日晷：交互模型与时间读法

模型展示什么

如果你在首尔放置一座庭院日晷，再把它与手机比较，两者的时间几乎总是不一致。2026 年 10 月 16 日，手机显示 12:00 时，影子指向约 11:42。日晷并没有问题。它显示的是另一种时间，两者的差距可以精确计算到分钟。

模型每次在石板上放置一座日晷，前方有一根普通的竖杆，上方天空中绘有太阳的运行轨迹。你可以选择八种日晷：庭院中的地平式日晷、绘在朝南墙面上的日晷、赤道式日晷、朝鲜王朝的仰釜日晷、环形日晷、折叠便携式日晷、午炮，以及地面上的椭圆式人影日晷。一个光源代表太阳。根据你选择的地点、日期和钟表时间，模型利用美国国家海洋和大气管理局全球监测实验室（NOAA Global Monitoring Laboratory）公布的太阳位置公式确定光源方向。屏幕上的阴影由这个光源投射，细黑线标出各晷针经计算得到的影子，读数栏则显示这些影子背后的数值。

页面打开时显示当天的日期，地点为北纬 37.57° 的首尔。在「控制」中，你可以切换到 44 个地点中的任意一个，从北极圈内的特罗姆瑟到奥克兰；也可以开启夏令时，把日晷转离正北，或者使用按错误纬度制作的日晷，查看它会产生多大的误差。控制项下方有七项任务、时线角度表、时差图、所选钟表时间对应的日行迹，以及历史上的 38 座日晷和转折事件，每项都附有来源。

竖杆和它的影子

最古老的日晷就是插在地上的一根杆。它的影子背向太阳，长度只取决于太阳有多高。想象一根高度为 H 的杆、它在水平地面上长度为 S 的影子，以及掠过杆顶的一束阳光。三者构成直角三角形，影子尖端处的角就是太阳高度角 h。因此

S = H ÷ tan h

10 月 16 日 9:00，首尔的太阳高度角为 24.9°。tan 24.9° = 0.464，因此 1 m 高的杆投下 2.15 m 长的影子。到了正午，太阳升至 44.0°，同一根杆的影长为 1.04 m。冬至正午的影长为 1.80 m，夏至正午则只有 0.25 m。在控制项中开启太阳光线，就能看到这个三角形：黄色代表光线，红色代表影子。

地面上的棕色细曲线是影子尖端一整天经过的路径。春分和秋分前后，它几乎是一条东西向的直线；夏季和冬季则弯成曲线（实际上是双曲线）。三千多年前，埃及的影钟和方尖碑使用的正是这种影子。

竖杆可以大致报时，但 6 月 9:00 的影子方向与 12 月不同。这是因为太阳每天沿一个倾斜的圆运行，其高度随季节变化。要在全年用同一种方式读取时间，就必须把杆倾斜放置。

为什么晷针的倾角等于纬度

太阳看起来每天绕天空转一圈，其转轴就是从地面看到的地球自转轴。这根轴指向天极，接近北极星。从地球上的任意地点看，北天极高出北方地平线的角度都等于当地纬度。在首尔，这个角度为 37.57°。

现在将杆倾斜，使它沿着这根轴指向北方，并以 37.57° 的角度升起。太阳以每小时 15° 的速度绕轴转动时，倾斜边缘的影子也以同样稳定的速度绕同一条线转动，不受日期影响。夏季和冬季的太阳轨迹较高或较低，但仍是绕同一根轴的同类圆周，因此在给定太阳时下，影子的方向不会随季节改变。

这条倾斜边缘称为晷刃，支撑它的三角板称为晷针。移动纬度滑块并观察模型：在 20° 时晷针低伏，在 60° 时则很陡。模型中的每种日晷都会按你选择的纬度重新刻制，就像日晷匠为另一座城市的顾客制作日晷一样。八种日晷中有五种使用这种极轴式晷刃：地平式日晷、墙面日晷、赤道式日晷、仰釜日晷的晷针，以及便携式日晷的细线。它们读取的都是同一个量，即太阳绕地轴转过的角度，区别只在于影子落到的表面。

平板上的时线

晷刃的影子以每小时 15° 匀速转动，但它落在水平平板上，平板相对于转动平面是倾斜的。因此，板上的时线并不是每隔 15° 一条。对于纬度 φ 处的地平式日晷，距离正午 t 小时的时线与正午线之间的夹角 θ 为

tan θ = sin φ · tan(15° · t)

在首尔，sin 37.57° = 0.610。距正午一小时对应 θ = 9.3°，两小时为 19.4°，三小时为 31.4°，四小时为 46.6°，五小时为 66.3°。六小时时，tan 90° 为无穷大，θ 为 90°：6:00 和 18:00 的时线沿东西方向延伸。时线在正午附近密集，向早晚逐渐散开，正如模型晷面所示。在赤道，sin φ = 0，所有时线都会挤到正午线上，因此那里不制作地平式日晷。在极点，sin φ = 1，时线像钟表刻度一样均匀分布。「控制」下的表格会给出日晷制作纬度对应的角度。

模型并不使用这个公式绘制日晷。它直接计算影子：晷刃上的一点、太阳的方向和晷面的平面共同确定影子落点。将这一投影与上述公式在 10° 到 65° 之间的六个纬度以及南半球进行比较，两者相符到百万分之一度。

朝南墙面上的日晷

把晷面竖起来，朝向正南，就得到教堂塔楼和房屋正面常见的垂直式日晷。晷刃仍须沿地轴方向，因此在墙上，它朝下向外伸出，指向南方地平线以下的天极。在首尔，它与墙面的夹角为 90° − 37.57° = 52.43°。一根短支杆将它固定。

由于这个晷面与水平晷面垂直，余弦代替了正弦：

tan θ = cos φ · tan(15° · t)

在首尔，距离正午一小时的夹角为 12.0°，三小时为 38.4°，五小时为 71.3°。时线比水平晷面上的更疏，并且只到 6:00 和 18:00，因为从春季到秋季，在这个时段之外太阳位于墙后。在南半球，同类日晷装在朝北的墙上。雅典的风之塔建于公元前 1 世纪，大理石墙上装有日晷；许多古老教堂也是如此，因此垂直式日晷很可能是大多数人曾走过却未曾留意的日晷类型。

赤道式日晷

把晷面倾斜到与地球赤道平面重合，晷刃就与晷面垂直，影子的转动也不再被扭曲。每两条相邻时线都恰好相隔 15°，就像 24 小时制钟表的时针。这是最容易绘制的日晷，也最能说明其他日晷究竟在读取什么。

但它有一个问题。处于赤道平面的晷面，只有在太阳位于赤道以北时，即从 3 月的春分到 9 月的秋分，阳光才照到上表面。一年中其余时间阳光只能照到下表面，因此两面都必须标注时间，杆也必须穿过整个晷面。春分和秋分前后，阳光沿晷面照来，影子掠过边缘。读数栏会告诉你影子落在哪一面。中国和韩国的赤道式日晷就是这样制作的；世宗时期的便携式 hyeonju-ilgu 和 cheonpyeong-ilgu 使用赤道时刻盘，而斋浦尔的巨型 Samrat Yantra 也是赤道式日晷，其三角形晷针墙高达 22.6 m。

为什么日晷与手表不一致

日晷显示当地真太阳时：12:00 就是太阳经过子午线、位于正南的时刻。手表显示标准时间，在整个国家内相同。两者通过两项独立修正联系起来。

第一项是经度。标准时相关法律规定，韩国时间以东经 135° 的子午线为基准。地球在 24 小时内转过 360°，因此经度每差 1°，时间相差 4 分钟。首尔位于东经 126.98°，在 135° 以西 8.02°，因此太阳经过首尔比经过东经 135° 晚 4 × 8.02 = 32.1 分钟。这一项始终不变。

第二项是时差。地球轨道是椭圆，自转轴又是倾斜的，因此太阳并不是每天都在完全相同的钟表时间经过子午线。2026 年，真太阳时与平太阳时的差值从 2 月 14 日前后的 −14.3 分钟变化到 11 月 1 日前后的 +16.4 分钟。它每年四次经过零点，大约在 4 月 15 日、6 月 13 日、9 月 1 日和 12 月 25 日。

合在一起：

日晷时间 = 钟表时间 − 32.1 min + 时差

10 月 16 日的时差为 +14.5 分钟，因此钟表显示 12:00 时，日晷显示 12:00 − 32.1 + 14.5 = 11:42。2 月 11 日的时差为 −14.2 分钟，日晷显示 11:14。10 月中旬，太阳于 12:18 经过首尔子午线，2 月中旬则为 12:46。「控制」下方的图表绘出全年两条曲线：灰色曲线仅表示时差，橙色曲线表示所选地点的日晷读数与钟表时间之差。

地点、时区和夏令时

经度修正取决于地点在所属时区中的位置，而时区更多沿着国界而非子午线划分。模型中的 44 个地点里，有几个可以说明差距会有多大。

中国最西部的喀什位于东经 75.99°，但全中国都使用 UTC+8，即东经 120° 子午线的时间。那里的经度修正为 4 × (75.99 − 120) = −176 分钟，接近三小时。10 月 16 日，太阳在钟表时间 14:41 经过喀什子午线。马德里位于西经 3.70°，却使用中欧时间 UTC+1，因此其修正为 −74.8 分钟；夏季钟表再拨快一小时，6 月 21 日马德里的日晷比钟表慢两个多小时，太阳经过子午线时，标准时间为 13:16，夏令时为 14:16。尼泊尔选择了 UTC+5:45，其时区基准子午线几乎经过加德满都，因此经度修正仅为 −3.7 分钟。

韩国自身在 1954 年至 1961 年间使用 UTC+8:30，即东经 127.5° 的时间，这条子午线几乎经过首尔。当时在计入时差之前，首尔日晷仅比钟表慢约 2 分钟。位于格林尼治子午线附近的伦敦，其修正为 −0.5 分钟，因此每年时差经过零点的四天，日晷与钟表的时间一致。

夏令时开关给钟表增加一小时，但不改变太阳。读数栏于是列出第三项修正 −60 分钟。赤道以南的地点大约从 10 月到 4 月使用夏令时，因此开关不会自动随半球切换；想与夏令时钟表比较时，需要你自行开启。

按错误纬度制作的日晷

日晷是为一个纬度绘制的。把它带到别处，晷刃就不再沿着地轴，时线也不再符合影子的转动。「日晷制作纬度」控制项会改变日晷的制作纬度，而地点保持不变。

误差大小取决于时刻。正午时每座地平式日晷都是准确的，因为任何纬度的正午线都沿南北方向。在真太阳时 15:00，一座为首尔制作的地平式日晷在釜山慢 6.5 分钟，在伦敦快 28.3 分钟；在伦敦 9:00 时则慢 28.3 分钟。老普林尼记载，罗马第一座公共日晷于公元前 263 年从西西里岛的卡塔尼亚运来。卡塔尼亚约在北纬 37.5°，罗马在北纬 41.9°，因此这座日晷在 15:00 会快约 10.6 分钟，而罗马人按照它的读数生活了 99 年。「控制」下的案例列表会为你设置这一情景。

把日晷转离正北会产生类似结果。「日晷转角」会旋转日晷下方的石板。「此日晷读数」一栏随后显示影子指向的时间及其误差。首尔的一座地平式日晷转过 14° 后，下午的读数会错半小时以上。真实日晷先用指南针定位，再在正午对照太阳检查，因为指南针指向磁北，与真北相差几度。

仰釜日晷：形似天空的日晷

仰釜日晷（앙부일구，仰釜日晷）的名称来自其形状：一口朝天仰起（仰）的锅（釜）。据韩国国家遗产厅介绍，最早的仰釜日晷于 1434 年，即世宗 16 年，由 Jang Yeong-sil、Yi Cheon、Kim Jo 等人制造。《朝鲜王朝实录》记载，当年 10 月，一座设在 Hyejeonggyo Bridge，一座设在 Jongmyo Shrine 前方，都是人群聚集的路旁。铭文说，时刻用动物图形表示，使不识字的人也能报时。

世宗在位时制造的仰釜日晷没有一座留存。现存的都是朝鲜王朝后期制作的。韩国国立古宫博物馆的一对仰釜日晷于 1985 年被指定为宝物，直径分别为 35.2 cm 和 24.3 cm。另外三座分别收藏于国立古宫博物馆、国立庆州博物馆和诚信女子大学博物馆，于 2022 年被指定为宝物。它们刻有汉阳北极高度 37° 39′ 15″ 的纬度铭文，这个数值自 1713 年开始使用，因此它们制作于该年之后。

碗的内侧是半个球面。如果在球心放置一点，它的影子总落在与太阳恰好相对的位置，因此碗内就成为天空缩小而颠倒的副本。晷针（영침，yeongchim）承载着这个点。它固定在南侧碗壁上，位置是地平线以下的天极方向与碗面相交之处，并指向北天极，因此与地平式日晷的晷针平行。针尖恰好位于半球的中心。模型中，碗内的红点就是针尖的影子。

从碗中读取日期

碗内的线沿两个方向延伸。南北方向的是时线；国家遗产厅介绍，1985 年指定的宝物上有七条时线，2022 年指定的宝物上则每 15 分钟有一条。由于整根晷针沿地轴方向，其全部影子都落在同一条时线上。

东西方向的 13 条线是节气线（절기선）。每条线标示 24 节气中一对节气的太阳赤纬，从冬至到夏至。冬至正午，首尔的太阳高度角只有 29.0°，因此针尖影子落在最外侧、最靠近碗沿的线上。夏至时太阳升到 75.9°，影子落在最内侧的线上。一次读数同时给出时刻和季节。二至前后太阳赤纬变化很小，因此线条密集；二分前后赤纬每天变化约 0.4°，线条则较疏。每条线对应两个节气，一个在春季，一个在秋季，例如 ipchun（立春）和 ipdong（立冬），或春分和秋分。

平坦的碗沿代表地平线。真实碗面在这里刻有 24 节气和 24 方位；模型绘制 24 方位，从正北的「子」开始。1985 年指定的那对日晷，其十字形底座设有凹槽，可以注水检查日晷是否水平。

环形日晷读取太阳高度角

前面介绍的每种日晷都读取太阳绕轴的转动，必须对准北方。环形日晷无须对准北方。它悬挂在吊环上，能自行转动，直到太阳位于环的平面内。朝阳一侧的小孔让一束光进入，穿过环内，落在内侧的时间刻度上。

光斑测量的是太阳高度角。小孔和光斑都位于圆环的圆周上，因此光束与环之间的角度符合几何学中的圆周角定理：太阳每升高一度，光斑就沿圆环移动两度。这种加倍关系使口袋大小的圆环也能读数。在对称的一天里，太阳在 9:18 和 14:42 的高度相同，因此环形日晷无法区分上午和下午，时刻曲线上标有两个数字，9 和 15、10 和 14。给定时刻的太阳高度角还会随季节变化，因此小孔按月份沿环滑动，时间刻度则成为环带上的曲线。英国科学博物馆集团收藏着一只带滑动小孔、为纬度 50° 制作的普通黄铜环；格林尼治皇家博物馆则收藏着一座更精巧的通用环形日晷，由 Elias Allen 于约 1635 年制作，直径 64 mm。

用细线计时的便携式日晷

怀表尚未变得便宜时，旅行者携带折叠日晷。双联日晷由两块铰接的板组成，常用象牙或木材制作，下板嵌有小指南针。将它打开成直角，两板之间绷紧的细线就成为晷刃。细线与下板的夹角由它穿过两板的位置确定，因此为纽伦堡制作的日晷，其细线倾角为 49.45°。

便携式日晷把两座日晷合在一起。下板是地平式日晷，上板是垂直式日晷，同一根细线将影子投在两面上；模型用黑线标出两个影子的落点，它们应该指示同一时刻。使用者首先转动日晷，让指南针指针与标记重合。大都会艺术博物馆收藏着纽伦堡的 Hans Tröschel the Elder 于约 1598 年制作的一座双联日晷，并指出这种日晷曾用于校准机械钟。

午炮

午炮把日晷变成报时器。一门小炮沿子午线放置，火门上方设有聚光透镜。透镜安装在以火门为圆心的弧形架上，并按季节调整倾角，使焦点只有在太阳经过子午线时才到达火门。模型中的亮点就是焦点。随着钟表运行，它越过炮管，在真太阳正午落入火门。巴黎 6 月 21 日的这一时刻，标准钟表显示 12:52，因为巴黎位于东经 2.34°，而所属时区以东经 15° 为基准。

1786 年，一位名叫 Rousseau 的钟表匠在巴黎王宫花园中设置了这样的炮。从 5 月到 10 月的晴天，透镜在真太阳正午点燃引线，人们根据炮声校准手表。巴黎于 1826 年从真太阳时改用平太阳时，法国于 1891 年采用巴黎子午线，1911 年采用格林尼治时间，午炮便不再在钟表正午发射。18 世纪和 19 世纪，人们出售用于庭院的小型午炮日晷。

椭圆式人影日晷：你就是晷针

椭圆式人影日晷设置在地面上。时间石块沿椭圆排列，沿子午线铺设的条带上标有日期。人站在条带上当天日期的位置，身体的影子便指向时刻。模型用一根杆代替人。

它的几何关系与通常的日晷相反。晷针是竖直的而非倾斜的，因此要使全年读数正确，必须随季节向南北移动。设椭圆的半宽为 M，距正午 t 小时的时间石块位于中心以东 M sin(15° · t)、以北 M sin φ cos(15° · t) 处，晷针则位于中心以北 M tan δ cos φ 处，其中 δ 为太阳赤纬。在模型中，M = 42 cm，因此在北纬 46.20° 的布鲁，椭圆纵深为 30.3 cm，晷针在二至之间会向中心两侧各移动 12.6 cm。10 月 16 日，它位于中心以南 4.4 cm 处。对五个赤纬和五个纬度设置晷针位置后，其影子穿过正确时间石块的角度误差不超过 0.05°。

布雷斯地区布尔格附近的布鲁教堂，有一座被认为是法国第一座、很可能也是世界第一座的椭圆式人影日晷；1644 年描述这种设计的 Vaulezard 被视为其发明者。如今许多学校操场也有这种日晷。

天空中的日行迹

开启「日行迹」，模型就会绘出全年每天同一钟表时间，例如 12:00，太阳所在的位置。结果是一个不对称的八字形。它的高度来自赤纬，赤纬在赤道两侧各摆动 23.44°。它的宽度来自时差：太阳走在钟表前面时，在钟表正午位于子午线以西；太阳落后时则位于以东。12 月前后的南侧环较大，因为地球在 1 月初接近近日点时运行最快。

「控制」下的图表将同一图形画在平面上，以高度角对照方位角。移动钟表时间，图形也随之移动；在 9:00 或 15:00 时会向一侧倾斜。一些赤道式日晷会在晷面绘制日行迹，使正午的影子显示平太阳时。格林尼治皇家博物馆收藏着 Johann Michael Vogler 在 18 世纪初制作的一座日晷，它可能是已知最早采用这种做法的日晷。

使用的公式

模型采用 NOAA 的通用太阳位置计算方法。设 N 为一年中的日序（1 月 1 日 = 1），小时使用 UTC，则以弧度表示的年内角度为

γ = 2π/365 × (N − 1 + (hour − 12)/24)

以分钟表示的时差和以弧度表示的赤纬为

EoT = 229.18 × (0.000075 + 0.001868 cos γ − 0.032077 sin γ − 0.014615 cos 2γ − 0.040849 sin 2γ)

δ = 0.006918 − 0.399912 cos γ + 0.070257 sin γ − 0.006758 cos 2γ + 0.000907 sin 2γ − 0.002697 cos 3γ + 0.00148 sin 3γ

以分钟表示的真太阳时为钟表分钟数 + EoT + 4 × 经度 − 60 × 时区，时角则为该值除以 4，再减去 180°。于是

cos z = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos(时角)

可得天顶角 z，高度角为 90° − z。太阳正午的钟表时间为 720 − 4 × 经度 − EoT + 60 × 时区，单位为分钟。正午的高度角可简化为 90° − abs(φ − δ)。

对于日晷，太阳方向以向量表示，每个影子都是投影：点 P 在经过 O、法向量为 n 的平面上的影子，落在 P − s · (n · (P − O)) ÷ (n · s) 处，其中 s 为太阳方向。同样几行计算即可绘制地平式、墙面式、赤道式和便携式日晷的时线，定位仰釜日晷的针尖影点，并瞄准午炮的焦点。

可以核对的数值

韩国天文研究院公布首尔在东经 126°59′、北纬 37°34′ 处太阳经过子午线的时间（남중 시각）。同一地点的 NOAA 公式计算值已与研究院的 2026 年表格比较。

最大差值为 42 秒，符合 NOAA 自己的说明，即这些简短级数的精度约为一分钟。没有日晷能读到如此精细。在另外 59 项检查中，时差与公布的极值一致，二至赤纬、首尔的日出日落、特罗姆瑟的午夜太阳以及每种日晷的几何关系都得出了正确结果；每项任务也都可以完成。

亲自试试

「控制」下的任务会设置好模型，达到目标时变为绿色。「读取首尔的影子」隐藏数值，要求你读取地平式日晷的时间；其中一个答案是钟表时间，会错约半小时。「最长的正午影子」在你移动日期时让钟表始终跟随太阳正午；答案是冬至，此时首尔 1 m 高的杆会投下 1.80 m 长的影子。「读取仰釜日晷的节气」询问针尖影点落在 13 条线中的哪一条。

「日晷与钟表一致时」会把你带到伦敦，「将日晷转回北方」从偏转 14° 的日晷开始。「发射午炮」将地点和日期设为巴黎 6 月 21 日；把钟表调到接近 12:52。「正午没有影子」从 1 月的新加坡开始：在 3 月 24 日和 9 月 20 日前后，正午太阳距头顶不足 0.5°，因为新加坡只在赤道以北 1.29°。

模型简化了什么

每个地点采用其标准时区，夏令时由手动开关控制。纬度变化时日晷会重新刻制，除非你自行设置「日晷制作纬度」。晷针板绘得很薄，而真实晷针有厚度，需要两条正午线，分别对应两面。模型忽略了地平线附近将太阳抬高约半度的折射，并把太阳视为一个点，因此影子边缘比真实影子更锐利。环形日晷绘成直径 30 cm，以便看清刻度；真实日晷可以放在手中。午炮透镜会根据日期自动调整。仰釜日晷省略了动物图画和节气铭文，椭圆式人影日晷则用杆代替人。