石拱桥：加载观察承重原理

模型展示什么

走到一座古老的石桥下，抬头看看。没有哪种砂浆能把石块牢牢粘住，让它们抵抗重力，可石拱却已屹立了几个世纪。附近的钢制铁路桥看起来完全不同，是由细长杆件组成的格架；沿海再往前，一座悬索桥把桥面悬挂在两根主缆上。这三种桥解决的是同一个问题：怎样让荷载跨过空隙，再从两端传入地面。

模型把这三种桥并排放在一起。左边是半圆形石拱，中间是普拉特桁架，右边是有两座桥塔和两个锚碇的悬索桥。每座桥都采用各自的比例，所以石拱的跨度约为 8 m，桁架为 30 m，悬索桥两塔之间为 160 m。「荷载位置」和「荷载」滑块让一个重物同时沿三座桥移动，角落里的面板则显示该位置计算出的力。「已砌拱石」滑块和「拱架」开关可以用来搭建石拱，再撤去木支架。

石块为什么只能传递压力

石材受压时很强，受拉时却很弱。不用砂浆堆砌的石块完全不能承受拉力：接缝会直接张开。因此，石桥的形状必须让每一道接缝都受到挤压，而不是被拉开。

拱把石块和通行车辆向下的重量转化为倾斜的推力。每块楔形的拱石都抵靠着相邻的石块，推力沿曲线传递，再向下进入桥台。由于推力是倾斜的，桥台必须抵抗两种作用：向下的重量，以及称为水平推力的侧向推挤。撤去侧向支撑，拱脚就会向外张开，拱顶则会下落。

罗伯特·胡克在 1675 年用一段拉丁文变位字谜描述了合适的形状。解开字谜，意思是把悬挂的链条倒过来，就能得到刚性拱的形状。链条只能受拉，因此它会自然垂成一种使每一环都只受拉力的形状。把这一形状倒转，每一环就会只受压力，而这正是石材适合承受的力。

在拱架上砌筑，以及拱顶石为什么重要

半座拱不能自行站立。每块拱石都向内倾斜，如果对面没有东西可供抵靠，它就会转动、掉落。因此，建造者先搭起称为拱架的木框架，把顶部做成与拱底一致的形状，然后从两端拱脚向中间砌石。

最后放入拱顶的石块叫拱顶石。把它嵌入后，左右两半便彼此抵靠，拱圈也就闭合了。随后，建造者敲出拱架立柱顶端的楔块，让框架下降几厘米，石拱才第一次独自承担自重。这一步叫卸架。在模型中，把「已砌拱石」设为小于 15，再关闭拱架，石块就会掉落。先砌齐 15 块，再操作同一个开关，石拱就会保持站立。

这里的拱顶石在形状上没有什么特别之处。模型中的它与其余十四块石头大小相同、重量相等。它之所以是拱顶石，是因为它最后才被放入。

用数字说明压力线

模型拱圈的中心线半径为 4 m，厚度为 0.6 m，宽度为 3 m。花岗岩的重度为每立方米 23.5 kN，因此整个拱圈重 π × 4 × 0.6 × 3 × 23.5 = 532 kN，约 54 吨，分成 15 块拱石，每块重 35 kN。

把每块拱石看作作用在其重心上的一个重量，并选定一个水平推力 H。从一端拱脚出发，压力的传递路线先沿直线前进，遇到第一个重量时向下折转，折转程度由这个重量决定，然后再沿直线走到下一个重量，依此类推。得到的折线就是压力线。每一段的斜率，等于仍需传递的竖向力除以 H；决定悬链形状的也是同一条规则。

石拱可以在一定范围内自行形成相应的 H。推力小时，压力线较深、较尖；推力大时，压力线较平。雅克·海曼的安全定理指出，只要能画出一条在每道接缝处都位于砌体内部的压力线，在石块既不压碎也不滑动的前提下，拱就不会在这些荷载下倒塌。模型搜索所有可能的压力线，并画出离边缘最远的一条。面板上的百分比表示，在偏离最严重的接缝处，这条线偏离拱圈中线的距离占半厚度的比例。仅承受自重时，模型拱圈达到 71%，因此还有余量。此时每个桥台以 H = 104 kN 的水平力和 266 kN 的向上力抵住拱圈，竖向力是拱圈重量的一半。

在拱圈上放一个荷载，压力线就必须在其下方急剧折转。拱顶上约 100 kN 的荷载就会耗尽全部余量，任何压力线都无法再容纳在圈内。这个模型最不利的位置就在拱顶旁，跨度的 45% 处，72 kN 就已足够。在四分之一跨度处，极限为 129 kN；靠近拱脚则超过 500 kN，因为那里的荷载几乎直接向下传入桥台。压力线接触边缘的接缝，就是石拱会开裂并像铰一样转动的位置；出现四个这样的铰，拱圈就变成可动机构并倒塌。模型中这些接缝会变红。

裸露的拱圈是最不利的情况。真正的石桥在拱圈上方还有填土和道路。填土增加重量，有助于保持压力线的位置，还会把车轮荷载分散到拱圈上较宽的一段。

桁架怎样把弯曲转化为压力和拉力

桁架用端部相连的直杆组成三角形，代替实心梁。如果把节点视为铰接，并且荷载只作用在节点上，那么每根杆件只沿长度方向承受一种力：蓝色表示压力，红色表示拉力。

这些力用节点法求得。在每个铰接节点处，杆件传来的力以及任何荷载或支座反力，在水平方向和竖直方向上的总和都必须为零。模型桁架有 12 个节点，因此列出 24 个方程；它有 21 根杆件，加上三个支座反力，恰好是 24 个未知量。联立求解，就能一次得到所有的力。

把一辆 200 kN 的卡车放在跨中。两片桁架各承担一半，即 100 kN，每个支座向上提供 50 kN 的力。在中间节间把桁架截开并取力矩：跨中弯矩为 50 kN × 15 m = 750 kN·m，上下弦杆相距 5 m，因此上弦杆承受 750 ÷ 5 = 150 kN 的压力。同一节间的下弦杆承受 100 kN 的拉力，每根斜杆承受 50 ÷ sin 45° = 71 kN 的拉力。面板显示的也是这些数值。

卡车移动时，斜杆的力为什么会变号

普拉特桁架的斜杆向中间斜向下布置。对称荷载下，这种布置让斜杆保持受拉，很适合 19 世纪的建造者：他们能廉价制造长铁杆，却担心细长杆件受压后会屈曲。托马斯·普拉特和凯莱布·普拉特在 1844 年设计了这种桁架。

不过，卡车不会一直停在中间。把它开到三分之一跨度处，中间节间的剪力就会反向。原本承受 71 kN 拉力的斜杆 U2L3，现在承受 47 kN 压力。工程师用影响线处理这种情况，画出荷载沿跨度移动时某根杆件内力的变化，并检查每根杆件在两个方向上最不利的数值。早期普拉特桁架的斜杆只能受拉，因此在中间节间加设交叉反向斜杆。

悬挂的缆索为什么呈抛物线

悬索桥的桥面通过竖直吊杆挂在主缆上，模型中每隔 8 m 就有一根。每根主缆承担的桥面重量为每米 40 kN，这些重量作为等间距、等大小的荷载传给主缆，每根吊杆传递 320 kN。

缆索不能抵抗弯曲，所以它在任一点的垂度，必须等于同跨度简支梁在同样荷载下该处的弯矩除以水平拉力 H。均布荷载下的弯矩图是抛物线，因此缆索也是抛物线。跨中的弯矩为 wL² ÷ 8，而该处垂度为 f，所以 H = wL² ÷ (8f) = 40 × 160² ÷ (8 × 16) = 8,000 kN。在桥塔附近，主缆还承担桥面重量的竖向分量，因此那里的拉力增至 8,558 kN。

仅靠自重悬挂的链条则形成悬链线，因为它的重量是沿弯曲的长度分布，而不是沿水平跨度均匀分布。跨度为 160 m、垂度为 16 m 时，两条曲线最多相差 52 mm。真实缆索同时承担自重和桥面重量，因此形状介于两者之间。

卡车会打破这种分布。模型没有加劲梁，一辆 300 kN 的卡车（每根主缆分担 150 kN）停在四分之一跨度处，就会把主缆拉出一个折角。由于缆索不能伸长，其余部分会略微抬起，H 增至 8,213 kN，卡车下方的主缆则下降 0.24 m。模型把这种位移放大十倍，以便看清。真正的悬索桥用刚性的桥面加劲梁，把这类荷载分散给多根吊杆。

桥塔和锚碇

主缆越过每座桥塔上的索鞍，再沿边跨下降到锚碇。如果索鞍可以滚动，两侧的水平拉力就相同，所以桥塔主要承受竖向荷载。模型中，每根背索在 50 m 的边跨内下降 16 m。它的拉力等于 H 除以该倾角的余弦值，仅有桥面自重时为 8,400 kN，并以 2,560 kN 的力向上拉锚碇。这就是锚碇如此庞大的原因：靠自身重量把缆索端部压住。

运用这些原理的韩国桥梁

韩国留存的石拱桥称为 hongyegyo 或 hongyo，意思是虹桥。顺天仙岩寺的升仙桥是一座单孔半圆拱桥，约由 140 块拱石砌成。据 National Heritage Service 记载，它初建于 1707 年，1713 年洪水后修缮，1963 年被指定为宝物。宝城筏桥虹桥建于 1729 年，1737 年重建为三孔桥，是现存石造虹桥中最大的一座。两座桥的拱顶下方都有突出的龙头雕刻。

悬索桥方面，南海大桥于 1973 年 6 月 22 日通车，全长 660 m，是韩国第一座悬索桥。连接丽水和光阳的李舜臣大桥两塔之间主跨长 1,545 m，于 2012 年 5 月临时通车，2013 年 2 月 8 日全面通车。

计算示例：拱越平，水平推力为什么越大

取模型两拱脚之间的石拱：跨度 L = 8 m，矢高 f = 4 m，也就是 4 m 的半径。在拱顶施加 100 kN，把拱视为三铰拱，两端拱脚各有一个铰，拱顶还有一个铰。由对称性可知，每个桥台向上承担 50 kN。现在在拱顶铰处把拱截开，对左半边绕拱顶铰取矩：50 kN 的反力作用线距拱顶 4 m，水平推力 H 则作用在拱顶下方 4 m 处。因此 50 × 4 = H × 4，得 H = 50 kN。一般形式为 H = PL ÷ (4f) = 100 × 8 ÷ 16 = 50 kN。

保持跨度和荷载不变，把拱压平。当 f = 2 m 时，同一公式给出 H = 100 kN；当 f = 1 m 时，得到 200 kN。每次的竖向反力都保持 50 kN 不变。改变的只有侧向推力，它与矢高成反比。较平的拱需要的与其说是更强的石材，不如说是更强的桥台。

均布荷载 w 也遵循同一规律。承受每米 w 荷载的抛物线拱有 H = wL² ÷ (8f)，正好是把缆索公式倒过来。河北赵州桥于 605 年建成，能具体说明这种差别。American Society of Civil Engineers 给出的跨度为 37 m，矢高仅 23.9 ft，约 7.3 m。把它和一座同跨度的半圆拱都理想化为承受均布荷载的抛物线拱，每单位总荷载对应的推力为 L ÷ (8f)。赵州桥为 37 ÷ (8 × 7.3) = 0.63。半圆拱的矢高等于跨度的一半，对应值为 0.25。低矢高的拱每承受一千牛荷载，向两侧的推力约为半圆拱的 2.5 倍，这就是平缓桥面纵坡的代价。

逐块砌筑与卸架

「已砌拱石」滑块从 0 计到 15，模型中每块拱石约重 35 kN。砌到 10 块时，木拱架承担着约 350 kN 的砌体重量，这些石块没有其他可抵靠的东西。此时关闭「拱架」，石块就会掉落，因为未完成的拱圈不是闭合结构，也无法画出从一端拱脚通到另一端的压力线。

砌到 15 块时，情况完全改变。拱圈闭合，模型能在内部找到压力线，拱架也就不再起承重作用。建造者会分阶段降低拱架，而不是直接敲掉。Brick Industry Association 关于砌体拱的技术说明指出，只有放好拱顶石后，才进行卸架这一步。

在这个过程中，石拱并不会突然进入某一个固定状态。水平推力可以在一个范围内形成平衡。Block、DeJong 和 Ochsendorf 报告，对于拱圈厚度为半径 18% 的半圆拱，最小推力约为拱重的 16%，最大推力约为 24%。模型拱圈稍薄，4 m 半径配 0.6 m 厚度，即 15%，因此范围略窄。模型画出的推力为 104 kN，拱圈重量为 532 kN，推力占自重的 19.5%，稳稳落在这一类范围的中间。如果桥台略微外移，推力就会向范围下限靠近；只要仍有一条压力线能容纳在拱圈内部，石拱就能继续站立。

对比石拱、桁架和缆索

这三种结构用三种不同方式回答同一个问题，最清楚的区别在于它们怎样作用于支撑。

• 石拱。 拱圈始终受压。每个桥台都被向下、向外推。模型中，仅承受拱圈自重时，向下的力为 266 kN，向外的力为 104 kN。
• 普拉特桁架。 桁架只竖直向下压支座。杆件随荷载位置不同承受压力或拉力，弦杆提供抗弯作用。模型中，100 kN 荷载对应的弦杆力为跨中弯矩除以桁高：750 ÷ 5 = 150 kN。如果桁高减半到 2.5 m，同样荷载下弦杆就需承受 300 kN。
• 悬索桥。 主缆始终受拉，并向内、向上拉支撑。其水平拉力为 H = wL² ÷ (8f)，因此垂度减半，拉力就加倍：模型的垂度变为 8 m 时，8,000 kN 就变成 16,000 kN。

对均布荷载，可以比较水平力与承载量。模型缆索有 H ÷ (wL) = 160 ÷ (8 × 16) = 1.25，因为垂度是跨度的十分之一（1/10）。在同样的理想化条件下，半圆拱的比值是 0.25，因为矢高是跨度的一半。垂度为跨度十分之一（1/10）的缆索，其侧向拉力是石拱侧向推力的五倍，因此锚碇和背索才会如此庞大。

材料的选择也遵循同一逻辑。石材和铸铁受压强、受拉脆，适合做拱。钢材既能受拉又能受压，适合做桁架。钢丝缆索完全不能受压，却很擅长受拉，适合悬索桥。什罗普郡科尔布鲁克代尔的铁桥展示了旧做法如何延续：English Heritage 描述其单孔铸铁跨度为 30 m，由五道半圆形拱肋构成，并采用借鉴木工的燕尾接头和带肩接头连接。

真实桥梁检验了什么

法国加尔桥。 UNESCO 将其描述为一座三层拱的古罗马引水桥，高近 48.77 m，下方两层用大型石块砌成。在一排相同的拱中，每个拱都向两侧推邻拱，除了最末端以外，各桥墩处的推力彼此抵消。只有两端桥台需要抵抗净水平推力。

中国赵州桥，605 年。 ASCE 的地标记录称它为世界上现存最古老的敞肩拱桥。李春用 28 道弯曲的薄石灰岩板建成这座桥，并以铁燕尾榫连接。桥面两端的小拱把部分荷载传给主拱，也让洪水通过。它的低矢高对应上文的推力计算。

英国铁桥，1779 年。 English Heritage 记载，桥用了 378 吨铁，造价约 £6,000，最初估价则为 £3,200。BBC 的历史页面统计有 482 件主要铸件，并称第一道拱在 1779 年 7 月 2 日跨过河面。English Heritage 还指出，70% 的构件都单独铸造以相互配合，所以没有两件完全一样。BBC 页面还说，南桥台发生严重位移，在 1802 年被拆除。这提醒人们，石拱是否可靠，取决于承受其推力的地基是否可靠。

金门大桥，1937 年。 ASCE 的地标页面给出的主跨为 4,200 ft（约 1,280 m），建成时为世界最长单跨，工程于 1932 年 11 月开工。这是模型 160 m 跨度的八倍。仅为说明尺度变化，保留模型 1/10 的垂跨比，以及每米主缆承担 40 kN 的荷载，水平拉力便会与跨度成正比增加，从 8,000 kN 增至 64,000 kN。真实桥梁的荷载和垂度不同，因此这只是尺度检验，不是该桥的实际数值。

塔科马海峡大桥，1940 年。 原设计采用 25 ft 高的加劲桁架，后来改成更便宜的 8 ft 高实腹板梁，桥于 1940 年 7 月 1 日通车。ASCE 记载，它在 1940 年 11 月 7 日、风速仅为 42 mph 时倒塌，距通车只有四个月。原因是气动作用，模型完全没有包含这一点。桥面相对于宽度极薄，高宽比为 1 比 72，因此很容易扭转。1950 年建成的替代桥采用 33 ft 高的加劲桁架，并在桥面设置让风通过的开口。

常见误解

• 「拱顶石撑住了整座拱。」 每块石头都受到相邻石块的挤压，拱顶石只是其中之一。模型中它与其余 14 块大小相同、重量相等。重要的是它让拱圈闭合。
• 「荷载放在拱顶最不利。」 模型中并非如此。拱圈在拱顶能承受约 100 kN，但在跨度的 45% 处只能承受 72 kN，在四分之一跨度处则为 129 kN。最不利的位置，是荷载迫使压力线偏离拱圈中线最远的位置。
• 「杆件越多，桁架越强。」 杆件只有承担力时才有帮助。模型中，除非荷载正好位于相应节点，靠近两端的竖杆内力为零；而卡车移动时，斜杆可以从受拉转为受压。
• 「悬挂的缆索就是悬链线。」 只有缆索自重占主导时才是如此。桥面比主缆重得多时，形状是抛物线，模型中两条曲线在 160 m 跨度内最多相差 52 mm。
• 「塔科马海峡大桥毁于共振。」 American Physical Society 指出，这种教科书式解释不正确。Federal Works Administration 认为共振不太可能是原因，公认解释是扭转颤振。这是一种自激扭转，桥面自身的运动会从风中汲取更多能量。

屏幕上的操作

1. 使用舞台顶部的场景按钮：石拱、桁架、悬索桥、真实桥梁，或三桥并排。单独显示时，每座桥都会占满舞台。
2. 在石拱上，沿拱圈拖动铸铁重物。绿色压力线随之变化，沿线向下移动的圆点表示压力传向桥台。在跨度约 45% 处，75 kN 就足以把压力线推出拱圈。
3. 点击拱圈中的任意一块拱石。它会滑出，整个拱圈随即坍塌，拱顶石也不例外。按「放回拱石」即可重建。
4. 开启拱架，把「已砌拱石」设为 10，然后关闭「拱架」，石块就会掉落。砌齐 15 块后再次关闭，石拱就能站住。
5. 不加荷载，把「拱圈厚度」从 0.60 m 向下降低。低于约 0.43 m 后，任何压力线都无法再容纳于圈内。
6. 在桁架上拖动卡车。200 kN 位于中间时，上弦杆承受 150 kN 压力。移到三分之一跨度处，斜杆 U2L3 就从红色变成蓝色。
7. 在悬索桥上，把「荷载」设为 300，并把卡车拖到四分之一跨度处。主缆出现折角并下降 0.24 m，显示时放大十倍。
8. 打开真实桥梁：赵州桥、布鲁克林大桥、金门大桥和明石海峡大桥，每座都按实测跨度和高度绘制。
9. 「控制」选项卡列出 11 个挑战，从用不超过 100 kN 压垮石拱，到寻找场景中的 7 处隐藏细节。

模型比真实桥梁简化了什么

• 石拱是没有填土、拱上侧墙和道路的裸拱圈。接缝沿径向布置，石块为刚体，并按海曼的假设忽略压碎和滑动。
• 石拱荷载是落在一块拱石上的单个竖向集中荷载。
• 桁架节点为铰接，忽略桁架和桥面自重，把卡车视为一个集中荷载，由最近的两根横梁分担。
• 悬索桥面没有抗弯刚度，主缆不能伸长，背索为直线，塔顶索鞍可自由滚动。主缆和桥面的位移均放大十倍显示。

数值怎样核对

静力计算也用手算进行了复核。对于跨中承受 100 kN 的桁架，手算结果与支座反力、上弦杆 150 kN、下弦杆 100 kN、端柱和斜杆 70.7 kN，以及靠近端部竖杆的零内力一致，并确认卡车位于 61 个位置时，全部 12 个节点都满足平衡。对于石拱，手算结果符合拱顶集中荷载下三铰拱的 H = PL ÷ (4f)；当半圆拱的 t/R = 18% 时，推力范围为拱重的 16% 到 24%，而 Block、DeJong 和 Ochsendorf 报告的是 16% 和 25%。对于主缆，手算确认吊点位于 y = 4fx(L − x) ÷ L² 上，且 H = wL² ÷ (8f)。