石造アーチ橋：荷重を動かして支え方を見る

この模型でわかること

古い石橋の下から見上げてください。石を重力に逆らって接着できるほど強いモルタルはありません。それでもアーチは何世紀も立っています。近くの鋼製鉄道橋は細い棒を格子状に組んだまったく違う姿で、海岸沿いの吊橋は 2 本のケーブルから道路を吊っています。どれも、隙間を越えて荷重を支え、両側の地盤へ伝えるという同じ問題を解いています。

模型では 3 種類を並べています。左は半円形の石造アーチ、中央はプラットトラス、右は 2 基の塔と 2 つのアンカレイジを持つ吊橋です。縮尺はそれぞれ異なり、アーチの幅は約 8 m、トラスは 30 m、吊橋の塔間は 160 m です。「荷重位置」と「荷重」のスライダーで、3 つの橋の上の重りを同時に動かせます。隅のパネルには、その位置で計算した力が表示されます。「積んだ石」と「支保工」では、アーチを組み立て、木の支えを外せます。

石が押す力しか伝えられない理由

石は圧縮には非常に強く、引張には弱い材料です。モルタルなしで積んだ石は、引張力をまったく伝えられません。目地が開いてしまうためです。石橋は、すべての目地が押し合い、どこも引き離されない形にする必要があります。

アーチは、石と交通の下向きの重さを斜めの圧縮力に変えます。迫石と呼ぶくさび形の石が隣の石にもたれ、圧縮力が曲線に沿って橋台へ流れます。力が斜めなので、橋台は下向きの重さと、水平推力と呼ぶ横向きの力を受け止めます。横の支えがなくなるとアーチの脚部が広がり、頂部が下がります。

Robert Hooke は 1675 年、適切な形をラテン語のアナグラムで表しました。解読すると、吊った鎖を上下逆にすれば剛なアーチの形になる、という意味です。鎖は引張しか伝えられないので、すべての環が純粋な引張を受ける形に垂れます。それを反転すると、すべての環が純粋な圧縮を受ける形になり、石に適した構造になります。

支保工の上での施工と要石の役割

半分だけのアーチは自立できません。石は内側に傾き、反対側に支えがなければ回転して落ちます。そこで最初に、上面をアーチ下面の形にした木製の支保工を組み、両側の起拱部から中央へ石を積みます。

頂部に最後に入れる石が要石です。これを押し込むと左右が互いに支え合い、アーチ環が閉じます。その後、支保工の柱の上にあるくさびを抜くと、枠が数センチ下がり、アーチは初めて自重を支えます。これが支保工の撤去です。模型で「積んだ石」を 15 未満にして支保工を切ると石が落ちます。先に 15 個すべてを積めば、同じ操作でもアーチは立ち続けます。

ここで要石の形は特別ではありません。模型では他の十四個と同じ大きさ、同じ重さです。最後に入れることが、要石としての役割を生みます。

推力線を数値で見る

模型のアーチ環は中心線半径 4 m、厚さ 0.6 m、幅 3 m です。花こう岩を 1 立方メートルあたり 23.5 kN とすると、全体の重さは π × 4 × 0.6 × 3 × 23.5 = 532 kN、約 54 トンです。これを 15 個の石に分け、各石は 35 kN です。

各石の重さを重心に働く単一の力とし、水平推力 H を選びます。片側の起拱部から始めると、力の経路は最初の重さに出会うまで直線で進み、その重さに応じて下向きに折れ、次の石まで直進します。この折れ線が推力線です。各区間の傾きは、残りの鉛直力を H で割った値です。吊った鎖の形も同じ規則で決まります。

アーチは一定の範囲内で、自ら釣り合う H を取れます。推力が小さいと深く尖った推力線になり、大きいと平らになります。Jacques Heyman の安全定理によれば、すべての目地で石積みの内部を通る推力線が少なくとも 1 本あれば、石の圧壊も滑りも起こらない限り、その荷重でアーチは崩れません。模型は可能な線を探索し、縁から最も離れる線を描きます。パネルの百分率は、最も厳しい目地で線が環の中央からどれだけ外れるかを、厚さの半分に対する割合で示します。自重だけでは 71% で、まだ余裕があります。このとき各橋台の反力は横向きに H = 104 kN、上向きに環の重さの半分の 266 kN です。

環に荷重を載せると、その下で線が大きく折れます。頂部では約 100 kN で余裕がなくなり、収まる線がなくなります。模型で最も厳しいのは頂部のすぐ横、支間の 45% の位置で、72 kN で限界です。支間の 4 分の 1 では 129 kN、起拱部の近くでは 500 kN を超えます。そこでは荷重がほぼ直接橋台へ下りるためです。線が縁に触れる目地は、開いてヒンジのように回転する箇所です。そのようなヒンジが 4 つできると環が機構となって倒れます。模型ではその目地が赤くなります。

環だけの状態は最も不利です。実際の石橋には環の上に盛土と道路があります。盛土の重さは推力線を安定させ、車輪の荷重を環の広い範囲へ分散します。

トラスが曲げを圧縮と引張に変えるしくみ

トラスは、端部でつないだ直線部材の三角形で、密実な梁を置き換えます。接合部をピンとし、荷重が接合部にだけ加わると仮定すれば、各部材は軸方向の力だけを受けます。青は圧縮、赤は引張です。

力は節点法で求めます。各ピンで、部材力と外力、支点反力の合計が水平・鉛直の両方向でゼロになるようにします。模型には 12 節点があり、式は 24 本です。21 部材と 3 つの支点反力で未知数も正確に 24 個となり、連立してすべての力を求めます。

中央に 200 kN のトラックを置きます。2 面のトラスが半分の 100 kN ずつを受け、各支点は 50 kN で押し上げます。中央の格間で切断し、モーメントを取ると、中央曲げモーメントは 50 kN × 15 m = 750 kN·m です。上下弦材の間隔は 5 m なので、上弦材の圧縮は 750 ÷ 5 = 150 kN になります。同じ格間の下弦材は 100 kN の引張、各斜材は 50 ÷ sin 45° = 71 kN の引張です。パネルにも同じ値を表示します。

走るトラックで斜材の力が反転する理由

プラットトラスでは斜材が中央へ向かって下がります。この配置なら対称荷重で引張になります。長い鉄の棒を安く作れる一方で、細い棒の圧縮座屈を恐れた 19 世紀の技術者に適していました。Thomas と Caleb Pratt が 1844 年に考案しました。

ただしトラックは中央にとどまりません。支間の 3 分の 1 へ動かすと、中央格間のせん断力が逆転します。71 kN の引張を受けていた斜材 U2L3 は、47 kN の圧縮になります。技術者は、荷重の移動に伴う部材力を描く影響線で、両方向の最も厳しい値を確認します。引張専用の斜材を使う古いプラットトラスでは、このため中央格間に交差する対角材を追加しました。

吊ったケーブルが放物線になる理由

吊橋の床版は鉛直のハンガーで吊られ、模型では間隔が 8 m です。ケーブル 1 本あたり毎メートル 40 kN の床版重量が、等間隔に等しい荷重として伝わり、ハンガー 1 本あたり 320 kN になります。

ケーブルは曲げに抵抗できないため、各点のたわみは、同じ支間の単純梁に同じ荷重を載せたときの曲げモーメントを、水平張力 H で割った値になります。等分布荷重のモーメント図は放物線なので、ケーブルも放物線です。中央のモーメントは wL² ÷ 8、そこでのサグが f なので、H = wL² ÷ (8f) = 40 × 160² ÷ (8 × 16) = 8,000 kN です。塔の近くでは床版重量の鉛直成分も受け、張力が 8,558 kN に上がります。

一方、自重だけで垂れる鎖は懸垂線になります。重さが支間方向に均等ではなく、曲線の長さに沿って分布するためです。支間 160 m、サグ 16 m では、両曲線の差は最大 52 mm です。実際のケーブルは自重と床版を支えるので、その形は両者の間にあります。

トラックが載ると、この規則的な形が崩れます。模型に補剛桁はなく、300 kN のトラック（ケーブルあたり 150 kN）を支間の 4 分の 1 に置くと、ケーブルに折れができます。伸びないため他の部分は少し上がり、H は 8,213 kN に増え、トラックの下は 0.24 m 下がります。見えるように変位を 10 倍に描いています。実際の吊橋は剛性のある床桁で、こうした荷重を多くのハンガーへ分散します。

塔とアンカレイジ

ケーブルは各塔のサドルを越え、側径間を下ってアンカレイジへ達します。サドルが転がれるなら左右の水平張力は等しくなり、塔は主に鉛直荷重を受けます。模型の各バックステイは側径間 50 m で 16 m 下がります。その張力は H を傾斜角の余弦で割った値で、床版だけなら 8,400 kN です。アンカレイジを上へ引く力は 2,560 kN になります。アンカレイジが巨大な塊なのは、自重でケーブル端部を押さえるためです。

これらの原理で造られた韓国の橋

韓国に残る石造アーチ橋はホンイェギョ、またはホンギョと呼ばれ、虹の橋を意味します。順天の仙岩寺にある昇仙橋は、約 140 個の石で造られた単一の半円アーチです。韓国国家遺産庁 によれば、1707 年に建造され、1713 年の洪水後に修理され、1963 年に宝物に指定されました。宝城の筏橋虹橋は 1729 年に造られ、1737 年に 3 連アーチとして再建されました。現存する石造の虹橋では最大です。どちらも頂部の下に彫刻した竜の頭が突き出ています。

吊橋では、1973 年6月22日に開通した全長 660 m の南海大橋が韓国初です。麗水と光陽を結ぶ李舜臣大橋の塔間主径間は 1,545 m で、2012 年5月に暫定開通し、2013 年2月8日に全面開通しました。

計算例：低いアーチほど強く押す理由

模型の起拱部間の支間は L = 8 m、ライズは f = 4 m で、半径 4 m と同じです。頂部に 100 kN を載せ、両起拱部と頂部にヒンジのある三ヒンジアーチとします。対称なので各橋台の上向き反力は 50 kN です。頂部ヒンジで切断し、左半分についてその点まわりのモーメントを取ります。50 kN の反力の腕は 4 m、水平推力 H の作用位置は頂部より 4 m 下です。よって 50 × 4 = H × 4、H = 50 kN です。一般には H = PL ÷ (4f) = 100 × 8 ÷ 16 = 50 kN となります。

支間と荷重を保ち、アーチを低くします。f = 2 m では同じ式で H = 100 kN、f = 1 m では 200 kN になります。鉛直反力は常に 50 kN のままです。変わるのは横向きの力だけで、ライズに反比例します。低いアーチに必要なのは、より強い石というより、より強い橋台です。

等分布荷重 w でも同じです。毎メートル w を支える放物線アーチでは H = wL² ÷ (8f) となり、ケーブルの式を上下逆にしたものです。605 年完成の河北省の趙州橋が違いを具体的に示します。米国土木学会 によると、支間は 37 m、ライズはわずか 23.9 ft、約 7.3 m です。趙州橋と同じ支間の半円アーチを、ともに等分布荷重を受ける放物線に理想化すると、総荷重あたりの推力は L ÷ (8f) です。趙州橋では 37 ÷ (8 × 7.3) = 0.63、ライズが支間の半分の半円では 0.25 です。低いアーチは荷重 1 キロニュートンあたり約 2.5 倍強く横へ押します。穏やかな道路勾配との引き換えです。

アーチ環を閉じるまでの支保工

「積んだ石」は 0 から 15 まで数え、模型の各石は約 35 kN です。10 個では、他に支えのない約 350 kN の石積みを木の支保工が受けています。そこで「支保工」を切ると石が落ちます。未完成の環は閉じた構造ではなく、一方の起拱部から他方へ推力線を描けないためです。

15 個になると状況は一変します。環が閉じ、模型は内部の推力線を見つけ、支保工は不要になります。施工では叩き落とすのではなく、段階的に下げます。Brick Industry Association の組積造アーチに関する技術資料でも、支保工を緩めるのは要石を入れた後の工程です。

このときアーチは唯一の固定状態に移るわけではありません。水平推力は一定範囲で落ち着きます。Block、DeJong、Ochsendorf は、環厚が半径の 18% の半円アーチで、最小推力は自重の約 16%、最大は約 24% と報告しています。模型は半径 4 m に対し厚さ 0.6 m、つまり 15% と少し薄いため、範囲もやや狭くなります。表示される推力 104 kN は環重量 532 kN の 19.5% で、この種の範囲の中央付近です。橋台が少し広がると推力は下限へ向かいますが、環内に線が収まる限りアーチは立ち続けます。

アーチ・トラス・ケーブルの比較

3 つの構造は同じ問いに異なる方法で答えます。最も明確な違いは、支えにどんな力を加えるかです。

• 石造アーチ。 環は常に圧縮を受けます。橋台は下と外へ押されます。模型の自重では下へ 266 kN、外へ 104 kN です。
• プラットトラス。 支点を真下にだけ押します。部材は荷重位置に応じて圧縮か引張を受け、弦材が曲げに抵抗します。模型の 100 kN 荷重での弦材力は中央モーメントを高さで割った 750 ÷ 5 = 150 kN です。高さを半分の 2.5 m にすれば、同じ荷重で弦材に 300 kN が必要です。
• 吊橋。 ケーブルは常に引張で、支えを内側と上へ引きます。水平張力は H = wL² ÷ (8f) なので、サグを半分にすると倍になります。模型の 8,000 kN はサグ 8 m で 16,000 kN になります。

等分布荷重で、水平力を支える荷重と比べます。模型のケーブルはサグが支間の 10 分の 1（1/10）なので、H ÷ (wL) = 160 ÷ (8 × 16) = 1.25 です。同じ理想化で半円アーチはライズが支間の半分なので 0.25 です。サグが支間の 10 分の 1（1/10）のケーブルは、アーチが押す力の 5 倍で横に引きます。アンカレイジとバックステイが巨大なのはこのためです。

材料も同じ理屈です。石と鋳鉄は圧縮に強く引張に脆いためアーチ向きです。鋼は両方に耐えるのでトラスに適します。鋼線ケーブルは圧縮には役立たず、引張には強いため吊橋に適します。シュロップシャーのコールブルックデールにあるアイアンブリッジは、従来の技法の継承を示します。English Heritage は、支間 30 m の単一の鋳鉄橋を 5 本の半円リブで構成し、木工由来の蟻継ぎや肩付きの継手で接合したと説明しています。

実際の橋が示すもの

ポン・デュ・ガール、フランス。 UNESCO によれば、48.77 m 近くの高さに 3 層のアーチを重ねたローマの水道橋で、下の 2 層は大きな石材で造られています。同じアーチが並ぶと互いに横へ押し、最後を除く各橋脚で力が打ち消し合います。正味の推力に抵抗するのは両端の 2 つの橋台だけです。

趙州橋、中国、605 年。 ASCE の記録では、世界最古の開腹式アーチ橋です。李春が、鉄製の蟻形の継手で結んだ 28 枚の薄い曲面の石灰岩板で造りました。床版両端の小アーチは荷重の一部を主アーチに伝え、洪水を通します。低いライズは上の推力計算に対応します。

アイアンブリッジ、イングランド、1779 年。 English Heritage は鉄 378 tons、当初見積 £3,200 に対し約 £6,000 の費用を記録しています。BBC の歴史ページでは主要鋳物は 482 個で、1779 年7月2日に最初のアーチが川を渡りました。English Heritage によれば部品の 70% は個別に合わせて鋳造され、まったく同じものはありません。BBC は南側橋台が大きく動き、1802 年に撤去されたとも記します。アーチの信頼性は推力を受ける地盤に左右されます。

ゴールデンゲートブリッジ、1937 年。 ASCE は主径間を 4,200 ft（約 1,280 m）、建設当時世界最長の単一支間とし、着工は 1932 年11月としています。模型の 160 m の 8 倍です。規模の効果だけを見るため、模型のサグ比 1/10 とケーブル 1 m あたり 40 kN の荷重を保ちます。水平張力は支間に比例し、8,000 kN から 64,000 kN に増えます。実橋では荷重もサグも異なるので、これは拡大の確認であって実橋の値ではありません。

タコマナローズ橋、1940 年。 当初は高さ 25 ft の補剛トラスでしたが、より安い高さ 8 ft の充腹板桁に変更され、1940 年7月1日に開通しました。ASCE によれば 4 か月後の 1940 年11月7日、わずか 42 mph の風で崩壊しました。原因は空気力学的なもので、模型には含みません。桁高と幅の比が 1 対 72 と極端に浅く、ねじれやすい床版でした。1950 年の架け替えでは高さ 33 ft の補剛トラスと、床版を風が通る開口が採用されました。

よくある誤解

• 「要石がアーチ全体を支える」。 どの石も隣から圧縮され、要石もその一つです。模型では他の 14 個と同じ大きさと重さです。重要なのは環を閉じることです。
• 「頂部の荷重が最も危険」。 この模型では違います。頂部は約 100 kN に耐えますが、支間の 45% では 72 kN、4 分の 1 では 129 kN です。推力線を環の中央から最も遠ざける位置が最も危険です。
• 「部材が多いほどトラスは強い」。 力を受ける部材だけが役立ちます。模型の端近くの鉛直材は節点に直接荷重がなければ力がゼロで、斜材はトラックの移動で引張から圧縮へ変わることがあります。
• 「吊ったケーブルは懸垂線」。 自重が支配する場合だけです。床版がケーブルよりずっと重ければ放物線で、模型では 160 m の間の差は最大 52 mm です。
• 「タコマナローズ橋は共振で落ちた」。 American Physical Society はこの教科書的説明を誤りとしています。Federal Works Administration も共振はありそうにない原因と判断しました。受け入れられている説明は、床版自体の運動が風からエネルギーを取り込む、自励的なねじれフラッターです。

画面で試すこと

1. 舞台上部のボタンで、石造アーチ、トラス、吊橋、実際の橋、3 つの並列表示を選びます。個別表示では橋が舞台全体を使います。
2. 石造アーチで鋳鉄の重りを環に沿ってドラッグします。緑の線が追従し、動く点が橋台への圧縮力の流れを示します。支間の約 45% では 75 kN でも線が環の外へ出ます。
3. 環の石をタップします。石が抜け、要石を含めて環全体が落ちます。「石を戻す」で再建できます。
4. 支保工を入れたまま「積んだ石」を 10 にし、「支保工」を切ります。石が落ちます。15 個すべてを積んで再び切ると、アーチは立ちます。
5. 無荷重で「環の厚さ」を 0.60 m から下げます。約 0.43 m 未満では、環内に収まる推力線がなくなります。
6. トラスでトラックをドラッグします。中央に 200 kN を置くと上弦材は 150 kN の圧縮です。支間の 3 分の 1 へ動かすと、斜材 U2L3 が赤から青になります。
7. 吊橋で「荷重」を 300 にし、トラックを支間の 4 分の 1 へ動かします。ケーブルが折れ、0.24 m 下がります。表示は 10 倍です。
8. 実際の橋で、趙州橋、ブルックリン橋、ゴールデンゲートブリッジ、明石海峡大橋を開きます。測定された支間と高さで描いています。
9. 操作タブには 11 の課題があります。100 kN 以下でアーチを壊すことから、場面に隠れた 7 つのもの探しまで試せます。

実際の橋より単純にしている点

• アーチは盛土、側壁、道路のない環だけです。目地は放射状、石は剛体で、Heyman の仮定と同様に圧壊と滑りを無視します。
• アーチ荷重は 1 個の石に載る単一の鉛直集中荷重です。
• トラスはピン接合で、自重と床版重量を無視します。トラックは近い 2 本の横桁へ配分する集中荷重とします。
• 吊橋床版には曲げ剛性がなく、ケーブルは伸びず、バックステイは直線で、塔のサドルは自由に転がります。ケーブルと床版の変位は 10 倍で描きます。

数値の検証方法

静力学は手計算でも検証しました。トラス中央の 100 kN 荷重では、反力、上弦材 150 kN、下弦材 100 kN、端柱と斜材 70.7 kN、端近くの鉛直材のゼロ部材力が一致し、61 のトラック位置で 12 節点すべての釣り合いを確認しました。アーチでは頂部荷重の三ヒンジアーチの H = PL ÷ (4f) と一致します。t/R = 18% の半円アーチの推力範囲は自重の 16% から 24% となり、Block、DeJong、Ochsendorf の 16% と 25% の報告に対応します。ケーブルではハンガー点が y = 4fx(L − x) ÷ L² 上にあり、H = wL² ÷ (8f) であることを確認しました。