Arbotantes y contrafuertes: cómo sostienen una catedral

Qué muestra el modelo

Los arbotantes y contrafuertes sostienen una catedral gótica al conducir hasta el suelo el empuje lateral de su bóveda: en este modelo permiten una clave a 42 m del suelo. Desde la nave de una gran catedral francesa, el techo de piedra parece más alto que un edificio de diez plantas, aunque los muros que lo sostienen son casi todo vidrio coloreado. El vidrio no puede sostener una cubierta de piedra; el trabajo lo hacen los medios arcos exteriores, que se apoyan en el edificio como los remos de una barca.

La primera escena es una sección de tres tramos de una nave del gótico pleno, cortada por un pilar delantero para mostrar toda su anchura. En el centro está la nave con su bóveda de crucería. A cada lado hay una nave lateral más baja y, fuera de ellas, contrafuertes con pináculos. Los arbotantes saltan desde los contrafuertes sobre las cubiertas laterales hasta lo alto del muro de la nave. Las proporciones se aproximan a Amiens: 14,4 m entre ejes de pilares, arranque de la bóveda a 29,5 m y clave a 42 m. No son un levantamiento de ningún edificio concreto.

La línea verde es la línea de empujes, el camino que sigue la fuerza de la bóveda por la piedra hasta el suelo. El panel de la esquina indica las fuerzas de un lado de un tramo. Los deslizadores cambian el peso de bóveda y pináculo, el viento, la profundidad y posición del contrafuerte y la anchura de las ventanas del claristorio; los interruptores retiran los arbotantes o convierten la bóveda apuntada en una de medio punto. Cuando la línea sale de la piedra, se vuelve roja y la pieza afectada vuelca. Pulsa cualquier pieza para leer su explicación.

La barra superior contiene otras seis escenas. Puedes recorrer la catedral completa desde la puerta oeste hasta la girola. Seis bóvedas aparecen juntas, desde la de cañón hasta la de abanico. Cuatro arcos de dovelas reales muestran qué espesor necesita cada forma. Una obra explica el orden de construcción; un modelo del coro de Beauvais muestra cómo cayó la bóveda más alta de la Edad Media; y una vidriera se desmonta en piezas, perfiles de plomo y barras de hierro. Bajo los controles hay siete tareas, un gráfico de la carrera por la altura, los cálculos del tramo y 37 catedrales y acontecimientos con sus fuentes.

Por qué una bóveda de piedra empuja hacia fuera

La piedra resiste bien la compresión y mal la tracción. Una bóveda de piedras y mortero solo puede soportar su peso apretando unas piedras contra otras, por lo que la fuerza sigue la curva y sale inclinada por abajo. Esa fuerza tiene dos componentes. La vertical es el peso de la bóveda. La horizontal, llamada empuje, desplaza hacia fuera la parte alta del muro.

Coloca una tabla larga sobre dos sillas: estas solo reciben su peso. Apoya dos tablas entre sí como una tienda de campaña y sus pies se separan si nada los detiene. Una bóveda se comporta como esa tienda. En el modelo, un lado de un tramo pesa 813 kN, aproximadamente el peso de 83 toneladas, y empuja lateralmente con 162 kN. El empuje actúa a 29,5 m del suelo, con un brazo de palanca largo para volcar el muro.

Por qué un arco apuntado empuja menos que uno de medio punto

Las iglesias románicas anteriores al gótico usaban sobre todo arcos de medio punto, semicirculares. Los constructores góticos trazaron arcos con dos curvas que se encuentran en punta. Para la misma luz, un arco apuntado alcanza mayor altura; un arco alto empuja menos lateralmente que uno rebajado, igual que una tienda muy inclinada empuja menos sus piquetas que una baja.

Considera la bóveda como un arco con peso repartido uniformemente por su curva y articulaciones en la clave y ambos arranques, un arco triarticulado. El empuje se obtiene de una ecuación de momentos respecto al arranque: H × flecha = peso del semiarco × distancia horizontal del arranque a su centro de gravedad. Para un semicírculo de radio a, el semiarco mide πa/2, su centro de gravedad está a 2a/π del centro y la flecha es a; de ahí H = (1 − 2/π) W = 0,363 W. Para un arco apuntado equilátero de la misma luz, cada mitad trazada con radio 2a desde el arranque opuesto, la flecha es a√3 y la misma ecuación da H = 0,200 W.

Con los valores del modelo (a = 7,2 m, lámina de piedra equivalente a 0,35 m de espesor, 22 kN por metro cúbico y tramo de 7 m), la bóveda de medio punto pesa 610 kN por lado y empuja con 222 kN. La apuntada es más larga y pesa 813 kN, un tercio más, pero empuja solo con 162 kN. Es un 27% menos de empuje con una bóveda más pesada. Si toda la carga estuviera en la clave, el arco de medio punto empujaría con la mitad de ella y el apuntado con 0,289, un 42% menos.

El arco apuntado tiene otra ventaja. Su altura no depende de su luz, por lo que un arco estrecho y uno ancho pueden alcanzar la misma altura. Así resultaba mucho más fácil cubrir tramos no cuadrados.

Qué ocurre con un muro sin apoyo

Desactiva los arbotantes. Ahora el muro debe resistir todo el empuje de la bóveda. En el modelo, muro y pilar se agrupan en una franja maciza de 1,5 m de espesor y 2,2 m de longitud por tramo, hasta 42,5 m de altura. Con cubierta y bóveda encima, presiona el suelo con 4018 kN.

El empuje de 162 kN a 29,5 m genera un momento de 4790 kN·m en la base. Al dividirlo por la fuerza vertical, la línea de empujes cruza la base a 1,19 m del centro del muro. La mitad del espesor es solo 0,75 m, así que la línea sale de la piedra 0,44 m. Un bloque de piedra no puede tirar del suelo: gira sobre su borde exterior y la bóveda cae. El modelo representa esto con una inclinación de 9° y una bóveda que baja.

¿Qué espesor necesitaría el muro para sostenerse solo? Al resolver el equilibrio de la base, la línea queda justo en el borde con 1,94 m, sin margen alguno. Para mantenerla en el tercio central, sin que se abra ligeramente ninguna junta, hacen falta 3,52 m. Reduce a la mitad el peso de la bóveda y el muro de 1,5 m apenas se mantiene, con la línea al 88% del recorrido hacia la cara. Por eso las iglesias románicas sin arbotantes necesitaban muros gruesos y ventanas pequeñas.

El arbotante lleva el empuje sobre la nave lateral

Un arbotante es un medio arco que recoge el empuje cerca de lo alto del muro y lo lleva sobre la nave lateral hasta un pilar pesado exterior. En el modelo llega al muro a 28,5 m, un metro por debajo del arranque, y desemboca en el contrafuerte a 25 m. Pesa 137 kN.

Como tiene peso propio, su línea de empujes no es recta. Con 162 kN de empuje y su peso repartido sobre 6,65 m de longitud, la línea se curva hacia arriba y alcanza 0,70 m sobre la cuerda recta en el centro. La forma del arbotante contiene esa curva: cara superior recta e inclinada y cara inferior arqueada. La línea queda dentro del 43% del recorrido desde el centro del arbotante a su borde. En el extremo del muro empuja ligeramente hacia arriba, con 17 kN; en el contrafuerte presiona hacia abajo con 154 kN.

Con el arbotante instalado, el muro solo recibe el pequeño momento entre el arranque y la cabeza del arbotante, 162 kN por 1 m. Su línea de empujes pasa a 0,04 m del centro, el 11% del recorrido hacia la cara. El muro queda soportando poco más que su propio peso.

Por qué el pináculo está sobre el contrafuerte

El contrafuerte es un bloque escalonado de 4,2 m de profundidad hasta 16 m y 2,2 m por encima. Todas sus secciones deben contener la línea de empujes. El arbotante llega cerca de la parte superior, donde hay poca piedra encima para dirigir el empuje hacia abajo, por lo que la línea avanza hacia la cara exterior. El punto más desfavorable está justo encima del escalón de 16 m.

Sin pináculo, la línea cruza esa sección a 2,30 m de la cara interior. El bloque superior tiene solo 2,2 m de profundidad: la línea queda fuera y la parte alta vuelca. Añade un pináculo de 200 kN a 0,7 m de la cara interior: aumenta la fuerza vertical y el empuje horizontal no cambia. La resultante se hace más inclinada y la línea vuelve a 2,04 m, el 85% del recorrido del centro a la cara. Para eso sirve el pináculo: su peso dobla la línea hacia abajo. La aguja tallada es decorativa, pero la piedra inferior es lastre.

Convierte la bóveda en semicircular y el mismo contrafuerte necesita unos 400 kN encima para sostenerse (97%). Aumenta un 25% el peso de la bóveda apuntada y 200 kN ya no bastan (108%), mientras que 400 kN devuelven la línea al 88%.

Qué añade el viento

El viento empuja todo el costado del edificio: cubierta inclinada, claristorio y contrafuertes. El modelo lo convierte en una fuerza lateral por tramo. La presión del aire es la mitad de su densidad por el cuadrado de la velocidad, ½ × 1,25 kg/m³ × v². Actúa sobre 210 m² de cubierta y muro por tramo de 7 m, con coeficiente de presión de 1,0 para el empuje de un lado y la succión del otro juntos. A 30 m/s son 562 Pa y 118 kN. A 15 m/s, la mitad de velocidad, son 30 kN.

¿Adónde va esa fuerza? En el modelo llega al muro a la altura del arranque, por la banda rígida de los riñones rellenos de la bóveda, y pasa entera al lado opuesto al viento. El arbotante de sotavento transmite los 162 kN de la bóveda más el viento, 281 kN a 30 m/s, hasta su contrafuerte. El lado de barlovento queda como con aire en calma. Es una elección prudente: una catedral real reparte el viento entre ambos lados y muchas tienen un segundo nivel superior de arbotantes a la altura de la cubierta.

El problema no es el arbotante. Su línea pasa del 43% al 56% del recorrido hacia el borde a 30 m/s. El problema es el contrafuerte. En su sección más débil, justo sobre el escalón de 16 m, la línea cruza la cara al superar 14,2 m/s y llega al 148% a 30 m/s. El contrafuerte se diseñó esbelto, con poco margen en calma (85%), de modo que basta un temporal moderado para mostrar el efecto. Dos cambios lo estabilizan. Un pináculo de 400 kN solo deja la línea al 124%, aún fuera. Con ese pináculo y un contrafuerte un 20% más profundo llega al 86%; con uno de 300 kN y un 30% más de profundidad llega al 80%.

Retira los arbotantes y el viento se suma al empuje de la bóveda sobre un muro que ya fallaba: su proporción pasa del 159% en calma al 210% a 20 m/s.

Desplazar el contrafuerte o hacerlo más profundo

El deslizador «Profundidad del contrafuerte» escala sus dos niveles, originalmente de 4,2 m y 2,2 m. Su peso aumenta con la profundidad, y también la distancia que puede recorrer la línea antes de alcanzar la cara exterior. Ambas cosas ayudan. Al 80% de profundidad, la línea llega al 133% en el escalón y el contrafuerte vuelca; se sostiene hasta cerca del 93% de profundidad. Al 120%, la línea está solo al 58% del recorrido hacia la cara; al 150%, la sección más desfavorable ya no está en el escalón sino cerca de arriba, al 42%.

«Contrafuerte desplazado» lo aleja hasta 3 m más de la nave, como si la nave lateral fuera más ancha. El contrafuerte no cambia y su proporción se mantiene en el 86%. El arbotante debe llegar más lejos: pesa 187 kN en lugar de 137 kN, su línea se curva más y, a 3 m, alcanza el 84% del recorrido hacia el borde en vez del 43%.

Cómo los muros se convirtieron en vidrio

Cuando los arbotantes absorben el empuje, el muro entre dos pilares solo soporta su peso y parte de la cubierta. Ya no necesita ser una masa gruesa de piedra y se puede vaciar. En el modelo, cada ventana apuntada del claristorio tiene 4,4 m de ancho y 43,6 m² de vidrio por tramo, el 54% de la cara del muro entre pilares desde el alféizar hasta la bóveda. Debajo, el triforio es una fila de arcos pequeños, y la arquería inferior se abre a la nave lateral.

El deslizador «Ventana del claristorio» cambia la anchura del hueco de 2,4 m, 20,8 m² y el 26% del muro, hasta 5,2 m, 54,0 m² y el 67%, cuando apenas quedan las franjas de los pilares. Su tracería, un parteluz central, dos arcos apuntados pequeños y un óculo redondo con cuatro lóbulos, crece con él. El vidrio no cambia ningún peso en el modelo, así que las fuerzas no se mueven: con arbotantes puede abrirse casi cualquier ventana.

La luz llega al suelo formando manchas de colores. «Hora del día» mueve el sol de la mañana a la tarde; en calidad alta, tenues haces de luz quedan suspendidos entre la ventana y el suelo.

Arcos de piedras reales

La primera escena representa la bóveda como un arco delgado con articulaciones fijas en clave y arranques. Los arcos reales son gruesos y su empuje no está fijado. Formas de arco construye cuatro arcos sobre la misma luz de 14,4 m con dovelas, bloques en cuña cuyas juntas son perpendiculares a la curva, y pregunta algo distinto: ¿existe alguna línea de empujes que permanezca dentro de la piedra?

Jacques Heyman mostró en 1966 que esa es la pregunta importante para la fábrica de piedra. Considera bloques sin resistencia a tracción, suficientemente resistentes para no aplastarse y que no deslizan. Si puede trazarse dentro del arco alguna línea de empujes en equilibrio con las cargas, el arco puede sostenerse. Es el teorema de la seguridad. No dice qué línea utiliza realmente el arco, pues eso depende de asientos y grietas, sino que es seguro mientras exista una.

Para cada arco, el modelo busca todos los empujes en clave y todas las alturas de cruce de su junta. En cada junta, el momento del empuje en clave y del peso intermedio fija el punto de paso de la línea. Cada junta impone un límite al empuje, por lo que el intervalo admisible se obtiene exactamente. Se dibuja la línea de empuje mínimo. Un punto marca una articulación allí donde toca una cara.

Con 1,0 m de espesor caben líneas en los cuatro arcos. La mitad del arco de medio punto pesa 249 kN por metro de profundidad y necesita al menos 90 kN/m de empuje en clave. El apuntado, dos arcos de radio 14,4 m con flecha de 12,47 m, pesa más, 332 kN/m, pero solo necesita 64 kN/m. El de cuatro centros del gótico tardío, dos arcos de 3,6 m en los arranques y dos de 14,4 m, tiene flecha de 4,93 m, pesa 209 kN/m y necesita 121 kN/m. La catenaria, forma de una cadena colgante trazada con la flecha del apuntado, necesita 53 kN/m.

Reduce el espesor y fallan uno tras otro. El de medio punto no admite ninguna línea por debajo de 0,774 m, es decir, 0,1075 de su radio. Es la cifra hallada por Milankovitch en 1907 para un semicírculo con juntas radiales. En ese límite, la línea toca el exterior en la clave y los arranques y el interior unos 55 grados por debajo de la clave: cinco articulaciones, suficientes para convertir el arco en un mecanismo. El de cuatro centros falla primero, a 0,785 m; el apuntado, a 0,61 m; la catenaria llega casi a cero porque su línea puede seguir el centro de la piedra.

Una carga en clave, una torre o una cumbrera cambia el orden. Con 200 kN/m encima, el de medio punto necesita 1,36 m y el apuntado 0,99 m; la catenaria, adecuada solo para su peso propio, necesita ahora unos 1,03 m. Un arco apuntado es un buen compromiso para cargas no uniformes, como las de una bóveda con nervios y relleno.

De la bóveda de cañón a la de abanico

Bóvedas presenta seis maneras de cubrir un tramo con piedra, cada uno cuadrado de 10 m de lado y arranque a 9 m.

La bóveda de cañón es un medio cilindro. Empuja a lo largo de toda su longitud y necesita muros gruesos continuos, con poco espacio para ventanas. La de arista cruza dos cañones en ángulo recto; las aristas concentran el peso y lo llevan a las cuatro esquinas, permitiendo abrir los muros intermedios. La de crucería construye primero esos encuentros con nervios de piedra sobre cimbras y coloca plementos delgados entre ellos. Los nervios llevan la carga a cuatro puntos y el perfil apuntado reduce el empuje exterior. La reconstrucción de Saint-Denis por el abad Suger, con cabecera de hacia 1144, combinó bóvedas de crucería y vidrio coloreado.

La sexpartita cubre un tramo doble con un nervio transversal central adicional que forma seis celdas. Las cargas desiguales hacen alternar pilares fuertes y débiles por la nave. Al reconstruir Beauvais después de 1284, los pilares centrales nuevos convirtieron las bóvedas cuatripartitas en sexpartitas. La de terceletes añade nervios desde cada arranque a un nervio de cumbrera; los plementos se reducen y parece una palmera. La de abanico forma conos de piedra desde cada arranque, con nervios de igual curva tallados en su superficie. La bóveda de John Wastell en la capilla de King's College, Cambridge, se construyó entre 1512 y 1515; la capilla de la Virgen de Enrique Séptimo en Westminster, iniciada en 1503 y terminada en 1516, tiene techo de abanico. Pulsa una bóveda o mueve «Bóveda»: las flechas naranjas indican por dónde baja el peso.

Recorrer la catedral completa

Catedral completa sitúa el tramo en una cruz latina de tamaño próximo a Amiens: ocho tramos de nave con naves laterales, crucero con aguja de madera, transepto de tres tramos a cada lado con rosetones en sus extremos, cuatro tramos rectos de coro, ábside pentagonal, girola y siete capillas radiales. El modelo mide unos 126 m de largo y 31 m de ancho entre naves laterales; el transepto mide 56 m. Amiens tiene 145 m de longitud, unos 200 000 m³ y bóveda a 42,30 m del suelo, según el Centre des monuments nationaux.

La barra de posiciones permite situarte arriba, ante la fachada oeste con sus tres portadas, rosetón y dos torres, tras la puerta, en la nave, bajo el crucero, en el coro y en la girola. Dentro, la cámara está a la altura de los ojos, 1,7 m, y se gira arrastrando. El suelo tiene un laberinto octogonal inspirado en Amiens, cuyo recorrido mide 234 m y cuya piedra central se colocó en 1288. La luz coloreada del claristorio sur cae al suelo y sigue al sol.

El edificio repite las piezas del tramo: un alzado, una bóveda, un pilar y un tramo lateral con contrafuerte, pináculo y arbotante, con una sola llamada de dibujo por tipo de piedra. «Ver el interior» vuelve transparentes las cubiertas para observar las bóvedas desde arriba.

Cómo se construía una catedral

Obra levanta dos tramos en seis fases. Primero se excavan cimientos hasta terreno firme y se rellenan con mampuestos y mortero; los pilares suben hasta los capiteles de la arquería, a 14 m. Después se construyen sus arcos sobre cimbras de madera, armazones que sostienen las piedras hasta colocar la clave. Se atan los postes del andamio y se meten travesaños cortos en los mechinales dejados en el muro para sostener los tablones.

Al subir los muros superiores se elevan las piedras con una grúa de rueda: una persona camina dentro de una gran rueda y gira el eje que enrolla la cuerda. En Beverley Minster se instaló una sobre la bóveda de la torre central; alguien caminaba dentro para subir materiales hasta la cubierta, según la historia de la propia iglesia. Pulsa reproducir y girará la rueda del modelo mientras sube un bloque.

La cubierta se colocaba antes que la bóveda alta para construirla a cubierto y mantener seco el mortero fresco. En King's College, Cambridge, en 1512 todo el edificio tenía cubierta de madera y plomo; la bóveda de abanico inferior estaba terminada en 1515. Primero se colocaban los nervios sobre cimbras suspendidas de los muros, tallando cada piedra con una plantilla para hacer confluir las curvas en la clave. Después se rellenaban los plementos; al fraguar el mortero, se bajaban las cimbras y se trasladaban al tramo siguiente. El taller del cantero guarda el banco donde se labra el bloque, con maza, cinceles, escuadra, compases y plantilla.

Los andamios podían permanecer mucho tiempo. Dentro de la aguja de Salisbury aún está el andamiaje de madera colocado para reforzarla tras una fuerte tormenta en 1360.

Beauvais: la bóveda que cayó

Beauvais se inició en 1225 para ser la iglesia más alta. La Association Beauvais Cathédrale da 46,7 m para la bóveda del coro; Mapping Gothic France indica unos 46,5 m, y un estudio de 2025 en Heritage da 48 m. El coro se utilizaba en 1272. El 29 de noviembre de 1284 cayó parte de la bóveda, arrastrando muros superiores y arbotantes. Las reparaciones terminaron hacia 1347: un pilar nuevo más estrecho dividió cada tramo recto, de modo que 3 pasaron a ser 6 y las bóvedas, sexpartitas. El transepto siguió desde 1500 y, en vez de una nave, se levantó una torre linterna con aguja sobre el crucero. Terminó en 1569 con unos 150 m y cayó cuatro años después. La nave nunca pasó de un tramo.

La causa sigue en debate, como expone una revisión de 2025 en Heritage. Paul Frankl culpó a los cimientos. Jacques Heyman encontró estable la estructura bajo su peso, como lo había sido durante doce años, y buscó un desencadenante local pequeño. En 1976 Maury Wolfe y Robert Mark propusieron con un modelo fotoelástico que las cargas alternas del viento agrietaron un pilar intermedio esbelto del sistema de contrafuertes; fueron los primeros en hacer decisivo el viento. Stephen Murray señaló incoherencias constructivas y un tramo especialmente ancho de más de 15 m; Mario Como, el pandeo lento por fluencia de los pilares.

La escena Beauvais usa la estática del tramo con proporciones más altas y delgadas: clave a 46,7 m, arranque a 34,1 m, franja de muro de 1,25 m, contrafuertes de 5,0 m y 3,0 m con pináculos de 250 kN y tramo de 9 m para 1272. Son valores del modelo elegidos para sostener el coro en calma. Media bóveda pesa 1060 kN y empuja con 212 kN por línea de pilares; la peor parte está al 74%. Al subir el viento, el coro de 1272 cede a 20,5 m/s; a 25 m/s la línea llega al 113% y cae el tramo central. Cambia al coro reconstruido: cada línea de pilares soporta media carga de bóveda, 106 kN, y la estructura resiste hasta 45,8 m/s. A 30 m/s queda al 62%. El modelo no demuestra qué pasó en 1284; explica por qué dividir los tramos fue una reparación razonable cualquiera que fuera la causa.

Cómo se fabrica una vidriera

Gran parte de lo que sabemos procede de un monje del siglo XII que se llamaba Theophilus y escribió On Diverse Arts. El vidrio se fabricaba con arena y ceniza de madera, se coloreaba con metales en fusión y se soplaba en cilindros o se hacía girar en discos antes de aplanarlo en láminas. El rojo era tan oscuro que solía aplicarse como una capa fina sobre vidrio transparente, técnica del vidrio plaqué.

Vidriera desmonta una lanceta siguiendo su fabricación. Primero se dibujaba la ventana a tamaño natural sobre una mesa de madera con tiza o cal, con una letra para el color de cada pieza; hasta generalizarse el papel hacia 1400, ese era el único dibujo. Cada pieza se separaba con un hierro caliente y se ajustaba con un grujidor, gancho metálico en el que se introducía el borde. Los rostros y pliegues se pintaban con pintura vítrea oscura y se cocían para fundirla con el vidrio. Las piezas volvían a la misma mesa y se encajaban en perfiles de plomo en H. Se soldaban las uniones y se introducía masilla bajo el plomo contra la lluvia. Finalmente se colgaban los paneles de barras de hierro empotradas en la piedra, sujetos por ataduras de plomo soldadas; las barras horizontales soportan el peso y rigidizan la ventana frente al viento.

La ventana del modelo mide 2 m de ancho: cuatro paneles cuadrados y una cabeza apuntada, 106 piezas en total, con 81 m de plomo y 83 uniones soldadas donde confluyen tres o más perfiles. En Chartres, el vidrio cubre 2500 m² y representa más de 3500 figuras. En la Sainte-Chapelle de París, construida para Luis Noveno en menos de 7 años, 15 ventanas de 15 m muestran 1113 escenas.

Qué altura tienen las catedrales reales

Bajo los controles aparecen dos gráficos de la carrera por la altura. Por bóveda: Chartres, reconstruida tras el incendio de 1194, alcanza 37 m y tiene 16,4 m de luz, la nave gótica más ancha; Reims, iniciada en 1211, unos 38 m; Amiens, iniciada en 1220, 42,30 m; Beauvais, iniciada en 1225, 46,7 m, la única que no sobrevivió tal como se construyó. La nave de Westminster, terminada en 1517, tiene la bóveda gótica más alta de Inglaterra, 31 m. Colonia, iniciada en 1248 y terminada en 1880, llega a 43,35 m en sus naves centrales.

La carrera de torres y agujas duró más. Lincoln alcanzó 160 m en 1311 y fue el edificio más alto del mundo durante 238 años. Salisbury añadió su aguja entre aproximadamente 1300 y 1329: tiene 123 m y hoy es la más alta de Inglaterra. La torre sur de Viena se terminó en 1433 con 136,4 m; la aguja de Estrasburgo, en 1439 con 142 m. Beauvais lo intentó en 1569 con unos 150 m y perdió su torre en 1573. Las torres de Colonia, 157,22 m, se terminaron en 1880; la principal de Ulm, 161,53 m, en 1890. El 30 de octubre de 2025, la torre central de la Sagrada Família de Barcelona alcanzó 162,91 m y superó a Ulm. La aguja reconstruida de Notre-Dame de Paris, coronada con su gallo dorado el 16 de diciembre de 2023, se eleva unos 96 m.

En qué simplifica el modelo una catedral real

• La bóveda se trata como un arco plano. Una bóveda real de crucería es una lámina que transmite cargas en tres dimensiones y las concentra en las esquinas del tramo.
• El empuje del tramo queda fijado por articulaciones en clave y arranques. Una bóveda real admite un intervalo de empujes, como muestra la escena de arcos; el real depende de grietas y asientos.
• El relleno sobre los riñones se dibuja pero no se cuenta. El real añade peso abajo y ayuda a dirigir el empuje.
• El viento es una fuerza por tramo en el arranque, absorbida entera a sotavento. Las catedrales reales lo reparten entre ambos lados y muchas tienen arbotantes superiores para él.
• Las bóvedas laterales también empujan, hacia dentro sobre el pilar de la nave y hacia fuera sobre el contrafuerte. Se ignoran.
• Muro y pilar forman una franja maciza y el contrafuerte dos bloques rectangulares. Los pilares reales tienen fustes, pasillos y escaleras.
• El tamaño de las ventanas no cambia los pesos.
• La fábrica se considera rígida, sin tracción, aplastamiento ni deslizamiento. La piedra y el mortero reales presentan fluencia y asientos.
• Catedral completa, obra, coro de Beauvais y vidriera son modelos proporcionados a partir del tramo, no levantamientos de edificios.

Cómo se comprobaron las cifras

Los cálculos manuales de estática coinciden en las expresiones H = 0,363 W y H = 0,200 W, los pesos de las dos semibóvedas, la excentricidad del muro H × 29,5 / N, el espesor que sitúa la línea en el borde, la suma de reacciones del arbotante igual a su peso, la sección del contrafuerte en el escalón con y sin pináculo y el área de ventana como rectángulo más cabeza apuntada equilátera. También se comprobaron la fuerza del viento ½ × 1,25 × 30² × 210 = 118 kN, la sección del escalón con viento, el espesor mínimo semicircular frente al 0,1075 de Milankovitch y la articulación cerca de 54,5 grados, que todas las juntas contienen su línea y que no cabe un empuje menor, el equilibrio de momentos del semiarco respecto al arranque con y sin carga en clave, la tangencia de los arcos de cuatro centros, los pesos de un contrafuerte más profundo y un arbotante más largo, y que reducir a la mitad el tramo de Beauvais reduce a la mitad el empuje por línea de pilares. Los 68 cálculos manuales coinciden dentro de una fracción de un punto porcentual.