Arcobotantes e contrafortes: como sustentam a catedral

O que o modelo mostra

Arcobotantes e contrafortes sustentam uma catedral gótica ao levar o empuxo das abóbadas até o solo; no modelo, o topo da abóbada fica a 42 m. Na nave de uma grande catedral francesa, o teto de pedra é mais alto que um prédio de dez andares, mas as paredes que o sustentam são quase só vidro colorido. Vidro não pode segurar um telhado de pedra. O trabalho acontece do lado de fora, onde meios arcos de pedra se apoiam no prédio como remos de um barco.

A primeira cena corta três tramos de uma nave do gótico pleno, passando por um pilar da frente para mostrar toda a largura. No meio fica a nave com abóbada de nervuras. De cada lado há uma nave lateral mais baixa; fora delas, contrafortes com pináculos. Arcobotantes passam sobre os telhados laterais até o topo da parede da nave. As proporções se aproximam de Amiens: 14,4 m entre eixos dos pilares, arranque a 29,5 m e topo a 42 m. Não são um levantamento de nenhum prédio específico.

A linha verde é a linha de empuxo, o caminho da força da abóbada pela pedra até o solo. O painel no canto mostra as forças de um lado de um tramo. Os controles mudam pesos da abóbada e do pináculo, vento, profundidade e posição do contraforte e largura das janelas do clerestório. As chaves retiram os arcobotantes ou trocam a abóbada ogival pela semicircular. Quando a linha sai da pedra, fica vermelha e a peça afetada tomba. Clique em qualquer peça para ler sobre ela.

A barra superior reúne mais seis cenas. Você pode percorrer a catedral da porta oeste ao deambulatório. Seis abóbadas ficam lado a lado, do berço ao leque. Quatro arcos de blocos reais mostram a espessura necessária a cada forma. Um canteiro apresenta a ordem da obra, o coro de Beauvais mostra como caiu a abóbada mais alta da Idade Média e um vitral se desmonta em vidro, chumbo e ferro. Sob os controles há sete tarefas, a corrida pela altura, os cálculos do tramo e 37 catedrais e acontecimentos com suas fontes.

Por que uma abóbada de pedra empurra para fora

A pedra resiste bem à compressão e mal à tração. Uma abóbada de pedras e argamassa só sustenta seu peso apertando cada pedra contra as vizinhas. A força segue a curva e sai inclinada na base. Essa força tem duas partes. A vertical é o peso da abóbada. A horizontal, chamada empuxo, empurra o topo da parede para fora.

Coloque uma tábua comprida sobre duas cadeiras: elas recebem apenas seu peso. Apoie duas tábuas entre si como uma barraca e seus pés se afastam se nada os impedir. A abóbada se comporta como essa barraca. No modelo, um lado de um tramo pesa 813 kN, aproximadamente o peso de 83 toneladas, e empurra de lado com 162 kN. Isso ocorre a 29,5 m do piso, com um braço de alavanca longo para tombar a parede.

Por que o arco ogival empurra menos que o semicircular

As igrejas românicas anteriores ao gótico usavam sobretudo arcos de volta perfeita, semicírculos. Os construtores góticos traçavam duas curvas que se encontram em ponta. No mesmo vão, o arco ogival sobe mais e empurra menos lateralmente que um arco baixo, assim como uma barraca íngreme força menos suas estacas para fora que uma barraca achatada.

Considere a abóbada um arco com peso distribuído uniformemente ao longo da curva e articulações na chave e nos dois arranques, um arco triarticulado. O empuxo resulta de uma equação de momentos em torno do arranque: H × flecha = peso do meio arco × distância horizontal do arranque ao centro de gravidade. Num semicírculo de raio a, o meio arco tem comprimento πa/2, seu centro de gravidade fica a 2a/π do centro e a flecha vale a; isso dá H = (1 − 2/π) W = 0,363 W. Num ogival equilátero de mesmo vão, cada metade traçada com raio 2a a partir do arranque oposto, a flecha vale a√3 e a mesma equação dá H = 0,200 W.

Com os valores do modelo (a = 7,2 m, casca de pedra equivalente a 0,35 m de espessura, 22 kN por metro cúbico e tramo de 7 m), a abóbada semicircular pesa 610 kN por lado e empurra com 222 kN. A ogival é mais longa e pesa 813 kN, um terço a mais, mas empurra com apenas 162 kN. São 27% menos empuxo numa abóbada mais pesada. Se toda a carga estivesse na chave, o arco semicircular empurraria com metade da carga e o ogival com 0,289 dela, 42% menos.

O ogival tem outra vantagem. Sua altura não depende do vão: um arco estreito e um largo podem alcançar a mesma altura. Isso facilitava cobrir tramos que não eram quadrados.

O que acontece com uma parede sem apoio

Desative os arcobotantes. Agora a parede precisa receber todo o empuxo sozinha. No modelo, parede e pilar formam uma faixa maciça de 1,5 m de espessura e 2,2 m de comprimento por tramo, subindo até 42,5 m. Com telhado e abóbada, ela pressiona o solo com 4018 kN.

O empuxo de 162 kN a 29,5 m produz um momento de 4790 kN·m na base. Dividindo pela força vertical, a linha cruza a base a 1,19 m do meio da parede. Metade da espessura é só 0,75 m: a linha fica 0,44 m fora da pedra. Um bloco não pode puxar o solo. Ele gira sobre a borda externa e a abóbada cai. O modelo mostra uma inclinação de 9° e a descida da abóbada.

Qual espessura permitiria à parede ficar em pé sozinha? O cálculo da base põe a linha exatamente na borda com 1,94 m, sem margem. Para mantê-la no terço central, sem abrir nenhuma junta nem um pouco, são necessários 3,52 m. Reduza pela metade o peso da abóbada: a parede de 1,5 m mal fica em pé, com a linha a 88% do caminho até a face. Por isso igrejas românicas sem arcobotantes precisavam de paredes grossas e janelas pequenas.

O arcobotante leva o empuxo sobre a nave lateral

Um arcobotante é um meio arco que recebe o empuxo perto do topo da parede e o leva sobre a nave lateral até um pilar pesado externo. No modelo, ele encontra a parede a 28,5 m, um metro abaixo do arranque, e chega ao contraforte a 25 m. Pesa 137 kN.

Como ele tem peso, sua linha não é reta. Com 162 kN de empuxo e peso distribuído por 6,65 m, a linha se curva para cima, chegando a 0,70 m acima da corda reta no meio do vão. O arcobotante tem a forma necessária para conter essa curva: topo reto inclinado e face inferior arqueada. A linha fica dentro de 43% do caminho do meio à borda. Na parede, o arco empurra ligeiramente para cima, com 17 kN; no contraforte, pressiona para baixo com 154 kN.

Com ele instalado, a parede recebe só o pequeno momento entre o arranque e a cabeça do arcobotante, 162 kN vezes 1 m. Sua linha passa a 0,04 m do centro, 11% do caminho até a face. A parede fica carregando pouco mais que o próprio peso.

Por que o pináculo fica sobre o contraforte

O contraforte é um bloco escalonado, com profundidade de 4,2 m até 16 m e de 2,2 m acima. Todas as seções precisam conter a linha. O arcobotante chega perto do topo, onde há pouca pedra acima para virar o empuxo para baixo. Assim, a linha segue para a face externa. O pior ponto fica logo acima do degrau a 16 m.

Sem pináculo, a linha cruza essa seção a 2,30 m da face interna. O bloco superior tem só 2,2 m de profundidade: a linha fica fora e o topo tomba. Acrescente um pináculo de 200 kN a 0,7 m da face interna. A força vertical cresce sem mudar o empuxo horizontal. A resultante fica mais inclinada e a linha volta para 2,04 m, 85% do caminho do meio até a face. Essa é a função do pináculo: seu peso dobra a linha para baixo. A agulha esculpida decora, mas a pedra abaixo é lastro.

Troque para a abóbada semicircular: o mesmo contraforte precisa de cerca de 400 kN no topo para ficar em pé (97%). Deixe a ogival 25% mais pesada e 200 kN já não bastam (108%), enquanto 400 kN trazem a linha de volta a 88%.

O que o vento acrescenta

O vento empurra todo o lado do prédio: telhado íngreme, clerestório e contrafortes. O modelo transforma isso numa força lateral por tramo. A pressão do ar em movimento é metade da densidade vezes a velocidade ao quadrado, ½ × 1,25 kg/m³ × v². Ela atua sobre 210 m² de telhado e parede num tramo de 7 m, com coeficiente de pressão de 1,0 para o empurrão de um lado e a sucção do outro juntos. A 30 m/s são 562 Pa e 118 kN. A 15 m/s, metade da velocidade, são 30 kN.

Para onde vai a força? No modelo, ela chega à parede no arranque pela faixa rígida dos rins preenchidos da abóbada e vai inteira para sotavento, o lado oposto ao vento. O arcobotante desse lado leva os 162 kN da abóbada mais o vento, 281 kN a 30 m/s, ao contraforte. Barlavento fica como no ar parado. É uma escolha cautelosa: catedrais reais repartem o vento entre os dois lados e muitas têm arcobotantes superiores na altura do telhado.

O arcobotante em si não é o problema. Sua linha passa de 43% a 56% do caminho até a borda a 30 m/s. O problema é o contraforte. Na seção mais fraca, acima do degrau de 16 m, a linha cruza a face quando o vento passa de 14,2 m/s e chega a 148% a 30 m/s. O contraforte foi desenhado esbelto, com pouca sobra no ar parado (85%); um vendaval moderado basta para mostrar o efeito. Duas mudanças o estabilizam. Um pináculo de 400 kN sozinho leva a linha a 124%, ainda fora. Com ele e 20% mais profundidade, ela chega a 86%; com 300 kN e 30% mais profundidade, a 80%.

Retire os arcobotantes e o vento se soma ao empuxo numa parede que já falhava: sua razão passa de 159% no ar parado a 210% a 20 m/s.

Afastar o contraforte ou aumentar sua profundidade

O controle "Profundidade do contraforte" escala seus dois níveis, originalmente de 4,2 m e 2,2 m. Seu peso aumenta com a profundidade, assim como a distância que a linha pode percorrer até a face externa. Ambos ajudam. A 80% da profundidade, a linha chega a 133% no degrau e o contraforte tomba; ele fica em pé até cerca de 93%. A 120%, a linha percorre só 58% até a face. A 150%, a seção pior deixa o degrau e passa para perto do topo, a 42%.

"Contraforte afastado" o move até 3 m mais longe da nave, como se a nave lateral fosse mais larga. O contraforte não muda e sua razão fica em 86%. O arcobotante precisa alcançar mais longe: passa de 137 kN para 187 kN, sua linha se curva mais e, a 3 m, percorre 84% até a borda em vez de 43%.

Como as paredes viraram vidro

Quando os arcobotantes recebem o empuxo, a parede entre pilares carrega só o próprio peso e parte do telhado. Não precisa mais ser uma massa grossa de pedra e pode ser aberta. Cada janela ogival do clerestório tem 4,4 m de largura e 43,6 m² de vidro por tramo, 54% da face entre pilares do peitoril à abóbada. Abaixo, o trifório é uma fila de pequenos arcos; a arcada inferior se abre para a nave lateral.

"Janela do clerestório" muda a abertura de 2,4 m, 20,8 m² e 26% da parede até 5,2 m, 54,0 m² e 67%, restando quase só as faixas dos pilares. A traceria interna, um montante central, dois pequenos arcos ogivais e um óculo redondo com quatro lóbulos, cresce junto. No modelo, o vidro não muda pesos nem forças: com arcobotantes, quase qualquer janela é possível.

A luz forma manchas coloridas no piso. "Hora do dia" move o sol da manhã para a tarde e, na qualidade alta, feixes suaves de luz aparecem entre janela e piso.

Arcos construídos com pedras reais

A primeira cena trata a abóbada como um arco fino com articulações fixas na chave e nos arranques. Arcos reais são grossos e seu empuxo não é fixo. Formas de arco monta quatro arcos sobre o mesmo vão de 14,4 m com aduelas, blocos em cunha cujas juntas são perpendiculares à curva. A pergunta muda: existe alguma linha de empuxo que permaneça dentro da pedra?

Jacques Heyman mostrou em 1966 que essa é a questão central da alvenaria. Considere blocos que não resistem à tração, são fortes o bastante para não esmagar e não deslizam. Se alguma linha em equilíbrio com as cargas pode ser traçada dentro do arco, ele pode ficar em pé. Esse é o teorema da segurança. Ele não indica a linha realmente adotada, que depende de recalques e fissuras. Diz que o arco está seguro enquanto alguma linha existir.

Para cada arco, o modelo busca todos os empuxos na chave e todas as alturas em que a linha pode cruzar sua junta. Em cada junta, o momento do empuxo na chave e do peso intermediário fixa o ponto de passagem. Cada junta limita o empuxo, de modo que o intervalo admissível é encontrado exatamente. A linha desenhada tem o menor empuxo. Onde ela toca uma face, um ponto marca uma articulação.

Com 1,0 m de espessura, os quatro arcos contêm linhas. Metade do semicircular pesa 249 kN por metro de profundidade e precisa de pelo menos 90 kN/m de empuxo na chave. O ogival, dois arcos de raio 14,4 m que sobem a 12,47 m, pesa mais, 332 kN/m, mas precisa de só 64 kN/m. O de quatro centros do gótico tardio, dois pequenos arcos de 3,6 m nos arranques e dois grandes de 14,4 m, sobe só 4,93 m, pesa 209 kN/m e precisa de 121 kN/m. A catenária, forma de uma corrente pendurada traçada à altura do ogival, precisa de 53 kN/m.

Afine os arcos e eles falham um a um. O semicircular não contém linha abaixo de 0,774 m, ou 0,1075 do raio. Milankovitch encontrou esse número em 1907 para um semicírculo de juntas radiais. No limite, a linha toca o exterior na chave e nos arranques e o interior cerca de 55 graus abaixo da chave: cinco articulações, suficientes para transformar o arco num mecanismo. O de quatro centros falha primeiro, a 0,785 m; o ogival, a 0,61 m; a catenária segue até quase nada, pois sua linha pode acompanhar o meio da pedra.

Uma carga na chave, torre ou cumeeira muda a ordem. Com 200 kN/m no topo, o semicircular precisa de 1,36 m e o ogival de 0,99 m; a catenária, cuja forma servia só ao peso próprio, agora precisa de cerca de 1,03 m. O ogival é um compromisso útil para cargas desiguais, como as de uma abóbada com nervuras e enchimento.

Do berço à abóbada em leque

Abóbadas alinha seis formas de cobrir um tramo com pedra, cada um quadrado de 10 m de lado e com arranque a 9 m.

O berço é um meio cilindro. Empurra em todo o comprimento e precisa de paredes grossas contínuas, deixando pouco espaço para janelas. A abóbada de arestas cruza dois berços em ângulo reto; as arestas concentram o peso nos quatro cantos e liberam as paredes intermediárias. A de nervuras constrói primeiro esses encontros como arcos de pedra sobre cimbres e coloca panos finos entre eles. As nervuras levam a carga a quatro pontos e o perfil ogival reduz o empuxo. A reconstrução de Saint-Denis pelo abade Suger, com cabeceira de cerca de 1144, reuniu abóbadas de nervuras e vitrais.

A sexpartida cobre um tramo duplo com nervura transversal extra no meio, formando seis células. As cargas desiguais fazem alternar pilares fortes e fracos. Na reconstrução de Beauvais após 1284, os pilares centrais novos transformaram abóbadas quadripartidas em sexpartidas. A de terceletes acrescenta nervuras do arranque à cumeeira: os panos ficam menores e o conjunto lembra uma palmeira. A de leque faz nascer um cone de pedra de cada arranque, com nervuras de mesma curva desenhadas na superfície. John Wastell construiu a de King’s College, Cambridge, entre 1512 e 1515. A capela de Nossa Senhora de Henrique VII em Westminster, iniciada em 1503 e concluída em 1516, também tem teto em leque. Clique numa abóbada ou mova "Abóbada": setas laranjas mostram por onde o peso desce.

Percorrendo a catedral inteira

Catedral inteira coloca o tramo num edifício em cruz latina próximo de Amiens: oito tramos de nave com laterais, cruzeiro com agulha de madeira, três tramos de transepto por lado com rosáceas nas pontas, quatro tramos retos de coro, abside de cinco lados, deambulatório e sete capelas radiais. O modelo tem cerca de 126 m de comprimento, 31 m de largura entre naves laterais e transepto de 56 m. Amiens tem 145 m de comprimento, cerca de 200.000 m³ e abóbada a 42,30 m do piso, segundo o Centre des monuments nationaux.

A barra de posições leva você para cima, diante da fachada oeste com três portais, rosácea e duas torres, dentro da porta, na nave, sob o cruzeiro, no coro e no deambulatório. Dentro, a câmera fica à altura dos olhos, 1,7 m, e você olha ao redor arrastando. O piso tem um labirinto octogonal inspirado em Amiens, cujo percurso mede 234 m e cuja pedra central foi colocada em 1288. A luz do clerestório sul cai no piso e segue o sol.

O edifício repete as peças do tramo: uma elevação, uma abóbada, um pilar e um tramo lateral com contraforte, pináculo e arcobotante, com uma só chamada de desenho para cada tipo de pedra. "Ver por dentro" deixa os telhados transparentes para ver as abóbadas de cima.

Como se construía uma catedral

Canteiro de obras ergue dois tramos em seis etapas. Primeiro se escavam fundações até o solo firme, preenchidas com pedras e argamassa, e os pilares sobem aos capitéis a 14 m. Depois os arcos da arcada são montados sobre cimbres, armações na forma do arco que seguram as pedras até colocar a chave. As varas dos andaimes são amarradas e travessões curtos entram em furos deixados na parede para sustentar as tábuas.

Conforme sobem as paredes superiores, um guindaste de roda eleva as pedras: alguém caminhando dentro de uma grande roda gira o eixo que enrola a corda. Em Beverley Minster havia um guindaste acima da abóbada da torre central, usado para levar materiais ao telhado por uma pessoa caminhando na roda, segundo a história da própria igreja. Aperte reproduzir e a roda do modelo gira enquanto o bloco sobe.

O telhado vinha antes da abóbada alta, para construí-la protegida e manter seca a argamassa fresca. Em King’s College, Cambridge, em 1512 o edifício estava coberto em todo o comprimento com madeira e chumbo; a abóbada em leque terminou em 1515. Primeiro subiam as nervuras sobre cimbres suspensos nas paredes, cada pedra cortada com gabarito para as curvas se encontrarem na chave. Depois os panos preenchiam as células; após endurecer a argamassa, os cimbres eram abaixados e transferidos. A oficina no solo guarda a bancada onde se talham blocos, com maço, cinzéis, esquadro, compassos e gabarito.

Andaimes podiam ficar por muito tempo. Dentro da agulha de Salisbury ainda existe o de madeira colocado para reforçá-la após uma forte tempestade em 1360.

Beauvais: a abóbada que caiu

Beauvais começou em 1225 para ser a igreja mais alta. A Association Beauvais Cathédrale informa 46,7 m para a abóbada do coro; Mapping Gothic France dá cerca de 46,5 m e um estudo de 2025 em Heritage dá 48 m. O coro estava em uso em 1272. Em 29 de novembro de 1284, parte da abóbada caiu com paredes altas e arcobotantes. Os reparos terminaram por volta de 1347: um pilar novo mais estreito foi posto no meio de cada tramo reto, transformando 3 em 6 e as abóbadas em sexpartidas. O transepto veio a partir de 1500 e uma torre-lanterna com agulha foi erguida sobre o cruzeiro em vez de uma nave. Terminou em 1569 com cerca de 150 m e caiu quatro anos depois. A nave nunca passou de um tramo.

A causa continua em debate, como mostra uma revisão de 2025 em Heritage. Paul Frankl culpou as fundações. Jacques Heyman considerou a estrutura estável sob seu peso, como fora por doze anos, e procurou um pequeno gatilho local. Em 1976 Maury Wolfe e Robert Mark usaram um modelo fotoelástico para propor que cargas alternadas de vento racharam um pilar intermediário esbelto dos contrafortes; foram os primeiros a tornar o vento decisivo. Stephen Murray apontou inconsistências da construção e um tramo excepcionalmente largo, de mais de 15 m. Mario Como propôs a flambagem lenta dos pilares por fluência.

A cena usa a estática do tramo com proporções mais altas e finas: topo a 46,7 m, arranque a 34,1 m, faixa de parede de 1,25 m, contrafortes de 5,0 m e 3,0 m com pináculos de 250 kN e tramo de 9 m para 1272. São valores do modelo escolhidos para o coro ficar em pé no ar parado. Meia abóbada pesa 1060 kN e empurra com 212 kN por linha de pilares; a parte pior fica a 74%. O coro de 1272 cede a 20,5 m/s; a 25 m/s a linha chega a 113% e o tramo central cai. No coro reconstruído, cada linha de pilares recebe metade da abóbada, com empuxo de 106 kN, e a mesma estrutura suporta até 45,8 m/s. A 30 m/s fica em 62%. O modelo não prova o ocorrido em 1284: mostra por que dividir os tramos foi um reparo sensato, fosse qual fosse a causa.

Como se faz um vitral

Boa parte do conhecimento vem de um monge do século XII que se chamava Theophilus e escreveu On Diverse Arts. Vidro era feito de areia e cinzas de madeira, colorido com metais enquanto fundido e soprado em cilindros ou girado em discos antes de ser achatado em chapas. O vermelho era tão escuro que costumava formar uma camada fina sobre vidro claro, o vidro plaquê.

Vitral desmonta uma lanceta na ordem da fabricação. Primeiro se desenhava a janela em tamanho natural numa mesa de madeira coberta de giz ou cal, marcando a cor de cada peça com uma letra; até o papel se tornar comum por volta de 1400, a mesa era o único desenho. Cada peça era separada com ferro quente e ajustada com uma ferramenta de roer vidro, um gancho metálico no qual se encaixava a borda. Rostos e dobras recebiam pintura vítrea escura e eram queimados em forno para fundir tinta e vidro. As peças voltavam à mesma mesa e eram encaixadas em perfis de chumbo em H. As junções eram soldadas e massa entrava sob as abas para vedar a chuva. Por fim, os painéis ficavam suspensos em barras de ferro fixadas na pedra, presos por tiras de chumbo soldadas. Barras horizontais carregam o peso e enrijecem a janela contra o vento.

A janela do modelo tem 2 m de largura: quatro painéis quadrados e topo ogival, 106 peças ao todo, com 81 m de chumbo e 83 junções soldadas que reúnem três ou mais perfis. Em Chartres o vidro cobre 2500 m² e mostra mais de 3500 figuras. Na Sainte-Chapelle de Paris, construída para Luís IX em menos de 7 anos, 15 janelas de 15 m mostram 1113 cenas.

A altura das catedrais reais

A corrida aparece sob os controles em dois gráficos. Por abóbada: Chartres, reconstruída após o incêndio de 1194, chega a 37 m com vão de 16,4 m, a nave gótica mais larga; Reims, iniciada em 1211, cerca de 38 m; Amiens, iniciada em 1220, 42,30 m; Beauvais, iniciada em 1225, 46,7 m, a única que não sobreviveu como construída. A nave de Westminster, terminada em 1517, tem a abóbada gótica mais alta da Inglaterra, 31 m. Colônia, iniciada em 1248 e concluída em 1880, chega a 43,35 m nas naves centrais.

Por torres e agulhas, a corrida durou mais. Lincoln alcançou 160 m em 1311 e foi o edifício mais alto do mundo por 238 anos. Salisbury recebeu sua agulha entre cerca de 1300 e 1329, com 123 m, hoje a mais alta da Inglaterra. A torre sul de Viena terminou em 1433 com 136,4 m; a agulha de Estrasburgo, em 1439 com 142 m. Beauvais tentou de novo em 1569 com cerca de 150 m e perdeu a torre em 1573. As torres de Colônia, 157,22 m, terminaram em 1880; a principal de Ulm, 161,53 m, em 1890. Em 30 de outubro de 2025, a torre central da Sagrada Família de Barcelona chegou a 162,91 m e superou Ulm. A agulha reconstruída de Notre-Dame de Paris, coroada com seu galo dourado em 16 de dezembro de 2023, fica a cerca de 96 m do solo.

Onde o modelo simplifica uma catedral real

• A abóbada é tratada como arco plano. Uma abóbada real de nervuras é uma casca que leva cargas em três dimensões aos cantos do tramo.
• O empuxo é fixado por articulações na chave e nos arranques. Uma abóbada real aceita um intervalo de empuxos, como mostra a cena dos arcos; o adotado depende de fissuras e recalques.
• O enchimento sobre os rins aparece, mas não é contado. O real acrescenta peso embaixo e ajuda a dirigir o empuxo.
• O vento é uma força por tramo no arranque, toda recebida a sotavento. Catedrais reais o dividem entre os lados e muitas têm arcobotantes superiores para ele.
• As abóbadas laterais também empurram, para dentro sobre o pilar da nave e para fora no contraforte. São ignoradas.
• Parede e pilar são uma faixa maciça e o contraforte dois blocos retangulares. Pilares reais têm fustes, passagens e escadas.
• O tamanho das janelas não altera pesos.
• A alvenaria é rígida, sem tração, esmagamento nem deslizamento. Pedra e argamassa reais sofrem fluência e recalques.
• Catedral inteira, canteiro, coro de Beauvais e janela são modelos proporcionados a partir do tramo, não levantamentos de edifícios.

Como os cálculos foram conferidos

Os cálculos manuais concordam nas formas H = 0,363 W e H = 0,200 W, nos pesos das meias abóbadas, na excentricidade da parede H × 29,5 / N, na espessura que põe a linha na borda, na soma das reações do arcobotante igual ao seu peso, na seção do degrau com e sem pináculo e na área da janela como retângulo mais topo ogival equilátero. A conferência também cobre a força do vento ½ × 1,25 × 30² × 210 = 118 kN, a seção do degrau com vento, o mínimo do semicírculo comparado a 0,1075 de Milankovitch e a articulação perto de 54,5 graus, a presença da linha em todas as juntas e a impossibilidade de empuxo menor, o equilíbrio de momentos do meio arco em torno do arranque com e sem carga na chave, o encontro tangente dos arcos de quatro centros, os pesos de um contraforte mais profundo e de um arcobotante mais longo e a redução pela metade do empuxo por linha de pilares ao dividir o tramo de Beauvais. Os 68 cálculos concordam dentro de uma fração de um por cento.