Wie funktioniert ein Klavier? Flügelmechanik und Stimmung

Was passiert, wenn man eine Klaviertaste drückt

Wie ein Klavier funktioniert, lässt sich kurz sagen: Eine Taste hebt einen Filzhammer an, der eine Stahlsaite anschlägt, und die schwingende Saite wird zum Ton. Drückt man eine Taste eines Flügels, spürt man, wie sie etwa einen Zentimeter nach unten geht. Hinter dem Notenpult fliegt dabei ein daumengroßer Filzhammer hoch, schlägt an eine Stahlsaite und fällt wieder zurück, alles in wenigen Hundertstelsekunden. Man sieht es nie, denn es geschieht im Gehäuse und viel zu schnell.

Das Modell oben zeigt die Mechanik hinter einer Taste von der Seite, mit einem Tempo, das sich bis auf 1/50 herunterregeln lässt. Spielen Sie auf der Klaviatur darunter, dann wiederholt das Modell den Anschlag in Zeitlupe, während Sie den Ton in normaler Geschwindigkeit hören. Das Feld in der Ecke des Modells zeigt, wie weit die Taste nach unten gegangen ist, wie weit der Hammer noch von der Saite entfernt ist und welche Frequenz der gespielte Ton hat, berechnet aus A4 = 440 Hz.

Warum der Hammer die Saite wieder loslassen muss

Am einfachsten wäre es, an jeder Taste hinten einen Hammer zu befestigen. Man drückt die Taste, der Hammer trifft die Saite. Das Problem beginnt einen Moment später. Solange der Finger auf der Taste bleibt, würde der Hammer an der Saite anliegen, und ein Filzstück auf einem schwingenden Draht erstickt die Schwingung schon nach wenigen Perioden. Man hörte ein dumpfes Klopfen statt eines Tons.

Der Hammer muss also geworfen werden, nicht geschoben. Während des größten Teils des Tastenwegs schiebt ein kleines Holzteil, die Stoßzunge, den Hammer nach oben. Wenige Millimeter bevor der Hammer die Saite erreicht, kippt die Stoßzunge unter ihm weg, und der Hammer legt den Rest des Wegs mit seinem eigenen Schwung zurück. Er trifft die Saite, springt ab und fällt zurück. Dieser Kniff heißt Auslösung, und jedes Klavier seit den ersten Instrumenten von Bartolomeo Cristofori um 1700 hat eine Form davon.

Die Auslösung schafft ein zweites Problem. Nachdem die Stoßzunge weggerutscht ist, muss sie wieder unter den Hammer gelangen, bevor derselbe Ton noch einmal erklingen kann. Bei einer einfachen Mechanik geschieht das erst, wenn die Taste ganz oben ist. Schnelle Tonwiederholungen, etwa ein Triller, wären langsam und ungleichmäßig. Der Flügel löst das mit einem zweiten Hebel, dem Repetitionshebel. Er hält den Hammer gerade so hoch, dass die Stoßzunge darunter zurückgleiten kann, während die Taste erst ein Stück nach oben gekommen ist. Weil der Hammer auf diese Weise zweimal gelöst werden kann, nennt man die Mechanik oft Doppelauslösung.

Was jedes Teil tut

Verfolgen Sie den Druck vom Finger bis zur Saite.

1. Taste. Ein hölzerner Hebel, der auf einem stählernen Waagebalkenstift kippt. Im Modell liegt der Stift 240 mm von der Vorderkante, sodass das vordere Ende nach unten geht, während das hintere steigt.
2. Capstan. Ein Messingknopf, der hinten in die Taste geschraubt ist. Er hebt die Hammerwippe.
3. Hammerwippe. Ein Hebel, der an einem eigenen Flansch gelagert ist. Er trägt die Stoßzunge und den Repetitionshebel und macht aus dem Anheben der Taste einen Schub nach oben.
4. Stoßzunge. L-förmig. Ihr aufrechter Arm drückt gegen die Nuss unter dem Hammerstiel; ihre kurze Nase zeigt zum Auslöseknopf.
5. Auslöseknopf. Ein Filzknopf auf einer Schraube. Erreicht ihn die Nase der Stoßzunge, kippt diese weg und lässt den Hammer los.
6. Hammer. Ein dünner Stiel mit einem Kopf aus fest gepresstem Wollfilz über einem Holzkern. Die Nuss sitzt dicht am Drehpunkt des Stiels, weshalb ein kleiner Schub den Kopf einen weiten Weg zurücklegen lässt.
7. Repetitionshebel. Von einer Feder nach oben gedrückt, fängt er nach der Auslösung die Nuss auf und hält den Hammer oben, während die Stoßzunge zurückspringt.
8. Fänger. Ein Filzkissen auf einem Draht hinten an der Taste. Er fängt den Hammer auf dem Weg nach unten auf, damit er nicht wieder in die Saite springt.
9. Dämpfer. Ein Filzblock, der auf der Saite liegt. Das hintere Ende der Taste hebt ihn über einen Unterhebel ab, sodass die Saite klingen kann, solange man die Taste hält.
10. Saite. Stahldraht mit hohem Kohlenstoffgehalt. Die meisten Töne haben drei auf dieselbe Tonhöhe gestimmte Saiten, im Bass sind es zwei und dann eine; das Modell zeigt drei Drähte für einen Ton. Zusammen ziehen die Saiten mit mehreren Dutzend Tonnen Kraft am Eisenrahmen: Bis 1875 warb Steinway mit einer Platte, die 70.000 Pfund aushielt, etwa 32 Tonnen.
11. Tastenboden und Mechanikrahmen. Das Brett, die Leisten und die Metallstützen, die all das ausgerichtet halten.

Ein Klick auf ein Teil im Reiter Teile bewegt die Kamera dorthin. Hineinsehen macht Tastenboden und Rahmen durchsichtig, sodass man Stoßzunge und Auslöseknopf beobachten kann.

Ein Anschlag, Millisekunde für Millisekunde

Das Modell folgt einem kräftigen Ton. Die Taste braucht 50 ms nach unten, sanft anlaufend und abbremsend. Hier ist, was unterwegs geschieht, mit den Zeiten des Modells.

• 0 ms: Die Taste beginnt zu sinken. Der Capstan hebt die Hammerwippe, die Stoßzunge hebt die Nuss, und der Hammer beginnt zu steigen. Zugleich nimmt das hintere Ende der Taste ein kleines Spiel auf und beginnt, den Dämpfer von der Saite zu heben.
• 41 ms: Die Taste hat 92 % ihres Wegs zurückgelegt. Die Nase der Stoßzunge trifft den Auslöseknopf, und die Stoßzunge kippt weg. Der Hammerkopf ist etwa 3 mm von der Saite entfernt und bewegt sich mit rund 0,66 m/s.
• 46 ms: Nach etwa 4,6 ms freiem Flug trifft der Filz die Saite. Von hier an hat die Taste keinen Einfluss mehr auf den Hammer.
• Nach dem Anschlag: Der Hammer prallt zurück und fällt auf den Fänger, der ihn etwas unterhalb der Saite hält, solange die Taste unten bleibt. Der Repetitionshebel hebt ihn leicht an, und die Stoßzunge gleitet unter die Nuss zurück.
• Loslassen: Die Taste kommt hoch, der Fänger gibt frei, der Hammer kehrt in die Ruhelage zurück, und der Dämpfer fällt auf die Saite.

Bei der langsamsten Stufe (1/50) dauern die 46 ms vom Finger bis zur Saite 46 × 50 = 2300 ms, also 2,3 Sekunden auf dem Bildschirm, und der freie Flug allein dauert etwa eine Viertelsekunde. Das reicht, um zu sehen, dass die Stoßzunge schon weggekippt ist, wenn der Filz ankommt.

Die Hebelverhältnisse, durchgerechnet

Jeder Hebel der Mechanik tauscht Kraft gegen Weg. Hier sind die Zahlen für das Modell, das einen Tastenweg von 10 mm und einen Waagebalkenstift 240 mm von der Vorderkante der Taste verwendet.

• Tastenwinkel bei vollem Weg: atan(10 / 240) = 2,39°.
• Der Capstan sitzt 155 mm hinter dem Stift und steigt daher um 155 × sin 2,39° = 6,5 mm.
• Der Drehpunkt der Hammerwippe liegt 145 mm vor dem Capstan, die Wippe dreht sich also um 6,5 / 145 rad = 2,55°.
• Die Stoßzunge ist 105 mm vom Drehpunkt der Wippe entfernt und steigt daher um 105 × sin 2,55° = 4,7 mm.
• Die Nuss ist 18 mm vom Drehpunkt des Hammerstiels entfernt, der Hammer schwingt also um 4,7 / 18 rad = 14,9°.
• Die Filzspitze ist etwa 148 mm von diesem Drehpunkt entfernt und legt daher 148 × 0,259 = 38 mm zurück.

Von 10 mm an der Taste zu 38 mm am Hammerkopf ist das ein Verhältnis von etwa 3,8. Der Auslösepunkt bei 92 % des Tastenwegs lässt 38 × 0,08 = 3,1 mm freien Flug. Bei einem echten Flügel stellt ein Techniker diese Abstände bei der Regulierung ein, indem er Schrauben wie den Auslöseknopf und den Capstan dreht; die genauen Werte unterscheiden sich von Hersteller zu Hersteller. Ein höheres Verhältnis bedeutet für dieselbe Fingerbewegung einen leichteren, schnelleren Hammer und ein schwereres Spielgefühl, weshalb die Hersteller vorn in die Tasten Bleigewichte einsetzen. Das Modell hat zwei davon, die grauen Scheiben nahe dem vorderen Ende der Taste.

Zwölf gleiche Schritte: Woher die Frequenzen kommen

Ein Klavier wird in zwölfstufiger gleichstufiger Stimmung gestimmt. Die Oktave, eine Verdopplung der Frequenz, wird in zwölf Halbtöne geteilt, und jeder Halbton multipliziert die Frequenz mit derselben Zahl. Zwölf gleiche Multiplikationen müssen 2 ergeben, also ist diese Zahl die zwölfte Wurzel aus 2:

r = 2^(1/12) = 1,059463

Der Bezugston ist A4, das A über dem mittleren C, das ISO 16 auf 440 Hz festlegt. Nummeriert man die Tasten wie MIDI (A4 ist 69, das mittlere C ist 60), hat jeder Ton m die Frequenz

f = 440 × 2^((m − 69) / 12)

Einige Werte zum Vergleich mit dem Seitenfeld beim Spielen:

C6 liegt drei Oktaven über C3, seine Frequenz ist also 2³ = 8 Mal so hoch: 130,81 × 8 = 1.046,50 Hz. Eine Schwingung des mittleren C dauert 1 / 261,63 s = 3,82 ms; selbst ein kurzer Ton von einer halben Sekunde hat die Saite also etwa 0,5 × 261,63 = 131 Mal hin und her schwingen lassen.

Warum die gleichstufige Stimmung etwas unrein ist

Einfache Frequenzverhältnisse klingen zusammen glatt. Eine reine Quinte ist 3 : 2, eine große Terz 5 : 4. Die gleichstufige Stimmung kann sie nicht genau treffen, weil keine Potenz von 2^(1/12) ein Verhältnis kleiner ganzer Zahlen ist.

• Die gleichstufige Quinte ist 2^(7/12) = 1,498307 statt 1,5. Das ist 1,96 Cent zu tief (ein Cent ist 1/100 Halbton) und kaum zu hören.
• Die gleichstufige große Terz ist 2^(4/12) = 1,259921 statt 1,25. Das ist 13,7 Cent zu hoch, was ein geübtes Ohr hört.

Den Unterschied hört man als Schwebungen. Spielen Sie C4 und G4 zusammen: Die dritte Harmonische von C4 liegt bei 3 × 261,63 = 784,88 Hz und die zweite von G4 bei 2 × 392,00 = 783,99 Hz, sie schweben also etwa 0,9 Mal pro Sekunde. Bei C4 und E4 schwebt die fünfte Harmonische von C4 (1.308,13 Hz) gegen die vierte von E4 (1.318,51 Hz) etwa 10 Mal pro Sekunde. Stimmer zählen diese Schwebungen, um die Temperatur einzustellen. Der Preis ist, dass jede Tonart gleich annehmbar klingt, sodass die Musik ohne Umstimmen in jede Tonart wechseln kann.

Das Tonleitermenü unter der Klaviatur markiert die Töne einer Tonleiter mit Punkten, und die Akkordanzeige nennt, was Sie gerade halten. Halten Sie C, E und G, steht dort C. Halten Sie A, C und E, steht dort Am.

Eine Saite in Zahlen: Mersennes Gesetz

Die Saite ist der Teil eines Klaviers, den man am leichtesten in Zahlen fassen kann. Eine gespannte Saite schwingt mit der Grundfrequenz

f = (1 / 2L) × √(T / μ)

wobei L die schwingende Länge in Metern ist, T die Spannung in Newton und μ die Masse eines Meters Draht. Die Wurzel ist die Geschwindigkeit einer Welle entlang der Saite, und die Welle muss für jede Schwingung bis zum Ende und zurück laufen, also eine Strecke 2L. HyperPhysics der Georgia State University stellt das mit einem Rechner dar, dessen Standardwert eine 100 cm lange Saite unter 50 lb (222 N) mit 0,2872 g pro Meter ist. Die Wellengeschwindigkeit ergibt 880 m/s und der Ton 440 Hz.

Hier dieselbe Rechnung für eine A4-Saite. Die Zahlen sind hier angenommen, typisch gewählt, und keine Messwerte eines bestimmten Klaviers: schlichter Stahldraht von 1,0 mm Dicke (Dichte 7850 kg/m³) und eine schwingende Länge von 0,33 m. Zum Vergleich: Die dünnsten Klaviersaiten sind nach der Studie von Jaatinen und Pätynen in den Quellen etwa 0,85 mm dick.

• Masse pro Meter: μ = 7850 × π × (0,0005)² = 6,17 × 10⁻³ kg/m.
• Wellengeschwindigkeit: v = 2Lf = 2 × 0,33 × 440 = 290 m/s.
• Spannung: T = μv² = 0,00617 × 290² = 520 N, das Gewicht von etwa 53 kg, die am Draht hängen.
• A4 hat drei Saiten, sodass diese eine Taste mit etwa 1,56 kN am Rahmen zieht.

Zum Vergleich: Die Steinway-Platte von 1875 war für bis zu 70.000 Pfund ausgelegt, das sind 311 kN. Ein Flügel hat 226 Saiten, wenn man wie HyperPhysics zählt (10 einzelne Basssaiten, 18 Töne mit zwei, 60 Töne mit drei: 10 + 36 + 180), die Platte könnte also 1,4 kN je Saite erlauben. Eine andere Studie zählt im Mittel 220, und die Zahl unterscheidet sich von Hersteller zu Hersteller. So oder so liegen 520 N weit innerhalb der Grenze.

Die Wurzel erklärt, warum das Stimmen so heikel ist. Ein Cent ändert die Frequenz um den Faktor 2^(1/1200), die Spannung muss sich also um 2^(1/600) − 1 = 0,116 % ändern. Bei dieser Saite sind das 0,60 N von 520 N. Ein Stimmwirbel, der um so viel wandert, hat den Ton um einen Cent verschoben.

Sie erklärt auch, warum die Saiten nicht einfach mit jeder Oktave halbiert werden. Bei gleichem Draht und gleicher Länge braucht die doppelte Frequenz die vierfache Spannung: 2080 N für A5 in diesem Beispiel. Die Länge zu halbieren leistet dasselbe bei gleicher Spannung, doch die Hersteller begnügen sich in der Praxis mit weniger. HyperPhysics nennt ein Längenverhältnis zwischen 1,88 und 1,94 zu 1 je Oktave. Über sieben Oktaven würde ein Halbieren die Saite um 2⁷ = 128 verkürzen, 1,9 je Oktave verkürzt sie um 1,9⁷ = 89. Die höchsten Saiten sind also 128 / 89 = 1,43 Mal länger, als Halbieren ergäbe; die Welle auf ihnen muss daher 1,43 Mal schneller laufen, und T / μ muss 1,43² = 2,05 Mal größer sein. Die Hersteller halten die Spannung in einem ähnlichen Bereich und lassen stattdessen die Masse pro Meter sinken, weshalb der Diskantdraht dünn ist. HyperPhysics sagt dasselbe in einem Satz: Die Saitenmasse wird verändert, um die Frequenzen auf ihre richtigen Werte zu bringen.

Der Bass hat das umgekehrte Problem. Nehmen wir A0 mit 27,5 Hz, einer angenommenen Länge von 1,2 m und einer Spannung von 700 N. Dann ist μ = 700 / (2 × 1,2 × 27,5)² = 0,161 kg/m, und die Wellengeschwindigkeit beträgt nur 66 m/s. Ein schlichter Stahlstab mit dieser Masse pro Meter wäre 5,1 mm dick und viel zu steif. Deshalb wickelt der Hersteller Kupfer oder Messing um einen dünneren Stahlkern, was Masse hinzufügt, ohne viel Steifigkeit hinzuzufügen. Die fertigen Basssaiten erreichen etwa 8,5 mm Durchmesser. Eine Schwingung von A0 dauert 36 ms, eine von A4 dauert 2,3 ms.

Warum der Diskant hoch gestimmt wird: unharmonische Teiltöne und gedehnte Stimmung

Der Abschnitt über den Klang weiter unten benutzt für die Teiltöne die Formel f_n = n × f × √(1 + B n²). Eine ideale, vollkommen biegsame Saite hätte Teiltöne genau beim 1-, 2-, 3-fachen der Grundfrequenz und so weiter. Ein Stahldraht widersteht aber auch dem Biegen, und der Effekt wächst mit kürzerer Wellenlänge, sodass jeder höhere Teilton etwas zu hoch liegt. B ist der Inharmonizitätskoeffizient. Er hängt von Durchmesser, Länge, Spannung und Steifigkeit des Drahtes ab. Robert Young maß ihn 1952 an sechs Klavieren und fand, dass die Theorie steifer Saiten zu den Daten passt. Rudolf Rasch und Vincent Heetvelt maßen 1985 jede Saite eines mittelgroßen Flügels und fanden die Messungen ebenfalls in ausgezeichneter Übereinstimmung mit der Formel. Sie fügen hinzu, dass höhere Saiten meist eine höhere Inharmonizität haben, was einen Teil ihrer Wirkung auf die Schwebungsfrequenzen aufhebt.

Mit dem B = 0,00016 des Modells beim mittleren C (261,63 Hz) ergeben sich die Teiltöne wie folgt.

Young nennt für die zweite Mode der Saite des mittleren C etwa 1,2 Cent und fand sie in allen sechs Klavieren ungefähr gleich. Das entspricht B ≈ 0,00035, dem Doppelten des Modellwerts. Das Modell ist also milder als die echten Instrumente, und der 8. Teilton in der Tabelle erklingt gar nicht, weil die Anschlagstelle ihn auslöscht.

Das ist der Grund für die gedehnte Stimmung. Angenommen, die A4-Saite hat B = 0,0004 (eine Annahme). Ihr zweiter Teilton liegt bei 2 × 440 × √(1 + 4 × 0,0004) = 880,70 Hz, also 1,4 Cent über 880. Stellt der Stimmer A5 genau auf 880,00 Hz, schweben der Teilton und die Grundfrequenz von A5 0,7 Mal pro Sekunde. Der Stimmer beseitigt die Schwebung, indem er A5 um etwa 0,7 Hz anhebt. Wiederholt man das die Klaviatur hinauf, wird jede Oktave etwas weiter als 2 : 1. HyperPhysics nennt als Ergebnis bis zu 30 Cent zu hoch an der Spitze und bis zu 30 Cent zu tief unten. Bei C8 sind das 4.186,01 × 2^(30/1200) = 4259 Hz statt 4186 Hz, und A0 landet bei 27,03 Hz statt 27,50 Hz.

Eine Studie von Jussi Jaatinen und Jukka Pätynen aus dem Jahr 2022 an den Universitäten Aalto und Helsinki (Journal of the Acoustical Society of America) fand, dass bei gut gestimmten Pianinos und Flügeln die Stimmung ausnahmslos gedehnt ist und die Abweichung mit dem Abstand von der Bezugstaste, meist A4 oder C4, wächst. Ihre Stimmer und Orchestermusiker wählten eine Kurve wie die, die Railsback in den 1930er Jahren gemessen hatte. Sie schließen daraus, dass die Inharmonizität der Saiten die Hauptursache ist, wobei auch eine allgemeine Vorliebe für weite Oktaven mitspielt.

Stimmer arbeiten mit Schwebungen. In der Mitte der Klaviatur legen sie zuerst eine Temperaturoktave fest, meist F3 bis A3. Das gleichstufige F3 hat 174,61 Hz, seine fünfte Harmonische liegt also bei 873,07 Hz, und die vierte Harmonische von A3 liegt bei 4 × 220 = 880 Hz. Die beiden schweben mit 6,93 Hz (die Studie gibt 6,95 an). Weil die Inharmonizität jedes Klaviers anders ist, braucht man laut Studie instrumentenspezifische Tabellen.

Die Tasten auf dieser Seite dehnen nicht. Die Frequenz in der Anzeige ist die schlichte Formel der gleichstufigen Stimmung. Die synthetisierten Töne haben zu hohe obere Teiltöne, doch kein Ton wird, wie ein Stimmer es täte, von seinem Formelwert weggeschoben.

Wie der Klang auf dieser Seite entsteht

Es werden keine Aufnahmen verwendet. Jeder Ton wird in Ihrem Browser mit der Web Audio API aufgebaut, und nichts erklingt, bevor Sie selbst eine Taste drücken.

• Teiltöne. Bis zu zwölf Sinuswellen bei ganzzahligen Vielfachen der Tonfrequenz. Eine echte Saite ist steif, ihre oberen Teiltöne liegen daher etwas zu hoch: f_n = n × f × √(1 + B n²). Das Modell nimmt B = 0,00016 beim mittleren C an, was den 10. Teilton 13,7 Cent über 10 × f legt.
• Anschlagstelle. Ein Hammer, der die Saite bei 1/8 ihrer Länge trifft, kann keine Teiltöne anregen, die dort einen Knoten haben. Die Amplitude des Teiltons n wird mit |sin(nπ/8)| skaliert, sodass der 8. Teilton fehlt und der 7. und 9. schwach sind.
• Abklingen. Jeder Teilton fällt erst schnell ab und klingt dann langsamer aus, höhere Teiltöne sterben schneller. Die langsame Zeitkonstante beträgt 3,4 s beim mittleren C, 5,0 s bei C3 und 1,6 s bei C6, tiefe Töne klingen also länger nach, wie auf einem echten Klavier.
• Dämpfer. Lässt man die Taste los, fällt die Lautstärke mit einer Zeitkonstante von 70 ms, sodass der Ton nach 0,07 × ln 1000 = 0,48 s um 60 dB leiser ist.
• Hammergeräusch. 20 ms gefiltertes Rauschen für den Filz, der auf den Draht trifft.

Was das Modell weglässt

Eine echte Mechanik hat mehr Teile, als das Modell zeigt. Der Hammerflansch, die Fallschraube, die bestimmt, wie hoch der Repetitionshebel den Hammer ruhen lässt, die Regulierschrauben, die Tastenführungen und die Filzscheiben sind weggelassen oder in größeren Formen zusammengefasst. Die Saite ist verkürzt und läuft gerade, während eine echte Saite hinter einem Steg auf dem Resonanzboden weiterläuft, der die Schwingung der Saite erst in Schall in der Luft verwandelt. Das Modell nutzt außerdem eine feste Anschlaggeschwindigkeit; auf einem echten Klavier ändert die Stärke des Drucks die Geschwindigkeit des Hammers und den Klang, nicht nur die Lautstärke. Maus- und Tastendrücke auf der Klaviatur hier nehmen dafür die Stelle auf der Taste als Ersatz: Drückt man nahe dem vorderen Ende, klingt es lauter.

Woher die Flügelmechanik kam

Cristofori, ein Klavierbauer am Hof der Medici in Florenz, hatte sein erstes Klavier bis 1700 gebaut. Die drei erhaltenen Instrumente von ihm stammen alle aus den 1720er Jahren, und das von 1720 steht im Metropolitan Museum of Art in New York. Seine Mechanik vervielfachte schon mit Hebeln den Weg der Taste, ließ den Hammer das letzte Stück frei fliegen und hob den Dämpfer mit dem Ende der Taste.

Die Hämmer jener Zeit waren mit Leder bezogen. Jean-Henri Pape begann laut der Steinway-Geschichte der Smithsonian Institution 1826 mit Filzüberzügen, während der Klavierkatalog desselben Museums seinen abgestuften Filz auf 1839 datiert. Filz erlaubte schwerere Hämmer und einen größeren Bereich von leise bis laut. Die Klavierbauer in London und Wien gingen bei der Mechanik eigene Wege, und die englische Mechanik des späten 18. Jahrhunderts wurde die Grundlage des modernen Flügels. Der Repetitionshebel kam aus Frankreich: Sébastien Érards Doppelauslösung von 1821. Die Flügelmechanik im Modell ist ein direkter Nachfahre dieser Konstruktion.

Vier Arten, eine Saite zum Klingen zu bringen

Die Flügelmechanik im Modell ist eine Antwort auf eine Frage, mit der sich Instrumentenbauer Jahrhunderte beschäftigten: Wie soll eine Taste eine Saite in Bewegung setzen? Der Katalog der Smithsonian Institution über die eigene Sammlung, verfasst von Helen Hollis, beschreibt die früheren Antworten gut genug für einen Vergleich.

Der Text der Smithsonian Institution sagt über das Cembalo, dass der Spieler wegen des Zupfens aus der Ferne und wie ferngesteuert praktisch keine Macht habe, die Dynamik zu verändern, und eine Abstufung der Lautstärke nicht zu erreichen sei. Er zitiert eine Beschreibung des Umfangs des Clavichords als „von fast nichts im Mindestfall bis nicht viel im Höchstfall“. Er fügt hinzu, dass die Tangente auf den Saiten weiter drückt, solange die Taste gehalten wird, was den Klang so klein macht, und dass der Spieler durch wechselnden Druck ein leichtes Schwanken der Tonhöhe erzeugen kann, das die Deutschen Bebung nennen. Das ist das Gegenteil des Problems beim Klavier: Das Clavichord lässt nie los, und die ganze Mechanik des Klaviers existiert, um loszulassen.

Die Wiener Klavierbauer nahmen die Hammeridee in eine andere Richtung. Der Aufsatz von Jayson Kerr Dobney im Metropolitan Museum sagt, Johann Andreas Stein habe seine Prellmechanik vielleicht schon 1769 entwickelt und Cristoforis Mechanik vereinfacht, indem er den Zwischenhebel wegließ, sodass der Hammer unmittelbar auf der Taste sitzt. Der Hammer sitzt in einem Block namens Kapsel mit einem Schnabel an seinem Ende. Wird die Taste gedrückt, verhakt sich der Schnabel an einer Auslösung, die den Hammer gegen die Saite wirft. Der Aufsatz nennt sie die erste erfolgreiche Mechanik, die sich deutlich von der Cristoforis unterschied. Das Cornell Center for Historical Keyboards zitiert Hummels Vergleich: Das Wiener Instrument habe eine leichte und sehr schnelle Mechanik und spreche in jeder Lage klar und rasch an, das englische habe einen tieferen Anschlag und einen volleren Klang. Mozart kaufte laut dem Met um 1783 ein Klavier von Anton Walter, und Bösendorfer war die letzte große Firma, die die Wiener Mechanik aufgab und im frühen 20. Jahrhundert zur englischen wechselte.

Érards Repetitionshebel, 1821 eingeführt, verband die beiden Traditionen. Die Smithsonian Institution beschreibt ihn als Verfeinerung, die den Hammer, solange die Taste unten ist, nach dem Zurückprallen an einem Punkt nahe den Saiten festhält, statt in die Ruhelage zurückfallen zu lassen. Das macht die Mechanik ansprechbarer, erleichtert die schnelle Wiederholung eines Tons und gibt etwas vom Anschlag der Wiener Mechanik, ohne die Kraft der englischen zu verlieren. Diesen Teil kann man im Modell verfolgen, wenn der Repetitionshebel ausgewählt ist.

Neben der Mechanik wuchs noch anderes. Der Aufsatz im Met sagt, Klaviere seien vor allem dadurch lauter geworden, dass sie im 18. Jahrhundert von zwei Unisonosaiten je Ton auf drei im frühen 19. Jahrhundert wechselten, und dass die Kreuzbespannung, die sehr dicke Saiten unter großer Spannung erlaubte, den Bass lauter machte. Der Umfang wuchs von fünf Oktaven (61 Tasten) im späten 18. Jahrhundert auf sieben Oktaven (85 Tasten) bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts, und die Gehäuse wurden schwerer, um die Last zu tragen. Die Smithsonian Institution datiert das kreuzsaitige Steinway-Tafelklavier mit vollem Eisenrahmen auf 1855 und sagt, Eisenrahmen und Kreuzbespannung seien für alle späteren Modelle Standard geworden. Die Sammlung der Cornell University zeigt, wie viele Extras es gab: eine Kopie eines Klaviers von Conrad Graf von 1824 mit drei Pedalen und ein Klavier von Joseph Simon von 1835, das ursprünglich fünf hatte, darunter einen Fagottzug mit Pergament auf den Basssaiten und einen Janitscharenzug mit Trommel und Glocke. Die heutigen drei Pedale sind das linke (Una corda), das Sostenuto und das Dämpferpedal, wie HyperPhysics sie aufführt. Das Modell hat jetzt alle drei; siehe den Abschnitt über die Pedale weiter unten.

Das Pianino ist wieder ein anderes Problem. Die Smithsonian Institution sagt, Matthias Müller in Wien und John Isaac Hawkins, ein in Philadelphia arbeitender Engländer, hätten 1800 beide das Klavier aufrecht gestellt, mit Saiten, die bis zum Boden des Gehäuses laufen. Der Text weist darauf hin, dass ein senkrechtes Klavier eine andere Mechanik braucht. Der Fall des Hammers wird nicht mehr von der Schwerkraft unterstützt, daher muss eine Federanordnung ersonnen werden, die den Hammer nach dem Anschlag rasch zurückbringt. Ein Flügel hat dieses Problem nicht, weil die Schwerkraft die Arbeit erledigt. Die Smithsonian Institution besitzt ein Hawkins-Pianino von 1801. Als der Katalog 1973 geschrieben wurde, war das einzige andere bekannte bei der Firma Broadwood in London.

Die drei Pedale

Ein moderner Flügel hat drei Pedale, und das Modell hat sie jetzt auch, in einer Lyra links der Mechanik. Das Modell folgt der Beschreibung von Yamaha. Das rechte Pedal ist das Dämpferpedal (auch Fortepedal). Es hebt alle Dämpfer von allen Saiten ab, sodass Töne nach dem Loslassen der Tasten weiterklingen und Saiten, die Sie nie angeschlagen haben, mit den angeschlagenen mitzuschwingen beginnen. Im Modell steigt der Dämpfer auf der Saite und bleibt oben, und die synthetisierten Töne klingen weiter, bis Sie das Pedal lösen.

Das mittlere Pedal ist das Sostenuto. Es ist ein auswählendes Dämpferpedal. Tritt man es, hält es nur die Dämpfer oben, die in diesem Augenblick schon abgehoben waren, weil ihre Tasten unten waren. Töne, die Sie danach spielen, werden beim Loslassen wie gewohnt gedämpft. Der Kniff: Man hält einen tiefen Ton, tritt das Sostenuto, lässt die Taste los und spielt darüber Staccato-Akkorde. Der Bass klingt weiter, und die Akkorde bleiben kurz. Steinways Version stammt von 1874; der Katalog der Smithsonian Institution führt sie unter den Merkmalen des Klaviers im Weißen Haus von 1903 auf, und das US-Patent 156.388 vom 27. Oktober 1874 beschreibt ein Pedal in der Lyra, das unabhängig vom Dämpferpedal arbeitet und auf die Dämpferhebel wirkt. Im Modell zeigt das Seitenfeld, welche Töne das Sostenuto hält.

Das linke Pedal ist die Una corda. Beim Flügel verschiebt es die ganze Klaviatur samt Mechanik ein Stück nach rechts, sodass ein Hammer, der drei Saiten traf, nun zwei trifft und einer, der zwei traf, nun eine. Der Hammer trifft die Saiten außerdem mit einer Stelle seines Filzes, die durch das Spielen noch nicht hart gepresst wurde, sodass sich neben der Lautstärke auch der Klang ändert. Im Modell bewegen sich Tastenboden, Taste, Hammerwippe, Auslöseleiste und Hammer 5,5 mm zur Seite, während die drei Saiten und der Dämpfer stehen bleiben, und die erste Saite schwingt beim Spielen nicht mehr. Der synthetisierte Ton wird um etwa 28 Prozent leiser und seine oberen Teiltöne werden schwächer; dieses Maß ist eine Wahl dieser Seite, keine Messung.

Ältere Klaviere hatten mehr Pedale. Der Flügel von André Stein um 1825 in der Smithsonian Institution hat vier: Dämpfer, Fagott (eine Papierrolle, die auf die Basssaiten gesenkt wird und sie schnarren lässt), Moderator (weiche Lederplättchen, die zwischen Hämmer und Saiten geschoben werden) und Una corda. Ein Giraffenklavier desselben Bauers von etwa 1810 hat sechs, darunter eine Basstrommel und Glocken. Heute baut Fazioli in seinen Konzertflügel F308 ein viertes Pedal ein, das die Hämmer näher an die Saiten bringt, wodurch der Klang leiser wird, ohne seine Farbe zu ändern.

Doppelauslösung: Anschlagen, bevor die Taste oben ist

Der Repetitionshebel im Modell ist das Teil, das Érard 1821 hinzufügte. Nachdem der Hammer angeschlagen hat und zurückgefallen ist, hält ihn der Hebel ein Stück oben. Beginnt die Taste zu steigen, kann die Stoßzunge lange vor der ganz oben liegenden Taste unter die Nuss zurückgleiten, sodass der Pianist denselben Ton aus einer Taste erneut anschlagen kann, die erst ein Stück nach oben gekommen ist. Eine Einfachauslösung, wie bei Cristofori oder der englischen Flügelmechanik im Modell der Smithsonian Institution, muss die Taste fast ganz nach oben kommen lassen, bevor die Stoßzunge zurückspringt.

Sie können es auf der Klaviatur ausprobieren. Stellen Sie das Tempo auf einen langsamen Wert, drücken Sie eine Taste, lassen Sie los und drücken Sie dieselbe Taste erneut, während die Zeitlupe sie noch beim Steigen zeigt. Liegt die Taste in diesem Moment zwischen etwa 1 und 5,5 mm tief (10 bis 55 Prozent der 10 mm Tastenweg), zählt das Modell es als Repetition: Die Taste geht von dort, wo sie war, wieder nach unten, der Hammer startet aus der Höhe, in der der Repetitionshebel ihn hielt, und die Anzeige zeigt die Tastentiefe beim zweiten Anschlag. Drückt man erneut, während die Taste noch fast unten ist, behandelt das Modell es als neuen Anschlag, weil in diesem vereinfachten Modell die Stoßzunge noch nicht zurückgesprungen ist. Die echten Schwellen hängen von der Regulierung jedes Klaviers ab; dies sind die Werte des Modells.

Eine Saite entwerfen: Länge, Spannung und Dicke

Die Saitenbank im Seitenfeld ist ein schlichter Stahldraht zwischen zwei festen Punkten. Seine Tonhöhe folgt der Formel aus den HyperPhysics-Seiten über stehende Wellen: f = (1/2L)√(T/μ), wobei L die schwingende Länge ist, T die Spannung und μ die Masse eines Meters Draht. Für einen runden Stahldraht gilt μ = ρ × π d²/4. Die Seite nimmt die Dichte ρ = 7860 kg/m³ und den Elastizitätsmodul E = 200 GPa aus der HyperPhysics-Tabelle technischer Werkstoffe. Diese Tabelle führt Baustahl; Klavierdraht ist ein viel festerer Stahl, doch Dichte und Steifigkeit sind ähnlich, sodass diese Werte die richtigen Größenordnungen zeigen.

Nehmen wir einen Draht von 1 mm und 40 cm Länge. Ein Meter davon wiegt 7860 × π × 0,001²/4 = 0,00617 kg, also 6,17 g. Um A4 = 440 Hz zu erzeugen, braucht er T = μ(2Lf)² = 0,00617 × (2 × 0,4 × 440)² = 765 N, etwa das Gewicht von 78 kg. Das ist die A4-Voreinstellung auf der Bank. Halbiert man die Länge, verdoppelt sich die Tonhöhe; dieselbe Oktave allein über die Spannung bräuchte den vierfachen Zug. Echte Klaviere können der Halbierungsregel nicht bis nach unten folgen: Eine Basssaite wäre meterlang. HyperPhysics bemerkt, dass das Längenverhältnis je Oktave etwa 1,88 bis 1,94 statt 2 beträgt und dass die tiefen Saiten mit Kupfer umsponnen sind, um Masse ohne viel Steifigkeit hinzuzufügen. Steinway gibt die längste schwingende Saite seines Modells D mit 201 cm an, von der Agraffe zum Steg. Die Voreinstellung der längsten Saite auf der Bank nutzt diese Länge mit einem schlichten Draht nur, um die Größenordnung zu zeigen; ein schlichter Draht dieser Länge würde die tiefsten Töne nicht erreichen.

Die Steifigkeit ist die andere Hälfte der Geschichte. Harvey Fletchers Aufsatz von 1964 im Journal of the Acoustical Society of America nennt den Inharmonizitätskoeffizienten einer steifen Saite als B = π³ E d⁴ / (64 T L²). Dicke, kurze, schlaffe Drähte haben ein großes B, dünne, lange, straffe ein kleines B. Die Balken auf der Bank zeigen in Cent, wie weit jeder Teilton n über n × f liegt, nach f_n = n × f × √(1 + B n²). Bei der A4-Voreinstellung beträgt B etwa 7,9 × 10⁻⁴, sodass der 2. Teilton 2,7 Cent zu hoch liegt und der 8. 42 Cent. Probieren Sie die Voreinstellung für das höchste C8 mit 5 cm Länge, dann steigen die Balken viel höher; eine kurze Diskantsaite ist für ihre Länge sehr steif. Deshalb wird der Diskant eines echten Klaviers gedehnt, wie der nächste Abschnitt und der Artikel oben erklären.

Gleichstufige und reine Intervalle als Schwebungen hören

Klingen zwei Töne zusammen, liegt oft ein Teilton des einen nahe bei einem Teilton des anderen. Sind die beiden Teiltöne nicht genau gleich, schwillt der Klang so oft pro Sekunde an und ab, wie sie sich in Hertz unterscheiden; HyperPhysics nennt das die Schwebungsfrequenz. Das Schwebungsfeld wählt fünf Intervalle ab C4 und zeigt das Paar von Teiltönen, die fast zusammenfallen. Bei der großen Terz C4–E4 ist es der 5. Teilton von C4 (1.308,13 Hz) gegen den 4. von E4 (1.318,51 Hz), die gleichstufige Stimmung schwebt also 10,38 Mal pro Sekunde. Bei der reinen Quinte C4–G4 ist es der 3. von C4 gegen den 2. von G4, 0,89 Schwebungen pro Sekunde.

Die reine Stimmung nutzt die kleinen ganzzahligen Verhältnisse aus der HyperPhysics-Seite über die reine Stimmung: 5:4 für die große Terz, 3:2 für die Quinte, 4:3 für die Quarte, 6:5 für die kleine Terz und 5:3 für die große Sexte. Eine reine große Terz ist 1200 × log₂(5/4) = 386,31 Cent, also 13,69 Cent enger als die gleichstufigen 400. Wählen Sie Ihre Stimmung und ziehen Sie den oberen Ton: Die Schwebungsrate fällt längs einer Geraden und erreicht bei −13,69 Cent null. Das Diagramm markiert diesen Punkt mit einer gestrichelten Linie. Quinte und Quarte liegen nur 1,96 Cent von rein entfernt, weshalb sie fast still klingen; die Terzen und Sexten sind 13,69 bis 15,64 Cent entfernt und schweben schnell. Die Taste Hören spielt beide Töne 3 Sekunden lang mit je sechs reinen Teiltönen, sodass die Schwebungen leichter zu hören sind als beim angeschlagenen Klavierton.

Der Dehnungsteil des Seitenfelds tut dasselbe für eine Oktave. Mit einer Inharmonizität B für A4 liegt sein 2. Teilton bei 2 × 440 × √(1 + 4B). Bei B = 0,0004 sind das 880,70 Hz, 1,38 Cent über 880, und ein 2:1-A5 schwebt dagegen 0,70 Mal pro Sekunde. Die beiden Tasten spielen die Oktave 2:1 und die gedehnte, in der A5 auf dem Teilton sitzt und die Schwebung verschwunden ist.

Das ganze Instrument im Maßstab eins zu sechs

Hinter der Mechanik steht ein Konzertflügel in einem Sechstel der vollen Größe. Sein Umriss folgt dem Steinway Modell D, wie Steinway es angibt: 274 cm lang und 156 cm breit; dieselbe Seite nennt 483 kg, eine gesamte Saitenspannung von 20.418 kg und eine längste Saite von 201 cm. Die Gehäusekurve, die Beine und die Saitenführung sind nach Augenmaß aus diesem Umriss gezeichnet. Innen sind ein Resonanzboden aus Fichte, eine goldfarbene gusseiserne Platte mit runden Öffnungen, gerade Diskantsaiten und eine zweite Lage von Basssaiten, die darüber kreuzen, die Kreuzbespannung, die Henry Steinways US-Patent 26.532 von 1859 als Saiten in zwei Lagen beschreibt, die die Stege näher an die Mitte des Resonanzbodens bringen. Eine Taste der Klaviatur ist rot: das mittlere C, die Taste, die das vorn stehende Modell in voller Größe zeigt. Der Deckel ist an der langen geraden Seite angelenkt und an der geschwungenen Seite aufgestützt, wie bei einem echten Flügel.

Der Katalog und woher seine Zahlen stammen

Der Katalog im Seitenfeld führt 38 Klaviere und Erstes auf, vom Medici-Inventar von 1700 bis zum Bösendorfer Imperial mit 97 Tasten. Der größte Teil der Geschichte stammt aus Helen Hollis' Katalog der Smithsonian Institution von 1973, der die Instrumente der nationalen Sammlung beschreibt und die Meilensteine um sie herum datiert: Silbermann zeigt Bach 1736 seine Klaviere, und Bach spielt sie 1747 in Potsdam; Zumpes Tafelklavier in einem Londoner Konzert 1767; Steins Klavier, das Mozart 1777 lobte; die ersten Pianinos von Müller und Hawkins 1800; Érards Repetitionsmechanik 1821; Babcocks Eisenrahmen 1825; Chickerings Rahmen von 1840 und 1843; die in den 1870er Jahren erreichten 88 Tasten und Steinways 100.000. Klavier 1903. Die Steinway-Patente von 1857, 1859 und 1874 sind bei Google Patents nachgelesen. Moderne Instrumente sind den Seiten der Hersteller entnommen: Steinway für das Modell D, Bösendorfer für den 290 Imperial (290 cm, 552 kg, 97 Tasten) und Fazioli für das vierte Pedal des F308. Yamahas Ratgeber sagt, ein Klavier könne bis zu 230 Saiten haben.

Die Quellen stimmen bei Jahreszahlen nicht immer überein. Hoovers Aufsatz der Smithsonian Institution datiert Papes Filzüberzüge für Hämmer auf 1826, während Hollis sagt, er habe 1839 abgestufte Lagen behandelten Filzes hergestellt; der Katalog gibt mit Hollis als Quelle 1839 an. Wo ein Eintrag kein einzelnes Jahr hat, etwa bei einem aktuellen Modell, bleibt das Jahr leer.

Häufige Missverständnisse

• „Der Hammer bleibt auf der Saite, während der Ton klingt.“ Er berührt sie einen Augenblick und springt ab. Bliebe er liegen, würde der Filz die Saite ersticken, und genau das verhindert die Auslösung. Die Saite klingt dann allein, bis der Dämpfer fällt oder der Klang verklungen ist.
• „Lauter spielen ändert nur die Lautstärke.“ Beim Klavier ist ein lauterer Ton auch ein hellerer. Daniel Russell von der Penn State erklärt, dass der Hammerfilz wie eine sich verhärtende Feder wirkt: Bei großen Aufprallkräften verhält sich der Filz härter, sodass ein lauter Ton mehr hohe Frequenzen enthält als ein leiser. Seine Seite nennt auch etwa 1830 als Zeitpunkt, ab dem Filz bei Hämmern üblich wurde, und sagt, harte Hämmer machten einen hellen oder harschen Klang und weiche einen dumpfen. Das Modell nutzt einen festen Anschlag und kann das nicht zeigen.
• „A hat von Natur aus 440 Hz.“ Das ist eine Vereinbarung, festgelegt durch ISO 16. Eine Stimmung auf 442 Hz, die manche Orchester nutzen, liegt 1200 × log₂(442 / 440) = 7,85 Cent höher. Das ist wenig, aber ein Instrument auf 442 Hz und eines auf 440 Hz, die gemeinsam A4 spielen, schweben 2 Mal pro Sekunde.
• „Ein gestimmtes Klavier entspricht der Formel der gleichstufigen Stimmung.“ Nur in der Mitte. Die Stimmung wird von der Bezugstaste weg gedehnt, an den Enden um bis zu etwa 30 Cent. Die Zahlen auf dieser Seite sind die Formel, nicht ein echter gestimmter Flügel.
• „Drei Saiten bedeuten einen höheren oder volleren Ton.“ Die drei Saiten sind auf dieselbe Tonhöhe gestimmt. Der Aufsatz im Met nennt als Zweck die Lautstärke: Der Wechsel von zwei auf drei je Ton war eines der wichtigsten Mittel, mit denen Klaviere lauter wurden.

Auf dem Bildschirm ausprobieren

1. Die Formel prüfen. Klicken Sie auf die Klaviatur und spielen Sie A4. Die Zeile Frequenz im Eckfeld des Modells zeigt 440,00 Hz, und die Zeile unter dem Tastennamen unterhalb des Modells lautet 440 × 2^(0/12). Spielen Sie A3 und A5. Sie sollten 220 und 880 Hz sehen, jeweils ein Verhältnis von 2.
2. Das Halbtonverhältnis beobachten. Spielen Sie C4, dann C♯4 (die schwarze Taste daneben). Die Frequenzen sind 261,63 und 277,18 Hz. Teilt man die zweite durch die erste, erhält man 1,0595, dieselbe Zahl wie für jedes andere Paar benachbarter Tasten.
3. Den Anschlag verlangsamen. Ziehen Sie Tempo auf die niedrigste Stellung (1/50×), spielen Sie einen Ton und lesen Sie die Phasenzeile: Taste geht nach unten, Auslösung: Hammer im freien Flug, Hammer trifft die Saite, Fänger fängt den Hammer, Taste kommt hoch. In der ersten Phase sollte die Zeile Hammer bis Saite bis auf etwa 3 mm bei der Auslösung schrumpfen.
4. Die Stoßzunge finden. Öffnen Sie den Reiter Teile, wählen Sie Stoßzunge und schalten Sie Hineinsehen ein. Bei der Auslösung trifft die Nase der Stoßzunge den Auslöseknopf, und die Stoßzunge kippt unter dem Hammer weg.
5. Die Teile zählen. Ziehen Sie Zerlegen ganz nach rechts und zählen Sie die Stücke. Die Liste hat dreizehn Teile, die elf der Mechanik plus die Pedale und den Flügel im Maßstab 1:6, und Teilenamen beschriftet sie.
6. Zwei Intervalle vergleichen. Halten Sie C4 und G4 zusammen, dann C4 und E4. Die Akkordzeile zeigt für das erste Paar C5 und für das zweite große Terz. Achten Sie auf die langsame Schwebung beim ersten und die schnellere beim zweiten, nach der Rechnung oben etwa 0,9 und 10 pro Sekunde. Diese Synthese enthält zu hohe Teiltöne, sodass Ihr Ohr leicht andere Raten hören kann.
7. Eine Tonleiter nutzen. Wählen Sie im Menü Tonleiter C-Dur-Pentatonik. Fünf von zwölf Tasten bekommen einen Punkt, und die erste markierte Taste ist der Grundton.
8. Oktavenrechnung. Spielen Sie C3, dann C4, C5 und C6, indem Sie mit der Taste X nach oben gehen (Z geht nach unten). Die Frequenzen sind 130,81, 261,63, 523,25 und 1.046,50 Hz, jeweils das Doppelte der vorigen.
9. Die Pedale benutzen. Treten Sie neben der Klaviatur das Dämpferpedal, spielen Sie ein paar Töne und lassen Sie die Tasten los: Sie klingen weiter. Treten Sie es noch einmal, um zu lösen. Halten Sie dann C3, treten Sie das Sostenuto, lassen Sie C3 los und spielen Sie weiter oben kurze Töne: Nur C3 klingt weiter.
10. Die Una corda beobachten. Treten Sie die Una corda und öffnen Sie die Saitenansicht. Spielen Sie einen Ton: Die Mechanik verschiebt sich seitlich, und die erste der drei Saiten bleibt still.
11. Eine Terz nach Gehör stimmen. Öffnen Sie im Seitenfeld die Schwebungen, wählen Sie große Terz und Ihre Stimmung und ziehen Sie den oberen Ton auf −13,7 Cent zu, während Sie auf Hören drücken. Die Schwebung wird langsamer und hört auf.