哥特式教堂为什么不会倒塌：尖拱与飞扶壁的受力原理

模型展示什么

哥特式教堂为什么不会倒塌？尖拱减少侧向推力，飞扶壁把推力越过侧廊传给外侧扶壁，让高达 42 m 的石拱顶下方仍能布满彩窗。站在法国大型主教座堂的中厅抬头看，石天花板比十层楼还高，支撑它的墙面却大多是彩色玻璃。玻璃不能托住石屋顶，真正工作的结构在室外：一排石半拱倚着建筑，像划艇伸出的桨。

第一个场景是盛期哥特式中厅三跨的剖面，前端切过柱墩，可以一眼看清整个宽度。中间是带肋拱顶的中厅，两侧是较低的侧廊，侧廊外立着扶壁和尖塔饰。飞扶壁从扶壁跨过侧廊屋顶，到达中厅墙顶。比例接近 Amiens Cathedral：柱墩轴线间距 14.4 m，起拱处高 29.5 m，顶点高 42 m。这不是对某座建筑的实测复原。

绿线是压力线，表示拱顶推力穿过石材传到地面的路径。角落面板显示一跨一侧的受力。滑块改变拱顶和尖塔饰重量、风、扶壁进深与位置、高侧窗宽度；开关可以移除飞扶壁，或把尖拱顶改成圆拱顶。线一旦离开石材就变红，失去稳定的部分随之倾倒。点击模型任一部件可阅读说明。

顶部栏还有六个场景。整座教堂可从西门走到回廊；六种拱顶从筒拱到扇形拱顶并排展示；四种用独立石块砌成的拱展示各形状需要多厚的石材。施工现场展示工序，Beauvais 唱诗班席模型展示中世纪最高拱顶如何坍塌，彩窗则拆解为玻璃片、铅条和铁条。操作区下方有七项任务、高度竞赛图、一跨受力的计算，以及附有来源的 37 座教堂和事件。

石拱顶为什么向外推

石材抗压强、抗拉弱。石块和砂浆组成的拱顶只能靠相邻石块互相挤压来承受自重，因此内部的力沿曲线传递，在底部斜向作用。这个斜向力有两个分量：竖向分量就是拱顶的重量，称为推力的水平分量则向外推墙顶。

把长木板横放在两把椅子上，椅子只承受木板重量。把两块木板像帐篷一样斜靠，若没有东西阻止，底端就会向两侧滑开。拱顶像后者。模型中，一跨的一侧重 813 kN，约相当于 83 吨的重量，侧向推力为 162 kN。推力作用在离地 29.5 m 处，具有足以使墙倾倒的长力臂。

尖拱为什么比圆拱推得少

哥特式之前的罗马式教堂大多采用半圆拱。哥特式建造者用两段圆弧在顶部相交成尖。同跨度下，尖拱升得更高，而高拱的侧向推力比扁拱小，正如陡帐篷比低平帐篷更少向外推帐篷钉。

把拱顶视为重量沿曲线均布、在顶点和两个起拱点设铰的三铰拱。绕起拱点取矩，就得到推力：H × 矢高 = 半拱重量 × 起拱点至重心的水平距离。半径为 a 的半圆，半拱弧长为 πa/2，重心距圆心 2a/π，矢高为 a，因此 H = (1 − 2/π) W = 0.363 W。同跨度的等边尖拱，每一半以另一侧起拱点为圆心、半径为 2a，矢高为 a√3，同一方程给出 H = 0.200 W。

采用模型数值，a = 7.2 m，等效石壳厚 0.35 m，容重为每立方米 22 kN，开间长 7 m，圆拱顶每侧重 610 kN，推力 222 kN。尖拱顶更长，重 813 kN，比它重三分之一，推力却只有 162 kN。更重的拱顶反而减少了 27% 推力。若荷载全部集中在顶部，圆拱推力为荷载的一半，尖拱为 0.289 倍，少 42%。

尖拱还有另一优点：高度不由跨度唯一决定，因此窄拱和宽拱可以达到同高。这让非正方形开间上的拱顶更容易安排。

没有支援的墙会怎样

关闭飞扶壁。墙现在必须独自承担全部拱顶推力。模型把墙和柱墩合为每跨厚 1.5 m、长 2.2 m、高 42.5 m 的实心条带。加上屋顶和拱顶，它以 4,018 kN 的力压向地面。

162 kN 的推力作用于 29.5 m 高处，在墙底产生 4,790 kN·m 的力矩。除以竖向力，压力线穿过墙底的位置距中心 1.19 m。半墙厚仅 0.75 m，因此线已越出石材 0.44 m。石块不能拉住地面，只能绕外边缘转动，拱顶随之落下。模型将其显示为墙倾斜 9°、拱顶下坠。

墙要多厚才能独立站稳？求解墙底受力可知，厚 1.94 m 时压力线刚好落在边缘，完全没有余量。若要让线留在中间三分之一，使所有接缝连轻微张开都不发生，则需 3.52 m。用滑块把拱顶重量减半，1.5 m 厚墙就刚好能站稳，压力线到达外缘距离的 88%。这就是没有飞扶壁的罗马式教堂需要厚墙、只开小窗的原因。

飞扶壁把推力传过侧廊

飞扶壁是一道半拱，在墙顶附近接住推力，越过侧廊传给室外厚重的柱墩。模型中，它在 28.5 m 高处接墙，比起拱点低一米，并落在扶壁 25 m 高处。其重量为 137 kN。

飞扶壁本身有重量，因此自身压力线并非直线。162 kN 推力穿过它，重量分布在 6.65 m 长度上，使压力线向上弯，在跨中高出直弦 0.70 m。飞扶壁的斜直上缘和拱形下缘正好容纳此曲线。压力线始终不超过从中间至边缘距离的 43%。在墙端，它向上推 17 kN；在扶壁端，则向下压 154 kN。

装上飞扶壁后，墙只承受起拱点与飞扶壁头部间的小力矩，即 162 kN 乘以 1 m。压力线移至距墙中心 0.04 m 处，为到外缘距离的 11%。墙几乎只需承担自身重量。

扶壁顶上为什么有尖塔饰

扶壁是阶梯状石块，16 m 以下深 4.2 m，其上深 2.2 m。每个截面都必须容纳压力线。飞扶壁在靠近顶部的位置传入推力，上方石材很少，难以使力转向下方，压力线便朝外表面走。最不利处就在 16 m 台阶稍上方。

没有尖塔饰时，该截面的压力线距内表面 2.30 m。上部石块仅深 2.2 m，线已越出，扶壁顶部因此倾倒。在距内表面 0.7 m 处加上 200 kN 尖塔饰，竖向力增加而水平推力不变。合力变陡，压力线退回至 2.04 m，达到从中间到外缘距离的 85%。尖塔饰的作用就是用重量使压力线向下弯。上方雕刻的尖顶是装饰，下方的石材却是压重。

改成圆拱顶，同一扶壁需要顶部约 400 kN 才能站稳（97%）。把尖拱顶加重 25%，200 kN 就不够了（108%），400 kN 则让线回到 88%。

风增加了什么

风推整个建筑侧面，包括陡屋顶、高侧窗和扶壁本身。模型把它合成每跨一个侧向力。流动空气的动压为密度乘速度平方的一半，即 ½ × 1.25 kg/m³ × v²。对一个长 7 m 的开间，模型取屋顶和墙的受风面积 210 m²，将一侧压力和另一侧吸力合计的压力系数设为 1.0。30 m/s 时是 562 Pa 和 118 kN。15 m/s 即速度减半时，风力为 30 kN。

力传到哪里？模型让它经拱腰填充形成的刚性带，在起拱处传到墙，再全部传向背风侧。那一侧飞扶壁现在承担拱顶 162 kN 加风力，在 30 m/s 时共 281 kN，并将其传至扶壁。迎风侧维持无风状态。这是偏保守的选择：真实教堂把风力分给两侧，许多还在屋顶高度设有第二层飞扶壁。

问题不在飞扶壁本身。30 m/s 时，它的压力线从外缘距离的 43% 移至 56%。问题在扶壁。最弱截面在 16 m 台阶稍上方，风速超过 14.2 m/s 后线便越过表面，到 30 m/s 时达到 148%。模型扶壁画得细长，无风时余量就少（85%），因此一场中等强风便能显示影响。两个调整可恢复稳定。只加 400 kN 尖塔饰，线为 124%，仍在外面。400 kN 尖塔饰加深 20% 扶壁，线回到 86%；300 kN 尖塔饰加深 30% 扶壁，则达到 80%。

移除飞扶壁，风会叠加到原本已失稳的墙上。墙的比例从无风时 159% 升至 20 m/s 时 210%。

移动扶壁，或增加进深

「扶壁进深」滑块同比缩放扶壁的两段，原深分别为 4.2 m 和 2.2 m。进深增加，重量也增加，压力线到达外表面之前可走的距离也变大，两者均有利。进深为 80% 时，台阶处压力线达 133%，扶壁倾倒；进深约降到 93% 时仍能站稳。120% 时，线只达外缘距离的 58%；150% 时，最不利截面不再是台阶，而在接近顶部处，为 42%。

「扶壁外移」把扶壁向远离中厅的方向移最多 3 m，如同加宽侧廊。扶壁本身不变，比例保持 86%。飞扶壁却必须伸得更远：重量从 137 kN 增至 187 kN，压力线弯曲更多；移出 3 m 时，压力线达到外缘距离的 84%，而非 43%。

墙怎样变成玻璃

飞扶壁接住推力后，两柱墩之间的墙只承自重和一部分屋顶重量。它无需再是厚重石墙，因此可挖去开窗。模型每扇高侧窗宽 4.4 m，顶部为尖形，每跨有 43.6 m² 玻璃，占柱墩间从窗台至拱顶墙面的 54%。下方三拱廊是一排小拱，再下方连拱通向侧廊。

「高侧窗」滑块将开口从宽 2.4 m、面积 20.8 m²、墙面占比 26%，改至宽 5.2 m、面积 54.0 m²、占比 67%，这时几乎只剩柱墩条带。内部窗花随之增大，包括中央窗梃、两个小尖拱和一个四瓣圆窗。模型中，玻璃不改变任何重量，因此受力不变：有飞扶壁，几乎可以任意开窗。

透过玻璃的光落在地面，形成彩色光斑。「时刻」滑块让太阳从早晨移到下午；高画质下，窗和地面之间的空气中还会出现淡淡光束。

用独立石块砌成的拱

首个场景把拱顶当作薄拱，在顶点和起拱处设固定铰。真实拱有厚度，推力也不固定。「拱的形状」场景用楔形拱石砌四道同为 14.4 m 跨度的拱，各接缝垂直于曲线。它提出另一个问题：是否存在一条始终留在石材内的压力线？

Jacques Heyman 在 1966 年说明，这才是砌体最关键的问题。把石材看成不能承受拉力、强到不会压碎、也不会滑动的块体。如果能在拱内画出任意一条与荷载平衡的压力线，拱就能站稳。这就是安全定理。它不说明拱实际采用哪条线，那由沉降和裂缝决定；它说明只要有一条线存在，拱就是安全的。

模型为每道拱搜索所有顶部推力，以及压力线穿过顶部接缝的所有高度。对每道接缝，顶部推力和顶部至该缝之间石材重量产生的力矩，确定线穿过的位置。每道接缝限制推力，由此精确求出可容纳的推力范围，画出其中最小推力的线。线接触表面的地方，用圆点标记铰。

厚 1.0 m 时，四种拱都能容纳压力线。圆拱每米进深的半拱重 249 kN，顶部至少需要 90 kN/m 推力。尖拱由两段半径 14.4 m 的圆弧组成，矢高 12.47 m，更重，为 332 kN/m，却只需 64 kN/m。晚期哥特式四心拱在起拱处采用两段半径 3.6 m 小圆弧，上部采用两段 14.4 m 大圆弧，矢高仅 4.93 m，重 209 kN/m，需要 121 kN/m。按尖拱矢高绘制的悬链线拱，即悬链形状，只需 53 kN/m。

减小厚度，各拱会先后失稳。圆拱低于 0.774 m，即半径的 0.1075 倍时，内部便不存在压力线。这与 Milankovitch 在 1907 年针对径向接缝半圆拱得到的数值一致。极限时，线在顶点和两起拱处接触外缘，在从顶点向下约 55 度处接触内缘，共五个铰，足以使拱成为可动机构。四心拱最先在 0.785 m 失稳，尖拱在 0.61 m 失稳，悬链线拱则可薄到接近零，因为压力线能沿石材中间通过。

顶部荷载，如塔楼或屋脊，会改变顺序。顶部加 200 kN/m，圆拱需厚 1.36 m，尖拱需 0.99 m；形状原本只适合自重的悬链线拱，此时需约 1.03 m。对不均布的荷载，尖拱是良好折中，而带肋和填充的拱顶恰好承受这类荷载。

从筒拱到扇形拱顶

「拱顶」场景并列六种石材覆盖开间的方法，每个为边长 10 m 的正方形，在 9 m 处起拱。

筒拱是半圆筒，沿全长向外推，因此全长都需厚墙，留给窗的空间少。交叉拱顶由两个筒拱垂直相交，交线汇集重量，传至四角，因此墙面可打开。肋拱顶先在木拱架上砌出交线，即石肋，再铺肋间薄拱壳。石肋把荷载汇到四点，尖形轮廓减小向外推力。院长 Suger 重建 Saint-Denis 时，约 1144 年的东端已把肋拱顶和彩色玻璃结合使用。

六分拱顶覆盖双开间，中央增加横肋，形成六格。支点承受不等荷载，所以中厅的粗细柱墩交替出现。1284 年后重建 Beauvais 唱诗班席时，新增中间柱墩把四分拱顶改成六分拱顶。附加肋拱顶让肋从各起拱点延伸至顶部脊肋，缩小拱壳分格，使拱顶形似棕榈树。扇形拱顶从各起拱点伸出石圆锥，表面刻有曲率相同的肋纹；John Wastell 在 Cambridge 的 King's College Chapel 拱顶建于 1512 至 1515 年，Henry the Seventh 在 Westminster 的圣母礼拜堂于 1503 年开工、1516 年竣工，也有扇形拱顶。点击拱顶或移动「拱顶」滑块，橙色箭头便显示重量传到哪里。

绕整座教堂行走

「整座教堂」场景把单跨扩展为尺寸接近 Amiens 的拉丁十字建筑：带侧廊的八跨中厅、带木尖塔的交叉部、两侧各三跨且端墙各有玫瑰窗的耳堂、四个直跨唱诗班席、五边形后殿、环绕的回廊和七座放射状小礼拜堂。模型约长 126 m，含侧廊宽 31 m，耳堂长 56 m。根据 Centre des monuments nationaux，Amiens 本身长 145 m，内部体积约 20 万 m³，拱顶离地 42.30 m。

站立位置栏带你切换俯视、西立面前三门廊与玫瑰窗及双塔、门内、中厅、交叉部下、唱诗班席和回廊。室内相机设在 1.7 m 视线高度，可拖动环视。中厅地面有参照 Amiens 的八角迷宫；原迷宫路径长 234 m，中央石块铺于 1288 年。南侧高窗的彩光落在地面，随太阳移动。

建筑沿用单跨的部件：一面立面、一个拱顶、一根柱墩，以及带扶壁、尖塔饰和飞扶壁的一跨侧廊。每种石构件重复排列，各只需一次绘制调用。打开「透视」会让屋顶透明，从上方可见拱顶。

教堂怎样建起来

「施工现场」分六阶段建起两跨。先挖基础至坚实地层，填入碎石和砂浆，再把柱墩砌至 14 m 高的连拱柱头。接着在木拱架上砌连拱；这种按拱形制作的框架托住石块，直到拱心石就位。脚手杆捆扎在一起，称为脚手横木的短木插进墙上预留孔，承托木板。

上部墙体砌筑时，用踏轮起重机吊石：工人在大轮内行走，转动轴卷起绳索。Beverley Minster 自身的历史记载，一台踏轮起重机安置在中央塔拱顶上方，由人在轮内行走，把材料吊入屋顶。按「播放」，模型踏轮转动，石块升起。

屋顶先于高拱顶安装，使拱顶能在遮蔽下砌筑，新砂浆保持干燥。Cambridge 的 King's College Chapel 到 1512 年全长都已覆上木铅屋顶，其下扇形拱顶于 1515 年完成。先在悬挂于墙上的拱架砌肋，每块石材按样板修凿，使曲线在饰结汇合；再用薄石块填充肋间，砂浆凝固后降低拱架，移往下一跨。地面石匠工棚里有石材加工台，以及木槌、凿子、角尺、圆规和样板。

脚手架可能留很久。Salisbury 尖塔内至今仍有 1360 年强风暴后安装、用于加固的木脚手架。

Beauvais：坍塌的拱顶

Beauvais 于 1225 年开工，目标是最高的教堂。Association Beauvais Cathédrale 给出的唱诗班席拱顶高度为 46.7 m；Mapping Gothic France 项目给出约 46.5 m，Heritage 期刊一项 2025 年研究则给出 48 m。唱诗班席于 1272 年投入使用。1284 年 11 月 29 日，部分拱顶坍塌，带走部分上部墙体和飞扶壁。修复约于 1347 年完成：每个直跨中间增设一根较细柱墩，3 跨变 6 跨，拱顶成为六分式。1500 年起建耳堂，交叉部改建带尖顶的采光塔，而非续建中厅。塔于 1569 年以约 150 m 高度竣工，四年后倒塌。中厅始终只建了一跨。

为何坍塌仍有争议，Heritage 在 2025 年的综述梳理了这些解释。Paul Frankl 归因于基础。Jacques Heyman 认为结构在自重下稳定，正如它已站立十二年，因此寻找小范围局部诱因。1976 年，Maury Wolfe 与 Robert Mark 用光弹模型提出，交变风荷载使扶壁系统中细长的中间柱墩开裂，他们首次把风视为决定因素。Stephen Murray 指出施工中的不一致，以及一个超过 15 m 的特别宽开间；Mario Como 则归因于柱墩缓慢的徐变屈曲。

Beauvais 场景采用单跨静力原理，比例更高更细：顶点 46.7 m，起拱处 34.1 m，墙条厚 1.25 m，扶壁深 5.0 m 和 3.0 m，尖塔饰重 250 kN，1272 年的开间长 9 m。这些是为使唱诗班席在无风时站稳而选取的模型值。半拱顶重 1,060 kN，每列柱墩推力 212 kN，最不利位置为 74%。提高风速，1272 年唱诗班席在 20.5 m/s 失稳；25 m/s 时线达 113%，中间跨坍塌。切换至重建状态，每跨中央有柱墩，每列承担的拱顶减半，推力 106 kN，同结构可抗至 45.8 m/s。30 m/s 时为 62%。模型不证明 1284 年的真实经过，只显示无论原因如何，分割开间都是合理修复。

彩色玻璃窗怎样制作

对中世纪制玻璃工艺的许多认识，来自自称 Theophilus 的 12 世纪修士所著《On Diverse Arts》。玻璃以沙和木灰制成，熔融时用金属着色，吹成圆筒或旋成圆盘，再展平成片。红玻璃过暗，通常把薄红层附在透明玻璃上，称为套色玻璃。

「彩色玻璃」场景按制作顺序拆解一扇尖顶窗。先在涂白垩或石灰水的木桌上画原大窗稿，每片用字母标色；约 1400 年纸张普及前，桌面就是唯一画稿。用热铁使各片从整片玻璃上裂开，再用修边铁钳啃出形状，这种金属钩可套入玻璃边缘。用深色玻璃质颜料画面孔和衣褶，入窑使颜料熔结。玻璃片再铺回同一桌面，嵌入 H 形铅槽条，焊接接头，在铅条下压油灰以防雨。最后把窗板挂在嵌入石材的铁条上，用焊上的铅带固定；横铁条既承重量，也增强抗风能力。

模型窗宽 2 m，由四块方窗板和一个尖顶组成，共 106 片玻璃、81 m 铅条和 83 个至少三铅条相交的焊点。Chartres 玻璃覆盖 2,500 m²，展示逾 3,500 个人物。Paris 的 Sainte-Chapelle 为 Louis the Ninth 而建，工期不到 7 年，15 扇高 15 m 的窗包含 1,113 个场景。

真实教堂有多高

操作区下方两张图展示高度竞赛。按拱顶：1194 年火灾后重建的 Chartres 高 37 m，跨度 16.4 m，为最宽哥特式中厅；1211 年开工的 Reims 约 38 m；1220 年开工的 Amiens 为 42.30 m；1225 年开工的 Beauvais 为 46.7 m，是图中唯一未能以原样保存的拱顶。Westminster Abbey 的中厅于 1517 年完工，拱顶高 31 m，是英格兰最高的哥特式拱顶；1248 年开工、1880 年竣工的 Cologne 中央厅高 43.35 m。

按塔楼和尖塔，竞赛持续更久。Lincoln 的塔和尖顶于 1311 年完工，高 160 m，使它在 238 年间成为世界最高建筑。Salisbury 尖塔约于 1300 至 1329 年增建，高 123 m，如今为英格兰最高。Vienna 南塔于 1433 年以 136.4 m 竣工，Strasbourg 尖塔于 1439 年达到 142 m。Beauvais 于 1569 年再试，高约 150 m，却在 1573 年失去塔楼。Cologne 双塔高 157.22 m，于 1880 年完工；Ulm 主塔高 161.53 m，于 1890 年完工。2025 年 10 月 30 日，Barcelona 的 Sagrada Família 中央塔达 162.91 m，超过 Ulm。Notre-Dame de Paris 重建尖塔于 2023 年 12 月 16 日装上金公鸡，距地约 96 m。

模型比真实教堂简化了什么

• 拱顶视为平面拱。真实肋拱顶是三维承载的壳，将荷载汇到开间角部。
• 单跨推力由顶部和起拱处的铰固定。真实拱顶可在一系列推力下稳定，正如拱场景所示；实际推力取决于裂缝和沉降。
• 拱腰上方填充画出但未计入。真实填充在低处增加重量，有助于引导推力。
• 风为每跨在起拱处的单一力，全部由背风侧承担。真实教堂两侧分担，许多还有上层飞扶壁抗风。
• 侧廊拱顶也产生推力，向内推中厅柱墩，向外推扶壁。此处忽略。
• 墙和柱墩是一条实心带，扶壁是两块长方体。真实柱墩有细柱、通道和楼梯。
• 窗户大小不改变重量。
• 砌体假定刚性、无拉力、不压碎、不滑动。真实石材和砂浆会徐变和沉降。
• 整座教堂、施工现场、Beauvais 唱诗班席和彩窗均按单跨比例建立，不是建筑实测复原。

数值如何核对

静力学手算与模型相符，涵盖闭式解 H = 0.363 W 和 H = 0.200 W、两半拱顶重量、墙偏心距 H × 29.5 / N、压力线刚到边缘所需厚度、飞扶壁支反力之和等于自重、有无尖塔饰时的扶壁台阶截面，以及矩形加等边尖顶的窗面积。手算也涵盖风力 ½ × 1.25 × 30² × 210 = 118 kN、加风后的台阶截面、与 Milankovitch 的 0.1075 对照的半圆最小厚度和约 54.5 度处铰、所画线在每个接缝内、没有更小推力可满足、半拱在有无顶部荷载时绕起拱点的力矩平衡、四心拱圆弧相切、加深扶壁与加长飞扶壁的重量，以及 Beauvais 开间减半使每列柱墩推力减半。全部 68 项手算均在百分之几分之一内吻合。