Comment fonctionne un piano : mécanique et tempérament égal

Que se passe-t-il quand on appuie sur une touche de piano ?

Comment fonctionne un piano ? Quand vous enfoncez une touche de piano à queue d’environ un centimètre, un marteau de feutre gros comme un pouce est lancé vers une corde d’acier, la frappe et retombe, le tout en quelques centièmes de seconde. Vous ne le voyez jamais, car cela se passe dans la caisse et beaucoup trop vite.

Le modèle ci-dessus montre le mécanisme d’une seule touche, vu de côté, avec une vitesse que l’on peut réduire jusqu’à 1/50. Jouez au clavier sous le modèle : il rejoue la frappe au ralenti pendant que vous entendez la note à vitesse normale. L’encadré dans le coin du modèle indique de combien la touche est descendue, quelle distance sépare encore le marteau de la corde, et la fréquence de la note jouée, calculée à partir de A4 = 440 Hz.

Pourquoi le marteau doit quitter la corde

La façon la plus évidente de construire un piano serait de fixer un marteau à l’arrière de chaque touche. On appuie sur la touche, le marteau frappe la corde. Les ennuis commencent un instant plus tard. Tant que votre doigt reste sur la touche, le marteau resterait appuyé contre la corde, et un coussinet de feutre posé sur un fil qui vibre l’arrête en quelques périodes. Vous entendriez un choc sourd plutôt qu’une note.

Le marteau doit donc être lancé, et non poussé. Pendant la plus grande partie de la course de la touche, une petite pièce de bois appelée poussoir pousse le marteau vers le haut. Quelques millimètres avant que le marteau n’atteigne la corde, le poussoir se dérobe en basculant et le marteau parcourt le reste du chemin grâce à son élan. Il frappe la corde, rebondit et retombe. Cette astuce s’appelle l’échappement, et tous les pianos depuis les premiers instruments de Bartolomeo Cristofori, vers 1700, en possèdent une version ou une autre.

L’échappement crée un deuxième problème. Une fois que le poussoir s’est dérobé, il doit revenir sous le marteau avant que la même note puisse être rejouée. Dans une mécanique simple, cela n’arrive que lorsque la touche est entièrement remontée. Les notes répétées rapidement, comme un trille, seraient lentes et irrégulières. Le piano à queue résout ce problème avec un second levier, le levier de répétition, qui maintient le marteau juste assez haut pour que le poussoir puisse se glisser dessous alors que la touche n’est encore remontée qu’en partie. Comme le marteau peut ainsi être libéré deux fois, on appelle souvent ce mécanisme la mécanique à double échappement.

Le rôle de chaque pièce

Suivons la poussée depuis votre doigt jusqu’à la corde.

1. Touche. Un levier de bois qui bascule sur une pointe d’équilibre en acier. Dans le modèle, la pointe se trouve à 240 mm du bord avant, de sorte que l’avant descend pendant que l’arrière monte.
2. Pilote. Un bouton de laiton vissé à l’arrière de la touche. Il soulève la bascule.
3. Bascule. Un levier articulé sur sa propre semelle. Elle porte le poussoir et le levier de répétition et transforme la montée de la touche en poussée vers le haut.
4. Poussoir. En forme de L. Son bras vertical pousse la noix sous le manche du marteau ; son petit bout est tourné vers le bouton d’échappement.
5. Bouton d’échappement. Un bouton de feutre sur une vis. Quand le bout du poussoir l’atteint, le poussoir bascule et lâche le marteau.
6. Marteau. Un manche fin avec une tête de feutre de laine fortement comprimé sur une âme de bois. La noix est proche du pivot du manche, ce qui explique qu’une petite poussée fasse parcourir un long chemin à la tête.
7. Levier de répétition. Maintenu par un ressort, il retient la noix après l’échappement et garde le marteau levé pendant que le poussoir se remet en place.
8. Attrape-marteau. Un coussinet de feutre sur une tige, à l’arrière de la touche. Il retient le marteau à la descente pour qu’il ne puisse pas rebondir contre la corde.
9. Étouffoir. Un bloc de feutre posé sur la corde. L’extrémité arrière de la touche le soulève par un levier inférieur, si bien que la corde peut sonner tant que vous tenez la touche.
10. Corde. Du fil d’acier à haute teneur en carbone. La plupart des notes ont trois cordes accordées à la même hauteur, tandis que la basse passe à deux puis à une ; le modèle montre trois fils pour une note. Ensemble, les cordes tirent sur le cadre de fer avec des dizaines de tonnes de force : dès 1875, Steinway affirmait avoir une plaque capable de supporter 70 000 livres, soit environ 32 tonnes.
11. Fond de clavier et châssis de mécanique. La planche, les rails et les supports métalliques qui maintiennent le tout bien aligné.

Cliquez sur n’importe quelle pièce dans l’onglet Pièces et la caméra se déplace vers elle. Voir à l’intérieur rend le fond de clavier et le cadre transparents pour que vous puissiez observer le poussoir et le bouton d’échappement.

Une frappe, milliseconde par milliseconde

Le modèle suit une note ferme. La touche met 50 ms à descendre, avec un départ et une arrivée adoucis. Voici ce qui se passe en chemin, avec le minutage propre au modèle.

• 0 ms : la touche commence à descendre. Le pilote soulève la bascule, le poussoir soulève la noix et le marteau commence à monter. En même temps, l’extrémité arrière de la touche rattrape un petit jeu et commence à soulever l’étouffoir de la corde.
• 41 ms : la touche a parcouru 92 % de sa course. Le bout du poussoir rencontre le bouton d’échappement et le poussoir se dérobe. La tête du marteau est à environ 3 mm de la corde et avance à peu près à 0,66 m/s.
• 46 ms : après environ 4,6 ms de vol libre, le feutre rencontre la corde. À partir de là, la touche n’a plus aucune influence sur ce que fait le marteau.
• Après la frappe : le marteau rebondit et tombe sur l’attrape-marteau, qui le retient un peu en dessous de la corde tant que la touche reste enfoncée. Le levier de répétition le soulève légèrement et le poussoir se glisse de nouveau sous la noix.
• Relâchement : la touche remonte, l’attrape-marteau le lâche, le marteau retourne au repos et l’étouffoir retombe sur la corde.

À la vitesse la plus lente (1/50), les 46 ms entre le doigt et la corde durent 46 × 50 = 2300 ms, soit 2,3 secondes à l’écran, et le vol libre à lui seul dure environ un quart de seconde. C’est assez long pour voir que le poussoir s’est déjà écarté quand le feutre arrive.

Les rapports de levier, calculés

Chaque levier de la mécanique échange de la force contre de la distance. Voici les chiffres du modèle, qui utilise une course de touche de 10 mm et une pointe d’équilibre à 240 mm de l’avant de la touche.

• Angle de la touche en fin de course : atan(10 / 240) = 2,39°.
• Le pilote se trouve à 155 mm derrière la pointe, il monte donc de 155 × sin 2,39° = 6,5 mm.
• Le pivot de la bascule est à 145 mm devant le pilote, la bascule tourne donc de 6,5 / 145 rad = 2,55°.
• Le poussoir est à 105 mm du pivot de la bascule, il monte donc de 105 × sin 2,55° = 4,7 mm.
• La noix est à 18 mm du pivot du manche du marteau, le marteau pivote donc de 4,7 / 18 rad = 14,9°.
• L’extrémité du feutre est à environ 148 mm de ce pivot, elle parcourt donc 148 × 0,259 = 38 mm.

De 10 mm à la touche à 38 mm à la tête du marteau, le rapport est d’environ 3,8. Le point d’échappement à 92 % de la course laisse 38 × 0,08 = 3,1 mm de vol libre. Sur un vrai piano à queue, ces distances sont réglées par un technicien lors de la régulation, en tournant des vis comme celles du bouton d’échappement et du pilote, et les chiffres exacts varient d’un facteur à l’autre. Un rapport plus élevé donne un marteau plus léger et plus rapide pour le même mouvement du doigt, et un toucher plus lourd sous le doigt, c’est pourquoi les facteurs ajoutent des masses de plomb à l’avant des touches. Le modèle en a deux, les disques gris près de l’avant de la touche.

Douze pas égaux : d’où viennent les fréquences

Un piano est accordé en tempérament égal à douze notes. L’octave, un doublement de fréquence, est divisée en douze demi-tons, et chaque demi-ton multiplie la fréquence par le même nombre. Douze multiplications égales doivent donner 2 ; ce nombre est donc la racine douzième de 2 :

r = 2^(1/12) = 1,059463

La référence est A4, le A au-dessus du do du milieu, que la norme ISO 16 fixe à 440 Hz. Numérotez les touches comme le fait le MIDI (A4 est 69, le do du milieu est 60) et toute note m a pour fréquence

f = 440 × 2^((m − 69) / 12)

Quelques valeurs à comparer avec le panneau quand vous jouez :

C6 est trois octaves au-dessus de C3 ; sa fréquence est donc 2³ = 8 fois plus élevée : 130,81 × 8 = 1046,50 Hz. Une période du do du milieu dure 1 / 261,63 s = 3,82 ms, si bien qu’une courte note tenue une demi-seconde a fait aller et venir la corde environ 0,5 × 261,63 = 131 fois.

Pourquoi le tempérament égal est un peu faux

Les rapports simples de fréquences sonnent bien ensemble. Une quinte juste est 3 : 2 et une tierce majeure est 5 : 4. Le tempérament égal ne peut pas les atteindre exactement, car aucune puissance de 2^(1/12) n’est un rapport de petits nombres entiers.

• La quinte du tempérament égal vaut 2^(7/12) = 1,498307 au lieu de 1,5. C’est 1,96 cent trop bas (un cent est 1/100 de demi-ton), ce qui s’entend difficilement.
• La tierce majeure du tempérament égal vaut 2^(4/12) = 1,259921 au lieu de 1,25. C’est 13,7 cents trop haut, ce qu’une oreille exercée entend.

Vous pouvez entendre la différence sous forme de battements. Jouez C4 et G4 ensemble : le troisième harmonique de C4 est 3 × 261,63 = 784,88 Hz et le deuxième harmonique de G4 est 2 × 392,00 = 783,99 Hz, ils battent donc environ 0,9 fois par seconde. Jouez C4 et E4 : le cinquième harmonique de C4 (1308,13 Hz) contre le quatrième de E4 (1318,51 Hz) bat environ 10 fois par seconde. Les accordeurs comptent ces battements pour régler le tempérament. Le prix à payer est que toutes les tonalités sonnent de façon également acceptable, si bien que la musique peut passer dans n’importe quelle tonalité sans réaccorder.

Le menu des gammes sous le clavier marque d’un point les notes d’une gamme, et l’affichage des accords nomme ce que vous tenez enfoncé. Tenez C, E et G : il affiche C. Tenez A, C et E : il affiche Am.

Une corde en chiffres : la loi de Mersenne

La corde est la partie du piano la plus facile à mettre en chiffres. Une corde tendue vibre à une fréquence fondamentale

f = (1 / 2L) × √(T / μ)

où L est la longueur vibrante en mètres, T la tension en newtons et μ la masse d’un mètre de fil. La racine carrée est la vitesse d’une onde le long de la corde, et l’onde doit aller jusqu’à l’autre bout et revenir, soit une distance de 2L, à chaque période. HyperPhysics, à l’université d’État de Géorgie, présente cela avec un calculateur dont la valeur par défaut est une corde de 100 cm sous 50 lb (222 N) avec 0,2872 g par mètre. La vitesse de l’onde donne 880 m/s et la note 440 Hz.

Voici le même calcul pour une corde de A4. Les valeurs sont mes hypothèses, choisies pour être typiques, et ne sont pas des mesures sur un piano précis : du fil d’acier nu de 1,0 mm de diamètre (masse volumique 7850 kg/m³) et une longueur vibrante de 0,33 m. À titre de comparaison, les cordes de piano les plus fines mesurent environ 0,85 mm de diamètre, d’après l’étude de Jaatinen et Pätynen citée dans les sources.

• Masse par mètre : μ = 7850 × π × (0,0005)² = 6,17 × 10⁻³ kg/m.
• Vitesse de l’onde : v = 2Lf = 2 × 0,33 × 440 = 290 m/s.
• Tension : T = μv² = 0,00617 × 290² = 520 N, le poids d’environ 53 kg suspendus au fil.
• A4 a trois cordes, cette seule touche tire donc sur le cadre avec environ 1,56 kN.

Pour comparer, la plaque Steinway de 1875 était construite pour supporter jusqu’à 70 000 livres, soit 311 kN. Un piano à queue a 226 cordes si l’on compte comme HyperPhysics (10 cordes graves simples, 18 notes à deux cordes, 60 notes à trois : 10 + 36 + 180), la plaque pouvait donc en admettre 1,4 kN chacune. Une autre étude en compte 220 en moyenne, et le nombre varie d’un facteur à l’autre. Dans les deux cas, 520 N est bien en deçà de la limite.

La racine carrée explique pourquoi l’accord est si délicat. Un cent change la fréquence d’un facteur 2^(1/1200), la tension doit donc changer de 2^(1/600) − 1 = 0,116 %. Pour cette corde, cela fait 0,60 N sur 520 N. Une cheville qui bouge de cette quantité a déplacé la note d’un cent.

Cela explique aussi pourquoi les cordes ne sont pas simplement divisées par deux à chaque octave. Avec le même fil et la même longueur, doubler la fréquence demande quatre fois la tension : 2080 N pour A5 dans cet exemple. Diviser la longueur par deux fait l’affaire à tension égale, mais les facteurs réels s’en tiennent à moins. HyperPhysics donne un rapport de longueur entre 1,88 et 1,94 pour 1 par octave. Sur sept octaves, diviser par deux à chaque fois réduirait la corde de 2⁷ = 128, et 1,9 par octave la réduit de 1,9⁷ = 89. Les cordes de l’aigu sont donc 128 / 89 = 1,43 fois plus longues que si on divisait par deux, l’onde y doit donc aller 1,43 fois plus vite, ce qui veut dire que T / μ doit être 1,43² = 2,05 fois plus grand. Les facteurs gardent la tension dans une plage voisine et laissent plutôt la masse par mètre diminuer, c’est pourquoi le fil de l’aigu est fin. HyperPhysics le dit en une phrase : la masse de la corde est variée pour que les fréquences aient leurs valeurs correctes.

La basse pose le problème inverse. Prenons A0 à 27,5 Hz, avec une longueur supposée de 1,2 m et une tension de 700 N. Alors μ = 700 / (2 × 1,2 × 27,5)² = 0,161 kg/m et la vitesse de l’onde n’est que de 66 m/s. Une simple tige d’acier de cette masse par mètre aurait 5,1 mm d’épaisseur et serait beaucoup trop raide. Le facteur enroule donc du cuivre ou du laiton autour d’une âme d’acier plus fine, ce qui ajoute de la masse sans ajouter beaucoup de raideur. Les cordes graves terminées atteignent environ 8,5 mm de diamètre. Une période de A0 dure 36 ms, alors qu’une période de A4 dure 2,3 ms.

Pourquoi l’aigu est accordé plus haut : partiels inharmoniques et accord élargi

La section sonore ci-dessous utilise la formule f_n = n × f × √(1 + B n²) pour les partiels. Une corde idéale, parfaitement souple, aurait des partiels exactement à 1, 2, 3 et ainsi de suite fois le fondamental. Un fil d’acier résiste aussi à la flexion, et l’effet grandit quand la longueur d’onde diminue : chaque partiel plus aigu est donc un peu trop haut. B est le coefficient d’inharmonicité. Il dépend du diamètre, de la longueur, de la tension et de la raideur du fil. Robert Young l’a mesuré sur six pianos en 1952 et a trouvé que la théorie des cordes raides s’accorde aux données. Rudolf Rasch et Vincent Heetvelt ont mesuré chaque corde d’un piano à queue de taille moyenne en 1985 et ont eux aussi trouvé les mesures en excellent accord avec la formule. Ils ajoutent que les cordes plus aiguës ont d’ordinaire une inharmonicité plus forte, ce qui annule une partie de son effet sur les fréquences de battement.

Avec le B = 0,00016 du modèle au do du milieu (261,63 Hz), les partiels donnent ceci.

Young indique environ 1,2 cent pour le deuxième mode de la corde du do du milieu, à peu près identique sur les six pianos. Cela correspond à B ≈ 0,00035, le double de la valeur du modèle. Le modèle est donc plus doux que les instruments réels, et le 8e partiel du tableau ne s’entend pas du tout, car le point de frappe l’annule.

C’est la raison de l’accord élargi. Supposons que la corde de A4 ait B = 0,0004 (mon hypothèse). Son deuxième partiel est à 2 × 440 × √(1 + 4 × 0,0004) = 880,70 Hz, soit 1,4 cent au-dessus de 880. Si l’accordeur règle A5 exactement à 880,00 Hz, le partiel et le fondamental de A5 battent 0,7 fois par seconde. L’accordeur supprime le battement en haussant A5 d’environ 0,7 Hz. En répétant cela le long du clavier, chaque octave devient un peu plus large que 2 : 1. HyperPhysics donne le résultat : jusqu’à 30 cents trop haut dans l’aigu et jusqu’à 30 cents trop bas dans le grave. Pour C8, cela fait 4186,01 × 2^(30/1200) = 4259 Hz au lieu de 4186 Hz, et A0 finit près de 27,03 Hz au lieu de 27,50 Hz.

Une étude de 2022 de Jussi Jaatinen et Jukka Pätynen, à Aalto et à Helsinki (Journal of the Acoustical Society of America), a trouvé que dans les pianos droits et à queue bien accordés l’accord est élargi sans exception, et que l’écart grandit avec la distance à la touche de référence, en général A4 ou C4. Leurs accordeurs et leurs musiciens d’orchestre ont choisi une courbe comme celle que Railsback avait mesurée dans les années 1930. Ils concluent que l’inharmonicité des cordes est la cause principale, une préférence générale pour les octaves larges jouant aussi un rôle.

Les accordeurs travaillent aux battements. Au milieu du clavier, ils règlent d’abord une octave de tempérament, en général de F3 à A3. Le F3 du tempérament égal vaut 174,61 Hz, son cinquième harmonique est donc 873,07 Hz, et le quatrième harmonique de A3 est 4 × 220 = 880 Hz. Les deux battent à 6,93 Hz (l’article donne 6,95). Comme l’inharmonicité de chaque piano est différente, l’article note qu’il faut des tableaux propres à chaque instrument.

Les touches de cette page ne sont pas élargies. La fréquence affichée est la simple formule du tempérament égal. Les notes synthétisées ont des partiels aigus trop hauts, mais aucune note n’est écartée de sa valeur de formule comme le ferait un accordeur.

Comment le son est produit sur cette page

Aucun enregistrement n’est utilisé. Chaque note est construite dans votre navigateur avec l’API Web Audio, et rien ne sonne tant que vous n’appuyez pas vous-même sur une touche.

• Partiels. Jusqu’à douze ondes sinusoïdales à des multiples entiers de la fréquence de la note. Une vraie corde est raide, ses partiels aigus sont donc un peu trop hauts : f_n = n × f × √(1 + B n²). Le modèle utilise B = 0,00016 au do du milieu, ce qui place le 10e partiel à 13,7 cents au-dessus de 10 × f.
• Point de frappe. Un marteau qui frappe la corde à 1/8 de sa longueur ne peut pas exciter les partiels qui ont un nœud à cet endroit. L’amplitude du partiel n est multipliée par |sin(nπ/8)|, si bien que le 8e partiel manque et que les 7e et 9e sont faibles.
• Extinction. Chaque partiel baisse vite au début, puis résonne plus lentement, et les partiels aigus s’éteignent plus vite. La constante de temps lente est de 3,4 s au do du milieu, de 5,0 s à C3 et de 1,6 s à C6, si bien que les notes graves résonnent plus longtemps, comme sur un vrai piano.
• Étouffoir. Quand vous relâchez une touche, le volume décroît avec une constante de temps de 70 ms, la note est donc 60 dB plus faible après 0,07 × ln 1000 = 0,48 s.
• Choc du marteau. 20 ms de bruit filtré pour le feutre qui frappe le fil.

Ce que le modèle laisse de côté

Une vraie mécanique a plus de pièces que le modèle n’en montre. La semelle du marteau, la vis de chute qui règle la hauteur à laquelle le levier de répétition laisse reposer le marteau, les vis de réglage, les garnitures des touches et les rondelles de feutre sont omises ou fondues dans des formes plus grandes. La corde est raccourcie et droite, alors qu’une vraie corde se prolonge au-delà d’un chevalet posé sur la table d’harmonie, ce qui transforme la vibration de la corde en son dans l’air. Le modèle utilise aussi une seule vitesse de frappe ; sur un vrai piano, la force de votre appui change la vitesse du marteau et le timbre, pas seulement le volume. Les appuis à la souris et au doigt sur le clavier d’ici utilisent la position sur la touche à la place : appuyer près de l’avant d’une touche joue plus fort.

D’où vient la mécanique du piano à queue

Cristofori, facteur d’instruments à clavier à la cour des Médicis à Florence, avait construit son premier piano dès 1700. Les trois de ses instruments qui ont survécu datent tous des années 1720, et celui de 1720 se trouve au Metropolitan Museum of Art de New York. Sa mécanique utilisait déjà des leviers pour multiplier le mouvement de la touche, laissait le marteau voler librement sur la dernière partie de sa course, et soulevait l’étouffoir avec l’extrémité de la touche.

Les marteaux de cette époque étaient recouverts de cuir. Jean-Henri Pape commença à utiliser des garnitures de feutre en 1826, selon l’histoire de Steinway du Smithsonian, tandis que le catalogue de pianos du même musée date son feutre en couches amincies de 1839. Le feutre permit des marteaux plus lourds et une plus large gamme du doux au fort. Les facteurs de Londres et de Vienne suivirent des voies séparées pour la mécanique elle-même, et la mécanique anglaise de la fin du XVIIIe siècle devint la base du piano à queue moderne. Le levier de répétition vint de France : la mécanique à double échappement de Sébastien Érard, en 1821. La mécanique à queue du modèle descend directement de ce dessin.

Quatre façons de faire sonner une corde

La mécanique à queue du modèle est une réponse à une question sur laquelle les facteurs de claviers travaillaient depuis des siècles : comment une touche doit-elle mettre une corde en mouvement ? Le catalogue de la collection du Smithsonian, écrit par Helen Hollis, décrit assez bien les réponses antérieures pour les comparer.

Le texte du Smithsonian dit du clavecin que, comme le pincement se fait à distance par commande à distance, l’instrumentiste n’a pratiquement aucun pouvoir de varier les nuances, et qu’une gradation du volume ne peut être obtenue. Il cite une description de l’étendue du clavicorde : « de presque rien au minimum à pas grand-chose au maximum ». Il ajoute que la tangente continue d’appuyer sur les cordes tant que la touche est tenue, ce qui rend le son si petit, et qu’en variant la pression l’instrumentiste peut produire un léger tremblement de hauteur que les Allemands appellent Bebung. C’est l’inverse du problème du piano : le clavicorde ne lâche jamais, et toute la mécanique du piano existe pour lâcher.

Les facteurs viennois ont pris l’idée du marteau dans une autre direction. L’essai du Metropolitan Museum par Jayson Kerr Dobney dit que Johann Andreas Stein a mis au point sa Prellmechanik peut-être dès 1769, simplifiant la mécanique de Cristofori en supprimant le levier intermédiaire, de sorte que le marteau est en contact direct avec la touche. Le marteau est monté dans un bloc appelé kapsel, qui a un bec à son extrémité. Quand on appuie sur la touche, le bec s’accroche à un échappement, qui lance le marteau vers la corde. L’essai y voit la première mécanique réussie qui différait nettement de celle de Cristofori. Le Cornell Center for Historical Keyboards cite la comparaison de Hummel : l’instrument viennois a une mécanique légère et très rapide et parle clairement et promptement dans tous les registres, tandis que l’instrument anglais a un toucher plus profond et un son plus plein. Mozart acheta un piano d’Anton Walter vers 1783, selon le Met, et Bösendorfer fut la dernière grande maison à abandonner la mécanique viennoise, passant à l’anglaise au début du XXe siècle.

Le levier de répétition d’Érard, introduit en 1821, a réuni les deux traditions. Le Smithsonian le décrit comme un perfectionnement qui permet au marteau, tant que la touche est enfoncée, de rester arrêté à son rebond en un point proche des cordes au lieu de retomber au repos. Cela rend la mécanique plus réactive, facilite la répétition rapide d’une note et donne une part du toucher de la mécanique viennoise sans perdre la puissance de l’anglaise. C’est la partie que vous pouvez suivre dans le modèle avec la pièce Levier de répétition sélectionnée.

D’autres éléments se sont développés à côté de la mécanique. L’essai du Met dit que les pianos sont devenus plus puissants surtout en passant de deux cordes à l’unisson par note au XVIIIe siècle à trois au début du XIXe, et que le croisement des cordes, qui permettait des cordes très épaisses sous une grande tension, a renforcé la basse. L’étendue est passée de cinq octaves (61 touches) à la fin du XVIIIe siècle à sept octaves (85 touches) vers le milieu du XIXe siècle, et les caisses sont devenues plus lourdes pour porter la charge. Le Smithsonian date de 1855 le piano carré Steinway à cordes croisées avec cadre de fer complet, et dit que le cadre de fer et le croisement des cordes sont devenus la norme de tous les modèles ultérieurs. La collection de Cornell montre combien il y avait d’extras : une copie d’un piano Conrad Graf de 1824 avec trois pédales, et un piano Joseph Simon de 1835 qui en avait à l’origine cinq, dont un jeu de basson avec du parchemin appuyé sur les cordes graves et un jeu janissaire avec tambour et cloche. Les trois pédales d’aujourd’hui sont la pédale douce (una corda), le sostenuto et la pédale forte, comme les énumère HyperPhysics. Le modèle a désormais les trois ; voyez la section sur les pédales plus bas.

Le piano droit est encore un autre problème. Le Smithsonian dit que Matthias Müller, de Vienne, et John Isaac Hawkins, un Anglais travaillant à Philadelphie, ont chacun dressé le piano à la verticale en 1800, avec les cordes descendant jusqu’au bas de la caisse. Le texte souligne qu’un piano vertical demande une mécanique différente. La chute du marteau n’est plus aidée par la gravité ; il faut donc concevoir une sorte de ressort pour ramener promptement le marteau après la frappe. Un piano à queue n’a pas ce problème, car la gravité fait le travail. Le Smithsonian possède un piano droit Hawkins de 1801. Quand son catalogue a été écrit en 1973, le seul autre connu se trouvait chez Broadwood, à Londres.

Les trois pédales

Un piano à queue moderne a trois pédales, et le modèle les a désormais lui aussi, dans une lyre à gauche de la mécanique. La description de Yamaha est celle que suit le modèle. La pédale de droite est la pédale forte (aussi appelée pédale de sustain). Elle soulève tous les étouffoirs de toutes les cordes, si bien que les notes continuent de sonner après le relâchement des touches, et que des cordes que vous n’avez jamais frappées se mettent à résonner par sympathie avec celles que vous avez frappées. Dans le modèle, l’étouffoir sur la corde monte et reste levé, et les notes synthétisées continuent de sonner jusqu’à ce que vous relâchiez la pédale.

La pédale du milieu est le sostenuto. C’est une pédale d’étouffoirs sélective. Quand vous appuyez dessus, elle ne maintient levés que les étouffoirs déjà soulevés parce que leurs touches étaient enfoncées à ce moment-là. Les notes que vous jouez ensuite sont étouffées comme d’habitude quand vous relâchez. L’astuce consiste à tenir une note grave, appuyer sur le sostenuto, relâcher la touche, puis jouer des accords staccato au-dessus : la basse continue de sonner et les accords restent courts. La version de Steinway date de 1874 ; le catalogue du Smithsonian la range parmi les caractéristiques du piano de la Maison-Blanche de 1903, et le brevet américain 156 388 du 27 octobre 1874 décrit une pédale dans la lyre qui fonctionne indépendamment de la pédale forte et agit sur les leviers d’étouffoirs. Dans le modèle, le panneau indique quelles notes le sostenuto maintient.

La pédale de gauche est l’una corda. Sur un piano à queue, elle fait glisser tout le clavier et la mécanique un peu vers la droite, de sorte qu’un marteau qui frappait trois cordes en frappe maintenant deux, et qu’un marteau qui en frappait deux n’en frappe plus qu’une. Le marteau rencontre aussi les cordes avec une partie de son feutre que le jeu n’a pas durcie, si bien que le timbre change en plus du volume. Dans le modèle, le fond de clavier, la touche, la bascule, la barre d’échappement et le marteau se déplacent de 5,5 mm sur le côté tandis que les trois cordes et l’étouffoir restent en place, et la première corde ne vibre plus quand vous jouez. La note synthétisée est rendue environ 28 pour cent plus douce, avec des partiels aigus plus faibles ; cette valeur est un choix de cette page, non une mesure.

Les pianos plus anciens avaient davantage de pédales. Le piano à queue d’André Stein du Smithsonian, d’environ 1825, en a quatre : forte, basson (un rouleau de papier abaissé sur les cordes graves pour les faire bourdonner), sourdine (des languettes de cuir souple glissées entre les marteaux et les cordes) et una corda. Un piano girafe du même facteur, d’environ 1810, en a six, dont un tambour de basse et des cloches. Aujourd’hui, Fazioli équipe son piano de concert F308 d’une quatrième pédale qui rapproche les marteaux des cordes, ce qui adoucit le son sans changer sa couleur.

Double échappement : frapper de nouveau avant que la touche soit remontée

Le levier de répétition du modèle est la pièce qu’Érard a ajoutée en 1821. Après que le marteau a frappé et est retombé, le levier le retient un peu en haut. Dès que la touche commence à remonter, le poussoir peut se glisser sous la noix bien avant que la touche soit entièrement remontée ; le pianiste peut donc frapper de nouveau la même note avec une touche qui n’est remontée qu’en partie. Une mécanique à échappement simple, comme celle de Cristofori ou la mécanique anglaise à queue du modèle du Smithsonian, doit laisser la touche remonter presque entièrement avant que le poussoir se remette en place.

Vous pouvez l’essayer au clavier. Réglez la Vitesse sur une valeur lente, appuyez sur une touche, relâchez, puis appuyez de nouveau sur la même touche pendant que le ralenti la montre encore en train de remonter. Si la touche est alors enfoncée d’environ 1 à 5,5 mm (10 à 55 pour cent de la course de 10 mm), le modèle compte une répétition : la touche redescend à partir de là où elle était, le marteau part de la hauteur où le levier de répétition le retenait, et l’affichage indique la profondeur de la touche à la seconde frappe. Si vous appuyez de nouveau alors que la touche est encore presque au fond, le modèle y voit une frappe neuve, car dans ce modèle simplifié le poussoir ne s’est pas encore remis en place. Les seuils réels dépendent de la régulation de chaque piano ; ce sont ici les valeurs du modèle.

Concevoir une corde : longueur, tension et épaisseur

L’établi à cordes du panneau est un simple fil d’acier entre deux points fixes. Sa hauteur suit la formule des pages d’HyperPhysics sur les ondes stationnaires : f = (1/2L)√(T/μ), où L est la longueur qui vibre, T la tension et μ la masse d’un mètre de fil. Pour un fil d’acier rond, μ = ρ × π d²/4. La page prend la masse volumique ρ = 7860 kg/m³ et le module d’Young E = 200 GPa dans le tableau des matériaux d’ingénierie d’HyperPhysics. Ce tableau donne l’acier de construction ; le fil de piano est un acier bien plus résistant, mais sa masse volumique et sa raideur en sont proches, de sorte que ces valeurs donnent les bons ordres de grandeur.

Prenons un fil de 1 mm et de 40 cm de long. Un mètre de ce fil pèse 7860 × π × 0,001²/4 = 0,00617 kg, soit 6,17 g. Pour sonner A4 = 440 Hz, il faut T = μ(2Lf)² = 0,00617 × (2 × 0,4 × 440)² = 765 N, environ le poids de 78 kg. C’est le préréglage A4 de l’établi. Divisez la longueur par deux et la hauteur double ; pour obtenir la même octave par la seule tension, il faudrait une traction quatre fois plus forte. Les vrais pianos ne peuvent pas suivre la règle du partage par deux jusqu’en bas : une corde grave ferait plusieurs mètres. HyperPhysics note que le rapport de longueur par octave est d’environ 1,88 à 1,94 plutôt que 2, et que les cordes graves sont filées de cuivre pour ajouter de la masse sans ajouter beaucoup de raideur. Steinway indique 201 cm pour la plus longue corde vibrante de son modèle D, de l’agrafe au chevalet. Le préréglage de la plus longue corde de l’établi utilise cette longueur avec un fil nu uniquement pour montrer l’échelle ; un fil nu de cette longueur n’atteindrait pas les notes les plus graves.

La raideur est l’autre moitié de l’histoire. L’article de Harvey Fletcher de 1964 dans le Journal of the Acoustical Society of America donne le coefficient d’inharmonicité d’une corde raide : B = π³ E d⁴ / (64 T L²). Les fils épais, courts et lâches ont un grand B ; les fils fins, longs et tendus un petit B. Les barres de l’établi montrent de combien chaque partiel n se situe au-dessus de n × f, en cents, d’après f_n = n × f × √(1 + B n²). Sur le préréglage A4, B vaut environ 7,9 × 10⁻⁴, si bien que le 2e partiel est 2,7 cents trop haut et le 8e 42 cents trop haut. Essayez le préréglage du C8 aigu, long de 5 cm, et les barres montent bien plus haut : une courte corde de l’aigu est très raide pour sa longueur. C’est pourquoi l’aigu d’un vrai piano est élargi, comme l’expliquent la section précédente et l’article ci-dessus.

Entendre les intervalles égaux et justes sous forme de battements

Quand deux notes sonnent ensemble, un partiel de l’une tombe souvent près d’un partiel de l’autre. Si ces deux partiels ne sont pas exactement égaux, le son gonfle et retombe autant de fois par seconde qu’ils diffèrent en hertz ; HyperPhysics appelle cela la fréquence de battement. Le panneau Battements choisit cinq intervalles à partir de C4 et montre la paire de partiels qui coïncident presque. Pour la tierce majeure C4–E4, c’est le 5e partiel de C4 (1308,13 Hz) contre le 4e de E4 (1318,51 Hz), si bien que le tempérament égal bat 10,38 fois par seconde. Pour la quinte juste C4–G4, c’est le 3e de C4 contre le 2e de G4, soit 0,89 battement par seconde.

L’intonation juste utilise les petits rapports entiers de la page d’HyperPhysics sur l’accord juste : 5:4 pour la tierce majeure, 3:2 pour la quinte, 4:3 pour la quarte, 6:5 pour la tierce mineure et 5:3 pour la sixte majeure. Une tierce majeure juste vaut 1200 × log₂(5/4) = 386,31 cents, soit 13,69 cents de moins que les 400 du tempérament égal. Choisissez Votre accord et faites glisser la note haute : la vitesse de battement baisse en ligne droite et atteint zéro à −13,69 cents. Le graphique marque ce point d’un trait pointillé. La quinte et la quarte ne sont qu’à 1,96 cent du juste, c’est pourquoi elles sonnent presque immobiles ; les tierces et les sixtes en sont à 13,69 à 15,64 cents et battent vite. Le bouton Écouter joue les deux notes pendant 3 secondes avec six partiels purs chacune, de sorte que les battements s’entendent mieux qu’avec le son de piano frappé.

La partie Élargissement du panneau fait la même chose pour une octave. Avec une inharmonicité B pour A4, son 2e partiel se situe à 2 × 440 × √(1 + 4B). Pour B = 0,0004, c’est 880,70 Hz, soit 1,38 cent au-dessus de 880, et un A5 en 2:1 bat contre lui 0,70 fois par seconde. Les deux boutons jouent l’octave 2:1 et l’octave élargie, dans laquelle A5 se place sur le partiel et le battement disparaît.

L’instrument entier au sixième

Derrière la mécanique se dresse un piano de concert au sixième de sa taille réelle. Son contour suit le Steinway modèle D tel que Steinway le décrit : 274 cm de long et 156 cm de large ; la même page donne 483 kg, une tension totale des cordes de 20 418 kg et une plus longue corde de 201 cm. La courbe de la caisse, les pieds et la disposition des cordes sont dessinés à l’œil d’après ce contour. À l’intérieur se trouvent une table d’harmonie en épicéa, une plaque de fonte de couleur or avec des ouvertures rondes, des cordes d’aigu droites et un second étage de cordes graves qui les croisent, le croisement des cordes que le brevet américain 26 532 de Henry Steinway, en 1859, décrit comme des cordes sur deux étages qui rapprochent les chevalets du milieu de la table d’harmonie. Une touche du clavier est rouge : le do du milieu, la touche que montre le modèle en grandeur réelle devant. Le couvercle est articulé sur le côté droit long et soutenu sur le côté courbe, comme sur un vrai piano à queue.

Le catalogue et l’origine de ses chiffres

Le catalogue du panneau recense 38 pianos et premières, de l’inventaire des Médicis de 1700 au Bösendorfer Imperial à 97 touches. L’essentiel de l’histoire vient du catalogue du Smithsonian de Helen Hollis, en 1973, qui décrit les instruments de la collection nationale et date les jalons qui les entourent : Silbermann montrant ses pianos à Bach en 1736 et Bach les jouant à Potsdam en 1747, le piano carré de Zumpe lors d’un concert à Londres en 1767, le piano de Stein loué par Mozart en 1777, les premiers pianos droits de Müller et de Hawkins en 1800, la mécanique à répétition d’Érard en 1821, le cadre de fer de Babcock en 1825, les cadres de Chickering de 1840 et 1843, les 88 touches atteintes dans les années 1870 et le 100 000e piano de Steinway en 1903. Les brevets Steinway de 1857, 1859 et 1874 sont lus sur Google Patents. Les instruments modernes sont cités d’après les pages des facteurs : Steinway pour le modèle D, Bösendorfer pour le 290 Imperial (290 cm, 552 kg, 97 touches) et Fazioli pour la quatrième pédale du F308. Le guide de Yamaha dit qu’un piano peut avoir jusqu’à 230 cordes.

Les sources ne s’accordent pas toujours sur les dates. L’essai de Hoover au Smithsonian date de 1826 les garnitures de marteau en feutre de Pape, alors que Hollis dit qu’il produisit des couches amincies de feutre traité en 1839 ; le catalogue retient 1839 avec Hollis pour source. Quand une entrée n’a pas d’année précise, comme pour un modèle actuel, l’année est laissée vide.

Malentendus fréquents

• « Le marteau reste sur la corde pendant que la note sonne. » Il la touche un instant et rebondit. S’il restait, le feutre arrêterait la corde, ce que l’échappement empêche précisément. La corde résonne ensuite seule jusqu’à ce que l’étouffoir retombe, ou que le son se soit éteint.
• « Jouer plus fort ne change que le volume. » Sur un piano, une note plus forte est aussi plus brillante. Daniel Russell, à Penn State, explique que le feutre du marteau agit comme un ressort durcissant : sous de fortes forces d’impact, le feutre se comporte comme plus dur, si bien qu’une note forte contient plus de hautes fréquences qu’une note douce. Sa page donne aussi la date à laquelle le feutre est devenu courant sur les marteaux, vers 1830, et dit que des marteaux durs donnent un timbre brillant ou dur et des marteaux mous un timbre sourd. Le modèle utilise une seule frappe fixe, il ne peut donc pas le montrer.
• « A vaut 440 Hz par nature. » C’est une convention, fixée par la norme ISO 16. Un accord à 442 Hz, que certains orchestres utilisent, est 1200 × log₂(442 / 440) = 7,85 cents plus haut. C’est peu, mais un instrument à 442 Hz et un autre à 440 Hz qui jouent A4 ensemble battent 2 fois par seconde.
• « Un piano accordé correspond à la formule du tempérament égal. » Seulement au milieu. L’accord est élargi en s’éloignant de la touche de référence, jusqu’à environ 30 cents aux extrémités. Les chiffres de cette page sont la formule, non ceux d’un vrai piano à queue accordé.
• « Trois cordes, cela veut dire une note plus haute ou plus pleine. » Les trois cordes sont accordées à la même hauteur. L’essai du Met leur donne pour but la puissance : passer de deux à trois par note a été l’un des principaux moyens de rendre les pianos plus puissants.

Essayez à l’écran

1. Vérifier la formule. Cliquez sur le clavier et jouez A4. La ligne Fréquence dans l’encadré du modèle affiche 440,00 Hz, et la ligne sous le nom de la touche, sous le modèle, indique 440 × 2^(0/12). Jouez A3 et A5. Vous devriez voir 220 et 880 Hz, soit un rapport de 2 à chaque fois.
2. Observer le rapport du demi-ton. Jouez C4, puis C♯4 (la touche noire voisine). Les fréquences sont 261,63 et 277,18 Hz. Divisez la seconde par la première et vous obtenez 1,0595, le même nombre que pour n’importe quelle autre paire de touches voisines.
3. Ralentir la frappe. Faites glisser Vitesse jusqu’à sa position la plus basse (1/50×), jouez une note et lisez la ligne de phase : La touche descend, Échappement : le marteau vole librement, Le marteau frappe la corde, L’attrape-marteau retient le marteau, La touche remonte. Dans la première phase, la ligne Marteau à corde doit diminuer jusqu’à environ 3 mm à l’échappement.
4. Trouver le poussoir. Ouvrez l’onglet Pièces et choisissez Poussoir, puis activez Voir à l’intérieur. À l’échappement, le bout du poussoir rencontre le bouton d’échappement et le poussoir se dérobe de sous le marteau.
5. Compter les pièces. Faites glisser Démonter jusqu’au bout et comptez les éléments. La liste compte treize pièces, les onze de la mécanique plus les pédales et le piano à queue au 1:6, et Noms des pièces les nomme.
6. Comparer deux intervalles. Tenez C4 et G4 ensemble, puis C4 et E4. La ligne Accord affiche C5 pour la première paire et tierce majeure pour la seconde. Écoutez le battement lent de la première et le battement plus rapide de la seconde, d’environ 0,9 et 10 par seconde d’après l’arithmétique ci-dessus. Cette synthèse comprend des partiels trop hauts, votre oreille peut donc entendre des vitesses légèrement différentes.
7. Utiliser une gamme. Dans le menu Gamme, choisissez Pentatonique de do majeur. Cinq touches sur douze reçoivent un point, et la première touche pointée est la tonique.
8. Arithmétique des octaves. Jouez C3, puis C4, C5 et C6, en montant avec la touche X (Z descend). Les fréquences sont 130,81, 261,63, 523,25 et 1046,50 Hz, chacune double de la précédente.
9. Utiliser les pédales. Appuyez sur Pédale forte à côté du clavier, jouez quelques notes et relâchez les touches : elles continuent de sonner. Appuyez de nouveau pour la relâcher. Puis tenez C3, appuyez sur Sostenuto, relâchez C3 et jouez des notes courtes plus haut : seul C3 continue de sonner.
10. Observer l’una corda. Appuyez sur Una corda et ouvrez la vue Cordes. Jouez une note : la mécanique glisse sur le côté et la première des trois cordes reste immobile.
11. Accorder une tierce à l’oreille. Dans le panneau, ouvrez Battements, choisissez Tierce majeure (3e degré) et Votre accord, et faites glisser la note haute vers −13,7 cents pendant que vous appuyez sur Écouter. Le battement ralentit et s’arrête.