Как устроен готический собор: своды, аркбутаны и распор

Что показывает модель

Как устроен готический собор? Каменный свод держится благодаря аркбутанам, которые передают его боковой распор наружным контрфорсам: в Амьене это позволяет поднять свод примерно на 42 м над полом. В нефе большого французского собора потолок выше десятиэтажного дома, а стены под ним почти целиком состоят из цветного стекла. Стекло не может держать каменную крышу. Работающие опоры находятся снаружи: ряды каменных полуарок упираются в здание, словно вёсла лодки.

Первая сцена показывает разрез трёх травей нефа высокой готики. Спереди разрез проходит через столб, открывая всю ширину. В центре неф с нервюрным сводом, по сторонам более низкие боковые нефы, снаружи контрфорсы с пинаклями. Аркбутаны переброшены от контрфорсов над крышами боковых нефов к верху стены центрального. Пропорции близки к Амьену: между осями столбов 14,4 м, пята свода на 29,5 м, замок на 42 м. Это не обмер конкретного здания.

Зелёная линия давления показывает путь распора через камень к земле. Угловая панель даёт силы для одной стороны одной травеи. Ползунки меняют вес свода и пинакля, ветер, глубину и положение контрфорса, ширину верхних окон. Переключатели убирают аркбутаны или превращают стрельчатый свод в полуциркульный. Выйдя из камня, линия краснеет, а покинутая ею часть наклоняется. Нажатие на деталь открывает описание.

В верхней полосе ещё шесть сцен. По целому собору можно пройти от западного входа до обхода хора. Шесть сводов стоят рядом, от цилиндрического до веерного. Четыре арки из отдельных камней показывают необходимую толщину каждой формы. Стройплощадка раскрывает порядок работ, хор Бове показывает падение высочайшего свода Средневековья, а витраж разбирается на стекло, свинец и железо. Под управлением находятся семь заданий, график гонки высот, расчёты травеи и 37 соборов и событий с источниками.

Почему каменный свод давит наружу

Камень прочен при сжатии и слаб при растяжении. Свод из камня и раствора несёт свой вес, прижимая каждый камень к соседним. Поэтому сила идёт по кривой и выходит снизу наклонно. У неё две составляющие: вертикальная равна весу свода, горизонтальная, называемая распором, толкает верх стены наружу.

Если положить длинную доску на два стула, они почувствуют только её вес. Если прислонить две доски друг к другу как шатёр, их нижние концы разъедутся без упора. Свод ведёт себя как шатёр. Половина травеи модели весит 813 кН, примерно как 83 тонны, и давит вбок с силой 162 кН. На высоте 29,5 м у этой силы длинное плечо для опрокидывания стены.

Почему стрельчатая арка распирает меньше полуциркульной

Романские церкви до готики обычно использовали полуциркульные арки. Готические мастера чертили две дуги, сходящиеся в острие. При том же пролёте стрельчатая арка выше, а высокая арка распирает меньше пологой, как крутой шатёр меньше раздвигает колышки, чем низкий.

Рассмотрим свод как арку с равномерным по кривой весом и шарнирами в замке и у обеих пят, то есть трёхшарнирную арку. Равновесие моментов относительно пяты даёт H × стрела подъёма = вес полуарки × горизонтальное расстояние от пяты до её центра тяжести. Для полукруга радиусом a длина полуарки равна πa/2, центр тяжести удалён от центра окружности на 2a/π, стрела равна a. Получается H = (1 − 2/π) W = 0,363 Вт. У равносторонней стрельчатой арки того же пролёта каждую половину чертят радиусом 2a от противоположной пяты; стрела равна a√3, и то же уравнение даёт H = 0,200 Вт.

При значениях модели a = 7,2 м, эквивалентной каменной оболочке толщиной 0,35 м, удельном весе 22 кН на кубический метр и длине травеи 7 м круглый свод весит по 610 кН на сторону и даёт распор 222 кН. Стрельчатый длиннее и весит 813 кН, на треть больше, но распирает лишь с силой 162 кН. У более тяжёлого свода распор меньше на 27%. Если сосредоточить весь груз в замке, распор круглой арки равен половине нагрузки, а стрельчатой 0,289 нагрузки, на 42% меньше.

У стрельчатой арки есть второе преимущество: её высота не определяется только пролётом. Узкие и широкие арки могут подниматься одинаково высоко. Это упрощало перекрытие травей, которые не были квадратными.

Что происходит со стеной без поддержки

Отключите аркбутаны. Теперь стена сама воспринимает весь распор. В модели стена и столб объединены в сплошную полосу толщиной 1,5 м, длиной 2,2 м на травею и высотой 42,5 м. С крышей и сводом она давит на грунт силой 4018 кН.

Распор 162 кН на высоте 29,5 м создаёт у подошвы момент 4790 кН·м. Деление на вертикальную силу показывает, что линия давления проходит через подошву в 1,19 м от середины. Половина толщины всего 0,75 м: линия вышла из камня на 0,44 м. Камень не может тянуть грунт, поэтому блок поворачивается вокруг наружного края, а свод падает. Модель изображает наклон 9° и опускание свода.

Какая толщина нужна стене для самостоятельной устойчивости? При 1,94 м линия проходит по самому краю без запаса. Чтобы удержать её в средней трети и не допустить даже малого раскрытия швов, нужны 3,52 м. Уменьшите вес свода вдвое: стена толщиной 1,5 м едва устоит, линия окажется на 88% пути к грани. Поэтому романским церквям без аркбутанов требовались толстые стены и небольшие окна.

Аркбутан переносит распор через боковой неф

Аркбутан представляет собой полуарку, которая принимает распор близ верха стены и передаёт его над боковым нефом тяжёлой наружной опоре. В модели он примыкает к стене на 28,5 м, на метр ниже пяты, и опирается на контрфорс на 25 м. Его вес 137 кН.

Из-за собственного веса линия давления аркбутана не прямая. При распоре 162 кН и весе, распределённом по длине 6,65 м, она выгибается вверх и в середине на 0,70 м выше прямой хорды. Аркбутан очерчен вокруг неё: прямая наклонная верхняя грань и арочная нижняя. Линия остаётся в пределах 43% расстояния от середины до края. У стены он слегка толкает вверх силой 17 кН, на контрфорс давит вниз силой 154 кН.

С аркбутаном стена воспринимает лишь малый момент между пятой и верхним концом аркбутана, 162 кН на плече 1 м. Линия давления смещается на 0,04 м от центра, то есть на 11% пути к грани. Стене остаётся нести почти только собственный вес.

Зачем пинакль стоит на контрфорсе

Контрфорс имеет уступ: до высоты 16 м его глубина 4,2 м, выше 2,2 м. В каждом сечении линия давления должна оставаться внутри. Аркбутан приходит близко к верху, где мало камня над ним для поворота силы вниз. Линия стремится к наружной грани; худшее место находится сразу над уступом на 16 м.

Без пинакля линия пересекает это сечение в 2,30 м от внутренней грани. Верхний блок глубиной всего 2,2 м, поэтому линия снаружи и верх опрокидывается. Добавление пинакля 200 кН в 0,7 м от внутренней грани увеличивает вертикальную силу, не меняя горизонтальную. Равнодействующая становится круче, линия возвращается к 2,04 м, на 85% пути от середины к грани. Вес пинакля поворачивает линию вниз. Резной шпиль украшает, но камень под ним работает как балласт.

При полуциркульном своде тому же контрфорсу нужны сверху примерно 400 кН для устойчивости (97%). Если стрельчатый свод на 25% тяжелее, 200 кН уже мало (108%), а 400 кН возвращают линию к 88%.

Что добавляет ветер

Ветер давит на весь бок здания: крутую крышу, верхнюю стену и сами контрфорсы. Модель объединяет это в одну горизонтальную силу на травею. Давление движущегося воздуха равно половине плотности, умноженной на квадрат скорости, ½ × 1,25 кг/м³ × v². Оно действует на 210 м² крыши и стены одной травеи длиной 7 м, с коэффициентом 1,0 для совместного давления с одной стороны и отсоса с другой. При 30 м/с это 562 Па и 118 кН. При вдвое меньшей скорости 15 м/с получается 30 кН.

Куда уходит сила? В модели она достигает стены у пяты через жёсткий пояс заполненных пазух свода и целиком передаётся подветренной стороне. Её аркбутан несёт 162 кН распора свода плюс ветер, всего 281 кН при 30 м/с, и передаёт контрфорсу. Наветренная сторона остаётся как в безветрие. Это осторожное допущение: настоящий собор распределяет ветер между сторонами, а у многих есть второй, верхний ярус аркбутанов на уровне крыши.

Сам аркбутан не проблема: при 30 м/с его линия смещается с 43% на 56% пути к краю. Проблема в контрфорсе. В слабейшем сечении над уступом на 16 м линия пересекает грань при ветре свыше 14,2 м/с, а при 30 м/с достигает 148%. Контрфорс модели намеренно тонок и имеет малый запас в безветрие (85%), поэтому умеренного шторма достаточно для демонстрации. Пинакль 400 кН даёт 124%, всё ещё снаружи. Он же при глубине на 20% больше даёт 86%, а пинакль 300 кН при глубине на 30% больше даёт 80%.

Без аркбутанов ветер усиливает распор уже неустойчивой стены: её отношение растёт с 159% в безветрие до 210% при 20 м/с.

Сдвиг и увеличение глубины контрфорса

Ползунок «Глубина контрфорса» масштабирует обе части, исходно 4,2 м и 2,2 м. С глубиной растут вес и расстояние, доступное линии до наружной грани. Оба изменения полезны. При глубине 80% линия над уступом достигает 133% и контрфорс падает; нижний предел устойчивости около 93%. При 120% линия лишь на 58% пути к грани, а при 150% худшее сечение уже не у уступа, а близ верха, на 42%.

«Контрфорс наружу» отодвигает его от нефа максимум на 3 м, словно боковой неф стал шире. Сам контрфорс не меняется, его отношение остаётся 86%. Аркбутан удлиняется и весит уже 187 кН вместо 137 кН. Его линия изгибается сильнее и при сдвиге 3 м проходит на 84% пути к краю вместо 43%.

Как стены стали стеклянными

Когда аркбутаны принимают распор, стена между столбами несёт лишь себя и часть крыши. Ей не нужна толстая масса камня, поэтому можно делать проёмы. Каждое верхнее окно модели имеет ширину 4,4 м и стрельчатую вершину, давая 43,6 м² стекла на травею. Это 54% стены между столбами от подоконника до свода. Ниже идёт трифорий с малыми арками, ещё ниже аркада, открытая в боковой неф.

«Верхнее окно» меняет проём от ширины 2,4 м, площади 20,8 м² и 26% стены до 5,2 м, 54,0 м² и 67%. В последнем случае остаются почти одни полосы у столбов. Вместе с окном растёт каменный переплёт: средняя стойка, две малые стрельчатые арки и круглый четырёхлопастный окулюс. В модели стекло не меняет вес, поэтому силы неподвижны: с аркбутанами допустимо почти любое окно.

Проходящий свет ложится цветными пятнами на пол. «Время суток» перемещает солнце от утра к дню, а в высоком качестве между окном и полом видны слабые световые лучи.

Арки из настоящих камней

Свод первой сцены представляет тонкую арку с фиксированными шарнирами в замке и пятках. Реальные арки толсты, и их распор не задан заранее. Сцена «Формы арок» строит четыре арки пролётом 14,4 м из клинчатых камней со швами поперёк кривой и задаёт другой вопрос: существует ли линия давления, целиком остающаяся в камне?

Жак Хейман показал в 1966 году, что именно это главное для кладки. Камни считаются блоками, которые не передают растяжение, достаточно прочны против раздробления и не скользят. Если внутри арки можно провести хотя бы одну линию давления в равновесии с нагрузками, арка может стоять. Это теорема безопасности. Она не выбирает действительную линию: та зависит от осадок и трещин. Она утверждает устойчивость, пока такая линия существует.

Для каждой арки модель перебирает распор в замке и высоту пересечения замкового шва. На каждом шве моменты распора и веса между ним и замком определяют точку пересечения. Каждый шов ограничивает распор, поэтому допустимый диапазон находится точно. Рисуется линия с минимальным распором; в местах касания грани точка отмечает шарнир.

При толщине 1,0 м все четыре линии помещаются. Половина полуциркульной арки весит 249 кН на метр глубины и требует минимум 90 кН/м распора в замке. Стрельчатая арка из двух дуг радиусом 14,4 м со стрелой 12,47 м тяжелее, 332 кН/м, но требует только 64 кН/м. Позднеготическая четырёхцентровая арка с малыми дугами 3,6 м у пят и большими 14,4 м поднимается лишь на 4,93 м, весит 209 кН/м и требует 121 кН/м. Арка по цепной линии, со стрелой стрельчатой, требует 53 кН/м.

При уменьшении толщины арки теряют устойчивость по очереди. Ниже 0,774 м, то есть 0,1075 радиуса, в полукруге не помещается ни одна линия. Такое число Миланкович получил в 1907 году для полукруга с радиальными швами. На пределе линия касается внешней стороны в замке и у пят, внутренней примерно на 55 градусов ниже замка: пять шарниров превращают арку в механизм. Четырёхцентровая арка теряет устойчивость первой, при 0,785 м, стрельчатая при 0,61 м, а цепная остаётся почти до нуля, поскольку линия может идти по середине камня.

Нагрузка в замке, например башня или конёк, меняет порядок. При 200 кН/м сверху полукругу нужны 1,36 м, стрельчатой арке 0,99 м. Цепной, форма которой соответствовала только собственному весу, теперь нужны примерно 1,03 м. Стрельчатая арка хорошо подходит для неравномерных нагрузок от нервюр и засыпки.

От цилиндрического свода к веерному

Сцена «Своды» показывает шесть способов каменного перекрытия травеи квадратом 10 м с пятами на 9 м.

Цилиндрический свод представляет полуцилиндр. Он распирает по всей длине и требует сплошных толстых стен, оставляя мало места окнам. Крестовый образуется пересечением двух цилиндров под прямым углом. Рёбра пересечения собирают вес в четырёх углах, освобождая стены. В нервюрном своде сначала строят эти рёбра из камня на деревянных кружалах, затем тонкие распалубки между ними. Нервюры собирают нагрузку в четырёх точках, а стрельчатая форма уменьшает распор. При перестройке Сен-Дени аббатом Сугерием, с восточной частью хора около 1144 года, нервюрные своды сочетали с цветным стеклом.

Шестичастный свод перекрывает удвоенную травею с дополнительной средней поперечной нервюрой и шестью ячейками. Нагрузки неравны, поэтому мощные и слабые столбы чередуются. При восстановлении Бове после 1284 года новые средние столбы превратили четырёхчастные своды в шестичастные. Тьерсеронный свод добавляет рёбра от пят к коньковой нервюре; поля мельчают, свод похож на пальму. У веерного из каждой пяты вырастает каменный конус с рёбрами одинаковой кривизны на поверхности. Свод Джона Уэстелла в капелле Кингс-колледжа в Кембридже построен между 1512 и 1515 годами; капелла Богоматери Генриха Седьмого в Вестминстере, начатая в 1503 и завершённая в 1516, тоже имеет веерный потолок. Нажмите свод или передвиньте ползунок: оранжевые стрелки покажут, куда передаётся вес.

Прогулка по целому собору

Сцена «Весь собор» превращает травею в полный латинский крест, близкий к Амьену по масштабу: восемь травей нефа с боковыми проходами, средокрестие с деревянным шпилем, трансепт по три травеи с каждой стороны с розами на торцах, четыре прямые травеи хора, пятигранная апсида, обход и семь радиальных капелл. Модель имеет длину около 126 м, ширину с боковыми нефами 31 м, трансепт длиной 56 м. Сам Амьен по данным Centre des monuments nationaux имеет длину 145 м, объём около 200 000 м³ и свод на высоте 42,30 м.

Панель точек обзора переносит наверх, перед западным фасадом с тремя порталами, розой и двумя башнями, за дверь, в неф, под средокрестие, в хор и обход. Внутри камера на высоте глаз 1,7 м, перетаскивание поворачивает взгляд. Восьмиугольный лабиринт на полу повторяет Амьен, где путь имеет длину 234 м, а центральный камень положен в 1288 году. Цветной свет южных окон падает на пол вслед за солнцем.

Здание собрано из тех же частей, что и травея: стена, свод, столб и боковая травея с контрфорсом, пинаклем и аркбутаном повторяются одним вызовом отрисовки на каждый тип камня. «Вид изнутри» делает крыши прозрачными, показывая своды сверху.

Как возводили собор

«Стройплощадка» поднимает две травеи за шесть этапов. Сначала фундаменты роют до прочного грунта и заполняют бутом с раствором, столбы доводят до капителей аркады на 14 м. Затем арки собирают на деревянных кружалах, держащих камни до установки замка. Стойки лесов связывают, в гнёзда стены вставляют короткие поперечины под настил.

При возведении верхних стен камни поднимает кран с топчаком: рабочий идёт внутри большого колеса, вращая ось, которая наматывает канат. История Беверли-Минстер описывает такой кран над сводом центральной башни: человек в колесе поднимал материалы в подкровелье. Нажмите пуск: колесо модели вращается и блок поднимается.

Крышу ставили до высокого свода, чтобы строить под укрытием и сохранять свежий раствор сухим. В капелле Кингс-колледжа к 1512 году всё здание покрыли деревом и свинцом, а свод под ним завершили к 1515. Сначала на подвешенных к стенам кружалах ставили нервюры, камни резали по шаблонам для встречи в замке. Затем заполняли распалубки, после схватывания раствора опускали кружала и переносили дальше. В наземной мастерской стоят каменотёсный верстак, киянка, зубила, угольник, циркуль и шаблон.

Леса могли оставаться надолго. Внутри шпиля Солсбери до сих пор есть деревянные леса, установленные для усиления после сильной бури 1360 года.

Бове: свод, который упал

Бове начали в 1225 году как самую высокую церковь. Association Beauvais Cathédrale указывает высоту хора 46,7 м; Mapping Gothic France около 46,5 м, а исследование 2025 года в Heritage даёт 48 м. Хор использовался в 1272 году. 29 ноября 1284 часть свода упала, увлекая верхние стены и аркбутаны. Ремонт закончили около 1347: в середине каждой прямой травеи появился новый тонкий столб, 3 травеи стали 6, своды шестичастными. Трансепт начали с 1500 года, а вместо нефа над средокрестием поставили световую башню со шпилем. Она завершена в 1569 году на высоте около 150 м и упала через четыре года. Неф остался одной травеей.

Причина спорна, как показывает обзор Heritage 2025 года. Пауль Франкль винил фундаменты. Жак Хейман считал сооружение устойчивым под собственным весом, как оно и стояло двенадцать лет, и искал малую местную причину. В 1976 году Мори Вулф и Роберт Марк на фотоупругой модели предположили, что знакопеременные ветровые нагрузки раскололи тонкий промежуточный столб системы контрфорсов; они первыми признали ветер решающим фактором. Стивен Мюррей указал на несогласованность конструкции и травею шире 15 м, Марио Комо на медленную потерю устойчивости столбов из-за ползучести.

Сцена Бове применяет статику травеи к более высоким и тонким пропорциям: замок 46,7 м, пята 34,1 м, толщина стены 1,25 м, глубина контрфорса 5,0 м и 3,0 м, пинакль 250 кН, травея 9 м для 1272 года. Это модельные значения, выбранные для устойчивости в безветрие. Полусвод весит 1060 кН и даёт распор 212 кН на ось столбов, худший участок на 74%. Усиление ветра обрушивает хор 1272 года при 20,5 м/с; при 25 м/с линия достигает 113% и средняя травея падает. После перестройки средний столб в каждой травее вдвое сокращает долю свода на ось, распор равен 106 кН, и та же система стоит до 45,8 м/с. При 30 м/с она на 62%. Модель не доказывает ход событий 1284 года, но показывает разумность разделения травей независимо от причины.

Как делали витраж

Большая часть знаний о средневековом стеклоделии восходит к монаху 12 века, называвшему себя Теофилом и написавшему On Diverse Arts. Стекло делали из песка и древесной золы, окрашивали металлами в расплаве, выдували цилиндрами или вращали в диски, затем расправляли в листы. Красное было слишком тёмным, поэтому обычно тонкий красный слой накладывали на прозрачное стекло: это накладное стекло.

Сцена «Витраж» разбирает стрельчатое окно по ходу изготовления. Сначала его рисовали в полный размер на деревянном столе, покрытом мелом или побелкой; буква обозначала цвет каждого фрагмента. До распространения бумаги около 1400 года стол был единственным рисунком. Горячим железом откалывали фрагменты, а металлическим крючком для обкусывания кромок придавали форму. Лица и складки писали тёмной стекловидной краской и обжигали в печи, сплавляя её со стеклом. Детали снова раскладывали на том же столе, вставляли в Н-образные свинцовые профили, спаивали стыки и втирали под свинец замазку от дождя. Наконец панели вешали на заделанные в камень железные стержни, закрепляя припаянными свинцовыми связями. Горизонтальные стержни несут вес и усиливают окно против ветра.

Окно модели шириной 2 м имеет четыре квадратные панели и стрельчатую вершину: всего 106 фрагментов, 81 м свинца и 83 паяных соединения трёх и более полос. В Шартре стекло покрывает 2500 м² и показывает более 3500 фигур. В парижской Сент-Шапель, построенной для Людовика Девятого менее чем за 7 лет, 15 окон высотой 15 м содержат 1113 сцен.

Высота настоящих соборов

Два графика под управлением показывают гонку высот. По своду: Шартр, перестроенный после пожара 1194 года, достигает 37 м, а его неф пролётом 16,4 м самый широкий готический. Реймс, начатый в 1211, около 38 м; Амьен, начатый в 1220, 42,30 м; Бове, начатый в 1225, 46,7 м, единственный в графике, не сохранившийся как построен. Неф Вестминстерского аббатства, завершённый в 1517, имеет самый высокий готический свод Англии, 31 м. Кёльн, начатый в 1248 и завершённый в 1880, достигает в центральных нефах 43,35 м.

По башням и шпилям гонка шла дольше. Линкольн с башней и шпилем 1311 года достиг 160 м и оставался высочайшим зданием мира 238 лет. Шпиль Солсбери, добавленный примерно с 1300 по 1329 год, имеет 123 м и ныне самый высокий в Англии. Южную башню Вены закончили в 1433 на 136,4 м, шпиль Страсбурга в 1439 на 142 м. Бове снова попытался в 1569 с высотой около 150 м и потерял башню в 1573. Башни Кёльна 157,22 м завершены в 1880, главная башня Ульма 161,53 м в 1890. 30 октября 2025 центральная башня Саграда Фамилия в Барселоне достигла 162,91 м и превзошла Ульм. Восстановленный шпиль Нотр-Дам-де-Пари, с золотым петухом, установленным 16 декабря 2023, находится примерно на 96 м над землёй.

Где модель проще настоящего собора

• Свод считается плоской аркой. Реальный нервюрный свод несёт нагрузку в трёх измерениях и собирает её по углам травеи.
• Распор задан шарнирами в замке и пятках. Реальный свод стоит при некотором диапазоне распоров, как в сцене арок; фактический зависит от трещин и осадок.
• Засыпка над пазухами показана, но не считается. Реальная добавляет вес внизу и направляет распор.
• Ветер представлен одной силой на травею у пяты, полностью принятой подветренной стороной. Реальные соборы делят её между сторонами и часто имеют верхние аркбутаны.
• Боковые своды тоже давят внутрь на столбы нефа и наружу на контрфорсы. Они не учитываются.
• Стена и столб составляют одну полосу, контрфорс два прямоугольных блока. Реальные столбы имеют колонки, проходы и лестницы.
• Размер окон не меняет вес.
• Кладка считается жёсткой, без растяжения, дробления и скольжения. Камень и раствор ползут и оседают.
• Весь собор, стройка, хор Бове и окно построены в пропорциях травеи, а не по обмерам здания.

Как проверены числа

Ручной расчёт подтверждает формулы H = 0,363 Вт и H = 0,200 Вт, веса полусводов, эксцентриситет стены H × 29,5 / N, толщину с линией на краю, сумму опорных реакций аркбутана, равную его весу, сечение контрфорса над уступом с пинаклем и без, площадь окна как прямоугольник со стрельчатой равносторонней вершиной. Также проверены ветер ½ × 1,25 × 30² × 210 = 118 кН, сечение с ветром, минимальная толщина полукруга по 0,1075 Миланковича и шарнир около 54,5 градуса, нахождение линии в каждом шве, отсутствие подходящего меньшего распора, моменты полуарки относительно пяты с нагрузкой в замке и без неё, касательное сопряжение дуг четырёхцентровой арки, веса углублённого контрфорса и удлинённого аркбутана и уменьшение распора вдвое при делении травеи Бове пополам. Все 68 ручных расчётов совпадают в пределах долей процента.