Ponte de arco de pedra: carregue e veja como reparte o peso

O que o modelo mostra

Passe por baixo de uma ponte de pedra antiga e olhe para cima. Nenhuma argamassa é forte o bastante para colar as pedras contra a gravidade, e mesmo assim o arco está de pé há séculos. Uma ponte ferroviária de aço ali perto parece completamente diferente, uma treliça de barras finas, e uma ponte pênsil mais adiante, na costa, pendura a pista em dois cabos. As três resolvem o mesmo problema: levar uma carga por cima de um vão e descê-la até o chão dos dois lados.

O modelo coloca as três lado a lado. À esquerda fica um arco de pedra semicircular, no meio uma treliça Pratt e, à direita, uma ponte pênsil com duas torres e duas ancoragens. Cada uma é desenhada na própria escala, de modo que o arco tem cerca de 8 m de largura, a treliça 30 m e a ponte pênsil 160 m entre as torres. Os controles deslizantes "Posição da carga" e "Carga" movem um peso sobre as três ao mesmo tempo, e o painel no canto mostra as forças calculadas para essa posição. O controle "Pedras colocadas" e a chave "Cimbre" permitem construir o arco e retirar o seu apoio de madeira.

Por que a pedra só pode empurrar

A pedra é muito resistente quando é comprimida e muito fraca quando é tracionada. Uma pilha de blocos sem argamassa não aguenta nenhuma tração: as juntas simplesmente se abrem. Por isso uma ponte de pedra precisa ter uma forma em que todas as juntas sejam pressionadas uma contra a outra e nenhuma seja puxada.

Um arco faz isso transformando o peso das pedras e do tráfego, que desce na vertical, em um empurrão inclinado. Cada pedra em forma de cunha, chamada de aduela, se apoia nas vizinhas, e o empurrão percorre a curva e desce até os encontros. Como o empurrão é inclinado, os encontros precisam resistir a duas coisas: ao peso que vem de cima e a uma força lateral chamada empuxo. Sem o apoio lateral, os pés do arco se abrem e o topo desce.

Robert Hooke descreveu a forma correta em 1675 com um anagrama em latim. Decifrado, ele diz que uma corrente pendurada, virada de cabeça para baixo, dá a forma de um arco rígido. Uma corrente só pode estar sob tração, de modo que ela pende na forma que põe cada elo em tração pura. Se essa forma for invertida, cada elo ficará em compressão pura, que é exatamente o que a pedra pede.

Construir sobre o cimbre, e por que a chave importa

Meio arco não se sustenta. Cada pedra se inclina para dentro e, sem nada do outro lado em que se apoiar, giraria e cairia. Por isso os construtores levantam primeiro uma estrutura de madeira chamada cimbre, com o topo moldado como a face inferior do arco, e assentam as pedras sobre ela, das duas impostas em direção ao meio.

A última pedra, no topo, é a chave. Quando ela é encaixada, as duas metades se apoiam uma na outra e o anel se fecha. Os construtores então retiram as cunhas do alto dos postes do cimbre, a estrutura desce alguns centímetros e o arco passa a carregar o próprio peso pela primeira vez. Isso se chama descimbramento. No modelo, ajuste "Pedras colocadas" abaixo de 15 e desligue o cimbre: as pedras caem. Assente as 15 primeiro e a mesma chave deixa o arco de pé.

A forma da chave não tem nada de especial aqui. No modelo ela tem o mesmo tamanho e o mesmo peso das outras catorze pedras. O que a torna a chave é o fato de ser colocada por último.

A linha de pressões, em números

O anel do modelo tem raio de 4 m na linha de eixo, espessura de 0,6 m e largura de 3 m. Com granito a 23,5 kN por metro cúbico, o anel inteiro pesa π × 4 × 0,6 × 3 × 23,5 = 532 kN, cerca de 54 toneladas, divididos em 15 pedras de 35 kN cada.

Trate cada pedra como um único peso atuando no seu centro de gravidade e escolha um empuxo horizontal H. A partir de uma imposta, o empurrão segue em linha reta até encontrar o primeiro peso, depois se dobra para baixo em uma medida determinada por esse peso, segue reto até o próximo, e assim por diante. A linha quebrada que resulta é a linha de pressões. A inclinação dela em cada trecho é a força vertical que ainda falta carregar dividida por H, que é a mesma regra que define a forma de uma corrente pendurada.

O arco pode se acomodar no seu próprio H dentro de certos limites. Um empuxo pequeno dá uma linha de pressões funda e pontuda, e um empuxo grande dá uma linha mais achatada. O teorema da segurança de Jacques Heyman diz que, se for possível desenhar dentro da alvenaria, em todas as juntas, pelo menos uma dessas linhas, o arco não colapsa sob essas cargas, desde que as pedras não esmaguem nem deslizem. O modelo procura todas as linhas possíveis e desenha aquela que fica mais longe das bordas. A porcentagem no painel é o quanto essa linha se afasta do meio do anel na junta mais crítica, como fração da metade da espessura. Sob o próprio peso, o anel do modelo chega a 71%, de modo que há folga de sobra. Cada encontro então empurra de volta com H = 104 kN na horizontal e 266 kN para cima, metade do peso do anel.

Ponha uma carga sobre o anel e a linha precisa se dobrar bruscamente sob ela. Uma carga de cerca de 100 kN na chave consome toda a folga: nenhuma linha cabe mais. O pior lugar neste modelo fica logo ao lado da chave, a 45% do vão, onde 72 kN já bastam. A um quarto do vão o limite é 129 kN e, perto das impostas, passa de 500 kN, porque ali a carga desce quase em linha reta para o encontro. As juntas em que a linha toca a borda são aquelas onde o arco se abriria e giraria como uma rótula; quatro rótulas assim transformam o anel em um mecanismo, e ele cai. No modelo essas juntas ficam vermelhas.

Um anel nu é o pior caso. As pontes de pedra reais levam aterro de terra e uma pista acima do anel. Esse aterro acrescenta peso, o que ajuda a manter a linha de pressões no lugar, e distribui a carga de uma roda por uma parte larga do anel.

Como uma treliça transforma flexão em compressão e tração

Uma treliça substitui uma viga maciça por triângulos de barras retas unidas nas pontas. Se as juntas forem tratadas como pinos e as cargas chegarem apenas aos nós, cada barra recebe uma única força ao longo do seu comprimento: compressão, mostrada em azul, ou tração, mostrada em vermelho.

As forças vêm do método dos nós. Em cada pino, as forças das barras e qualquer carga ou reação de apoio precisam somar zero, tanto na horizontal quanto na vertical. A treliça do modelo tem 12 nós, o que dá 24 equações, e tem 21 barras mais três reações de apoio, de modo que há exatamente 24 incógnitas. Resolvê-las em conjunto dá todas as forças de uma vez.

Ponha um caminhão de 200 kN no meio. Cada uma das duas treliças recebe a metade, 100 kN, e cada apoio empurra para cima com 50 kN. Corte a treliça no painel central e tome os momentos: o momento fletor no meio do vão é 50 kN × 15 m = 750 kN·m e, com os banzos a 5 m de distância, o banzo superior carrega 750 ÷ 5 = 150 kN de compressão. O banzo inferior do mesmo painel carrega 100 kN de tração, e cada diagonal carrega 50 ÷ sen 45° = 71 kN de tração. O painel mostra esses mesmos valores.

Por que as diagonais mudam de sinal sob um caminhão em movimento

Em uma treliça Pratt, as diagonais descem inclinadas em direção ao meio. Esse arranjo as mantém sob tração numa carga simétrica, o que convinha aos construtores do século 19, que fabricavam barras de ferro longas a baixo custo, mas temiam que barras esbeltas sob compressão flambassem. Thomas e Caleb Pratt a projetaram em 1844.

Um caminhão, porém, não fica parado no meio. Leve-o a um terço do vão e o esforço cortante no painel central muda de sentido. A diagonal U2L3, que carregava 71 kN de tração, passa a carregar 47 kN de compressão. Os engenheiros lidam com isso com uma linha de influência, um gráfico da força de uma barra à medida que a carga atravessa, e verificam cada barra para o pior valor nos dois sentidos. As treliças Pratt antigas, com diagonais só de tração, acrescentavam contradiagonais cruzadas nos painéis centrais por esse motivo.

Por que um cabo pendurado forma uma parábola

O tabuleiro de uma ponte pênsil fica pendurado em pendurais verticais, e no modelo há um a cada 8 m. O peso do tabuleiro, 40 kN por metro para cada cabo, chega ao cabo como cargas iguais em espaçamentos iguais, 320 kN em cada pendural.

Um cabo não resiste à flexão, de modo que sua flecha em qualquer ponto precisa ser igual ao momento fletor que uma viga simples do mesmo vão teria sob as mesmas cargas, dividido pela tração horizontal H. Para uma carga uniforme, o diagrama de momentos é uma parábola, e portanto o cabo também é uma parábola. No meio do vão o momento é wL² ÷ 8 e, como a flecha ali é f, H = wL² ÷ (8f) = 40 × 160² ÷ (8 × 16) = 8000 kN. Perto das torres o cabo também carrega a parte vertical do peso do tabuleiro, e por isso a tração ali sobe para 8558 kN.

Uma corrente pendurada sob o próprio peso forma, em vez disso, uma catenária, porque o peso dela se distribui ao longo do comprimento curvo, e não uniformemente ao longo do vão. Para um vão de 160 m com 16 m de flecha, as duas curvas diferem no máximo 52 mm. Um cabo real carrega o próprio peso e o do tabuleiro, de modo que sua forma fica entre as duas.

Um caminhão quebra o padrão. Como o modelo não tem viga de enrijecimento, um caminhão de 300 kN (150 kN por cabo) a um quarto do vão faz uma dobra no cabo. Como o cabo não se alonga, o resto dele sobe um pouco, H aumenta para 8213 kN e o cabo sob o caminhão desce 0,24 m. O modelo desenha esse movimento dez vezes maior para que você possa vê-lo. As pontes pênseis reais usam uma viga rígida no tabuleiro para distribuir essas cargas por muitos pendurais.

Torres e ancoragens

O cabo passa por uma sela em cada torre e desce pelo vão lateral até uma ancoragem. Se a sela puder rolar, a tração horizontal é a mesma dos dois lados, e por isso as torres carregam sobretudo uma carga vertical. No modelo, cada cabo de retenção desce 16 m ao longo de um vão lateral de 50 m. A tração nele é H dividido pelo cosseno dessa inclinação, 8400 kN só com o tabuleiro, e ele puxa a ancoragem para cima com 2560 kN. É por isso que as ancoragens são blocos tão grandes: o peso delas mantém a ponta do cabo para baixo.

Pontes coreanas construídas sobre essas ideias

As pontes de arco de pedra que sobrevivem na Coreia se chamam hongyegyo ou hongyo, o que significa ponte arco-íris. Seungseongyo, no templo Seonamsa, em Suncheon, é um único arco semicircular de cerca de 140 pedras. Segundo o National Heritage Service, ela foi construída pela primeira vez em 1707 e reparada após uma enchente em 1713, e foi designada Tesouro em 1963. Beolgyo Hongyo, em Boseong, foi construída em 1729 e reconstruída com três arcos em 1737; é a maior das pontes arco-íris de pedra ainda de pé. As duas têm uma cabeça de dragão esculpida projetando-se sob a chave.

Entre as pontes pênseis, a Ponte Namhae, inaugurada em 22 de junho de 1973 com 660 m de comprimento total, foi a primeira ponte pênsil da Coreia. A Ponte Yi Sun-sin, entre Yeosu e Gwangyang, tem um vão principal de 1545 m entre as torres; foi aberta temporariamente em maio de 2012 e por completo em 8 de fevereiro de 2013.

Exemplo resolvido: como um arco mais abatido empurra mais

Tome o arco do modelo entre as impostas: um vão de L = 8 m e uma flecha de f = 4 m, que é o raio de 4 m. Ponha 100 kN na chave e trate o arco como triarticulado, com uma rótula em cada imposta e uma na chave. Por simetria, cada encontro recebe 50 kN para cima. Agora corte o arco na rótula da chave e tome os momentos em torno dela para a metade esquerda: a reação de 50 kN atua a 4 m da chave, e o empuxo horizontal H atua 4 m abaixo dela. Assim, 50 × 4 = H × 4, e H = 50 kN. Em geral, H = PL ÷ (4f) = 100 × 8 ÷ 16 = 50 kN.

Mantenha o vão e a carga, mas abata o arco. Com f = 2 m, a mesma fórmula dá H = 100 kN e, com f = 1 m, dá 200 kN. A reação vertical permanece em 50 kN todas as vezes. Só o empurrão lateral muda, e ele é inversamente proporcional à flecha. Um arco abatido precisa menos de pedra mais forte do que de encontros mais fortes.

A mesma regra vale para uma carga uniforme w. Um arco parabólico que carrega w por metro tem H = wL² ÷ (8f), que é exatamente a fórmula do cabo virada de cabeça para baixo. A Ponte de Zhaozhou, em Hebei, concluída em 605, torna o contraste concreto. A American Society of Civil Engineers lhe atribui um vão de 37 m e uma flecha de apenas 23,9 ft, cerca de 7,3 m. Tratando tanto ela quanto um arco semicircular do mesmo vão como parábolas sob carga uniforme (uma idealização), o empuxo por unidade de carga total é L ÷ (8f). Para Zhaozhou, isso dá 37 ÷ (8 × 7,3) = 0,63. Para um semicírculo, cuja flecha é metade do vão, dá 0,25. O arco baixo empurra para os lados cerca de 2,5 vezes mais para cada quilonewton que carrega, e esse é o preço de um perfil suave da pista.

Cimbre, anel a anel

O controle "Pedras colocadas" conta de 0 a 15, e cada pedra do modelo pesa cerca de 35 kN. Com 10 pedras, o cimbre de madeira está carregando aproximadamente 350 kN de alvenaria que não tem mais nada em que se apoiar. Desligue o "Cimbre" nesse ponto e as pedras caem, porque um anel incompleto não é uma estrutura fechada e nenhuma linha de pressões pode ser traçada de uma imposta à outra.

Com 15 pedras, a situação muda por completo. O anel está fechado, o modelo encontra uma linha de pressões dentro dele e o cimbre não carrega nada de útil. Os construtores o abaixam por etapas, em vez de derrubá-lo de uma vez. A nota técnica da Brick Industry Association sobre arcos de alvenaria trata o alívio do cimbre como uma etapa que só vem depois de a chave ser colocada.

Quando isso acontece, o arco não salta para um único estado fixo. O empuxo horizontal pode se acomodar em qualquer ponto de uma faixa. Block, DeJong e Ochsendorf relatam, para um arco semicircular com espessura de anel de 18% do raio, um empuxo mínimo de cerca de 16% do peso do arco e um máximo de cerca de 24%. O anel do modelo é um pouco mais fino, 0,6 m sobre um raio de 4 m, ou 15%, de modo que sua faixa é um pouco mais estreita. O empuxo que o modelo desenha, 104 kN para um peso do anel de 532 kN, é 19,5% do peso e fica confortavelmente no meio de uma faixa desse tipo. Se um encontro ceder um pouco, o empuxo se desloca para a extremidade inferior da faixa, e o arco continua de pé enquanto ainda couber alguma linha dentro do anel.

Arco, treliça e cabo comparados

As três estruturas respondem à mesma pergunta de três maneiras diferentes, e a diferença mais clara é o que cada uma faz com os seus apoios.

• Arco de pedra. O anel está sempre sob compressão. Cada encontro é empurrado para baixo e para fora. No modelo: 266 kN para baixo e 104 kN para fora sob o peso do próprio anel.
• Treliça Pratt. A treliça apenas pressiona os apoios na vertical. Suas barras recebem compressão ou tração conforme o ponto em que a carga está, e os banzos fornecem a resistência à flexão. No modelo, a força nos banzos para uma carga de 100 kN é o momento no meio do vão dividido pela altura: 750 ÷ 5 = 150 kN. Uma treliça com metade da altura, 2,5 m, precisaria de banzos que carregassem 300 kN para a mesma carga.
• Ponte pênsil. O cabo está sempre sob tração e puxa os apoios para dentro e para cima. Sua tração horizontal é H = wL² ÷ (8f), de modo que reduzir a flecha à metade dobra essa tração: os 8000 kN do modelo passariam a 16.000 kN com 8 m de flecha.

Para uma carga uniforme, compare a força horizontal com a carga carregada. O cabo do modelo tem H ÷ (wL) = 160 ÷ (8 × 16) = 1,25, porque sua flecha é um décimo (1/10) do vão. Um arco semicircular tem uma razão de 0,25 na mesma idealização, porque sua flecha é metade do vão. Um cabo cuja flecha é um décimo (1/10) do vão puxa cinco vezes mais para os lados do que o arco empurra, e é por isso que as ancoragens e os cabos de retenção são tão maciços.

Os materiais seguem a mesma lógica. A pedra e o ferro fundido são fortes quando comprimidos e frágeis quando tracionados, e por isso servem para arcos. O aço aguenta as duas coisas, e por isso serve para treliças. Um cabo de fios de aço é inútil sob compressão, mas excelente sob tração, e por isso serve para uma ponte pênsil. A Ponte de Ferro em Coalbrookdale, em Shropshire, mostra como os hábitos se transmitem: a English Heritage descreve um único vão de ferro fundido de 30 m feito de cinco nervuras semicirculares, unidas com encaixes em cauda de andorinha e ligações de ombro tomados da carpintaria.

Pontes reais e o que elas testam

Pont du Gard, França. A UNESCO descreve uma ponte-aqueduto romana de três andares de arcos, que se eleva a quase 48,77 m, com os dois níveis inferiores construídos de grandes blocos de pedra. Em uma fileira de arcos iguais, cada um empurra os vizinhos para os lados, e os empurrões se anulam em todos os pilares, menos no último. Apenas os dois encontros das pontas precisam resistir a um empuxo resultante.

Ponte de Zhaozhou, China, 605. O registro de marco histórico da ASCE a chama de a ponte em arco de tímpano aberto mais antiga do mundo. Ela foi construída por Li Chun com 28 lajes finas e curvas de calcário unidas por encaixes de ferro em cauda de andorinha, e pequenos arcos nas pontas do tabuleiro passam parte da carga ao arco principal e deixam a água das cheias passar. Sua flecha baixa decorre do cálculo de empuxo visto acima.

Ponte de Ferro, Inglaterra, 1779. A English Heritage registra 378 toneladas de ferro e um custo de cerca de £6000, contra uma primeira estimativa de £3200. A página de história da BBC conta 482 peças fundidas principais e diz que o primeiro arco atravessou o rio em 2 de julho de 1779. A English Heritage acrescenta que 70% dos componentes foram fundidos um a um para se ajustar, de modo que não há dois exatamente iguais. A página da BBC acrescenta que o encontro sul se moveu gravemente e foi demolido em 1802, um lembrete de que um arco é tão confiável quanto o terreno que recebe o seu empuxo.

Ponte Golden Gate, 1937. A página de marco da ASCE indica um vão principal de 4200 ft (cerca de 1280 m), o maior vão único do mundo quando foi construída, com obras iniciadas em novembro de 1932. Isso é oito vezes os 160 m do modelo. Apenas como ilustração de escala, mantenha a razão de flecha do modelo, 1/10, e sua carga de 40 kN por metro de cabo. A tração horizontal então cresceria em proporção ao vão, de 8000 kN para 64.000 kN. A ponte real tem cargas diferentes e uma flecha diferente, de modo que isto é uma verificação de escala, não um valor para a ponte.

Ponte Tacoma Narrows, 1940. O projeto original tinha treliças de enrijecimento de 25 ft. Um projeto mais barato, com vigas de alma cheia de 8 ft, o substituiu, e a ponte foi aberta em 1º de julho de 1940. A ASCE registra que ela falhou em 7 de novembro de 1940, com um vento de apenas 42 mph, quatro meses após a abertura. A causa foi aerodinâmica, algo que o modelo não inclui de forma alguma. O tabuleiro era extremamente raso para a sua largura, com uma razão entre altura e largura de 1 para 72, e por isso torcia com facilidade. A substituta de 1950 usou uma treliça de enrijecimento de 33 ft e aberturas para o vento passar pelo tabuleiro.

Equívocos comuns

• "A chave sustenta o arco inteiro." Cada pedra é comprimida pelas vizinhas, e a chave é apenas uma delas. No modelo ela tem o mesmo tamanho e o mesmo peso das outras 14. O que importa é que ela fecha o anel.
• "Uma carga na chave é o pior caso." No modelo, não é. O anel tolera cerca de 100 kN na chave, mas apenas 72 kN a 45% do vão, e 129 kN a um quarto. A pior posição é aquela em que a carga leva a linha de pressões o mais longe possível do meio do anel.
• "Mais barras tornam uma treliça mais forte." As barras só ajudam se carregarem força. No modelo, os montantes mais próximos das pontas carregam força zero, a menos que a carga esteja sobre o seu nó, e uma diagonal pode passar de tração a compressão conforme o caminhão se move.
• "Um cabo pendurado é uma catenária." Só quando o peso do próprio cabo domina. Com um tabuleiro muito mais pesado que o cabo, a forma é uma parábola, e no modelo as duas curvas diferem no máximo 52 mm ao longo de 160 m.
• "Tacoma Narrows foi ressonância." A American Physical Society observa que essa explicação de livro didático está incorreta. A Federal Works Administration considerou a ressonância uma causa improvável, e a explicação aceita é o flutter torcional, uma torção autoexcitada em que o próprio movimento do tabuleiro tirava mais energia do vento.

Coisas para tentar na tela

1. Use os botões de cena no alto do palco: arco de pedra, treliça, ponte pênsil, pontes reais ou as três lado a lado. Cada ponte ocupa o palco sozinha.
2. No arco de pedra, arraste o peso de ferro fundido ao longo do anel. A linha verde o acompanha, e os pontos que descem pela linha mostram o empurrão viajando até os encontros. Por volta de 45% do vão, 75 kN já bastam para empurrar a linha para fora do anel.
3. Toque em qualquer pedra do anel. Ela desliza para fora e o anel inteiro cai, a chave inclusive. Pressione "Recolocar as pedras" para reconstruí-lo.
4. Ajuste "Pedras colocadas" para 10 com o cimbre ligado e depois desligue o "Cimbre". As pedras caem. Assente as 15 e desligue de novo: o arco fica de pé.
5. Sem carga, reduza a "Espessura do anel" a partir de 0,60 m. Abaixo de cerca de 0,43 m, nenhuma linha de pressões cabe mais dentro do anel.
6. Na treliça, arraste o caminhão. Com 200 kN no meio, o banzo superior carrega 150 kN de compressão. Leve-o a um terço do vão e a diagonal U2L3 passa de vermelha a azul.
7. Na ponte pênsil, ajuste "Carga" para 300 e arraste o caminhão até um quarto do vão. O cabo se dobra e desce 0,24 m, desenhado dez vezes maior.
8. Abra as pontes reais: Zhaozhou, Brooklyn, Golden Gate e Akashi Kaikyō, cada uma desenhada com o vão e a altura medidos.
9. A aba Controles lista 11 desafios, de romper o arco com 100 kN ou menos a encontrar as 7 coisas escondidas nas cenas.

Onde o modelo é mais simples que uma ponte real

• O arco é um anel nu, sem aterro, sem paredes de tímpano e sem pista. As juntas são radiais, as pedras são rígidas, e o esmagamento e o deslizamento são ignorados, como nas hipóteses de Heyman.
• A carga sobre o arco é uma única carga pontual vertical apoiada em uma pedra.
• A treliça tem nós articulados, ignora o próprio peso e o do tabuleiro, e trata o caminhão como uma carga pontual dividida entre as duas transversinas mais próximas.
• O tabuleiro da ponte pênsil não tem rigidez à flexão, o cabo não se alonga, os cabos de retenção são retos e as selas das torres rolam livremente. Os movimentos do cabo e do tabuleiro são desenhados dez vezes maiores.

Como os números foram verificados

A estática também foi calculada à mão. Para a treliça com 100 kN no meio do vão, os valores à mão coincidem com as reações, o banzo superior de 150 kN, o banzo inferior de 100 kN, os montantes de extremidade e as diagonais de 70,7 kN, e a força zero nos montantes junto às pontas, e confirmam que os 12 nós se equilibram para 61 posições do caminhão. Para o arco, coincidem com H = PL ÷ (4f) para um arco triarticulado com carga na chave e, para um arco semicircular com t/R = 18%, a faixa de empuxo sai de 16% a 24% do peso do arco, contra 16% e 25% relatados por Block, DeJong e Ochsendorf. Para o cabo, confirmam que os pontos dos pendurais ficam sobre y = 4fx(L − x) ÷ L² e que H = wL² ÷ (8f).