摆钟原理：调节摆长，观察走时变化

这是一座什么样的钟

摆钟原理的关键是摆长决定摆动节奏：摆越长，单次摆动所需时间越多，有效摆长较长的钟就走得较慢。抬高摆锤会缩短有效摆长，使钟走快。擒纵机构按摆动节奏释放轮系，同时提供微小推力。

为什么钟整天都能保持相同的滴答节奏？这件展品用一座完整摆钟回答这个问题，再让你逐一制造出制钟师花了三个世纪才学会防止的误差。

上方模型是一座约 1.6 m 高的长箱钟，英语常称 grandfather clock。胡桃木钟壳有两扇玻璃门，一扇在钟头表盘前，一扇在箱体钟摆前。内部为重锤驱动的镂空机芯，每个齿轮都能看清，还有一只整点敲响的小铃。用「视图」打开它：「整座摆钟」、「内部」（移开钟壳）、「擒纵机构」（近看滴答部件）和「钟塔」，后者是 Great Clock of Westminster 的 1:8 模型。

从下向上看：重锤拉着绕在鼓轮上的绳索。鼓轮与大轮固定相连，带动一串更小、更快的齿轮，称为走时轮系。末端是擒纵轮，锚形叉搭在齿上，随钟摆来回摆动。钟摆决定整套机构允许走多快，重锤只提供动力。

模型使用此设计实际所需的数值。摆是秒摆，擒纵轮有 30 齿，96、64 和 60 齿的轮驱动各有 8 齿的小齿轮；打开页面时指针设为你的当地时间。舞台小表显示当前每拍时长、每天快慢多少秒、当地重力、有效摆长、摆幅，以及重锤还能维持多久。数值均由页面根据「操作」中的设置实时计算。

重锤为什么不会直接落下

重锤是钟最简单的储能装置。抬起时存能，下降时按机构允许的速度释放能量。与盘绕发条不同，无论绳索剩得多还是少，它都以相同拉力牵引。因此，家用钟广泛使用发条后，精密调节钟仍长期保留重锤。

单独放开，重锤很快就会落地。装进钟后，它只能随大轮下降，而大轮每 12 小时转一圈。模型鼓轮半径为 20.5 mm，每圈放出 12.9 cm 绳索，每天约 25.8 cm。真实八日钟把重锤挂在滑轮上，使下降距离减半，并绕足整周的绳。模型的「鼓轮上的绳圈」可设剩余 0 至 16 圈，每圈维持 12 小时，16 圈即八天。屏幕下降行程缩短，以便装进钟壳。把绳圈降到零，钟会停下；摆仍独自摆动一会儿，越来越小，直到不能解锁擒纵机构。

「重锤」改变 1 至 8 kg 的牵引重量。有钟摆时，加重不会直接使钟走快，而会令摆幅稍大，因为每次擒纵推力传递更多能量。摆幅增大又会略微改变走时，原因见后文圆弧误差。最古老的冠轮与横杆摆则不同：重量直接且显著地改变走时。

四个齿轮把转速放大 720 倍

每根轴都装一只大轮和一只小齿轮。前一轴的大轮带动下一轴的小齿轮，因为小齿轮小得多，下一轴就更快。小齿轮的齿在制钟术语中也称「翼」。

大轮每 12 小时转一圈，因此中心轴在 12 小时转 12 圈，即每小时一圈。它带着分针。第三轴每小时转 8 圈，擒纵轴再快 7.5 倍，即每小时 60 圈，每分钟一圈。这就是秒针可直接装在擒纵轴上的原因。

轮系只放大转速，没有任何一部分知道一秒是什么。若没有擒纵机构，重锤会让整套轮系飞转，指针在表盘上狂奔。

「第三轮」允许把 60 齿轮换成 54 至 66 齿。秒针不受影响，因为擒纵轴仍每分钟转一圈，分针和时针却会改变。61 齿时，分针每转一圈，擒纵轮须转 61 圈，分针因此慢了 1/61，每天约 1417 秒。制钟师选择齿数以取得精确传动比，多一齿就是严重错误。即使钟摆完美，钟仍可能报错时间。

擒纵机构每次只放行半齿

擒纵机构守在轮系与钟摆之间，同时完成两项工作：让轮系等距小步前进，并在每次摆动时把一点能量返给钟摆，使摆动不会衰竭。

模型采用锚形擒纵的静止式，几乎所有精密摆钟都使用这一形式。将速度设为 0.25×，用导览第四步近看一个周期：

1. 锁止。 擒纵轮的一颗齿停在锁瓦弯曲的锁止面上。该面是以锚形叉支点为圆心的圆弧，因此齿压着它时，锁瓦可滑过而不把轮推回。轮完全停住，钟摆自由摆动。
2. 解锁与冲量。 钟摆向中间返回时，锁止面滑离齿，齿接触倾斜的冲量面。轮转动，齿沿斜面施力，经锚形叉和摆叉轻推钟摆。冲量发生在最低点附近，这是最有利的位置。
3. 落齿。 齿滑出锁瓦末端，轮略向前跳，直到另一侧的一齿落到另一锁瓦的锁止面上。落上的撞击就是滴答声。

两片锁瓦沿擒纵轮相隔 90°，使锚形叉支点位于轮心上方约 1.41 倍轮半径处，即 2 的平方根，各臂与轮相切。锁瓦跨度为七齿半：一侧锁住齿尖时，另一侧恰在两齿中间。每摆一次放行半齿，两次共一整齿。

较早的反冲式锚形机构没有圆弧锁止面，钟摆在每次滴答后会略把轮推回。旧钟上能看见差别：秒针每跳一下就稍微后退，说明使用反冲式。

四种擒纵，六个世纪

「擒纵机构」切换发出滴答的部件。每一种都是其时代当时最好的解决办法。

冠轮与横杆摆，从 14 世纪起。 最初机械钟完全没有钟摆。竖直的擒纵轴带两片锁片，拦住齿朝轴向伸出的冠轮。轴顶是横杆摆，两端各有重块。冠轮推一片锁片，横杆转动，另一锁片在对侧拦住一齿，推力随即反向。横杆没有固有周期，冠轮推多快就摆多快。加重驱动重锤，钟会变快；把横杆重块向外移，钟会变慢。选择冠轮式时，「摆长」改为移动横杆重块。摆幅很大，约左右各 40°，节奏随动力变化。模型中从 4 kg 加到 6 kg，会每天快五个多小时。

反冲式锚形，伦敦，约 1671 年。 钟摆终于提供有固有周期的调速器。锚形机构把摆幅缩到几度，使缓慢长摆实用化。锁瓦面是直斜面，滴答后钟摆继续运动，稍微把轮向后推。选反冲式观察模型，每次锁齿时轮都会向后抖一下。

静止式，George Graham，约 1715 年。 Graham 把锁止面做成以支点为圆心的弧。齿静止停在弧面上，轮和秒针在两次滴答之间完全停住。冲量在最低点附近，最少干扰周期。模型打开时默认采用它；直到电钟取代摆钟，它都是精密摆钟的标准。

蚱蜢式，John Harrison，1720 年代。 Harrison 是木匠，早期钟大多用木头做。他想让钟不需油，因为油变稠会改变走时。蚱蜢式用铰接摆臂接住每颗齿，再无滑动摩擦地退开。Royal Museums Greenwich 记载，他在 1720 年代中期的精密长箱钟每月误差约一秒。

第五种是钟塔上的重力擒纵：轮系仅抬起两个摆臂，由它们凭自重下落时推钟摆，后文还会说明。

钟摆为什么能计时

周期是一整次来回摆动所需的时间，几乎只取决于摆长和重力。小摆幅时：

T = 2π √(L / g)

秒摆每次单程需一秒，故完整周期为 2 秒。标准重力 g = 9.80665 m/s² 下，需要 L = gT²/4π² = 0.9936 m，从悬挂弹簧的弯折点量到摆锤的振动中心。模型中的长杆就是它，也解释了长箱钟为何那么高。

30 齿擒纵轮与秒摆恰好配合：每齿 2 拍 × 30 齿 = 每圈 60 拍 = 每分钟一圈。

试试「摆长」。周期随摆长平方根变化，所以长度缩为四分之一，节奏加倍：0.25 m 时每拍约 0.50 s，钟走得快一倍。要让每拍时长减半，须把摆缩短四倍。因此短摆壁炉钟滴答快，长摆钟塔滴答慢。调节螺母是同一原理的精细版，每次只把摆锤升降几分之一毫米。

重力并非处处相同

公式中另一变量不是常数。两极的重力比赤道约强 0.5%，部分因地球赤道鼓起，使人远离地心，部分因地球自转在赤道略把人向外推。重力也随高度降低，每千米约减 0.003 m/s²。

模型采用描述地球形状的 WGS 84 正常重力公式，再加此高度修正。钟在海平面、纬度 45° 调准。用「纬度」「海拔」，或操作区下方实验室的地点按钮移动钟：

赤道与极点的秒摆长度相差五毫米。

冷热与温度补偿摆

金属受热伸长。钢杆每升一摄氏度，长度约增加一百万分之 12。0.994 m 的摆每度增长 0.012 mm，看似微不足道，但一毫米就相当于每天约 43 秒。室温升 10 °C，普通钢摆每天慢约 5 秒。因此未补偿的钟夏慢冬快。

「摆杆」提供五种应对方式。

• 钢杆。 模型中的普通杆。每 °C 伸长约 12 × 10⁻⁶，从 5 °C 到 30 °C，每日走时变化约 13 s。
• 木杆。 直纹木材沿纹理伸长少得多，模型取每 °C 约 4 × 10⁻⁶，因此许多优质家用钟使用木杆。但它会受潮膨胀，金属没有这一问题。
• 栅格摆。 John Harrison 在 1726 年的设计：钢杆向下伸长，黄铜杆则安排向上伸长，黄铜每 °C 约 19 × 10⁻⁶。若钢长 × 12 等于黄铜长 × 19，两者抵消。净长 0.994 m 需串联约 2.70 m 钢和 1.70 m 黄铜，因此栅格常有五根或九根并排杆。
• 水银容器。 George Graham 在 1721 年的办法：摆锤是装水银的玻璃罐。杆伸长、罐降低时，水银膨胀、液面升高，抬起摆锤中心。水银体积每度增加约一百万分之 181；模型算出需约 14.6 cm 高的液柱来补偿 0.994 m 钢杆。
• 殷钢杆。 殷钢是含约 36% 镍的铁合金，几乎不膨胀。模型取每 °C 约 1.2 × 10⁻⁶，20 世纪许多精密调节钟使用它。

真实补偿从不完美，所以模型为栅格和水银保留少量剩余伸长。试第三项任务：室温升到 30 °C，看钢摆变慢，再选一根摆杆，使 5 °C 与 30 °C 间的每日差不超过 2 秒。年曲线从 1 月 5 °C 到 7 月 30 °C：钢摆一年累积偏差来回变化数分钟，补偿摆则只在几秒内。

圆弧误差与驱动力

T = 2π √(L / g) 仅在摆幅趋近零时精确。摆幅越大，所需时间略长，Christiaan Huygens 在 1673 年《Horologium Oscillatorium》中分析了这个问题。左右各 θ 时，周期约增加 θ²/16，θ 用弧度。修正虽小却不会消失：模型静止式摆幅为 ±3°，比无限小摆幅每天慢约 15 秒。螺母会先把这项误差调掉。

麻烦在摆幅改变时出现。油变稠、轴榫脏污或换重锤，会先改动力，再改摆幅和走时。从 ±3° 到 ±4°，每天慢约 11.5 秒。因此，能保持小而稳定摆幅的擒纵是大进步，「重锤」在不同类型上的作用也不同：

模型假定摆幅随驱动力平方根增长，这条简单规律足以展现差别。1826 年，天文学家 George Airy 证明，围绕最低点对称给予冲量不会改变周期，所以静止式选择在那里推动。

算出具体数值

这些数值按钟摆公式计算。对长度、温度和重力，周期随 L/g 的平方根变化，所以相对改变量只产生一半大小的相对走时变化。摆幅则用大幅摆动的精确周期，以算术几何平均形式计算，并与级数 1 + θ²/16 + 11θ⁴/3072 + … 核对。

摆锤下的调节螺母供使用者调速。转动后摆锤升降几分之一毫米，而表格首行说明一毫米就超过每天 40 秒。实验室第一项任务从每天慢约 10 秒开始，螺母移动约四分之一毫米即可修正。

整点报时

报时钟在走时轮系旁还有第二套轮系，许多长箱钟还为它单设重锤。分针到整点时，杠杆将它释放。轮系抬起钟锤再落到铃上，按小时数敲击：一点一下，中午和午夜十二下，每 12 小时共 78 下。小风扇在轮系运行时旋转，叶片的空气阻力使敲击间隔均匀。敲够后，轮系再次锁住，等下一整点。

模型的「整点报时」开关控制报时，实验室另有立即敲当前小时的按钮。Song I-yeong 在 1669 年的浑天钟用不同方法完成同一任务：铁球沿槽滚动触发钟锤。

钟塔：Great Clock of Westminster

在「视图」选「钟塔」，镜头移到 Elizabeth Tower 时钟的 1:8 模型。多数人称它 Big Ben，严格说这名字属于报时钟铃。UK Parliament 公布数据为：四面直径 7 m 的表盘，各用 324 块乳白玻璃，四点写作 IV；分针长 4.2 m；机芯长 4.7 m、宽 1.4 m，安装在重 5 吨的铸铁架上；摆长 4.4 m、重 310 kg，每 2 秒一拍。203 kg 的摆锤由钢、锌同心管构成。

在伦敦重力下，2 秒一拍需有效长度约 3.98 m，因此摆的外形总长为 4.4 m。模型中，它从钟室地板的槽孔垂下。

1846 年竞赛的裁判、皇家天文学家 George Airy 要求整点报时误差不超过一秒。直到 1852 年 2 月 Edmund Beckett Denison 的设计才符合要求。钟于 1859 年 4 月安装，1859 年 5 月 31 日开始计时，通过电报与 Greenwich 精密钟核对。

Denison 的答案是双三足重力擒纵。风雪压着巨大指针，力会沿轮系返回；若用锚形擒纵，就会传到钟摆，改变摆幅。重力式中，轮系不接触摆，只轮流抬起两个摆臂，各臂再靠自重落下推摆。无论指针如何受力，冲量相同。擒纵轴的风扇让轮减速，避免猛烈撞击摆臂。

Great Clock 用放在钟摆托盘上的旧便士调速。每加一枚，每 24 小时快五分之二秒（0.4 s），因为硬币把振动中心略微抬高。实验室最后一项任务起初每天慢 1.2 秒，加三枚即可调准。

后来能有多准

实验室比较图按来源提供的每日误差，用对数刻度绘制，并加入你当前设置的钟：

约 230 年中，最佳摆钟进步了数千倍。主要是逐一处理上述误差：擒纵的圆弧误差与动力，摆杆的温度，最后是摆与轮系的连接。Riefler 使摆近乎自由，Shortt 则把指针交给第二个从摆，完全切断主摆的机械负担。

摆钟如何出现

14 世纪，欧洲钟塔出现机械钟，以冠轮和称为横杆摆的摆动横条调速。走时很受驱动力影响，每天误差许多分钟很常见。

1656 年，Christiaan Huygens 制成首座摆钟。Galileo 几十年前已研究摆并画过摆钟草图，但到 1642 年去世都未完成。Huygens 早期钟每天误差不到一分钟，改良后不到十秒。1673 年，他出版《Horologium Oscillatorium》，用数学分析摆动，说明大摆幅为何有问题。

锚形擒纵约 1670 年出现。NIST 记载 William Clement 在伦敦于 1671 年开始制造新式反冲锚钟。George Graham 约从 1715 年在精密钟中推广静止式，到 19 世纪已普及到多数优质摆钟。

朝鲜天文学教授 Song I-yeong 于 1669 年为 Office of Special Counselors 制作浑天钟。两个重锤分别驱动走时轮系和报时机构；铁球沿槽滚动触发钟锤。它是朝鲜王朝唯一留存的天文钟，现藏 Korea University Museum，是韩国国宝。

摆钟在 20 世纪初达到顶峰。Siegmund Riefler 在 1889 年的近自由摆钟每天误差仅百分之一秒（0.01 s）；1921 年 Shortt 自由摆钟在许多天文台取代它。NIST 当时称 National Bureau of Standards，自 1904 年用 Riefler 作时间间隔标准，1929 年改用 Shortt。1920 年代发展的石英振荡器和后来的原子钟远超所有机械钟。如今秒由铯 133 原子的频率定义，是以原子衡量钟摆，而非反过来。

观察误差累积

每天几秒很难想象，所以舞台能显示未来指针位置。「影子指针」加上一组红针，表示以当前误差走过一天、一周、30 天或一年后的时间。「快进」用约三秒演示这些天，红针逐渐离开真实指针。

在纬度 45° 调好后搬到赤道，钟每天慢约 114 秒。一周后，影子分针落后 13.3 分钟。30 °C 房间里的普通钢摆每天慢 5.4 秒，一周为 38 秒，30 天为 162 秒。选补偿杆，影子指针便靠近真实指针。

首屏「调至 0.0 s」开启最精细调速任务。钟移到首尔，室温 24 °C，起初每天慢 32.0 秒。舞台螺母按钮每次移动 0.1 mm，相当于每天约 4.3 秒。「微调」每次转 1/250 圈，螺纹每圈 0.5 mm，因此是 0.002 mm，相当于每天约 0.09 秒，足以调到 0.0 秒。螺母最后接近 1.49 mm。

放大镜下的摆杆

实际尺寸下看不出热伸长。「摆杆放大镜」并列画出 20 °C 与当前温度的摆，只把差值放大几百至几千倍。室温从 20 °C 到 40 °C，钢杆有效长度增 0.238 mm，木杆增 0.080 mm。US Forest Products Laboratory 的《Wood Handbook》给出干木沿纹理每开尔文伸长一百万分之 3.1 至 4.5，模型取 4。殷钢增 0.024 mm。Charles Edouard Guillaume 因发现镍钢合金异常、为殷钢奠定基础，获 1920 年诺贝尔物理学奖。

栅格摆中显示两根箭头。串联共 2.70 m 的钢杆把摆锤下推 0.647 mm，黄铜杆上抬 0.631 mm，净移仅 0.016 mm。水银容器原理相同：杆使容器降 0.238 mm，水银上涨使摆锤中心升 0.227 mm，剩 0.012 mm。这是模型给补偿摆保留的小膨胀量，即每 °C 一百万分之 0.8 和 0.6，并非测量某座具体钟。

地图上的重力

实验室世界地图有 18 座城市。点城市连同海拔搬钟过去，点别处则取该纬度海平面。重力由 WGS 84 正常重力公式给出，只取决于纬度，南北相同；每升一米再减 3.086 × 10⁻⁶ m/s²。旁边刻度从赤道 9.780 m/s² 到两极 9.832 m/s²。标准重力 9.80665 m/s² 是 NIST 列出的固定参考值，接近纬度 45° 的数值。

钟在海平面纬度 45° 校准，所以未修正时，近赤道、海拔 2850 m 的基多每天慢 153 秒；3650 m 的拉萨慢 108 秒，首尔慢 30 秒。伦敦快 25 秒，Reykjavík 快 70 秒，北极快 114 秒。秒摆长度也随重力变，从基多 990.1 mm 到北极 996.2 mm。

水钟、天文钟与 Harrison 的中间作品

韩国自动报时水钟比所有摆钟更早。1434 年，Jang Yeong-sil 在 Sejong 国王时期制造 Jagyeongnu，定时自动敲钟、击锣、打鼓。水从大容器经小容器流入高接水筒，铁球依次触发下一球，驱动敲击器，或让木偶举起时牌。现存为 1536 年重制部分，藏 National Palace Museum of Korea，为国宝。较大青铜容器直径 93.5 cm、高 70.0 cm。

布拉格天文钟由 Mikuláš of Kadaň 于 1410 年制造，15 世纪末改进。1865 年停摆，原有拆除危险，直到钟表师 Ludvík Hainz 修复。表盘显示四种时间，包括从日出到日落划分的不等长巴比伦小时。斯特拉斯堡教堂的天文钟是原址第三座，第二座于 1788 年永久停摆；Jean-Baptiste Schwilgué 在 1838 至 1842 年为文艺复兴钟壳重造机芯。

Harrison 的 H2、H3 位于 H1 与 H4 之间。H2 在 1737 至 1739 年制成，加恒力装置使两个摆轮受力均匀，但 Harrison 发现摆轮缺陷，未让它出海。H3 从 1740 年开始，制造调校近 19 年，最终未获奖，却带来至今仍用的双金属片和带保持架滚柱轴承。这些钟和 Guillaume 的殷钢已加入实验室，共 49 项。

模型简化了什么

• 为装入钟壳，重锤行程缩短：16 圈绳索在屏幕占 0.47 m，真实鼓轮会放出约 2 m。
• 冠轮与横杆摆装在与其他擒纵相同机芯上，便于切换。真实横杆钟是钟塔或室内钟，轮系不同，冠轮也有自己的齿数。模型设 4 kg 时每拍 1 秒，使指针可比较。
• 各擒纵摆幅均随驱动力平方根增长。真实擒纵还有自身小误差，例如反冲锚会部分抵消圆弧误差，模型未计入。
• 膨胀系数采用常见手册值，补偿摆保留小剩余量，而非完美为零。
• 钟塔是 1:8 示意：三套轮系只画成简单轮与鼓，擒纵轮在模型每拍转 60°。
• 未模拟气压、湿度、悬挂弹簧刚度和摆的质量分布。真实秒摆总长略超过 0.994 m，因为振动中心略低于摆锤中心。

动手试试

操作区下实验室有十项任务，每项自动设置钟，达到目标就打勾。进度保存在此浏览器中。

1. 只用调节螺母，修正每天慢 10 秒的钟。
2. 找到秒摆长度：螺母归零时，每拍为 1.000 s。
3. 夏天为什么慢？升温，再选能补偿热量的摆杆。
4. 把钟移到赤道并调准。
5. 比较冠轮式和静止式重锤从 4 kg 加到 6 kg 的变化。
6. 用便士调 Big Ben。
7. 在首尔用螺母和舞台「微调」，把每日误差调至 0.0 s。
8. 一个夏月：选摆杆，使 30 °C 下 30 天后的影子指针偏差在 25 秒内。
9. 在地图移到拉萨并调准。
10. 在「摆杆放大镜」找出从 20 °C 到 40 °C 伸长不足 0.05 mm 的杆。

任务下方还有日、周、月、年误差计算器、全年室温、不同重力地点、精度图、世界重力地图，以及 49 座时钟和历史节点，均附来源和匹配模型的按钮。