钢琴是怎么发声的：三角钢琴击弦机与十二平均律

按下钢琴琴键时发生了什么

钢琴是怎么发声的？在三角钢琴上按下一个琴键，你会感到它下沉大约一厘米。谱架后面，一个拇指大小的毡槌飞起来敲到钢弦上，又落回去，整个过程只有百分之几秒。你看不到，因为它发生在琴壳里面，而且快得看不清。

上面的模型从侧面展示了一个琴键背后的机构，速度最低可以放慢到 1/50。弹下模型下方的键盘，模型会用慢动作重复这一击，你听到的却是正常速度的音。模型角落的方框显示琴键已经下沉了多少、琴槌离琴弦还有多远，以及你弹的这个音的频率，它由 A4 = 440 Hz 推算出来。

琴槌为什么必须离开琴弦

最直接的造法，是把一个琴槌固定在每个琴键的后端：按下琴键，琴槌敲弦。麻烦在一瞬间之后出现。手指还压在琴键上，琴槌就会一直压在琴弦上，而毡垫压在振动的钢丝上，几个周期内就会让它停下来。你听到的会是一声沉闷的敲击，而不是一个音。

所以琴槌必须被「抛」出去，而不是被「推」到底。在琴键行程的大部分时间里，一块叫顶杆（jack）的小木件推着琴槌上升。离琴弦还有几毫米时，顶杆从琴槌下面滑开，琴槌靠自己的动量飞完最后一段，敲到弦上，弹开，再落回来。这个设计叫擒纵（escapement）。自 1700 年前后巴托洛梅奥·克里斯托福里（Bartolomeo Cristofori）造出最早的钢琴起，每一架钢琴都有某种形式的擒纵。

擒纵带来第二个问题：顶杆滑开之后，必须回到琴槌下面，同一个音才能再弹一次。在简单的机构里，这只有在琴键完全抬起时才会发生，颤音这样的快速重复音就会又慢又不均匀。三角钢琴用第二根杠杆解决它，这就是复奏杆（repetition lever）。它把琴槌托在刚好够高的位置，让顶杆在琴键只抬起一部分时就滑回下面。琴槌可以这样被释放两次，所以这套机构常被称为双擒纵击弦机。

每个部件做什么

顺着手指的力一路看到琴弦。

1. 琴键。 绕一根钢制平衡销转动的木杠杆。模型中销子距前沿 240 mm，所以前端下沉时后端上抬。
2. 顶杆螺钉（capstan）。 拧在琴键后端的黄铜钮，它顶起摇杆。
3. 摇杆（wippen）。 铰接在自己支座上的杠杆，带着顶杆和复奏杆，把琴键的抬升变成向上的推力。
4. 顶杆（jack）。 形如 L。直立的臂推着琴槌杆下面的槌踵，短的趾部朝向脱离钮。
5. 脱离钮（let-off button）。 装在螺钉上的毡钮。顶杆的趾部碰到它，顶杆就倒下，放开琴槌。
6. 琴槌。 细长的槌杆，槌头是木芯外包压紧的羊毛毡。槌踵离槌杆的支点很近，所以很小的推动就能让槌头走很长一段。
7. 复奏杆。 由弹簧托起，脱离之后接住槌踵，在顶杆复位的同时把琴槌保持在高处。
8. 止槌垫（backcheck）。 琴键后端钢丝上的一块毡垫。它在琴槌下落时接住它，让它不会弹回去再碰弦。
9. 制音器（damper）。 搁在琴弦上的一块毡。琴键的远端通过一根下杠杆把它抬起，所以按住琴键时琴弦可以持续鸣响。
10. 琴弦。 高碳钢丝。多数音有三根调成同一音高的弦，低音区减为两根，最低音只有一根；模型中一个音画了三根弦。所有琴弦合起来对铁板的拉力有几十吨：1875 年施坦威宣称自己的铁板能承受 70,000 磅，约 32 吨。
11. 键床和击弦机框架。 让以上一切保持对齐的木板、横梁和金属支柱。

在「部件」标签里点任何一个部件，镜头就会移到它那里。「看内部」会让键床和框架变透明，方便你看顶杆和脱离钮。

一击，逐毫秒

模型演示的是一个力度中等偏重的音。琴键下沉用 50 ms，先慢后快再慢。下面按模型自己的时间来看途中发生了什么。

• 0 ms：琴键开始下沉。顶杆螺钉顶起摇杆，顶杆顶起槌踵，琴槌开始上升。同时，琴键远端吃掉一小段空隙，开始把制音器从琴弦上抬起。
• 41 ms：琴键走完了行程的 92 %。顶杆的趾部碰到脱离钮，顶杆倒下。槌头离琴弦约 3 mm，速度大约 0.66 m/s。
• 46 ms：自由飞行约 4.6 ms 之后，毡头碰到琴弦。从这一刻起，琴键对琴槌已经没有任何影响。
• 击弦之后：琴槌反弹，落到止槌垫上，琴键还按着时，止槌垫把它托在弦下方一点。复奏杆把它稍稍抬起，顶杆滑回槌踵下面。
• 松开：琴键升起，止槌垫放开琴槌，琴槌回到原位，制音器落回弦上。

在最慢的速度（1/50）下，从手指到琴弦的 46 ms 变成 46 × 50 = 2,300 ms，也就是屏幕上的 2.3 秒，单是自由飞行就持续约四分之一秒。这足以让你看清：毡头到达时，顶杆早已移开。

杠杆比，算一遍

击弦机里的每一根杠杆都在用力换距离。下面是模型的数字：键深 10 mm，平衡销距琴键前端 240 mm。

• 键下沉到底时的角度：atan(10 / 240) = 2.39°。
• 顶杆螺钉在销子后面 155 mm，所以它升高 155 × sin 2.39° = 6.5 mm。
• 摇杆的支点在顶杆螺钉前面 145 mm，所以摇杆转过 6.5 / 145 rad = 2.55°。
• 顶杆离摇杆支点 105 mm，所以它升高 105 × sin 2.55° = 4.7 mm。
• 槌踵离槌杆支点 18 mm，所以琴槌摆过 4.7 / 18 rad = 14.9°。
• 毡头尖端离那个支点约 148 mm，所以它走过 148 × 0.259 = 38 mm。

琴键处的 10 mm 变成槌头处的 38 mm，比值约 3.8。在行程 92 % 处脱离，留下 38 × 0.08 = 3.1 mm 的自由飞行。真正的三角钢琴上，这些距离由技师在调整时拧脱离钮、顶杆螺钉等螺钉来定，具体数字因制造商而异。比值越高，同样的手指动作能让琴槌更轻更快，手指下的感觉也更重，所以制造商会在琴键前部加铅块。模型里有两块，就是琴键前部附近的灰色圆片。

十二个等分：频率从哪里来

钢琴按十二平均律调音。八度（频率加倍）被分成十二个半音，每个半音都把频率乘以同一个数。十二次相同的乘法必须得到 2，所以这个数是 2 的十二次方根：

r = 2^(1/12) = 1.059463

基准是 A4，即中央 C 上面的那个 A，ISO 16 规定为 440 Hz。像 MIDI 那样给琴键编号（A4 是 69，中央 C 是 60），任何音 m 的频率是

f = 440 × 2^((m − 69) / 12)

弹琴时可以拿面板上的读数对照下面几个值：

C6 比 C3 高三个八度，所以频率高 2³ = 8 倍：130.81 × 8 = 1,046.50 Hz。中央 C 的一个周期是 1 / 261.63 s = 3.82 ms，所以即使一个只按半秒的短音，琴弦也已经来回摆动了约 0.5 × 261.63 = 131 次。

为什么十二平均律略微不准

简单的频率比听起来平滑。纯五度是 3 : 2，大三度是 5 : 4。十二平均律做不到这些比值，因为 2^(1/12) 的任何整数次幂都不是小整数之比。

• 平均律的五度是 2^(7/12) = 1.498307，而不是 1.5。这偏低 1.96 音分（1 音分是半音的 1/100），很难听出来。
• 平均律的大三度是 2^(4/12) = 1.259921，而不是 1.25。这偏高 13.7 音分，受过训练的耳朵听得出来。

你可以把这个差别听成拍音。同时弹 C4 和 G4：C4 的三次谐波是 3 × 261.63 = 784.88 Hz，G4 的二次谐波是 2 × 392.00 = 783.99 Hz，所以它们每秒拍约 0.9 次。弹 C4 和 E4，C4 的五次谐波（1,308.13 Hz）对 E4 的四次谐波（1,318.51 Hz），每秒拍约 10 次。调律师就是数这些拍来定律的。代价是每个调听起来都同样可以接受，所以乐曲可以转到任何调而不用重新调音。

键盘下面的音阶菜单用圆点标出一个音阶的音，和弦显示会说出你按住的是什么和弦。按住 C、E、G，它显示 C；按住 A、C、E，它显示 Am。

一根弦的数字：梅森定律

弦是钢琴上最容易用数字描述的部分。一根绷紧的弦，基频为

f = (1 / 2L) × √(T / μ)

其中 L 是振动部分的长度（米），T 是张力（牛顿），μ 是每米钢丝的质量。根号是波沿弦传播的速度，每个周期波都要跑到另一端再回来，也就是走 2L 的距离。佐治亚州立大学的 HyperPhysics 把这个公式配了一个计算器，默认值是一根 100 cm 的弦，张力 50 磅力（222 N），每米 0.2872 g。算出波速 880 m/s，音高 440 Hz。

下面对 A4 的弦做同样的计算。这些数字是我的假设，取的是典型值，不是某一架钢琴的实测：直径 1.0 mm 的普通钢丝（密度 7,850 kg/m³），振动长度 0.33 m。作为对照，参考资料里 Jaatinen 和 Pätynen 的研究给出，最细的钢琴弦直径约 0.85 mm。

• 每米质量：μ = 7,850 × π × (0.0005)² = 6.17 × 10⁻³ kg/m。
• 波速：v = 2Lf = 2 × 0.33 × 440 = 290 m/s。
• 张力：T = μv² = 0.00617 × 290² = 520 N，相当于挂着约 53 kg 的重量。
• A4 有三根弦，所以这一个键对框架的拉力约 1.56 kN。

作为比较，1875 年的施坦威铁板按能承受 70,000 磅设计，也就是 311 kN。按 HyperPhysics 的数法，一架三角钢琴有 226 根弦（10 根单弦低音，18 个音各两根，60 个音各三根：10 + 36 + 180），所以铁板可以允许每根 1.4 kN。另一项研究平均数出 220 根，具体数字因制造商而异。无论哪种，520 N 都远在限度之内。

根号解释了为什么调音这么精细。1 音分让频率变化 2^(1/1200) 倍，所以张力要变化 2^(1/600) − 1 = 0.116 %。对这根弦来说，就是 520 N 中的 0.60 N。弦轴只要悄悄滑动这么一点，音就偏了 1 音分。

它还解释了为什么每升高一个八度，弦并不是简单地减半。钢丝和长度不变，频率加倍需要四倍的张力：这个例子里 A5 要 2,080 N。长度减半在同样张力下就能做到，但真实的制造商只做到一部分。HyperPhysics 给出每个八度的长度比在 1.88 到 1.94 比 1 之间。跨七个八度，每次减半会让弦缩短 2⁷ = 128 倍，而每个八度 1.9 倍只缩短 1.9⁷ = 89 倍。所以最高音的弦比逐次减半的结果长 128 / 89 = 1.43 倍，其上的波要快 1.43 倍，也就是 T / μ 要大 1.43² = 2.05 倍。制造商让张力保持在相近的范围，让每米质量下降，这就是高音区钢丝很细的原因。HyperPhysics 用一句话说了同样的事：改变弦的质量，把频率限定在正确的值上。

低音区的问题正相反。取 A0，27.5 Hz，假设长度 1.2 m，张力 700 N。那么 μ = 700 / (2 × 1.2 × 27.5)² = 0.161 kg/m，波速只有 66 m/s。每米有这么多质量的普通钢棒要 5.1 mm 粗，又硬得过分。所以制造商在较细的钢芯外面绕铜线或黄铜线，增加质量而不怎么增加硬度。做好的低音弦直径约 8.5 mm。A0 的一个周期是 36 ms，A4 的一个周期是 2.3 ms。

为什么高音区要调高：不谐和泛音与拉伸调律

下面「声音」一节用公式 f_n = n × f × √(1 + B n²) 来算泛音。理想的柔软弦，泛音恰好是基频的 1、2、3 等倍。钢丝还会抵抗弯曲，波长越短这个效应越强，所以每个更高的泛音都略微偏高。B 是不谐和系数，取决于钢丝的直径、长度、张力和刚度。罗伯特·扬（Robert Young）1952 年测了六架钢琴，发现刚性弦的理论与数据吻合。鲁道夫·拉施（Rudolf Rasch）和文森特·赫特费尔特（Vincent Heetvelt）1985 年测了一架中型三角钢琴的每一根弦，同样发现测量与公式吻合得很好。他们还指出，较高的弦通常不谐和度更高，这抵消了它对拍频的一部分影响。

模型在中央 C（261.63 Hz）取 B = 0.00016，泛音是这样的。

扬报告中央 C 弦的第二模态偏高约 1.2 音分，六架钢琴里都差不多。这对应 B ≈ 0.00035，是模型取值的两倍。所以模型比真实乐器温和，而且表中第 8 泛音其实根本听不到，因为击弦点把它抵消了。

这就是拉伸调律的原因。假设 A4 弦的 B = 0.0004（我的假设）。它的第二泛音在 2 × 440 × √(1 + 4 × 0.0004) = 880.70 Hz，比 880 高 1.4 音分。如果调律师把 A5 调到恰好 880.00 Hz，这个泛音和 A5 基频每秒拍 0.7 次。调律师把 A5 提高约 0.7 Hz 就消除了拍音。沿键盘一路重复下去，每个八度都比 2 : 1 略宽一点。HyperPhysics 给出的结果是：最高处最多偏高 30 音分，最低处最多偏低 30 音分。在 C8，就是 4,186.01 × 2^(30/1200) = 4,259 Hz，而不是 4,186 Hz；A0 最后在 27.03 Hz 附近，而不是 27.50 Hz。

奥尔托大学和赫尔辛基大学的 Jussi Jaatinen 和 Jukka Pätynen 在 2022 年发表于《美国声学学会杂志》的研究发现，调得好的立式和三角钢琴无一例外地做了拉伸，偏差随着离基准键（通常是 A4 或 C4）越远而越大。他们的调律师和乐团乐手选出的曲线，与 1930 年代雷尔斯巴克（Railsback）测到的相似。他们的结论是，弦的不谐和是主要原因，人们普遍偏好宽八度也有一定作用。

调律师靠拍音工作。在键盘中部，他们先定一个调律八度，通常是 F3 到 A3。平均律的 F3 是 174.61 Hz，它的五次谐波是 873.07 Hz，A3 的四次谐波是 4 × 220 = 880 Hz。两者拍 6.93 Hz（论文给出 6.95）。因为每架钢琴的不谐和度都不同，论文指出需要针对具体乐器的图表。

本页的琴键不做拉伸。读数里的频率就是朴素的平均律公式。合成的音有偏高的上泛音，但没有哪个音像调律师那样被移离公式值。

本页的声音是怎么做出来的

不用任何录音。每个音都是在你的浏览器里用 Web Audio API 合成的，你自己按下琴键之前什么都不会响。

• 泛音。 最多十二个正弦波，频率是该音频率的整数倍。真实的弦有刚性，所以它的上泛音略微偏高：f_n = n × f × √(1 + B n²)。模型在中央 C 取 B = 0.00016，使第 10 泛音比 10 × f 高 13.7 音分。
• 击弦点。 在弦长 1/8 处击弦的琴槌，激发不了在那里有节点的泛音。第 n 个泛音的振幅乘以 |sin(nπ/8)|，所以第 8 泛音缺失，第 7 和第 9 泛音很弱。
• 衰减。 每个泛音起初下降很快，之后衰减变慢，更高的泛音消失得更快。慢速的时间常数在中央 C 是 3.4 s，C3 是 5.0 s，C6 是 1.6 s，所以低音响得更久，和真钢琴一样。
• 制音器。 松开琴键时，音量以 70 ms 的时间常数下降，所以 0.07 × ln 1000 = 0.48 s 之后，音量低了 60 dB。
• 琴槌敲击声。 20 ms 的滤波噪声，代表毡头打在钢丝上。

模型省略了什么

真正的击弦机比模型展示的零件多。槌杆支座、决定复奏杆让琴槌停在多高的落下螺钉、各种调整螺钉、键衬套和毡垫圈，都被省略或并进了更大的形状。模型里的弦被缩短，笔直地走；真正的弦会继续向后越过音板上的弦码，正是弦码把弦的振动变成空气中的声音。模型还用一个固定的击弦速度；在真钢琴上，你按得多用力会改变琴槌的速度和音色，而不只是音量。这里用鼠标和触摸按键盘时，用按在琴键上的位置来代替：按得靠近键的前端，声音更响。

三角钢琴击弦机从哪里来

克里斯托福里是佛罗伦萨美第奇宫廷的键盘乐器制造者，1700 年已经造出了第一架钢琴。他现存的三架乐器都是 1720 年代的，其中 1720 年的那架在纽约大都会艺术博物馆。他的击弦机已经用杠杆放大琴键的行程，让琴槌在行程最后一段自由飞行，并用琴键的末端抬起制音器。

那个时代的琴槌包的是皮革。据史密森尼学会的施坦威历史，让－亨利·帕普（Jean-Henri Pape）从 1826 年开始用毡包琴槌，而同一个博物馆的钢琴目录把他那种分层、逐渐变薄的毡定在 1839 年。毡让琴槌可以更重，从弱到强的范围更宽。伦敦和维也纳的制造者在击弦机本身上各走各路，18 世纪末的英式击弦机成了现代三角钢琴的基础。复奏杆来自法国：塞巴斯蒂安·埃拉尔（Sébastien Érard）1821 年的双擒纵击弦机。模型里的三角钢琴击弦机，是这个设计的直系后代。

让弦发声的四种办法

模型中的三角钢琴击弦机，是键盘乐器制造者几个世纪来一直在琢磨的问题的一个答案：琴键该怎样让弦动起来？史密森尼学会对自己馆藏的目录（海伦·霍利斯 Helen Hollis 撰写）把更早的答案讲得足够清楚，可以拿来比较。

史密森尼的文字谈到羽管键琴时说，拨弦是隔着距离遥控完成的，所以演奏者几乎无法改变力度，音量的渐变做不到。它还引了一句对击弦古钢琴音量范围的描述：「小时几乎听不见，大时也不算大」。它补充说，琴键按住期间切线一直压着弦，这正是声音这么小的原因；通过改变压力，演奏者可以做出德国人称为 Bebung 的轻微音高颤动。这与钢琴的问题正好相反：击弦古钢琴从不放手，而钢琴的整套击弦机就是为了放手。

维也纳的制造者把琴槌的想法带向另一个方向。大都会博物馆杰森·克尔·多布尼（Jayson Kerr Dobney）的文章说，约翰·安德烈亚斯·施泰因（Johann Andreas Stein）最早可能在 1769 年就发展出了他的 Prellmechanik，他去掉了克里斯托福里击弦机里的中间杠杆，让琴槌与琴键直接接触。琴槌装在一个叫 kapsel 的块里，末端有个喙。按下琴键时，喙挂在一个擒纵件上，把琴槌抛向琴弦。文章称它是第一个与克里斯托福里的设计有明显区别的成功击弦机。康奈尔历史键盘中心引用了胡梅尔（Hummel）的比较：维也纳的乐器机构轻而且很快，各个音区都发音清晰、反应及时；英国的乐器触键更深，声音更饱满。据大都会博物馆，莫扎特 1783 年前后买了一架安东·瓦尔特（Anton Walter）的钢琴，而伯森多夫（Bösendorfer）是最后一家放弃维也纳击弦机的大公司，20 世纪初转用了英式击弦机。

埃拉尔 1821 年推出的复奏杆，把这两个传统结合了起来。史密森尼把它描述为一种改进：琴键按下时，琴槌在反弹后停在靠近琴弦的位置，而不是落回原处。这让击弦机反应更灵敏，同一个音更容易快速重复，在不失去英式击弦机力量的前提下，得到了一些维也纳击弦机的触感。选中「复奏杆」部件时，你可以在模型里跟着看到这一部分。

别的东西也随着击弦机一起发展。大都会的文章说，钢琴变响主要是因为每个音的同音弦从 18 世纪的两根增加到 19 世纪初的三根，而交叉弦（overstringing）让很粗的弦可以承受很大的张力，使低音更响。音域从 18 世纪末的五个八度（61 键）扩大到 19 世纪中叶的七个八度（85 键），琴壳也越做越重来承担负荷。史密森尼把施坦威带全铁框架的交叉弦方形钢琴定在 1855 年，并说铁框架和交叉弦成了后来所有型号的标准。康奈尔的收藏显示出当时有多少附加装置：一架 1824 年康拉德·格拉夫（Conrad Graf）钢琴的复制品有三个踏板，一架 1835 年约瑟夫·西蒙（Joseph Simon）的钢琴原本有五个，包括把羊皮纸压在低音弦上的巴松音栓，以及带鼓和铃的土耳其军乐音栓。今天的三个踏板是弱音踏板（una corda）、持续音踏板（sostenuto）和延音踏板，HyperPhysics 就是这样列的。模型现在三个都有，见下面关于踏板的一节。

立式钢琴又是另一个问题。史密森尼说，维也纳的马蒂亚斯·米勒（Matthias Müller）和在费城工作的英国人约翰·艾萨克·霍金斯（John Isaac Hawkins）各自在 1800 年把钢琴竖了起来，弦朝下通到琴壳底部。文字指出，立式钢琴需要不同的击弦机：琴槌下落不再有重力帮忙，所以必须设计某种弹簧装置，让琴槌敲弦之后及时回位。三角钢琴没有这个问题，因为重力就做了这件事。史密森尼收藏了一架 1801 年的霍金斯立式钢琴。1973 年编写目录时，已知的另一架在伦敦的布罗德伍德（Broadwood）公司。

三个踏板

现代三角钢琴有三个踏板，模型现在也有，装在击弦机左边的踏板架（lyre）里。模型依照的是雅马哈的说明。右边的踏板是延音踏板（也叫 sustain pedal）。它把所有制音器从所有琴弦上抬起，所以松开琴键后音还在响，你没有敲过的弦也会和敲过的弦发生共鸣。在模型里，弦上的制音器升起并保持在上面，合成的音一直响到你松开踏板。

中间的踏板是持续音踏板。它是选择性的制音踏板。踩下它时，它只托住那一刻因为琴键按着而已经升起的制音器。你之后弹的音，松开时照常被制音。窍门是：按住一个低音，踩下持续音踏板，松开这个键，然后在上面弹断奏的和弦：低音继续响，和弦保持短促。施坦威的这个设计来自 1874 年；史密森尼的目录把它列在 1903 年白宫钢琴的特点里，美国专利 156,388（1874 年 10 月 27 日）描述了踏板架里一个独立于延音踏板、作用于制音杆的踏板。模型里的面板会显示持续音踏板正托着哪些音。

左边的踏板是 una corda。在三角钢琴上，它把整个键盘和击弦机向右滑一点，原来敲三根弦的琴槌现在敲两根，原来敲两根的现在敲一根。琴槌碰弦的毡面也是弹奏中没有被压硬的部分，所以不只是音量，音色也变了。在模型里，键床、琴键、摇杆、脱离杠和琴槌横向移动 5.5 mm，三根弦和制音器不动，你弹音时第一根弦不再振动。合成的音被降低约 28 %，上泛音变弱；这个量是本页自己的选择，不是测量值。

更早的钢琴有更多踏板。史密森尼收藏的一架约 1825 年安德烈·施泰因（André Stein）的三角钢琴有四个：延音、巴松（把一卷纸放到低音弦上让它们发出嗡声）、皮垫（在琴槌和琴弦之间移入软皮片）和 una corda。同一位制造者约 1810 年的一架长颈鹿钢琴有六个，包括大鼓和铃。今天，法奇奥利（Fazioli）在它的 F308 音乐会三角钢琴上加了第四个踏板，让琴槌靠近琴弦，声音变轻而音色不变。

双擒纵：琴键没抬起来就再击一次

模型里的复奏杆，就是埃拉尔 1821 年加上的部件。琴槌敲弦落下后，杆把它托起一点。琴键开始抬起时，顶杆远在琴键完全抬起之前就能滑回槌踵下面，所以钢琴家可以在琴键只升起一部分时再击同一个音。单擒纵击弦机，比如克里斯托福里的或史密森尼模型里的英式三角钢琴击弦机，必须让琴键几乎完全抬起，顶杆才能复位。

你可以在键盘上试。把「速度」调到慢，按下一个键，松开，在慢动作还显示琴键在上升时再按同一个键。如果那一刻琴键处于下沉约 1 到 5.5 mm（10 mm 键深的 10 到 55 %），模型就算它是一次复奏：琴键从当时的位置再次下沉，琴槌从复奏杆托住的高度出发，读数显示第二击时的键深。如果你在琴键几乎还在底部时再按，模型就当作一次全新的击弦，因为在这个简化的模型里顶杆还没有复位。真实的阈值取决于每架钢琴的调整；这些是模型的值。

设计一根弦：长度、张力和粗细

面板里的弦工作台是两个固定点之间的一根普通钢丝。它的音高遵循 HyperPhysics 驻波页面的公式：f = (1/2L)√(T/μ)，其中 L 是振动的长度，T 是张力，μ 是每米钢丝的质量。对圆钢丝，μ = ρ × π d²/4。本页从 HyperPhysics 的工程材料表取密度 ρ = 7,860 kg/m³ 和杨氏模量 E = 200 GPa。那张表列的是结构钢；钢琴丝是强得多的钢，但密度和刚度相近，所以这些值能给出正确的量级。

取一根 1 mm、长 40 cm 的钢丝。它每米重 7,860 × π × 0.001²/4 = 0.00617 kg，即 6.17 g。要发出 A4 = 440 Hz，它需要 T = μ(2Lf)² = 0.00617 × (2 × 0.4 × 440)² = 765 N，约等于 78 kg 的重量。这就是工作台上的 A4 预设。长度减半，音高加倍；只靠张力得到同样的八度，需要四倍的拉力。真实的钢琴不能把减半规则一路用到底：低音弦会长达几米。HyperPhysics 指出，每个八度的长度比约为 1.88 到 1.94，而不是 2，低音弦绕上铜线，增加质量而不怎么增加刚度。施坦威给出 D 型最长的发音弦长是 201 cm，从弦枕到弦码。工作台的最长弦预设用这个长度配一根普通钢丝，只是为了展示尺度；这个长度的普通钢丝发不出最低的音。

刚度是故事的另一半。哈维·弗莱彻（Harvey Fletcher）1964 年发表在《美国声学学会杂志》的论文，给出刚性弦的不谐和系数为 B = π³ E d⁴ / (64 T L²)。粗、短、松的钢丝 B 大，细、长、紧的 B 小。工作台上的柱子，按 f_n = n × f × √(1 + B n²) 显示每个泛音 n 比 n × f 高多少音分。在 A4 预设里 B 约为 7.9 × 10⁻⁴，所以第 2 泛音偏高 2.7 音分，第 8 泛音偏高 42 音分。试试最高的 C8 预设，长 5 cm，柱子会高得多；一根短的高音弦，相对于它的长度来说非常硬。这就是真钢琴的高音区要拉伸的原因，下一节和上面的文章都有解释。

用拍音听平均律和纯律的区别

两个音同时响时，其中一个的某个泛音往往落在另一个的某个泛音附近。如果两个泛音不完全相等，声音就会每秒胀落几次，次数等于它们相差的赫兹数；HyperPhysics 把这叫作拍频。拍音面板从 C4 出发选了五个音程，并显示几乎重合的那对泛音。大三度 C4–E4 是 C4 的第 5 泛音（1,308.13 Hz）对 E4 的第 4 泛音（1,318.51 Hz），所以平均律每秒拍 10.38 次。纯五度 C4–G4 是 C4 的第 3 泛音对 G4 的第 2 泛音，每秒拍 0.89 次。

纯律用的是 HyperPhysics 纯律页面上的小整数比：大三度 5:4，五度 3:2，四度 4:3，小三度 6:5，大六度 5:3。纯律大三度是 1200 × log₂(5/4) = 386.31 音分，比平均律的 400 窄 13.69 音分。选择「你的调律」并拖动上方的音：拍频沿一条直线下降，在 −13.69 音分处降到零。图上用虚线标出这一点。五度和四度与纯律只差 1.96 音分，所以听起来几乎不动；三度和六度相差 13.69 到 15.64 音分，拍得很快。「听 3 秒」按钮会把两个音各用六个纯泛音播放 3 秒，比敲击的钢琴音更容易听出拍音。

面板的拉伸部分对八度做同样的事。设 A4 的不谐和度为 B，它的第 2 泛音在 2 × 440 × √(1 + 4B)。B = 0.0004 时是 880.70 Hz，比 880 高 1.38 音分，2:1 的 A5 与它每秒拍 0.70 次。两个按钮分别播放 2:1 的八度和拉伸的八度，后者的 A5 落在那个泛音上，拍音消失。

六分之一的整架钢琴

击弦机后面立着一架六分之一大小的音乐会三角钢琴。它的轮廓依照施坦威列出的 D 型：长 274 cm，宽 156 cm；同一页还给出 483 kg、琴弦总张力 20,418 kg 和最长的弦 201 cm。琴壳的曲线、琴腿和琴弦排布，是照着这个轮廓凭眼睛画的。里面有云杉音板、带圆孔的金色铸铁板、笔直的高音弦，以及交叉在上方的第二层低音弦，也就是亨利·施坦威（Henry Steinway）1859 年美国专利 26,532 描述的交叉弦：把弦分成两层，让弦码更靠近音板中部。键盘上有一个键是红色的：中央 C，也就是前面的真实大小模型所展示的那个键。琴盖在笔直的长边铰接，在弯曲的一侧撑开，和真的三角钢琴一样。

目录和它的数字来源

面板里的目录列出 38 架钢琴和第一次，从 1700 年美第奇的清单到有 97 个键的伯森多夫帝王型。大部分历史来自海伦·霍利斯 1973 年的史密森尼目录，它介绍国家馆藏里的乐器，并给周围的里程碑定年：1736 年西尔伯曼（Silbermann）把钢琴给巴赫看，1747 年巴赫在波茨坦弹它们；1767 年松佩（Zumpe）的方形钢琴出现在伦敦的音乐会上；1777 年莫扎特称赞施泰因的钢琴；1800 年米勒和霍金斯造出第一批立式钢琴；1821 年埃拉尔的复奏击弦机；1825 年巴布科克（Babcock）的铁框架；1840 年和 1843 年奇克林（Chickering）的框架；1870 年代达到 88 键；以及 1903 年施坦威的第 10 万架钢琴。施坦威 1857、1859 和 1874 年的专利是从 Google Patents 读的。现代乐器引自制造商自己的页面：D 型来自施坦威，290 帝王型（290 cm、552 kg、97 键）来自伯森多夫，F308 的第四踏板来自法奇奥利。雅马哈的指南说一架钢琴最多可以有 230 根弦。

各来源对年份并不总是一致。胡佛（Hoover）的史密森尼文章把帕普的毡槌包覆定在 1826 年，而霍利斯说他在 1839 年做出了逐渐变薄的处理毡层；目录采用 1839 年的日期，以霍利斯为来源。有的条目没有单一的年份，比如现行型号，年份就留空。

常见的误解

• 「琴槌在音响着的时候一直压在弦上。」 它只碰一瞬间就弹开。如果留在弦上，毡会让弦停下来，擒纵恰恰是为了防止这一点。之后弦自己振动，直到制音器落下，或者声音自然消失。
• 「弹得响只是音量变大。」 在钢琴上，更响的音也更亮。宾夕法尼亚州立大学的丹尼尔·拉塞尔（Daniel Russell）解释说，琴槌的毡像一根变硬的弹簧：冲击力大时毡表现得更硬，所以响的音比轻的音含有更多高频。他的页面还给出毡成为琴槌标准材料的时间约为 1830 年，并说硬槌发出明亮或刺耳的音色，软槌发出沉闷的音色。模型只用一个固定的击弦，所以展示不了这一点。
• 「A 天生就是 440 Hz。」 这是约定，由 ISO 16 规定。一些乐团使用的 442 Hz 调律，比它高 1200 × log₂(442 / 440) = 7.85 音分。差别很小，但一台 442 Hz 的乐器和一台 440 Hz 的乐器同时奏 A4，每秒拍 2 次。
• 「调好的钢琴就符合平均律公式。」 只在中部符合。离基准键越远，调律拉伸得越多，两端最多约 30 音分。本页的数字是公式，不是一架真正调好的三角钢琴。
• 「三根弦意味着更高或更饱满的音。」 三根弦调成同一个音高。大都会的文章说它们的目的是音量：每个音从两根增加到三根，是钢琴变响的主要办法之一。

在屏幕上试试

1. 验证公式。 点键盘，弹 A4。模型角落方框里的「频率」一行显示 440.00 Hz，模型下面音名下的那行写着 440 × 2^(0/12)。再弹 A3 和 A5，你应该看到 220 和 880 Hz，每次比值都是 2。
2. 看半音的比值。 弹 C4，再弹 C♯4（旁边的黑键）。频率是 261.63 和 277.18 Hz。用第二个除以第一个，得 1.0595，与任何其他相邻两键的比值相同。
3. 把击弦放慢。 把「速度」拖到最低（1/50×），弹一个音，读阶段那一行：琴键下沉、脱离：琴槌自由飞行、琴槌击弦、止槌垫接住琴槌、琴键回升。在第一个阶段，「琴槌到琴弦」那一行应在脱离时缩小到约 3 mm。
4. 找到顶杆。 打开「部件」标签，选「顶杆」，再打开「看内部」。脱离时，顶杆的趾部碰到脱离钮，顶杆从琴槌下面倒下。
5. 数部件。 把「拆开」拖到头，数一数零件。列表里有十三个部件，击弦机的十一个，加上踏板和 1:6 的三角钢琴，「部件名」会给它们标上名字。
6. 比较两个音程。 同时按住 C4 和 G4，再同时按住 C4 和 E4。和弦那一行对第一对显示 C5，对第二对显示大三度。听第一对较慢的拍音和第二对较快的拍音，按上面的算术分别约为每秒 0.9 次和 10 次。这个合成里带有偏高的泛音，所以你的耳朵听到的速率可能略有不同。
7. 用音阶。 在「音阶」菜单里选 C 大调五声音阶。每十二个键里有五个带圆点，第一个带点的键是主音。
8. 八度的算术。 弹 C3，再弹 C4、C5、C6，用 X 键往上移（Z 往下）。频率是 130.81、261.63、523.25 和 1,046.50 Hz，每个都是前一个的两倍。
9. 用踏板。 点键盘旁边的「延音踏板」，弹几个音，松开琴键：它们继续响。再点一次放开。然后按住 C3，点「持续音踏板」，松开 C3，在更高处弹短音：只有 C3 继续响。
10. 看弱音踏板。 点「una corda」，打开「琴弦」视图。弹一个音：击弦机横向滑动，三根弦中的第一根保持不动。
11. 用耳朵调一个三度。 在面板里打开「拍音」，选「大三度」和「你的调律」，边按「听」边把上方的音拖向 −13.7 音分。拍音变慢，然后停止。