Steinbogenbrücke: Lasten bewegen und den Kraftfluss beobachten

Was das Modell zeigt

Gehen Sie unter einer alten Steinbrücke hindurch und schauen Sie nach oben. Kein Mörtel könnte die Steine gegen die Schwerkraft zusammenkleben, und doch steht der Bogen seit Jahrhunderten. Eine stählerne Eisenbahnbrücke daneben sieht ganz anders aus: ein Gitter aus dünnen Stäben. Weiter an der Küste hängt eine Hängebrücke ihre Fahrbahn an zwei Seilen auf. Alle drei lösen dasselbe Problem: Sie tragen Lasten über eine Lücke und leiten sie auf beiden Seiten in den Boden ab.

Das Modell stellt die drei nebeneinander. Links steht ein halbkreisförmiger Steinbogen, in der Mitte ein Pratt-Fachwerk und rechts eine Hängebrücke mit zwei Türmen und zwei Verankerungen. Jede Darstellung hat ihren eigenen Maßstab: Der Bogen überspannt etwa 8 m, das Fachwerk 30 m und die Hängebrücke zwischen ihren Türmen 160 m. Die Regler „Lastposition“ und „Last“ bewegen ein Gewicht gleichzeitig über alle drei; das Feld in der Ecke zeigt die für diese Position berechneten Kräfte. Mit „Verlegte Steine“ und „Lehrgerüst“ können Sie den Bogen bauen und seine hölzerne Stütze entfernen.

Warum Stein nur drücken kann

Stein hält großen Druck aus, aber nur wenig Zug. Ein Stapel unvermörtelter Blöcke kann überhaupt keine Zugkraft übertragen: Die Fugen öffnen sich einfach. Eine Steinbrücke muss deshalb so geformt sein, dass jede Fuge zusammengedrückt und keine auseinandergezogen wird.

Ein Bogen wandelt das nach unten gerichtete Gewicht der Steine und des Verkehrs in schräg verlaufenden Druck um. Jeder keilförmige Bogenstein stützt sich auf seine Nachbarn. Der Druck läuft entlang der Krümmung bis in die Widerlager. Weil er schräg wirkt, müssen die Widerlager sowohl das nach unten wirkende Gewicht als auch einen seitlichen Bogenschub aufnehmen. Ohne seitliche Abstützung weichen die Bogenfüße auseinander und der Scheitel sinkt.

Robert Hooke beschrieb die passende Form 1675 mit einem lateinischen Anagramm. Entschlüsselt besagt es: Eine umgedrehte hängende Kette ergibt die Form eines starren Bogens. Eine Kette kann nur Zug übertragen und hängt daher so, dass jedes Glied ausschließlich auf Zug belastet wird. Dreht man die Form um, stünde jedes Glied ausschließlich unter Druck, genau passend für Stein.

Bauen auf dem Lehrgerüst und die Rolle des Schlusssteins

Ein halber Bogen kann nicht stehen. Jeder Stein neigt sich nach innen und würde ohne Gegenstück auf der anderen Seite kippen und fallen. Deshalb errichten die Bauleute zuerst ein hölzernes Lehrgerüst, dessen Oberseite der Bogenunterseite entspricht. Darauf verlegen sie die Steine von beiden Kämpfern aus zur Mitte hin.

Der letzte Stein am Scheitel ist der Schlussstein. Sobald er eingesetzt ist, stützen sich die Hälften gegenseitig und der Ring ist geschlossen. Dann schlagen die Bauleute Keile oben an den Gerüstpfosten heraus. Das Gerüst sinkt einige Zentimeter, und erstmals trägt der Bogen sein Eigengewicht. Dies heißt Ausrüsten. Stellen Sie im Modell „Verlegte Steine“ auf weniger als 15 und schalten Sie das Lehrgerüst aus: Die Steine fallen. Verlegen Sie zuerst alle 15, bleibt der Bogen beim selben Schaltvorgang stehen.

Die Form des Schlusssteins ist hier nicht besonders. Im Modell hat er dieselbe Größe und dasselbe Gewicht wie die anderen vierzehn Steine. Zum Schlussstein wird er dadurch, dass er zuletzt eingesetzt wird.

Die Stützlinie in Zahlen

Der Modellring hat einen Mittellinienradius von 4 m, eine Dicke von 0,6 m und eine Breite von 3 m. Bei Granit mit 23,5 kN pro Kubikmeter wiegt der gesamte Ring π × 4 × 0,6 × 3 × 23,5 = 532 kN, etwa 54 Tonnen, verteilt auf 15 Steine zu je 35 kN.

Betrachten Sie jeden Stein als einzelne Gewichtskraft in seinem Schwerpunkt und wählen Sie einen horizontalen Schub H. Vom Kämpfer aus verläuft die Druckkraft geradlinig bis zur ersten Gewichtskraft. Dort knickt ihre Wirkungslinie entsprechend dieser Kraft nach unten ab und läuft gerade bis zur nächsten weiter. Die entstehende geknickte Linie ist die Stützlinie. Ihre Neigung in jedem Abschnitt ist die noch abzutragende Vertikalkraft geteilt durch H. Dieselbe Regel bestimmt die Form einer hängenden Kette.

Der Bogen kann innerhalb gewisser Grenzen selbst ein H annehmen. Ein kleiner Schub ergibt eine tiefe, spitze Stützlinie, ein großer eine flachere. Nach Jacques Heymans Sicherheitssatz stürzt der Bogen unter diesen Lasten nicht ein, wenn sich auch nur eine solche Linie an jeder Fuge innerhalb des Mauerwerks zeichnen lässt, sofern die Steine weder zerdrückt werden noch gleiten. Das Modell durchsucht die möglichen Linien und zeichnet diejenige mit dem größten Abstand zu den Rändern. Die Prozentangabe zeigt die größte Abweichung von der Ringmitte an einer Fuge, bezogen auf die halbe Ringdicke. Unter Eigengewicht erreicht der Modellring 71%, es bleibt also Reserve. Jedes Widerlager wirkt dann mit H = 104 kN seitwärts und 266 kN aufwärts zurück, der Hälfte des Ringgewichts.

Eine Last auf dem Ring zwingt die Linie darunter zu einem scharfen Knick. Etwa 100 kN am Scheitel verbrauchen den gesamten Spielraum: Keine Linie passt mehr hinein. Am ungünstigsten liegt die Last in diesem Modell knapp neben dem Scheitel, bei 45% der Spannweite; dort genügen 72 kN. Bei einem Viertel der Spannweite liegt die Grenze bei 129 kN, nahe den Kämpfern über 500 kN, weil die Last fast direkt ins Widerlager gelangt. Wo die Linie den Rand berührt, können Fugen aufklaffen und sich wie Gelenke drehen. Vier solcher Gelenke machen den Ring zu einem beweglichen Mechanismus, und er fällt. Im Modell werden diese Fugen rot.

Ein bloßer Ring ist der ungünstigste Fall. Echte Steinbrücken tragen eine Erdauffüllung und eine Straße über dem Ring. Die Auffüllung erhöht das Gewicht, was die Stützlinie stabilisiert, und verteilt eine Radlast auf einen breiten Ringabschnitt.

Wie ein Fachwerk Biegung in Druck und Zug verwandelt

Ein Fachwerk ersetzt einen massiven Balken durch Dreiecke aus geraden, an den Enden verbundenen Stäben. Bei als Gelenken angenommenen Knoten und ausschließlich dort angreifenden Lasten trägt jeder Stab nur eine Kraft in Längsrichtung: Druck, blau dargestellt, oder Zug, rot dargestellt.

Die Kräfte ergeben sich aus dem Knotenpunktverfahren. An jedem Gelenk müssen sich Stabkräfte, äußere Lasten und Auflagerreaktionen sowohl horizontal als auch vertikal zu null addieren. Das Modellfachwerk hat 12 Knoten und damit 24 Gleichungen. Seine 21 Stäbe und drei Auflagerreaktionen ergeben genau 24 Unbekannte. Die gemeinsame Lösung liefert alle Kräfte gleichzeitig.

Stellen Sie einen 200 kN schweren Lastwagen in die Mitte. Jedes der zwei Fachwerke übernimmt die Hälfte, 100 kN, und jedes Auflager drückt mit 50 kN nach oben. Schneidet man das mittlere Feld und bildet das Momentengleichgewicht, ergibt sich in Spannweitenmitte 50 kN × 15 m = 750 kN·m. Bei 5 m Gurtabstand trägt der Obergurt 750 ÷ 5 = 150 kN Druck. Der Untergurt desselben Feldes trägt 100 kN Zug, jede Diagonale 50 ÷ sin 45° = 71 kN Zug. Das Anzeigefeld nennt dieselben Werte.

Warum Diagonalen unter einem fahrenden Lastwagen das Vorzeichen wechseln

Beim Pratt-Fachwerk fallen die Diagonalen zur Mitte hin ab. Bei symmetrischer Belastung stehen sie dadurch unter Zug. Das kam den Bauleuten des 19. Jahrhunderts entgegen: Lange Eisenstäbe waren günstig herzustellen, schlanke Druckstäbe konnten jedoch ausknicken. Thomas und Caleb Pratt entwarfen diese Bauweise 1844.

Ein Lastwagen bleibt aber nicht in der Mitte. Fahren Sie ihn auf ein Drittel der Spannweite, kehrt sich die Querkraft im mittleren Feld um. Die Diagonale U2L3, zuvor mit 71 kN auf Zug belastet, trägt jetzt 47 kN Druck. Ingenieure verwenden dafür eine Einflusslinie, die die Kraft eines Stabes beim Überfahren zeigt, und prüfen jeden Stab auf den ungünstigsten Wert in beiden Richtungen. Ältere Pratt-Fachwerke mit reinen Zugdiagonalen erhielten deshalb gekreuzte Gegendiagonalen in den mittleren Feldern.

Warum ein hängendes Seil eine Parabel bildet

Die Fahrbahn einer Hängebrücke hängt an senkrechten Hängern, im Modell alle 8 m. Ihr Gewicht von 40 kN pro Meter und Seil gelangt in gleichen Abständen als gleiche Last zum Seil: 320 kN je Hänger.

Ein Seil kann keine Biegung aufnehmen. Sein Durchhang muss daher an jeder Stelle dem Biegemoment eines einfach gelagerten Balkens gleicher Spannweite unter denselben Lasten entsprechen, geteilt durch den horizontalen Zug H. Bei gleichmäßiger Last ist die Momentenlinie eine Parabel, also auch das Seil. In der Mitte beträgt das Moment wL² ÷ 8. Da dort der Durchhang f beträgt, gilt H = wL² ÷ (8f) = 40 × 160² ÷ (8 × 16) = 8000 kN. Nahe den Türmen trägt das Seil zusätzlich den vertikalen Anteil des Fahrbahngewichts, weshalb die Zugkraft dort auf 8558 kN steigt.

Eine nur unter Eigengewicht hängende Kette bildet dagegen eine Kettenlinie, weil das Gewicht entlang der gekrümmten Länge statt gleichmäßig über die Spannweite verteilt ist. Bei 160 m Spannweite und 16 m Durchhang unterscheiden sich die beiden Kurven um höchstens 52 mm. Ein echtes Seil trägt Eigengewicht und Fahrbahn, seine Form liegt also dazwischen.

Ein Lastwagen stört dieses Muster. Ohne Versteifungsträger im Modell zieht ein 300 kN schwerer Lastwagen (150 kN je Seil) bei einem Viertel der Spannweite einen Knick ins Seil. Weil es sich nicht dehnt, hebt sich der übrige Teil etwas. H steigt auf 8213 kN, und unter dem Lastwagen sinkt das Seil um 0,24 m. Das Modell zeigt diese Bewegung zehnfach vergrößert. Echte Hängebrücken verteilen solche Lasten mit einem steifen Fahrbahnträger auf viele Hänger.

Türme und Verankerungen

Das Seil läuft über einen Sattel auf jedem Turm und durch das Rückspannfeld zur Verankerung. Kann der Sattel rollen, ist der horizontale Zug beidseitig gleich, sodass die Türme überwiegend vertikale Lasten tragen. Im Modell fällt jede Rückverankerung über 50 m um 16 m ab. Ihre Zugkraft ist H geteilt durch den Kosinus dieses Neigungswinkels, unter der Fahrbahn allein 8400 kN. Sie zieht mit 2560 kN aufwärts an der Verankerung. Deshalb sind die Verankerungen so groß: Ihr Gewicht hält das Seilende unten.

Koreanische Brücken nach diesen Prinzipien

Koreas erhaltene steinerne Bogenbrücken heißen Hongyegyo oder Hongyo, also Regenbogenbrücke. Die Seungseongyo am Tempel Seonamsa in Suncheon besitzt einen einzelnen Halbkreisbogen aus etwa 140 Steinen. Laut National Heritage Service wurde sie 1707 erbaut, nach einem Hochwasser 1713 repariert und 1963 als Kulturschatz ausgewiesen. Die Beolgyo Hongyo in Boseong entstand 1729 und wurde 1737 mit drei Bögen neu errichtet; sie ist die größte erhaltene steinerne Regenbogenbrücke. Unter dem Scheitel beider Brücken ragt ein geschnitzter Drachenkopf hervor.

Unter den Hängebrücken war die am 22. Juni 1973 eröffnete, insgesamt 660 m lange Namhae-Brücke Koreas erste. Die Yi-Sun-sin-Brücke zwischen Yeosu und Gwangyang besitzt eine Hauptspannweite von 1545 m zwischen den Türmen. Sie wurde im Mai 2012 vorläufig und am 8. Februar 2013 vollständig eröffnet.

Rechenbeispiel: Warum ein flacherer Bogen stärker schiebt

Betrachten Sie den Modellbogen zwischen seinen Kämpfern: Spannweite L = 8 m, Stichhöhe f = 4 m, entsprechend dem Radius von 4 m. Belasten Sie den Scheitel mit 100 kN und nehmen Sie einen Dreigelenkbogen mit Gelenken an beiden Kämpfern und am Scheitel an. Aus Symmetrie trägt jedes Widerlager 50 kN aufwärts. Schneiden Sie am Scheitelgelenk und bilden Sie für die linke Hälfte das Momentengleichgewicht darum: Die Reaktion von 50 kN greift 4 m vom Scheitel entfernt an, der horizontale Schub H 4 m darunter. Also gilt 50 × 4 = H × 4 und H = 50 kN. Allgemein: H = PL ÷ (4f) = 100 × 8 ÷ 16 = 50 kN.

Behalten Sie Spannweite und Last bei, flachen Sie aber den Bogen ab. Bei f = 2 m ergibt dieselbe Formel H = 100 kN, bei f = 1 m bereits 200 kN. Die vertikale Reaktion bleibt jeweils 50 kN. Nur der seitliche Schub ändert sich, umgekehrt proportional zur Stichhöhe. Ein flacher Bogen braucht vor allem stärkere Widerlager, nicht stärkeren Stein.

Für eine gleichmäßige Last w gilt dieselbe Regel. Ein parabelförmiger Bogen mit w pro Meter hat H = wL² ÷ (8f), genau die umgedrehte Seilformel. Die 605 fertiggestellte Zhaozhou-Brücke in Hebei verdeutlicht den Unterschied. Die American Society of Civil Engineers nennt 37 m Spannweite und nur 23,9 ft, etwa 7,3 m Stichhöhe. Idealisiert man sie und einen Halbkreisbogen gleicher Spannweite als Parabeln unter gleichmäßiger Last, ist der Schub je Einheit Gesamtlast L ÷ (8f). Für Zhaozhou ergibt das 37 ÷ (8 × 7,3) = 0,63. Beim Halbkreis mit halber Spannweite als Stichhöhe sind es 0,25. Der niedrige Bogen schiebt pro getragenem Kilonewton etwa 2,5-mal stärker seitwärts, der Preis für ein flaches Straßenprofil.

Das Lehrgerüst beim Schließen des Rings

„Verlegte Steine“ zählt von 0 bis 15; jeder Stein im Modell wiegt etwa 35 kN. Bei 10 Steinen trägt das hölzerne Lehrgerüst ungefähr 350 kN Mauerwerk ohne weitere Abstützung. Schalten Sie dann „Lehrgerüst“ aus, fallen die Steine. Ein unvollständiger Ring ist keine geschlossene Struktur, und zwischen den Kämpfern lässt sich keine Stützlinie zeichnen.

Bei 15 Steinen ändert sich die Lage vollständig. Der Ring ist geschlossen, das Modell findet eine Stützlinie in seinem Inneren, und das Lehrgerüst wird nicht mehr gebraucht. Bauleute senken es schrittweise ab, statt es einfach wegzuschlagen. Das technische Merkblatt der Brick Industry Association über gemauerte Bögen ordnet das Absenken des Lehrgerüsts erst nach dem Einsetzen des Schlusssteins ein.

Dabei springt der Bogen nicht in einen einzigen festgelegten Zustand. Der horizontale Schub kann sich innerhalb eines Bereichs einstellen. Block, DeJong und Ochsendorf geben für einen Halbkreisbogen mit einer Ringdicke von 18% seines Radius etwa 16% des Bogengewichts als Mindestschub und etwa 24% als Höchstschub an. Der Modellring ist mit 0,6 m bei 4 m Radius, also 15%, etwas dünner, sein Bereich daher enger. Die dargestellten 104 kN bei 532 kN Ringgewicht entsprechen 19,5% des Gewichts und liegen gut in der Mitte eines solchen Bereichs. Weicht ein Widerlager etwas aus, wandert der Schub zum unteren Ende. Der Bogen steht weiter, solange noch eine Linie in den Ring passt.

Bogen, Fachwerk und Seil im Vergleich

Die drei Strukturen beantworten dieselbe Frage unterschiedlich. Am deutlichsten zeigt sich das daran, wie sie ihre Auflager belasten.

• Steinbogen. Der Ring steht immer unter Druck. Jedes Widerlager wird nach unten und außen gedrückt. Im Modell wirken unter Eigengewicht 266 kN abwärts und 104 kN auswärts.
• Pratt-Fachwerk. Das Fachwerk drückt nur senkrecht auf seine Auflager. Seine Stäbe tragen je nach Lastposition Druck oder Zug, die Gurte liefern den Biegewiderstand. Im Modell ist die Gurtkraft bei 100 kN Last das Mittelmoment geteilt durch die Höhe: 750 ÷ 5 = 150 kN. Bei halber Höhe von 2,5 m müssten die Gurte unter derselben Last 300 kN tragen.
• Hängebrücke. Das Seil steht stets unter Zug und zieht die Auflager nach innen und oben. Sein horizontaler Zug ist H = wL² ÷ (8f). Halbiert man den Durchhang, verdoppelt er sich: Aus den 8000 kN des Modells würden bei 8 m Durchhang 16.000 kN.

Vergleichen Sie bei gleichmäßiger Last die Horizontalkraft mit der getragenen Last. Das Modellseil hat H ÷ (wL) = 160 ÷ (8 × 16) = 1,25, weil sein Durchhang ein Zehntel (1/10) der Spannweite beträgt. Ein Halbkreisbogen erreicht in derselben Idealisierung 0,25, weil seine Stichhöhe die halbe Spannweite ist. Ein Seil mit einem Zehntel (1/10) Durchhang zieht fünfmal so stark seitwärts, wie der Bogen schiebt. Deshalb sind Verankerungen und Rückspannseile so massiv.

Die Werkstoffe folgen derselben Logik. Stein und Gusseisen halten Druck gut aus, sind bei Zug aber spröde und eignen sich deshalb für Bögen. Stahl verträgt beides und passt zu Fachwerken. Ein Stahldrahtseil ist unter Druck nutzlos, unter Zug jedoch sehr leistungsfähig und eignet sich für Hängebrücken. Die Iron Bridge in Coalbrookdale, Shropshire, zeigt das Fortwirken alter Bauweisen: English Heritage beschreibt eine einzelne gusseiserne Spannweite von 30 m aus fünf halbkreisförmigen Rippen, verbunden mit aus dem Holzbau übernommenen Schwalbenschwanz- und abgesetzten Zapfenverbindungen.

Echte Brücken und ihre Belastungsproben

Pont du Gard, Frankreich. Die UNESCO beschreibt eine römische Aquäduktbrücke mit drei Bogenetagen und fast 48,77 m Höhe; die unteren zwei Ebenen bestehen aus großen Steinblöcken. Bei gleich großen Bögen in einer Reihe schiebt jeder seitwärts gegen seine Nachbarn. An jedem Pfeiler außer dem letzten heben sich die Kräfte auf. Nur die zwei Endwiderlager müssen einen resultierenden Schub aufnehmen.

Zhaozhou-Brücke, China, 605. Der ASCE-Eintrag nennt sie die älteste Bogenbrücke der Welt mit durchbrochenen Zwickeln. Li Chun baute sie aus 28 dünnen gekrümmten Kalksteinplatten, verbunden durch eiserne Schwalbenschwänze. Kleine Bögen an den Fahrbahnenden leiten einen Teil der Last in den Hauptbogen und lassen Hochwasser passieren. Ihre geringe Stichhöhe entspricht der obigen Schubberechnung.

Iron Bridge, England, 1779. English Heritage nennt 378 tons Eisen und Kosten von etwa £6000 gegenüber zunächst geschätzten £3200. Die BBC-Geschichtsseite zählt 482 Hauptgussteile und datiert den ersten Bogen über den Fluss auf den 2. Juli 1779. English Heritage ergänzt, dass 70% der Teile einzeln passend gegossen wurden, also keine zwei genau gleich sind. Laut BBC verschob sich das südliche Widerlager stark und wurde 1802 abgerissen. Ein Bogen ist nur so zuverlässig wie der Boden, der seinen Schub aufnimmt.

Golden Gate Bridge, 1937. Die ASCE-Seite nennt 4200 ft (etwa 1280 m) Hauptspannweite, bei der Errichtung die längste Einzelspannweite der Welt, und November 1932 als Baubeginn. Das ist achtmal so viel wie die 160 m des Modells. Behalten wir allein zur Veranschaulichung der Skalierung das Durchhangverhältnis von 1/10 und 40 kN Last je Meter Seil bei. Der horizontale Zug würde proportional zur Spannweite von 8000 kN auf 64.000 kN wachsen. Die echte Brücke hat andere Lasten und einen anderen Durchhang. Dies ist also nur eine Skalierungsprüfung, kein Wert für die Brücke.

Tacoma-Narrows-Brücke, 1940. Der ursprüngliche Entwurf sah 25 ft hohe Versteifungsfachwerke vor. Ein billigerer Entwurf mit 8 ft hohen Vollwandträgern ersetzte ihn. Die Brücke wurde am 1. Juli 1940 eröffnet. Laut ASCE versagte sie am 7. November 1940 bei nur 42 mph Wind, vier Monate später. Die Ursache war aerodynamisch und fehlt im Modell vollständig. Mit einem Verhältnis von Trägerhöhe zu Breite von 1 zu 72 war die Fahrbahn äußerst flach und verdrehte sich leicht. Der Ersatzbau von 1950 erhielt ein 33 ft hohes Versteifungsfachwerk und Öffnungen, durch die Wind die Fahrbahn passieren konnte.

Häufige Missverständnisse

• „Der Schlussstein hält den ganzen Bogen.“ Jeder Stein wird von seinen Nachbarn zusammengedrückt, auch der Schlussstein. Im Modell hat er dieselbe Größe und dasselbe Gewicht wie die anderen 14. Entscheidend ist, dass er den Ring schließt.
• „Eine Scheitellast ist am ungünstigsten.“ Im Modell nicht. Der Ring verträgt dort etwa 100 kN, bei 45% der Spannweite aber nur 72 kN und bei einem Viertel 129 kN. Am ungünstigsten ist die Stelle, an der die Last die Stützlinie am weitesten von der Ringmitte wegdrückt.
• „Mehr Stäbe machen ein Fachwerk stärker.“ Stäbe helfen nur, wenn sie Kraft tragen. Im Modell sind die endnahen Vertikalen kraftlos, sofern keine Last auf ihrem Knoten steht. Eine Diagonale kann beim Fahren von Zug zu Druck wechseln.
• „Ein hängendes Seil bildet eine Kettenlinie.“ Nur wenn sein Eigengewicht überwiegt. Bei einer viel schwereren Fahrbahn entsteht eine Parabel. Im Modell unterscheiden sich beide Kurven über 160 m um höchstens 52 mm.
• „Tacoma Narrows war Resonanz.“ Die American Physical Society bezeichnet diese Lehrbucherklärung als falsch. Die Federal Works Administration hielt Resonanz für unwahrscheinlich. Als Ursache gilt Torsionsflattern, eine selbsterregte Verdrehung, bei der die eigene Fahrbahnbewegung dem Wind zusätzliche Energie entzog.

Versuche am Bildschirm

1. Wählen Sie oben auf der Bühne Steinbogen, Fachwerk, Hängebrücke, echte Brücken oder alle drei nebeneinander. Einzeln füllt jede Brücke die Bühne.
2. Ziehen Sie beim Steinbogen das gusseiserne Gewicht am Ring entlang. Die grüne Linie folgt ihm; Punkte darauf zeigen den Druckweg zu den Widerlagern. Bei etwa 45% der Spannweite genügen bereits 75 kN, um die Linie aus dem Ring zu drücken.
3. Tippen Sie auf einen beliebigen Bogenstein. Er gleitet heraus und der ganze Ring fällt, einschließlich Schlussstein. Mit „Steine zurücklegen“ bauen Sie ihn wieder auf.
4. Stellen Sie bei eingeschaltetem Lehrgerüst „Verlegte Steine“ auf 10 und schalten Sie „Lehrgerüst“ aus. Die Steine fallen. Verlegen Sie alle 15 und schalten Sie es erneut aus: Der Bogen steht.
5. Verringern Sie ohne Last die „Ringdicke“ von 0,60 m. Unter etwa 0,43 m passt keine Stützlinie mehr in den Ring.
6. Ziehen Sie am Fachwerk den Lastwagen. Bei 200 kN in der Mitte trägt der Obergurt 150 kN Druck. Bei einem Drittel der Spannweite wechselt die Diagonale U2L3 von Rot zu Blau.
7. Stellen Sie bei der Hängebrücke „Last“ auf 300 und ziehen Sie den Lastwagen auf ein Viertel der Spannweite. Das Seil knickt ab und sinkt um 0,24 m, zehnfach vergrößert dargestellt.
8. Öffnen Sie die echten Brücken: Zhaozhou, Brooklyn, Golden Gate und Akashi Kaikyō, jeweils mit gemessener Spannweite und Höhe gezeichnet.
9. Der Reiter „Bedienung“ bietet 11 Aufgaben, vom Einsturz des Bogens mit höchstens 100 kN bis zum Finden der 7 versteckten Dinge in den Szenen.

Wo das Modell einfacher ist als eine echte Brücke

• Der Bogen ist ein bloßer Ring ohne Füllung, Stirnwände oder Straße. Die Fugen sind radial, die Steine starr. Zerdrücken und Gleiten werden wie in Heymans Annahmen vernachlässigt.
• Die Bogenlast ist eine einzelne senkrechte Punktlast auf einem Stein.
• Das Fachwerk hat Gelenkknoten, vernachlässigt Eigen- und Fahrbahngewicht und behandelt den Lastwagen als Punktlast, verteilt auf die zwei nächsten Querträger.
• Die Hängefahrbahn besitzt keine Biegesteifigkeit, das Seil dehnt sich nicht, die Rückspannseile sind gerade und die Turmsättel rollen frei. Seil- und Fahrbahnbewegungen werden zehnfach vergrößert.

Wie die Zahlen geprüft wurden

Die Statik wurde auch von Hand berechnet. Beim Fachwerk mit 100 kN in Spannweitenmitte stimmen die Handwerte für Auflagerreaktionen, 150 kN im Obergurt, 100 kN im Untergurt, 70,7 kN in Endpfosten und Diagonalen sowie kraftlose endnahe Vertikalen überein. Zudem wurde für 61 Lastwagenpositionen das Gleichgewicht aller 12 Knoten bestätigt. Beim Bogen stimmt H = PL ÷ (4f) für einen Dreigelenkbogen unter Scheitellast. Für einen Halbkreisbogen mit t/R = 18% ergibt sich ein Schubbereich von 16% bis 24% des Bogengewichts, gegenüber 16% und 25% bei Block, DeJong und Ochsendorf. Beim Seil bestätigen die Rechnungen die Hängerpunkte auf y = 4fx(L − x) ÷ L² und H = wL² ÷ (8f).