Relógio de pêndulo: teste como o comprimento muda a hora

Que tipo de relógio é este

Um pêndulo mais longo leva mais tempo para oscilar, de modo que um relógio de pêndulo com pêndulo efetivo mais longo anda mais devagar. Subir a lentilha encurta esse comprimento e faz o relógio andar mais depressa. O escape libera o trem de engrenagens no compasso das oscilações e, ao mesmo tempo, fornece pequenos impulsos.

Por que um relógio bate exatamente no mesmo ritmo o dia inteiro? Esta exposição responde com um relógio de pêndulo completo e depois deixa você estragá-lo de todas as maneiras que os relojoeiros passaram três séculos aprendendo a evitar.

O modelo acima é um relógio de caixa alta de cerca de 1,6 m, do tipo muitas vezes chamado em inglês de grandfather clock. A caixa de nogueira tem duas portas de vidro: uma no cabeçote, diante do mostrador, e outra no corpo, diante do pêndulo. Dentro há um movimento acionado por peso, com estrutura vazada para que se veja cada roda, e um pequeno sino em que o relógio bate as horas. Use Vista para abri-lo: Relógio inteiro, Interior (a caixa sai de cena), Escape (uma aproximação da peça que faz o tique) e Relógio de torre, um modelo 1:8 do Great Clock of Westminster.

Acompanhe o relógio de baixo para cima. Um peso puxa uma corda enrolada num tambor. O tambor está preso à roda grande, que move uma cadeia de rodas menores e mais rápidas chamada trem de marcha. No alto do trem fica a roda de escape, e apoiada nos seus dentes está a âncora, que balança de um lado para o outro junto com o pêndulo. O pêndulo decide a que velocidade tudo pode se mover; o peso só fornece a força.

Os números do modelo são os reais para este projeto. O pêndulo é um pêndulo de segundos, a roda de escape tem 30 dentes, as rodas têm 96, 64 e 60 dentes e movem pinhões de 8 asas, e os ponteiros são ajustados para a sua hora local no momento em que a página abriu. A pequena tabela na cena mostra o que o relógio está fazendo agora: a duração de uma batida, quantos segundos por dia ele adianta ou atrasa, a intensidade da gravidade onde ele está, o comprimento efetivo do pêndulo, a largura da oscilação e por quanto tempo o peso ainda o manterá em marcha. Cada um desses números é calculado na própria página a partir dos ajustes em Controles.

Por que o peso não simplesmente cai

Um peso é a bateria mais simples que um relógio pode ter. Erguê-lo armazena energia; baixá-lo libera essa energia no ritmo que o mecanismo permitir. Ao contrário de uma mola enrolada, um peso puxa com a mesma força quando a corda está quase toda enrolada ou quase toda solta, e essa é uma das razões pelas quais os reguladores de precisão continuaram movidos a peso muito depois de as molas se tornarem comuns nos relógios domésticos.

Sozinho, o peso cairia no chão em instantes. No relógio, só lhe é permitido descer na velocidade em que a roda grande gira: uma volta a cada 12 horas. Com o tambor deste modelo (raio de 20,5 mm), isso libera 12,9 cm de corda por volta, ou cerca de 25,8 cm por dia. Os relógios reais de oito dias penduram o peso numa polia, o que reduz a queda pela metade, e dão ao tambor voltas de corda suficientes para a semana inteira. No modelo, Corda no tambor define quantas voltas restam, de 0 a 16; cada volta equivale a 12 horas de funcionamento, então 16 voltas são oito dias. O percurso do peso na tela é encurtado para caber na caixa. Se a corda chegar a zero, o relógio para: o pêndulo continua oscilando sozinho por algum tempo, cada vez menos, até deixar de destravar o escape.

Peso muda a força com que o peso puxa, de 1 a 8 kg. Num pêndulo, um peso maior não faz o relógio andar mais depressa. Ele faz o pêndulo oscilar um pouco mais largo, porque cada impulso do escape leva mais energia. Essa oscilação mais larga muda ligeiramente a marcha, por uma razão explicada adiante, em erro circular. Com o escape mais antigo, o de vara e foliot, o peso muda a marcha diretamente e em grande medida.

Quatro rodas multiplicam a velocidade por 720

Cada eixo do trem leva duas peças: uma roda grande e um pequeno pinhão dentado. A roda de um eixo move o pinhão do eixo seguinte e, como o pinhão é muito menor, o eixo seguinte gira mais depressa. Os relojoeiros contam os dentes do pinhão como "asas".

A roda grande dá uma volta em 12 horas, então o eixo de centro dá 12 voltas em 12 horas, uma por hora. Esse eixo leva o ponteiro dos minutos. O terceiro eixo gira 8 vezes por hora e o eixo de escape, outras 7,5 vezes mais depressa: 60 vezes por hora, uma por minuto. É por isso que o ponteiro dos segundos pode ficar diretamente no eixo da roda de escape.

Repare que o trem só multiplica velocidade. Nada nele sabe o que é um segundo. Sem o escape, o peso faria o trem inteiro girar num borrão e os ponteiros disparariam pelo mostrador.

Terceira roda permite trocar a roda de 60 dentes por outra de 54 a 66 dentes. O ponteiro dos segundos não se importa, porque está no eixo de escape, que continua girando uma vez por minuto. Os ponteiros dos minutos e das horas se importam: com 61 dentes, a roda de escape gira 61 vezes a cada volta do ponteiro dos minutos, de modo que este anda lento por 1 parte em 61, cerca de 1417 segundos por dia. Os relojoeiros escolhem o número de dentes para que as relações saiam exatas, e um único dente a mais é um erro grosseiro. O pêndulo pode estar perfeito e o relógio continuar errado.

O escape deixa o trem avançar meio dente por vez

O escape é o porteiro entre o trem e o pêndulo. Ele faz dois trabalhos ao mesmo tempo: deixa o trem avançar em passos pequenos e iguais e devolve uma quantidade mínima de energia ao pêndulo a cada oscilação, para que o movimento nunca se extinga.

Este modelo usa a forma de repouso do escape de âncora, a versão usada em quase todos os relógios de pêndulo de precisão. Ajuste a velocidade para 0,25× e use a quarta etapa da visita para observar um ciclo de perto:

1. Bloqueio. Um dente da roda de escape repousa na face curva de bloqueio de uma palheta. Essa face é um arco centrado no pivô da âncora; por isso, enquanto o dente pressiona a face, a palheta pode deslizar sem empurrar a roda para trás. A roda fica completamente parada e o pêndulo oscila livremente.
2. Liberação e impulso. Quando o pêndulo volta em direção ao meio, a face de bloqueio desliza para fora do dente e o dente encontra a face inclinada de impulso da palheta. A roda gira e o dente empurra ao longo dessa inclinação, dando à âncora e, por meio da forquilha, ao pêndulo um pequeno empurrão. Isso acontece perto do ponto mais baixo da oscilação, que é o melhor lugar para isso.
3. Queda. O dente escorrega para fora da ponta da palheta. A roda salta para a frente uma curta distância, até que um dente do outro lado caia na face de bloqueio da outra palheta. Esse contato é o tique que você ouve.

As duas palhetas deste projeto ficam separadas por 90° ao redor da roda de escape, o que coloca o pivô da âncora a cerca de 1,41 vez (a raiz quadrada de 2) o raio da roda acima do centro da roda e permite que cada braço encontre a roda tangencialmente. As palhetas abrangem sete dentes e meio; assim, quando uma palheta bloqueia a ponta de um dente, a outra fica exatamente a meio caminho entre dois dentes. Cada oscilação deixa a roda avançar meio dente, e duas oscilações a movem um dente inteiro.

Na âncora de recuo, mais antiga, as faces de bloqueio não são arcos, de modo que o pêndulo empurra a roda ligeiramente para trás depois de cada tique. Dá para ver a diferença nos relógios antigos: se o ponteiro dos segundos dá um pequeno salto para trás depois de cada tique, o relógio tem escape de recuo.

Quatro escapes, seis séculos

Escape troca a peça que faz o tique. Cada um foi a melhor resposta disponível em sua época.

Vara e foliot (a partir do século XIV). Os primeiros relógios mecânicos não tinham pêndulo algum. Um eixo vertical, a vara, leva duas pequenas palhetas que prendem os dentes de uma roda de coroa, uma roda cujos dentes apontam ao longo do eixo. No alto da vara fica o foliot, uma barra com dois pesos. A roda de coroa empurra uma palheta, o foliot gira, a outra palheta prende um dente do lado oposto e o empurrão se inverte. O foliot não tem período natural próprio: ele oscila tão depressa quanto a roda de coroa consegue empurrá-lo. Com um peso mais pesado, o relógio anda mais depressa; com os pesos do foliot movidos para fora, anda mais devagar. No modelo, Comprimento do pêndulo move os pesos do foliot quando a vara está instalada. A oscilação é larga, cerca de 40° para cada lado, e a marcha acompanha a força motriz. Passar de 4 kg para 6 kg no modelo faz o relógio de vara adiantar mais de cinco horas por dia.

Âncora de recuo (Londres, por volta de 1671). Com o pêndulo, o relógio finalmente ganhou um regulador com período próprio. A âncora fez o pêndulo oscilar apenas alguns graus, o que tornou práticos os pêndulos longos e lentos. Suas faces de palheta são rampas retas; por isso, depois de cada tique, a oscilação continua e empurra a roda de escape ligeiramente para trás. Observe a roda de escape no modelo com a âncora de recuo instalada: ela estremece um pouco para trás toda vez que um dente trava.

Repouso (George Graham, por volta de 1715). Graham moldou as faces de bloqueio como arcos ao redor do pivô da âncora. O dente repousa no arco e não se move, de modo que a roda e o ponteiro dos segundos param completamente entre os tiques. O impulso vem perto do ponto mais baixo da oscilação, onde menos perturba o período. Este é o escape do modelo quando ele abre e foi o padrão dos relógios de pêndulo de precisão até os relógios elétricos os substituírem.

Gafanhoto (John Harrison, década de 1720). Harrison, carpinteiro que fez seus primeiros relógios em grande parte de madeira, queria um relógio que dispensasse óleo, porque o óleo engrossa e altera a marcha. Seu escape de gafanhoto prende cada dente com um braço articulado que se afasta limpamente, sem atrito de deslizamento. Segundo Royal Museums Greenwich, seus relógios de caixa alta de precisão de meados da década de 1720 mantinham a hora com erro de cerca de um segundo por mês.

Um quinto tipo, o escape de gravidade, aparece no relógio de torre: nele o trem apenas ergue dois braços, e o pêndulo é empurrado pela queda desses braços sob o próprio peso. Mais sobre isso adiante.

Por que o pêndulo mede o tempo

O período de um pêndulo, o tempo de uma oscilação completa de ida e volta, depende quase só do comprimento e da gravidade. Para pequenas oscilações:

T = 2π √(L / g)

Um pêndulo de segundos leva um segundo para cada oscilação simples, então seu período completo é de 2 segundos. Com a gravidade padrão, g = 9,80665 m/s², isso exige L = gT²/4π² = 0,9936 m, medido do ponto de flexão da mola de suspensão ao centro de oscilação da lentilha. Essa é a haste longa que você vê no modelo e a razão de os relógios de caixa alta terem a forma alta que têm.

A roda de escape de 30 dentes e o pêndulo de segundos combinam exatamente: 2 batidas por dente × 30 dentes = 60 batidas por volta = uma volta por minuto.

Experimente Comprimento do pêndulo. Como o período é proporcional à raiz quadrada do comprimento, um quarto do comprimento bate duas vezes mais depressa: a 0,25 m, cada batida leva cerca de 0,50 s e o relógio anda ao dobro da velocidade. Reduzir a batida pela metade exige um pêndulo quatro vezes mais curto, e é por isso que os relógios de lareira, de pêndulo curto, batem depressa e os relógios de torre, de pêndulo longo, batem devagar. A porca de regulagem é uma versão muito mais fina do mesmo controle: ela move a lentilha para cima ou para baixo em frações de milímetro.

A gravidade não é igual em todo lugar

A fórmula tem uma segunda variável, e ela não é constante. A gravidade é cerca de 0,5% mais forte nos polos do que no equador, em parte porque a Terra é abaulada no equador, o que o afasta do centro dela, e em parte porque a rotação da Terra lança você um pouco para fora ali. Ela também enfraquece com a altura, cerca de 0,003 m/s² por quilômetro.

O modelo usa a fórmula padrão para a forma da Terra (a fórmula de gravidade normal WGS 84) mais essa correção de altura. O relógio foi regulado a 45° de latitude ao nível do mar. Mova-o com Latitude e Altitude, ou com os botões de lugares no laboratório sob Controles, e veja o que acontece:

Cinco milímetros separam o pêndulo de segundos do equador do pêndulo de segundos do polo.

Calor, frio e pêndulos compensados

Os metais crescem quando aquecem. Uma haste de aço se expande cerca de 12 milionésimos do seu comprimento por grau Celsius. Para um pêndulo de 0,994 m, isso dá 0,012 mm por grau, o que parece nada até você lembrar que um milímetro vale cerca de 43 segundos por dia. Aqueça a sala em 10 °C e um pêndulo de aço simples perde cerca de 5 segundos por dia. É por isso que um relógio sem compensação anda lento no verão e rápido no inverno.

Haste do pêndulo oferece cinco respostas.

• Haste de aço. A haste simples do modelo. Expansão de cerca de 12 × 10⁻⁶ por °C: entre 5 °C e 30 °C, a marcha muda cerca de 13 s ao dia.
• Haste de madeira. A madeira de fibras retas se expande muito menos ao longo das fibras, cerca de 4 × 10⁻⁶ por °C no modelo, e por isso muitos bons relógios domésticos a usavam. Ela incha com a umidade, algo que uma haste de metal ignora.
• Grelha. Projeto de John Harrison de 1726: hastes de aço se expandem para baixo e hastes de latão, que se expandem cerca de 19 × 10⁻⁶ por °C, são dispostas para se expandir para cima. Se as hastes forem cortadas de modo que comprimento de aço × 12 seja igual a comprimento de latão × 19, os dois efeitos se anulam. Para um comprimento líquido de 0,994 m, isso significa cerca de 2,70 m de aço e 1,70 m de latão em série, e é por isso que as grelhas têm cinco ou nove hastes lado a lado.
• Recipiente de mercúrio. A solução de George Graham de 1721: a lentilha é um vaso de vidro com mercúrio. Quando a haste se alonga e baixa o vaso, o mercúrio se expande e seu nível sobe, elevando o centro da lentilha. O mercúrio se expande cerca de 181 milionésimos do seu volume por grau; o cálculo do modelo dá uma coluna de cerca de 14,6 cm de altura para compensar uma haste de aço de 0,994 m.
• Haste de invar. O invar, uma liga de ferro com cerca de 36% de níquel, quase não se expande: cerca de 1,2 × 10⁻⁶ por °C no modelo. Muitos reguladores de precisão do século XX o usaram.

Um pêndulo compensado real nunca anula tudo perfeitamente; por isso, o modelo dá à grelha e ao recipiente de mercúrio uma pequena expansão residual. Experimente a terceira tarefa do laboratório: aqueça a sala a 30 °C, veja o pêndulo de aço perder tempo e escolha uma haste que mantenha a diferença entre 5 °C e 30 °C dentro de 2 segundos ao dia. O gráfico do laboratório mostra um ano inteiro, com a sala indo de 5 °C em janeiro a 30 °C em julho: o pêndulo de aço oscila por vários minutos ao longo do ano, enquanto os compensados ficam dentro de segundos.

Erro circular e força motriz

T = 2π √(L / g) só é exata para oscilações infinitesimalmente pequenas. Oscilações mais largas demoram um pouco mais, problema que Christiaan Huygens analisou em seu livro de 1673, Horologium Oscillatorium. Para uma oscilação de θ para cada lado, o período cresce aproximadamente θ²/16, com θ em radianos. Essa correção é minúscula, mas nunca desaparece: o pêndulo de repouso do modelo oscila ±3°, o que já custa cerca de 15 segundos por dia em comparação com uma oscilação infinitamente pequena. A porca de regulagem resolve isso uma vez.

O problema surge quando a oscilação muda. Se a força motriz muda, por óleo que engrossa, por um pivô sujo ou por um peso diferente, a oscilação muda, e a marcha com ela. Passar de ±3° para ±4° faz perder cerca de 11,5 segundos por dia. Foi por isso que os escapes de oscilações pequenas e estáveis representaram um avanço tão grande, e por isso Peso tem efeitos tão diferentes:

O modelo trata a oscilação como crescendo com a raiz quadrada da força motriz, uma regra simples que basta para mostrar a diferença. Em 1826, o astrônomo George Airy mostrou que um impulso dado simetricamente em torno do ponto mais baixo da oscilação não altera o período, e essa é a razão de o escape de repouso dar seu impulso ali.

Os números calculados

Esses valores foram calculados com a fórmula do pêndulo. Para comprimento, temperatura e gravidade, o período varia com a raiz quadrada de L/g; portanto, uma variação fracionária em qualquer um deles dá metade dessa variação fracionária na marcha. Para a amplitude, usou-se o período exato de oscilações largas (a forma da média aritmético-geométrica, que a página confere com a série 1 + θ²/16 + 11θ⁴/3072 + …).

A porca de regulagem sob a lentilha é o ajuste do dono. Girá-la move a lentilha para cima ou para baixo uma fração de milímetro e, pela primeira linha da tabela, um único milímetro vale mais de 40 segundos por dia. A primeira tarefa do laboratório começa com um relógio que perde cerca de 10 segundos por dia: cerca de um quarto de milímetro na porca resolve.

Bater as horas

Um relógio que bate as horas tem um segundo trem ao lado do trem de marcha, em muitos relógios de caixa alta com peso próprio. Quando o ponteiro dos minutos chega à hora, uma alavanca o libera. O trem de soneria ergue um martelo e o deixa cair sobre o sino uma vez para cada hora: uma vez à uma hora, doze vezes ao meio-dia e à meia-noite, 78 batidas em 12 horas. Um pequeno ventilador, o regulador de ar, gira enquanto o trem funciona; a resistência do ar em suas pás mantém as batidas igualmente espaçadas. Quando o número certo de batidas foi dado, o trem é travado de novo até a hora seguinte.

No modelo, o controle Bater as horas liga ou desliga a soneria, e o laboratório tem um botão para bater a hora atual imediatamente. O relógio armilar de Song I-yeong, de 1669, fazia o mesmo trabalho de outro modo: bolas de ferro rolando por um canal acionavam seu martelo.

Um relógio de torre: o Great Clock of Westminster

Com Vista em Relógio de torre, a câmera passa a um modelo 1:8 do relógio da Elizabeth Tower, o relógio que a maioria das pessoas chama de Big Ben (a rigor, Big Ben é o sino das horas). UK Parliament publica os dados: quatro mostradores de 7 m de largura, cada um com 324 peças de vidro opalino e com o quatro das horas escrito IV; ponteiros dos minutos de 4,2 m de comprimento; um movimento de 4,7 m de comprimento e 1,4 m de largura sobre uma estrutura de ferro fundido que pesa 5 toneladas; e um pêndulo de 4,4 m de comprimento e 310 kg que bate uma vez a cada 2 segundos. Sua lentilha, de 203 kg, é feita de tubos concêntricos de aço e zinco.

Uma batida de 2 segundos exige um comprimento efetivo de cerca de 3,98 m na gravidade de Londres, e por isso o pêndulo, medido por inteiro, tem 4,4 m. No modelo, ele pende por uma abertura no piso da sala do relógio.

Quando o astrônomo real George Airy foi árbitro do concurso de 1846 para o relógio, pediu que ele fosse preciso a menos de um segundo ao bater as horas. Nenhum projeto foi bom o bastante até o de Edmund Beckett Denison, de fevereiro de 1852. O relógio foi instalado em abril de 1859 e começou a marcar a hora em 31 de maio de 1859, conferido por telégrafo com os cronômetros de Greenwich.

A resposta de Denison à exigência de Airy foi o escape de gravidade duplo de três pernas. Num relógio de torre, vento e neve pressionam ponteiros enormes, e essa força volta pelo trem. Num escape de âncora, ela chegaria ao pêndulo e mudaria sua oscilação. No escape de gravidade, o trem nunca toca o pêndulo: ele apenas ergue dois braços, um depois do outro, e cada braço então cai e empurra o pêndulo só com o próprio peso. O empurrão é o mesmo, aconteça o que acontecer com os ponteiros. Um regulador de ar no eixo de escape freia a roda para que ela não bata com força nos braços.

O Great Clock é regulado com pennies anteriores à decimalização, colocados numa bandeja sobre o pêndulo. Acrescentar um faz o relógio adiantar dois quintos de segundo (0,4 s) em 24 horas, porque a moeda eleva o centro de oscilação do pêndulo uma quantidade minúscula. A última tarefa do laboratório faz o modelo começar perdendo 1,2 segundo por dia; três pennies o acertam.

A precisão que alcançaram

O gráfico de comparação do laboratório mostra, em escala logarítmica, o erro por dia informado pelas fontes e acrescenta o seu relógio com os ajustes atuais:

Em cerca de 230 anos, os melhores relógios de pêndulo melhoraram por um fator de vários milhares. A maior parte disso veio de atacar, um a um, os erros descritos acima: o escape (erro circular e força motriz), a haste (temperatura) e, por fim, a ligação entre pêndulo e trem, que Riefler tornou quase livre e que Shortt eliminou por completo ao entregar os ponteiros a um segundo pêndulo, escravo.

Como surgiu o relógio de pêndulo

Os relógios mecânicos apareceram nas torres europeias no século XIV, regulados por uma vara e uma barra oscilante chamada foliot. Sua marcha dependia muito da força motriz, e erros de muitos minutos por dia eram normais.

Em 1656, Christiaan Huygens construiu o primeiro relógio de pêndulo. Galileo havia estudado pêndulos décadas antes e esboçado um relógio de pêndulo, mas nunca chegou a concluir um antes de morrer, em 1642. Os primeiros relógios de pêndulo de Huygens erravam menos de um minuto por dia, e seus aperfeiçoamentos posteriores, menos de dez segundos. Em 1673 ele publicou Horologium Oscillatorium, uma análise matemática do movimento do pêndulo que mostrou por que as oscilações largas eram um problema.

O escape de âncora veio por volta de 1670: NIST data de 1671 os primeiros relógios de William Clement com o novo escape de âncora, ou de recuo, em Londres. A forma de repouso se tornou famosa com George Graham em seus reguladores de precisão a partir de cerca de 1715. No século XIX, já havia se espalhado pela maioria dos bons relógios de pêndulo.

Na Coreia, o professor de astronomia Song I-yeong construiu em 1669 um relógio armilar para o Office of Special Counselors. Dois pesos o movem: um gira o trem horário e o outro aciona um mecanismo de soneria em que bolas de ferro rolam por um canal e acionam o martelo. É o único relógio astronômico preservado do período Joseon, fica no Korea University Museum e é Tesouro Nacional da Coreia.

Os relógios de pêndulo atingiram seu auge no início do século XX. O relógio de Siegmund Riefler de 1889, com pêndulo quase livre, mantinha a hora com erro de um centésimo de segundo (0,01 s) por dia, e o relógio de pêndulo livre Shortt de 1921 o substituiu em muitos observatórios. NIST, então National Bureau of Standards, usou um Riefler como padrão de intervalo de tempo a partir de 1904 e um Shortt a partir de 1929. Os osciladores de quartzo, desenvolvidos a partir da década de 1920, e depois os relógios atômicos deixaram para trás todos os cronometradores mecânicos. Hoje o próprio segundo é definido pela frequência do átomo de césio 133, e os pêndulos são medidos em relação aos átomos, e não o contrário.

Veja o erro se acumular

Uma marcha de alguns segundos por dia é difícil de imaginar; por isso, a cena pode mostrar onde os ponteiros estarão mais tarde. Ponteiros fantasma coloca um segundo par de ponteiros vermelhos no mostrador, ajustado para a hora que o relógio mostrará depois de um dia, uma semana, 30 dias ou um ano com o erro atual. Avanço rápido faz esses dias passarem em cerca de três segundos, enquanto os ponteiros vermelhos se afastam dos reais.

Um relógio regulado a 45° de latitude e levado ao equador perde cerca de 114 segundos por dia. Após uma semana, o ponteiro fantasma dos minutos está 13,3 minutos atrás. Um pêndulo de aço simples numa sala a 30 °C perde 5,4 segundos por dia, o que dá 38 segundos em uma semana e 162 segundos em 30 dias. Escolha uma haste compensada e os ponteiros fantasma ficam perto dos reais.

O botão Meta: 0,0 s, na primeira tela, inicia a tarefa de regulagem mais fina. O relógio é levado a Seul e a sala está a 24 °C, então ele começa 32,0 segundos por dia atrasado. Os botões da porca na cena giram a porca de regulagem 0,1 mm por vez, o que vale cerca de 4,3 segundos por dia. Os botões Fino a giram 1/250 de volta. Com uma rosca de 0,5 mm por volta, isso dá 0,002 mm, cerca de 0,09 segundo por dia, pequeno o bastante para levar o erro a 0,0 segundo. A porca termina perto de 1,49 mm.

A haste sob a lupa

A dilatação térmica é pequena demais para ser vista em tamanho real. Lupa da haste desenha o pêndulo a 20 °C ao lado do pêndulo atual e amplia apenas a variação, de algumas centenas a alguns milhares de vezes. Aqueça a sala de 20 °C a 40 °C e o comprimento efetivo da haste de aço aumenta 0,238 mm. Uma haste de madeira aumenta 0,080 mm. O Wood Handbook do US Forest Products Laboratory dá de 3,1 a 4,5 milionésimos por kelvin ao longo das fibras para a madeira seca, e o modelo usa 4. Uma haste de invar aumenta 0,024 mm. Charles Edouard Guillaume recebeu o Prêmio Nobel de Física de 1920 pela descoberta das anomalias nas ligas de aço e níquel que estão por trás do invar.

Numa grelha, a lupa mostra duas setas. As hastes de aço, 2,70 m delas em série, empurram a lentilha para baixo 0,647 mm, e as hastes de latão a elevam de volta 0,631 mm, de modo que a lentilha se move apenas 0,016 mm. O recipiente de mercúrio faz o mesmo com uma coluna de mercúrio. A haste baixa o vaso 0,238 mm, o mercúrio que sobe eleva o centro da lentilha 0,227 mm e sobram 0,012 mm. Essa sobra é a pequena expansão residual do modelo para hastes compensadas (0,8 e 0,6 milionésimo por °C), e não a medida de um relógio específico.

A gravidade num mapa

O laboratório tem um mapa-múndi com 18 cidades. Tocar numa cidade leva o relógio para lá com sua altitude, e tocar em qualquer outro ponto define aquela latitude ao nível do mar. A gravidade vem da fórmula de gravidade normal WGS 84. Ela depende apenas da latitude, então norte e sul dão o mesmo valor, e diminui 3,086 × 10⁻⁶ m/s² para cada metro de altura. A escala ao lado do mapa vai de 9,780 m/s² no equador a 9,832 m/s² nos polos. A aceleração padrão da gravidade, 9,80665 m/s², é um valor de referência fixo listado pelo NIST e fica próxima do valor a 45°.

O relógio foi regulado a 45° de latitude ao nível do mar, então o mapa dá estes erros diários antes de qualquer correção. Quito, a 2850 m de altitude e quase no equador, está 153 segundos atrasada. Lhasa, a 3650 m, está 108 segundos atrasada, e Seul, 30 segundos atrasada. Londres está 25 segundos adiantada, Reykjavík 70 segundos adiantada e o Polo Norte 114 segundos adiantado. O pêndulo de segundos também muda com a gravidade, de 990,1 mm em Quito a 996,2 mm no polo.

Relógios de água, astronômicos e os intermediários de Harrison

O relógio de água com soneria da Coreia é mais antigo que qualquer relógio de pêndulo. Jagyeongnu foi construído em 1434, sob o rei Sejong, por Jang Yeong-sil, e tocava sozinho um sino, um gongo e um tambor em horários determinados. A água fluía de um grande vaso por um menor até um vaso receptor alto, e bolas de ferro, cada uma acionando a seguinte, batiam nos instrumentos ou faziam figuras de madeira erguerem uma placa com a hora. O que sobreviveu vem de uma reconstrução de 1536 e é Tesouro Nacional no National Palace Museum of Korea. O maior vaso de bronze tem 93,5 cm de diâmetro e 70,0 cm de altura.

O relógio astronômico de Praga foi construído em 1410 por Mikuláš of Kadaň e melhorado no fim do século XV. Parou em 1865 e correu o risco de ser removido, até que o relojoeiro Ludvík Hainz o consertou. Seu mostrador exibe quatro tipos de hora, incluindo as horas babilônicas desiguais, contadas do nascer ao pôr do sol. O relógio astronômico da Catedral de Estrasburgo é o terceiro naquele local. O segundo parou de vez em 1788, e Jean-Baptiste Schwilgué construiu um mecanismo inteiramente novo para sua caixa renascentista entre 1838 e 1842.

H2 e H3 ficam entre H1 e H4. H2, feito entre 1737 e 1739, acrescentou um remontoir para manter uniforme a força que acionava seus dois balanços, mas Harrison encontrou um defeito nesses balanços e nunca o deixou ir ao mar. H3, iniciado em 1740, levou quase 19 anos para ser construído e ajustado e nunca ganhou o prêmio. Ele introduziu a lâmina bimetálica e o rolamento de rolos com gaiola, ambos ainda em uso. Esses relógios e o invar de Guillaume agora estão na lista do laboratório, que tem 49 entradas.

O que o modelo simplifica

• O percurso do peso é encurtado para caber na caixa: na tela, 16 voltas de corda ocupam 0,47 m, enquanto o tambor real liberaria cerca de 2 m.
• Vara e foliot são instalados no mesmo movimento dos outros escapes para que você possa trocá-los. Os relógios de foliot reais eram relógios de torre e de câmara com outros trens, e suas rodas de coroa tinham números de dentes próprios. Aqui, a batida é de 1 segundo a 4 kg, para que os ponteiros continuem comparáveis.
• A oscilação cresce com a raiz quadrada da força motriz em todos os escapes. Os escapes reais também têm pequenos erros próprios (a âncora de recuo, por exemplo, compensa em parte o erro circular), que o modelo deixa de fora.
• Os coeficientes de expansão são valores típicos de manual, e as hastes compensadas recebem uma pequena expansão residual, em vez de um zero perfeito.
• O relógio de torre é um esboço 1:8: os três trens são desenhados como rodas e tambores simples, e a roda de escape gira 60° por batida no modelo.
• Pressão do ar, umidade, rigidez da mola de suspensão e distribuição de massa do próprio pêndulo não são modeladas. Um pêndulo de segundos real é um pouco mais longo no total que 0,994 m, porque seu centro de oscilação fica ligeiramente abaixo do centro da lentilha.

Experimente

O laboratório sob os controles tem dez tarefas. Cada uma prepara o relógio para você, e uma marca aparece quando o relógio atinge o objetivo. Seu progresso fica guardado neste navegador.

1. Corrija um relógio que perde 10 segundos por dia usando só a porca de regulagem.
2. Encontre o pêndulo de segundos: ajuste o comprimento para que uma batida leve 1,000 s com a porca em zero.
3. Por que ele atrasa no verão? Aqueça a sala e escolha uma haste que anule o calor.
4. Leve o relógio ao equador e corrija-o.
5. Compare a vara e o repouso quando o peso passa de 4 kg para 6 kg.
6. Regule o Big Ben com pennies.
7. Busque 0,0 s por dia: regule o relógio em Seul com a porca e os botões Fino na cena.
8. Um mês de verão: escolha uma haste para que os ponteiros fantasma fiquem dentro de 25 segundos após 30 dias a 30 °C.
9. Leve o relógio a Lhasa no mapa-múndi e regule-o.
10. Ache uma haste que cresça menos de 0,05 mm entre 20 °C e 40 °C na Lupa da haste.

Sob as tarefas há uma calculadora de desvio (quanto os ponteiros se afastam depois de um dia, uma semana, um mês e um ano), o ano de temperatura ambiente, lugares com gravidade diferente, o gráfico de precisão, um mapa-múndi da gravidade e 49 relógios e marcos da história, cada um com sua fonte e um botão que ajusta o modelo para corresponder.