Como funciona um piano: mecânica e temperamento igual

O que acontece quando você aperta uma tecla de piano

Como funciona um piano? Quando você aperta uma tecla de um piano de cauda, ela desce cerca de um centímetro, e um martelo de feltro do tamanho de um polegar voa até uma corda de aço, bate nela e cai de volta, tudo em poucos centésimos de segundo. Você nunca vê isso, porque acontece dentro da caixa e depressa demais.

O modelo acima mostra o mecanismo de uma única tecla, visto de lado, com a velocidade reduzida até 1/50. Toque o teclado sob ele e o modelo repete a batida em câmera lenta enquanto você ouve a nota em velocidade normal. A caixa no canto do modelo mostra quanto a tecla desceu, quanto ainda falta para o martelo chegar à corda e a frequência da nota tocada, calculada a partir de A4 = 440 Hz.

Por que o martelo precisa largar a corda

A forma mais óbvia de construir um piano seria prender um martelo na parte de trás de cada tecla. Você aperta a tecla e o martelo bate na corda. O problema começa um instante depois. Com o dedo ainda na tecla, o martelo continuaria encostado na corda, e uma almofada de feltro apoiada num fio que vibra o detém em poucos ciclos. Você ouviria uma batida surda em vez de uma nota.

Por isso o martelo precisa ser lançado, e não empurrado. Durante a maior parte do curso da tecla, uma pequena peça de madeira chamada saltador empurra o martelo para cima. Alguns milímetros antes de o martelo chegar à corda, o saltador tomba e sai de baixo dele, e o martelo percorre o resto do caminho pelo próprio impulso. Ele bate na corda, ricocheteia e cai de volta. Esse truque se chama escape, e todo piano desde os primeiros instrumentos de Bartolomeo Cristofori, por volta de 1700, tem alguma versão dele.

O escape cria um segundo problema. Depois que o saltador escapou, ele precisa voltar para baixo do martelo antes que a mesma nota possa ser tocada de novo. Numa mecânica simples, isso só acontece quando a tecla sobe por completo. Notas repetidas depressa, como um trinado, ficariam lentas e irregulares. O piano de cauda resolve isso com uma segunda alavanca, a alavanca de repetição, que segura o martelo no alto o bastante para o saltador deslizar para baixo dele com a tecla ainda subida só em parte. Como o martelo pode ser liberado duas vezes assim, esse mecanismo costuma ser chamado de mecânica de duplo escape.

O que cada peça faz

Acompanhe o empurrão do seu dedo até a corda.

1. Tecla. Uma alavanca de madeira que balança sobre um pino de equilíbrio de aço. No modelo, o pino fica a 240 mm da borda da frente, de modo que a frente desce enquanto a parte de trás sobe.
2. Capstan. Um botão de latão parafusado na parte de trás da tecla. Ele levanta o wippen.
3. Wippen. Uma alavanca articulada numa base própria. Ela leva o saltador e a alavanca de repetição e transforma a subida da tecla num empurrão para cima.
4. Saltador. Em forma de L. Seu braço vertical empurra a articulação sob a haste do martelo; a ponta curta aponta para o botão de escape.
5. Botão de escape. Um botão de feltro sobre um parafuso. Quando a ponta do saltador chega nele, o saltador tomba e solta o martelo.
6. Martelo. Uma haste fina com cabeça de feltro de lã bem prensado sobre um núcleo de madeira. A articulação fica perto do pivô da haste, e por isso um empurrão pequeno faz a cabeça percorrer um caminho longo.
7. Alavanca de repetição. Mantida no alto por uma mola, ela segura a articulação depois do escape e deixa o martelo erguido enquanto o saltador se reposiciona.
8. Retentor. Uma almofada de feltro numa haste, na parte de trás da tecla. Ela segura o martelo na descida para que não quique de volta contra a corda.
9. Abafador. Um bloco de feltro apoiado na corda. A ponta de trás da tecla o levanta por uma alavanca inferior, e assim a corda pode soar enquanto você segura a tecla.
10. Corda. Fio de aço de alto teor de carbono. A maioria das notas tem três cordas afinadas na mesma altura, enquanto o grave cai para duas e depois uma; o modelo mostra três fios para uma nota. Juntas, as cordas puxam a armação de ferro com dezenas de toneladas de força: já em 1875 a Steinway afirmava ter uma placa capaz de suportar 70.000 libras, cerca de 32 toneladas.
11. Fundo do teclado e armação da mecânica. A tábua, os trilhos e os suportes metálicos que mantêm tudo isso alinhado.

Clique em qualquer peça na aba Peças e a câmera vai até ela. Ver por dentro deixa o fundo do teclado e a armação transparentes para você acompanhar o saltador e o botão de escape.

Uma batida, milissegundo a milissegundo

O modelo acompanha uma nota firme. A tecla leva 50 ms para descer, com início e fim suavizados. Veja o que acontece no caminho, com o tempo do próprio modelo.

• 0 ms: a tecla começa a descer. O capstan levanta o wippen, o saltador levanta a articulação e o martelo começa a subir. Ao mesmo tempo, a ponta de trás da tecla elimina uma pequena folga e começa a levantar o abafador da corda.
• 41 ms: a tecla percorreu 92 % do curso. A ponta do saltador encontra o botão de escape e o saltador sai de baixo. A cabeça do martelo está a cerca de 3 mm da corda e se move a mais ou menos 0,66 m/s.
• 46 ms: depois de cerca de 4,6 ms de voo livre, o feltro encontra a corda. Daqui em diante a tecla não tem mais influência sobre o que o martelo faz.
• Depois da batida: o martelo ricocheteia e cai sobre o retentor, que o segura um pouco abaixo da corda enquanto a tecla continua apertada. A alavanca de repetição o levanta um pouco e o saltador desliza de volta para baixo da articulação.
• Soltura: a tecla sobe, o retentor solta o martelo, o martelo volta ao repouso e o abafador cai de volta sobre a corda.

Na velocidade mais lenta (1/50), os 46 ms do dedo até a corda levam 46 × 50 = 2300 ms, ou 2,3 segundos na tela, e só o voo livre dura cerca de um quarto de segundo. É tempo suficiente para ver que o saltador já saiu de baixo quando o feltro chega.

As relações de alavanca, calculadas

Cada alavanca da mecânica troca força por distância. Aqui estão os números do modelo, que usa um curso de tecla de 10 mm e um pino de equilíbrio a 240 mm da frente da tecla.

• Ângulo da tecla no curso completo: atan(10 / 240) = 2,39°.
• O capstan fica 155 mm atrás do pino, então sobe 155 × sin 2,39° = 6,5 mm.
• O pivô do wippen está 145 mm à frente do capstan, então o wippen gira 6,5 / 145 rad = 2,55°.
• O saltador está a 105 mm do pivô do wippen, então sobe 105 × sin 2,55° = 4,7 mm.
• A articulação está a 18 mm do pivô da haste do martelo, então o martelo gira 4,7 / 18 rad = 14,9°.
• A ponta do feltro está a cerca de 148 mm desse pivô, então percorre 148 × 0,259 = 38 mm.

De 10 mm na tecla a 38 mm na cabeça do martelo, a razão é de cerca de 3,8. O ponto de escape em 92 % do curso da tecla deixa 38 × 0,08 = 3,1 mm de voo livre. Num piano de cauda de verdade, essas distâncias são ajustadas por um técnico na regulagem, girando parafusos como o do botão de escape e o do capstan, e os números exatos variam de fabricante para fabricante. Uma razão maior dá um martelo mais leve e rápido para o mesmo movimento do dedo, e uma sensação mais pesada sob o dedo, e por isso os fabricantes põem pesos de chumbo na frente das teclas. O modelo tem dois, os discos cinza perto da frente da tecla.

Doze passos iguais: de onde vêm as frequências

Um piano é afinado em temperamento igual de doze sons. A oitava, uma duplicação da frequência, é dividida em doze semitons, e cada semitom multiplica a frequência pelo mesmo número. Doze multiplicações iguais precisam dar 2, então esse número é a raiz décima segunda de 2:

r = 2^(1/12) = 1,059463

A referência é A4, o lá acima do dó central, que a ISO 16 fixa em 440 Hz. Numere as teclas como o MIDI (A4 é 69, o dó central é 60) e qualquer nota m tem a frequência

f = 440 × 2^((m − 69) / 12)

Alguns valores para conferir com o painel quando você tocar:

C6 está três oitavas acima de C3, então sua frequência é 2³ = 8 vezes maior: 130,81 × 8 = 1046,50 Hz. Um ciclo do dó central dura 1 / 261,63 s = 3,82 ms, de modo que mesmo uma nota curta, segurada por meio segundo, fez a corda ir e voltar cerca de 0,5 × 261,63 = 131 vezes.

Por que o temperamento igual desafina um pouco

Razões simples de frequência soam bem juntas. Uma quinta justa é 3 : 2 e uma terça maior é 5 : 4. O temperamento igual não consegue acertá-las exatamente, porque nenhuma potência de 2^(1/12) é uma razão de números inteiros pequenos.

• A quinta do temperamento igual é 2^(7/12) = 1,498307 em vez de 1,5. Isso é 1,96 cent abaixo (um cent é 1/100 de semitom), o que é difícil de ouvir.
• A terça maior do temperamento igual é 2^(4/12) = 1,259921 em vez de 1,25. Isso é 13,7 cents acima, o que um ouvido treinado percebe.

Você pode ouvir a diferença como batimentos. Toque C4 e G4 juntas: o terceiro harmônico de C4 é 3 × 261,63 = 784,88 Hz e o segundo harmônico de G4 é 2 × 392,00 = 783,99 Hz, então batem cerca de 0,9 vez por segundo. Toque C4 e E4 e o quinto harmônico de C4 (1308,13 Hz) contra o quarto de E4 (1318,51 Hz) bate cerca de 10 vezes por segundo. Os afinadores contam esses batimentos para acertar o temperamento. O preço é que todas as tonalidades soam igualmente aceitáveis, e assim a música pode passar para qualquer tom sem reafinar.

O menu de escalas sob o teclado marca com pontos as notas de uma escala, e o visor de acordes dá nome ao que você está segurando. Segure C, E e G e ele mostra C. Segure A, C e E e ele mostra Am.

Uma corda em números: a lei de Mersenne

A corda é a parte do piano mais fácil de pôr em números. Uma corda esticada vibra numa frequência fundamental

f = (1 / 2L) × √(T / μ)

onde L é o comprimento vibrante em metros, T é a tensão em newtons e μ é a massa de um metro de fio. A raiz quadrada é a velocidade de uma onda ao longo da corda, e a onda precisa ir até a outra ponta e voltar, uma distância de 2L, a cada ciclo. A HyperPhysics, da Universidade Estadual da Geórgia, expõe isso com uma calculadora cujo valor padrão é uma corda de 100 cm sob 50 lb (222 N) com 0,2872 g por metro. A velocidade da onda sai 880 m/s e a nota 440 Hz.

Aqui está o mesmo cálculo para uma corda de A4. Os valores são suposições minhas, escolhidas para serem típicas, e não medidas de um piano específico: fio de aço simples de 1,0 mm de diâmetro (densidade 7850 kg/m³) e comprimento vibrante de 0,33 m. Para comparação, as cordas de piano mais finas têm cerca de 0,85 mm de diâmetro, segundo o estudo de Jaatinen e Pätynen citado nas fontes.

• Massa por metro: μ = 7850 × π × (0,0005)² = 6,17 × 10⁻³ kg/m.
• Velocidade da onda: v = 2Lf = 2 × 0,33 × 440 = 290 m/s.
• Tensão: T = μv² = 0,00617 × 290² = 520 N, o peso de cerca de 53 kg pendurados no fio.
• A4 tem três cordas, então essa única tecla puxa a armação com cerca de 1,56 kN.

Para dar escala, a placa Steinway de 1875 foi construída para suportar até 70.000 libras, que são 311 kN. Um piano de cauda tem 226 cordas se contarmos como a HyperPhysics (10 cordas graves simples, 18 notas com duas, 60 notas com três: 10 + 36 + 180), então a placa poderia admitir 1,4 kN para cada uma. Outro estudo conta 220 em média, e o número varia de fabricante para fabricante. De qualquer modo, 520 N está bem dentro do limite.

A raiz quadrada explica por que a afinação é tão delicada. Um cent muda a frequência por um fator de 2^(1/1200), então a tensão precisa mudar 2^(1/600) − 1 = 0,116 %. Para essa corda, são 0,60 N em 520 N. Uma cravelha que se mova essa quantidade deslocou a nota em um cent.

Isso também explica por que as cordas não são simplesmente divididas ao meio a cada oitava. Com o mesmo fio e o mesmo comprimento, dobrar a frequência exige quatro vezes a tensão: 2080 N para A5 neste exemplo. Dividir o comprimento ao meio resolve com a mesma tensão, mas os fabricantes de verdade se contentam com menos. A HyperPhysics dá uma razão de comprimento entre 1,88 e 1,94 para 1 por oitava. Em sete oitavas, dividir ao meio a cada vez encolheria a corda por 2⁷ = 128, e 1,9 por oitava a encolhe por 1,9⁷ = 89. As cordas do agudo ficam então 128 / 89 = 1,43 vez mais longas do que dividir ao meio daria, de modo que a onda nelas precisa viajar 1,43 vez mais depressa, o que significa que T / μ deve ser 1,43² = 2,05 vezes maior. Os fabricantes mantêm a tensão numa faixa parecida e deixam a massa por metro cair, e por isso o fio do agudo é fino. A HyperPhysics diz o mesmo numa frase: a massa da corda é variada para que as frequências fiquem em seus valores corretos.

O grave tem o problema oposto. Tome A0 em 27,5 Hz com um comprimento suposto de 1,2 m e uma tensão de 700 N. Então μ = 700 / (2 × 1,2 × 27,5)² = 0,161 kg/m e a velocidade da onda é de apenas 66 m/s. Uma haste de aço simples com essa massa por metro teria 5,1 mm de espessura e seria rígida demais. Por isso o fabricante enrola cobre ou latão em volta de um núcleo de aço mais fino, o que acrescenta massa sem acrescentar muita rigidez. As cordas graves prontas chegam a cerca de 8,5 mm de diâmetro. Um ciclo de A0 dura 36 ms, enquanto um ciclo de A4 dura 2,3 ms.

Por que o agudo é afinado mais alto: parciais inarmônicos e afinação alargada

A seção de som abaixo usa a fórmula f_n = n × f × √(1 + B n²) para os parciais. Uma corda ideal, perfeitamente flexível, teria parciais exatamente em 1, 2, 3 e assim por diante vezes o fundamental. Um fio de aço também resiste à flexão, e o efeito cresce quando o comprimento de onda diminui, de modo que cada parcial mais agudo fica um pouco alto demais. B é o coeficiente de inarmonicidade. Ele depende do diâmetro, do comprimento, da tensão e da rigidez do fio. Robert Young o mediu em seis pianos em 1952 e concluiu que a teoria das cordas rígidas se ajusta aos dados. Rudolf Rasch e Vincent Heetvelt mediram cada corda de um piano de cauda de tamanho médio em 1985 e também acharam as medidas em excelente acordo com a fórmula. Eles acrescentam que as cordas mais agudas costumam ter inarmonicidade maior, o que anula parte do seu efeito nas frequências de batimento.

Com o B = 0,00016 do modelo no dó central (261,63 Hz), os parciais saem assim.

Young relata cerca de 1,2 cent para o segundo modo da corda do dó central, e achou quase o mesmo nos seis pianos. Isso corresponde a B ≈ 0,00035, o dobro do valor do modelo. Portanto o modelo é mais brando que os instrumentos reais, e o 8º parcial da tabela não soa de modo algum, porque o ponto de batida o anula.

Esse é o motivo da afinação alargada. Suponha que a corda de A4 tenha B = 0,0004 (suposição minha). Seu segundo parcial fica em 2 × 440 × √(1 + 4 × 0,0004) = 880,70 Hz, que é 1,4 cent acima de 880. Se o afinador ajusta A5 exatamente em 880,00 Hz, o parcial e o fundamental de A5 batem 0,7 vez por segundo. O afinador elimina o batimento subindo A5 cerca de 0,7 Hz. Repetindo isso ao longo do teclado, cada oitava fica um pouco mais larga que 2 : 1. A HyperPhysics dá o resultado: até 30 cents acima no agudo e até 30 cents abaixo no grave. Em C8, isso é 4186,01 × 2^(30/1200) = 4259 Hz em vez de 4186 Hz, e A0 termina perto de 27,03 Hz em vez de 27,50 Hz.

Um estudo de 2022 de Jussi Jaatinen e Jukka Pätynen, em Aalto e Helsinque (Journal of the Acoustical Society of America), concluiu que em pianos verticais e de cauda bem afinados a afinação é alargada sem exceção, e o desvio cresce com a distância da tecla de referência, em geral A4 ou C4. Seus afinadores e músicos de orquestra escolheram uma curva como a que Railsback mediu nos anos 1930. Eles concluem que a inarmonicidade das cordas é a causa principal, com uma preferência geral por oitavas largas também contribuindo.

Os afinadores trabalham com batimentos. No meio do teclado, primeiro acertam uma oitava de temperamento, em geral de F3 a A3. O F3 do temperamento igual vale 174,61 Hz, então seu quinto harmônico é 873,07 Hz, e o quarto harmônico de A3 é 4 × 220 = 880 Hz. Os dois batem a 6,93 Hz (o artigo dá 6,95). Como a inarmonicidade de cada piano é diferente, o artigo observa que são necessárias tabelas específicas para cada instrumento.

As teclas desta página não são alargadas. A frequência no visor é a fórmula simples do temperamento igual. As notas sintetizadas têm parciais agudos altos, mas nenhuma nota é afastada do valor da fórmula como um afinador faria.

Como o som é feito nesta página

Nenhuma gravação é usada. Cada nota é construída no seu navegador com a API Web Audio, e nada toca até você mesmo apertar uma tecla.

• Parciais. Até doze ondas senoidais em múltiplos inteiros da frequência da nota. Uma corda de verdade é rígida, então seus parciais agudos ficam um pouco altos: f_n = n × f × √(1 + B n²). O modelo usa B = 0,00016 no dó central, o que põe o 10º parcial 13,7 cents acima de 10 × f.
• Ponto de batida. Um martelo que bate na corda a 1/8 do seu comprimento não consegue excitar os parciais que têm um nó ali. A amplitude do parcial n é multiplicada por |sin(nπ/8)|, de modo que o 8º parcial falta e o 7º e o 9º são fracos.
• Decaimento. Cada parcial cai depressa no início e depois soa mais devagar, e os parciais mais agudos morrem mais rápido. A constante de tempo lenta é 3,4 s no dó central, 5,0 s em C3 e 1,6 s em C6, então as notas graves soam por mais tempo, como num piano de verdade.
• Abafador. Quando você solta uma tecla, o volume cai com uma constante de tempo de 70 ms, então a nota fica 60 dB mais baixa depois de 0,07 × ln 1000 = 0,48 s.
• Batida do martelo. 20 ms de ruído filtrado para o feltro batendo no fio.

O que o modelo deixa de fora

Uma mecânica real tem mais peças do que o modelo mostra. A base do martelo, o parafuso de queda que define a altura em que a alavanca de repetição deixa o martelo repousar, os parafusos de regulagem, as buchas das teclas e as arruelas de feltro ficam de fora ou fundidas em formas maiores. A corda é encurtada e segue reta, enquanto uma corda de verdade continua para trás sobre um cavalete no tampo harmônico, que é o que transforma a vibração da corda em som no ar. O modelo também usa uma única velocidade de batida; num piano de verdade, a força com que você aperta muda a velocidade do martelo e o timbre, não só o volume. Os toques de mouse e de dedo no teclado daqui usam a posição na tecla no lugar disso: apertar perto da frente de uma tecla toca mais forte.

De onde veio a mecânica do piano de cauda

Cristofori, fabricante de instrumentos de teclado na corte dos Médici em Florença, já tinha construído seu primeiro piano em 1700. Os três instrumentos dele que sobreviveram datam todos da década de 1720, e o de 1720 está no Metropolitan Museum of Art, em Nova York. Sua mecânica já usava alavancas para multiplicar o movimento da tecla, deixava o martelo voar livre no último trecho do curso e levantava o abafador com a ponta da tecla.

Os martelos daquela época eram cobertos de couro. Jean-Henri Pape começou a usar revestimentos de feltro em 1826, segundo a história da Steinway do Smithsonian, enquanto o catálogo de pianos do mesmo museu data seu feltro em camadas cada vez mais finas de 1839. O feltro permitiu martelos mais pesados e uma faixa mais ampla do suave ao forte. Fabricantes de Londres e de Viena seguiram caminhos separados com a mecânica em si, e a mecânica inglesa do fim do século XVIII virou a base do piano de cauda moderno. A alavanca de repetição veio da França: a mecânica de duplo escape de Sébastien Érard, de 1821. A mecânica de cauda do modelo é descendente direta desse projeto.

Quatro maneiras de fazer uma corda soar

A mecânica de cauda do modelo é uma resposta a uma pergunta em que os fabricantes de teclados trabalhavam havia séculos: como uma tecla deve pôr uma corda em movimento? O catálogo da coleção do Smithsonian, escrito por Helen Hollis, descreve bem as respostas anteriores o bastante para compará-las.

O texto do Smithsonian diz do cravo que, como o beliscão acontece à distância, por controle remoto, o músico praticamente não tem poder de variar a dinâmica, e não se consegue uma gradação de volume. Ele cita uma descrição da extensão do clavicórdio: "de quase nada no mínimo a não muito no máximo". Acrescenta que a tangente continua pressionando as cordas enquanto a tecla é segurada, o que deixa o som tão pequeno, e que, variando a pressão, o músico pode produzir uma leve oscilação de altura que os alemães chamam de Bebung. É o inverso do problema do piano: o clavicórdio nunca solta, e toda a mecânica do piano existe para soltar.

Os fabricantes vienenses levaram a ideia do martelo em outra direção. O ensaio do Metropolitan Museum, de Jayson Kerr Dobney, diz que Johann Andreas Stein desenvolveu sua Prellmechanik talvez já em 1769, simplificando a mecânica de Cristofori ao eliminar a alavanca intermediária, de modo que o martelo fica em contato direto com a tecla. O martelo é montado num bloco chamado kapsel, com um bico na ponta. Quando a tecla é apertada, o bico se prende num escape, que lança o martelo em direção à corda. O ensaio a chama de primeira mecânica bem-sucedida que diferia de modo significativo da de Cristofori. O Cornell Center for Historical Keyboards cita a comparação de Hummel: o instrumento vienense tem um mecanismo leve e muito rápido e fala com clareza e prontidão em todos os registros, enquanto o instrumento inglês tem um toque mais profundo e um som mais cheio. Mozart comprou um piano de Anton Walter por volta de 1783, segundo o Met, e a Bösendorfer foi a última grande casa a abandonar a mecânica vienense, passando para a inglesa no início do século XX.

A alavanca de repetição de Érard, introduzida em 1821, uniu as duas tradições. O Smithsonian a descreve como um refinamento que permite ao martelo, enquanto a tecla está baixa, ficar retido no ricochete num ponto próximo das cordas em vez de cair de volta ao repouso. Isso deixa a mecânica mais responsiva, facilita a repetição rápida de uma nota e dá parte do toque da mecânica vienense sem perder a potência da inglesa. É a parte que você pode acompanhar no modelo com a peça Alavanca de repetição selecionada.

Outras coisas cresceram junto com a mecânica. O ensaio do Met diz que os pianos ficaram mais potentes principalmente ao passar de duas cordas em uníssono por nota no século XVIII para três no início do século XIX, e que o cruzamento das cordas, que permitiu cordas muito grossas sob grande tensão, deixou o grave mais forte. A extensão cresceu de cinco oitavas (61 teclas) no fim do século XVIII para sete oitavas (85 teclas) por volta de meados do século XIX, e as caixas ficaram mais pesadas para suportar a carga. O Smithsonian data de 1855 o piano quadrado Steinway de cordas cruzadas com armação de ferro completa, e diz que a armação de ferro e o cruzamento das cordas se tornaram o padrão de todos os modelos seguintes. A coleção de Cornell mostra quantos extras havia: uma cópia de um piano Conrad Graf de 1824 com três pedais e um piano Joseph Simon de 1835 que originalmente tinha cinco, incluindo um registro de fagote com pergaminho pressionado nas cordas graves e um registro janízaro com tambor e sino. Os três pedais de hoje são o pedal suave (una corda), o sostenuto e o pedal de sustentação, como a HyperPhysics os lista. O modelo agora tem os três; veja a seção sobre os pedais mais abaixo.

O piano vertical é ainda outro problema. O Smithsonian diz que Matthias Müller, de Viena, e John Isaac Hawkins, um inglês que trabalhava na Filadélfia, puseram cada um o piano de pé em 1800, com as cordas descendo até o fundo da caixa. O texto observa que um piano vertical precisa de uma mecânica diferente. A queda do martelo não é mais ajudada pela gravidade, então é preciso criar algum arranjo de mola para trazer o martelo de volta prontamente depois da batida. Um piano de cauda não tem esse problema, porque a gravidade faz o serviço. O Smithsonian possui um vertical Hawkins de 1801. Quando seu catálogo foi escrito, em 1973, o único outro conhecido estava na Broadwood, em Londres.

Os três pedais

Um piano de cauda moderno tem três pedais, e o modelo agora também os tem, numa lira à esquerda da mecânica. A descrição da Yamaha é a que o modelo segue. O pedal da direita é o pedal de sustentação (também chamado de pedal de sustain). Ele levanta todos os abafadores de todas as cordas, de modo que as notas continuam soando depois de você soltar as teclas, e cordas que você nunca bateu começam a vibrar por simpatia com as que bateu. No modelo, o abafador sobre a corda sobe e fica levantado, e as notas sintetizadas continuam soando até você soltar o pedal.

O pedal do meio é o sostenuto. É um pedal de abafadores seletivo. Quando você o aperta, ele mantém levantados só os abafadores que já estavam erguidos porque suas teclas estavam baixas naquele momento. As notas que você toca depois são abafadas como de costume quando você solta. O truque é segurar uma nota grave, apertar o sostenuto, soltar a tecla e então tocar acordes staccato por cima: o grave continua soando e os acordes ficam curtos. A versão da Steinway data de 1874; o catálogo do Smithsonian a lista entre as características do piano da Casa Branca de 1903, e a patente americana 156.388, de 27 de outubro de 1874, descreve um pedal na lira que funciona independentemente do pedal de sustentação e age sobre as alavancas dos abafadores. No modelo, o painel mostra quais notas o sostenuto está segurando.

O pedal da esquerda é a una corda. Num piano de cauda, ele desliza todo o teclado e a mecânica um pouco para a direita, de modo que um martelo que batia em três cordas passa a bater em duas, e um que batia em duas passa a bater em uma. O martelo também encontra as cordas com uma parte do feltro que não foi endurecida pelo uso, então o timbre muda além do volume. No modelo, o fundo do teclado, a tecla, o wippen, a barra de escape e o martelo se movem 5,5 mm para o lado enquanto as três cordas e o abafador ficam parados, e a primeira corda deixa de vibrar quando você toca. A nota sintetizada fica cerca de 28 por cento mais suave e com parciais agudos mais fracos; esse valor é uma escolha desta página, não uma medida.

Pianos mais antigos tinham mais pedais. O piano de cauda de André Stein do Smithsonian, de cerca de 1825, tem quatro: sustentação, fagote (um rolo de papel baixado sobre as cordas graves para fazê-las zumbir), surdina (linguetas de couro macio postas entre martelos e cordas) e una corda. Um piano girafa do mesmo fabricante, de cerca de 1810, tem seis, incluindo um bumbo e sinos. Hoje a Fazioli põe um quarto pedal no seu piano de concerto F308 que aproxima os martelos das cordas, o que deixa o som mais suave sem mudar sua cor.

Duplo escape: bater de novo antes de a tecla subir

A alavanca de repetição do modelo é a peça que Érard acrescentou em 1821. Depois que o martelo bate e cai, a alavanca o segura um pouco no alto. Assim que a tecla começa a subir, o saltador pode deslizar para baixo da articulação bem antes de a tecla subir por completo, e o pianista pode bater a mesma nota de novo com uma tecla que subiu só em parte. Uma mecânica de escape simples, como a de Cristofori ou a mecânica inglesa de cauda do modelo do Smithsonian, precisa deixar a tecla subir quase toda antes de o saltador se reposicionar.

Você pode experimentar no teclado. Ajuste a Velocidade para um valor lento, aperte uma tecla, solte e aperte a mesma tecla de novo enquanto a câmera lenta ainda mostra a tecla subindo. Se a tecla estiver entre cerca de 1 e 5,5 mm abaixo nesse momento (10 a 55 por cento do curso de 10 mm), o modelo conta uma repetição: a tecla desce de novo a partir de onde estava, o martelo parte da altura em que a alavanca de repetição o segurava e o visor mostra a profundidade da tecla na segunda batida. Se você apertar de novo com a tecla ainda quase no fundo, o modelo trata como uma batida nova, porque neste modelo simplificado o saltador ainda não se reposicionou. Os limites reais dependem da regulagem de cada piano; esses são os valores do modelo.

Projetar uma corda: comprimento, tensão e espessura

A bancada de cordas do painel é um fio de aço simples entre dois pontos fixos. Sua altura segue a fórmula das páginas da HyperPhysics sobre ondas estacionárias: f = (1/2L)√(T/μ), em que L é o comprimento que vibra, T a tensão e μ a massa de um metro de fio. Para um fio de aço redondo, μ = ρ × π d²/4. A página toma a densidade ρ = 7860 kg/m³ e o módulo de Young E = 200 GPa da tabela de materiais de engenharia da HyperPhysics. Essa tabela lista aço estrutural; o fio de piano é um aço muito mais resistente, mas sua densidade e rigidez são próximas, de modo que esses valores mostram os tamanhos certos.

Tome um fio de 1 mm com 40 cm de comprimento. Um metro dele pesa 7860 × π × 0,001²/4 = 0,00617 kg, ou 6,17 g. Para soar A4 = 440 Hz ele precisa de T = μ(2Lf)² = 0,00617 × (2 × 0,4 × 440)² = 765 N, cerca do peso de 78 kg. Essa é a predefinição A4 da bancada. Divida o comprimento ao meio e a altura dobra; para obter a mesma oitava só pela tensão, seria preciso quatro vezes a tração. Pianos de verdade não conseguem seguir a regra de dividir ao meio até o fim: uma corda grave teria metros de comprimento. A HyperPhysics observa que a razão de comprimento por oitava é de cerca de 1,88 a 1,94 em vez de 2, e que as cordas graves são revestidas de cobre para acrescentar massa sem acrescentar muita rigidez. A Steinway dá 201 cm para a corda vibrante mais longa do seu modelo D, da agrafe ao cavalete. A predefinição de corda mais longa da bancada usa esse comprimento com um fio simples só para mostrar a escala; um fio simples nesse comprimento não alcançaria as notas mais graves.

A rigidez é a outra metade da história. O artigo de Harvey Fletcher de 1964 no Journal of the Acoustical Society of America dá o coeficiente de inarmonicidade de uma corda rígida como B = π³ E d⁴ / (64 T L²). Fios grossos, curtos e frouxos têm B grande; fios finos, longos e tensos têm B pequeno. As barras da bancada mostram quanto cada parcial n fica acima de n × f, em cents, a partir de f_n = n × f × √(1 + B n²). Na predefinição A4, B é cerca de 7,9 × 10⁻⁴, então o 2º parcial fica 2,7 cents acima e o 8º 42 cents acima. Experimente a predefinição do C8 agudo, com 5 cm, e as barras sobem muito mais; uma corda curta do agudo é muito rígida para o seu comprimento. É por isso que o agudo de um piano de verdade é alargado, como explicam a próxima seção e o artigo acima.

Ouvir intervalos iguais e justos como batimentos

Quando duas notas soam juntas, um parcial de uma muitas vezes cai perto de um parcial da outra. Se os dois parciais não são exatamente iguais, o som cresce e diminui tantas vezes por segundo quanto eles diferem em hertz; a HyperPhysics chama isso de frequência de batimento. O painel Batimentos escolhe cinco intervalos a partir de C4 e mostra o par de parciais que quase coincidem. Para a terça maior C4–E4, é o 5º parcial de C4 (1308,13 Hz) contra o 4º de E4 (1318,51 Hz), de modo que o temperamento igual bate 10,38 vezes por segundo. Para a quinta justa C4–G4, é o 3º de C4 contra o 2º de G4, 0,89 batimento por segundo.

A entonação justa usa as razões inteiras pequenas da página da HyperPhysics sobre afinação justa: 5:4 para a terça maior, 3:2 para a quinta, 4:3 para a quarta, 6:5 para a terça menor e 5:3 para a sexta maior. Uma terça maior justa vale 1200 × log₂(5/4) = 386,31 cents, o que é 13,69 cents menos que os 400 do temperamento igual. Escolha Sua afinação e arraste a nota aguda: a taxa de batimento cai ao longo de uma reta e chega a zero em −13,69 cents. O gráfico marca esse ponto com uma linha tracejada. A quinta e a quarta estão a apenas 1,96 cent do justo, e por isso soam quase paradas; as terças e sextas estão de 13,69 a 15,64 cents e batem depressa. O botão Ouvir toca as duas notas por 3 segundos com seis parciais puros cada, de modo que os batimentos são mais fáceis de ouvir do que no som de piano batido.

A parte Alargamento do painel faz o mesmo para uma oitava. Com uma inarmonicidade B para A4, seu 2º parcial fica em 2 × 440 × √(1 + 4B). Com B = 0,0004, são 880,70 Hz, 1,38 cent acima de 880, e um A5 em 2:1 bate contra ele 0,70 vez por segundo. Os dois botões tocam a oitava 2:1 e a alargada, em que A5 fica sobre o parcial e o batimento some.

O instrumento inteiro em um sexto

Atrás da mecânica fica um piano de cauda de concerto em um sexto do tamanho real. Seu contorno segue o Steinway modelo D como a Steinway o lista: 274 cm de comprimento e 156 cm de largura; a mesma página dá 483 kg, uma tensão total das cordas de 20.418 kg e uma corda mais longa de 201 cm. A curva da caixa, os pés e a disposição das cordas são desenhados a olho a partir desse contorno. Dentro há um tampo harmônico de abeto, uma placa de ferro fundido cor de ouro com aberturas redondas, cordas retas do agudo e um segundo andar de cordas graves cruzando por cima delas, o cruzamento de cordas que a patente americana 26.532 de Henry Steinway, de 1859, descreve como cordas em dois andares que aproximam os cavaletes do meio do tampo harmônico. Uma tecla do teclado é vermelha: o dó central, a tecla que o modelo em tamanho real mostra na frente. A tampa é articulada no lado reto e longo e apoiada aberta no lado curvo, como num piano de cauda de verdade.

O catálogo e a origem de seus números

O catálogo do painel lista 38 pianos e primeiras vezes, do inventário dos Médici de 1700 ao Bösendorfer Imperial com 97 teclas. A maior parte da história vem do catálogo do Smithsonian de Helen Hollis, de 1973, que descreve os instrumentos da coleção nacional e data os marcos em torno deles: Silbermann mostrando seus pianos a Bach em 1736 e Bach tocando-os em Potsdam em 1747, o piano quadrado de Zumpe num concerto em Londres em 1767, o piano de Stein elogiado por Mozart em 1777, os primeiros pianos verticais de Müller e Hawkins em 1800, a mecânica de repetição de Érard em 1821, a armação de ferro de Babcock em 1825, as armações de Chickering de 1840 e 1843, as 88 teclas alcançadas na década de 1870 e o 100.000º piano da Steinway em 1903. As patentes da Steinway de 1857, 1859 e 1874 são lidas no Google Patents. Os instrumentos modernos são citados das páginas dos próprios fabricantes: Steinway para o modelo D, Bösendorfer para o 290 Imperial (290 cm, 552 kg, 97 teclas) e Fazioli para o quarto pedal do F308. O guia da Yamaha diz que um piano pode ter até 230 cordas.

As fontes nem sempre concordam nas datas. O ensaio de Hoover no Smithsonian data de 1826 os revestimentos de martelo de feltro de Pape, enquanto Hollis diz que ele produziu camadas cada vez mais finas de feltro tratado em 1839; o catálogo adota 1839, com Hollis como fonte. Onde um item não tem um único ano, como num modelo atual, o ano fica em branco.

Mal-entendidos comuns

• "O martelo fica na corda enquanto a nota soa." Ele a toca por um instante e ricocheteia. Se ficasse, o feltro pararia a corda, que é exatamente o que o escape impede. A corda então soa sozinha até o abafador descer, ou até o som se extinguir.
• "Tocar mais forte só muda o volume." Num piano, uma nota mais forte também é mais brilhante. Daniel Russell, da Penn State, explica que o feltro do martelo age como uma mola que endurece: com grandes forças de impacto, o feltro se comporta como mais duro, de modo que uma nota forte contém mais altas frequências que uma suave. A página dele também dá a data em que o feltro se tornou comum nos martelos, cerca de 1830, e diz que martelos duros dão um timbre brilhante ou áspero e martelos moles um timbre abafado. O modelo usa uma batida fixa, então não consegue mostrar isso.
• "A vale 440 Hz por natureza." É uma convenção, fixada pela ISO 16. Uma afinação em 442 Hz, que algumas orquestras usam, é 1200 × log₂(442 / 440) = 7,85 cents mais alta. É pouco, mas um instrumento em 442 Hz e outro em 440 Hz tocando A4 juntos batem 2 vezes por segundo.
• "Um piano afinado corresponde à fórmula do temperamento igual." Só no meio. A afinação é alargada para longe da tecla de referência, em até cerca de 30 cents nos extremos. Os números desta página são a fórmula, não os de um piano de cauda de verdade afinado.
• "Três cordas significam uma nota mais alta ou mais cheia." As três cordas são afinadas na mesma altura. O ensaio do Met dá como finalidade a potência: passar de duas para três por nota foi uma das principais maneiras de os pianos ficarem mais potentes.

Experimente na tela

1. Confira a fórmula. Clique no teclado e toque A4. A linha Frequência na caixa do canto do modelo mostra 440,00 Hz, e a linha sob o nome da tecla, abaixo do modelo, indica 440 × 2^(0/12). Toque A3 e A5. Você deve ver 220 e 880 Hz, uma razão de 2 a cada vez.
2. Observe a razão do semitom. Toque C4 e depois C♯4 (a tecla preta ao lado). As frequências são 261,63 e 277,18 Hz. Divida a segunda pela primeira e você obtém 1,0595, o mesmo número de qualquer outro par de teclas vizinhas.
3. Desacelere a batida. Arraste Velocidade até a posição mais baixa (1/50×), toque uma nota e leia a linha de fase: A tecla desce, Escape: o martelo voa livre, O martelo bate na corda, O retentor segura o martelo, A tecla sobe. Na primeira fase, a linha Martelo até a corda deve encolher até cerca de 3 mm no escape.
4. Encontre o saltador. Abra a aba Peças e escolha Saltador, depois ative Ver por dentro. No escape, a ponta do saltador encontra o botão de escape e o saltador sai de baixo do martelo.
5. Conte as peças. Arraste Desmontar até o fim e conte as peças. Há treze peças na lista, as onze da mecânica mais os pedais e o piano de cauda em 1:6, e Nomes das peças as identifica.
6. Compare dois intervalos. Segure C4 e G4 juntas, depois C4 e E4. A linha Acorde mostra C5 para o primeiro par e terça maior para o segundo. Escute o batimento lento no primeiro e o mais rápido no segundo, cerca de 0,9 e 10 por segundo pela aritmética acima. Esta síntese inclui parciais agudos, então seu ouvido pode perceber taxas um pouco diferentes.
7. Use uma escala. No menu Escala, escolha Pentatônica de dó maior. Cinco de cada doze teclas ganham um ponto, e a primeira tecla com ponto é a tônica.
8. Aritmética das oitavas. Toque C3 e depois C4, C5 e C6, subindo com a tecla X (Z desce). As frequências são 130,81, 261,63, 523,25 e 1046,50 Hz, cada uma o dobro da anterior.
9. Use os pedais. Aperte Pedal de sustentação ao lado do teclado, toque algumas notas e solte as teclas: elas continuam soando. Aperte de novo para soltar. Depois segure C3, aperte Sostenuto, solte C3 e toque notas curtas mais acima: só C3 continua soando.
10. Observe a una corda. Aperte Una corda e abra a vista Cordas. Toque uma nota: a mecânica desliza para o lado e a primeira das três cordas fica parada.
11. Afine uma terça de ouvido. No painel, abra Batimentos, escolha Terça maior (3º grau) e Sua afinação, e arraste a nota aguda para −13,7 cents enquanto aperta Ouvir. O batimento desacelera e para.