Gotische Kathedrale: Statik von Gewölbe und Strebewerk

Was das Modell zeigt

Die Statik einer gotischen Kathedrale beruht darauf, den seitlichen Gewölbeschub über Strebebögen zu äußeren Strebepfeilern zu leiten. So kann eine Steindecke wie in Amiens rund 42 m über einem Raum stehen, dessen Wände größtenteils aus Farbglas bestehen. Im Mittelschiff einer großen französischen Kathedrale liegt diese Decke höher als ein zehnstöckiges Haus. Glas kann kein Steindach tragen. Die eigentliche Hilfe steht draußen: steinerne Halbbögen lehnen wie die Ruder eines Boots am Bau.

Die erste Szene schneidet durch drei Joche eines hochgotischen Langhauses und vorne durch einen Pfeiler, sodass die ganze Breite sichtbar ist. In der Mitte liegt das Mittelschiff mit Rippengewölbe, daneben die niedrigeren Seitenschiffe und außerhalb davon die Strebepfeiler mit Fialen. Strebebögen überspannen die Seitenschiffdächer bis zum oberen Teil der Mittelschiffwand. Die Proportionen ähneln Amiens: 14,4 m zwischen den Pfeilerachsen, Gewölbeansatz auf 29,5 m und Scheitel auf 42 m. Sie sind kein Aufmaß eines bestimmten Baus.

Die grüne Drucklinie zeigt den Weg des Gewölbeschubs durch den Stein zum Boden. Die Anzeige in der Ecke nennt die Kräfte einer Seite eines Jochs. Regler verändern Gewölbe- und Fialengewicht, Wind, Tiefe und Lage des Strebepfeilers sowie die Obergadenfensterbreite. Schalter entfernen die Strebebögen oder machen aus dem spitzen Gewölbe ein rundes. Verlässt die Linie den Stein, wird sie rot und das betroffene Bauteil kippt. Ein Klick auf ein Modellteil öffnet seine Erklärung.

Die obere Leiste enthält sechs weitere Szenen. Die ganze Kathedrale lässt sich vom Westportal bis zum Chorumgang begehen. Sechs Gewölbe stehen nebeneinander, vom Tonnen- bis zum Fächergewölbe. Vier Bögen aus einzelnen Steinen zeigen die nötige Dicke jeder Form. Eine Baustelle zeigt die Arbeitsfolge, ein Modell des Chors von Beauvais den Einsturz des höchsten mittelalterlichen Gewölbes, und ein Glasfenster zerlegt sich in Glas, Blei und Eisen. Unter den Reglern stehen sieben Aufgaben, Höhenvergleiche, die berechneten Jochkräfte und 37 Kathedralen und Ereignisse mit Quellen.

Warum ein Steingewölbe nach außen drückt

Stein ist druckfest, aber zugschwach. Ein Gewölbe aus Stein und Mörtel trägt sich, indem jeder Stein gegen seine Nachbarn drückt. Die Kraft läuft der Kurve entlang und tritt unten schräg aus. Ihre senkrechte Komponente entspricht dem Gewölbegewicht. Die waagerechte Komponente, der Schub, drückt den Wandkopf nach außen.

Liegt ein langes Brett über zwei Stühlen, spüren diese nur sein Gewicht. Lehnen zwei Bretter zeltförmig aneinander, rutschen ihre Füße auseinander, wenn nichts sie hält. Ein Gewölbe verhält sich wie dieses Zelt. Eine Seite eines Modelljochs wiegt 813 kN, etwa so viel wie 83 Tonnen, und drückt seitlich mit 162 kN. Auf 29,5 m Höhe hat dieser Schub einen langen Hebel zum Kippen der Wand.

Warum ein Spitzbogen weniger schiebt als ein Rundbogen

Romanische Kirchen vor der Gotik nutzten meist Rundbögen, also Halbkreise. Gotische Baumeister zeichneten zwei Kreisbögen, die sich in einer Spitze treffen. Bei gleicher Weite steigt ein Spitzbogen höher. Ein hoher Bogen schiebt weniger seitwärts als ein flacher, so wie ein steiles Zelt seine Heringe weniger auseinanderdrückt als ein flaches.

Das Gewölbe wird als Bogen mit gleichmäßig längs der Kurve verteiltem Gewicht und Gelenken im Scheitel und an beiden Anfängern betrachtet, also als Dreigelenkbogen. Das Momentengleichgewicht am Anfänger ergibt: H × Stich = Gewicht des halben Bogens × waagerechter Abstand seines Schwerpunkts vom Anfänger. Beim Halbkreis mit Radius a ist der halbe Bogen πa/2 lang, sein Schwerpunkt liegt 2a/π von der Kreismitte entfernt und der Stich beträgt a. Daraus folgt H = (1 − 2/π) W = 0,363 W. Beim gleichseitigen Spitzbogen gleicher Spannweite ist jede Hälfte mit Radius 2a vom gegenüberliegenden Anfänger aus gezeichnet. Sein Stich beträgt a√3 und dieselbe Gleichung liefert H = 0,200 W.

Mit den Modellwerten a = 7,2 m, einer gleichwertigen Steinschale von 0,35 m Dicke, 22 kN je Kubikmeter und einem 7-m-Joch wiegt das Rundgewölbe je Seite 610 kN und schiebt mit 222 kN. Das Spitzgewölbe ist länger und mit 813 kN ein Drittel schwerer, schiebt aber nur mit 162 kN. Trotz höheren Gewichts ist der Schub 27% kleiner. Läge die gesamte Last stattdessen am Scheitel, schübe der Rundbogen mit der halben Last, der Spitzbogen mit dem 0,289-Fachen, also 42% weniger.

Der Spitzbogen hat einen zweiten Vorteil: Seine Höhe hängt nicht allein von der Weite ab. Schmale und breite Bögen können gleich hoch reichen. Damit ließen sich nicht quadratische Joche leichter überwölben.

Was mit einer Wand ohne äußere Hilfe geschieht

Ohne Strebebögen muss die Wand den gesamten Gewölbeschub allein aufnehmen. Im Modell werden Wand und Pfeiler zu einem massiven Streifen von 1,5 m Dicke, 2,2 m Länge je Joch und 42,5 m Höhe zusammengefasst. Mit Dach und Gewölbe belastet er den Boden mit 4018 kN.

162 kN Schub auf 29,5 m Höhe erzeugen am Fuß ein Moment von 4790 kN·m. Geteilt durch die senkrechte Kraft ergibt sich eine Drucklinie, die den Fuß 1,19 m neben der Wandmitte schneidet. Die halbe Dicke beträgt nur 0,75 m; die Linie liegt also 0,44 m außerhalb des Steins. Ein Steinblock kann nicht am Boden ziehen. Er dreht sich um die Außenkante, und das Gewölbe fällt. Das Modell zeigt 9° Neigung und ein absinkendes Gewölbe.

Wie dick müsste die Wand allein sein? Bei 1,94 m liegt die Linie gerade am Rand, ohne Reserve. Soll sie im mittleren Drittel bleiben, sodass keine Fuge auch nur leicht öffnet, sind 3,52 m nötig. Mit halbiertem Gewölbegewicht steht die 1,5-m-Wand gerade noch; die Linie liegt bei 88% des Weges zur Außenfläche. Deshalb brauchten romanische Kirchen ohne Strebebögen dicke Wände und kleine Fenster.

Ein Strebebogen leitet den Schub über das Seitenschiff

Der Strebebogen ist ein Halbbogen. Er nimmt den Schub nahe dem Wandkopf auf und leitet ihn über das Seitenschiff zu einem schweren äußeren Pfeiler. Im Modell setzt er auf 28,5 m an, einen Meter unter dem Gewölbeansatz, und endet am Strebepfeiler auf 25 m. Er wiegt 137 kN.

Wegen seines Eigengewichts ist seine Drucklinie nicht gerade. Bei 162 kN Schub und über 6,65 m verteiltem Gewicht wölbt sie sich aufwärts, in der Mitte 0,70 m über die gerade Verbindungslinie. Eine gerade geneigte Oberseite und eine gewölbte Unterseite umschließen diese Kurve. Sie bleibt innerhalb von 43% des Weges von der Mitte zum Rand. Am Wandende drückt der Bogen mit 17 kN leicht nach oben, am Strebepfeiler mit 154 kN nach unten.

Mit Strebebogen bleibt der Wand nur das kleine Moment zwischen Gewölbeansatz und Bogenkopf, 162 kN mal 1 m. Ihre Drucklinie rückt auf 0,04 m Abstand von der Mitte, 11% des Weges zur Fläche. Die Wand trägt kaum mehr als ihr eigenes Gewicht.

Warum die Fiale auf dem Strebepfeiler sitzt

Der Strebepfeiler ist ein abgestufter Block, bis 16 m Höhe 4,2 m tief und darüber 2,2 m. Jeder Querschnitt muss die Drucklinie enthalten. Der Strebebogen trifft nahe der Spitze ein, wo wenig Stein darüber liegt, um den Schub nach unten zu lenken. Deshalb wandert die Linie zur Außenfläche. Kritisch ist die Stelle direkt über der Stufe auf 16 m.

Ohne Fiale schneidet die Linie diesen Querschnitt 2,30 m von der Innenfläche entfernt. Der obere Block ist nur 2,2 m tief; die Linie liegt außen, und der obere Teil kippt. Eine Fiale von 200 kN in 0,7 m Abstand von der Innenfläche erhöht die senkrechte Kraft bei gleichem Seitenschub. Die Resultierende wird steiler und die Linie wandert auf 2,04 m zurück, 85% des Weges von der Mitte zur Fläche. Das ist die statische Aufgabe der Fiale. Die verzierte Spitze ist Schmuck, der Stein darunter Ballast.

Mit Rundgewölbe braucht derselbe Pfeiler oben etwa 400 kN, um zu stehen (97%). Wird das Spitzgewölbe 25% schwerer, reichen 200 kN nicht mehr (108%); 400 kN bringen die Linie auf 88% zurück.

Was der Wind hinzufügt

Wind drückt gegen die ganze Gebäudeseite: das steile Dach, den Obergaden und die Strebepfeiler. Das Modell fasst dies zu einer seitlichen Kraft pro Joch zusammen. Der Winddruck entspricht halber Luftdichte mal Geschwindigkeit zum Quadrat, ½ × 1,25 kg/m³ × v². Er wirkt auf 210 m² Dach und Wand je 7-m-Joch, mit einem Druckbeiwert von 1,0 für Druck auf einer und Sog auf der anderen Seite zusammen. Bei 30 m/s sind das 562 Pa und 118 kN. Bei halber Geschwindigkeit, 15 m/s, sind es 30 kN.

Im Modell gelangt die Kraft durch das steife Band der gefüllten Gewölbezwickel zum Ansatz und vollständig zur windabgewandten Seite. Deren Strebebogen trägt nun die 162 kN Gewölbeschub plus Wind, bei 30 m/s insgesamt 281 kN, zum Strebepfeiler. Die Luvseite bleibt unverändert. Das ist eine vorsichtige Annahme: Wirkliche Kathedralen verteilen Wind auf beide Seiten; viele haben auf Dachhöhe eine zweite obere Reihe von Strebebögen.

Nicht der Strebebogen ist das Problem, sondern der Pfeiler. Bei 30 m/s wandert die Bogenlinie von 43% auf 56% des Weges zum Rand. Am schwächsten Pfeilerquerschnitt direkt über der 16-m-Stufe verlässt sie schon über 14,2 m/s die Fläche; bei 30 m/s erreicht sie 148%. Der Modellpfeiler ist bewusst schlank, mit geringer Reserve bei Windstille (85%). Schon mäßiger Sturm macht die Windwirkung sichtbar. Eine Fiale von 400 kN allein ergibt 124%, noch außerhalb. Mit 400 kN und 20% mehr Tiefe sind es 86%; mit 300 kN und 30% mehr Tiefe 80%.

Ohne Strebebögen kommt der Wind zum Schub auf eine bereits versagende Wand hinzu: Ihr Verhältnis steigt von 159% bei Windstille auf 210% bei 20 m/s.

Den Strebepfeiler versetzen oder vertiefen

„Strebepfeilertiefe“ skaliert beide Stufen des Pfeilers, ursprünglich 4,2 m und 2,2 m tief. Mit der Tiefe wachsen sein Gewicht und der Weg, den die Linie bis zur Außenfläche zurücklegen kann. Beides hilft. Bei 80% Tiefe erreicht die Linie an der Stufe 133%, und der Pfeiler kippt; bis etwa 93% steht er. Bei 120% erreicht sie nur 58% des Weges zur Fläche. Bei 150% liegt die kritischste Stelle nicht mehr an der Stufe, sondern nahe dem Kopf, bei 42%.

„Strebepfeiler nach außen“ rückt ihn bis zu 3 m weiter vom Mittelschiff weg, als würde das Seitenschiff breiter. Der Pfeiler selbst bleibt unverändert, sein Verhältnis bei 86%. Der Strebebogen muss weiter reichen: Er wiegt nun 187 kN statt 137 kN, seine Linie wölbt sich stärker, und bei 3 m liegt sie bei 84% statt 43% des Weges zum Rand.

Wie aus Wänden Glas wurde

Sobald Strebebögen den Schub tragen, nimmt die Wand zwischen zwei Pfeilern nur ihr Eigengewicht und einen Dachanteil auf. Sie muss kein dicker Steinblock mehr sein und kann geöffnet werden. Jedes Modellfenster ist 4,4 m breit und spitz, mit 43,6 m² Glas je Joch. Das entspricht 54% der Wandfläche zwischen Pfeilern, Sohlbank und Gewölbe. Darunter liegt das Triforium mit kleinen Bögen, darunter die zum Seitenschiff offene Arkade.

„Obergadenfenster“ verändert die Öffnung von 2,4 m Breite, 20,8 m² und 26% Wandanteil bis auf 5,2 m, 54,0 m² und 67%. Dann bleiben fast nur die Pfeilerstreifen. Das Maßwerk mit Mittelsprosse, zwei kleinen Spitzbögen und rundem Vierpass wächst mit. Im Modell verändert Glas kein Gewicht, also auch keine Kräfte. Mit Strebebögen ist nahezu jede Fenstergröße möglich.

Das Licht fällt in farbigen Flecken auf den Boden. „Tageszeit“ bewegt die Sonne vom Morgen zum Nachmittag. In hoher Qualität schweben schwache Lichtstrahlen zwischen Fenster und Boden.

Bögen aus einzelnen Steinen

Das erste Gewölbe ist ein dünner Bogen mit festen Gelenken an Scheitel und Anfängern. Echte Bögen sind dick und ihr Schub ist nicht festgelegt. „Bogenformen“ baut vier Bögen über 14,4 m aus keilförmigen Steinen, deren Fugen senkrecht zur Kurve liegen. Die Frage lautet hier: Gibt es überhaupt eine Drucklinie, die im Stein bleibt?

Jacques Heyman zeigte 1966, dass genau diese Frage für Mauerwerk entscheidend ist. Die Steine werden als zuglose, nicht gleitende Blöcke mit ausreichender Druckfestigkeit behandelt. Lässt sich irgendeine mit den Lasten im Gleichgewicht stehende Drucklinie innerhalb des Bogens zeichnen, kann er stehen. Das ist das Sicherheitstheorem. Es bestimmt nicht die tatsächliche Linie, die von Setzungen und Rissen abhängt. Es sagt, dass der Bogen sicher ist, solange eine solche Linie existiert.

Das Modell durchsucht für jeden Bogen alle Scheitelschübe und alle möglichen Durchgangshöhen durch die Scheitelfuge. An jeder Fuge bestimmen die Momente des Scheitelschubs und des dazwischenliegenden Gewichts den Schnittpunkt. Jede Fuge begrenzt den Schub. So wird sein zulässiger Bereich exakt gefunden und die Linie mit dem kleinsten Schub gezeichnet. Berührt sie eine Fläche, markiert ein Punkt ein Gelenk.

Bei 1,0 m Dicke passen alle vier Linien. Die Hälfte des Rundbogens wiegt je Meter Bautiefe 249 kN und braucht mindestens 90 kN/m Scheitelschub. Der Spitzbogen aus zwei Kreisbögen mit Radius 14,4 m und Stich 12,47 m ist mit 332 kN/m schwerer, braucht aber nur 64 kN/m. Der spätgotische Vierzentrenbogen aus zwei kleinen Kreisbögen von 3,6 m an den Anfängern und zwei großen von 14,4 m steigt nur 4,93 m, wiegt 209 kN/m und braucht 121 kN/m. Der Kettenlinienbogen mit dem Stich des Spitzbogens braucht 53 kN/m.

Beim Ausdünnen versagen sie nacheinander. Unter 0,774 m, also 0,1075 seines Radius, passt keine Linie in den Rundbogen. Das ist der Wert, den Milankovitch 1907 für einen Halbkreis mit radialen Fugen fand. An der Grenze berührt die Linie außen Scheitel und Anfänger und innen die Stellen etwa 55 Grad unter dem Scheitel. Fünf Gelenke machen den Bogen zum Mechanismus. Der Vierzentrenbogen versagt zuerst bei 0,785 m, der Spitzbogen bei 0,61 m. Der Kettenlinienbogen bleibt bis fast null Dicke stehen, weil die Linie seiner Mitte folgen kann.

Eine Scheitellast, etwa ein Turm oder First, verändert die Reihenfolge. Bei 200 kN/m oben braucht der Rundbogen 1,36 m, der Spitzbogen 0,99 m. Der nur für sein Eigengewicht passende Kettenlinienbogen braucht nun etwa 1,03 m. Für ungleich verteilte Lasten, wie sie Rippen und Füllungen verursachen, ist der Spitzbogen ein guter Kompromiss.

Vom Tonnengewölbe zum Fächergewölbe

„Gewölbe“ zeigt sechs Arten, ein Joch von 10 m Seitenlänge mit Ansatz auf 9 m steinern zu überdecken.

Die Tonne ist ein Halbzylinder. Sie drückt auf ganzer Länge nach außen und braucht überall dicke Wände, was wenig Fensterraum lässt. Das Kreuzgratgewölbe verschneidet zwei Tonnen rechtwinklig. Die Grate sammeln das Gewicht an vier Ecken, sodass sich die Wände dazwischen öffnen können. Beim Rippengewölbe entstehen die Grate zuerst als Steinrippen auf Holzlehrgerüsten, dann dünne Kappen dazwischen. Die Rippen sammeln Lasten an vier Punkten, ihre Spitzform senkt den Schub. Abt Sugers Umbau von Saint-Denis mit dem Chorabschluss von etwa 1144 verband Rippengewölbe und Farbglas.

Das sechsteilige Gewölbe überspannt ein Doppeljoch, das eine zusätzliche mittlere Querrippe in sechs Felder teilt. Ungleiche Lasten führen zu abwechselnd starken und schwachen Pfeilern. Beim Wiederaufbau von Beauvais nach 1284 machten neue Zwischenpfeiler aus vierteiligen Gewölben sechsteilige. Das Tiercerongewölbe ergänzt Rippen von den Anfängern zur Scheitelrippe; die Felder werden kleiner und erinnern an eine Palme. Beim Fächergewölbe wächst von jedem Anfänger ein Steinkegel mit gleich gekrümmten, als Muster geschnittenen Rippen. John Wastells Gewölbe in der King’s College Chapel in Cambridge entstand zwischen 1512 und 1515. Heinrichs des Siebten Marienkapelle in Westminster, 1503 begonnen und 1516 vollendet, hat ebenfalls ein Fächergewölbe. Ein Klick oder der Gewölberegler zeigt mit orangefarbenen Pfeilen, wo das Gewicht ankommt.

Durch die ganze Kathedrale gehen

„Ganze Kathedrale“ setzt das Joch in einen vollständigen Bau von ähnlicher Größe wie Amiens ein: acht Mittelschiffjoche mit Seitenschiffen, eine Vierung mit Holzspitze, je drei Querhausjoche mit Rosen an den Enden, vier gerade Chorjoche, eine fünfseitige Apsis, einen Umgang und sieben Radialkapellen. Das Modell ist etwa 126 m lang, mit Seitenschiffen 31 m breit; das Querhaus misst 56 m. Amiens selbst ist laut Centre des monuments nationaux 145 m lang, umfasst etwa 200.000 m³ und hat eine Gewölbehöhe von 42,30 m.

Die Standortleiste führt nach oben, vor die Westfassade mit drei Portalen, Rose und zwei Türmen, hinter das Portal, ins Mittelschiff, unter die Vierung, in den Chor und den Chorumgang. Innen steht die Kamera auf 1,7 m Augenhöhe; Ziehen dreht den Blick. Das achteckige Bodenlabyrinth folgt Amiens, wo der Weg 234 m lang ist und der Mittelstein 1288 verlegt wurde. Farbiges Licht aus dem südlichen Obergaden folgt der Sonne über den Boden.

Das Gebäude verwendet dieselben Bausteine wie das einzelne Joch: Aufriss, Gewölbe, Pfeiler und Seitenschiffjoch mit Strebepfeiler, Fiale und Bogen. Jede Steinart wird wiederholt mit einem einzigen Zeichenaufruf dargestellt. „Einblick“ macht die Dächer durchsichtig und zeigt die Gewölbe von oben.

Wie eine Kathedrale gebaut wurde

„Baustelle“ errichtet zwei Joche in sechs Phasen. Zunächst werden Fundamente bis auf festen Grund ausgehoben und mit Bruchstein und Mörtel gefüllt. Die Pfeiler wachsen bis zu den Arkadenkapitellen auf 14 m. Dann entstehen Arkadenbögen auf Holzlehrgerüsten, die die Steine bis zum Einsetzen des Schlusssteins tragen. Gerüststangen werden zusammengebunden, kurze Rüsthölzer in ausgesparte Wandlöcher gesteckt und mit Planken belegt.

Beim Bau der oberen Wände hebt ein Tretradkran die Steine. Ein Arbeiter läuft in einem großen Rad, dreht damit die Achse und wickelt das Seil auf. Die Baugeschichte von Beverley Minster beschreibt einen solchen Kran über dem Gewölbe des Mittelturms, mit dem Materialien ins Dach gezogen wurden. Wiedergabe dreht das Modellrad und hebt einen Block.

Das Dach entstand vor dem Hochgewölbe, damit dieses geschützt gebaut werden und sein Mörtel trocken bleiben konnte. In der King’s College Chapel in Cambridge war der Rohbau bis 1512 durchgehend mit Holz und Blei gedeckt, das Fächergewölbe darunter bis 1515 fertig. Zuerst wurden Rippen auf wandgetragenen Lehrgerüsten versetzt; Schablonen sorgten dafür, dass ihre Kurven am Schlussstein zusammentrafen. Dann wurden die Kappen gefüllt und nach dem Erhärten des Mörtels das Lehrgerüst abgesenkt und ins nächste Joch gebracht. In der Bauhütte stehen die Steinmetzbank, Klüpfel, Meißel, Winkel, Zirkel und Schablone.

Gerüste konnten lange bleiben. Im Turmhelm von Salisbury steht noch das Holzgerüst, das nach dem schweren Sturm von 1360 zur Verstärkung eingebaut wurde.

Beauvais: das eingestürzte Gewölbe

Beauvais wurde 1225 als höchste Kirche begonnen. Die Association Beauvais Cathédrale nennt 46,7 m Chorgewölbehöhe; Mapping Gothic France etwa 46,5 m und eine Studie von 2025 in Heritage 48 m. Der Chor wurde 1272 genutzt. Am 29. November 1284 stürzte ein Gewölbeteil samt oberen Wänden und Strebebögen ein. Die Reparaturen waren um 1347 fertig: Ein neuer schlanker Pfeiler teilte jedes gerade Joch, aus 3 wurden 6 und die Gewölbe sechsteilig. Ab 1500 folgte das Querhaus. Statt eines Langhauses entstand über der Vierung ein Laternenturm mit Spitze, 1569 etwa 150 m hoch und vier Jahre später eingestürzt. Das Langhaus blieb bei einem Joch.

Die Ursache bleibt umstritten, wie ein Forschungsüberblick in Heritage von 2025 zeigt. Paul Frankl vermutete die Fundamente. Jacques Heyman hielt den Bau unter Eigengewicht für stabil, wie schon zwölf Jahre lang, und suchte einen kleinen örtlichen Auslöser. Maury Wolfe und Robert Mark schlugen 1976 mit einem spannungsoptischen Modell vor, wechselnde Windlasten hätten einen schlanken Zwischenpfeiler des Strebewerks geschädigt. Sie machten Wind erstmals zum entscheidenden Faktor. Stephen Murray verwies auf bauliche Unstimmigkeiten und ein über 15 m breites Joch, Mario Como auf langsames Kriechknicken der Pfeiler.

Die Szene verwendet die Jochstatik in höheren, schlankeren Proportionen: Scheitel 46,7 m, Ansatz 34,1 m, Wandstreifen 1,25 m dick, Strebepfeiler 5,0 m und 3,0 m tief, Fialen 250 kN und Jochlänge 9 m für 1272. Diese Modellwerte sind so gewählt, dass der Chor bei Windstille steht. Ein halbes Gewölbe wiegt 1060 kN und schiebt mit 212 kN je Pfeilerachse; die kritischste Stelle liegt bei 74%. Der Chor von 1272 versagt bei 20,5 m/s Wind. Bei 25 m/s erreicht die Linie 113% und das mittlere Joch fällt. Nach dem Wiederaufbau halbiert ein Mittelpfeiler die Gewölbelast je Achse, der Schub sinkt auf 106 kN und derselbe Bau steht bis 45,8 m/s. Bei 30 m/s liegt er bei 62%. Das beweist nicht den Ablauf von 1284, zeigt aber, warum die Jochteilung unabhängig von der Ursache eine sinnvolle Reparatur war.

Wie ein Glasfenster entsteht

Vieles über mittelalterliche Glasherstellung stammt von einem Mönch des 12. Jahrhunderts namens Theophilus und seinem Werk On Diverse Arts. Glas wurde aus Sand und Holzasche geschmolzen, mit Metallen gefärbt und als Zylinder geblasen oder als Krone geschleudert, dann zu Scheiben abgeflacht. Rotes Glas war so dunkel, dass meist eine dünne rote Schicht auf Klarglas entstand, sogenanntes Überfangglas.

„Glasmalerei“ zerlegt ein Lanzettfenster in Herstellungsfolge. Zuerst wurde es in Originalgröße auf einen gekreideten oder weiß getünchten Holztisch gezeichnet; Buchstaben bezeichneten die Farben. Bis Papier um 1400 verbreitet war, war der Tisch die einzige Zeichnung. Ein heißes Eisen sprengte die Stücke aus der Scheibe. Das Kröseleisen, ein Metallhaken für die Glaskante, brachte sie in Form. Gesichter und Falten wurden mit dunkler Glasfarbe gemalt und im Ofen mit dem Glas verschmolzen. Auf demselben Tisch wurden die Stücke in H-förmige Bleiruten gefasst, die Verbindungen verlötet und Kitt unter die Ruten gedrückt. Schließlich hingen die Felder an im Stein verankerten Eisenstangen, befestigt mit angelöteten Bleibändern. Querbänder tragen das Gewicht und versteifen das Fenster gegen Wind.

Das Modellfenster ist 2 m breit: vier quadratische Felder und ein spitzer Abschluss mit insgesamt 106 Stücken, 81 m Blei und 83 Lötstellen, an denen mindestens drei Ruten zusammentreffen. In Chartres bedecken die Glasfenster 2500 m² und zeigen über 3500 Figuren. Die für Ludwig den Neunten in weniger als 7 Jahren erbaute Sainte-Chapelle in Paris besitzt 15 Fenster von 15 m Höhe mit 1113 Szenen.

Wie hoch die wirklichen Kathedralen sind

Zwei Diagramme unter den Reglern zeigen den Höhenwettlauf. Beim Gewölbe erreicht Chartres, nach dem Brand von 1194 erneuert, 37 m und mit 16,4 m das weiteste gotische Mittelschiff. Reims, 1211 begonnen, erreicht etwa 38 m; Amiens, 1220 begonnen, 42,30 m; Beauvais, 1225 begonnen, 46,7 m. Nur Beauvais blieb nicht in ursprünglicher Form erhalten. Das 1517 vollendete Mittelschiff von Westminster Abbey hat mit 31 m das höchste gotische Gewölbe Englands. Köln, 1248 begonnen und 1880 vollendet, erreicht in den Mittelschiffen 43,35 m.

Bei Türmen und Spitzen dauerte der Wettlauf länger. Lincoln erreichte mit dem 1311 vollendeten Turm und seiner Spitze 160 m und blieb 238 Jahre das höchste Gebäude der Welt. Die etwa 1300 bis 1329 ergänzte Spitze von Salisbury ist mit 123 m heute die höchste Englands. Wiens Südturm wurde 1433 mit 136,4 m vollendet, Straßburgs Spitze 1439 mit 142 m. Beauvais versuchte es 1569 mit etwa 150 m erneut und verlor den Turm 1573. Kölns Türme von 157,22 m wurden 1880 fertig, Ulms Hauptturm von 161,53 m 1890. Am 30. Oktober 2025 erreichte der Mittelturm der Sagrada Família in Barcelona 162,91 m und überholte Ulm. Die erneuerte Spitze von Notre-Dame de Paris, deren goldener Hahn am 16. Dezember 2023 aufgesetzt wurde, steht etwa 96 m hoch.

Wo das Modell einfacher ist als eine Kathedrale

• Das Gewölbe gilt als ebener Bogen. Ein echtes Rippengewölbe trägt als Schale räumlich und sammelt Lasten an den Jochecken.
• Der Jochschub wird durch Gelenke an Scheitel und Anfängern festgelegt. Echte Gewölbe können mit verschiedenen Schüben stehen; Risse und Setzungen bestimmen den tatsächlichen Wert.
• Die Zwickelfüllung wird gezeichnet, aber nicht gerechnet. In Wirklichkeit fügt sie unten Gewicht hinzu und lenkt den Schub.
• Wind ist eine Kraft je Joch am Ansatz und wirkt nur auf die Leeseite. Echte Kathedralen verteilen ihn auf beide Seiten und haben oft obere Strebebögen dafür.
• Seitenschiffgewölbe drücken ebenfalls, nach innen gegen Mittelschiffpfeiler und nach außen gegen Strebepfeiler. Das bleibt unberücksichtigt.
• Wand und Pfeiler sind ein massiver Streifen, der Strebepfeiler zwei Rechteckblöcke. Echte Pfeiler haben Dienste, Gänge und Treppen.
• Die Fenstergröße verändert kein Gewicht.
• Mauerwerk gilt als starr, zuglos, ohne Druckversagen und Gleiten. Echter Stein und Mörtel kriechen und setzen sich.
• Gesamtbau, Baustelle, Chor von Beauvais und Fenster sind aus den Jochproportionen entwickelte Modelle, keine Bauaufmaße.

Wie die Zahlen geprüft wurden

Handrechnungen bestätigen die geschlossenen Ausdrücke H = 0,363 W und H = 0,200 W, die Halbgewölbegewichte, die Wandexzentrizität H × 29,5 / N, die Dicke mit Drucklinie am Rand, die Summe der Strebebogenreaktionen als Eigengewicht, den Pfeilerquerschnitt an der Stufe mit und ohne Fiale und die Fensterfläche als Rechteck mit gleichseitigem Spitzbogenabschluss. Geprüft wurden außerdem die Windkraft ½ × 1,25 × 30² × 210 = 118 kN, der windbelastete Pfeilerquerschnitt, die minimale Halbkreisdicke gegen Milankovitchs 0,1075 und das Gelenk nahe 54,5 Grad, jede Fuge der gezeichneten Linie, das Fehlen eines kleineren zulässigen Schubs, das Momentengleichgewicht der Bogenhälfte um den Anfänger mit und ohne Scheitellast, die tangentiale Verbindung des Vierzentrenbogens, die Gewichte tieferer Pfeiler und längerer Bögen sowie die Halbierung des Achsschubs bei halbiertem Beauvais-Joch. Alle 68 Handrechnungen stimmen auf Bruchteile eines Prozents überein.