Puente de arco de piedra: carga y mira cómo reparte el peso

Qué muestra el modelo

Camina bajo un viejo puente de piedra y mira hacia arriba. Ningún mortero es lo bastante fuerte para pegar las piedras entre sí frente a la gravedad, y sin embargo el arco lleva siglos en pie. Un puente ferroviario de acero cercano tiene un aspecto completamente distinto, un entramado de barras delgadas, y un puente colgante más adelante en la costa cuelga su calzada de dos cables. Los tres resuelven el mismo problema: llevar una carga a través de un vano y bajarla al terreno a ambos lados.

El modelo coloca los tres lado a lado. A la izquierda hay un arco de piedra semicircular, en el centro una cercha Pratt y a la derecha un puente colgante con dos torres y dos anclajes. Cada uno está dibujado a su propia escala, de modo que el arco mide unos 8 m de ancho, la cercha 30 m y el puente colgante 160 m entre sus torres. Los controles deslizantes «Posición de la carga» y «Carga» mueven un peso por los tres a la vez, y el panel de la esquina indica las fuerzas calculadas para esa posición. El control deslizante «Piedras colocadas» y el interruptor «Cimbra» permiten construir el arco y retirar su apoyo de madera.

Por qué la piedra solo puede empujar

La piedra es muy resistente cuando se comprime y muy débil cuando se tira de ella. Una pila de bloques sin mortero no puede soportar ninguna tracción: las juntas simplemente se abren. Por eso un puente de piedra tiene que tener una forma tal que cada junta quede apretada y ninguna se separe.

Un arco lo consigue convirtiendo el peso descendente de las piedras y del tráfico en un empuje inclinado. Cada piedra en forma de cuña, llamada dovela, se apoya en sus vecinas, y el empuje recorre la curva y baja hasta los estribos. Como el empuje es inclinado, los estribos tienen que resistir dos cosas: el peso que baja y un empujón lateral llamado empuje horizontal. Si se quita el apoyo lateral, los arranques del arco se abren y la clave desciende.

Robert Hooke describió la forma correcta en 1675 con un anagrama en latín. Descifrado, dice que una cadena colgante, puesta del revés, da la forma de un arco rígido. Una cadena solo puede trabajar a tracción, así que cuelga con la forma que pone cada eslabón en tracción pura. Si se da la vuelta a esa forma, cada eslabón pasaría a estar en compresión pura, que es justo lo que la piedra necesita.

Construir sobre la cimbra y por qué importa la clave

Medio arco no se sostiene. Cada piedra se inclina hacia dentro y, sin nada al otro lado en que apoyarse, giraría y caería. Por eso los constructores levantan primero un armazón de madera llamado cimbra, cuya parte superior tiene la forma del intradós del arco, y colocan las piedras sobre él desde ambos arranques hacia el centro.

La última piedra, en la coronación, es la clave. Cuando se empuja hacia dentro, las dos mitades se apoyan una en otra y el anillo queda cerrado. Entonces los constructores retiran las cuñas de la parte superior de los postes de la cimbra, el armazón baja unos centímetros y el arco soporta por primera vez su propio peso. Esto se llama descimbrar. En el modelo, pon «Piedras colocadas» por debajo de 15 y apaga la cimbra: las piedras caen. Si colocas primero las 15, el mismo interruptor deja el arco en pie.

La forma de la clave no tiene nada de especial aquí. En el modelo tiene el mismo tamaño y peso que las otras catorce piedras. Lo que la convierte en la clave es que se coloca la última.

La línea de presiones, en números

El anillo del modelo tiene un radio de 4 m en su línea media, un espesor de 0,6 m y un ancho de 3 m. Con granito a 23,5 kN por metro cúbico, todo el anillo pesa π × 4 × 0,6 × 3 × 23,5 = 532 kN, unas 54 toneladas, repartidas en 15 piedras de 35 kN cada una.

Trata cada piedra como un único peso que actúa en su centro de gravedad y elige un empuje horizontal H. Partiendo de un arranque, el empuje avanza en línea recta hasta encontrar el primer peso, luego se curva hacia abajo en una cantidad determinada por ese peso, después avanza recto hasta el siguiente, y así sucesivamente. La línea quebrada que resulta es la línea de presiones. Su pendiente en cada tramo es la fuerza vertical que aún queda por soportar dividida entre H, que es la misma regla que fija la forma de una cadena colgante.

El arco puede acomodarse por sí mismo a su propio H dentro de unos límites. Un empuje pequeño da una línea de presiones profunda y apuntada, y un empuje grande da una más plana. El teorema de seguridad de Jacques Heyman dice que, si se puede dibujar dentro de la mampostería en cada junta alguna de estas líneas, el arco no colapsará bajo esas cargas, siempre que las piedras ni se aplasten ni deslicen. El modelo busca todas las líneas posibles y dibuja la que se mantiene más lejos de los bordes. El porcentaje del panel indica cuánto se aparta esa línea del centro del anillo en la junta más desfavorable, como fracción de la mitad del espesor. Bajo su propio peso, el anillo del modelo alcanza el 71 %, así que hay margen de sobra. Cada estribo responde entonces con H = 104 kN en horizontal y 266 kN hacia arriba, la mitad del peso del anillo.

Si se pone una carga sobre el anillo, la línea tiene que quebrarse bruscamente bajo ella. Una carga de unos 100 kN en la clave agota todo el margen: ya no cabe ninguna línea. El peor lugar de este modelo está justo al lado de la clave, al 45 % de la luz, donde bastan 72 kN. A un cuarto de la luz el límite es de 129 kN, y cerca de los arranques supera los 500 kN, porque allí la carga baja casi en vertical hasta el estribo. Las juntas donde la línea toca el borde son aquellas por las que el arco se abriría y giraría como una articulación; cuatro de esas articulaciones convierten el anillo en un mecanismo y cae. En el modelo esas juntas se ponen rojas.

Un anillo desnudo es el peor caso. Los puentes de piedra reales llevan un relleno de tierra y una calzada sobre el anillo. Ese relleno añade peso, lo que ayuda a mantener la línea de presiones en su sitio, y reparte la carga de una rueda sobre una parte amplia del anillo.

Cómo una cercha convierte la flexión en empuje y tracción

Una cercha sustituye una viga maciza por triángulos de barras rectas unidas por sus extremos. Si los nudos se tratan como articulaciones y las cargas llegan solo a los nudos, cada barra soporta una única fuerza a lo largo de su longitud: compresión, mostrada en azul, o tracción, mostrada en rojo.

Las fuerzas salen del método de los nudos. En cada articulación, las fuerzas de las barras y cualquier carga o reacción de apoyo deben sumar cero, tanto en horizontal como en vertical. La cercha del modelo tiene 12 nudos, así que da 24 ecuaciones, y tiene 21 barras más tres reacciones de apoyo, por lo que hay exactamente 24 incógnitas. Resolviéndolas juntas se obtienen todas las fuerzas a la vez.

Pon un camión de 200 kN en el centro. Cada una de las dos cerchas toma la mitad, 100 kN, y cada apoyo empuja hacia arriba con 50 kN. Corta la cercha por el panel central y toma momentos: el momento flector en el centro del vano es 50 kN × 15 m = 750 kN·m y, con los cordones separados 5 m, el cordón superior soporta 750 ÷ 5 = 150 kN de compresión. El cordón inferior del mismo panel soporta 100 kN de tracción, y cada diagonal soporta 50 ÷ sen 45° = 71 kN de tracción. El panel muestra estos mismos valores.

Por qué las diagonales cambian de signo bajo un camión en movimiento

En una cercha Pratt las diagonales descienden hacia el centro. Esa disposición las mantiene a tracción bajo una carga simétrica, lo que convenía a los constructores del siglo XIX, que podían fabricar barras largas de hierro a bajo coste pero temían que las barras esbeltas comprimidas pandearan. Thomas y Caleb Pratt la diseñaron en 1844.

Sin embargo, un camión no se queda en el centro. Si se lleva a un tercio de la luz, el cortante del panel central invierte su sentido. La diagonal U2L3, que soportaba 71 kN de tracción, soporta ahora 47 kN de compresión. Los ingenieros lo resuelven con una línea de influencia, un gráfico de la fuerza de una barra a medida que la carga la recorre, y comprueban cada barra para el peor valor en ambos sentidos. Las cerchas Pratt más antiguas, con diagonales solo traccionadas, añadían por esta razón contradiagonales cruzadas en los paneles centrales.

Por qué un cable colgante forma una parábola

El tablero de un puente colgante cuelga de péndolas verticales y, en el modelo, hay una cada 8 m. El peso del tablero, 40 kN por metro para cada cable, llega al cable como cargas iguales a intervalos iguales, 320 kN en cada péndola.

Un cable no resiste la flexión, así que su flecha en cualquier punto debe ser igual al momento flector que tendría una viga simple de la misma luz bajo las mismas cargas, dividido entre la tracción horizontal H. Para una carga uniforme el diagrama de momentos es una parábola, de modo que el cable también lo es. En el centro del vano el momento es wL² ÷ 8 y, como la flecha allí es f, H = wL² ÷ (8f) = 40 × 160² ÷ (8 × 16) = 8000 kN. Cerca de las torres el cable soporta además la parte vertical del peso del tablero, así que la tensión allí sube hasta 8558 kN.

En cambio, una cadena que cuelga bajo su propio peso forma una catenaria, porque su peso se reparte a lo largo de la longitud curva y no de manera uniforme a lo largo de la luz. Para una luz de 160 m con 16 m de flecha, las dos curvas difieren como máximo en 52 mm. Un cable real soporta a la vez su propio peso y el del tablero, así que su forma queda entre las dos.

Un camión rompe el patrón. Sin viga de rigidez en el modelo, un camión de 300 kN (150 kN por cable) a un cuarto de la luz tira del cable y le hace un quiebro. Como el cable no se alarga, el resto sube un poco, H sube a 8213 kN y el cable bajo el camión desciende 0,24 m. El modelo dibuja ese movimiento diez veces mayor para que se vea. Los puentes colgantes reales usan una viga de rigidez en el tablero para repartir esas cargas entre muchas péndolas.

Torres y anclajes

El cable pasa por una silla sobre cada torre y baja por el vano de retenida hasta un anclaje. Si la silla puede rodar, la tracción horizontal es la misma a ambos lados, de modo que las torres soportan sobre todo una carga vertical. En el modelo cada tirante de retenida baja 16 m en un vano de retenida de 50 m. Su tensión es H dividida entre el coseno de esa pendiente, 8400 kN solo con el tablero, y tira hacia arriba del anclaje con 2560 kN. Por eso los anclajes son bloques tan grandes: su peso mantiene sujeto el extremo del cable.

Puentes coreanos construidos con estas ideas

Los puentes de arco de piedra que se conservan en Corea se llaman hongyegyo u hongyo, que significa «puente arcoíris». El Seungseongyo, en el templo de Seonamsa de Suncheon, es un único arco semicircular de unas 140 piedras. Según el Servicio del Patrimonio Nacional, se construyó por primera vez en 1707, se reparó tras una inundación en 1713 y fue declarado Tesoro en 1963. El Beolgyo Hongyo, en Boseong, se construyó en 1729 y se reconstruyó con tres arcos en 1737; es el mayor de los puentes arcoíris de piedra que siguen en pie. Ambos tienen una cabeza de dragón tallada que sobresale bajo la clave.

Entre los puentes colgantes, el puente de Namhae, inaugurado el 22 de junio de 1973 con una longitud total de 660 m, fue el primer puente colgante de Corea. El puente de Yi Sun-sin, entre Yeosu y Gwangyang, tiene un vano principal de 1545 m entre sus torres; se abrió de forma provisional en mayo de 2012 y por completo el 8 de febrero de 2013.

Ejemplo resuelto: por qué un arco más rebajado empuja más

Toma el arco del modelo entre sus arranques: una luz de L = 8 m y una montea de f = 4 m, que es el radio de 4 m. Pon 100 kN en la clave y trata el arco como triarticulado, con una articulación en cada arranque y otra en la clave. Por simetría, cada estribo soporta 50 kN hacia arriba. Ahora corta el arco por la articulación de la clave y toma momentos respecto a ella para la mitad izquierda: la reacción de 50 kN actúa a 4 m de la clave, y el empuje horizontal H actúa 4 m por debajo de ella. Así, 50 × 4 = H × 4, y H = 50 kN. En general, H = PL ÷ (4f) = 100 × 8 ÷ 16 = 50 kN.

Mantén la luz y la carga, pero rebaja el arco. Con f = 2 m la misma fórmula da H = 100 kN, y con f = 1 m da 200 kN. La reacción vertical se queda en 50 kN todas las veces. Solo cambia el empuje lateral, y es inversamente proporcional a la montea. Un arco rebajado no necesita tanto una piedra más resistente como unos estribos más resistentes.

La misma regla vale para una carga uniforme w. Un arco parabólico que soporta w por metro tiene H = wL² ÷ (8f), que es exactamente la fórmula del cable puesta del revés. El puente de Zhaozhou, en Hebei, terminado en 605, hace tangible el contraste. La Sociedad Estadounidense de Ingenieros Civiles (ASCE) le atribuye una luz de 37 m y una montea de solo 23,9 ft, unos 7,3 m. Si se trata tanto a este como a un arco semicircular de la misma luz como parábolas bajo una carga uniforme (una idealización), el empuje por unidad de carga total es L ÷ (8f). Para Zhaozhou es 37 ÷ (8 × 7,3) = 0,63. Para un semicírculo, cuya montea es la mitad de la luz, es 0,25. El arco bajo empuja hacia los lados unas 2,5 veces más fuerte por cada kilonewton que soporta, que es el precio de un perfil de calzada suave.

La cimbra, anillo a anillo

El control deslizante «Piedras colocadas» cuenta de 0 a 15, y cada piedra del modelo pesa unos 35 kN. Con 10 piedras, la cimbra de madera soporta unos 350 kN de mampostería que no tiene nada más en que apoyarse. Si apagas la «Cimbra» en ese momento, las piedras caen, porque un anillo incompleto no es una estructura cerrada y no se puede trazar una línea de presiones de un arranque al otro.

Con 15 piedras la situación cambia por completo. El anillo está cerrado, el modelo encuentra una línea de presiones dentro de él y la cimbra no soporta nada útil. Los constructores la bajan por etapas en lugar de retirarla de golpe. La nota técnica de la Brick Industry Association sobre arcos de mampostería trata el descimbrado como un paso que llega solo después de colocar la clave.

Cuando eso ocurre, el arco no salta a un estado fijo. El empuje horizontal puede asentarse en cualquier punto de un intervalo. Block, DeJong y Ochsendorf indican, para un arco semicircular con un espesor de anillo del 18 % de su radio, un empuje mínimo de alrededor del 16 % del peso del arco y un máximo de alrededor del 24 %. El anillo del modelo es algo más delgado, 0,6 m sobre un radio de 4 m, es decir, el 15 %, así que su intervalo es algo más estrecho. El empuje que dibuja el modelo, 104 kN frente a un peso del anillo de 532 kN, es el 19,5 % del peso y queda cómodamente en el centro de un intervalo de ese tipo. Si un estribo se abre un poco, el empuje se desplaza hacia el extremo inferior de su intervalo, y el arco sigue en pie mientras todavía quepa alguna línea dentro del anillo.

Arco, cercha y cable comparados

Las tres estructuras responden a la misma pregunta de tres maneras distintas, y la diferencia más clara es lo que cada una hace a sus apoyos.

• Arco de piedra. El anillo está siempre a compresión. Cada estribo recibe un empuje hacia abajo y hacia fuera. En el modelo: 266 kN hacia abajo y 104 kN hacia fuera bajo el propio peso del anillo.
• Cercha Pratt. La cercha solo presiona verticalmente hacia abajo sobre sus apoyos. Sus barras soportan compresión o tracción según dónde esté la carga, y los cordones aportan la resistencia a la flexión. En el modelo, la fuerza en el cordón para una carga de 100 kN es el momento en el centro del vano dividido entre el canto: 750 ÷ 5 = 150 kN. Una cercha de la mitad de canto, 2,5 m, necesitaría cordones que soportaran 300 kN para la misma carga.
• Puente colgante. El cable está siempre a tracción y tira de los apoyos hacia dentro y hacia arriba. Su tracción horizontal es H = wL² ÷ (8f), así que reducir la flecha a la mitad la duplica: los 8000 kN del modelo pasarían a 16 000 kN con 8 m de flecha.

Para una carga uniforme, compara la fuerza horizontal con la carga soportada. El cable del modelo tiene H ÷ (wL) = 160 ÷ (8 × 16) = 1,25, porque su flecha es una décima parte (1/10) de su luz. Un arco semicircular tiene una razón de 0,25 en la misma idealización, porque su montea es la mitad de la luz. Un cable cuya flecha es una décima parte (1/10) de su luz tira hacia los lados cinco veces más fuerte de lo que empuja el arco, y por eso los anclajes y los tirantes de retenida son tan macizos.

Los materiales siguen la misma lógica. La piedra y el hierro fundido son resistentes a compresión y frágiles a tracción, así que convienen a los arcos. El acero aguanta ambas, así que conviene a las cerchas. Un cable de alambre de acero es inútil a compresión pero excelente a tracción, así que conviene a un puente colgante. El puente de Hierro de Coalbrookdale, en Shropshire, muestra cómo se heredan los hábitos: English Heritage describe una única luz de hierro fundido de 30 m formada por cinco costillas semicirculares, unidas con ensambles de cola de milano y de espiga con escote tomados de la carpintería.

Puentes reales y qué ponen a prueba

Pont du Gard, Francia. La UNESCO describe un puente acueducto romano de tres niveles de arcos, que se eleva hasta casi 48,77 m, con los dos niveles inferiores construidos con grandes bloques de piedra. En una fila de arcos iguales, cada uno empuja de lado a sus vecinos y los empujes se anulan en cada pila salvo en la última. Solo los dos estribos de los extremos tienen que resistir un empuje neto.

Puente de Zhaozhou, China, 605. El registro de monumentos de la ASCE lo llama el puente de arco de tímpano abierto más antiguo del mundo. Lo construyó Li Chun con 28 lajas de caliza curvas y delgadas unidas con colas de milano de hierro, y unos arcos pequeños en los extremos del tablero pasan parte de la carga al arco principal y dejan pasar el agua de las crecidas. Su montea baja se deduce del cálculo del empuje anterior.

Puente de Hierro, Inglaterra, 1779. English Heritage registra 378 toneladas de hierro y un coste de unas £6000, frente a una primera estimación de £3200. La página de historia de la BBC cuenta 482 piezas fundidas principales y dice que el primer arco cruzó el río el 2 de julio de 1779. English Heritage añade que el 70 % de los componentes se fundieron uno a uno para ajustarse, por lo que no hay dos exactamente iguales. La página de la BBC añade que el estribo sur se movió gravemente y fue demolido en 1802, un recordatorio de que un arco es tan fiable como el terreno que recibe su empuje.

Puente Golden Gate, 1937. La página del monumento de la ASCE da un vano principal de 4200 ft (unos 1280 m), la mayor luz única del mundo cuando se construyó, y fija el inicio de las obras en noviembre de 1932. Eso es ocho veces los 160 m del modelo. Solo como ilustración de escala, mantén la razón de flecha de 1/10 del modelo y su carga de 40 kN por metro de cable. La tracción horizontal crecería entonces en proporción a la luz, de 8000 kN a 64 000 kN. El puente real tiene cargas distintas y una flecha distinta, así que esto es una comprobación de escala, no una cifra del puente.

Puente de Tacoma Narrows, 1940. El diseño original tenía cerchas de rigidez de 25 ft. Lo sustituyó un diseño más barato con vigas de alma llena de 8 ft, y el puente se abrió el 1 de julio de 1940. La ASCE registra que falló el 7 de noviembre de 1940 con un viento de solo 42 mph, cuatro meses después de abrir. La causa fue aerodinámica, algo que el modelo no incluye en absoluto. El tablero era extremadamente poco profundo para su ancho, con una relación entre canto y ancho de 1 a 72, y por eso se torcía con facilidad. El puente que lo reemplazó en 1950 usó una cercha de rigidez de 33 ft y aberturas para que el viento atravesara el tablero.

Ideas equivocadas frecuentes

• «La clave sostiene todo el arco.» Cada piedra está comprimida por sus vecinas, y la clave es una de ellas. En el modelo tiene el mismo tamaño y peso que las otras 14. Lo que importa es que cierra el anillo.
• «Una carga en la clave es el peor caso.» En el modelo no lo es. El anillo tolera unos 100 kN en la clave, pero solo 72 kN al 45 % de la luz, y 129 kN a un cuarto. La peor posición es aquella en que la carga obliga a la línea de presiones a alejarse más del centro del anillo.
• «Más barras hacen más resistente una cercha.» Las barras solo ayudan si soportan fuerza. En el modelo, los montantes más cercanos a los extremos no soportan fuerza alguna a menos que la carga esté justo sobre su nudo, y una diagonal puede pasar de tracción a compresión al moverse el camión.
• «Un cable colgante es una catenaria.» Solo cuando domina el peso propio del cable. Con un tablero mucho más pesado que el cable, la forma es una parábola, y en el modelo las dos curvas difieren como máximo en 52 mm a lo largo de 160 m.
• «Tacoma Narrows fue resonancia.» La Sociedad Estadounidense de Física (APS) señala que esta explicación de los libros de texto es incorrecta. La Federal Works Administration (administración federal de obras) consideró la resonancia una causa improbable, y la explicación aceptada es el flameo torsional, una torsión autoexcitada en la que el propio movimiento del tablero extraía más energía del viento.

Cosas que probar en pantalla

1. Usa los botones de escena de la parte superior del escenario: arco de piedra, cercha, puente colgante, puentes reales o los tres lado a lado. Cada puente llena el escenario por sí solo.
2. En el arco de piedra, arrastra el peso de hierro fundido a lo largo del anillo. La línea verde lo sigue, y los puntos que bajan por la línea muestran el empuje viajando hacia los estribos. Hacia el 45 % de la luz, 75 kN ya bastan para sacar la línea del anillo.
3. Toca cualquier piedra del anillo. Se desliza hacia fuera y todo el anillo cae, clave incluida. Pulsa «Recolocar las piedras» para reconstruirlo.
4. Pon «Piedras colocadas» en 10 con la cimbra puesta y luego apaga la «Cimbra». Las piedras caen. Coloca las 15 y apágala otra vez: el arco se mantiene en pie.
5. Sin carga, reduce el «Espesor del anillo» desde 0,60 m. Por debajo de unos 0,43 m ya no cabe ninguna línea de presiones dentro del anillo.
6. En la cercha, arrastra el camión. Con 200 kN en el centro, el cordón superior soporta 150 kN de compresión. Llévalo a un tercio de la luz y la diagonal U2L3 pasa de rojo a azul.
7. En el puente colgante, pon «Carga» en 300 y arrastra el camión a un cuarto de la luz. El cable se quiebra y baja 0,24 m, dibujado diez veces mayor.
8. Abre los puentes reales: Zhaozhou, Brooklyn, Golden Gate y Akashi Kaikyō, cada uno dibujado con su luz y su altura medidas.
9. La pestaña Controles enumera 11 retos, desde romper el arco con 100 kN o menos hasta encontrar las 7 cosas ocultas en las escenas.

Dónde el modelo es más simple que un puente real

• El arco es un anillo desnudo, sin relleno, sin muros de tímpano y sin calzada. Las juntas son radiales, las piedras son rígidas y se ignoran el aplastamiento y el deslizamiento, como en las hipótesis de Heyman.
• La carga del arco es una única carga puntual vertical apoyada sobre una piedra.
• La cercha tiene nudos articulados, ignora su propio peso y el del tablero, y trata el camión como una sola carga puntual repartida entre las dos viguetas de piso más próximas.
• El tablero colgante no tiene rigidez a flexión, el cable no se alarga, los tirantes de retenida son rectos y las sillas de las torres ruedan libremente. Los movimientos del cable y del tablero se dibujan diez veces mayores.

Cómo se comprobaron los números

La estática también se resolvió a mano. Para la cercha con 100 kN en el centro del vano, los valores a mano coinciden con las reacciones, el cordón superior de 150 kN, el cordón inferior de 100 kN, los 70,7 kN de los postes de extremo y las diagonales, y la fuerza nula en los montantes junto a los extremos, y se confirma que los 12 nudos quedan equilibrados para 61 posiciones del camión. Para el arco coinciden con H = PL ÷ (4f) para un arco triarticulado con una carga en la clave, y para un arco semicircular con t/R = 18 % el intervalo de empuje resulta de 16 % a 24 % del peso del arco, frente a 16 % y 25 % indicados por Block, DeJong y Ochsendorf. Para el cable confirman que los puntos de las péndolas están sobre y = 4fx(L − x) ÷ L² y que H = wL² ÷ (8f).