Как работает рояль: механика молоточка и равномерный строй

Что происходит, когда нажимаешь клавишу рояля

Как работает рояль? Нажатая клавиша уходит вниз примерно на сантиметр, а где-то за пюпитром фетровый молоточек размером с большой палец взлетает вверх, ударяет по стальной струне и тут же падает обратно, и всё это занимает несколько сотых долей секунды. Увидеть это невозможно: механика спрятана в корпусе и работает слишком быстро.

Модель выше показывает механизм одной клавиши, вид сбоку, со скоростью, которую можно снизить до 1/50. Играйте на клавиатуре под ней: модель повторяет удар в замедленном виде, а ноту вы слышите в обычном темпе. В рамке в углу модели видно, как глубоко ушла клавиша, сколько ещё остаётся молоточку до струны и какова частота сыгранной ноты, вычисленная от A4 = 440 Гц.

Почему молоточек должен отпустить струну

Самый очевидный способ сделать рояль: прикрепить молоточек к задней части каждой клавиши. Нажали клавишу, молоточек ударил по струне. Беда начинается мгновением позже. Пока палец на клавише, молоточек остался бы прижатым к струне, а фетровая подушечка на колеблющейся проволоке гасит колебание уже через несколько периодов. Вместо ноты вы услышали бы глухой стук.

Поэтому молоточек нужно бросить, а не толкнуть. Большую часть хода клавиши молоточек поднимает небольшая деревянная деталь, толкатель. За пару миллиметров до струны толкатель выскальзывает из-под молоточка, и последний отрезок молоточек пролетает по инерции. Он ударяет по струне, отскакивает и падает назад. Этот приём называется спуском (эскейпментом), и в том или ином виде он есть в каждом фортепиано со времён первых инструментов Бартоломео Кристофори около 1700 года.

Спуск порождает вторую задачу. Когда толкатель выскользнул, он должен вернуться под молоточек, прежде чем ту же ноту можно сыграть снова. В простой механике это происходит, только когда клавиша поднялась до конца. Быстрые повторы, например трель, получались бы медленными и неровными. В рояле это решает второй рычаг, репетиционный: он удерживает молоточек на такой высоте, чтобы толкатель успел скользнуть обратно, пока клавиша поднялась лишь частично. Поскольку молоточек можно освободить дважды таким способом, механику часто называют механикой двойного спуска.

Что делает каждая деталь

Проследим толчок от пальца до струны.

1. Клавиша. Деревянный рычаг, качающийся на стальном балансирном штифте. В модели штифт находится в 240 мм от переднего края, поэтому передний конец идёт вниз, а задний поднимается.
2. Капсюль. Латунная кнопка, ввёрнутая в заднюю часть клавиши. Она поднимает виппен.
3. Виппен. Рычаг, закреплённый на собственной планке. Он несёт толкатель и репетиционный рычаг и превращает подъём клавиши в толчок вверх.
4. Толкатель. По форме напоминает букву L. Его вертикальное плечо давит на пятку под ручкой молоточка, а короткий носок направлен к кнопке спуска.
5. Кнопка спуска. Фетровая кнопка на винте. Когда носок толкателя доходит до неё, толкатель опрокидывается и отпускает молоточек.
6. Молоточек. Тонкая ручка с головкой из плотно спрессованного шерстяного фетра на деревянном сердечнике. Пятка находится близко к оси ручки, поэтому небольшой толчок заставляет головку пройти длинный путь.
7. Репетиционный рычаг. Его поддерживает пружина; после спуска он подхватывает пятку и держит молоточек поднятым, пока толкатель возвращается на место.
8. Ловитель. Фетровая подушечка на проволоке в задней части клавиши. Она ловит молоточек на пути вниз, чтобы он не отскочил обратно в струну.
9. Демпфер. Фетровый брусок, лежащий на струне. Дальний конец клавиши поднимает его через подрычажку, поэтому, пока вы держите клавишу, струна может звучать.
10. Струна. Высокоуглеродистая стальная проволока. У большинства нот по три струны, настроенные на одну высоту; в басу их две, а потом одна. В модели показаны три проволоки для одной ноты. Вместе струны тянут чугунную раму с силой в десятки тонн: к 1875 году Стейнвей заявлял о раме, способной выдержать 70 000 фунтов, около 32 тонн.
11. Клавиатурная доска и рама механики. Доска, планки и металлические стойки, которые держат всё это в одной линии.

Щёлкните любую деталь во вкладке «Детали», и камера переместится к ней. Режим «Заглянуть внутрь» делает доску и раму прозрачными, чтобы можно было следить за толкателем и кнопкой спуска.

Один удар, миллисекунда за миллисекундой

Модель повторяет уверенное нажатие. Клавиша идёт вниз 50 мс, с плавным началом и концом. Вот что происходит по пути, по собственному времени модели.

• 0 мс: клавиша начинает движение вниз. Капсюль поднимает виппен, толкатель поднимает пятку, и молоточек начинает подниматься. В то же время дальний конец клавиши выбирает небольшой зазор и начинает отрывать демпфер от струны.
• 41 мс: клавиша прошла 92 % хода. Носок толкателя встречает кнопку спуска, и толкатель выскальзывает. Головка молоточка находится примерно в 3 мм от струны и движется со скоростью около 0,66 м/с.
• 46 мс: после примерно 4,6 мс свободного полёта фетр встречает струну. С этого момента клавиша уже не влияет на то, что делает молоточек.
• После удара: молоточек отскакивает и падает на ловитель, который удерживает его чуть ниже струны, пока клавиша остаётся нажатой. Репетиционный рычаг слегка приподнимает его, и толкатель скользит обратно под пятку.
• Отпускание: клавиша поднимается, ловитель отпускает, молоточек возвращается в покой, а демпфер опускается на струну.

На самой медленной скорости (1/50) 46 мс от пальца до струны превращаются в 46 × 50 = 2300 мс, то есть 2,3 секунды на экране, а один свободный полёт длится около четверти секунды. Этого достаточно, чтобы увидеть, что толкатель уже ушёл, когда фетр достигает струны.

Передаточные числа рычагов в цифрах

Каждый рычаг в механике меняет силу на путь. Вот числа для модели: ход клавиши 10 мм, балансирный штифт в 240 мм от переднего края клавиши.

• Угол клавиши при полном ходе: atan(10 / 240) = 2,39°.
• Капсюль находится в 155 мм за штифтом, поэтому он поднимается на 155 × sin 2,39° = 6,5 мм.
• Ось виппена в 145 мм перед капсюлем, поэтому виппен поворачивается на 6,5 / 145 рад = 2,55°.
• Толкатель находится в 105 мм от оси виппена, поэтому он поднимается на 105 × sin 2,55° = 4,7 мм.
• Пятка в 18 мм от оси ручки молоточка, поэтому молоточек поворачивается на 4,7 / 18 рад = 14,9°.
• Кончик фетра в 148 мм от этой оси, поэтому он проходит 148 × 0,259 = 38 мм.

От 10 мм на клавише до 38 мм у головки молоточка получается отношение примерно 3,8. Точка спуска на 92 % хода клавиши оставляет 38 × 0,08 = 3,1 мм свободного полёта. В настоящем рояле эти расстояния выставляет мастер при регулировке, поворачивая винты вроде кнопки спуска и капсюля, и точные значения у разных фирм различаются. Большее передаточное число означает более лёгкий и быстрый молоточек при том же движении пальца и более тяжёлое ощущение под пальцем, поэтому мастера добавляют свинцовые грузики в переднюю часть клавиш. В модели их два: серые диски у переднего края клавиши.

Двенадцать равных шагов: откуда берутся частоты

Фортепиано настраивают в двенадцатиступенном равномерно темперированном строе. Октава, то есть удвоение частоты, делится на двенадцать полутонов, и каждый полутон умножает частоту на одно и то же число. Двенадцать равных умножений должны дать 2, поэтому это число равно корню двенадцатой степени из 2:

r = 2^(1/12) = 1,059463

Точка отсчёта: A4, нота ля первой октавы, которую ISO 16 устанавливает на 440 Гц. Пронумеруйте клавиши, как в MIDI (A4 это 69, средняя C это 60), и любая нота m получит частоту

f = 440 × 2^((m − 69) / 12)

Несколько значений для сверки с панелью, пока вы играете:

C6 выше C3 на три октавы, значит, её частота в 2³ = 8 раз больше: 130,81 × 8 = 1046,50 Гц. Один период ноты C4 длится 1 / 261,63 с = 3,82 мс, поэтому даже короткая нота, звучащая полсекунды, заставляет струну качнуться туда и обратно около 0,5 × 261,63 = 131 раз.

Почему равномерный строй слегка фальшивит

Простые отношения частот звучат вместе гладко. Чистая квинта это 3 : 2, а большая терция это 5 : 4. Равномерная темперация не может попасть в них точно, потому что никакая степень 2^(1/12) не равна отношению малых целых чисел.

• Равномерно темперированная квинта равна 2^(7/12) = 1,498307 вместо 1,5. Это на 1,96 цента ниже (цент это 1/100 полутона), и на слух это почти незаметно.
• Равномерно темперированная большая терция равна 2^(4/12) = 1,259921 вместо 1,25. Это на 13,7 цента выше, и тренированное ухо это слышит.

Разницу можно услышать как биения. Сыграйте C4 и G4 вместе: третья гармоника C4 равна 3 × 261,63 = 784,88 Гц, а вторая гармоника G4 равна 2 × 392,00 = 783,99 Гц, так что они бьются примерно 0,9 раза в секунду. Сыграйте C4 и E4: пятая гармоника C4 (1308,13 Гц) против четвёртой гармоники E4 (1318,51 Гц) бьётся около 10 раз в секунду. Настройщики считают эти биения, чтобы установить темперацию. Плата за это в том, что все тональности звучат одинаково приемлемо, поэтому музыка может переходить в любую тональность без перестройки.

Меню гаммы под клавиатурой отмечает точками ноты гаммы, а окно аккорда называет то, что вы держите. Возьмите C, E и G, и там будет C. Возьмите A, C и E, и там будет Am.

Струна в числах: закон Мерсенна

Струну проще всего выразить числами из всех частей рояля. Натянутая струна колеблется с основной частотой

f = (1 / 2л) × √(T / μ)

где L это звучащая длина в метрах, T это натяжение в ньютонах, μ это масса одного метра проволоки. Квадратный корень это скорость волны вдоль струны, и за каждый период волна должна дойти до дальнего конца и вернуться, то есть пройти расстояние 2л. В HyperPhysics Университета штата Джорджия это изложено с калькулятором, где по умолчанию струна длиной 100 см под натяжением 50 фунтов (222 Н) и массой 0,2872 г на метр. Скорость волны получается 880 м/с, а нота 440 Гц.

Вот тот же расчёт для струны A4. Числа здесь мои допущения, выбранные типичными, а не измерения конкретного рояля: простая стальная проволока диаметром 1,0 мм (плотность 7850 кг/м³) и звучащая длина 0,33 м. Для сравнения, самые тонкие фортепианные струны имеют диаметр около 0,85 мм, по исследованию Яатинена и Пятюнена из списка источников.

• Масса на метр: μ = 7850 × π × (0,0005)² = 6,17 × 10⁻³ kg/m.
• Скорость волны: v = 2Lf = 2 × 0,33 × 440 = 290 м/с.
• Натяжение: T = μv² = 0,00617 × 290² = 520 Н, вес примерно 53 кг, подвешенных на проволоке.
• У A4 три струны, поэтому одна эта клавиша тянет раму с силой около 1,56 кН.

Для масштаба: чугунная рама Стейнвея 1875 года была рассчитана на натяжение до 70 000 фунтов, то есть 311 кН. В рояле 226 струн, если считать, как HyperPhysics (10 одиночных басовых, 18 нот по две, 60 нот по три: 10 + 36 + 180), так что рама могла допускать по 1,4 кН на струну. В другом исследовании в среднем насчитано 220, и число у разных фирм различается. В любом случае 520 Н заметно меньше предела.

Квадратный корень объясняет, почему настройка так деликатна. Один цент меняет частоту в 2^(1/1200) раз, поэтому натяжение должно измениться на 2^(1/600) − 1 = 0,116 %. Для этой струны это 0,60 Н из 520 Н. Колок, сдвинувшийся на эту величину, сдвинул ноту на цент.

Он же объясняет, почему струны не сокращают просто вдвое на каждую октаву. При той же проволоке и длине удвоение частоты требует четырёхкратного натяжения: 2080 Н для A5 в этом примере. Сокращение длины вдвое решило бы задачу при том же натяжении, но настоящие мастера довольствуются меньшим. По HyperPhysics, отношение длин на октаву составляет от 1,88 до 1,94 к 1. За семь октав вдвое сокращённая каждый раз струна стала бы короче в 2⁷ = 128 раз, а при 1,9 на октаву она короче в 1,9⁷ = 89 раз. Поэтому верхние струны в 128 / 89 = 1,43 раза длиннее, чем дало бы деление пополам, и волна на них должна бежать в 1,43 раза быстрее, значит, T / μ должно быть больше в 1,43² = 2,05 раза. Мастера держат натяжение в сходных пределах и уменьшают массу на метр, поэтому дискантовая проволока тонкая. HyperPhysics говорит то же одной фразой: масса струны подбирается так, чтобы частоты оказались нужными.

В басу задача обратная. Возьмём A0 на 27,5 Гц при допущенной длине 1,2 м и натяжении 700 Н. Тогда μ = 700 / (2 × 1,2 × 27,5)² = 0,161 кг/м, а скорость волны всего 66 м/с. Простой стальной стержень с такой массой на метр имел бы толщину 5,1 мм и был бы слишком жёстким. Поэтому мастер наматывает медь или латунь на более тонкий стальной сердечник: масса растёт, а жёсткость почти нет. Готовые басовые струны достигают в диаметре около 8,5 мм. Один период A0 длится 36 мс, а один период A4 длится 2,3 мс.

Почему дискант настраивают выше: негармоничные парциалы и растянутый строй

В разделе о звуке ниже для парциалов используется формула f_n = n × f × √(1 + B n²). У идеальной гибкой струны парциалы лежали бы точно на 1, 2, 3 и так далее, умноженных на основную частоту. Стальная проволока ещё и сопротивляется изгибу, причём тем сильнее, чем короче длина волны, поэтому каждый более высокий парциал немного завышен. B это коэффициент негармоничности. Он зависит от диаметра, длины, натяжения и жёсткости проволоки. Роберт Янг измерил его в шести фортепиано в 1952 году и обнаружил, что теория жёстких струн соответствует данным. Рудольф Раш и Винсент Хеетвелт измерили каждую струну рояля среднего размера в 1985 году и тоже нашли превосходное согласие с формулой. Они добавляют, что у более высоких струн негармоничность обычно больше, что отчасти гасит её влияние на частоты биений.

При B = 0,00016 для средней C (261,63 Гц) в модели парциалы получаются такими.

Янг приводит около 1,2 цента для второй моды струны средней C и находит почти то же во всех шести фортепиано. Это соответствует B ≈ 0,00035, вдвое больше значения модели. Так что модель мягче настоящих инструментов, а 8-й парциал в таблице вообще не звучит, потому что его гасит точка удара.

Отсюда растянутый строй. Допустим, у струны A4 B = 0,0004 (моё допущение). Её второй парциал равен 2 × 440 × √(1 + 4 × 0,0004) = 880,70 Гц, то есть на 1,4 цента выше 880. Если настройщик выставит A5 точно на 880,00 Гц, парциал и основной тон A5 будут биться 0,7 раза в секунду. Настройщик убирает биения, подняв A5 примерно на 0,7 Гц. Повторите это вверх по клавиатуре, и каждая октава окажется чуть шире 2 : 1. По HyperPhysics, в итоге получается до 30 центов выше вверху и до 30 центов ниже внизу. На C8 это 4186,01 × 2^(30/1200) = 4259 Гц вместо 4186 Гц, а A0 оказывается около 27,03 Гц вместо 27,50 Гц.

Исследование 2022 года Юсси Яатинена и Юкки Пятюнена из Аалто и Хельсинкского университета (Journal of the Acoustical Society of America) показало, что в хорошо настроенных пианино и роялях строй без исключения растянут, а отклонение растёт с удалением от опорной клавиши, обычно A4 или C4. Их настройщики и оркестровые музыканты выбирали кривую вроде той, что Рейлсбэк измерил в 1930-х годах. Они заключают, что главная причина в негармоничности струн, к чему добавляется общее предпочтение широких октав.

Настройщики работают по биениям. В середине клавиатуры они сначала выставляют темперирующую октаву, обычно от F3 до A3. Равномерно темперированная F3 равна 174,61 Гц, её пятая гармоника 873,07 Гц, а четвёртая гармоника A3 равна 4 × 220 = 880 Гц. Две частоты бьются на 6,93 Гц (в статье 6,95). Поскольку негармоничность у каждого фортепиано своя, как отмечает статья, нужны таблицы для конкретного инструмента.

Клавиши на этой странице не растягиваются. Частота в окошке это простая формула равномерной темперации. У синтезированных нот верхние парциалы завышены, но ни одна нота не смещена от значения по формуле так, как смещал бы её настройщик.

Как создаётся звук на этой странице

Записи не используются. Каждая нота строится в вашем браузере через Web Audio API, и ничего не звучит, пока вы сами не нажмёте клавишу.

• Парциалы. До двенадцати синусоид на целых кратных частоты ноты. Настоящая струна жёсткая, поэтому её верхние парциалы слегка завышены: f_n = n × f × √(1 + B n²). В модели B = 0,00016 для средней C, что поднимает 10-й парциал на 13,7 цента выше 10 × f.
• Точка удара. Молоточек, ударяющий по струне на 1/8 её длины, не может возбудить парциалы, у которых там узел. Амплитуда парциала n умножается на |sin(nπ/8)|, поэтому 8-го парциала нет, а 7-й и 9-й слабые.
• Затухание. Каждый парциал сначала быстро спадает, затем звучит дольше, и высокие парциалы замирают быстрее. Медленная постоянная времени равна 3,4 с у средней C, 5,0 с у C3 и 1,6 с у C6, поэтому низкие ноты звучат дольше, как в настоящем фортепиано.
• Демпфер. Когда вы отпускаете клавишу, громкость падает с постоянной времени 70 мс, так что через 0,07 × ln 1000 = 0,48 с нота тише на 60 dB.
• Стук молоточка. 20 мс отфильтрованного шума: фетр бьёт по проволоке.

Что модель опускает

В настоящей механике больше деталей, чем показано в модели. Планка молоточка, регулировочный винт, который задаёт высоту покоя молоточка на репетиционном рычаге, регулировочные винты, втулки клавиш и фетровые прокладки опущены или слиты в более крупные формы. Струна укорочена и идёт прямо, тогда как настоящая струна продолжается назад через мостик на деке, и именно он превращает колебание струны в звук в воздухе. Модель также использует одну фиксированную скорость удара; в настоящем фортепиано сила нажатия меняет скорость молоточка и тембр, а не только громкость. Нажатия мышью и касания клавиатуры здесь заменяют это положением на клавише: нажатие ближе к переднему краю играет громче.

Откуда взялась механика рояля

Кристофори, мастер клавишных инструментов при дворе Медичи во Флоренции, построил своё первое фортепиано к 1700 году. Три его сохранившихся инструмента относятся к 1720-м годам, и тот, что 1720 года, находится в Метрополитен-музее в Нью-Йорке. Его механика уже использовала рычаги, умножающие движение клавиши, давала молоточку свободно лететь на последнем участке пути и поднимала демпфер концом клавиши.

Молоточки того времени обтягивали кожей. Жан Анри Папе начал применять фетровые покрытия в 1826 году, по истории Стейнвеев в Смитсоновском институте, тогда как каталог фортепиано того же музея относит его слоистый суживающийся фетр к 1839 году. Фетр позволил сделать молоточки тяжелее и расширил диапазон от тихого к громкому. Мастера в Лондоне и Вене пошли с самой механикой разными путями, и английская механика конца 18 века стала основой современного рояля. Репетиционный рычаг пришёл из Франции: механика двойного спуска Себастьена Эрара 1821 года. Механика рояля в модели прямо происходит от этой конструкции.

Четыре способа заставить струну звучать

Механика рояля в модели это один из ответов на вопрос, над которым мастера клавишных работали веками: как клавиша должна приводить струну в движение? Каталог собственной коллекции Смитсоновского института, написанный Хелен Холлис, описывает прежние ответы достаточно хорошо, чтобы их сравнить.

О клавесине в тексте Смитсоновского института сказано, что щипок происходит на расстоянии, как бы дистанционно, поэтому у исполнителя практически нет возможности менять динамику и градации громкости недостижимы. Диапазон клавикорда приводится цитатой: «от почти ничего в минимуме до не очень многого в максимуме». Там же добавлено, что тангент продолжает давить на струны, пока клавиша удерживается, отчего звук так мал, а меняя давление, исполнитель может получить лёгкое колебание высоты, которое немцы называют Bebung. Это обратная сторона проблемы фортепиано: клавикорд никогда не отпускает, а вся механика фортепиано существует для того, чтобы отпустить.

Венские мастера развили идею молоточка иначе. В очерке Джейсона Керра Добни из Метрополитен-музея сказано, что Иоганн Андреас Штейн разработал свою Prellmechanik, возможно, уже в 1769 году, упростив механику Кристофори: он убрал промежуточный рычаг, и молоточек стоит в непосредственном контакте с клавишей. Молоточек закреплён в блоке, называемом капсель, с клювом на конце. Когда клавиша нажата, клюв цепляется за спуск, который бросает молоточек к струне. В очерке это названо первой удачной механикой, существенно отличавшейся от механики Кристофори. Корнеллский центр исторических клавишных цитирует сравнение Гуммеля: венский инструмент имеет лёгкий и очень быстрый механизм и говорит ясно и быстро во всех регистрах, а английский имеет более глубокое касание и более полный звук. Моцарт купил фортепиано Антона Вальтера около 1783 года, по сведениям Метрополитен-музея, а Бёзендорфер был последней крупной фирмой, отказавшейся от венской механики: в начале 20 века она перешла на английскую.

Репетиционный рычаг Эрара, введённый в 1821 году, соединил две традиции. Смитсоновский институт описывает его как усовершенствование, позволяющее молоточку, пока клавиша нажата, остановиться при отскоке в точке близко к струнам вместо того, чтобы падать в покой. Из-за этого механика отзывчивее, быстрое повторение ноты проще, и появляется часть касания венской механики без потери силы английской. Эту деталь можно проследить в модели, выбрав «Репетиционный рычаг».

Рядом с механикой развивалось и другое. В очерке Метрополитен-музея сказано, что фортепиано стали громче главным образом благодаря переходу от двух унисонных струн на ноту в 18 веке к трём к началу 19 века, а перекрёстное расположение струн, допустившее очень толстые струны под большим натяжением, усилило бас. Диапазон вырос от пяти октав (61 клавиша) в конце 18 века до семи октав (85 клавиш) к середине 19 века, а корпуса стали тяжелее, чтобы выдерживать нагрузку. Смитсоновский институт относит квадратное фортепиано Стейнвея с перекрёстным расположением струн и цельной железной рамой к 1855 году и говорит, что железная рама и перекрёстное расположение струн стали стандартом для всех последующих моделей. Коллекция Корнелла показывает, сколько было дополнений: копия фортепиано Конрада Графа 1824 года с тремя педалями и фортепиано Йозефа Симона 1835 года, у которого изначально было пять, включая регистр фагота с пергаментом, прижимаемым к басовым струнам, и «янычарский» регистр с барабаном и колокольчиком. Сегодняшние три педали это тихая педаль (уна корда), состенуто и демпферная педаль, как их перечисляет HyperPhysics. В модели теперь есть все три; см. раздел о педалях ниже.

Пианино ставит совсем другую задачу. Смитсоновский институт сообщает, что Маттиас Мюллер из Вены и Джон Айзек Хокинс, англичанин, работавший в Филадельфии, в 1800 году независимо поставили фортепиано на торец, а струны пошли вниз до дна корпуса. В тексте отмечено, что вертикальному фортепиано нужна другая механика. Падению молоточка гравитация уже не помогает, поэтому нужно придумать какую-нибудь пружинную систему, которая быстро вернёт молоточек после удара. У рояля этой проблемы нет, потому что гравитация справляется сама. В Смитсоновском институте хранится пианино Хокинса 1801 года. Когда в 1973 году писался каталог, единственное другое известное находилось в фирме Broadwood в Лондоне.

Три педали

В современном рояле три педали, и в модели они тоже есть, в лире слева от механики. Модель следует описанию Yamaha. Правая педаль это демпферная (её называют ещё сустейн-педалью). Она поднимает все демпферы со всех струн, поэтому ноты продолжают звучать после того, как вы отпустили клавиши, а струны, по которым вы не били, начинают звучать созвучно с теми, по которым били. В модели демпфер на струне поднимается и остаётся поднятым, а синтезированные ноты звучат, пока вы не отпустите педаль.

Средняя педаль это состенуто. Это избирательная демпферная педаль. Когда вы её нажимаете, она удерживает только те демпферы, которые в этот момент уже подняты, потому что их клавиши нажаты. Ноты, сыгранные потом, глушатся как обычно, когда вы отпускаете клавишу. Приём таков: возьмите низкую ноту, нажмите состенуто, отпустите клавишу и играйте над ней стаккато аккорды: бас продолжает звучать, а аккорды остаются короткими. Версия Стейнвея относится к 1874 году; каталог Смитсоновского института перечисляет её среди особенностей фортепиано Белого дома 1903 года, а патент США № 156 388 от 27 октября 1874 года описывает педаль в лире, работающую независимо от демпферной и действующую на рычаги демпферов. В модели панель показывает, какие ноты удерживает состенуто.

Левая педаль это уна корда. В рояле она сдвигает всю клавиатуру и механику немного вправо, так что молоточек, бивший по трём струнам, теперь бьёт по двум, а тот, что бил по двум, теперь по одной. Молоточек при этом встречает струны той частью фетра, которая не уплотнена игрой, поэтому меняется не только громкость, но и тембр. В модели клавиатурная доска, клавиша, виппен, планка спуска и молоточек сдвигаются на 5,5 мм вбок, а три струны и демпфер остаются на месте, и первая струна не колеблется, когда вы играете. Синтезированная нота делается примерно на 28 процентов тише, а её верхние парциалы слабее; эта величина выбрана для этой страницы, а не измерена.

В старых фортепиано педалей было больше. У рояля Андре Штейна около 1825 года из собрания Смитсоновского института их четыре: демпферная, фагот (бумажный валик, опускаемый на басовые струны, чтобы они дребезжали), приглушение (мягкие кожаные язычки, вдвигаемые между молоточками и струнами) и уна корда. У фортепиано-жирафа того же мастера около 1810 года их шесть, включая большой барабан и колокольчики. Сегодня Fazioli ставит на концертный рояль F308 четвёртую педаль, которая приближает молоточки к струнам: звук становится тише, а окраска не меняется.

Двойной спуск: ударить снова, пока клавиша не поднялась

Репетиционный рычаг в модели это деталь, которую Эрар добавил в 1821 году. После того как молоточек ударил и упал, рычаг немного удерживает его. Когда клавиша начинает подниматься, толкатель может скользнуть обратно под пятку задолго до того, как клавиша поднимется до конца, и пианист может ударить ту же ноту снова с клавиши, поднявшейся лишь частично. Механике простого спуска, как у Кристофори или английской механики рояля в модели Смитсоновского института, приходится дать клавише подняться почти до конца, прежде чем толкатель встанет на место.

Это можно попробовать на клавиатуре. Установите малую скорость, нажмите клавишу, отпустите и нажмите ту же клавишу снова, пока замедленная съёмка ещё показывает, что клавиша поднимается. Если в этот момент клавиша опущена примерно на 1–5,5 мм (от 10 до 55 процентов хода в 10 мм), модель считает это повтором: клавиша снова идёт вниз оттуда, где была, молоточек стартует с высоты, на которой его держал репетиционный рычаг, а в окошке показана глубина клавиши при втором ударе. Если нажать снова, пока клавиша ещё почти внизу, модель считает это новым ударом, потому что в этой упрощённой модели толкатель ещё не встал на место. Настоящие пороги зависят от регулировки каждого рояля; это значения модели.

Как рассчитать струну: длина, натяжение и толщина

Стенд струны в панели это простая стальная проволока между двумя неподвижными точками. Высота звука следует формуле со страниц HyperPhysics о стоячих волнах: f = (1/2л)√(T/μ), где L это колеблющаяся длина, T это натяжение, μ это масса одного метра проволоки. Для круглой стальной проволоки μ = ρ × π d²/4. Страница берёт плотность ρ = 7860 кг/м³ и модуль Юнга E = 200 ГПа из таблицы конструкционных материалов HyperPhysics. В таблице указана конструкционная сталь; фортепианная проволока сделана из гораздо более прочной стали, но плотность и жёсткость у неё близки, поэтому значения показывают верные порядки.

Возьмём проволоку 1 мм длиной 40 см. Один метр её весит 7860 × π × 0,001²/4 = 0,00617 кг, то есть 6,17 г. Чтобы звучать как A4 = 440 Гц, ей нужно T = μ(2Lf)² = 0,00617 × (2 × 0,4 × 440)² = 765 Н, примерно вес 78 кг. Это пресет A4 на стенде. Сократите длину вдвое, и высота удвоится; чтобы получить ту же октаву одним натяжением, потребовалось бы вчетверо большее усилие. Настоящие фортепиано не могут следовать правилу деления пополам до самого низа: басовая струна была бы длиной в метры. HyperPhysics отмечает, что отношение длин на октаву составляет около 1,88 до 1,94, а не 2, и что низкие струны обвивают медью, чтобы добавить массу без большой жёсткости. Стейнвей указывает длину самой длинной звучащей струны модели D как 201 см, от аграфа до мостика. Пресет самой длинной струны на стенде берёт эту длину с простой проволокой лишь для показа масштаба; простая проволока такой длины не достигла бы самых низких нот.

Жёсткость составляет вторую половину истории. Статья Харви Флетчера 1964 года в Journal of the Acoustical Society of America даёт коэффициент негармоничности жёсткой струны как B = π³ E d⁴ / (64 T L²). У толстых, коротких, слабо натянутых проволок B велик; у тонких, длинных, туго натянутых мал. Столбцы на стенде показывают, насколько каждый парциал n выше n × f, в центах, по формуле f_n = n × f × √(1 + B n²). В пресете A4 B составляет около 7,9 × 10⁻⁴, так что 2-й парциал выше на 2,7 цента, а 8-й на 42 цента. Попробуйте пресет высокой C8, длиной 5 см: столбцы взлетают гораздо выше; короткая дискантовая струна очень жёсткая для своей длины. Поэтому дискант настоящего рояля растягивают, как объясняют следующий раздел и статья выше.

Биения: как слышна разница равномерного и чистого строя

Когда две ноты звучат вместе, парциал одной часто оказывается рядом с парциалом другой. Если эти два парциала не совпадают точно, звук нарастает и спадает столько раз в секунду, на сколько герц они различаются; HyperPhysics называет это частотой биений. Панель биений выбирает от C4 пять интервалов и показывает пару парциалов, почти совпадающих. Для большой терции C4–E4 это 5-й парциал C4 (1308,13 Гц) против 4-го парциала E4 (1318,51 Гц), так что в равномерном строе биения идут 10,38 раза в секунду. Для чистой квинты C4–G4 это 3-й парциал C4 против 2-го парциала G4, 0,89 биения в секунду.

Чистый строй использует отношения малых целых чисел со страницы HyperPhysics о чистой настройке: 5:4 для большой терции, 3:2 для квинты, 4:3 для кварты, 6:5 для малой терции и 5:3 для большой сексты. Чистая большая терция равна 1200 × log₂(5/4) = 386,31 цента, то есть на 13,69 цента уже равномерно темперированных 400. Выберите «Ваш строй» и перетащите верхнюю ноту: частота биений падает по прямой и доходит до нуля при −13,69 цента. На диаграмме эта точка отмечена пунктиром. Квинта и кварта отличаются от чистых всего на 1,96 цента, поэтому звучат почти неподвижно; терции и сексты отличаются на 13,69–15,64 цента и бьются быстро. Кнопка «Слушать» играет обе ноты 3 секунды, у каждой по шесть чистых парциалов, так что биения слышнее, чем в звуке ударного рояля.

Раздел растяжки в панели делает то же для октавы. При негармоничности B для A4 её 2-й парциал находится на 2 × 440 × √(1 + 4B). При B = 0,0004 это 880,70 Гц, на 1,38 цента выше 880, и A5 в октаве 2:1 бьётся с ним 0,70 раза в секунду. Две кнопки играют октаву 2:1 и растянутую, где A5 стоит на парциале, и биений нет.

Весь инструмент в масштабе одной шестой

За механикой стоит концертный рояль в одну шестую натуральной величины. Его контур следует Steinway модели D по данным фирмы: длина 274 см, ширина 156 см; на той же странице указаны 483 кг, общее натяжение струн 20 418 кг и самая длинная струна 201 см. Изгиб корпуса, ножки и расположение струн нарисованы на глаз по этому контуру. Внутри еловая дека, золотистая чугунная рама с круглыми отверстиями, прямые дискантовые струны и второй ярус басовых струн, перекрещивающихся с ними: это перекрёстное расположение, которое патент США № 26 532 Генри Стейнвея 1859 года описывает как струны в два яруса, приближающие мостики к середине деки. Одна клавиша на клавиатуре красная: средняя C, та клавиша, что показана в большой модели впереди. Крышка закреплена на петлях вдоль длинной прямой стороны и подперта со стороны изгиба, как в настоящем рояле.

Каталог и откуда в нём числа

Каталог в панели содержит 38 фортепиано и первых шагов, от описи Медичи 1700 года до Бёзендорфера Imperial с 97 клавишами. Большая часть истории взята из каталога Хелен Холлис 1973 года, изданного Смитсоновским институтом: в нём описаны инструменты национальной коллекции и датированы вехи вокруг них. Зильберман показал Баху свои фортепиано в 1736 году, а Бах играл на них в Потсдаме в 1747 году; квадратное фортепиано Цумпе прозвучало на лондонском концерте в 1767 году; фортепиано Штейна, которое хвалил Моцарт, 1777 год; первые пианино Мюллера и Хокинса, 1800 год; репетиционная механика Эрара, 1821 год; железная рама Бэбкока, 1825 год; рамы Чикеринга 1840 и 1843 годов; 88 клавиш, достигнутые в 1870-х годах; 100 000-е фортепиано Стейнвея, 1903 год. Патенты Стейнвея 1857, 1859 и 1874 годов прочитаны в Google Patents. Современные инструменты цитируются по страницам самих фирм: Steinway для модели D, Bösendorfer для 290 Imperial (290 см, 552 кг, 97 клавиш) и Fazioli для четвёртой педали F308. В руководстве Yamaha сказано, что в фортепиано может быть до 230 струн.

Источники не всегда согласны в датах. В очерке Гувера из Смитсоновского института фетровые покрытия молоточков Папе отнесены к 1826 году, а Холлис пишет, что он выпускал суживающиеся слои обработанного фетра в 1839 году; каталог приводит дату 1839 с Холлис в качестве источника. Там, где у записи нет одного года, как у современной модели, год оставлен пустым.

Распространённые заблуждения

• «Молоточек остаётся на струне, пока звучит нота». Он касается её на мгновение и отскакивает. Если бы он остался, фетр заглушил бы струну, чему и мешает спуск. Затем струна звучит одна, пока не опустится демпфер или пока звук не затухнет.
• «Более громкая игра меняет только громкость». На фортепиано более громкая нота ещё и ярче. Дэниел Рассел из Университета штата Пенсильвания объясняет, что фетр молоточка работает как твердеющая пружина: при больших силах удара фетр ведёт себя жёстче, поэтому громкая нота содержит больше высоких частот, чем тихая. На его странице также указана дата, когда фетр стал стандартом для молоточков, около 1830 года, и сказано, что твёрдые молоточки дают яркий или резкий тон, а мягкие тусклый. Модель использует один фиксированный удар, поэтому показать этого не может.
• «Нота ля равна 440 Гц по природе». Это соглашение, закреплённое в ISO 16. Строй на 442 Гц, который используют некоторые оркестры, выше на 1200 × log₂(442 / 440) = 7,85 цента. Это немного, но инструмент на 442 Гц и инструмент на 440 Гц, играющие A4 вместе, бьются 2 раза в секунду.
• «Настроенное фортепиано соответствует формуле равномерной темперации». Только в середине. Строй растянут от опорной клавиши, до примерно 30 центов на краях. Числа на этой странице взяты из формулы, а не из настоящего настроенного рояля.
• «Три струны означают более высокую или более полную ноту». Три струны настроены на одну высоту. В очерке Метрополитен-музея их назначение в громкости: переход от двух струн на ноту к трём был одним из главных путей, которым фортепиано стали громче.

Попробуйте на экране

1. Проверьте формулу. Щёлкните клавиатуру и сыграйте A4. Строка «Частота» в рамке модели показывает 440,00 Гц, а строка под названием клавиши ниже модели читается 440 × 2^(0/12). Сыграйте A3 и A5. Вы должны увидеть 220 и 880 Гц, каждый раз отношение 2.
2. Проследите отношение полутона. Сыграйте C4, затем C♯4 (чёрная клавиша рядом). Частоты 261,63 и 277,18 Гц. Разделите вторую на первую, и получится 1,0595, то же число, что для любой другой пары соседних клавиш.
3. Замедлите удар. Перетащите «Скорость» в самое нижнее положение (1/50×), сыграйте ноту и читайте строку фазы: «Клавиша идёт вниз», «Спуск: молоточек летит свободно», «Молоточек бьёт по струне», «Ловитель останавливает молоточек», «Клавиша поднимается». В первой фазе строка «От молоточка до струны» должна сократиться примерно до 3 мм к спуску.
4. Найдите толкатель. Откройте вкладку «Детали» и выберите «Толкатель», затем включите «Заглянуть внутрь». В момент спуска носок толкателя встречает кнопку спуска, и толкатель выскальзывает из-под молоточка.
5. Сосчитайте детали. Перетащите «Разобрать» до конца и сосчитайте части. В списке тринадцать деталей: одиннадцать механики плюс педали и рояль 1:6, и «Названия деталей» подписывает их.
6. Сравните два интервала. Возьмите вместе C4 и G4, затем C4 и E4. Строка «Аккорд» показывает C5 для первой пары и большую терцию для второй. Прислушайтесь к медленным биениям в первой и более быстрым во второй, около 0,9 и 10 в секунду по расчёту выше. В этом синтезе есть завышенные парциалы, поэтому на слух частоты могут слегка отличаться.
7. Используйте гамму. В меню «Гамма» выберите «До мажор, пентатоника». Пять клавиш из каждых двенадцати получают точку, и первая клавиша с точкой это тоника.
8. Арифметика октав. Сыграйте C3, затем C4, C5 и C6, поднимаясь клавишей X (Z опускает). Частоты 130,81, 261,63, 523,25 и 1046,50 Гц, каждая вдвое больше предыдущей.
9. Используйте педали. Нажмите «Демпферная» рядом с клавиатурой, сыграйте несколько нот и отпустите клавиши: они продолжают звучать. Нажмите ещё раз, чтобы отпустить. Затем возьмите C3, нажмите «Состенуто», отпустите C3 и играйте короткие ноты выше: звучит только C3.
10. Понаблюдайте за уна корда. Нажмите «Уна корда» и откройте вид «Струны». Сыграйте ноту: механика сдвигается вбок, а первая из трёх струн остаётся неподвижной.
11. Настройте терцию на слух. В панели откройте «Биения», выберите большую терцию и «Ваш строй» и перетаскивайте верхнюю ноту к −13,7 цента, нажав «Слушать». Биения замедляются и прекращаются.