Arcs-boutants : comment tient une cathédrale gothique

Ce que montre le modèle

Les arcs-boutants permettent à une cathédrale gothique de tenir en transmettant la poussée de ses voûtes aux contreforts extérieurs : le sommet de la voûte du modèle est à 42 m. Dans la nef d’une grande cathédrale française, le plafond de pierre dépasse un immeuble de dix étages, alors que les murs qui le portent sont surtout du verre coloré. Le verre ne peut porter un toit de pierre. Le travail se fait dehors, où des demi-arcs s’appuient contre l’édifice comme les rames d’un bateau.

La première scène coupe trois travées d’une nef du gothique classique, en passant par un pilier avant pour montrer toute la largeur. Au centre se trouve la nef et sa voûte d’ogives. De chaque côté, un bas-côté plus bas est bordé extérieurement de contreforts à pinacles. Des arcs-boutants franchissent les toits des bas-côtés jusqu’au sommet du mur de la nef. Les proportions sont proches d’Amiens : 14,4 m entre axes des piliers, naissance de voûte à 29,5 m et sommet à 42 m. Ce n’est pas le relevé d’un édifice particulier.

La ligne verte est la ligne de poussée, le chemin suivi par la force de la voûte à travers la pierre jusqu’au sol. Le panneau d’angle donne les forces d’un côté d’une travée. Les curseurs modifient poids de la voûte et du pinacle, vent, profondeur et position du contrefort, largeur des fenêtres hautes. Les interrupteurs retirent les arcs-boutants ou remplacent la voûte brisée par un plein cintre. Quand la ligne sort de la pierre, elle devient rouge et la partie concernée bascule. Cliquez sur une pièce pour lire son explication.

Six autres scènes occupent la barre supérieure. La cathédrale entière se parcourt du portail ouest au déambulatoire. Six voûtes sont alignées, du berceau à l’éventail. Quatre arcs de vrais voussoirs montrent l’épaisseur nécessaire à chaque forme. Un chantier montre l’ordre des travaux, le chœur de Beauvais explique la chute de la plus haute voûte médiévale, et un vitrail se démonte en verres, plombs et fers. Sous les commandes figurent sept tâches, la course à la hauteur, les calculs de la travée et 37 cathédrales et événements avec leurs sources.

Pourquoi une voûte de pierre pousse vers l’extérieur

La pierre résiste bien à la compression, mal à la traction. Une voûte de pierres et de mortier ne porte son poids qu’en comprimant chaque pierre contre ses voisines. La force suit donc la courbe et sort obliquement au pied. Elle a deux composantes. La verticale est le poids de la voûte. L’horizontale, appelée poussée, écarte le sommet du mur.

Posez une longue planche sur deux chaises : elles ne reçoivent que son poids. Appuyez deux planches l’une contre l’autre comme une tente : leurs pieds s’écartent si rien ne les retient. Une voûte agit comme cette tente. Dans le modèle, un côté d’une travée pèse 813 kN, environ le poids de 83 tonnes, et pousse latéralement de 162 kN. Cette poussée agit à 29,5 m du sol, avec un grand bras de levier pour renverser le mur.

Pourquoi un arc brisé pousse moins qu’un plein cintre

Les églises romanes antérieures au gothique utilisaient surtout des arcs en plein cintre, des demi-cercles. Les bâtisseurs gothiques tracent deux arcs de cercle réunis en pointe. À portée égale, l’arc brisé monte plus haut et pousse moins latéralement qu’un arc aplati, comme une tente pentue écarte moins ses piquets qu’une tente basse.

Prenons la voûte comme un arc dont le poids est uniformément réparti sur la courbe, articulé à la clé et aux deux naissances. La poussée découle d’une équation de moments autour de la naissance : H × flèche = poids du demi-arc × distance horizontale entre naissance et centre de gravité. Pour un demi-cercle de rayon a, le demi-arc mesure πa/2, son centre de gravité est à 2a/π du centre et la flèche vaut a, d’où H = (1 − 2/π) W = 0,363 W. Pour un arc brisé équilatéral de même portée, chaque moitié tracée avec un rayon de 2a depuis la naissance opposée, la flèche vaut a√3 et la même équation donne H = 0,200 W.

Avec les valeurs du modèle (a = 7,2 m, coque de pierre équivalant à 0,35 m d’épaisseur, 22 kN par mètre cube et travée de 7 m), le plein cintre pèse 610 kN par côté et pousse de 222 kN. La voûte brisée est plus longue et pèse 813 kN, un tiers de plus, mais ne pousse que de 162 kN. Une voûte plus lourde produit ainsi 27% de poussée en moins. Si toute la charge était à la clé, le plein cintre pousserait avec la moitié de cette charge, contre 0,289 pour l’arc brisé, soit 42% de moins.

L’arc brisé a un autre avantage. Sa hauteur ne dépend pas de sa portée : un arc étroit et un arc large peuvent atteindre le même niveau. Cela facilite la couverture des travées non carrées.

Un mur sans rien pour le soutenir

Retirez les arcs-boutants. Le mur doit reprendre seul toute la poussée. Dans le modèle, mur et pilier sont regroupés en une bande pleine de 1,5 m d’épaisseur et 2,2 m de long par travée, montant à 42,5 m. Avec toiture et voûte, elle exerce 4018 kN sur le sol.

La poussée de 162 kN à 29,5 m produit un moment de 4790 kN·m à la base. Divisé par la force verticale, il place la ligne à 1,19 m du milieu du mur. La demi-épaisseur n’est que de 0,75 m : la ligne sort donc de 0,44 m. Un bloc de pierre ne peut tirer sur le sol. Il pivote sur son bord extérieur et la voûte tombe. Le modèle montre une inclinaison de 9° et une voûte qui s’abaisse.

Quelle épaisseur permettrait au mur de tenir seul ? Le calcul à la base place la ligne au bord avec 1,94 m, sans aucune marge. Pour la maintenir dans le tiers central, sans qu’une jointure s’ouvre même légèrement, il faut 3,52 m. Divisez par deux le poids de la voûte : le mur de 1,5 m tient tout juste, sa ligne atteignant 88% du trajet vers la face. Voilà pourquoi les églises romanes sans arcs-boutants avaient des murs épais et de petites fenêtres.

L’arc-boutant transmet la poussée au-dessus du bas-côté

L’arc-boutant est un demi-arc qui reprend la poussée près du sommet du mur et la porte au-dessus du bas-côté jusqu’à un lourd pilier extérieur. Il rejoint le mur à 28,5 m dans le modèle, un mètre sous la naissance, et le contrefort à 25 m. Il pèse 137 kN.

Son poids propre courbe sa ligne de poussée. Avec 162 kN de poussée et un poids réparti sur 6,65 m, la ligne bombe vers le haut jusqu’à 0,70 m au-dessus de la corde au milieu. La forme de l’arc-boutant contient cette courbe : dessus droit et incliné, dessous arqué. La ligne reste à moins de 43% du trajet entre le milieu et le bord. Au mur, l’arc-boutant pousse légèrement vers le haut, de 17 kN ; au contrefort, il appuie de 154 kN vers le bas.

En place, il ne laisse au mur que le petit moment entre naissance et tête de l’arc-boutant, 162 kN fois 1 m. La ligne du mur revient à 0,04 m du centre, soit 11% du trajet vers la face. Le mur ne porte guère plus que son propre poids.

Pourquoi le pinacle surmonte le contrefort

Le contrefort est un bloc à ressaut, profond de 4,2 m jusqu’à 16 m et de 2,2 m au-dessus. Toutes ses sections doivent contenir la ligne. L’arc-boutant arrive près du sommet, où peu de pierre le surmonte pour rabattre la poussée vers le bas. La ligne se dirige donc vers la face extérieure. Le point critique se situe juste au-dessus du ressaut à 16 m.

Sans pinacle, la ligne traverse cette section à 2,30 m de la face intérieure. Le bloc supérieur n’a que 2,2 m de profondeur : la ligne est dehors et le sommet bascule. Ajoutez un pinacle de 200 kN à 0,7 m de la face intérieure. La force verticale augmente sans modifier la poussée horizontale. La résultante se redresse et la ligne revient à 2,04 m, soit 85% du trajet du milieu à la face. C’est le rôle du pinacle : son poids rabat la ligne vers le bas. La flèche sculptée décore, mais la pierre située dessous sert de lest.

Passez au plein cintre : le même contrefort exige environ 400 kN au sommet pour tenir (97%). Alourdissez la voûte brisée de 25% : 200 kN ne suffisent plus (108%), mais 400 kN ramènent la ligne à 88%.

Ce qu’ajoute le vent

Le vent pousse tout le flanc du bâtiment : toit pentu, fenêtres hautes et contreforts. Le modèle en fait une force latérale par travée. La pression est la moitié de la masse volumique de l’air multipliée par le carré de sa vitesse, ½ × 1,25 kg/m³ × v². Elle agit sur 210 m² de toit et de mur pour une travée de 7 m, avec un coefficient de pression de 1,0 pour la poussée d’un côté et la succion de l’autre réunies. À 30 m/s, cela donne 562 Pa et 118 kN. À 15 m/s, moitié moins vite, la force est de 30 kN.

Où va cette force ? Dans le modèle, elle atteint le mur à la naissance, par la bande rigide des reins remplis de la voûte, puis passe entièrement du côté sous le vent. Son arc-boutant porte les 162 kN de la voûte plus le vent, 281 kN à 30 m/s, jusqu’au contrefort. Le côté au vent reste dans son état sans vent. Ce choix est prudent : une véritable cathédrale répartit le vent entre ses deux côtés et possède souvent un second niveau d’arcs-boutants à hauteur du toit.

L’arc-boutant lui-même n’est pas le problème. À 30 m/s, sa ligne passe de 43% à 56% du trajet vers le bord. Le contrefort l’est. Juste au-dessus du ressaut de 16 m, sa section faible voit la ligne franchir la face au-delà de 14,2 m/s ; à 30 m/s, elle atteint 148%. Le contrefort a été dessiné mince, avec peu de réserve sans vent (85%) : un coup de vent modéré suffit à montrer cet effet. Deux changements le stabilisent. Un pinacle de 400 kN seul ramène la ligne à 124%, encore dehors. Avec ce pinacle et 20% de profondeur en plus, elle atteint 86% ; avec 300 kN et 30% de profondeur en plus, 80%.

Retirez les arcs-boutants : le vent s’ajoute à la poussée sur un mur qui échouait déjà. Son rapport passe de 159% sans vent à 210% à 20 m/s.

Éloigner le contrefort ou l’approfondir

« Profondeur du contrefort » agrandit ses deux étages, initialement profonds de 4,2 m et 2,2 m. Son poids augmente, ainsi que la distance disponible avant que la ligne atteigne la face extérieure. Les deux aident. À 80% de profondeur, la ligne atteint 133% au ressaut et le contrefort bascule ; il tient jusqu’à environ 93% de profondeur. À 120%, la ligne ne parcourt que 58% vers la face ; à 150%, la section critique quitte le ressaut pour le sommet, à 42%.

« Contrefort éloigné » le déplace jusqu’à 3 m plus loin de la nef, comme si le bas-côté s’élargissait. Le contrefort ne change pas et son rapport reste à 86%. L’arc-boutant doit aller plus loin : il pèse 187 kN au lieu de 137 kN, sa ligne se courbe davantage et, à 3 m, elle atteint 84% du trajet vers son bord au lieu de 43%.

Comment les murs sont devenus du verre

Quand les arcs-boutants reprennent la poussée, le mur entre deux piliers ne porte plus que son poids et une part du toit. Il n’exige plus une masse de pierre épaisse et peut être évidé. Chaque fenêtre haute du modèle est large de 4,4 m avec un sommet brisé, soit 43,6 m² de verre par travée : 54% de la face du mur entre piliers, de l’appui à la voûte. Dessous, le triforium aligne de petites arcades ; les grandes arcades inférieures ouvrent sur le bas-côté.

« Fenêtre haute » fait passer l’ouverture de 2,4 m, 20,8 m² et 26% du mur à 5,2 m, 54,0 m² et 67%, ne laissant guère que les bandes des piliers. Le remplage, un meneau central, deux petits arcs brisés et un oculus rond quadrilobé, grandit avec elle. Le verre ne modifie aucun poids dans le modèle, donc les forces ne changent pas : avec les arcs-boutants, presque toute fenêtre devient possible.

La lumière forme des taches colorées au sol. « Heure du jour » déplace le soleil du matin à l’après-midi. En qualité élevée, de faibles faisceaux lumineux sont visibles entre la fenêtre et le sol.

Des arcs faits de vraies pierres

La voûte de la première scène est un arc mince articulé en des points fixes à la clé et aux naissances. Les arcs réels sont épais et leur poussée n’est pas fixée. Formes d’arcs construit quatre arcs sur une portée commune de 14,4 m en voussoirs, blocs en coin aux joints perpendiculaires à la courbe. La question devient : existe-t-il une ligne de poussée entièrement dans la pierre ?

Jacques Heyman montra en 1966 que c’est la question essentielle pour la maçonnerie. Considérons des blocs sans résistance à la traction, assez résistants pour ne pas s’écraser et ne glissant pas. Si une ligne en équilibre avec les charges peut être tracée dans l’arc, celui-ci peut tenir. C’est le théorème de sécurité. Il ne détermine pas la ligne réellement adoptée, qui dépend des tassements et des fissures ; il garantit la sécurité tant qu’une ligne existe.

Pour chaque arc, le modèle explore toutes les poussées en clé et toutes les hauteurs possibles de passage dans son joint. À chaque joint, le moment de la poussée en clé et du poids intermédiaire fixe le passage de la ligne. Chaque joint impose une limite : l’intervalle admissible est donc trouvé exactement. La ligne affichée a la poussée minimale. Un point indique une articulation là où elle touche une face.

À 1,0 m d’épaisseur, les quatre arcs conviennent. La moitié du plein cintre pèse 249 kN par mètre de profondeur et exige au moins 90 kN/m de poussée en clé. L’arc brisé, deux arcs de rayon 14,4 m montant à 12,47 m, pèse davantage, 332 kN/m, mais n’exige que 64 kN/m. Celui à quatre centres du gothique tardif, deux petits arcs de 3,6 m aux naissances et deux grands de 14,4 m, ne monte qu’à 4,93 m, pèse 209 kN/m et exige 121 kN/m. La chaînette, forme d’une chaîne suspendue tracée à la hauteur de l’arc brisé, exige 53 kN/m.

Amincissez les arcs : ils échouent l’un après l’autre. Le plein cintre n’admet aucune ligne sous 0,774 m, soit 0,1075 de son rayon. Milankovitch trouva ce nombre en 1907 pour un demi-cercle à joints radiaux. À cette limite, la ligne touche l’extérieur à la clé et aux naissances et l’intérieur environ 55 degrés sous la clé : cinq articulations, assez pour transformer l’arc en mécanisme. L’arc à quatre centres échoue le premier, à 0,785 m ; le brisé à 0,61 m ; la chaînette continue jusqu’à presque rien, car sa ligne peut suivre le milieu de la pierre.

Une charge en clé, tour ou faîtage, change l’ordre. Avec 200 kN/m au sommet, le plein cintre exige 1,36 m et le brisé 0,99 m ; la chaînette, adaptée seulement à son poids propre, exige désormais environ 1,03 m. L’arc brisé est un compromis utile pour les charges inégalement réparties d’une voûte avec nervures et remplissage.

Du berceau à la voûte en éventail

La scène Voûtes aligne six façons de couvrir une travée de pierre, chacune carrée de 10 m de côté et naissant à 9 m.

Le berceau est un demi-cylindre. Il pousse sur toute sa longueur, impose des murs épais continus et laisse peu de place aux fenêtres. La voûte d’arêtes croise deux berceaux à angle droit ; leurs arêtes concentrent le poids aux quatre angles et permettent d’ouvrir les murs. La voûte d’ogives bâtit d’abord ces lignes en nervures de pierre sur cintres, puis les relie par de minces voûtains. Les nervures réunissent la charge en quatre points ; leur profil brisé réduit la poussée. La reconstruction de Saint-Denis sous l’abbé Suger, dont le chevet date d’environ 1144, associait voûtes d’ogives et vitraux.

La voûte sexpartite couvre une travée double divisée en six cellules par un doubleau médian. Les charges inégales font alterner supports forts et faibles. Après 1284, les nouveaux piliers médians de Beauvais ont transformé les voûtes quadripartites en sexpartites. Les tiercerons relient chaque naissance à une lierne au sommet, réduisant les panneaux et donnant l’aspect d’un palmier. L’éventail fait naître de chaque retombée un cône de pierre à nervures de même courbure dessinées en surface. John Wastell bâtit la voûte de King’s College à Cambridge entre 1512 et 1515. La chapelle mariale d’Henri VII à Westminster, commencée en 1503 et achevée en 1516, possède aussi un plafond en éventail. Cliquez sur une voûte ou déplacez « Voûte » : les flèches orange montrent où descend le poids.

Parcourir la cathédrale entière

Cathédrale entière replace la travée dans une croix latine proche d’Amiens : huit travées de nef avec bas-côtés, une croisée à flèche de bois, trois travées de transept de chaque côté avec roses aux extrémités, quatre travées droites de chœur, abside à cinq pans, déambulatoire et sept chapelles rayonnantes. Le modèle mesure environ 126 m de long et 31 m de large avec les bas-côtés ; son transept fait 56 m. Amiens mesure 145 m de long, contient environ 200 000 m³ et possède une voûte à 42,30 m du sol selon le Centre des monuments nationaux.

La barre de positions vous place en vue aérienne, devant les trois portails, la rose et les deux tours de l’ouest, derrière la porte, dans la nef, sous la croisée, au chœur et dans le déambulatoire. À l’intérieur, la caméra est à hauteur des yeux, 1,7 m, et vous regardez autour en faisant glisser. Le sol présente un labyrinthe octogonal inspiré d’Amiens, dont le parcours mesure 234 m et dont la pierre centrale fut posée en 1288. La lumière des fenêtres sud tombe au sol et suit le soleil.

L’édifice répète les mêmes pièces que la travée : élévation, voûte, pilier et travée de bas-côté avec contrefort, pinacle et arc-boutant, avec un seul appel de dessin par type de pierre. « Voir l’intérieur » rend les toits transparents pour observer les voûtes d’en haut.

Comment s’élevait une cathédrale

Chantier élève deux travées en six étapes. Les fondations sont creusées jusqu’au sol ferme et remplies de moellons et de mortier ; les piliers montent aux chapiteaux à 14 m. Les grandes arcades sont ensuite posées sur cintres, cadres à leur forme qui portent les pierres jusqu’à la pose de la clé. Les perches sont liées et des bois courts, les boulins, s’engagent dans des trous réservés au mur pour soutenir les planches.

Quand les murs supérieurs montent, une grue à roue soulève les pierres : une personne marchant dans une grande roue tourne l’axe qui enroule la corde. À Beverley Minster, une telle grue fut installée au-dessus de la voûte de la tour centrale pour hisser les matériaux dans les combles, selon l’histoire du monument. Appuyez sur lecture : la roue du modèle tourne et un bloc monte.

La toiture précédait la voûte haute, permettant de la bâtir à couvert et de garder son mortier frais au sec. À King’s College, Cambridge, l’enveloppe était couverte de bois et de plomb sur toute sa longueur en 1512 ; la voûte en éventail fut achevée en 1515. Les nervures furent d’abord posées sur des cintres suspendus aux murs, chaque pierre taillée au gabarit pour rejoindre les courbes à la clé. Puis les voûtains remplirent les cellules ; après prise du mortier, les cintres furent abaissés et déplacés. Au sol, la loge contient l’établi où l’on taille les blocs, avec maillet, ciseaux, équerre, compas et gabarit.

Les échafaudages pouvaient rester longtemps. Dans la flèche de Salisbury se trouve encore celui en bois installé pour la renforcer après une forte tempête en 1360.

Beauvais : la voûte qui s’est effondrée

Beauvais fut commencée en 1225 pour devenir la plus haute église. La voûte du chœur atteint 46,7 m selon l’Association Beauvais Cathédrale ; Mapping Gothic France donne environ 46,5 m et une étude de 2025 dans Heritage indique 48 m. Le chœur était utilisé en 1272. Le 29 novembre 1284, une partie de la voûte tomba, emportant murs hauts et arcs-boutants. Les réparations s’achevèrent vers 1347 : un nouveau pilier plus mince divisa chaque travée droite, transformant 3 travées en 6 et les voûtes en sexpartites. Le transept suivit à partir de 1500 et une tour-lanterne à flèche fut élevée à la croisée, à la place d’une nef. Achevée en 1569 vers 150 m, elle tomba quatre ans après. La nef ne dépassa jamais une travée.

La cause demeure discutée, comme l’expose une synthèse de 2025 dans Heritage. Paul Frankl accusait les fondations. Jacques Heyman jugea la structure stable sous son poids, comme elle l’avait été douze ans, et chercha un petit déclencheur local. En 1976, Maury Wolfe et Robert Mark proposèrent sur modèle photoélastique que des charges alternées de vent avaient fissuré un pilier intermédiaire élancé du système de contreforts ; ils firent les premiers du vent le facteur décisif. Stephen Murray releva des irrégularités de construction et une travée particulièrement large, dépassant 15 m. Mario Como invoqua le flambement lent des piliers par fluage.

La scène reprend la statique de la travée avec des proportions plus hautes et fines : sommet à 46,7 m, naissance à 34,1 m, mur de 1,25 m, contreforts profonds de 5,0 m et 3,0 m à pinacles de 250 kN, travée de 9 m pour 1272. Ce sont des valeurs choisies pour que le chœur tienne sans vent. Une demi-voûte pèse alors 1060 kN et pousse de 212 kN par ligne de piliers ; la partie critique est à 74%. Le chœur de 1272 cède à 20,5 m/s ; à 25 m/s, la ligne atteint 113% et la travée centrale tombe. Dans le chœur reconstruit, chaque ligne de piliers porte deux fois moins de voûte, soit 106 kN de poussée, et la même structure tient jusqu’à 45,8 m/s. À 30 m/s, elle est à 62%. Le modèle ne prouve pas les faits de 1284 ; il montre pourquoi diviser les travées était une réparation raisonnable, quelle qu’en soit la cause.

Comment on fabrique un vitrail

L’essentiel du savoir sur le verre médiéval vient d’un moine du XIIe siècle se nommant Theophilus, qui le décrivit dans On Diverse Arts. Le verre était fait de sable et de cendres de bois, coloré par des métaux en fusion, puis soufflé en cylindres ou tourné en disques avant d’être aplati en feuilles. Le rouge était si sombre qu’on déposait généralement une mince couche rouge sur du verre clair : le verre plaqué.

Vitrail démonte une lancette dans l’ordre de fabrication. On dessinait d’abord grandeur nature sur une table de bois enduite de craie ou de chaux, avec une lettre par couleur ; avant la généralisation du papier vers 1400, la table était le seul dessin. On détachait les pièces au fer chaud et ajustait leurs bords avec un grugeoir, crochet métallique où l’on engageait le verre. Visages et plis étaient peints à la grisaille sombre puis cuits au four pour fixer la peinture. Les pièces revenaient sur la même table et étaient serties de baguettes de plomb en H. Les jonctions étaient soudées et du mastic poussé sous les ailes pour arrêter la pluie. Les panneaux étaient enfin suspendus à des fers scellés dans la pierre, fixés par des attaches de plomb soudées. Les barres horizontales portent le poids et raidissent la fenêtre contre le vent.

La fenêtre du modèle mesure 2 m de large : quatre panneaux carrés et un sommet brisé, 106 pièces, 81 m de plomb et 83 jonctions soudées réunissant au moins trois baguettes. À Chartres, les vitraux couvrent 2500 m² et montrent plus de 3500 personnages. La Sainte-Chapelle de Paris, bâtie pour Louis IX en moins de 7 ans, présente 1113 scènes dans 15 verrières hautes de 15 m.

La hauteur des vraies cathédrales

La course apparaît sous les commandes en deux graphiques. Pour les voûtes : Chartres, rebâtie après l’incendie de 1194, atteint 37 m et porte sur 16,4 m, la plus large nef gothique ; Reims, commencée en 1211, environ 38 m ; Amiens, commencée en 1220, 42,30 m ; Beauvais, commencée en 1225, 46,7 m, seule du graphique à ne pas avoir survécu dans son état initial. La nef de Westminster, achevée en 1517, possède la plus haute voûte gothique d’Angleterre, 31 m. Cologne, commencée en 1248 et achevée en 1880, atteint 43,35 m dans ses vaisseaux centraux.

Tours et flèches prolongèrent la course. Lincoln atteignit 160 m en 1311 et resta le plus haut bâtiment du monde pendant 238 ans. La flèche de Salisbury, ajoutée entre environ 1300 et 1329, mesure 123 m, aujourd’hui la plus haute d’Angleterre. La tour sud de Vienne fut achevée en 1433 à 136,4 m, la flèche de Strasbourg en 1439 à 142 m. Beauvais essaya encore en 1569 avec environ 150 m, puis perdit sa tour en 1573. Les tours de Cologne, 157,22 m, furent achevées en 1880, la tour principale d’Ulm, 161,53 m, en 1890. Le 30 octobre 2025, la tour centrale de la Sagrada Família de Barcelone atteignit 162,91 m et dépassa Ulm. La flèche reconstruite de Notre-Dame de Paris, coiffée de son coq doré le 16 décembre 2023, monte à environ 96 m.

Les simplifications par rapport à une vraie cathédrale

• La voûte est un arc plan. Une véritable voûte d’ogives est une coque qui transmet les charges en trois dimensions vers les angles de la travée.
• La poussée est fixée par les articulations en clé et aux naissances. Une vraie voûte peut tenir avec différentes poussées, comme le montre la scène des arcs ; la poussée réelle dépend des fissures et tassements.
• Le remplissage des reins est dessiné mais non compté. Il ajoute réellement du poids en partie basse et aide à orienter la poussée.
• Le vent est une force par travée à la naissance, entièrement reprise sous le vent. Les vraies cathédrales la partagent entre deux côtés et possèdent souvent des arcs-boutants supérieurs.
• Les voûtes des bas-côtés poussent aussi, vers la nef sur ses piliers et vers l’extérieur sur les contreforts. Elles sont ignorées.
• Mur et pilier sont une bande pleine, le contrefort deux blocs rectangulaires. Les vrais piliers ont fûts, passages et escaliers.
• La taille des fenêtres ne change aucun poids.
• La maçonnerie est rigide, sans traction, écrasement ni glissement. Pierre et mortier réels fluent et se tassent.
• Cathédrale entière, chantier, chœur de Beauvais et vitrail sont des modèles proportionnés à partir de la travée, non des relevés de bâtiments.

Comment les calculs ont été vérifiés

Les calculs manuels retrouvent les formes H = 0,363 W et H = 0,200 W, les poids des deux demi-voûtes, l’excentricité du mur H × 29,5 / N, l’épaisseur plaçant la ligne au bord, la somme des réactions de l’arc-boutant égale à son poids, la section du ressaut avec et sans pinacle, et l’aire de fenêtre comme rectangle plus sommet brisé équilatéral. Ils couvrent aussi le vent ½ × 1,25 × 30² × 210 = 118 kN, le ressaut avec vent ajouté, l’épaisseur minimale du demi-cercle face aux 0,1075 de Milankovitch et son articulation vers 54,5 degrés, la présence de la ligne dans chaque joint et l’absence de poussée admissible plus faible, l’équilibre des moments du demi-arc autour de sa naissance avec et sans charge en clé, la tangence des arcs à quatre centres, le poids d’un contrefort plus profond et d’un arc-boutant plus long, et la division par deux de la poussée à Beauvais lorsque la travée est divisée par deux. Les 68 calculs concordent à une fraction de pour cent près.