Cómo funciona un piano: mecanismo del martillo y afinación

Qué ocurre cuando pulsas una tecla del piano

¿Cómo funciona un piano? Al pulsar una tecla de un piano de cola la notas bajar cerca de un centímetro, y en algún lugar tras el atril un martillo de fieltro del tamaño de un pulgar sube volando, golpea una cuerda de acero y vuelve a caer, todo en unas pocas centésimas de segundo. Nunca lo ves, porque ocurre dentro de la caja y demasiado deprisa.

El modelo de arriba muestra el mecanismo de una sola tecla, visto de lado, con la velocidad reducida hasta 1/50. Toca el teclado que hay debajo: el modelo repite el golpe en cámara lenta mientras tú oyes la nota a velocidad normal. El recuadro de la esquina del modelo indica cuánto ha bajado la tecla, a qué distancia de la cuerda sigue el martillo y la frecuencia de la nota que has tocado, calculada a partir de A4 = 440 Hz.

Por qué el martillo tiene que soltarse de la cuerda

La manera más obvia de construir un piano sería fijar un martillo a la parte trasera de cada tecla. Pulsas la tecla y el martillo golpea la cuerda. El problema empieza un instante después. Con el dedo aún sobre la tecla, el martillo seguiría apretado contra la cuerda, y una almohadilla de fieltro apoyada en un alambre que vibra lo detiene en pocos ciclos. En lugar de una nota oirías un golpe sordo.

Por eso el martillo tiene que ser lanzado, no empujado. Durante la mayor parte del recorrido de la tecla, una pequeña pieza de madera llamada empujador impulsa el martillo hacia arriba. Un par de milímetros antes de que el martillo llegue a la cuerda, el empujador se sale de debajo de él y el martillo recorre la última distancia por su propia inercia. Golpea la cuerda, rebota y vuelve a caer. Este truco se llama escape, y todo piano desde los primeros instrumentos de Bartolomeo Cristofori hacia 1700 ha tenido alguna versión de él.

El escape crea un segundo problema. Una vez que el empujador se ha salido, tiene que volver a colocarse bajo el martillo antes de que se pueda tocar otra vez la misma nota. En un mecanismo sencillo eso solo ocurre cuando la tecla ha subido del todo. Las notas repetidas rápidas, como un trino, serían lentas y desiguales. El piano de cola lo resuelve con una segunda palanca, la palanca de repetición, que mantiene el martillo lo bastante alto para que el empujador se deslice de nuevo debajo mientras la tecla solo ha subido una parte del camino. Como el martillo puede liberarse dos veces de este modo, el mecanismo suele llamarse mecanismo de doble escape.

Qué hace cada pieza

Sigue el impulso desde tu dedo hasta la cuerda.

1. Tecla. Una palanca de madera que oscila sobre un pasador de equilibrio de acero. En el modelo el pasador está a 240 mm del borde delantero, así que el frente baja mientras el extremo trasero sube.
2. Pilote. Un botón de latón enroscado en la parte trasera de la tecla. Levanta el balancín.
3. Balancín. Una palanca articulada sobre su propia brida. Lleva el empujador y la palanca de repetición y convierte la elevación de la tecla en un empuje hacia arriba.
4. Empujador. Tiene forma de L. Su brazo vertical empuja el nudillo que hay bajo el mango del martillo; su punta corta apunta hacia el botón de escape.
5. Botón de escape. Un botón de fieltro sobre un tornillo. Cuando la punta del empujador lo alcanza, el empujador se inclina y suelta el martillo.
6. Martillo. Un mango delgado con una cabeza de fieltro de lana muy prensado sobre un núcleo de madera. El nudillo está cerca del pivote del mango, por lo que un empuje pequeño hace que la cabeza recorra un largo camino.
7. Palanca de repetición. Sostenida por un muelle, atrapa el nudillo después del escape y mantiene el martillo levantado mientras el empujador se repone.
8. Captador. Una almohadilla de fieltro en un alambre, en la parte trasera de la tecla. Atrapa el martillo cuando baja para que no rebote contra la cuerda.
9. Apagador. Un bloque de fieltro apoyado en la cuerda. El extremo lejano de la tecla lo levanta mediante una palanca inferior, de modo que la cuerda pueda sonar mientras mantienes la tecla.
10. Cuerda. Alambre de acero con mucho carbono. La mayoría de las notas tienen tres cuerdas afinadas a la misma altura, mientras que en el grave hay dos y luego una; el modelo muestra tres alambres para una nota. Entre todas, las cuerdas tiran del bastidor de hierro con decenas de toneladas de fuerza: en 1875 Steinway aseguraba tener un bastidor capaz de soportar 70 000 libras, unas 32 toneladas.
11. Fondo y bastidor del mecanismo. El tablero, los largueros y los soportes metálicos que mantienen todo esto alineado.

Haz clic en cualquier pieza de la pestaña «Piezas» y la cámara se desplaza hacia ella. «Ver por dentro» vuelve transparentes el fondo del teclado y el bastidor para que puedas observar el empujador y el botón de escape.

Un golpe, milisegundo a milisegundo

El modelo sigue una nota firme. La tecla tarda 50 ms en bajar, con arranque y frenado suaves. Esto es lo que ocurre por el camino, con los tiempos del propio modelo.

• 0 ms: la tecla empieza a bajar. El pilote levanta el balancín, el empujador levanta el nudillo y el martillo empieza a subir. A la vez, el extremo lejano de la tecla recorre un pequeño juego y empieza a separar el apagador de la cuerda.
• 41 ms: la tecla ha hecho el 92 % de su recorrido. La punta del empujador alcanza el botón de escape y el empujador se sale. La cabeza del martillo está a unos 3 mm de la cuerda y avanza a unos 0,66 m/s.
• 46 ms: tras unos 4,6 ms de vuelo libre, el fieltro alcanza la cuerda. A partir de aquí la tecla ya no decide nada de lo que hace el martillo.
• Después del golpe: el martillo rebota y cae sobre el captador, que lo sostiene un poco por debajo de la cuerda mientras la tecla sigue abajo. La palanca de repetición lo levanta ligeramente y el empujador se desliza de nuevo bajo el nudillo.
• Al soltar: la tecla sube, el captador suelta, el martillo vuelve al reposo y el apagador cae de nuevo sobre la cuerda.

A la velocidad más lenta (1/50), los 46 ms del dedo a la cuerda se convierten en 46 × 50 = 2300 ms, es decir, 2,3 segundos en pantalla, y solo el vuelo libre dura cerca de un cuarto de segundo. Es tiempo suficiente para ver que el empujador ya se ha apartado cuando llega el fieltro.

Las relaciones de palanca, calculadas

Cada palanca del mecanismo cambia fuerza por distancia. Aquí están los números del modelo, que usa una profundidad de tecla de 10 mm y un pasador de equilibrio a 240 mm del frente de la tecla.

• Ángulo de la tecla con todo el recorrido: atan(10 / 240) = 2,39°.
• El pilote está 155 mm detrás del pasador, así que sube 155 × sin 2,39° = 6,5 mm.
• El pivote del balancín está 145 mm delante del pilote, así que el balancín gira 6,5 / 145 rad = 2,55°.
• El empujador está a 105 mm del pivote del balancín, así que sube 105 × sin 2,55° = 4,7 mm.
• El nudillo está a 18 mm del pivote del mango del martillo, así que el martillo gira 4,7 / 18 rad = 14,9°.
• La punta del fieltro está a unos 148 mm de ese pivote, así que recorre 148 × 0,259 = 38 mm.

De 10 mm en la tecla a 38 mm en la cabeza del martillo hay una razón de unos 3,8. El punto de escape al 92 % del recorrido de la tecla deja 38 × 0,08 = 3,1 mm de vuelo libre. En un piano de cola real estas distancias las fija un técnico durante la regulación, girando tornillos como el del botón de escape y el del pilote, y las cifras exactas varían de un fabricante a otro. Una razón mayor significa un martillo más ligero y rápido para el mismo movimiento del dedo y una sensación más pesada bajo el dedo, por eso los fabricantes añaden pesos de plomo en la parte delantera de las teclas. El modelo tiene dos: los discos grises cerca del frente de la tecla.

Doce pasos iguales: de dónde salen las frecuencias

Un piano se afina en temperamento igual de doce notas. La octava, una duplicación de la frecuencia, se divide en doce semitonos, y cada semitono multiplica la frecuencia por el mismo número. Doce multiplicaciones iguales tienen que dar 2, así que ese número es la raíz duodécima de 2:

r = 2^(1/12) = 1,059463

La referencia es A4, el la por encima del do central, que la norma ISO 16 fija en 440 Hz. Numera las teclas como hace MIDI (A4 es 69, el do central es 60) y cualquier nota m tiene la frecuencia

f = 440 × 2^((m − 69) / 12)

Algunos valores para comprobar con el panel mientras tocas:

C6 está tres octavas por encima de C3, así que su frecuencia es 2³ = 8 veces mayor: 130,81 × 8 = 1046,50 Hz. Un ciclo del do central dura 1 / 261,63 s = 3,82 ms, de modo que incluso una nota corta mantenida medio segundo ha hecho oscilar la cuerda de un lado a otro unas 0,5 × 261,63 = 131 veces.

Por qué el temperamento igual desafina un poco

Las razones de frecuencia sencillas suenan suaves juntas. Una quinta justa es 3 : 2 y una tercera mayor es 5 : 4. El temperamento igual no puede acertarlas con exactitud, porque ninguna potencia de 2^(1/12) es una razón de números enteros pequeños.

• La quinta del temperamento igual es 2^(7/12) = 1,498307 en lugar de 1,5. Eso son 1,96 cents por debajo (un cent es 1/100 de semitono), algo difícil de oír.
• La tercera mayor del temperamento igual es 2^(4/12) = 1,259921 en lugar de 1,25. Eso son 13,7 cents por encima, que un oído entrenado sí percibe.

La diferencia se oye como batidos. Toca C4 y G4 juntas: el tercer armónico de C4 es 3 × 261,63 = 784,88 Hz y el segundo armónico de G4 es 2 × 392,00 = 783,99 Hz, de modo que baten unas 0,9 veces por segundo. Toca C4 y E4: el quinto armónico de C4 (1308,13 Hz) frente al cuarto de E4 (1318,51 Hz) bate unas 10 veces por segundo. Los afinadores cuentan estos batidos para fijar el temperamento. El precio es que todas las tonalidades suenan igual de aceptables, de modo que la música puede pasar a cualquier tonalidad sin reafinar.

El menú de escala bajo el teclado marca con puntos las notas de una escala, y la pantalla de acordes nombra lo que mantienes pulsado. Mantén C, E y G y muestra C. Mantén A, C y E y muestra Am.

Una cuerda en números: la ley de Mersenne

La cuerda es la parte del piano más fácil de expresar con números. Una cuerda tensa vibra con una frecuencia fundamental

f = (1 / 2L) × √(T / μ)

donde L es la longitud vibrante en metros, T es la tensión en newtons y μ es la masa de un metro de alambre. La raíz cuadrada es la velocidad de una onda a lo largo de la cuerda, y en cada ciclo la onda tiene que llegar al extremo opuesto y volver, una distancia de 2L. HyperPhysics, de la Universidad Estatal de Georgia, lo expone con una calculadora cuyo valor por defecto es una cuerda de 100 cm con una tensión de 50 libras (222 N) y 0,2872 g por metro. La velocidad de la onda sale de 880 m/s y la nota de 440 Hz.

Este es el mismo cálculo para una cuerda de A4. Los números son suposiciones mías, elegidas como típicas, y no mediciones de un piano concreto: alambre de acero liso de 1,0 mm de diámetro (densidad 7850 kg/m³) y una longitud vibrante de 0,33 m. Como comparación, las cuerdas de piano más finas miden unos 0,85 mm de diámetro, según el estudio de Jaatinen y Pätynen citado en las fuentes.

• Masa por metro: μ = 7850 × π × (0,0005)² = 6,17 × 10⁻³ kg/m.
• Velocidad de la onda: v = 2Lf = 2 × 0,33 × 440 = 290 m/s.
• Tensión: T = μv² = 0,00617 × 290² = 520 N, el peso de unos 53 kg colgados del alambre.
• A4 tiene tres cuerdas, así que esta sola tecla tira del bastidor con unos 1,56 kN.

Como referencia, el bastidor de Steinway de 1875 se construyó para soportar hasta 70 000 libras, que son 311 kN. Un piano de cola tiene 226 cuerdas si se cuenta como HyperPhysics (10 cuerdas graves sencillas, 18 notas con dos, 60 notas con tres: 10 + 36 + 180), de modo que el bastidor podría admitir 1,4 kN por cuerda. Otro estudio cuenta 220 de media, y la cifra varía de un fabricante a otro. En cualquier caso, 520 N está muy por debajo del límite.

La raíz cuadrada explica por qué afinar es tan delicado. Un cent cambia la frecuencia en un factor de 2^(1/1200), así que la tensión tiene que cambiar un 2^(1/600) − 1 = 0,116 %. Para esta cuerda son 0,60 N de 520 N. Una clavija que se desplaza esa cantidad ha movido la nota un cent.

También explica por qué las cuerdas no se reducen simplemente a la mitad en cada octava. Con el mismo alambre y la misma longitud, duplicar la frecuencia exige cuatro veces la tensión: 2080 N para A5 en este ejemplo. Reducir la longitud a la mitad resolvería el asunto con la misma tensión, pero los fabricantes reales se conforman con menos. HyperPhysics da una razón de longitudes de entre 1,88 y 1,94 a 1 por octava. En siete octavas, reducir a la mitad cada vez acortaría la cuerda en 2⁷ = 128 veces, y con 1,9 por octava se acorta en 1,9⁷ = 89 veces. Por tanto, las cuerdas más agudas son 128 / 89 = 1,43 veces más largas de lo que daría la mitad, así que la onda tiene que viajar por ellas 1,43 veces más rápido, lo que significa que T / μ debe ser 1,43² = 2,05 veces mayor. Los fabricantes mantienen la tensión en un margen parecido y dejan que baje la masa por metro, y por eso el alambre de los agudos es delgado. HyperPhysics lo dice en una frase: la masa de la cuerda se varía para ajustar las frecuencias a sus valores correctos.

En el grave el problema es el contrario. Toma A0 a 27,5 Hz con una longitud supuesta de 1,2 m y una tensión de 700 N. Entonces μ = 700 / (2 × 1,2 × 27,5)² = 0,161 kg/m y la velocidad de la onda es de solo 66 m/s. Una barra de acero lisa con esa masa por metro tendría 5,1 mm de grosor y sería demasiado rígida. Por eso el fabricante enrolla cobre o latón alrededor de un núcleo de acero más fino, lo que añade masa sin añadir mucha rigidez. Las cuerdas graves terminadas llegan a unos 8,5 mm de diámetro. Un ciclo de A0 dura 36 ms, mientras que un ciclo de A4 dura 2,3 ms.

Por qué los agudos se afinan más altos: parciales inarmónicos y afinación ensanchada

La sección de sonido de más abajo usa la fórmula f_n = n × f × √(1 + B n²) para los parciales. Una cuerda flexible ideal tendría los parciales exactamente en 1, 2, 3 y así sucesivamente veces la fundamental. Un alambre de acero también resiste la flexión, y el efecto crece a medida que la longitud de onda se acorta, así que cada parcial más alto queda un poco agudo. B es el coeficiente de inarmonicidad. Depende del diámetro, la longitud, la tensión y la rigidez del alambre. Robert Young lo midió en seis pianos en 1952 y comprobó que la teoría de las cuerdas rígidas se ajusta a los datos. Rudolf Rasch y Vincent Heetvelt midieron todas las cuerdas de un piano de cola de tamaño medio en 1985 y también hallaron las medidas en excelente acuerdo con la fórmula. Añaden que las cuerdas más agudas suelen tener mayor inarmonicidad, lo que cancela parte de su efecto sobre las frecuencias de batido.

Con el B = 0,00016 del modelo para el do central (261,63 Hz), los parciales salen así.

Young da unos 1,2 cents para el segundo modo de la cuerda del do central, y lo halló aproximadamente igual en los seis pianos. Eso corresponde a B ≈ 0,00035, el doble del valor del modelo. Así que el modelo es más suave que los instrumentos reales, y el 8.º parcial de la tabla no suena en absoluto porque el punto de golpe lo anula.

Esta es la razón de la afinación ensanchada. Supón que la cuerda de A4 tiene B = 0,0004 (suposición mía). Su segundo parcial está en 2 × 440 × √(1 + 4 × 0,0004) = 880,70 Hz, es decir, 1,4 cents por encima de 880. Si el afinador deja A5 exactamente en 880,00 Hz, el parcial y la fundamental de A5 baten 0,7 veces por segundo. El afinador elimina el batido subiendo A5 unos 0,7 Hz. Repite eso a lo largo del teclado y cada octava resulta un poco más ancha que 2 : 1. HyperPhysics sitúa el resultado en hasta 30 cents por encima en el extremo agudo y hasta 30 cents por debajo en el grave. En C8 eso es 4186,01 × 2^(30/1200) = 4259 Hz en lugar de 4186 Hz, y A0 acaba cerca de 27,03 Hz en lugar de 27,50 Hz.

Un estudio de 2022 de Jussi Jaatinen y Jukka Pätynen, de Aalto y Helsinki (Journal of the Acoustical Society of America), halló que en pianos verticales y de cola bien afinados la afinación está ensanchada sin excepción, y que la desviación crece con la distancia a la tecla de referencia, normalmente A4 o C4. Sus afinadores y músicos de orquesta eligieron una curva como la que Railsback midió en la década de 1930. Concluyen que la inarmonicidad de las cuerdas es la causa principal, con una preferencia general por las octavas anchas que también influye.

Los afinadores trabajan con batidos. En el centro del teclado fijan primero una octava de temperamento, normalmente de F3 a A3. La F3 del temperamento igual es 174,61 Hz, así que su quinto armónico es 873,07 Hz, y el cuarto armónico de A3 es 4 × 220 = 880 Hz. Los dos baten a 6,93 Hz (el artículo da 6,95). Como la inarmonicidad de cada piano es distinta, el artículo señala que hacen falta tablas específicas de cada instrumento.

Las teclas de esta página no se ensanchan. La frecuencia que muestra el panel es la fórmula sencilla del temperamento igual. Las notas sintetizadas tienen los parciales superiores agudos, pero ninguna nota se aparta de su valor de fórmula como lo haría un afinador.

Cómo se produce el sonido en esta página

No se usa ninguna grabación. Cada nota se construye en tu navegador con la Web Audio API, y no suena nada hasta que pulsas una tecla tú mismo.

• Parciales. Hasta doce ondas sinusoidales en múltiplos enteros de la frecuencia de la nota. Una cuerda real es rígida, así que sus parciales superiores quedan algo agudos: f_n = n × f × √(1 + B n²). El modelo usa B = 0,00016 en el do central, lo que sitúa el 10.º parcial 13,7 cents por encima de 10 × f.
• Punto de golpe. Un martillo que golpea la cuerda a 1/8 de su longitud no puede excitar los parciales que tienen un nodo ahí. La amplitud del parcial n se multiplica por |sin(nπ/8)|, así que falta el 8.º parcial y el 7.º y el 9.º son débiles.
• Decaimiento. Cada parcial cae deprisa al principio y luego se prolonga más despacio, y los parciales más agudos se extinguen antes. La constante de tiempo lenta es de 3,4 s en el do central, 5,0 s en C3 y 1,6 s en C6, así que las notas graves suenan más tiempo, como en un piano real.
• Apagador. Al soltar una tecla, el volumen cae con una constante de tiempo de 70 ms, de modo que la nota es 60 dB más baja tras 0,07 × ln 1000 = 0,48 s.
• Golpe del martillo. 20 ms de ruido filtrado para el fieltro al golpear el alambre.

Lo que el modelo deja fuera

Un mecanismo real tiene más piezas de las que muestra el modelo. La brida del martillo, el tornillo de caída que fija a qué altura deja reposar el martillo la palanca de repetición, los tornillos de regulación, los casquillos de las teclas y las arandelas de fieltro se omiten o se funden en formas mayores. La cuerda está acortada y va recta, mientras que una cuerda real continúa hacia atrás sobre un puente de la tabla armónica, que es lo que convierte la vibración de la cuerda en sonido en el aire. El modelo también usa una velocidad de golpe fija; en un piano real, la fuerza con que pulsas cambia la velocidad del martillo y el timbre, no solo el volumen. Las pulsaciones con ratón y táctiles en el teclado de aquí usan la posición en la tecla como sustituto: pulsar cerca del frente de una tecla suena más fuerte.

De dónde viene el mecanismo del piano de cola

Cristofori, constructor de instrumentos de teclado en la corte de los Médici en Florencia, había construido su primer piano en 1700. Los tres instrumentos suyos que se conservan datan todos de la década de 1720, y el de 1720 está en el Metropolitan Museum of Art de Nueva York. Su mecanismo ya usaba palancas para multiplicar el movimiento de la tecla, dejaba volar libre al martillo en la última parte de su recorrido y levantaba el apagador con el extremo de la tecla.

Los martillos de entonces estaban recubiertos de cuero. Jean-Henri Pape empezó a usar recubrimientos de fieltro en 1826 según la historia de Steinway del Smithsonian, mientras que el catálogo de pianos del mismo museo data su fieltro en capas afiladas en 1839. El fieltro permitió martillos más pesados y un mayor margen entre lo suave y lo fuerte. Los constructores de Londres y de Viena siguieron caminos distintos con el mecanismo, y el mecanismo inglés de finales del siglo XVIII se convirtió en la base del piano de cola moderno. La palanca de repetición vino de Francia: el mecanismo de doble escape de Sébastien Érard, de 1821. El mecanismo del piano de cola del modelo es un descendiente directo de ese diseño.

Cuatro maneras de hacer sonar una cuerda

El mecanismo del piano de cola del modelo es una respuesta a una pregunta en la que los constructores de teclados llevaban siglos trabajando: ¿cómo debe una tecla poner una cuerda en movimiento? El catálogo que el Smithsonian dedica a su propia colección, escrito por Helen Hollis, describe las respuestas anteriores lo bastante bien como para compararlas.

El texto del Smithsonian dice del clavicémbalo que, como el pellizco se produce a distancia, por control remoto, el intérprete casi no tiene poder para variar la dinámica y no se pueden lograr gradaciones de volumen. Cita una descripción del margen del clavicordio: «de casi nada en lo más bajo a no mucho en lo más alto». Añade que la tangente sigue presionando las cuerdas mientras la tecla se mantiene, lo que hace que el sonido sea tan pequeño, y que variando la presión el intérprete puede lograr una ligera oscilación de altura que los alemanes llaman Bebung. Es lo contrario del problema del piano: el clavicordio nunca suelta, y todo el mecanismo del piano existe para soltar.

Los constructores vieneses llevaron la idea del martillo en otra dirección. El ensayo de Jayson Kerr Dobney, del Metropolitan Museum, dice que Johann Andreas Stein desarrolló su Prellmechanik quizá ya en 1769, simplificando el mecanismo de Cristofori al suprimir la palanca intermedia para que el martillo quede en contacto directo con la tecla. El martillo va montado en un bloque llamado kapsel con un pico en el extremo. Al pulsar la tecla, el pico se engancha en un escape que lanza el martillo hacia la cuerda. El ensayo lo llama el primer mecanismo logrado que difería de modo significativo del de Cristofori. El Cornell Center for Historical Keyboards cita la comparación de Hummel: el instrumento vienés tiene un mecanismo ligero y muy rápido y habla con claridad y prontitud en todos los registros, mientras que el inglés tiene una pulsación más profunda y un sonido más pleno. Mozart compró un piano de Anton Walter hacia 1783, según el Met, y Bösendorfer fue la última gran casa en abandonar el mecanismo vienés, pasando al inglés a principios del siglo XX.

La palanca de repetición de Érard, introducida en 1821, unió las dos tradiciones. El Smithsonian la describe como un refinamiento que permite que el martillo, mientras la tecla está abajo, quede detenido en su rebote en un punto próximo a las cuerdas en lugar de caer al reposo. Eso hace el mecanismo más sensible, facilita la repetición rápida de una nota y da algo de la pulsación del mecanismo vienés sin perder la potencia del inglés. Es la pieza que puedes seguir en el modelo con «Palanca de repetición» seleccionada.

Otras cosas crecieron junto al mecanismo. El ensayo del Met dice que los pianos sonaron más fuerte sobre todo al pasar de dos cuerdas al unísono por nota en el siglo XVIII a tres a principios del siglo XIX, y que las cuerdas cruzadas, que permitían cuerdas muy gruesas con gran tensión, hicieron más potente el grave. La extensión pasó de cinco octavas (61 teclas) a finales del siglo XVIII a siete octavas (85 teclas) a mediados del siglo XIX, y las cajas se hicieron más pesadas para soportar la carga. El Smithsonian data en 1855 el piano de mesa Steinway de cuerdas cruzadas con bastidor de hierro completo, y dice que el bastidor de hierro y las cuerdas cruzadas se convirtieron en el estándar de todos los modelos posteriores. La colección de Cornell muestra cuántos extras había: una copia de un piano de Conrad Graf de 1824 con tres pedales y un piano de Joseph Simon de 1835 que originalmente tenía cinco, entre ellos un registro de fagot con pergamino apretado contra las cuerdas graves y un registro de jenízaros con tambor y campanilla. Los tres pedales de hoy son el pedal suave (una corda), el sostenuto y el pedal de resonancia, como los enumera HyperPhysics. El modelo ya tiene los tres; consulta la sección sobre los pedales más abajo.

El piano vertical es otro problema distinto. El Smithsonian dice que Matthias Müller, de Viena, y John Isaac Hawkins, un inglés que trabajaba en Filadelfia, pusieron cada uno el piano de pie en 1800, con las cuerdas bajando hasta el fondo de la caja. El texto señala que un piano vertical necesita otro mecanismo. La caída del martillo ya no la ayuda la gravedad, así que hay que idear algún sistema de muelles que devuelva el martillo con prontitud tras el golpe. Un piano de cola no tiene este problema, porque la gravedad hace el trabajo. El Smithsonian conserva un piano vertical de Hawkins de 1801. Cuando se redactó su catálogo, en 1973, el único otro conocido estaba en la casa Broadwood de Londres.

Los tres pedales

Un piano de cola moderno tiene tres pedales, y el modelo ahora también los tiene, en una lira a la izquierda del mecanismo. El modelo sigue la descripción de Yamaha. El pedal derecho es el de resonancia (también llamado pedal de sustain). Levanta todos los apagadores de todas las cuerdas, así que las notas siguen sonando al soltar las teclas, y las cuerdas que no has golpeado empiezan a vibrar por simpatía con las que sí. En el modelo el apagador sube sobre la cuerda y se queda arriba, y las notas sintetizadas siguen sonando hasta que sueltas el pedal.

El pedal central es el sostenuto. Es un pedal de apagadores selectivo. Al pisarlo, mantiene levantados solo los apagadores que ya estaban arriba porque sus teclas estaban pulsadas en ese momento. Las notas que tocas después se apagan como siempre al soltarlas. El truco consiste en mantener una nota grave, pisar el sostenuto, soltar la tecla y tocar después acordes en staccato por encima: el grave sigue sonando y los acordes quedan cortos. La versión de Steinway data de 1874; el catálogo del Smithsonian lo cuenta entre las características del piano de la Casa Blanca de 1903, y la patente estadounidense 156 388 del 27 de octubre de 1874 describe un pedal en la lira que funciona con independencia del pedal de resonancia y actúa sobre las palancas de los apagadores. En el modelo el panel muestra qué notas mantiene el sostenuto.

El pedal izquierdo es la una corda. En un piano de cola desplaza todo el teclado y el mecanismo un poco hacia la derecha, de modo que un martillo que golpeaba tres cuerdas ahora golpea dos, y uno que golpeaba dos ahora golpea una. El martillo también encuentra las cuerdas con una parte del fieltro que no se ha endurecido por el uso, así que cambia el timbre además del volumen. En el modelo el fondo del teclado, la tecla, el balancín, el riel de escape y el martillo se desplazan 5,5 mm de lado mientras las tres cuerdas y el apagador se quedan quietos, y la primera cuerda deja de vibrar al tocar. La nota sintetizada se vuelve un 28 por ciento más suave y sus parciales superiores más débiles; esa cantidad es una elección de esta página, no una medición.

Los pianos antiguos tenían más pedales. El piano de cola de André Stein de hacia 1825 del Smithsonian tiene cuatro: resonancia, fagot (un rollo de papel que se baja sobre las cuerdas graves para que zumben), amortiguación (lengüetas de cuero suave que se mueven entre martillos y cuerdas) y una corda. Un piano jirafa del mismo constructor de hacia 1810 tiene seis, entre ellos un bombo y campanillas. Hoy Fazioli monta en su piano de concierto F308 un cuarto pedal que acerca los martillos a las cuerdas, con lo que el sonido es más suave sin cambiar su color.

Doble escape: golpear de nuevo antes de que suba la tecla

La palanca de repetición del modelo es la pieza que Érard añadió en 1821. Después de que el martillo golpea y cae, la palanca lo mantiene un poco arriba. Cuando la tecla empieza a subir, el empujador puede volver a deslizarse bajo el nudillo mucho antes de que la tecla haya subido del todo, así que el pianista puede golpear la misma nota otra vez desde una tecla que solo ha subido una parte del camino. Un mecanismo de escape sencillo, como el de Cristofori o el mecanismo inglés de piano de cola del modelo del Smithsonian, tiene que dejar que la tecla suba casi por completo antes de que el empujador se reponga.

Puedes probarlo en el teclado. Pon «Velocidad» en un valor lento, pulsa una tecla, suéltala y pulsa la misma otra vez mientras la cámara lenta aún muestra la tecla subiendo. Si en ese momento la tecla está entre 1 y 5,5 mm abajo (del 10 al 55 por ciento de los 10 mm de recorrido), el modelo lo cuenta como repetición: la tecla vuelve a bajar desde donde estaba, el martillo parte de la altura a la que lo mantenía la palanca de repetición y el panel muestra la profundidad de la tecla en el segundo golpe. Si vuelves a pulsar cuando la tecla aún está casi abajo, el modelo lo trata como un golpe nuevo, porque en este modelo simplificado el empujador todavía no se ha repuesto. Los umbrales reales dependen de la regulación de cada piano; estos son los valores del modelo.

Diseñar una cuerda: longitud, tensión y grosor

El banco de cuerda del panel es un alambre de acero liso entre dos puntos fijos. Su altura sigue la fórmula de las páginas de HyperPhysics sobre ondas estacionarias: f = (1/2L)√(T/μ), donde L es la longitud que vibra, T la tensión y μ la masa de un metro de alambre. Para un alambre de acero redondo, μ = ρ × π d²/4. La página toma la densidad ρ = 7860 kg/m³ y el módulo de Young E = 200 GPa de la tabla de materiales de ingeniería de HyperPhysics. Esa tabla recoge acero estructural; el alambre de piano es un acero mucho más resistente, pero su densidad y su rigidez son parecidas, así que estos valores muestran los órdenes de magnitud correctos.

Toma un alambre de 1 mm y 40 cm de largo. Un metro pesa 7860 × π × 0,001²/4 = 0,00617 kg, es decir, 6,17 g. Para sonar A4 = 440 Hz necesita T = μ(2Lf)² = 0,00617 × (2 × 0,4 × 440)² = 765 N, aproximadamente el peso de 78 kg. Esa es la preselección de A4 del banco. Reduce la longitud a la mitad y la altura se duplica; para lograr la misma octava solo con la tensión harían falta cuatro veces el tirón. Los pianos reales no pueden seguir la regla de la mitad hasta el final: una cuerda grave mediría metros. HyperPhysics señala que la razón de longitudes por octava es de 1,88 a 1,94 y no 2, y que las cuerdas graves se entorchan con cobre para añadir masa sin añadir mucha rigidez. Steinway da 201 cm como longitud vibrante de la cuerda más larga de su modelo D, de la agrafe al puente. La preselección de cuerda más larga del banco usa esa longitud con un alambre liso solo para mostrar la escala; un alambre liso de esa longitud no llegaría a las notas más graves.

La rigidez es la otra mitad de la historia. El artículo de Harvey Fletcher de 1964 en el Journal of the Acoustical Society of America da el coeficiente de inarmonicidad de una cuerda rígida como B = π³ E d⁴ / (64 T L²). Los alambres gruesos, cortos y flojos tienen un B grande; los finos, largos y tensos, un B pequeño. Las barras del banco muestran cuánto queda cada parcial n por encima de n × f, en cents, según f_n = n × f × √(1 + B n²). En la preselección de A4, B es de unos 7,9 × 10⁻⁴, así que el 2.º parcial queda 2,7 cents agudo y el 8.º, 42 cents. Prueba la preselección del do agudo C8, de 5 cm, y las barras suben mucho más; una cuerda aguda corta es muy rígida para su longitud. Por eso los agudos de un piano real se ensanchan, como explican la sección siguiente y el artículo anterior.

Oír los intervalos igual y justo como batidos

Cuando dos notas suenan juntas, un parcial de una suele caer cerca de un parcial de la otra. Si los dos parciales no son exactamente iguales, el sonido sube y baja tantas veces por segundo como hercios los separen; HyperPhysics lo llama frecuencia de batido. El panel de batidos elige cinco intervalos desde C4 y muestra el par de parciales que casi coinciden. Para la tercera mayor C4–E4 son el 5.º parcial de C4 (1308,13 Hz) frente al 4.º de E4 (1318,51 Hz), así que el temperamento igual bate 10,38 veces por segundo. Para la quinta justa C4–G4 son el 3.º de C4 frente al 2.º de G4, 0,89 batidos por segundo.

La entonación justa usa las razones de números enteros pequeños de la página de HyperPhysics sobre la afinación justa: 5:4 para la tercera mayor, 3:2 para la quinta, 4:3 para la cuarta, 6:5 para la tercera menor y 5:3 para la sexta mayor. Una tercera mayor justa mide 1200 × log₂(5/4) = 386,31 cents, que son 13,69 cents menos que los 400 del temperamento igual. Elige «Tu afinación» y arrastra la nota aguda: el ritmo de batido baja a lo largo de una recta y llega a cero en −13,69 cents. El gráfico marca ese punto con una línea de trazos. La quinta y la cuarta están a solo 1,96 cents de lo justo, por eso suenan casi quietas; las terceras y las sextas están a entre 13,69 y 15,64 cents y baten deprisa. El botón «Escuchar» toca las dos notas durante 3 segundos con seis parciales puros cada una, de modo que los batidos se oyen mejor que con el sonido de piano golpeado.

La parte de ensanche del panel hace lo mismo con una octava. Con una inarmonicidad B para A4, su 2.º parcial está en 2 × 440 × √(1 + 4B). Con B = 0,0004 son 880,70 Hz, 1,38 cents por encima de 880, y un A5 2:1 bate con él 0,70 veces por segundo. Los dos botones tocan la octava 2:1 y la ensanchada, en la que A5 coincide con el parcial y el batido desaparece.

El instrumento entero a un sexto

Detrás del mecanismo hay un piano de concierto a un sexto del tamaño real. Su contorno sigue el Steinway modelo D tal como lo indica Steinway: 274 cm de largo y 156 cm de ancho; la misma página da 483 kg, una tensión total de las cuerdas de 20 418 kg y una cuerda más larga de 201 cm. La curva de la caja, las patas y la disposición de las cuerdas están dibujadas a ojo a partir de ese contorno. Dentro hay una tabla armónica de abeto, un bastidor de hierro fundido dorado con aberturas redondas, cuerdas agudas rectas y un segundo nivel de cuerdas graves que las cruza, el cruce de cuerdas que la patente estadounidense 26 532 de Henry Steinway, de 1859, describe como cuerdas en dos niveles que acercan los puentes al centro de la tabla armónica. Una tecla del teclado es roja: el do central, la tecla que muestra el modelo a tamaño real de delante. La tapa está articulada en el lado largo y recto y apoyada abierta en el lado curvo, como en un piano de cola real.

El catálogo y de dónde salen sus números

El catálogo del panel recoge 38 pianos y primicias, desde el inventario de los Médici de 1700 hasta el Bösendorfer Imperial de 97 teclas. Gran parte de la historia procede del catálogo de Helen Hollis de 1973 para el Smithsonian, que describe los instrumentos de la colección nacional y data los hitos a su alrededor: Silbermann mostrando sus pianos a Bach en 1736 y Bach tocándolos en Potsdam en 1747, el piano de mesa de Zumpe en un concierto de Londres en 1767, el piano de Stein elogiado por Mozart en 1777, los primeros pianos verticales de Müller y Hawkins en 1800, el mecanismo de repetición de Érard en 1821, el bastidor de hierro de Babcock en 1825, los bastidores de Chickering de 1840 y 1843, las 88 teclas alcanzadas en la década de 1870 y el piano número 100 000 de Steinway en 1903. Las patentes de Steinway de 1857, 1859 y 1874 se han leído en Google Patents. Los instrumentos modernos se citan por las páginas de los propios fabricantes: Steinway para el modelo D, Bösendorfer para el 290 Imperial (290 cm, 552 kg, 97 teclas) y Fazioli para el cuarto pedal del F308. La guía de Yamaha dice que un piano puede tener hasta 230 cuerdas.

Las fuentes no siempre coinciden en las fechas. El ensayo de Hoover del Smithsonian data en 1826 los recubrimientos de fieltro de Pape para los martillos, mientras que Hollis dice que produjo capas afiladas de fieltro tratado en 1839; el catálogo da la fecha de 1839 con Hollis como fuente. Donde una entrada no tiene un único año, como en un modelo actual, el año se deja en blanco.

Malentendidos frecuentes

• «El martillo se queda sobre la cuerda mientras suena la nota». La toca un instante y rebota. Si se quedara, el fieltro detendría la cuerda, que es justo lo que evita el escape. Después la cuerda suena sola hasta que baja el apagador o hasta que el sonido se extingue.
• «Tocar más fuerte solo cambia el volumen». En un piano una nota más fuerte es también más brillante. Daniel Russell, de Penn State, explica que el fieltro del martillo actúa como un muelle que se endurece: con fuerzas de impacto grandes el fieltro se comporta de forma más dura, así que una nota fuerte contiene más frecuencias agudas que una suave. Su página también da la fecha en que el fieltro se volvió estándar en los martillos, hacia 1830, y dice que los martillos duros dan un timbre brillante o áspero y los blandos un timbre apagado. El modelo usa un único golpe fijo, de modo que no puede mostrarlo.
• «El la vale 440 Hz por naturaleza». Es una convención, fijada por ISO 16. Una afinación a 442 Hz, que usan algunas orquestas, es 1200 × log₂(442 / 440) = 7,85 cents más alta. Es poco, pero un instrumento a 442 Hz y otro a 440 Hz que suenen A4 a la vez baten 2 veces por segundo.
• «Un piano afinado coincide con la fórmula del temperamento igual». Solo en el centro. La afinación se ensancha al alejarse de la tecla de referencia, hasta unos 30 cents en los extremos. Los números de esta página son la fórmula, no un piano de cola afinado de verdad.
• «Tres cuerdas significan una nota más aguda o más plena». Las tres cuerdas están afinadas a la misma altura. El ensayo del Met da como finalidad el volumen: pasar de dos a tres por nota fue una de las principales maneras en que los pianos sonaron más fuerte.

Pruébalo en la pantalla

1. Comprueba la fórmula. Haz clic en el teclado y toca A4. La línea «Frecuencia» del recuadro del modelo muestra 440,00 Hz, y la línea bajo el nombre de la tecla, debajo del modelo, dice 440 × 2^(0/12). Toca A3 y A5. Deberías ver 220 y 880 Hz, una razón de 2 cada vez.
2. Observa la razón del semitono. Toca C4 y luego C♯4 (la tecla negra de al lado). Las frecuencias son 261,63 y 277,18 Hz. Divide la segunda por la primera y obtienes 1,0595, el mismo número que para cualquier otro par de teclas vecinas.
3. Frena el golpe. Arrastra «Velocidad» a su posición más baja (1/50×), toca una nota y lee la línea de fase: «La tecla baja», «Escape: el martillo vuela libre», «El martillo golpea la cuerda», «El captador atrapa el martillo», «La tecla sube». En la primera fase, la línea «Martillo a cuerda» debería reducirse a unos 3 mm en el escape.
4. Encuentra el empujador. Abre la pestaña «Piezas» y elige «Empujador», y luego activa «Ver por dentro». En el escape la punta del empujador toca el botón de escape y el empujador se sale de debajo del martillo.
5. Cuenta las piezas. Arrastra «Desmontar» hasta el final y cuenta las piezas. Hay trece piezas en la lista, las once del mecanismo más los pedales y el piano de cola 1:6, y «Nombres de piezas» las rotula.
6. Compara dos intervalos. Mantén C4 y G4 juntas y luego C4 y E4. La línea «Acorde» dice C5 para el primer par y tercera mayor para el segundo. Escucha el batido lento del primero y el más rápido del segundo, de unos 0,9 y 10 por segundo según la aritmética anterior. Esta síntesis incluye parciales agudos, así que tu oído puede percibir ritmos algo distintos.
7. Usa una escala. En el menú «Escala» elige «Pentatónica de do mayor». Cinco de cada doce teclas llevan un punto, y la primera tecla con punto es la tónica.
8. Aritmética de octavas. Toca C3 y luego C4, C5 y C6, subiendo con la tecla X (Z baja). Las frecuencias son 130,81, 261,63, 523,25 y 1046,50 Hz, cada una el doble de la anterior.
9. Usa los pedales. Pulsa «Pedal de resonancia» junto al teclado, toca unas notas y suelta las teclas: siguen sonando. Púlsalo otra vez para soltarlo. Después mantén C3, pulsa «Sostenuto», suelta C3 y toca notas cortas más arriba: solo sigue sonando C3.
10. Observa la una corda. Pulsa «Una corda» y abre la vista «Cuerdas». Toca una nota: el mecanismo se desplaza de lado y la primera de las tres cuerdas se queda quieta.
11. Afina una tercera de oído. En el panel, abre «Batidos», elige la tercera mayor y «Tu afinación», y arrastra la nota aguda hacia −13,7 cents mientras pulsas «Escuchar». El batido se ralentiza y se detiene.