Hörtest.

Im Inneren des Ohrs

Die Szene „Im Ohr“ zeigt die Teile aufgeschnitten und zehnfach vergrößert. Der Schall gelangt zuerst in den Gehörgang, ein etwa 25 mm langes Rohr, das am hinteren Ende vom Trommelfell geschlossen wird. Ein einseitig geschlossenes Rohr schwingt in Resonanz, wenn es eine Viertelwellenlänge lang ist, bei 343 ÷ (4 × 0,025) ≈ 3,4 kHz; ungefähr dort ist unser Gehör am empfindlichsten.

Das Trommelfell ist ein dünner Hautkegel mit etwa 9 mm Durchmesser. Dahinter übertragen im luftgefüllten Mittelohr drei kleine Knochen (Hammer, Amboss und Steigbügel) seine Bewegung auf das ovale Fenster der Hörschnecke. Sie gleichen eine Fehlanpassung aus. Die Hörschnecke ist mit Flüssigkeit gefüllt; Schall, der direkt aus Luft auf Flüssigkeit trifft, würde größtenteils zurückgeworfen. Das Mittelohr wirkt wie ein Transformator: Die wirksame Trommelfellfläche ist etwa 17-mal so groß wie die Fußplatte des Steigbügels, und die Knochen ergänzen eine Hebelwirkung von etwa 1,3. Zusammen erhöhen sie den Druck ungefähr um das 22-Fache, etwa 27 dB.

Die Hörschnecke ist ein spiraliges Rohr mit etwa zweieinhalb Windungen. Entlang der Schnecke verläuft die abgewickelt etwa 35 mm lange Basilarmembran, schmal und steif am ovalen Fenster (der Basis), breit und biegsam am anderen Ende (der Spitze). Ein Ton erzeugt eine Welle, die die Membran entlangläuft, wächst und hinter einer bestimmten Stelle rasch abklingt. Wo sie ihr Maximum erreicht, hängt von der Frequenz ab. Georg von Békésy beobachtete diese Wanderwelle in Hörschnecken menschlicher Leichname und erhielt dafür 1961 den Nobelpreis für Physiologie oder Medizin.

Donald Greenwood passte eine Formel an diese Zuordnung von Ort und Tonhöhe an. Für Menschen lautet sie:

f = 165,4 × (10^(2,1x) − 0,88)

Dabei ist x die Entfernung von der Spitze als Anteil der Länge. Bei x = 0 liefert die Formel 20 Hz, bei x = 1 liefert sie 20,7 kHz. Ein Ton von 1000 Hz erreicht sein Maximum bei x = 0,40, etwa 21 mm von der Basis entfernt. Die Szene zeigt die Membran abgewickelt und 20-mal länger unter der Hörschnecke, mit der Frequenzskala darunter, und verschiebt das Maximum beim Ändern der Tonhöhe. Hohe Tonhöhen drängen sich nahe der Basis; dort beginnt gewöhnlich auch der altersbedingte Hörverlust.

Saiten, Rohre und Trommeln

Ein Instrument ist ein schwingender Gegenstand, der bestimmte Frequenzen bevorzugt. Die Szene „Instrumente“ zeigt drei Arten.

Eine Gitarrensaite ist an beiden Enden befestigt und kann deshalb nur in Mustern schwingen, bei denen zwischen Sattel und Steg eine ganze Zahl halber Wellenlängen passt. Diese Muster haben Frequenzen f_n = n v / 2L; dabei ist v die Wellengeschwindigkeit auf der Saite und L ihre Länge. Bei einer Gitarre mit 648 mm Mensur, gestimmt auf A bei 110 Hz, ist v = 2 × 0,648 × 110 = 143 m/s. Echtes Zupfen regt viele Muster zugleich an. Zieht man die Saite an einem Punkt p ihrer Länge zu einem Dreieck und lässt los, beginnt Teilton n mit einer zu sin(nπp) / n² proportionalen Amplitude. Zupft man in der Mitte (p = 0,5), ist jeder gerade Teilton null, weil jeder genau dort einen Ruhepunkt hat; der Ton wird rund und hohl. Zupft man nahe am Steg, bleiben viele hohe Teiltöne stark, sodass der Ton hell und schnarrend ist. Der Regler „Zupfpunkt“ zeigt dies an der schwingenden Saite und im Spektrum.

In einem Rohr schwingt die Luft. An einem offenen Ende kann sich der Druck kaum ändern (es grenzt an den Raum), weshalb sich die Luft dort frei bewegt; an einem geschlossenen Ende kann sie sich überhaupt nicht bewegen. Ein offenes Rohr schwingt deshalb bei f_n = n c / 2L in Resonanz, bei jedem ganzen Vielfachen seines tiefsten Tons, ein einseitig geschlossenes dagegen bei f_n = (2n − 1) c / 4L, nur bei ungeraden Vielfachen und eine Oktave tiefer. Das unterscheidet eine beidseitig offene Flöte von einer am Rohrblatt geschlossenen Klarinette: Die Klarinette klingt tiefer als eine gleich lange Flöte und springt beim Überblasen um eine Duodezime (12.) statt um eine Oktave. Auch die Luft unmittelbar außerhalb einer offenen Mündung bewegt sich; deshalb klingt das Rohr, als wäre es an jedem offenen Ende um etwa das 0,61-Fache seines Radius länger. Levine und Schwinger berechneten diese Mündungskorrektur 1948. Die Punkte im Glasrohr zeigen die Luftbewegung in den ersten drei Schwingungsmoden.

Eine Trommelhaut ist entlang eines Kreises befestigt; seine Muster bestimmen Besselfunktionen. Die tiefste Schwingungsmode (0,1) bewegt sich wie eine einzige Kuppel. Schwingungsmode (1,1) schwingt um einen ruhenden Durchmesser; Schwingungsmode (0,2) hat einen ruhenden Ring. Ihre Frequenzen betragen das 1-, 1,59-, 2,14-, 2,30-, 2,65-Fache der tiefsten und sind keine ganzzahligen Vielfachen; deshalb hat eine gewöhnliche Trommel eine weniger eindeutige Tonhöhe als eine Saite oder ein Rohr. Pauken umgehen das: Die Kesselluft verschiebt die Moden, sodass (1,1), (2,1) und (3,1) nahe an die Verhältnisse 1 : 1,5 : 2 rücken, die das Ohr als Tonhöhe wahrnimmt.

Einen Ton aus Obertönen aufbauen

Unter den Anzeigen bauen acht Regler einen Ton aus seinen ersten acht Teiltönen auf. Jeder Regler bestimmt die Stärke einer Harmonischen. Bei „Rechteck“ fallen die ungeraden Reglerwerte wie 1/n, während die geraden auf null sinken; bei „Dreieck“ fallen die ungeraden wie 1/n², wobei jeder zweite umgekehrt wird, sodass die Ecken weicher sind. Die Voreinstellung „Hohl“ lässt gerade Teiltöne weg wie das tiefe Register einer Klarinette; „Orgel“ schichtet die Oktaven 1, 2, 4 und 8 wie Orgelregister. Wellenform, Spektrum, Luftsäule und Ton folgen sämtlich den Reglern, sodass sich die Klangfarbe hörbar ändert, während ihr Bild wechselt.

Dopplereffekt und Überschallknall

Bewegt sich eine Quelle, geht jeder Wellenberg von einem etwas anderen Ort aus. Vor der Quelle werden die Wellenberge zusammengedrängt, dahinter auseinandergezogen. Die Szene „Doppler“ zeichnet für jeden Wellenberg einen Ring auf die Straße; die Ringe zeigen die Verdichtung direkt. Für eine Quelle, die sich mit Geschwindigkeit v gerade auf einen Zuhörer zubewegt, ist die gehörte Frequenz:

f' = f × c / (c − v)

Bei gerader Bewegung vom Zuhörer weg gilt f' = f × c / (c + v). Ein Krankenwagen bei 25 m/s (90 km/h) mit einer 700-Hz-Sirene wird bei der Annäherung mit 755 Hz gehört, nach der Vorbeifahrt mit 652 Hz, ein Abfall von mehr als zwei Halbtönen. Eine Quelle muss sich mit c × (1 − 2^(−1/12)) ≈ 19,3 m/s, etwa 69 km/h, bewegen, damit ihre Tonhöhe bei der Annäherung genau einen Halbton steigt. Der Zuhörer am Straßenrand hört die Tonhöhe mit dem veränderten Winkel zwischen beiden Werten gleiten; das Diagramm in der Ecke zeichnet diesen Verlauf.

Christian Doppler schlug die Idee 1842 für das Licht von Doppelsternen vor. Im Jahr 1845 prüfte Christoph Buys Ballot sie mit Schall: Trompeter spielten in einem fahrenden Zug in den Niederlanden einen gleichbleibenden Ton, während Musiker neben dem Gleis dessen Höhe beurteilten.

Bei Schallgeschwindigkeit versagt die Formel: Die vorderen Wellenberge stauen sich zu einer einzigen Stoßfront. Darüber überholt die Quelle ihren eigenen Schall; die Wellenberge überlagern sich entlang eines Kegels, dessen halber Öffnungswinkel θ der Beziehung sin θ = c / v folgt. Bei Mach 2 ist der Kegel auf jeder Seite 30° weit. Eine Person am Boden hört nichts, bis der Kegel über sie hinwegstreicht; dann hört sie die gesamte Anhäufung zugleich als Knall. Am 14. Oktober 1947 flog Chuck Yeager die Bell X-1 bei Mach 1,06 in 43.000 Fuß Höhe, als erstes Flugzeug jenseits der Schallgeschwindigkeit. Am 15. Oktober 1997 überschritt ThrustSSC sie als erstes Auto mit 1227,985 km/h. Die X-59 der NASA, erstmals 2025 geflogen, ist so geformt, dass die Stoßwellen am Boden als viel leiseres Pochen ankommen.

Echos und Nachhall

Klatschen Sie in einem leeren Treppenhaus, bleibt der Schall sekundenlang in der Luft; klatschen Sie in einem Schlafzimmer voller weicher Möbel, verstummt er fast sofort. Jede getroffene Oberfläche absorbiert einen Teil des Schalls. Der Absorptionsgrad α ist der absorbierte Anteil: etwa 0,02 für gestrichenen Putz, 0,3 bis 0,9 für Vorhänge, Teppiche und besetzte Sitze.

Wallace Sabine ermittelte die Regel in den 1890er-Jahren in Harvard, als er einen Hörsaal verbessern wollte, in dem niemand den Redner verstehen konnte. Die Nachhallzeit, also die Zeit, bis der Schall nach Verstummen der Quelle um 60 dB gefallen ist, lautet:

T60 = 0,161 × V / A

Dabei ist V das Raumvolumen in Kubikmetern und A die gesamte Absorption, die Summe jeder Oberfläche mal ihrem α, in Quadratmetern. Die 1900 eröffnete Symphony Hall in Boston war der erste damit entworfene Konzertsaal.

Die Raumszene baut einen Kasten nach den Abmessungen von sechs Räumen und füllt ihn mit abprallenden Schallenergieteilchen. Jedes Teilchen schrumpft beim Wandkontakt entsprechend der Wandabsorption, sodass man dem Raum beim Verstummen zusehen kann. Das Modellklassenzimmer, 9 × 7 × 3 m mit kahlen, harten Oberflächen, hat 1,1 s Nachhallzeit; Sprache braucht deutlich weniger als eine Sekunde, und ein mittlerer Absorptionsgrad von etwa 0,23 senkt sie auf 0,6 s. Der 1870 eröffnete Große Saal des Wiener Musikvereins umfasst etwa 15.000 m³ und 1680 Sitze; Leo Beranek nennt bei mittleren Frequenzen und voller Besetzung 2,0 s Nachhallzeit, die das Modell mit einem mittleren Absorptionsgrad von 0,31 erreicht. Sabines Formel überschätzt die Zeit in stark absorbierenden Räumen etwas; deshalb gibt die Anzeige auch Eyrings Variante aus: T60 = 0,161 V / (−S ln(1 − α)).

Das Freilichttheater ist das andere Extrem. Ohne Dach und Wände kehrt der nach oben entweichende Schall nie zurück; die Nachhallzeit des Modells ist ein kleiner Sekundenbruchteil. Für das im 4. Jahrhundert v. Chr. erbaute Epidauros zeigten Declercq und Dekeyser 2007, dass die gestuften steinernen Sitzreihen tieffrequentes Rascheln stärker zurückhalten als die Frequenzen der Stimme; das hilft, Sprache bis in die obersten Reihen zu tragen.

Stehende Wellen und das Kundtsche Rohr

Schickt man eine Welle durch ein Rohr mit geschlossenem Ende, kommt sie zurück. Bei den meisten Frequenzen laufen zurückkehrende und ausgehende Welle abwechselnd gleich- und gegenphasig, ohne dass viel geschieht. Passt jedoch eine ganze Zahl halber Wellenlängen genau ins Rohr, stimmt jede Reflexion mit der bereits vorhandenen Welle überein, und das Rohr schwingt in Resonanz: eine stehende Welle. Manche Stellen, die Knoten, bewegen sich kaum; auf halbem Weg dazwischen schwingt die Luft am weitesten hin und her.

Im Jahr 1866 streute August Kundt feinen Korkstaub auf den Boden eines Glasrohrs und versetzte die Luft darin in Resonanz. Wo die Luft sich bewegte, wurde der Staub herumgeworfen; an den Auslenkungsknoten setzte er sich in kleinen Häufchen im Abstand einer halben Wellenlänge ab. Misst man den Abstand d und kennt die Frequenz f, folgt die Schallgeschwindigkeit: c = 2 d f. Füllt man ein anderes Gas ein, verschieben sich die Häufchen; so verglich Kundt die Schallgeschwindigkeit verschiedener Gase. Die Szene hat ein 1 m langes Rohr. Bei 858 Hz in Luft bei 20 °C passen fünf halbe Wellenlängen hinein (λ/2 = 20 cm), die Resonanzanzeige erreicht ihr Maximum, und der Staub sammelt sich. Die Tafel darüber zeigt die Auslenkung der Luft (blau) und die Druckänderung (orange): Jede ist dort am größten, wo die andere null ist.

Lärm mit zusätzlichem Schall auslöschen

Treffen zwei gleich große Wellen gleicher Frequenz genau gegenphasig zusammen, fällt der Wellenberg der einen ins Wellental der anderen, und sie ergeben zusammen 0. Paul Lueg patentierte 1936 die Idee, dies gegen Lärm einzusetzen: Ein Mikrofon nimmt den Lärm auf, ein Lautsprecher gibt ihn mit entgegengesetzter Phase wieder. Im Jahr 1953 bauten Harry Olson und Everett May bei RCA einen funktionierenden „elektronischen Schallabsorber“, der tieffrequenten Schall in einer kleinen Zone um den Kopf eines Zuhörers verringerte.

Kopfhörer mit aktiver Geräuschunterdrückung tun dasselbe auf kleinem Raum. Ein Mikrofon außen an der Ohrmuschel hört den Lärm; die Elektronik kehrt ihn um; der Treiber spielt das Ergebnis ins Ohr, und ein zweites Mikrofon innen prüft den Rest. Die Schwierigkeit ist das Timing. Kommt der Gegenschall um die Zeit τ zu spät, weicht seine Phase um 360° × f × τ ab. Die Szene verwendet eine Abweichung von 30 µs. Bei 100 Hz beträgt der Fehler nur 1,1°, und mehr als 99,9 % der Lärmleistung werden ausgelöscht (−34 dB); bei 1 kHz sind es 10,8°, und der Lärm sinkt nur um 14 dB; bei 5 kHz beträgt der Fehler 54°, und fast nichts ist gewonnen. Deshalb funktioniert aktive Geräuschunterdrückung am besten bei tiefem Brummen von Motoren oder Klimaanlagen, während die Polster hohe Frequenzen passiv abhalten. Drehen Sie den Phasenregler von 180° weg, wächst die orange Summe wieder; stellen Sie ihn auf den Wert, der auch die Verzögerung ausgleicht, verschwindet sie beinahe.

Was das Modell weglässt

• Die Zeit ist verlangsamt. Die Anzeige nennt den Faktor, etwa 1/800 bei 440 Hz.
• Die Bewegung ist übertrieben. Auch diesen Faktor nennt die Anzeige; gewöhnlich beträgt er mehrere Zehntausend.
• Die Welle bleibt im Rohr. Ein echter Lautsprecher sendet Schall in alle Richtungen; der Pegel fällt bei jeder Entfernungsverdopplung um etwa 6 dB. Das Modell zeigt eine gerade Luftsäule, damit die Schichten erkennbar bleiben; die Dezibelszene zeigt die Ausbreitung.
• Keine Echos in der Luftsäule. Echte Räume ergänzen Wandreflexionen. Die Raumszene nimmt sie wieder auf, behandelt aber sämtliche Oberflächen eines Raums mit einem mittleren Absorptionsgrad und ignoriert die Luftabsorption selbst, die in großen Sälen bei hohen Frequenzen wichtig ist.
• Das Ohr ist vereinfacht. Der Schnitt ist zehnfach vergrößert, die Hörschnecke ein glattes Rohr, und die Wanderwelle auf der Membran hat eine von Hand gezeichnete Form, deren Maximum Greenwoods Formel folgt. Echtes Hören umfasst außerdem aktive Verstärkung durch äußere Haarzellen, die das Modell weglässt.
• Instrumente sind idealisiert. Die Saite besitzt keine Steifigkeit, das Rohr ist ein einfacher Zylinder mit der Mündungskorrektur aus dem Lehrbuch, und die Trommelhaut ist eine ideale Membran ohne die Luftbelastung, die eine Pauke stimmt.
• Die Dopplerstraße ist 1 : 40 skaliert, achtfach verlangsamt, die Fahrzeuge achtfach vergrößert. Die Ringe markieren einen Wellenberg pro Sekundenbruchteil, nicht jeden einzelnen Wellenberg.
• Die Geräuschunterdrückung nutzt einen Einzelton mit fester Abweichung von 30 µs. Echte Kopfhörer passen ihre Filter fortwährend an ständig wechselnden Lärm an.
• Hohe Harmonische werden in 3D ausgedünnt. Teiltöne mit Wellenlängen kürzer als drei Punktreihen fehlen in der 3D-Luftsäule, erscheinen aber weiterhin in den Anzeigen und im Ton.