Pont en arc de pierre : chargez-le et voyez comment il porte

Ce que montre la maquette

Passez sous un vieux pont de pierre et levez les yeux. Aucun mortier n’est assez fort pour coller les pierres entre elles contre la pesanteur, et pourtant l’arc se dresse depuis des siècles. Un pont ferroviaire en acier tout proche a un aspect complètement différent, un treillis de fines barres, et un pont suspendu, plus loin sur la côte, accroche sa chaussée à deux câbles. Tous trois résolvent le même problème : porter une charge au-dessus d’un vide et la descendre dans le sol de chaque côté.

La maquette les place côte à côte. À gauche, un arc de pierre en plein cintre ; au milieu, une poutre en treillis de type Pratt ; à droite, un pont suspendu avec deux pylônes et deux massifs d’ancrage. Chacun est dessiné à sa propre échelle : l’arc mesure environ 8 m d’ouverture, le treillis 30 m et le pont suspendu 160 m entre ses pylônes. Les curseurs « Position de la charge » et « Charge » déplacent un poids sur les trois ouvrages à la fois, et le panneau dans le coin indique les forces calculées pour cette position. Le curseur « Pierres posées » et l’interrupteur « Cintre » vous permettent de construire l’arc puis de retirer son support en bois.

Pourquoi la pierre ne peut que pousser

La pierre est très résistante quand on la comprime et très faible quand on la tire. Un empilement de blocs sans mortier ne peut supporter aucune traction : les joints s’ouvrent tout simplement. Un pont de pierre doit donc avoir une forme telle que chaque joint soit pressé et qu’aucun ne soit tiré.

Un arc y parvient en transformant le poids vertical des pierres et de la circulation en une poussée inclinée. Chaque pierre en forme de coin, appelée voussoir, s’appuie sur ses voisines, et la poussée suit la courbe puis descend dans les culées. Comme la poussée est inclinée, les culées doivent résister à deux choses : le poids qui descend et une force latérale appelée poussée. Si l’on supprime l’appui latéral, les pieds de l’arc s’écartent tandis que le sommet s’affaisse.

Robert Hooke a décrit la bonne forme en 1675 au moyen d’une anagramme latine. Une fois déchiffrée, elle dit qu’une chaîne suspendue, retournée, donne la forme d’un arc rigide. Une chaîne ne peut être que tendue : elle pend donc selon la forme qui met chaque maillon en traction pure. Retournez cette forme et chaque maillon serait en compression pure, ce qui est exactement ce que la pierre demande.

Construire sur un cintre, et pourquoi la clé de voûte compte

Une moitié d’arc ne tient pas debout. Chaque pierre penche vers l’intérieur et, sans rien de l’autre côté sur quoi s’appuyer, elle pivoterait et tomberait. Les constructeurs dressent donc d’abord une charpente en bois appelée cintre, dont le haut épouse la face intérieure de l’arc, et posent les pierres dessus à partir des deux naissances vers le milieu.

La dernière pierre, au sommet, est la clé de voûte. Une fois qu’elle est enfoncée, les deux moitiés s’appuient l’une sur l’autre et l’anneau est fermé. Les constructeurs ôtent alors les coins en haut des poteaux du cintre, la charpente descend de quelques centimètres et l’arc porte pour la première fois son propre poids. Cette opération s’appelle le décintrement. Dans la maquette, réglez « Pierres posées » sous 15 et coupez le cintre : les pierres tombent. Posez d’abord les 15 pierres et le même interrupteur laisse l’arc debout.

La forme de la clé de voûte n’a ici rien de particulier. Dans la maquette, elle a la même taille et le même poids que les quatorze autres pierres. Ce qui en fait la clé de voûte, c’est qu’elle est posée en dernier.

La ligne des pressions en chiffres

L’anneau de la maquette a un rayon de fibre moyenne de 4 m, une épaisseur de 0,6 m et une largeur de 3 m. Avec un granite à 23,5 kN par mètre cube, l’anneau entier pèse π × 4 × 0,6 × 3 × 23,5 = 532 kN, soit environ 54 tonnes, réparties en 15 pierres de 35 kN chacune.

Considérez chaque pierre comme un poids unique agissant en son centre de gravité et choisissez une poussée horizontale H. À partir d’une naissance, la poussée suit une droite jusqu’au premier poids, puis s’infléchit vers le bas d’une quantité fixée par ce poids, puis repart en ligne droite jusqu’au suivant, et ainsi de suite. La ligne brisée obtenue est la ligne des pressions. Sa pente sur chaque tronçon est l’effort vertical qui reste à reprendre divisé par H, ce qui est la même règle que celle qui fixe la forme d’une chaîne suspendue.

L’arc peut trouver de lui-même sa valeur de H, dans certaines limites. Une petite poussée donne une ligne des pressions profonde et pointue, et une grande poussée en donne une plus plate. Le théorème de sécurité de Jacques Heyman dit que si l’on peut tracer une seule de ces lignes à l’intérieur de la maçonnerie à chaque joint, l’arc ne s’effondrera pas sous ces charges, à condition que les pierres ne s’écrasent ni ne glissent. La maquette explore toutes les lignes possibles et dessine celle qui reste le plus loin des bords. Le pourcentage affiché dans le panneau indique de combien cette ligne s’écarte du milieu de l’anneau à son joint le plus défavorable, en fraction de la demi-épaisseur. Sous son propre poids, l’anneau de la maquette atteint 71 %, il reste donc de la marge. Chaque culée repousse alors avec H = 104 kN horizontalement et 266 kN vers le haut, soit la moitié du poids de l’anneau.

Posez une charge sur l’anneau et la ligne doit se plier fortement sous elle. Une charge d’environ 100 kN au sommet épuise toute la marge : plus aucune ligne n’y tient. L’endroit le plus défavorable de cette maquette se trouve juste à côté du sommet, à 45 % de la portée, où 72 kN suffisent. Au quart de la portée, la limite est de 129 kN, et près des naissances elle dépasse 500 kN, parce que la charge y descend presque tout droit dans la culée. Les joints où la ligne touche le bord sont ceux où l’arc s’ouvrirait et tournerait comme une charnière ; quatre charnières de ce genre transforment l’anneau en mécanisme et il s’effondre. Dans la maquette, ces joints deviennent rouges.

Un anneau nu est le cas le plus défavorable. Les vrais ponts de pierre portent un remblai de terre et une chaussée au-dessus de l’anneau. Ce remblai ajoute du poids, ce qui aide à maintenir la ligne des pressions en place, et il répartit la charge d’une roue sur une large partie de l’anneau.

Comment un treillis transforme la flexion en poussée et en traction

Un treillis remplace une poutre pleine par des triangles de barres droites assemblées à leurs extrémités. Si les assemblages sont traités comme des articulations et que les charges n’arrivent qu’aux nœuds, chaque barre porte un seul effort le long de sa longueur : une compression, représentée en bleu, ou une traction, représentée en rouge.

Les efforts se déterminent par la méthode des nœuds. À chaque articulation, les efforts des barres et toute charge ou réaction d’appui doivent s’annuler, horizontalement comme verticalement. Le treillis de la maquette compte 12 nœuds, ce qui donne 24 équations, et il a 21 barres plus trois réactions d’appui, soit exactement 24 inconnues. En les résolvant ensemble, on obtient tous les efforts d’un seul coup.

Placez un camion de 200 kN au milieu. Chacun des deux treillis en reprend la moitié, 100 kN, et chaque appui pousse vers le haut avec 50 kN. Coupez le treillis par le panneau central et prenez les moments : le moment fléchissant à mi-portée vaut 50 kN × 15 m = 750 kN·m et, les membrures étant distantes de 5 m, la membrure supérieure porte 750 ÷ 5 = 150 kN de compression. La membrure inférieure du même panneau porte 100 kN de traction, et chaque diagonale porte 50 ÷ sin 45° = 71 kN de traction. Le panneau affiche ces mêmes valeurs.

Pourquoi les diagonales changent de signe sous un camion en mouvement

Dans un treillis Pratt, les diagonales descendent vers le milieu. Cette disposition les maintient en traction sous une charge symétrique, ce qui convenait aux constructeurs du XIXe siècle, qui savaient fabriquer à bon marché de longues barres de fer mais craignaient que des barres élancées comprimées ne flambent. Thomas et Caleb Pratt l’ont conçu en 1844.

Un camion ne reste pourtant pas au milieu. Conduisez-le au tiers de la portée et l’effort tranchant dans le panneau central change de sens. La diagonale U2L3, qui portait 71 kN de traction, porte maintenant 47 kN de compression. Les ingénieurs traitent ce cas avec une ligne d’influence, un tracé de l’effort d’une barre quand la charge se déplace sur l’ouvrage, et vérifient chaque barre pour la pire valeur dans les deux sens. Les anciens treillis Pratt à diagonales uniquement tendues ajoutaient pour cette raison des contre-diagonales croisées dans les panneaux centraux.

Pourquoi un câble suspendu forme une parabole

Le tablier d’un pont suspendu pend à des suspentes verticales, et dans la maquette il y en a une tous les 8 m. Le poids du tablier, 40 kN par mètre pour chaque câble, arrive au câble sous forme de charges égales à intervalles égaux, 320 kN à chaque suspente.

Un câble ne résiste pas à la flexion : sa flèche en un point doit donc être égale au moment fléchissant qu’aurait en ce point une poutre simple de même portée sous les mêmes charges, divisé par la traction horizontale H. Pour une charge uniforme, le diagramme des moments est une parabole, donc le câble en est une aussi. À mi-portée, le moment vaut wL² ÷ 8 et, comme la flèche y est f, H = wL² ÷ (8f) = 40 × 160² ÷ (8 × 16) = 8000 kN. Près des pylônes, le câble porte aussi la part verticale du poids du tablier, et la tension y monte donc à 8558 kN.

Une chaîne suspendue sous son propre poids forme en revanche une chaînette, parce que son poids est réparti le long de la longueur courbe et non uniformément sur la portée. Pour une portée de 160 m avec 16 m de flèche, les deux courbes diffèrent de 52 mm au plus. Un vrai câble porte à la fois son propre poids et le tablier ; sa forme se situe donc entre les deux.

Un camion rompt ce schéma. Comme la maquette n’a pas de poutre de rigidité, un camion de 300 kN (150 kN par câble) placé au quart de la portée tire un coude dans le câble. Comme le câble ne s’allonge pas, le reste du câble remonte un peu, H monte à 8213 kN et le câble sous le camion descend de 0,24 m. La maquette dessine ce déplacement dix fois plus grand pour que vous puissiez le voir. Les vrais ponts suspendus utilisent une poutre de rigidité raide dans le tablier pour répartir de telles charges sur de nombreuses suspentes.

Pylônes et massifs d’ancrage

Le câble passe sur une selle au sommet de chaque pylône et descend le long de la travée de rive jusqu’à un massif d’ancrage. Si la selle peut rouler, la traction horizontale est la même des deux côtés, de sorte que les pylônes portent surtout une charge verticale. Dans la maquette, chaque hauban de retenue descend de 16 m sur une travée de rive de 50 m. Sa tension est H divisé par le cosinus de cette pente, soit 8400 kN sous le seul tablier, et il tire vers le haut le massif d’ancrage avec 2560 kN. C’est pourquoi les massifs d’ancrage sont de si gros blocs : leur poids retient l’extrémité du câble vers le bas.

Des ponts coréens bâtis sur ces idées

Les ponts coréens en arc de pierre qui subsistent s’appellent hongyegyo ou hongyo, ce qui signifie pont arc-en-ciel. Le Seungseongyo du temple Seonamsa, à Suncheon, est un arc unique en plein cintre d’environ 140 pierres. Selon le Service du patrimoine national, il a été construit pour la première fois en 1707 et réparé après une crue en 1713, et il a été classé Trésor en 1963. Le Beolgyo Hongyo de Boseong a été construit en 1729 et reconstruit avec trois arches en 1737 ; c’est le plus grand des ponts arc-en-ciel de pierre encore debout. Tous deux ont une tête de dragon sculptée qui dépasse sous le sommet.

Parmi les ponts suspendus, le pont de Namhae, ouvert le 22 juin 1973 avec une longueur totale de 660 m, a été le premier pont suspendu de Corée. Le pont Yi Sun-sin, entre Yeosu et Gwangyang, a une travée principale de 1545 m entre ses pylônes ; il a ouvert provisoirement en mai 2012 et complètement le 8 février 2013.

Exemple chiffré : pourquoi un arc plus plat pousse plus fort

Prenez l’arc de la maquette entre ses naissances : une portée de L = 8 m et une flèche de f = 4 m, qui est le rayon de 4 m. Placez 100 kN au sommet et traitez l’arc comme un arc à trois articulations, avec une articulation à chaque naissance et une au sommet. Par symétrie, chaque culée reprend 50 kN vers le haut. Coupez maintenant l’arc à l’articulation du sommet et prenez les moments autour d’elle pour la moitié gauche : la réaction de 50 kN agit à 4 m du sommet, et la poussée horizontale H agit à 4 m en dessous. Donc 50 × 4 = H × 4, et H = 50 kN. En général, H = PL ÷ (4f) = 100 × 8 ÷ 16 = 50 kN.

Gardez la portée et la charge, mais aplatissez l’arc. Avec f = 2 m, la même formule donne H = 100 kN, et avec f = 1 m elle donne 200 kN. La réaction verticale reste à 50 kN à chaque fois. Seule la poussée latérale change, et elle est inversement proportionnelle à la flèche. Un arc plat n’a pas tant besoin d’une pierre plus résistante que de culées plus résistantes.

La même règle vaut pour une charge uniforme w. Un arc parabolique portant w par mètre a H = wL² ÷ (8f), ce qui est exactement la formule du câble retournée. Le pont de Zhaozhou, dans le Hebei, achevé en 605, rend le contraste concret. L’American Society of Civil Engineers lui donne une portée de 37 m et une flèche de seulement 23,9 ft, soit environ 7,3 m. En traitant ce pont et un arc en plein cintre de même portée comme des paraboles sous une charge uniforme (une idéalisation), la poussée par unité de charge totale vaut L ÷ (8f). Pour Zhaozhou, cela donne 37 ÷ (8 × 7,3) = 0,63. Pour un demi-cercle, dont la flèche est la moitié de la portée, cela donne 0,25. L’arc surbaissé pousse donc latéralement environ 2,5 fois plus fort pour chaque kilonewton qu’il porte, ce qui est le prix d’un profil de chaussée doux.

Le cintre, anneau par anneau

Le curseur « Pierres posées » compte de 0 à 15, et chaque pierre de la maquette pèse environ 35 kN. À 10 pierres, le cintre en bois porte à peu près 350 kN de maçonnerie qui n’a rien d’autre sur quoi s’appuyer. Coupez alors « Cintre » et les pierres tombent, parce qu’un anneau incomplet n’est pas une structure fermée et qu’aucune ligne des pressions ne peut être tracée d’une naissance à l’autre.

À 15 pierres, la situation change complètement. L’anneau est fermé, la maquette trouve une ligne des pressions à l’intérieur, et le cintre ne porte plus rien d’utile. Les constructeurs l’abaissent par étapes plutôt que de l’arracher. La note technique de la Brick Industry Association sur les arcs en maçonnerie traite le desserrage du cintre comme une étape qui ne vient qu’après la pose de la clé de voûte.

Quand cela se produit, l’arc ne saute pas vers un état unique. La poussée horizontale peut se fixer n’importe où dans un intervalle. Block, DeJong et Ochsendorf indiquent, pour un arc en plein cintre dont l’épaisseur d’anneau vaut 18 % du rayon, une poussée minimale d’environ 16 % du poids de l’arc et une poussée maximale d’environ 24 %. L’anneau de la maquette est un peu plus mince, 0,6 m pour un rayon de 4 m, soit 15 %, et son intervalle est donc un peu plus étroit. La poussée que dessine la maquette, 104 kN pour un poids d’anneau de 532 kN, vaut 19,5 % du poids et se situe confortablement au milieu d’un intervalle de ce genre. Si une culée s’écarte un peu, la poussée se rapproche du bas de son intervalle, et l’arc reste debout tant qu’une ligne tient encore à l’intérieur de l’anneau.

Arc, treillis et câble comparés

Les trois ouvrages répondent à la même question de trois façons différentes, et la différence la plus nette est ce que chacun fait subir à ses appuis.

• Arc de pierre. L’anneau est toujours en compression. Chaque culée est poussée vers le bas et vers l’extérieur. Dans la maquette : 266 kN vers le bas et 104 kN vers l’extérieur sous le seul poids de l’anneau.
• Treillis Pratt. Le treillis appuie seulement droit vers le bas sur ses appuis. Ses barres travaillent en compression ou en traction selon l’endroit où se trouve la charge, et les membrures assurent la résistance à la flexion. Dans la maquette, l’effort de membrure pour une charge de 100 kN est le moment à mi-portée divisé par la hauteur : 750 ÷ 5 = 150 kN. Un treillis deux fois moins haut, 2,5 m, demanderait des membrures portant 300 kN pour la même charge.
• Pont suspendu. Le câble est toujours en traction et tire les appuis vers l’intérieur et vers le haut. Sa traction horizontale est H = wL² ÷ (8f), de sorte que diviser la flèche par deux double cette traction : les 8000 kN de la maquette deviendraient 16 000 kN avec 8 m de flèche.

Pour une charge uniforme, comparez la force horizontale à la charge portée. Le câble de la maquette a H ÷ (wL) = 160 ÷ (8 × 16) = 1,25, parce que sa flèche vaut un dixième (1/10) de sa portée. Un arc en plein cintre a un rapport de 0,25 dans la même idéalisation, parce que sa flèche est la moitié de la portée. Un câble dont la flèche vaut un dixième (1/10) de la portée tire cinq fois plus fort latéralement que l’arc ne pousse, et c’est pourquoi les massifs d’ancrage et les haubans de retenue sont si massifs.

Les matériaux suivent la même logique. La pierre et la fonte sont résistantes en compression et fragiles en traction, elles conviennent donc aux arcs. L’acier supporte les deux, il convient donc aux treillis. Un câble de fils d’acier est inutile en compression mais excellent en traction, il convient donc à un pont suspendu. L’Iron Bridge de Coalbrookdale, dans le Shropshire, montre comment les habitudes se transmettent : English Heritage décrit une seule travée en fonte de 30 m faite de cinq nervures en demi-cercle, assemblées par des queues d’aronde et des assemblages à épaulement empruntés à la charpenterie.

Ponts réels et ce qu’ils mettent à l’épreuve

Pont du Gard, France. L’UNESCO décrit un pont-aqueduc romain à trois niveaux d’arches, s’élevant à près de 48,77 m, dont les deux niveaux inférieurs sont bâtis en grands blocs de pierre. Dans une rangée d’arches identiques, chacune pousse latéralement sur ses voisines, et les poussées s’annulent à chaque pile sauf la dernière. Seules les deux culées d’extrémité doivent résister à une poussée résultante.

Pont de Zhaozhou, Chine, 605. La fiche de l’ASCE le qualifie de plus ancien pont en arc à tympan ajouré du monde. Il a été bâti par Li Chun avec 28 dalles de calcaire minces et courbes assemblées par des queues d’aronde en fer, et de petites arches aux extrémités du tablier transmettent une partie de la charge à l’arc principal et laissent passer l’eau des crues. Sa faible flèche découle du calcul de poussée ci-dessus.

Iron Bridge, Angleterre, 1779. English Heritage relève 378 tonnes de fer et un coût d’environ 6000 £ contre une première estimation de 3200 £. La page d’histoire de la BBC compte 482 pièces de fonderie principales et dit que la première arche a franchi la rivière le 2 juillet 1779. English Heritage ajoute que 70 % des éléments ont été coulés individuellement pour s’ajuster, de sorte que deux pièces ne sont jamais tout à fait identiques. La page de la BBC précise que la culée sud a beaucoup bougé et a été démolie en 1802, ce qui rappelle qu’un arc n’est fiable que dans la mesure où l’est le sol qui reçoit sa poussée.

Golden Gate Bridge, 1937. La page de l’ASCE sur ce site historique donne une travée principale de 4200 ft (environ 1280 m), la plus longue travée unique du monde à l’époque de sa construction, dont le chantier a commencé en novembre 1932. C’est huit fois les 160 m de la maquette. À titre d’illustration de changement d’échelle seulement, gardez le rapport de flèche de 1/10 de la maquette et sa charge de 40 kN par mètre de câble. La traction horizontale croîtrait alors proportionnellement à la portée, de 8000 kN à 64 000 kN. Le vrai pont a d’autres charges et une autre flèche : il s’agit donc d’une vérification d’échelle, pas d’une valeur pour le pont.

Pont de Tacoma Narrows, 1940. Le projet d’origine comportait des treillis de rigidité de 25 ft. Un projet moins cher, avec des poutres à âme pleine de 8 ft, l’a remplacé, et le pont a ouvert le 1er juillet 1940. L’ASCE note qu’il s’est rompu le 7 novembre 1940 sous un vent de seulement 42 mph, quatre mois après l’ouverture. La cause était aérodynamique, ce que la maquette ne comprend pas du tout. Le tablier était extrêmement peu épais pour sa largeur, avec un rapport hauteur-largeur de 1 à 72, et il se tordait donc facilement. Le remplacement de 1950 a utilisé un treillis de rigidité de 33 ft et des ouvertures laissant passer le vent à travers le tablier.

Idées reçues

• « La clé de voûte porte tout l’arc. » Chaque pierre est comprimée par ses voisines, et la clé de voûte est l’une d’elles. Dans la maquette, elle a la même taille et le même poids que les 14 autres. Ce qui compte, c’est qu’elle ferme l’anneau.
• « Une charge au sommet est le pire cas. » Dans la maquette, non. L’anneau tolère environ 100 kN au sommet mais seulement 72 kN à 45 % de la portée, et 129 kN au quart. La position la plus défavorable est celle où la charge écarte le plus la ligne des pressions du milieu de l’anneau.
• « Plus de barres rendent un treillis plus solide. » Des barres n’aident que si elles portent un effort. Dans la maquette, les montants les plus proches des extrémités portent un effort nul, sauf si la charge se trouve sur leur nœud, et une diagonale peut passer de la traction à la compression quand le camion avance.
• « Un câble suspendu est une chaînette. » Seulement quand le poids propre du câble domine. Avec un tablier bien plus lourd que le câble, la forme est une parabole, et dans la maquette les deux courbes diffèrent de 52 mm au plus sur 160 m.
• « Tacoma Narrows, c’était de la résonance. » L’American Physical Society souligne que cette explication de manuel est incorrecte. La Federal Works Administration a jugé la résonance une cause improbable, et l’explication admise est le flottement torsionnel, une torsion auto-entretenue dans laquelle le mouvement propre du tablier puisait davantage d’énergie dans le vent.

À essayer à l’écran

1. Utilisez les boutons de scène en haut de la scène : arc de pierre, treillis, pont suspendu, ponts réels, ou les trois côte à côte. Chaque pont occupe seul toute la scène.
2. Sur l’arc de pierre, faites glisser le poids en fonte le long de l’anneau. La ligne verte le suit, et les points qui descendent le long de la ligne montrent la poussée qui voyage vers les culées. Vers 45 % de la portée, 75 kN suffisent déjà à pousser la ligne hors de l’anneau.
3. Touchez une pierre quelconque de l’anneau. Elle glisse hors de sa place et tout l’anneau s’effondre, clé de voûte comprise. Appuyez sur « Remettre les pierres » pour le reconstruire.
4. Réglez « Pierres posées » sur 10 avec le cintre en place, puis coupez « Cintre ». Les pierres tombent. Posez les 15 pierres et coupez-le de nouveau : l’arc tient.
5. Sans charge, diminuez « Épaisseur de l’anneau » à partir de 0,60 m. En dessous d’environ 0,43 m, plus aucune ligne des pressions ne tient à l’intérieur de l’anneau.
6. Sur le treillis, faites glisser le camion. Avec 200 kN au milieu, la membrure supérieure porte 150 kN de compression. Déplacez-le au tiers de la portée et la diagonale U2L3 passe du rouge au bleu.
7. Sur le pont suspendu, réglez « Charge » sur 300 et faites glisser le camion au quart de la portée. Le câble se coude et descend de 0,24 m, dessiné dix fois plus grand.
8. Ouvrez les ponts réels : Zhaozhou, Brooklyn, Golden Gate et Akashi Kaikyō, chacun dessiné selon sa portée et sa hauteur mesurées.
9. L’onglet Commandes énumère 11 défis, depuis casser l’arc avec 100 kN ou moins jusqu’à trouver les 7 éléments cachés dans les scènes.

En quoi la maquette est plus simple qu’un vrai pont

• L’arc est un anneau nu, sans remblai, sans murs de tympan et sans chaussée. Les joints sont radiaux, les pierres sont rigides, et l’écrasement et le glissement sont ignorés, comme dans les hypothèses de Heyman.
• La charge sur l’arc est une unique charge ponctuelle verticale posée sur une seule pierre.
• Le treillis a des nœuds articulés, ignore son propre poids et celui du tablier, et traite le camion comme une charge ponctuelle unique partagée entre les deux entretoises les plus proches.
• Le tablier suspendu n’a aucune rigidité en flexion, le câble ne s’allonge pas, les haubans de retenue sont droits et les selles des pylônes roulent librement. Les déplacements du câble et du tablier sont dessinés dix fois plus grands.

Comment les chiffres ont été vérifiés

Les calculs de statique ont aussi été refaits à la main. Pour le treillis avec 100 kN à mi-portée, les valeurs à la main correspondent aux réactions, à la membrure supérieure de 150 kN, à la membrure inférieure de 100 kN, aux montants d’extrémité et aux diagonales de 70,7 kN, et à l’effort nul dans les montants voisins des extrémités, et elles confirment que les 12 nœuds sont en équilibre pour 61 positions du camion. Pour l’arc, elles correspondent à H = PL ÷ (4f) pour un arc à trois articulations avec une charge au sommet, et pour un arc en plein cintre avec t/R = 18 % l’intervalle de poussée ressort de 16 % à 24 % du poids de l’arc, contre 16 % et 25 % rapportés par Block, DeJong et Ochsendorf. Pour le câble, elles confirment que les points de suspente se trouvent sur y = 4fx(L − x) ÷ L² et que H = wL² ÷ (8f).