كيف تبقى الكاتدرائية القوطية قائمة بالدعامات الطائرة

ما الذي يعرضه النموذج

كيف تبقى الكاتدرائية القوطية قائمة؟ يقلل العقد المدبب الدفع الجانبي، وتنقل الدعامات الطائرة هذا الدفع فوق الأروقة إلى أكتاف حجرية خارجية، فتسمح بقبو حجري يبلغ 42 m وبجدران تملؤها النوافذ. قف في صحن كاتدرائية فرنسية كبيرة وانظر إلى أعلى. السقف الحجري أعلى من مبنى من عشرة طوابق، ومعظم الجدران التي تحمله زجاج ملون. لا يستطيع الزجاج حمل سقف حجري، فلا بد من عناصر أخرى تؤدي العمل. تجدها في الخارج، حيث تتكئ أنصاف عقود حجرية على المبنى كالمجاديف الخارجة من قارب.

المشهد الأول مقطع في ثلاث بلاطات من صحن قوطي عال، يمر بركيزة في المقدمة لتتمكن من رؤية العرض كله معا. في الوسط الصحن وقبوه المضلع، وعلى جانبيه رواقان أخفض، وخارجهما الأكتاف الداعمة وقممها الحجرية. تعبر الدعامات الطائرة من الأكتاف فوق أسقف الأروقة إلى أعلى جدار الصحن. النسب قريبة من Amiens Cathedral: المسافة بين محوري الركيزتين 14.4 m، ومنطلق القبو عند 29.5 m وتاجه عند 42 m. ليست هذه مسحا لأي مبنى بعينه.

الخط الأخضر هو خط الدفع، أي مسار القوة التي يدفع بها القبو عبر الحجر إلى الأرض. تعرض اللوحة في الزاوية قوى جانب واحد من بلاطة واحدة. تغيّر المنزلقات وزن القبو والقمة الحجرية والريح وعمق الكتف وموضعه وعرض النوافذ العليا؛ وتزيل المفاتيح الدعامات الطائرة أو تحول القبو المدبب إلى مستدير. عندما يغادر الخط الحجر يصبح أحمر، ويميل الجزء الذي خرج منه. انقر أي قطعة في النموذج لتقرأ عنها.

في الشريط العلوي ستة مشاهد أخرى. يمكنك التجول في الكاتدرائية كاملة من الباب الغربي إلى الممر المحيطي. تصطف ستة أقبية من البرميلي إلى المروحي. وتعرض أربعة عقود مبنية من كتل منفصلة السمك الذي يحتاجه كل شكل. يبين موقع بناء ترتيب العمل، ويبين نموذج خورس Beauvais كيف انهار أعلى قبو في العصور الوسطى، وتتفكك نافذة معشقة إلى قطعها وشرائط الرصاص والقضبان الحديدية. تحت أدوات التحكم سبع مهام ومخطط لسباق الارتفاع وحسابات البلاطة و37 كاتدرائية وحدثا مع مصادرها.

لماذا يدفع القبو الحجري إلى الخارج

الحجر قوي تحت الضغط وضعيف تحت الشد. لا يحمل القبو المبني من الحجر والملاط وزنه إلا بضغط كل حجر على جيرانه، لذلك تسير القوة داخله على امتداد الانحناء وتخرج عند الأسفل بميل. لهذه القوة المائلة مركبتان. العمودية هي وزن القبو ببساطة. أما الأفقية، وتسمى الدفع، فتدفع أعلى الجدار إلى الخارج.

ضع لوحا طويلا بين كرسيين، فلن يتحمل الكرسيان إلا وزنه. أسند لوحين إلى بعضهما كخيمة، فتنزلق قدماهما إلى الخارج ما لم يمنعهما شيء. يتصرف القبو كالخيمة. يزن جانب واحد من بلاطة النموذج 813 kN، أي ما يقارب وزن 83 طنا، ويدفع جانبيا بقوة 162 kN. يعمل الدفع على ارتفاع 29.5 m فوق الأرض، فيملك ذراع عزم طويلة لقلب الجدار.

لماذا يدفع العقد المدبب أقل من المستدير

استخدمت الكنائس الرومانسكية السابقة للقوطي عقودا مستديرة، هي أنصاف دوائر، في الغالب. رسم البناؤون القوطيون عقودهم بقوسين يلتقيان في نقطة مدببة. فوق البحر نفسه يرتفع المدبب أكثر، والعقد العالي يدفع جانبيا أقل من المفلطح، للسبب نفسه الذي يجعل الخيمة الشديدة الميل تدفع أوتادها إلى الخارج أقل من الخيمة المنخفضة.

اعتبر القبو عقدا موزع الوزن بانتظام على منحناه، بمفاصل عند التاج والمنطلقين، أي عقدا ثلاثي المفاصل. ينتج الدفع من معادلة عزوم حول المنطلق: H × النهوض = وزن نصف العقد × المسافة الأفقية من المنطلق إلى مركز ثقله. لنصف دائرة بنصف قطر a يكون طول نصف العقد πa/2، وبعد مركز ثقله عن المركز 2a/π، والنهوض a، فنحصل على H = (1 − 2/π) W = 0.363 W. في عقد مدبب متساوي الأضلاع فوق البحر نفسه، يرسم كل نصف بنصف قطر 2a من المنطلق المقابل، ويكون النهوض a√3، فتعطي المعادلة نفسها H = 0.200 W.

بقيم النموذج، a = 7.2 m، وقشرة حجرية تكافئ سمك 0.35 m، ووزن حجمي 22 kN لكل متر مكعب، وبلاطة طولها 7 m، يزن القبو المستدير 610 kN لكل جانب ويدفع بـ 222 kN. المدبب أطول ووزنه 813 kN، أي أثقل بثلث، لكنه يدفع بـ 162 kN فقط. أي إن القبو الأثقل يعطي دفعا أقل 27%. ولو تركز الحمل كله عند التاج لدفع المستدير بنصف الحمل، والمدبب بـ 0.289 منه، أي أقل 42%.

للمدبب ميزة ثانية. لا يتحدد ارتفاعه ببحره، فيمكن لعقد ضيق وآخر عريض أن يصلا إلى الارتفاع نفسه. جعل ذلك تركيب الأقبية فوق بلاطات غير مربعة أسهل بكثير.

ما الذي يحدث لجدار بلا سند

عطّل الدعامات الطائرة. على الجدار الآن أن يتحمل دفع القبو كله وحده. يدمج النموذج الجدار وركيزته في شريط صلب سمكه 1.5 m وطوله 2.2 m لكل بلاطة، ويرتفع إلى 42.5 m. مع السقف والقبو فوقه يضغط على الأرض بقوة 4,018 kN.

يعطي دفع 162 kN عند ارتفاع 29.5 m عزما قدره 4,790 kN·m عند القاعدة. بقسمته على القوة العمودية نجد أن خط الدفع يعبر القاعدة على بعد 1.19 m من وسط الجدار. نصف السمك ليس إلا 0.75 m، لذا خرج الخط من الحجر بمقدار 0.44 m. لا تستطيع كتلة حجر شد الأرض، فتدور حول حافتها الخارجية وينهار القبو. يعرض النموذج ذلك بميل 9° وقبو يهبط.

كم يجب أن يكون سمك الجدار ليقوم وحده؟ يضع حل القاعدة الخط عند الحافة تماما بسمك 1.94 m، بلا هامش مطلقا. ولإبقائه في الثلث الأوسط، حتى لا تفتح أي وصلة ولو قليلا، يلزم 3.52 m. خفف وزن القبو إلى النصف بالمنزلق، فيكاد جدار 1.5 m يقوم وحده، والخط عند 88% من المسافة إلى وجهه. لهذا احتاجت الكنائس الرومانسكية، بلا دعامات طائرة، إلى جدران سميكة ونوافذ صغيرة.

الدعامة الطائرة تنقل الدفع فوق الرواق

الدعامة الطائرة نصف عقد يلتقط الدفع قرب أعلى الجدار وينقله فوق الرواق إلى ركيزة ثقيلة خارجه. تلتقي في النموذج بالجدار عند 28.5 m، أي مترا واحدا تحت المنطلق، وتهبط على الكتف عند 25 m. وزنها 137 kN.

لأن للدعامة وزنا، ليس خط دفعها مستقيما. مع دفع 162 kN يمر فيها ووزن موزع على طولها 6.65 m، يتقوس الخط إلى أعلى ويرتفع عند الوسط 0.70 m فوق الوتر المستقيم. صممت الدعامة لتحتوي هذا المنحنى: سطح علوي مستقيم مائل وأسفل مقوس. يبقى الخط ضمن 43% من المسافة من وسط الدعامة إلى حافتها. عند الجدار تدفع إلى أعلى قليلا، بقوة 17 kN، وعند الكتف تضغط إلى أسفل بـ 154 kN.

مع الدعامة لا يتلقى الجدار إلا العزم الصغير بين المنطلق ورأس الدعامة، أي 162 kN مضروبة في 1 m. ينتقل خطه إلى بعد 0.04 m من الوسط، أي 11% من المسافة إلى الوجه. لا يبقى على الجدار إلا ما يزيد قليلا على وزنه.

لماذا توضع القمة الحجرية فوق الكتف

الكتف كتلة مدرجة بعمق 4.2 m حتى ارتفاع 16 m، و2.2 m فوقه. يجب أن يحفظ كل مقطع خط الدفع داخله. تصل الدعامة قرب القمة، حيث لا يوجد فوقها حجر كثير ليوجه الدفع إلى أسفل، فيتجه الخط نحو الوجه الخارجي. أسوأ موضع فوق درجة 16 m مباشرة.

بلا قمة حجرية يعبر الخط ذلك المقطع على بعد 2.30 m من الوجه الداخلي. الكتلة العليا عمقها 2.2 m فقط، فيكون الخط خارجها ويميل أعلى الكتف. أضف قمة وزنها 200 kN على بعد 0.7 m من الوجه الداخلي، فتزداد القوة العمودية ويبقى الدفع الأفقي كما هو. تصبح المحصلة أشد ميلا إلى أسفل ويعود الخط إلى 2.04 m، أي 85% من المسافة من الوسط إلى الوجه. هذه وظيفة القمة: يثني وزنها خط الدفع إلى أسفل. الطرف المنحوت زينة، لكن الحجر تحته ثقل موازن.

حوّل القبو إلى مستدير، فيحتاج الكتف نفسه إلى نحو 400 kN فوقه ليقوم (97%). زد وزن المدبب 25%، فلا تعود 200 kN كافية (108%)، بينما تعيد 400 kN الخط إلى 88%.

ما الذي تضيفه الريح

تدفع الريح جانب المبنى كله: السقف المائل والنوافذ العليا والأكتاف نفسها. يحول النموذج ذلك إلى قوة جانبية واحدة لكل بلاطة. ضغط الهواء المتحرك نصف كثافة الهواء مضروبة في مربع السرعة، ½ × 1.25 kg/m³ × v². يطبقها النموذج على 210 m² من السقف والجدار لكل بلاطة طولها 7 m، بمعامل ضغط 1.0 يجمع دفع جانب وشفط الجانب الآخر. عند 30 m/s نحصل على 562 Pa و118 kN. وعند 15 m/s، أي نصف السرعة، تكون القوة 30 kN.

إلى أين تذهب القوة؟ تصل في النموذج إلى الجدار عند المنطلق عبر الشريط الصلب الذي يشكله ملء كتفي القبو، وتنتقل كلها إلى الجانب المعاكس للريح. تحمل الدعامة في ذلك الجانب دفع القبو 162 kN مع الريح، أي 281 kN عند 30 m/s، وتنقله إلى كتفها. يبقى الجانب المواجه للريح كما في الهواء الساكن. هذا اختيار احترازي: تقسم الكاتدرائية الحقيقية الريح بين الجانبين، ولكثير منها طبقة ثانية عليا من الدعامات عند مستوى السقف.

ليست الدعامة الطائرة نفسها المشكلة. يتحرك خطها من 43% إلى 56% من المسافة إلى الحافة عند 30 m/s. المشكلة في الكتف. عند أضعف مقطع، فوق درجة 16 m مباشرة، يعبر الخط الوجه عندما تتجاوز الريح 14.2 m/s، ويبلغ 148% عند 30 m/s. رسم الكتف نحيفا بهامش قليل في السكون (85%)، لذلك تكفي ريح قوية معتدلة لإظهار الأثر. يعيده تعديلان. قمة 400 kN وحدها تصل إلى 124%، أي ما زال خارجا. قمة 400 kN وكتف أعمق 20% يعيدان الخط إلى 86%، وقمة 300 kN مع عمق أكبر 30% تصل إلى 80%.

أزل الدعامات الطائرة، فتضيف الريح إلى دفع القبو على جدار يفشل أصلا: ترتفع نسبته من 159% في السكون إلى 210% عند 20 m/s.

إبعاد الكتف أو زيادة عمقه

يغيّر منزلق «عمق الكتف» مرحلتيه معا، وعمقهما الأصلي 4.2 m و2.2 m. يزداد الوزن مع العمق، وكذلك المسافة التي يستطيع الخط قطعها قبل الوجه الخارجي. كلاهما مفيد. عند عمق 80% يصل الخط عند الدرجة إلى 133% ويميل الكتف؛ ويقوم حتى عمق يقارب 93%. عند 120% لا يبلغ الخط إلا 58% من المسافة إلى الوجه، وعند 150% ينتقل أسوأ مقطع من الدرجة إلى قرب القمة، بنسبة 42%.

يدفع منزلق «إبعاد الكتف» الكتف حتى 3 m بعيدا عن الصحن، كأن الرواق أوسع. لا يتغير الكتف نفسه، فتبقى نسبته 86%. لكن الدعامة الطائرة تمتد أكثر: يصبح وزنها 187 kN بدلا من 137 kN، ويتقوس خطها أكثر، وعند 3 m يبلغ 84% من المسافة إلى الحافة بدلا من 43%.

كيف تحولت الجدران إلى زجاج

بعد أن تحمل الدعامات الدفع، لا يحمل الجدار بين ركيزتين إلا وزنه وحصة من السقف. لم يعد يحتاج إلى كتلة حجر سميكة، فيمكن فتحه. في النموذج عرض كل نافذة عليا 4.4 m ورأسها مدبب، ومساحة الزجاج 43.6 m² لكل بلاطة، أي 54% من وجه الجدار بين الركيزتين من العتبة إلى القبو. تحتها الرواق الثلاثي، وهو صف عقود صغيرة، وتحته البائكة المفتوحة على الرواق الجانبي.

يغيّر منزلق «النافذة العليا» عرض الفتحة من 2.4 m ومساحتها 20.8 m²، أي 26% من الجدار، إلى 5.2 m و54.0 m²، أي 67%، فلا يكاد يبقى إلا شرائط الركائز. تتسع معها الزخارف الحجرية: قائم وسطي وعقدان صغيران مدببان وفتحة دائرية بأربع فصوص. لا يغيّر الزجاج أوزانا في النموذج، فلا تتحرك القوى: مع الدعامات يمكن فتح أي نافذة تقريبا.

يسقط الضوء النافذ على الأرض في بقع ملونة. يحرك منزلق «وقت النهار» الشمس من الصباح إلى بعد الظهر، وفي إعداد الجودة العالية تظهر حزم ضوء خافتة في الهواء بين النافذة والأرض.

عقود مبنية من أحجار منفصلة

القبو في المشهد الأول عقد رقيق بمفاصل ثابتة عند التاج والمنطلقين. العقود الحقيقية سميكة ودفعها غير ثابت. يبني مشهد «أشكال العقود» أربعة عقود فوق البحر نفسه 14.4 m من صنجات، وهي أحجار إسفينية تقطع وصلاتها عموديا على المنحنى. ويطرح سؤالا مختلفا: هل يوجد أي خط دفع يبقى داخل الحجر؟

بيّن Jacques Heyman في 1966 أن هذا هو السؤال المهم في البناء الحجري. اعتبر الحجر كتلا لا تتحمل الشد، قوية بما يكفي كي لا تسحق، ولا تنزلق. إذا أمكن رسم أي خط دفع متوازن مع الأحمال داخل العقد، استطاع العقد القيام. هذه نظرية الأمان. لا تحدد الخط الذي يستخدمه العقد فعليا، فذلك يتوقف على الهبوط والشقوق. بل تقول إنه آمن ما دام خط كهذا موجودا.

لكل عقد يبحث النموذج جميع قيم دفع التاج وكل ارتفاع يمكن أن يعبر عنده الخط وصلة التاج. عند كل وصلة يحدد عزم دفع التاج ووزن الحجر بين التاج والوصلة موضع عبور الخط. تعطي كل وصلة حدا للدفع، فيحدد نطاق القيم الملائمة بدقة، ويرسم خط أقل دفع. عند ملامسة وجه الحجر تحدد نقطة موضع المفصل.

عند سمك 1.0 m تتسع الأربعة للخط. يزن نصف العقد المستدير 249 kN لكل متر من العمق، ويحتاج إلى دفع تاج لا يقل عن 90 kN/m. العقد المدبب، بقوسين نصف قطرهما 14.4 m ونهوض 12.47 m، أثقل بوزن 332 kN/m ولا يحتاج إلا 64 kN/m. العقد رباعي المراكز من أواخر القوطي، بقوسين صغيرين 3.6 m عند المنطلقين وقوسين كبيرين 14.4 m، ينهض 4.93 m فقط، ويزن 209 kN/m ويحتاج إلى 121 kN/m. أما السلسلي، بشكل سلسلة معلقة مرسومة بنهوض المدبب، فيحتاج إلى 53 kN/m.

رقّق العقود فتفشل واحدا بعد آخر. لا يوجد خط داخل المستدير تحت سمك 0.774 m، أي 0.1075 من نصف قطره. هذه نسبة Milankovitch في 1907 لنصف دائرة بوصلات شعاعية. عند الحد يلمس الخط الخارج عند التاج والمنطلقين، والداخل نحو 55 درجة أسفل التاج: خمسة مفاصل تكفي لتحويل العقد إلى آلية متحركة. يفشل رباعي المراكز أولا عند 0.785 m، والمدبب عند 0.61 m، ويستمر السلسلي إلى سمك يقارب الصفر لأن خطه يتبع وسط الحجر.

يغيّر حمل عند التاج، كبرج أو قمة سقف، هذا الترتيب. مع 200 kN/m فوقه يحتاج المستدير إلى 1.36 m والمدبب إلى 0.99 m؛ ويحتاج السلسلي، الذي ناسب شكله الوزن الذاتي فقط، إلى نحو 1.03 m. المدبب حل وسط جيد للأحمال غير المنتظمة، وهو ما ينتج عن قبو ذي أضلاع وملء.

من القبو البرميلي إلى المروحي

يصطف في مشهد «الأقبية» ست طرق لتغطية بلاطة بالحجر، كل منها مربع ضلعه 10 m ومنطلقه عند 9 m.

القبو البرميلي نصف أسطوانة. يدفع إلى الخارج بطوله كله، فيحتاج إلى جدار سميك مستمر ويترك مكانا قليلا للنوافذ. يتقاطع في القبو المتقاطع برميليان بزاوية قائمة؛ تجمع خطوط التقاطع الوزن وتنزله عند الزوايا الأربع، فتفتح الجدران بينها. يبني المضلع خطوط التقاطع أولا كأضلاع حجرية على قوالب خشبية، ثم يضع قشورا رقيقة بينها. تجمع الأضلاع الحمل في أربع نقاط، ويقلل رسمها مدببة الدفع الخارجي. جمعت إعادة بناء Saint-Denis بإشراف رئيس الدير Suger، بطرفها الشرقي من نحو 1144، الأقبية المضلعة والزجاج الملون.

يمتد السداسي فوق بلاطة مزدوجة بضلع عرضي إضافي في الوسط، فينشئ ست خلايا. تتفاوت الأحمال على المساند، فتتعاقب الركائز القوية والضعيفة على الصحن. عندما أعيد خورس Beauvais بعد 1284، حولت الركائز الوسطى الجديدة أقبية رباعية إلى سداسية. يضيف قبو الأضلاع الإضافية أضلاعا من كل منطلق إلى ضلع التاج، فتصغر الألواح ويبدو القبو كنخلة. وينشئ المروحي مخروطا حجريا من كل منطلق، بأضلاع متساوية الانحناء محفورة على سطحه؛ بني قبو John Wastell في King's College Chapel في Cambridge بين 1512 و1515، ولمصلى العذراء الذي بناه Henry the Seventh في Westminster، من 1503 إلى 1516، قبو مروحي أيضا. انقر قبوا أو غيّر منزلق «القبو»، فتظهر أسهم برتقالية مواضع نزول وزنه.

التجول حول الكاتدرائية كاملة

يضع مشهد «الكاتدرائية كاملة» البلاطة في مبنى كامل بمسقط صليب لاتيني قريب من حجم Amiens: ثماني بلاطات للصحن مع الأروقة، وتقاطع بقمة خشبية، وجناح عرضي بثلاث بلاطات لكل جانب ووردة في كل جدار طرفي، وأربع بلاطات خورس مستقيمة، وحنية خماسية، وممر حولها وسبع مصليات شعاعية. طول النموذج نحو 126 m وعرضه عبر الأروقة 31 m، وطول الجناح العرضي 56 m. أما Amiens نفسها فطولها 145 m، وتضم نحو 200,000 m³، وقبوها أعلى من الأرض بـ 42.30 m، بحسب Centre des monuments nationaux.

ينقلك شريط مواضع الوقوف إلى أعلى المبنى، وأمام الواجهة الغربية ببواباتها الثلاث ووردتها وبرجيها، وداخل الباب والصحن وتحت التقاطع والخورس والممر المحيطي. في الداخل تكون الكاميرا عند مستوى العين، 1.7 m، وتنظر حولك بالسحب. في أرض الصحن متاهة مثمنة على مثال Amiens، التي يبلغ مسارها 234 m ووضع حجرها المركزي في 1288. يسقط الضوء الملون من النوافذ الجنوبية العليا على الأرض ويتبع الشمس.

يركب المبنى من قطع البلاطة نفسها: واجهة رأسية وقبو وركيزة وبلاطة رواق بكتفها وقمتها ودعامتها، تكرر بنداء رسم واحد لكل نوع من الحجر. يؤدي تشغيل «رؤية الداخل» إلى جعل الأسقف شفافة كي ترى الأقبية من أعلى.

كيف كانت الكاتدرائية تبنى

يرفع مشهد «موقع البناء» بلاطتين في ست مراحل. تحفر الأساسات أولا إلى تربة متينة وتملأ بالدبش والملاط، ثم ترتفع الركائز إلى تيجان البائكة عند 14 m. بعدها تبنى عقود البائكة على قوالب خشبية بشكل العقد، تسند الأحجار حتى يوضع حجر المفتاح. تربط أعمدة السقالات، وتوضع عوارض خشبية قصيرة في ثقوب تركت بالجدار لتحمل ألواح الوقوف.

مع ارتفاع الجدران العليا ترفع الأحجار برافعة عجلة مشي: يسير عامل داخل عجلة كبيرة فيدير المحور الذي يلف الحبل. في Beverley Minster وضعت رافعة من هذا النوع فوق قبو البرج المركزي، وكان شخص يمشي داخلها يرفع المواد إلى حيز السقف، كما يذكر تاريخ الكنيسة. اضغط التشغيل فتدور عجلة النموذج وترتفع كتلة.

وضع السقف قبل القبو العالي، ليبنى القبو تحت غطاء ويبقى ملاطه الطري جافا. في King's College Chapel في Cambridge كان الهيكل مغطى بالخشب والرصاص بطوله كله بحلول 1512، واكتمل القبو المروحي تحته بحلول 1515. بنيت الأضلاع أولا على قوالب معلقة بالجدران، وكل حجر مقطوع بقالب قياس لتلتقي الأقواس عند الزهرة؛ ثم ملأت أحجار القشرة الخلايا، وبعد تصلب الملاط خفضت القوالب ونقلت إلى البلاطة التالية. في ورشة البنّاء على الأرض منضدة لنحت الحجر ومطرقة وأزاميل وزاوية وفرجار وقالب قياس.

قد تبقى السقالات طويلا. داخل قمة Salisbury ما زالت السقالات الخشبية التي ركبت لتقويتها بعد عاصفة شديدة في 1360.

Beauvais: القبو الذي انهار

بدأت Beauvais في 1225 لتكون أعلى كنيسة على الإطلاق. يبلغ قبو الخورس 46.7 m بحسب Association Beauvais Cathédrale؛ ويعطي مشروع Mapping Gothic France نحو 46.5 m، بينما تعطي دراسة 2025 في مجلة Heritage ارتفاع 48 m. استخدم الخورس في 1272. في 29 نوفمبر 1284 سقط جزء من قبوه، ومعه أجزاء من الجدران العليا والدعامات الطائرة. اكتملت الإصلاحات نحو 1347: وضعت ركيزة جديدة أضيق وسط كل بلاطة مستقيمة، فأصبحت 3 بلاطات 6، والأقبية سداسية. تبعها الجناح العرضي من 1500، وبني برج إنارة بقمة فوق التقاطع بدلا من صحن. اكتمل في 1569 عند نحو 150 m وسقط بعد أربع سنوات. لم يتجاوز الصحن بلاطة واحدة.

ما زال سبب الانهيار موضع خلاف، كما تعرض مراجعة Heritage في 2025. ألقى Paul Frankl اللوم على الأساسات. وجد Jacques Heyman الهيكل مستقرا تحت وزنه، كما كان مدة اثنتي عشرة سنة، وبحث عن محفز محلي صغير. في 1976 استخدم Maury Wolfe وRobert Mark نموذجا مرنا ضوئيا لاقتراح أن أحمال الريح المتناوبة شققت ركيزة وسطية نحيلة في نظام الأكتاف؛ وكانا أول من جعل الريح العامل الحاسم. أشار Stephen Murray إلى عدم اتساق البناء وإلى بلاطة عريضة تتجاوز 15 m، وMario Como إلى انبعاج بطيء للركائز بفعل الزحف.

يستخدم مشهد Beauvais حسابات البلاطة بنسب أعلى وأنحف: تاج عند 46.7 m ومنطلق عند 34.1 m وشريط جدار بسمك 1.25 m وأكتاف بعمق 5.0 m و3.0 m وقمم 250 kN وبلاطة 9 m لعام 1272. هذه قيم نموذجية اختيرت ليقوم الخورس في الهواء الساكن. يزن نصف القبو 1,060 kN ويدفع بـ 212 kN لكل صف ركائز، وأسوأ موضع عند 74%. زد الريح فينهار خورس 1272 عند 20.5 m/s؛ وعند 25 m/s يبلغ الخط 113% وتسقط البلاطة الوسطى. اختر الخورس المعاد: بركيزة وسط كل بلاطة يحمل كل صف نصف القبو، بدفع 106 kN، ويقوم الهيكل نفسه حتى 45.8 m/s. عند 30 m/s تكون النسبة 62%. لا يثبت النموذج ما حدث في 1284؛ بل يوضح لماذا كان تقسيم البلاطات إصلاحا معقولا مهما كان السبب.

كيف تصنع نافذة معشقة

يأتي كثير من معرفتنا بصناعة الزجاج الوسيطة من راهب في القرن 12 سمى نفسه Theophilus ودوّنها في On Diverse Arts. صنع الزجاج من الرمل ورماد الخشب، ولون بالمعادن وهو منصهر، ونفخ إلى أسطوانات أو أدير إلى أقراص قبل فرده ألواحا. كان الأحمر داكنا جدا، فصنع غالبا كطبقة حمراء رقيقة على زجاج شفاف، وهو الزجاج المكسو بطبقة ملونة.

يفكك مشهد «الزجاج المعشق» نافذة مدببة بحسب ترتيب صنعها. يرسم التصميم أولا بالحجم الكامل على طاولة خشبية مطلية بالطباشير أو الكلس، ويكتب حرف للون كل قطعة؛ وحتى شيوع الورق نحو 1400 كانت الطاولة الرسم الوحيد. تفصل القطع من اللوح بحديد ساخن، وتقضم الحافة بأداة تشذيب، وهي خطاف معدني تدخل فيه حافة الزجاج. ترسم الوجوه والثنيات بطلاء زجاجي داكن وتحرق في فرن ليلتحم الطلاء بالزجاج. ترتب القطع ثانية على الطاولة نفسها وتركب في شرائط رصاص بمقطع H، ثم تلحم الوصلات ويدفع المعجون تحت الرصاص ليمنع المطر. أخيرا تعلق الألواح على قضبان حديد مثبتة بالحجر، وتربط بأشرطة رصاص ملحومة؛ تحمل القضبان الأفقية الوزن وتزيد مقاومة النافذة للريح.

عرض نافذة النموذج 2 m: أربعة ألواح مربعة ورأس مدبب، 106 قطع إجمالا، مع 81 m من الرصاص و83 وصلة ملحومة تلتقي عندها ثلاثة شرائط أو أكثر. في Chartres يغطي الزجاج 2,500 m² ويعرض أكثر من 3,500 شخصية. وفي Sainte-Chapelle في Paris، المبنية لـ Louis the Ninth في أقل من 7 سنوات، تضم 15 نافذة بارتفاع 15 m عدد 1,113 مشهدا.

كم يبلغ ارتفاع الكاتدرائيات الحقيقية

يعرض مخططان تحت أدوات التحكم سباق الارتفاع. بحسب القبو: Chartres المعادة بعد حريق 1194 تبلغ 37 m وبحرها 16.4 m، وهو أوسع صحن قوطي؛ وReims التي بدأت في 1211 نحو 38 m؛ وAmiens التي بدأت في 1220 تبلغ 42.30 m؛ وBeauvais التي بدأت في 1225 تبلغ 46.7 m، وهي الوحيدة في المخطط التي لم تبق كما بنيت. لصحن Westminster Abbey المكتمل في 1517 أعلى قبو قوطي في إنجلترا، 31 m، وتبلغ الأجزاء الوسطى من Cologne، التي بدأت في 1248 واكتملت في 1880، ارتفاع 43.35 m.

بحسب البرج والقمة استمر السباق أطول. بلغ برج Lincoln وقمته، المكتملان في 1311، ارتفاع 160 m فكان أعلى مبنى في العالم مدة 238 سنة. قمة Salisbury المضافة بين نحو 1300 و1329 تبلغ 123 m وهي الآن الأعلى في إنجلترا. اكتمل برج Vienna الجنوبي في 1433 عند 136.4 m، وقمة Strasbourg في 1439 عند 142 m. حاولت Beauvais ثانية في 1569 بنحو 150 m وفقدت البرج في 1573. اكتمل برجا Cologne، 157.22 m، في 1880، وبرج Ulm الرئيسي، 161.53 m، في 1890. في 30 أكتوبر 2025 بلغ البرج المركزي لـ Sagrada Família في Barcelona ارتفاع 162.91 m وتجاوز Ulm. تقف قمة Notre-Dame de Paris المعادة، التي وضع ديكها الذهبي في 16 ديسمبر 2023، على ارتفاع نحو 96 m من الأرض.

أين يبسط النموذج الكاتدرائية الحقيقية

• يعامل القبو كعقد مستو. القبو المضلع الحقيقي قشرة تحمل الحمل في ثلاثة أبعاد وتجمعه في زوايا البلاطة.
• يثبت دفع البلاطة بمفاصل التاج والمنطلقين. يمكن للقبو الحقيقي القيام ضمن نطاق من قيم الدفع، كما يبين مشهد العقود؛ وتتوقف القيمة الفعلية على الشقوق والهبوط.
• يرسم ملء كتفي القبو دون حسابه. يضيف الملء الحقيقي وزنا في مستوى منخفض ويساعد على توجيه الدفع.
• الريح قوة واحدة لكل بلاطة عند المنطلق، يحملها الجانب المعاكس وحده. تقسمها الكاتدرائيات الحقيقية بين الجانبين، ولكثير منها طبقة دعامات عليا لها.
• تدفع أقبية الأروقة أيضا، إلى الداخل على ركيزة الصحن وإلى الخارج على الكتف. تهمل هنا.
• الجدار وركيزته شريط صلب واحد، والكتف كتلتان مستطيلتان. للركائز الحقيقية أعمدة وممرات وسلالم.
• لا يغيّر حجم النوافذ أي وزن.
• يفترض البناء صلبا، بلا شد أو سحق أو انزلاق. يزحف الحجر والملاط الحقيقيان ويهبطان.
• الكاتدرائية كاملة وموقع البناء وخورس Beauvais والنافذة نماذج بنسب البلاطة، وليست مسوحات لمبان بعينها.

كيف جرى التحقق من الأرقام

حلت الحسابات الساكنة يدويا واتفقت مع النموذج في الصيغتين H = 0.363 W وH = 0.200 W، ووزني نصفي القبو، ولامركزية الجدار H × 29.5 / N، والسمك الذي يضع الخط عند الحافة، ومجموع قوى مساند الدعامة المساوي لوزنها، ومقطع الكتف عند الدرجة مع القمة وبدونها، ومساحة النافذة كمستطيل ورأس مدبب متساوي الأضلاع. تشمل المراجعة اليدوية أيضا قوة الريح ½ × 1.25 × 30² × 210 = 118 kN، ومقطع الدرجة مع الريح، وأقل سمك لنصف الدائرة مقابل نسبة Milankovitch البالغة 0.1075 والمفصل قرب 54.5 درجة، واحتواء كل وصلة للخط المرسوم، وعدم إمكان دفع أصغر، واتزان عزوم نصف العقد حول منطلقه مع حمل تاج وبدونه، وتماس الأقواس رباعية المراكز، ووزني الكتف الأعمق والدعامة الأطول، وأن تنصيف بلاطة Beauvais ينصف الدفع لكل صف ركائز. تتفق الحسابات اليدوية كلها، وعددها 68، ضمن جزء صغير من واحد بالمئة.