Horloge à pendule : testez l’effet de sa longueur

De quelle horloge s’agit-il

Un pendule plus long met plus de temps à osciller ; une horloge dont le pendule a une longueur effective plus grande marche donc plus lentement. Relever la lentille raccourcit cette longueur et fait avancer l’horloge. L’échappement libère le rouage au rythme des oscillations, tout en leur redonnant de petites poussées.

Pourquoi une horloge bat-elle exactement au même rythme toute la journée ? Cette exposition répond avec une horloge à pendule complète, puis vous laisse la dérégler de toutes les façons que les horlogers ont mis trois siècles à apprendre à empêcher.

Le modèle ci-dessus est une horloge à caisse haute d’environ 1,6 m, de celles qu’on appelle souvent « horloge de parquet » (grandfather clock en anglais). Sa caisse en noyer comporte deux portes vitrées, l’une dans la tête, devant le cadran, l’autre dans le fût, devant le pendule. À l’intérieur se trouve un mouvement à poids dont le bâti est ajouré, pour que vous puissiez voir chaque roue, et une petite cloche sur laquelle l’horloge sonne les heures. Le réglage Vue permet de l’ouvrir : Horloge entière, Intérieur (la caisse s’écarte), Échappement (un gros plan de la pièce qui fait le tic) et Horloge de tour, un modèle au 1:8 de la Great Clock of Westminster.

Lisez l’horloge de bas en haut. Un poids tire sur une corde enroulée autour d’un tambour. Le tambour est fixé à la grande roue, qui entraîne une suite de roues plus petites et plus rapides, le rouage de marche. Tout en haut du rouage se trouve la roue d’échappement, et sur ses dents repose l’ancre, qui va et vient avec le pendule. Le pendule décide de la vitesse à laquelle tout peut avancer ; le poids ne fournit que la poussée.

Les nombres du modèle sont les vrais nombres de cette conception. Le pendule est un pendule à secondes, la roue d’échappement a 30 dents, les roues ont 96, 64 et 60 dents et entraînent des pignons de 8 ailes, et les aiguilles sont réglées sur votre heure locale au moment où la page s’est ouverte. Le petit tableau de la scène indique ce que fait l’horloge en ce moment : la durée d’un battement, le nombre de secondes qu’elle gagne ou perd par jour, l’intensité de la gravité à l’endroit où elle se trouve, la longueur effective du pendule, l’amplitude de son oscillation et la durée pendant laquelle le poids la fera encore marcher. Chacun de ces nombres est calculé dans la page à partir des réglages de l’onglet Réglages.

Pourquoi le poids ne tombe pas simplement

Un poids est la pile la plus simple qu’une horloge puisse avoir. Le soulever stocke de l’énergie ; le laisser descendre libère cette énergie à la vitesse que le mécanisme permet. Contrairement à un ressort enroulé, un poids tire avec la même force que la corde soit presque entièrement enroulée ou presque entièrement déroulée, ce qui explique en partie pourquoi les régulateurs de précision sont restés à poids longtemps après que les ressorts se sont répandus dans les horloges domestiques.

Livré à lui-même, le poids tomberait au sol en un instant. Dans l’horloge, il ne peut descendre qu’à la vitesse de rotation de la grande roue : un tour toutes les 12 heures. Avec le tambour de ce modèle (rayon de 20,5 mm), cela déroule 12,9 cm de corde par tour, soit environ 25,8 cm par jour. Les vraies horloges de huit jours suspendent le poids à une poulie, ce qui divise la chute par deux, et donnent au tambour assez de tours de corde pour la semaine entière. Dans le modèle, le réglage Corde sur le tambour fixe le nombre de tours restants, de 0 à 16 ; chaque tour représente 12 heures de marche, donc 16 tours font huit jours. La course du poids à l’écran est raccourcie pour tenir dans la caisse. Si vous faites descendre la corde jusqu’à zéro, l’horloge s’arrête : le pendule continue d’osciller un moment tout seul, avec une amplitude de plus en plus petite, jusqu’à ne plus libérer l’échappement.

Le réglage Poids modifie la force avec laquelle le poids tire, de 1 à 8 kg. Avec un pendule, un poids plus lourd ne fait pas avancer l’horloge. Il élargit un peu l’oscillation du pendule, parce que chaque poussée de l’échappement transporte plus d’énergie. Cette oscillation plus large change légèrement la marche, pour une raison expliquée plus bas à propos de l’erreur circulaire. Avec le plus ancien des échappements, la verge et foliot, le poids modifie directement la marche, et beaucoup.

Quatre roues multiplient la vitesse par 720

Chaque axe du rouage porte deux pièces : une grande roue et un petit pignon denté. La roue d’un axe entraîne le pignon de l’axe suivant, et comme le pignon est beaucoup plus petit, l’axe suivant tourne plus vite. Les horlogers comptent les dents d’un pignon en « ailes ».

La grande roue fait un tour en 12 heures ; l’axe de centre fait donc 12 tours en 12 heures, soit un tour par heure. Cet axe porte l’aiguille des minutes. Le troisième axe tourne 8 fois par heure, et l’axe d’échappement 7,5 fois plus vite encore : 60 fois par heure, soit un tour par minute. C’est pourquoi la trotteuse peut se placer directement sur l’axe de la roue d’échappement.

Remarquez que le rouage ne fait que multiplier la vitesse. Rien en lui ne sait ce qu’est une seconde. Sans l’échappement, le poids ferait tourner tout le rouage dans un flou et les aiguilles courraient autour du cadran.

Le réglage Roue de moyenne permet de remplacer la roue de 60 dents par une roue de 54 à 66 dents. La trotteuse n’y est pas sensible, car elle est sur l’axe d’échappement, qui tourne toujours une fois par minute. Les aiguilles des minutes et des heures, en revanche, le sont : avec 61 dents, la roue d’échappement fait 61 tours pour chaque tour de l’aiguille des minutes, qui retarde donc de 1 partie sur 61, soit environ 1417 secondes par jour. Les horlogers choisissent les nombres de dents pour que les rapports tombent juste, et une seule dent de trop est une erreur grossière. Le pendule peut être parfait et l’horloge quand même fausse.

L’échappement libère une demi-dent à la fois

L’échappement est le gardien entre le rouage et le pendule. Il remplit deux fonctions à la fois : il laisse le rouage avancer par petits pas égaux, et il rend à chaque oscillation une toute petite quantité d’énergie au pendule, pour que l’oscillation ne s’éteigne jamais.

Ce modèle utilise la forme à repos de l’échappement à ancre, celle de presque toutes les horloges à pendule de précision. Réglez la vitesse sur 0,25× et utilisez la quatrième étape de la visite pour observer de près un cycle :

1. Blocage. Une dent de la roue d’échappement repose sur la face de blocage courbe d’une palette. Cette face est un arc de cercle centré sur le pivot de l’ancre ; tant que la dent appuie dessus, la palette peut glisser sans repousser la roue. La roue est arrêtée net et le pendule oscille librement.
2. Déblocage et impulsion. Quand le pendule revient vers le milieu, la face de blocage glisse hors de la dent, et la dent rencontre la face d’impulsion inclinée de la palette. La roue tourne et la dent pousse le long de cette pente, ce qui donne à l’ancre, et par la fourchette au pendule, une petite poussée. Cela se produit près du bas de l’oscillation, qui est le meilleur endroit pour cela.
3. Chute. La dent quitte l’extrémité de la palette. La roue saute vers l’avant sur une courte distance, jusqu’à ce qu’une dent du côté opposé tombe sur la face de blocage de l’autre palette. Cette arrivée est le tic que vous entendez.

Les deux palettes de cette conception sont écartées de 90° autour de la roue d’échappement, ce qui place le pivot de l’ancre à environ 1,41 fois (la racine carrée de 2) le rayon de la roue au-dessus du centre de la roue et permet à chaque bras de rencontrer la roue en tangente. Les palettes enjambent sept dents et demie : quand l’une bloque une pointe de dent, l’autre se trouve exactement à mi-chemin entre deux dents. Chaque oscillation laisse avancer la roue d’une demi-dent, et deux oscillations l’avancent d’une dent entière.

Dans l’ancre à recul, plus ancienne, les faces de blocage ne sont pas des arcs, si bien que le pendule repousse légèrement la roue en arrière après chaque tic. On voit la différence sur les vieilles horloges : si la trotteuse recule un peu après chaque tic, l’horloge a un échappement à recul.

Quatre échappements, six siècles

Le réglage Échappement change la pièce qui fait le tic. Chacun fut la meilleure réponse disponible à son époque.

Verge et foliot (à partir du XIVe siècle). Les premières horloges mécaniques n’avaient aucun pendule. Un axe vertical, la verge, porte deux petites palettes qui accrochent les dents d’une roue de rencontre, une roue dont les dents pointent le long de l’axe. Au sommet de la verge se trouve le foliot, une barre portant deux masses. La roue de rencontre pousse une palette, le foliot tourne, l’autre palette accroche une dent du côté opposé et la poussée s’inverse. Le foliot n’a aucune période naturelle propre : il oscille aussi vite que la roue de rencontre peut le pousser. Si le poids est plus lourd, l’horloge avance ; si l’on éloigne les masses du foliot, elle retarde. Dans le modèle, le réglage Longueur du pendule déplace les masses du foliot quand la verge est montée. L’oscillation est large, environ 40° de chaque côté, et la marche suit la force motrice. Passer de 4 kg à 6 kg dans le modèle fait gagner à l’horloge à verge plus de cinq heures par jour.

Ancre à recul (Londres, vers 1671). Avec un pendule, l’horloge disposait enfin d’un régulateur possédant sa propre période. L’ancre ne laissait le pendule osciller que de quelques degrés, ce qui rendit praticables les pendules longs et lents. Ses faces de palette sont de simples pentes droites : après chaque tic, l’oscillation se poursuit et repousse un peu la roue d’échappement en arrière. Observez la roue d’échappement du modèle avec l’ancre à recul montée : elle frissonne légèrement en arrière chaque fois qu’une dent se bloque.

Repos (George Graham, vers 1715). Graham donna aux faces de blocage la forme d’arcs centrés sur le pivot de l’ancre. La dent repose sur l’arc sans bouger, si bien que la roue et la trotteuse s’arrêtent net entre deux tics. L’impulsion arrive près du bas de l’oscillation, où elle perturbe le moins la période. C’est l’échappement du modèle à son ouverture, et la référence des horloges à pendule de précision jusqu’à ce que les horloges électriques les remplacent.

Sauterelle (John Harrison, années 1720). Harrison, un charpentier qui fabriqua ses premières horloges en grande partie en bois, voulait une horloge qui n’ait pas besoin d’huile, parce que l’huile s’épaissit et modifie la marche. Son échappement à sauterelle accroche chaque dent avec un bras articulé qui s’écarte proprement, sans frottement de glissement. Les Royal Museums Greenwich indiquent que ses horloges à caisse haute de précision du milieu des années 1720 tenaient l’heure à environ une seconde par mois.

Un cinquième type, l’échappement à gravité, apparaît sur l’horloge de tour : là, le rouage ne fait que lever deux bras, et le pendule est poussé par la chute de ces bras sous leur propre poids. Nous y reviendrons plus bas.

Pourquoi le pendule mesure le temps

La période d’un pendule, c’est-à-dire la durée d’un va-et-vient complet, ne dépend presque que de sa longueur et de la gravité. Pour de petites oscillations :

T = 2π √(L / g)

Un pendule à secondes met une seconde par oscillation, donc sa période complète est de 2 secondes. Avec la gravité standard, g = 9,80665 m/s², cela exige L = gT²/4π² = 0,9936 m, mesurés du point de flexion du ressort de suspension jusqu’au centre d’oscillation de la lentille. C’est la longue tige que vous voyez dans le modèle, et la raison de la forme élancée des horloges à caisse haute.

La roue d’échappement de 30 dents et le pendule à secondes s’accordent exactement : 2 battements par dent × 30 dents = 60 battements par tour = un tour par minute.

Essayez le réglage Longueur du pendule. Comme la période varie comme la racine carrée de la longueur, le quart de la longueur bat deux fois plus vite : à 0,25 m, un battement dure environ 0,50 s et l’horloge marche à double vitesse. Diviser le battement par deux demande un pendule quatre fois plus court, ce qui explique pourquoi les horloges de cheminée, à pendule court, battent vite et les horloges de tour, à pendule long, battent lentement. L’écrou de réglage est une version beaucoup plus fine du même réglage : il monte ou descend la lentille de fractions de millimètre.

La gravité n’est pas identique partout

La formule contient une seconde variable, et ce n’est pas une constante. La gravité est environ 0,5 % plus forte aux pôles qu’à l’équateur, en partie parce que la Terre est renflée à l’équateur, ce qui vous éloigne de son centre, et en partie parce que la rotation de la Terre vous projette un peu vers l’extérieur à cet endroit. Elle diminue aussi avec l’altitude, d’environ 0,003 m/s² par kilomètre.

Le modèle utilise la formule standard pour la forme de la Terre (la formule de gravité normale WGS 84) plus cette correction d’altitude. L’horloge a été réglée à 45° de latitude au niveau de la mer. Déplacez-la avec les réglages Latitude et Altitude, ou avec les boutons de lieux du laboratoire, sous les réglages, et voyez ce qui se passe :

Cinq millimètres séparent le pendule à secondes de l’équateur de celui du pôle.

Chaleur, froid et pendules compensés

Les métaux s’allongent quand ils chauffent. Une tige d’acier se dilate d’environ 12 millionièmes de sa longueur par degré Celsius. Pour un pendule de 0,994 m, cela fait 0,012 mm par degré, ce qui semble n’être rien jusqu’à ce qu’on se rappelle qu’un millimètre vaut environ 43 secondes par jour. Si la pièce se réchauffe de 10 °C, un pendule d’acier ordinaire perd environ 5 secondes par jour. C’est pourquoi une horloge sans compensation retarde l’été et avance l’hiver.

Le réglage Tige du pendule propose cinq réponses.

• Tige d’acier. La tige simple du modèle. Dilatation d’environ 12 × 10⁻⁶ par °C : entre 5 °C et 30 °C, la marche change d’environ 13 s par jour.
• Tige de bois. Un bois à fil droit se dilate beaucoup moins dans le sens du fil, environ 4 × 10⁻⁶ par °C dans le modèle, et de nombreuses bonnes horloges domestiques l’utilisaient. Il gonfle en revanche avec l’humidité, ce qu’une tige métallique ignore.
• Gril. La conception de John Harrison de 1726 : des tiges d’acier se dilatent vers le bas, et des tiges de laiton, qui se dilatent d’environ 19 × 10⁻⁶ par °C, sont disposées pour se dilater vers le haut. Si les tiges sont coupées de façon que longueur d’acier × 12 soit égale à longueur de laiton × 19, les deux effets s’annulent. Pour une longueur nette de 0,994 m, cela donne environ 2,70 m d’acier et 1,70 m de laiton en série, ce qui explique pourquoi les grils ont cinq ou neuf tiges côte à côte.
• Récipient de mercure. La réponse de George Graham, en 1721 : la lentille est un bocal de verre rempli de mercure. Quand la tige s’allonge et abaisse le bocal, le mercure se dilate et son niveau monte, ce qui relève le centre de la lentille. Le mercure se dilate d’environ 181 millionièmes de son volume par degré ; le calcul du modèle donne une colonne d’environ 14,6 cm de haut pour compenser une tige d’acier de 0,994 m.
• Tige d’invar. L’invar, un alliage de fer avec environ 36 % de nickel, ne se dilate presque pas : environ 1,2 × 10⁻⁶ par °C dans le modèle. Beaucoup de régulateurs de précision du XXe siècle l’utilisaient.

Un vrai pendule compensé n’annule jamais parfaitement l’effet de la chaleur ; le modèle donne donc au gril et au récipient de mercure une petite dilatation résiduelle. Essayez la troisième tâche du laboratoire : chauffez la pièce à 30 °C, regardez le pendule d’acier perdre du temps, puis choisissez une tige qui garde l’écart entre 5 °C et 30 °C à moins de 2 secondes par jour. Le graphique du laboratoire montre une année entière, la pièce passant de 5 °C en janvier à 30 °C en juillet : le pendule d’acier dérive de plusieurs minutes d’un côté puis de l’autre au fil de l’année, alors que les pendules compensés restent à quelques secondes près.

Erreur circulaire et force motrice

T = 2π √(L / g) n’est exacte que pour des oscillations infiniment petites. Les oscillations plus larges durent un peu plus longtemps, problème que Christiaan Huygens analysa dans son livre de 1673, Horologium Oscillatorium. Pour une oscillation de θ de chaque côté, la période augmente d’environ θ²/16, avec θ en radians. Cette correction est minime, mais elle ne disparaît jamais : le pendule à repos du modèle oscille de ±3°, ce qui coûte déjà environ 15 secondes par jour par rapport à une oscillation infiniment petite. L’écrou de réglage s’en charge une fois pour toutes.

Le problème survient quand l’amplitude change. Si la force motrice varie, à cause d’une huile qui s’épaissit, d’un pivot encrassé ou d’un autre poids, l’amplitude change, et la marche avec elle. Passer de ±3° à ±4° fait perdre environ 11,5 secondes par jour. C’est pourquoi les échappements à petites oscillations régulières ont été un tel progrès, et pourquoi le réglage Poids a des effets si différents :

Le modèle suppose que l’amplitude croît comme la racine carrée de la force motrice, une règle simple, suffisante pour montrer la différence. En 1826, l’astronome George Airy montra qu’une impulsion donnée symétriquement autour du bas de l’oscillation ne modifie pas la période, ce qui explique pourquoi l’échappement à repos donne sa poussée à cet endroit.

Les calculs en chiffres

Ces valeurs ont été calculées à partir de la formule du pendule. Pour la longueur, la température et la gravité, la période varie comme la racine carrée de L/g ; une variation relative de l’une ou de l’autre donne donc la moitié de cette variation relative sur la marche. Pour l’amplitude, on a utilisé la période exacte des grandes oscillations (la forme à moyenne arithmético-géométrique, que la page vérifie avec la série 1 + θ²/16 + 11θ⁴/3072 + …).

L’écrou de réglage sous la lentille est le réglage du propriétaire. En le tournant, on monte ou on descend la lentille d’une fraction de millimètre, et d’après la première ligne du tableau, un seul millimètre vaut plus de 40 secondes par jour. La première tâche du laboratoire vous donne une horloge qui perd environ 10 secondes par jour : environ un quart de millimètre sur l’écrou suffit à la corriger.

Sonner les heures

Une horloge à sonnerie possède, à côté du rouage de marche, un second rouage, dans beaucoup d’horloges à caisse haute avec son propre poids. Quand l’aiguille des minutes atteint l’heure, un levier le libère. Le rouage de sonnerie lève un marteau et le laisse retomber sur la cloche autant de fois que l’heure l’indique : un coup à une heure, douze à midi et à minuit, 78 coups en 12 heures. Un petit volant à ailettes tourne pendant que le rouage marche ; la résistance de l’air sur ses ailettes maintient les coups régulièrement espacés. Quand le bon nombre de coups a été frappé, le rouage est de nouveau bloqué jusqu’à l’heure suivante.

Dans le modèle, le réglage Sonnerie des heures active ou désactive la sonnerie, et le laboratoire propose un bouton pour sonner tout de suite l’heure actuelle. L’horloge armillaire de Song I-yeong, de 1669, remplissait la même fonction autrement : des billes de fer roulant le long d’un canal déclenchaient son marteau.

Une horloge de tour : la Great Clock of Westminster

Choisissez Horloge de tour dans Vue et la caméra se place devant un modèle au 1:8 de l’horloge de l’Elizabeth Tower, celle que la plupart des gens appellent Big Ben (en toute rigueur, Big Ben est sa cloche des heures). UK Parliament publie les chiffres : quatre cadrans de 7 m de diamètre, chacun avec 324 pièces de verre opalin et le quatre heures écrit IV ; des aiguilles des minutes de 4,2 m de long ; un mouvement de 4,7 m de long et 1,4 m de large sur un bâti de fonte pesant 5 tonnes ; et un pendule de 4,4 m de long pesant 310 kg, qui bat toutes les 2 secondes. Sa lentille, de 203 kg, est faite de tubes concentriques d’acier et de zinc.

Un battement de 2 secondes demande une longueur effective d’environ 3,98 m avec la gravité de Londres, ce qui explique que le pendule, mesuré en entier, fasse 4,4 m. Dans le modèle, il pend à travers une fente du plancher de la salle de l’horloge.

Quand l’astronome royal George Airy arbitra le concours de 1846 pour l’horloge, il demanda qu’elle soit exacte à une seconde près à la sonnerie de l’heure. Aucun projet n’y suffit avant celui d’Edmund Beckett Denison, de février 1852. L’horloge fut installée en avril 1859 et commença à donner l’heure le 31 mai 1859, contrôlée par télégraphe face aux chronomètres de Greenwich.

La réponse de Denison à l’exigence d’Airy fut le double échappement à gravité à trois branches. Sur une horloge de tour, le vent et la neige poussent d’énormes aiguilles, et cette force remonte à travers le rouage. Dans un échappement à ancre, elle atteindrait le pendule et changerait son amplitude. Dans l’échappement à gravité, le rouage ne touche jamais le pendule : il ne fait que lever deux bras, l’un après l’autre, et chaque bras retombe ensuite et pousse le pendule avec son seul poids. La poussée est la même quoi qu’il arrive aux aiguilles. Un volant sur l’axe d’échappement freine la roue pour qu’elle ne martèle pas les bras.

La Great Clock est réglée avec des pennies pré-décimaux posés sur un plateau du pendule. En ajouter un fait gagner à l’horloge deux cinquièmes de seconde (0,4 s) en 24 heures, parce que la pièce relève très légèrement le centre d’oscillation du pendule. La dernière tâche du laboratoire fait démarrer le modèle avec 1,2 seconde de retard par jour ; trois pennies le remettent d’aplomb.

La précision atteinte

Le graphique de comparaison du laboratoire trace, en échelle logarithmique, l’erreur par jour donnée par les sources, et y ajoute votre propre horloge avec ses réglages actuels :

En quelque 230 ans, les meilleures horloges à pendule se sont améliorées d’un facteur de plusieurs milliers. L’essentiel est venu de la lutte contre les erreurs décrites plus haut, une à une : l’échappement (erreur circulaire et force motrice), la tige (température) et enfin la liaison entre le pendule et le rouage, que Riefler rendit presque libre et que Shortt supprima tout à fait en confiant les aiguilles à un second pendule, esclave.

Comment est née l’horloge à pendule

Les horloges mécaniques apparurent dans les tours européennes au XIVe siècle, réglées par une verge et une barre oscillante appelée foliot. Leur marche dépendait fortement de la force motrice, et des erreurs de plusieurs minutes par jour étaient normales.

En 1656, Christiaan Huygens construisit la première horloge à pendule. Galilée avait étudié les pendules des décennies plus tôt et avait esquissé une horloge à pendule, mais n’en acheva jamais une avant sa mort en 1642. Les premières horloges à pendule de Huygens se trompaient de moins d’une minute par jour, et ses perfectionnements ultérieurs de moins de dix secondes. En 1673, il publia Horologium Oscillatorium, une analyse mathématique du mouvement du pendule qui montrait pourquoi les grandes oscillations posaient problème.

L’échappement à ancre suivit vers 1670 : le NIST date de 1671, à Londres, les premières horloges de William Clement munies du nouvel échappement à ancre, ou à recul. La forme à repos fut rendue célèbre par George Graham dans ses régulateurs de précision à partir de 1715 environ. Au XIXe siècle, elle s’était répandue dans la plupart des horloges à pendule de qualité.

En Corée, le professeur d’astronomie Song I-yeong construisit en 1669 une horloge armillaire pour le Bureau des conseillers spéciaux. Deux poids l’entraînent : l’un fait tourner le rouage du temps et l’autre actionne un mécanisme de sonnerie dans lequel des billes de fer roulent le long d’un canal et déclenchent le marteau. C’est la seule horloge astronomique de l’époque Joseon qui nous soit parvenue ; elle est conservée au musée de l’Université de Corée et c’est un trésor national de la Corée.

Les horloges à pendule atteignirent leur apogée au début du XXe siècle. L’horloge de Siegmund Riefler de 1889, avec un pendule presque libre, tenait l’heure à un centième de seconde (0,01 s) par jour, et l’horloge à pendule libre de Shortt de 1921 la remplaça dans de nombreux observatoires. Le NIST, alors National Bureau of Standards, utilisa une Riefler comme étalon d’intervalle de temps à partir de 1904 et une Shortt à partir de 1929. Les oscillateurs à quartz, mis au point à partir des années 1920, puis les horloges atomiques laissèrent très loin derrière eux tous les garde-temps mécaniques. Aujourd’hui, la seconde elle-même est définie par la fréquence de l’atome de césium 133, et ce sont les pendules qu’on mesure avec des atomes, plutôt que l’inverse.

Voir l’erreur s’accumuler

Une marche de quelques secondes par jour est difficile à se représenter ; la scène peut donc montrer où se trouveront les aiguilles plus tard. Aiguilles fantômes ajoute sur le cadran un second jeu d’aiguilles rouges, réglées sur l’heure que l’horloge indiquera après un jour, une semaine, 30 jours ou un an avec l’erreur actuelle. Avance rapide fait défiler ces jours en trois secondes environ, pendant que les aiguilles rouges s’écartent des vraies.

Une horloge réglée à 45° de latitude et portée à l’équateur perd environ 114 secondes par jour. Au bout d’une semaine, son aiguille fantôme des minutes retarde de 13,3 minutes. Un pendule d’acier ordinaire dans une pièce à 30 °C perd 5,4 secondes par jour, ce qui devient 38 secondes en une semaine et 162 secondes en 30 jours. Choisissez une tige compensée et les aiguilles fantômes restent proches des vraies.

Le bouton Viser 0,0 s du premier écran lance la tâche de réglage la plus fine. L’horloge est déplacée à Séoul et la pièce est à 24 °C : elle commence donc avec 32,0 secondes de retard par jour. Les boutons Écrou de la scène font tourner l’écrou de réglage de 0,1 mm à la fois, ce qui vaut environ 4,3 secondes par jour. Les boutons Fin le font tourner de 1/250 de tour. Avec un pas de vis de 0,5 mm par tour, cela fait 0,002 mm, soit environ 0,09 seconde par jour, assez petit pour ramener l’erreur à 0,0 seconde. L’écrou finit près de 1,49 mm.

La tige sous la loupe

La dilatation thermique est bien trop petite pour être visible à taille réelle. La Loupe de la tige dessine le pendule à 20 °C à côté du pendule actuel et n’agrandit que la variation, de plusieurs centaines à quelques milliers de fois. Si la pièce passe de 20 °C à 40 °C, la longueur effective de la tige d’acier augmente de 0,238 mm. Une tige de bois s’allonge de 0,080 mm. Le Wood Handbook du US Forest Products Laboratory donne 3,1 à 4,5 millionièmes par kelvin dans le sens du fil pour le bois sec, et le modèle utilise 4. Une tige d’invar s’allonge de 0,024 mm. Charles Edouard Guillaume reçut le prix Nobel de physique de 1920 pour sa découverte des anomalies des alliages d’acier au nickel à l’origine de l’invar.

Pour un gril, la loupe montre deux flèches. Les tiges d’acier, 2,70 m en série, poussent la lentille vers le bas de 0,647 mm, et les tiges de laiton la relèvent de 0,631 mm : la lentille ne se déplace donc que de 0,016 mm. Le récipient de mercure fait de même avec une colonne de mercure. La tige abaisse le récipient de 0,238 mm, le mercure qui monte relève le centre de la lentille de 0,227 mm, et il reste 0,012 mm. Ce reste est la petite dilatation résiduelle que le modèle attribue aux tiges compensées (0,8 et 0,6 millionième par °C), et non la mesure d’une horloge particulière.

La gravité sur une carte

Le laboratoire comporte une carte du monde avec 18 villes. Toucher une ville y place l’horloge avec son altitude, et toucher n’importe quel autre point règle cette latitude au niveau de la mer. La gravité vient de la formule de gravité normale WGS 84. Elle ne dépend que de la latitude, de sorte que le nord et le sud donnent la même valeur, et elle diminue de 3,086 × 10⁻⁶ m/s² par mètre d’altitude. L’échelle à côté de la carte va de 9,780 m/s² à l’équateur à 9,832 m/s² aux pôles. L’accélération normale de la pesanteur, 9,80665 m/s², est une valeur de référence fixe répertoriée par le NIST, proche de la valeur à 45°.

L’horloge a été réglée à 45° de latitude au niveau de la mer ; la carte donne donc les erreurs quotidiennes suivantes avant toute correction. Quito, à 2850 m d’altitude et presque sur l’équateur, retarde de 153 secondes. Lhassa, à 3650 m, retarde de 108 secondes, et Séoul de 30 secondes. Londres avance de 25 secondes, Reykjavík de 70 secondes et le pôle Nord de 114 secondes. Le pendule à secondes change lui aussi avec la gravité, de 990,1 mm à Quito à 996,2 mm au pôle.

Clepsydres, horloges astronomiques et horloges intermédiaires de Harrison

La clepsydre à sonnerie de Corée est plus ancienne que n’importe quelle horloge à pendule. Jagyeongnu fut construite en 1434 sous le roi Sejong par Jang Yeong-sil et frappait toute seule une cloche, un gong et un tambour à des heures fixées. L’eau coulait d’un grand récipient dans un plus petit, puis dans un haut récipient de réception, et des billes de fer, chacune déclenchant la suivante, frappaient les instruments ou faisaient tenir à des figures de bois une tablette portant l’heure. Ce qui subsiste provient d’une reconstitution de 1536 et est un trésor national conservé au Musée national du Palais de Corée. Le plus grand récipient de bronze mesure 93,5 cm de diamètre et 70,0 cm de haut.

L’horloge astronomique de Prague fut construite en 1410 par Mikuláš de Kadaň et améliorée à la fin du XVe siècle. Elle s’arrêta en 1865 et risquait d’être retirée jusqu’à ce que l’horloger Ludvík Hainz la répare. Son cadran montre quatre sortes de temps, dont les heures babyloniennes inégales, comptées du lever au coucher du soleil. L’horloge astronomique de la cathédrale de Strasbourg est la troisième à cet emplacement. La seconde s’arrêta définitivement en 1788, et Jean-Baptiste Schwilgué construisit un mécanisme entièrement nouveau pour son boîtier Renaissance, de 1838 à 1842.

Les H2 et H3 de Harrison se situent entre H1 et H4. H2, réalisée entre 1737 et 1739, ajouta un remontoir pour régulariser la force motrice de ses deux balanciers, mais Harrison y trouva un défaut et ne la laissa jamais partir en mer. H3, commencée en 1740, demanda près de 19 ans de construction et de mise au point et ne gagna jamais le prix. Elle introduisit en revanche la lame bimétallique et le roulement à rouleaux en cage, tous deux encore utilisés. Ces horloges et l’invar de Guillaume figurent maintenant dans la liste du laboratoire, qui compte 49 entrées.

Les simplifications du modèle

• La course du poids est raccourcie pour tenir dans la caisse : à l’écran, 16 tours de corde représentent 0,47 m, alors que le vrai tambour en déroulerait environ 2 m.
• La verge et foliot est montée sur le même mouvement que les autres échappements pour que vous puissiez les échanger. Les vraies horloges à foliot étaient des horloges de tour et de chambre avec d’autres rouages, et leurs roues de rencontre avaient leurs propres nombres de dents. Son battement est fixé à 1 seconde pour 4 kg, afin que les aiguilles restent comparables.
• L’amplitude croît comme la racine carrée de la force motrice dans tous les échappements. Les vrais échappements ont aussi leurs propres petites erreurs (l’ancre à recul, par exemple, compense en partie l’erreur circulaire), que le modèle laisse de côté.
• Les coefficients de dilatation sont des valeurs typiques de manuels, et les tiges compensées reçoivent une petite dilatation résiduelle plutôt qu’un zéro parfait.
• L’horloge de tour est une esquisse au 1:8 : les trois rouages sont dessinés comme de simples roues et barillets, et la roue d’échappement tourne de 60° par battement dans le modèle.
• La pression de l’air, l’humidité, la raideur du ressort de suspension et la répartition de la masse du pendule ne sont pas modélisées. Un vrai pendule à secondes est un peu plus long, au total, que 0,994 m, parce que son centre d’oscillation se trouve légèrement sous le centre de la lentille.

À vous d’essayer

Le laboratoire, sous les réglages, propose dix tâches. Chacune prépare l’horloge pour vous, et une coche apparaît quand l’horloge atteint l’objectif. Votre progression est conservée dans ce navigateur.

1. Corrigez une horloge qui perd 10 secondes par jour, avec le seul écrou de réglage.
2. Trouvez le pendule à secondes : réglez la longueur pour qu’un battement dure 1,000 s, avec l’écrou à zéro.
3. Pourquoi retarde-t-elle l’été ? Chauffez la pièce et choisissez une tige qui annule la chaleur.
4. Portez l’horloge à l’équateur et corrigez-la.
5. Comparez la verge et le repos quand le poids passe de 4 kg à 6 kg.
6. Réglez Big Ben avec des pennies.
7. Visez 0,0 s par jour : réglez l’horloge à Séoul avec l’écrou et les boutons Fin de la scène.
8. Un mois d’été : choisissez une tige pour que les aiguilles fantômes restent à moins de 25 secondes après 30 jours à 30 °C.
9. Placez l’horloge à Lhassa sur la carte du monde et réglez-la.
10. Trouvez une tige qui s’allonge de moins de 0,05 mm entre 20 °C et 40 °C dans la Loupe de la tige.

Sous les tâches se trouvent une calculatrice de dérive (jusqu’où les aiguilles s’écartent après un jour, une semaine, un mois et un an), l’année de température ambiante, des lieux de gravité différente, le graphique de précision, une carte du monde de la gravité, et 49 horloges et tournants de l’histoire, chacun avec sa source et un bouton qui règle le modèle en conséquence.