ピアノの仕組み：グランドピアノのアクションと平均律

ピアノの鍵を押すと何が起こるか

ピアノの仕組みを一言でいえば、鍵を押すとフェルトのハンマーが鋼の弦を打ち、弦の振動が音になる、というものです。グランドピアノの鍵を押すと、指先には鍵が一センチほど下がる感触があります。そのとき譜面台の奥では、親指ほどの大きさのフェルトのハンマーが跳ね上がって鋼の弦を打ち、また落ちていきます。これが全部ケースの中で、百分の数秒のうちに起こるので、目で見ることはできません。

上のモデルは、鍵ひとつの裏にある仕組みを横から見たもので、速さは 1/50 まで落とせます。モデルの下の鍵盤を弾くと、音は通常の速さで聞こえ、モデルは同じ動きをスローモーションでもう一度見せます。モデルの隅の枠には、鍵がどこまで下がったか、ハンマーが弦までまだどれだけ離れているか、弾いた音の周波数が出ます。周波数は A4 = 440 Hz を基準に計算した値です。

ハンマーが弦から離れなければならない理由

ピアノをいちばん単純に作るなら、鍵の後ろにハンマーを固定すればよさそうです。鍵を押せば、ハンマーが弦を打ちます。問題はそのあとに起こります。指が鍵にのっている間、ハンマーは弦に押し当てられたままになります。震えている弦にフェルトが触れていると、振動は数回で止まってしまいます。音ではなく、鈍い「コツン」という音になるでしょう。

だからハンマーは、押すのではなく投げなければなりません。鍵が動く間の大部分は、ジャックという小さな木の部品がハンマーを押し上げます。ハンマーが弦に届く数ミリ手前で、ジャックはハンマーの下から外れ、残りの距離はハンマーが自分の勢いで進みます。ハンマーは弦を打ち、はね返って落ちてきます。この仕掛けをエスケープメントといい、1700年ごろのバルトロメオ・クリストフォリの最初の楽器から、すべてのピアノが何らかの形で備えています。

エスケープメントは、もうひとつ問題を生みます。ジャックが外れたあと、同じ音をもう一度弾くには、ジャックがハンマーの下に戻らなければなりません。単純なアクションでは、鍵が完全に戻りきったときにしか戻れません。トリルのような速い連打は、遅くてむらのあるものになってしまいます。グランドピアノは、レペティションレバーという二つ目のてこでこれを解決します。鍵がまだ途中までしか戻っていないうちに、ジャックがハンマーの下へすべり込めるよう、ハンマーを必要な高さだけ持ち上げておくのです。このようにハンマーを二度放せるので、この仕組みはダブルエスケープメント・アクションと呼ばれています。

各部品のはたらき

指の力が弦に届くまでを、順にたどります。

1. 鍵。 鋼のバランスピンを支点に動く木のてこです。モデルではピンが手前の端から 240 mm のところにあり、前側が下がると後ろ側が上がります。
2. キャプスタン。 鍵の後ろにねじ込まれた真ちゅうの突起です。ウイッペンを持ち上げます。
3. ウイッペン。 自分のフランジに取り付けられたてこです。ジャックとレペティションレバーを載せ、鍵の持ち上げる動きを上向きの押す動きに変えます。
4. ジャック。 L 字の形をしています。直立した腕がハンマーの柄の下のナックルを押し、短い先端はレットオフボタンのほうを向いています。
5. レットオフボタン。 ねじに付いたフェルトのボタンです。ジャックの先端がここに届くと、ジャックが傾いてハンマーを放します。
6. ハンマー。 細い柄の先に、木の芯を固く押し固めたウールフェルトで包んだ頭が付いています。ナックルは柄の支点に近い位置にあるので、小さな押しでも、頭が長い距離を動きます。
7. レペティションレバー。 ばねで持ち上げられていて、レットオフのあとナックルを受け止め、ジャックが元に戻る間ハンマーを高い位置に保ちます。
8. バックチェック。 鍵の後ろ側に、針金で立てたフェルトの当て物です。落ちてくるハンマーを受け止め、はね返って弦に戻らないようにします。
9. ダンパー。 弦に載っているフェルトのかたまりです。鍵の反対側の端がアンダーレバーを通してこれを持ち上げるので、鍵を押さえている間は弦が鳴ります。
10. 弦。 炭素量の多い鋼線です。ほとんどの音は同じ高さに合わせた3本の弦で鳴らし、低音は2本、さらに1本になります。モデルは、ひとつの音に3本の弦を描いています。弦全体が鉄のフレームを引く力は数十トンにもなり、スタインウェイは1875年までに、70,000 ポンド（約 32 トン）に耐えるプレートを持つと述べていました。
11. 鍵盤台とアクションフレーム。 これらすべてを正しい位置に保つ板、レール、金属の支柱です。

パネルの「部品」タブで部品をクリックすると、カメラがそこへ移動します。「内部を見る」を使うと、鍵盤台とフレームが透明になり、ジャックとレットオフボタンの動きが見えます。

一回の打鍵を、ミリ秒ごとに

モデルが追っているのは、しっかりした強さの音です。鍵が下がりきるまでに 50 ms かかり、動き始めと終わりはなめらかです。モデルの時間設定に従って、途中で何が起こるかを示します。

• 0 ms：鍵が下がり始めます。キャプスタンがウイッペンを持ち上げ、ジャックがナックルを持ち上げ、ハンマーが上がり始めます。同時に、鍵の反対側の端がわずかな隙間を詰めて、ダンパーを弦から持ち上げ始めます。
• 41 ms：鍵は動きの 92 % まで進みます。ジャックの先端がレットオフボタンに当たり、ジャックが外れます。ハンマーの頭は弦まで約 3 mm の位置で、おおよそ 0.66 m/s で動いています。
• 46 ms：約 4.6 ms の自由な飛行のあと、フェルトが弦に触れます。ここから先は、鍵はハンマーの動きに関われません。
• 打弦のあと：ハンマーははね返ってバックチェックに落ち、鍵が下がっている間は弦のすぐ下で保たれます。レペティションレバーがハンマーをわずかに持ち上げ、ジャックがナックルの下へ戻ります。
• 離鍵：鍵が上がり、バックチェックが離し、ハンマーは元の位置に戻り、ダンパーが弦に落ちます。

いちばん遅い速さ（1/50）では、指から弦までの 46 ms が 46 × 50 = 2,300 ms、つまり画面上で 2.3 秒かかり、自由に飛ぶ時間だけでも約 4 分の 1 秒あります。フェルトが弦に届くとき、ジャックがすでに外れていることを見るには、十分な長さです。

てこの比を計算する

アクションのてこは、どれも力と距離を交換しています。以下は、鍵の沈みを 10 mm、バランスピンを鍵の手前から 240 mm の位置としたモデルの数字です。

• 沈みきったときの鍵の角度：atan(10 / 240) = 2.39°。
• キャプスタンはピンの 155 mm 後ろにあるので、155 × sin 2.39° = 6.5 mm 上がります。
• ウイッペンの支点はキャプスタンの 145 mm 手前にあるので、ウイッペンは 6.5 / 145 rad = 2.55° 回ります。
• ジャックはウイッペンの支点から 105 mm のところにあるので、105 × sin 2.55° = 4.7 mm 上がります。
• ナックルはハンマーの柄の支点から 18 mm のところにあるので、ハンマーは 4.7 / 18 rad = 14.9° 振れます。
• フェルトの先端はその支点から約 148 mm なので、148 × 0.259 = 38 mm 動きます。

鍵での 10 mm が、ハンマーの頭では 38 mm になります。比はおよそ 3.8 です。鍵の動きの 92 % にあるレットオフ点では、38 × 0.08 = 3.1 mm が自由に飛ぶ距離になります。本物のグランドピアノでは、これらの距離を調律師が整調のときに、レットオフボタンやキャプスタンのようなねじを回して決めます。正確な値はメーカーごとに違います。比が高いほど、同じ指の動きでハンマーは軽く速く動きますが、指に感じる重さは増します。そのためメーカーは、鍵の前のほうに鉛の重りを入れます。モデルでは、鍵の手前に近い灰色の円盤が2つ、それにあたります。

十二の等しい段差：周波数の出どころ

ピアノは十二平均律で調律されます。周波数が2倍になる1オクターブを十二の半音に分け、半音ごとに周波数に同じ数をかけます。同じ数を十二回かけると 2 にならなければならないので、その数は 2 の十二乗根です。

r = 2^(1/12) = 1.059463

基準は A4、つまり中央のドの上の A で、ISO 16 により 440 Hz と定められています。鍵に MIDI と同じ番号を付けると（A4 が 69、中央のドが 60）、どの音 m の周波数も次の式で求まります。

f = 440 × 2^((m − 69) / 12)

弾きながらパネルと見比べられる値を挙げます。

C6 は C3 より3オクターブ高いので、周波数は 2³ = 8 倍です。130.81 × 8 = 1,046.50 Hz になります。中央のドの1周期は 1 / 261.63 s = 3.82 ms です。短い音でも半秒伸ばせば、弦は 0.5 × 261.63 = 131 回ほど往復しています。

平均律が少しだけ「ずれている」理由

簡単な周波数比の音どうしは、なめらかに響き合います。完全五度は 3 : 2、長三度は 5 : 4 です。平均律はこれを正確には作れません。2^(1/12) のどんな累乗も、小さな整数の比にはならないからです。

• 平均律の完全五度は、1.5 ではなく 2^(7/12) = 1.498307 です。1.96 セント低く（1セントは半音の 1/100）、聞き分けにくいずれです。
• 平均律の長三度は、1.25 ではなく 2^(4/12) = 1.259921 です。13.7 セント高く、訓練した耳なら聞き分けられます。

この違いは、うなりとして聞こえます。C4 と G4 を同時に弾くと、C4 の第3倍音は 3 × 261.63 = 784.88 Hz、G4 の第2倍音は 2 × 392.00 = 783.99 Hz なので、毎秒およそ 0.9 回のうなりが生じます。C4 と E4 では、C4 の第5倍音（1,308.13 Hz）と E4 の第4倍音（1,318.51 Hz）がぶつかり、毎秒約 10 回のうなりになります。調律師は、このうなりを数えて音律を合わせます。代償として、どの調も同じようにそこそこ許容できる響きになり、調律し直さずにどの調へも移れます。

鍵盤の下の音階メニューでは、音階の音に点が付き、和音の表示では押さえている音の名前が出ます。C、E、G を押さえると C と表示され、A、C、E を押さえると Am と表示されます。

弦を数字で見る：メルセンヌの法則

弦は、ピアノのなかで数字にしやすい部品です。張られた弦の基本周波数は次の式で表されます。

f = (1 / 2L) × √(T / μ)

L は振動する部分の長さ（メートル）、T は張力（ニュートン）、μ は1メートルあたりの線の質量です。平方根は弦を伝わる波の速さで、波は1周期ごとに、向こう端まで行って戻ってくる距離 2L を進まなければなりません。ジョージア州立大学の HyperPhysics には計算機があり、初期値は長さ 100 cm、張力 50 lb（222 N）、1メートルあたり 0.2872 g の弦です。波の速さは 880 m/s、音は 440 Hz になります。

同じ計算を A4 の弦でやってみます。数字は典型的な値としてここで仮定したもので、特定のピアノを測ったものではありません。太さ 1.0 mm のふつうの鋼線（密度 7,850 kg/m³）で、振動する長さは 0.33 m とします。参考までに、最も細いピアノ線は、出典に挙げたヤーティネンとペティネンの研究によると、約 0.85 mm です。

• 1メートルあたりの質量：μ = 7,850 × π × (0.0005)² = 6.17 × 10⁻³ kg/m。
• 波の速さ：v = 2Lf = 2 × 0.33 × 440 = 290 m/s。
• 張力：T = μv² = 0.00617 × 290² = 520 N。線にぶら下げた約 53 kg の重さに相当します。
• A4 には3本の弦があるので、この鍵ひとつがフレームを引く力は約 1.56 kN です。

比べてみると、1875年のスタインウェイのプレートは最大 70,000 ポンド、つまり 311 kN に耐えるように作られました。HyperPhysics の数え方では、グランドピアノの弦は 226 本（単弦の低音 10 本、2本の音が 18、3本の音が 60 で、10 + 36 + 180）なので、プレートは1本あたり 1.4 kN まで許せることになります。別の研究では平均 220 本と数えており、本数はメーカーによって違います。どちらにしても、520 N は限界よりずっと内側です。

平方根があるので、調律は非常に繊細です。1セントは周波数を 2^(1/1200) 倍にするので、張力は 2^(1/600) − 1 = 0.116 % 変えなければなりません。この弦では 520 N のうち 0.60 N です。ピンがそれだけずれると、音は1セント動きます。

同じ関係から、オクターブごとに弦をただ半分にしてよいわけでもないことが分かります。同じ線と長さのままで周波数を2倍にするには、張力が4倍必要で、この例の A5 では 2,080 N です。長さを半分にすれば同じ張力で済みますが、実際のメーカーはそこまではしません。HyperPhysics は、1オクターブあたりの長さの比を 1.88 から 1.94 対 1 としています。7オクターブで毎回半分にすると弦は 2⁷ = 128 分の 1 になり、1オクターブ 1.9 なら 1.9⁷ = 89 分の 1 です。したがって最高音域の弦は、半分にした場合より 128 / 89 = 1.43 倍長く、その上を伝わる波は 1.43 倍速くなければなりません。つまり T / μ は 1.43² = 2.05 倍大きくなければなりません。メーカーは張力を同じような範囲に保ち、代わりに1メートルあたりの質量を減らします。高音域の線が細いのは、そのためです。HyperPhysics は、これを一文で述べています。周波数を正しい値に収めるように、弦の質量を変えるのだと。

低音には、逆の問題があります。A0 は 27.5 Hz、長さを仮に 1.2 m、張力を 700 N とします。すると μ = 700 / (2 × 1.2 × 27.5)² = 0.161 kg/m で、波の速さはわずか 66 m/s です。1メートルあたりそれだけの質量があるふつうの鋼の棒は、太さ 5.1 mm となり、硬すぎます。そこでメーカーは、細い鋼の芯に銅や真ちゅうを巻き、硬さをあまり増やさずに質量を増やします。完成した低音弦は、太さ約 8.5 mm に達します。A0 の1周期は 36 ms、A4 の1周期は 2.3 ms です。

高音が高めに調律される理由：非調和な部分音とストレッチ調律

このページの音の作り方の節では、部分音に f_n = n × f × √(1 + B n²) という式を使っています。理想的なしなやかな弦なら、部分音は基本周波数のちょうど1倍、2倍、3倍…になります。鋼線は曲げにも抵抗し、その影響は波長が短いほど大きくなるので、高い部分音ほど少し高めにずれます。B は非調和性の係数で、線の太さ、長さ、張力、硬さによって決まります。ロバート・ヤングは1952年に6台のピアノで測定し、硬い弦の理論がデータに合うことを確かめました。ルドルフ・ラッシュとヴィンセント・ヘーフェルトは1985年に、中型のグランドピアノのすべての弦を測り、測定値が式とよく一致することを見いだしました。また、高い弦ほど非調和性が大きいのがふつうで、それがうなりの周波数への影響を一部打ち消すことも書き添えています。

中央のド（261.63 Hz）でモデルの B = 0.00016 とすると、部分音は次のようになります。

ヤングは、中央のドの弦の第2モードについて約 1.2 セントと報告しており、6台のピアノでほぼ同じだったとしています。これは B ≈ 0.00035 にあたり、モデルの値の2倍です。つまりモデルは実際の楽器よりおだやかで、表の第8部分音は、打弦位置で打ち消されるため、実際には鳴りません。

これがストレッチ調律の理由です。A4 の弦の B を 0.0004 とします（これも仮定の値です）。第2部分音は 2 × 440 × √(1 + 4 × 0.0004) = 880.70 Hz で、880 より 1.4 セント高くなります。調律師が A5 をちょうど 880.00 Hz に合わせると、この部分音と A5 の基音は毎秒 0.7 回のうなりを起こします。うなりを消すには A5 を約 0.7 Hz 上げます。これを鍵盤の上のほうへ繰り返すと、どのオクターブも 2 : 1 より少し広くなります。HyperPhysics は、その結果を、高音端で最大 30 セント高く、低音端で最大 30 セント低くなる、としています。C8 では 4,186.01 × 2^(30/1200) = 4,259 Hz となり、4,186 Hz ではありません。A0 は 27.50 Hz ではなく約 27.03 Hz になります。

アアルト大学とヘルシンキ大学のユッシ・ヤーティネンとユッカ・ペティネンによる2022年の研究（Journal of the Acoustical Society of America）は、よく調律されたアップライトとグランドのピアノでは例外なく調律が広げられていて、そのずれは基準の鍵（ふつうは A4 か C4）から離れるほど大きくなることを見いだしました。調律師とオーケストラの奏者が選んだ曲線は、1930年代にレイルズバックが測った曲線に似ていました。研究は、弦の非調和性が主な原因で、広いオクターブを好む一般的な傾向も関わっていると結論しています。

調律師はうなりを手がかりに作業します。鍵盤の中ほどで、まず F3 から A3 のあたりで音律の基準になるオクターブを作ります。平均律の F3 は 174.61 Hz で、その第5倍音は 873.07 Hz です。A3 の第4倍音は 4 × 220 = 880 Hz です。この2つは 6.93 Hz でうなります（論文では 6.95）。ピアノごとに非調和性が違うため、楽器ごとの調律表が必要だと論文は述べています。

このページの鍵盤は、音を広げていません。表示される周波数は、ふつうの平均律の式の値です。合成した音には高めにずれた上の部分音がありますが、調律師が行うように、音を式の値から動かすことはしていません。

このページでの音の作り方

録音は使っていません。音はすべて、ブラウザーの Web Audio API で作られ、自分で鍵を押すまで何も鳴りません。

• 部分音。 音の周波数の整数倍に、最大十二の正弦波を重ねます。本物の弦は硬いので、上の部分音は少し高めです：f_n = n × f × √(1 + B n²)。モデルは中央のドで B = 0.00016 とし、第10部分音が 10 × f より 13.7 セント高くなります。
• 打弦位置。 弦の長さの 1/8 のところを打つハンマーは、そこが節になる部分音を励起できません。部分音 n の振幅に |sin(nπ/8)| をかけるので、第8部分音はなくなり、第7と第9は弱くなります。
• 減衰。 各部分音は、最初は速く、そのあとはゆっくり減って響き続け、高い部分音ほど早く消えます。ゆっくりの時定数は、中央のドで 3.4 s、C3 で 5.0 s、C6 で 1.6 s なので、本物のピアノと同じく、低い音ほど長く響きます。
• ダンパー。 鍵を離すと、音量は時定数 70 ms で下がるので、0.07 × ln 1000 = 0.48 s で 60 dB 小さくなります。
• ハンマーの音。 フェルトが線を打つ音として、20 ms のフィルターをかけたノイズを加えています。

モデルが省いているもの

本物のアクションには、モデルが見せているより多くの部品があります。ハンマーのフランジ、レペティションレバーがハンマーを休ませる高さを決めるドロップスクリュー、整調用のねじ、鍵のブッシュ、フェルトのパンチングは、省いたり、大きな形に合わせたりしています。弦は短くしてまっすぐに通してありますが、本物の弦は響板のブリッジの上を越えてさらに続き、そのブリッジが弦の振動を空気中の音に変えています。モデルはまた、打鍵の速さを一種類に固定しています。本物のピアノでは、押す強さがハンマーの速さを変え、音量だけでなく音色も変わります。ここの鍵盤をマウスやタッチで押すときは、鍵の上の位置をその代わりに使います。鍵の手前のほうを押すと、大きな音になります。

グランドピアノのアクションの由来

フィレンツェのメディチ家の宮廷にいた鍵盤楽器の製作者クリストフォリは、1700年までに最初のピアノを作っていました。現存する3台はすべて1720年代のもので、1720年のものはニューヨークのメトロポリタン美術館にあります。彼のアクションはすでに、てこで鍵の動きを拡大し、最後の部分でハンマーを自由に飛ばし、鍵の端でダンパーを持ち上げていました。

当時のハンマーは革で覆われていました。スミソニアンのスタインウェイの歴史によると、ジャン・アンリ・パプがフェルトのハンマー被覆を使い始めたのは1826年ですが、同じ博物館のピアノ目録は、先細りの層にしたフェルトを1839年としています。フェルトのおかげで、ハンマーを重くでき、小さな音から大きな音までの幅が広がりました。アクションそのものは、ロンドンとウィーンの製作者が別々の道を進み、18世紀末のイギリス式アクションが、現代のグランドピアノの土台になりました。レペティションレバーはフランスから来ました。セバスチャン・エラールの1821年のダブルエスケープメント・アクションです。モデルのグランドのアクションは、この設計の直系の子孫です。

弦を鳴らす四つの方法

モデルのグランドのアクションは、鍵盤楽器の製作者が何世紀も取り組んできた問いのひとつの答えです。鍵はどのように弦を動かすべきか、という問いです。スミソニアンの所蔵品目録は、ヘレン・ホリスが書いたもので、それ以前の答えを比べるのに十分なほど、よく説明しています。

スミソニアンの文章は、チェンバロについて、はじく動作が離れたところで遠隔操作のように行われるため、奏者には強弱を変える力がほとんどなく、音量の段階的な変化はできない、と述べています。クラヴィコードの音域は「最小で無に近く、最大でもたいしたことはない」という表現を引いています。さらに、鍵を押さえている間タンジェントが弦に押し当たり続けるので音がとても小さいこと、押す強さを変えると、ドイツ人がベーブンクと呼ぶ、わずかな音高の揺れが出せることも書いています。これはピアノの問題の逆です。クラヴィコードは決して放さず、ピアノのアクションは、放すためにこそあるのです。

ウィーンの製作者は、ハンマーという考えを別の方向へ進めました。メトロポリタン美術館のジェイソン・カー・ドブニーの解説によると、ヨハン・アンドレアス・シュタインは、早ければ1769年にプレルメカニクを開発しました。中間のてこをなくしてクリストフォリのアクションを単純にし、ハンマーを鍵に直接触れさせたものです。ハンマーは、先端にくちばしのあるカプセルという部品に取り付けられています。鍵を押すと、くちばしがエスケープメントに引っかかり、ハンマーを弦へ投げます。解説は、これをクリストフォリのものと大きく異なる最初の成功したアクションと呼んでいます。コーネル大学の歴史的鍵盤楽器センターは、フンメルの比較を引用しています。ウィーンの楽器は軽くとても速い機構で、どの音域でも明瞭にすぐ鳴り、イギリスの楽器はタッチが深く、より豊かな音がする、というものです。メトロポリタン美術館によると、モーツァルトは1783年ごろにアントン・ヴァルターのピアノを買い、ベーゼンドルファーは、ウィーン式アクションをやめて20世紀初めにイギリス式に切り替えた、最後の大手メーカーでした。

エラールのレペティションレバーは、1821年に導入され、2つの伝統を結びつけました。スミソニアンは、これを、鍵が下がっている間、ハンマーがはね返ったあと元の位置まで落ちず、弦に近い位置で止まっていられるようにする改良だと説明しています。そのためアクションの反応が良くなり、音の素早い反復が楽になり、イギリス式の力強さを失わずに、ウィーン式のタッチの一部が得られます。モデルで「レペティションレバー」の部品を選ぶと、この部分が追えます。

アクションと並んで、ほかのものも育ちました。メトロポリタン美術館の解説によると、ピアノが大きな音になったのは、主に、18世紀に1音あたり同じ高さの弦が2本だったのが、19世紀の初めには3本になったからで、交差張りによって非常に太い弦を強い張力で張れるようになり、低音が大きくなりました。音域は、18世紀末の5オクターブ（61 鍵）から、19世紀半ばには7オクターブ（85 鍵）に広がり、その荷重を支えるためにケースも重くなりました。スミソニアンは、全面鉄フレームを持つスタインウェイの交差張りスクエアピアノを1855年としていて、鉄フレームと交差張りは、その後のすべてのモデルの標準になったと述べています。コーネル大学の所蔵品を見ると、付属品の多さが分かります。1824年のコンラート・グラーフのピアノの複製は3本のペダルを持ち、1835年のヨーゼフ・ジモンのピアノは、もとは5本で、低音弦に羊皮紙を押し当てるファゴットストップと、ドラムとベルのヤニチャーストップを備えていました。現在の3本のペダルは、HyperPhysics の挙げるとおり、弱音ペダル（ウナ・コルダ）、ソステヌート、ダンパーペダルです。モデルにも3本がそろいました。下のペダルの節を見てください。

アップライトは、また別の問題です。スミソニアンによると、ウィーンのマティアス・ミュラーと、フィラデルフィアで働いていたイギリス人ジョン・アイザック・ホーキンスは、1800年にそれぞれピアノを縦に立て、弦をケースの底まで下ろしました。縦型のピアノには、別のアクションが必要だと文章は指摘します。ハンマーが落ちるのを重力が助けなくなるため、打ったあとすぐにハンマーを戻すために、何らかのばねの仕掛けを考えなければなりません。グランドピアノでは、重力がその役を果たすので、この問題はありません。スミソニアンは1801年のホーキンスのアップライトを所蔵しています。目録が書かれた1973年には、ほかに知られていたのは、ロンドンのブロードウッド社のものだけでした。

3本のペダル

現代のグランドピアノには3本のペダルがあり、モデルにも、アクションの左にあるリラ（ペダル台）に3本そろっています。ここではヤマハの説明に従っています。右のペダルはダンパーペダル（サステインペダルとも）です。すべての弦からすべてのダンパーを持ち上げるので、鍵を離しても音が鳴り続け、打っていない弦も、打った弦に共鳴して鳴り始めます。モデルでは、弦の上のダンパーが上がったままになり、合成した音は、ペダルを離すまで鳴り続けます。

中央のペダルはソステヌートで、選んだダンパーだけを保持するダンパーペダルです。踏んだ瞬間に鍵が押さえられていて、すでに上がっているダンパーだけを保持します。あとから弾いた音は、鍵を離すといつもどおり止まります。コツは、低い音を押さえてソステヌートを踏み、鍵を離してから、その上でスタッカートの和音を弾くことです。低音は鳴り続け、和音は短いままです。スタインウェイのものは1874年のもので、スミソニアンの目録は、これを1903年のホワイトハウスのピアノの特徴に挙げています。1874年10月27日の米国特許 156,388 号は、リラの中にあってダンパーペダルとは別に働き、ダンパーのレバーに作用するペダルを説明しています。モデルでは、パネルがソステヌートの保持している音を示します。

左のペダルはウナ・コルダです。グランドピアノでは、鍵盤とアクション全体を少し右へずらし、3本の弦を打っていたハンマーが2本を、2本を打っていたハンマーが1本を打つようにします。ハンマーは、弾き込みで固く締まっていないフェルトの部分で弦に当たるので、音量だけでなく音色も変わります。モデルでは、鍵盤台、鍵、ウイッペン、レットオフのレール、ハンマーが 5.5 mm 横へ動き、3本の弦とダンパーは動かず、弾くと最初の弦が振動しなくなります。合成した音は約 28 パーセント小さくなり、上の部分音も弱くなります。この量は、測定ではなく、このページで選んだ値です。

古いピアノには、もっと多くのペダルがありました。スミソニアンの1825年ごろのアンドレ・シュタインのグランドピアノには4本あり、ダンパー、ファゴット（低音弦に下ろして震わせる紙のロール）、バフ（ハンマーと弦の間に動かす柔らかい革片）、ウナ・コルダです。同じ製作者の1810年ごろのキリン型ピアノには6本あり、バスドラムとベルも含みます。今日のファツィオリは、コンサートグランド F308 に4本目のペダルを付けています。ハンマーを弦に近づけ、音色を変えずに音をやわらかくするものです。

ダブルエスケープメント：鍵が戻りきる前に打ち直す

モデルのレペティションレバーは、エラールが1821年に加えた部品です。ハンマーが弦を打って落ちたあと、レバーはハンマーを少し持ち上げておきます。鍵が上がり始めると、鍵が完全に戻るよりずっと前に、ジャックがナックルの下へすべり込めるので、ピアニストは、途中までしか上がっていない鍵から同じ音をもう一度打てます。クリストフォリのものや、スミソニアンのモデルにあるイギリス式のグランドアクションのような単純なエスケープメントのアクションは、ジャックが戻る前に、鍵をほとんど元の位置まで上げなければなりません。

鍵盤で試せます。速さを遅い値にして、鍵を押して離し、スローモーションでまだ鍵が上がっている最中に、同じ鍵をもう一度押します。そのとき鍵が約 1 から 5.5 mm の沈み（10 mm の沈みの 10 から 55 パーセント）にあれば、モデルはそれを連打として数えます。鍵はそのときの位置からもう一度下がり、ハンマーはレペティションレバーが保っていた高さから始まり、表示には2回目の打鍵のときの鍵の深さが出ます。鍵がまだほとんど底にあるうちに押すと、このモデルでは簡略化のためジャックがまだ戻っていないので、新しい打鍵として扱います。本物のしきい値は、ピアノごとの整調によって決まります。これはモデルの値です。

弦の設計：長さ、張力、太さ

パネルの弦の実験台は、固定された2点の間に張った、ふつうの鋼線です。音の高さは、HyperPhysics の定常波のページにある式に従います。f = (1/2L)√(T/μ) で、L は振動する長さ、T は張力、μ は1メートルあたりの線の質量です。丸い鋼線では μ = ρ × π d²/4 です。このページでは、密度 ρ = 7,860 kg/m³ とヤング率 E = 200 GPa を、HyperPhysics の工業材料の表から取っています。その表にあるのは構造用鋼で、ピアノ線はもっと強い鋼ですが、密度と硬さは近いので、この値でも正しい大きさが分かります。

太さ 1 mm、長さ 40 cm の線を考えます。1メートルの重さは 7,860 × π × 0.001²/4 = 0.00617 kg、つまり 6.17 g です。A4 = 440 Hz を鳴らすには、T = μ(2Lf)² = 0.00617 × (2 × 0.4 × 440)² = 765 N、約 78 kg の重さが必要です。これが実験台の A4 の初期値です。長さを半分にすると音の高さは2倍になります。同じオクターブを張力だけで得るには、4倍の引っ張りが必要です。本物のピアノは、長さを半分にする規則を最後までたどれません。低音の弦が何メートルにもなってしまうからです。HyperPhysics は、1オクターブあたりの長さの比は2ではなく約 1.88 から 1.94 であること、低音の弦は硬さをあまり増やさずに質量を足すために銅が巻かれていることを述べています。スタインウェイは、モデル D の最も長い有効弦長を、アグラフからブリッジまで 201 cm としています。実験台の最長の弦の初期値は、その長さをふつうの線で試し、スケールを示すだけのものです。この長さのふつうの線では、最低音には届きません。

硬さは、話のもう半分です。ハーヴェイ・フレッチャーの1964年の論文（Journal of the Acoustical Society of America）は、硬い弦の非調和性係数を B = π³ E d⁴ / (64 T L²) としています。太く、短く、ゆるい線は B が大きく、細く、長く、きつい線は B が小さくなります。実験台の棒グラフは、f_n = n × f × √(1 + B n²) から、各部分音 n が n × f よりセントでどれだけ高いかを示します。A4 の初期値では B は約 7.9 × 10⁻⁴ で、第2部分音は 2.7 セント、第8部分音は 42 セント高くなります。長さ 5 cm の最高音 C8 の初期値を試すと、棒はずっと高くなります。短い高音の弦は、長さのわりにとても硬いのです。実際のピアノの高音が広げて調律されるのは、このためです。次の節と、上の文章で説明しています。

平均律と純正律を、うなりで聴く

2つの音を同時に鳴らすと、一方の部分音が、もう一方の部分音にとても近づくことがよくあります。2つの部分音がぴったり同じでなければ、音は、そのヘルツの差と同じ回数だけ、毎秒大きくなったり小さくなったりします。HyperPhysics は、これをうなりの周波数と呼んでいます。うなりのパネルは、C4 から5つの音程を選び、ほぼ重なる部分音の組を示します。長三度 C4–E4 では、C4 の第5部分音（1,308.13 Hz）と E4 の第4部分音（1,318.51 Hz）が組になり、平均律では毎秒 10.38 回うなります。完全五度 C4–G4 では、C4 の第3部分音と G4 の第2部分音が組になり、毎秒 0.89 回です。

純正律は、HyperPhysics の純正調のページにある、小さな整数の比を使います。長三度は 5:4、5度は 3:2、4度は 4:3、短三度は 6:5、長六度は 5:3 です。純正の長三度は 1200 × log₂(5/4) = 386.31 セントで、平均律の 400 より 13.69 セント狭くなります。「自分の調律」を選んで上の音をドラッグすると、うなりの速さは直線に沿って下がり、−13.69 セントで 0 になります。グラフはその点を破線で示します。5度と4度は純正から 1.96 セントしか離れていないので、ほとんど静かに聞こえます。3度と6度は 13.69 から 15.64 セント離れていて、速くうなります。「聴く」ボタンは、それぞれ6つの純粋な部分音を持つ2つの音を 3 秒間鳴らすので、打弦したピアノの音よりうなりが聞き取りやすくなります。

パネルのストレッチの部分は、オクターブについて同じことをします。A4 の非調和性 B があると、第2部分音は 2 × 440 × √(1 + 4B) の位置にあります。B = 0.0004 なら 880.70 Hz で、880 より 1.38 セント高く、2:1 の A5 はこれとの間で毎秒 0.70 回うなります。2つのボタンは、2:1 のオクターブと、広げたオクターブを鳴らします。広げたほうでは、A5 が部分音に合わせてあり、うなりは消えています。

六分の一の楽器全体

アクションの後ろには、実物の六分の一の大きさのコンサートグランドが立っています。輪郭は、スタインウェイがモデル D について示している寸法に従っていて、長さ 274 cm、幅 156 cm です。同じページには、483 kg、弦の張力の合計 20,418 kg、最長の弦 201 cm とあります。ケースの曲線、脚、弦の配置は、その輪郭から目測で描いています。中には、トウヒの響板、丸い穴の開いた金色の鋳鉄のプレート、まっすぐな高音の弦、その上で交差する低音弦の第2段があります。ヘンリー・スタインウェイの1859年の米国特許 26,532 号が、ブリッジを響板の中央に近づける、弦の2段として説明している交差張りです。鍵盤のうち1つの鍵は赤く、中央のドです。手前の実物大のモデルが見せているのが、この鍵です。屋根は、本物のグランドピアノと同じように、長い直線の側で蝶番で留められ、曲線の側で支え棒で開けてあります。

カタログと、その数字の出どころ

パネルのカタログには、1700年のメディチ家の目録から、97 鍵のベーゼンドルファー・インペリアルまで、38 のピアノと「最初のもの」が載っています。歴史の大部分は、ヘレン・ホリスの1973年のスミソニアン目録によるものです。国立のコレクションの楽器を説明し、その周りの出来事の年代を示しています。1736年にジルバーマンがバッハにピアノを見せ、1747年にバッハがポツダムで弾いたこと、1767年のロンドンの演奏会でのツンペのスクエアピアノ、1777年にモーツァルトがほめたシュタインのピアノ、1800年のミュラーとホーキンスによる最初のアップライト、1821年のエラールのレペティション・アクション、1825年のバブコックの鉄フレーム、1840年と1843年のチッカリングのフレーム、1870年代に達した88鍵、1903年のスタインウェイの10万台目のピアノです。1857年、1859年、1874年のスタインウェイの特許は、Google Patents で読んだものです。現代の楽器は、製作者自身のページから引用しています。モデル D はスタインウェイ、290 インペリアル（290 cm、552 kg、97 鍵）はベーゼンドルファー、F308 の第4ペダルはファツィオリです。ヤマハの案内は、ピアノの弦は最大 230 本になることがあるとしています。

出典は、年代について必ずしも一致しません。フーヴァーのスミソニアンの論考は、パプのフェルトのハンマー被覆を1826年としていますが、ホリスは、彼が処理したフェルトの先細りの層を作ったのは1839年と書いています。カタログは、ホリスを出典として1839年を採っています。現行のモデルのように1つの年がない項目では、年は空欄にしてあります。

よくある誤解

• 「音が鳴っている間、ハンマーは弦に触れている」。 触れるのは一瞬で、すぐにはね返ります。触れ続ければフェルトが弦を止めてしまいます。エスケープメントが防いでいるのは、まさにそれです。そのあと弦は、ダンパーが下りるか、音が消えるまで、ひとりで鳴り続けます。
• 「強く弾いても、音量が変わるだけ」。 ピアノでは、大きな音は明るい音でもあります。ペンシルベニア州立大学のダニエル・ラッセルは、ハンマーのフェルトは硬くなるばねとして働くと説明しています。強い衝撃ではフェルトが硬くふるまうので、大きな音は小さな音より高い周波数を多く含みます。彼のページには、ハンマーにフェルトが標準になった時期が約1830年だとも書かれていて、硬いハンマーは明るい、あるいは荒い音を出し、やわらかいハンマーは鈍い音を出すとあります。モデルは打鍵を一種類に固定しているので、これは見せられません。
• 「A が 440 Hz なのは自然の決まり」。 取り決めで、ISO 16 が定めています。一部のオーケストラが使う 442 Hz の調律は、1200 × log₂(442 / 440) = 7.85 セント高くなります。小さな違いですが、442 Hz の楽器と 440 Hz の楽器が A4 を一緒に鳴らすと、毎秒 2 回うなります。
• 「調律されたピアノは平均律の式に合う」。 合うのは中ほどだけです。調律は、基準の鍵から離れるにつれて広げられ、両端では最大で約 30 セントになります。このページの数字は式の値で、実際に調律したグランドピアノの値ではありません。
• 「3本の弦は、より高い、あるいは豊かな音のため」。 3本の弦は同じ高さに調律されています。メトロポリタン美術館の解説は、その目的を音量だとしています。1音あたり2本から3本になったことは、ピアノが大きな音になった主な方法のひとつでした。

画面で試す

1. 式を確かめる。 鍵盤をクリックして A4 を弾きます。モデルの隅の枠の周波数の行に 440.00 Hz と出て、モデルの下の鍵名の下の行に 440 × 2^(0/12) と出ます。A3 と A5 を弾くと、220 Hz と 880 Hz で、毎回比は 2 です。
2. 半音の比を見る。 C4 を弾き、次に C♯4（隣の黒鍵）を弾きます。周波数は 261.63 Hz と 277.18 Hz です。後者を前者で割ると 1.0595 で、ほかのどの隣り合う鍵の組でも同じ数になります。
3. 打鍵をゆっくりにする。 速さをいちばん低い位置（1/50×）までドラッグして音を弾き、段階の行を読みます。鍵が下がっている、レットオフ：ハンマーが自由に飛んでいる、ハンマーが弦を打つ、ハンマーをバックチェックが受け止める、鍵が戻ってくる、の順です。最初の段階で、「ハンマーと弦の間」の行は、レットオフで約 3 mm まで縮むはずです。
4. ジャックを探す。 「部品」タブを開いてジャックを選び、「内部を見る」をオンにします。レットオフのとき、ジャックの先端がレットオフボタンに当たり、ジャックがハンマーの下から外れます。
5. 部品を数える。 「分解」を最後までドラッグして、部品を数えます。リストには十三の部品があり、アクションの十一と、ペダル、六分の一のグランドです。「部品名」でそれぞれに名前が出ます。
6. 2つの音程を比べる。 C4 と G4 を同時に押さえ、次に C4 と E4 を押さえます。和音の行は、最初の組で C5、2番目の組で長三度と出ます。最初のほうのゆっくりしたうなりと、2番目のほうの速いうなりを聴いてください。上の計算では、毎秒およそ 0.9 回と 10 回です。この合成音には高めにずれた部分音が含まれているので、耳に聞こえる速さは少し違うかもしれません。
7. 音階を使う。 音階メニューで、ハ長調の5音音階を選びます。十二の鍵のうち五つに点が付き、最初の点の付いた鍵が主音です。
8. オクターブの計算。 C3 を弾き、次に C4、C5、C6 を、X キー（Z は下へ）で上げながら弾きます。周波数は 130.81、261.63、523.25、1,046.50 Hz で、どれも前の2倍です。
9. ペダルを使う。 鍵盤の横にあるダンパーペダルを押し、いくつか音を弾いて鍵を離すと、音は鳴り続けます。もう一度押すと止まります。次に C3 を押さえ、ソステヌートを押してから C3 の鍵を離し、もっと高い音を短く弾きます。鳴り続けるのは C3 だけです。
10. ウナ・コルダを見る。 ウナ・コルダを押して、弦の表示を開きます。音を弾くと、アクションが横にずれ、3本の弦のうち最初の1本が静止したままになります。
11. 3度を耳で調律する。 パネルで「うなり」を開き、長三度と「自分の調律」を選びます。「聴く」を押しながら、上の音を −13.7 セントのほうへドラッグします。うなりが遅くなり、止まります。