당구 각도 따라 하기: 겨냥, 회전, 다이아몬드 시스템

공은 왜 겨냥한 곳으로 가지 않을까요

쓰리쿠션을 잘 치는 사람의 경기를 몇 분만 보면 눈에 띄는 것이 있습니다. 수구는 큐에서 출발해 멈출 때까지 거의 한 번도 곧게 가지 않습니다. 공 하나를 스치고, 쿠션을 따라 달리고, 엉뚱해 보이는 각도로 튀어 나와 천 위에서 조금 휘더니, 누가 조종한 것처럼 마지막 공에 닿습니다. 조종하는 사람은 없습니다. 그 길의 꺾임은 모두 세 가지에서 나옵니다. 두 공이 만나는 각도, 큐가 공에 준 회전, 그리고 공과 천과 쿠션 사이의 마찰입니다.

이 페이지에서는 그 세 가지를 하나씩 떼어 볼 수 있습니다. 무대의 테이블은 두 세계 연맹의 규칙서 크기대로 만들었습니다. 캐롬은 세계당구연맹(UMB), 포켓볼은 세계포켓볼협회(WPA)의 규격입니다. 공은 물리 모형이 움직입니다. 모형은 공마다 위치와 속도, 세 축에 대한 회전을 1초에 2,000번씩 계산합니다. 치기를 누르면 보이는 것은 녹화 영상이 아니라 모형이 그 자리에서 풀어 낸 샷입니다.

처음 몇 초 동안에는 쓰리쿠션 1점이 저절로 나옵니다. 수구가 노란 공을 스치고 쿠션 세 번을 거쳐 빨간 공에 닿으며, 공마다 천 위에 궤적을 남깁니다. 그다음 따라 하기 단계가 이 샷을 가능하게 하는 원리를 하나씩 보여 주고, 단계마다 직접 쳐 볼 샷을 줍니다. 고스트 볼로 겨냥하기에서 시작해 두께와 분리각, 90도 법칙으로 이어집니다. 가운데를 친 공이 왜 구르기 전에 미끄러지는지, 정확히 얼마나 미끄러지는지도 확인합니다. 밀어치기와 끌어치기, 쿠션에서의 옆회전, 쓰리쿠션 선수들이 쿠션 세 번짜리 길을 계획할 때 쓰는 다이아몬드 시스템, 큐를 세워 공을 휘게 하는 마세, 포켓볼에서 공 넣기가 차례로 나옵니다.

조작판 아래에는 별표를 받는 과제, 직접 친 샷이 모이는 도감, 모형에 쓴 숫자를 정리한 표와 계산기가 있습니다. 테이블 주변에는 찾을 물건이 열세 개 숨어 있습니다. 아래 해설은 무대가 쓰는 숫자 그대로 물리를 설명하니, 무대에서 직접 맞춰 볼 수 있습니다.

규칙서로 본 두 테이블

캐롬 테이블

UMB 캐롬 당구 세계 규칙 11번 조항가 테이블을 정합니다. 쿠션 안쪽에서 잰 경기면은 길이 2.84 m, 폭 1.42 m 이고, 허용 오차는 양쪽 모두 5 mm 입니다. 정사각형 두 개를 나란히 붙인 크기라서, 캐롬 테이블의 다이아몬드는 두 레일을 똑같은 간격으로 나눕니다. 길이 방향으로 8칸, 폭 방향으로 4칸이고, 간격은 355 mm 입니다. 천 아래 슬레이트는 45 mm 이상이어야 하고, 프레임 윗면은 바닥에서 75~80 cm 높이입니다. 쿠션은 고무이며, 공에 닿는 앞 모서리인 쿠션 코의 높이는 37 mm, 허용 오차는 1 mm 입니다.

같은 조항에 많은 사람이 의외라고 여기는 문장이 있습니다. 공식 대회 테이블에는 온도 조절기가 달린 전기 히터가 있어야 하고, 테이블을 설치한 때부터 대회가 끝날 때까지 켜 두어야 합니다. 열로 슬레이트와 천의 습기를 몰아내는 것이고, 규칙은 그 까닭을 그대로 적어 두었습니다. 공이 가장 잘 구르게 하기 위해서입니다. 쓰리쿠션 공은 한 샷에 여러 미터를 가기 때문에, 천이 눅눅하면 그 거리에서 눈에 띄게 줄어듭니다.

12번 조항는 공을 정합니다. 공은 세 개이고, 완전히 둥글어야 하며, 지름 6161.5 mm(영문 규칙에는 「cm」로 잘못 적혀 있고, 파이브 핀 규칙은 같은 범위를 mm 로 씁니다), 무게 205220 g 입니다. 한 세트에서 가장 무거운 공과 가장 가벼운 공의 차이는 2 g 을 넘을 수 없습니다. 15번 조항는 천 위 어디서나 520 lux 이상의 조명을 요구하고, 조도계는 천 위에 놓고 잽니다. 정면으로 볼 때 5,000 lux 부터 눈이 부시다고 경고하고, 광원은 경기면에서 1 m 이상 떨어져야 한다고 정합니다.

포켓볼 테이블

WPA 권장 장비 규격은 9피트 테이블의 경기면을 100 × 50 인치, 미터로 바꾸면 2.54 × 1.27 m 로 정합니다. 이것도 정사각형 두 개입니다. 레일 폭은 쿠션을 포함해 4~7.5 인치입니다. 다이아몬드라고 부르는 표시 18개를 레일 윗면에 평평하게 박고, 간격은 12.5 인치(317.5 mm), 쿠션 코에서 93.7 mm 뒤에 둡니다. 쿠션 코 높이는 공 지름의 비율로 정합니다. 지름의 63.5 % 이고, 위아래로 1 % 까지 허용합니다. 슬레이트는 1 인치 이상이고, 길이 방향 0.508 mm, 폭 방향 0.254 mm 안에서 평평해야 합니다.

포켓볼 공은 더 작고 가볍습니다. 지름 57.15 mm, 무게 156170 g 의 페놀 수지 공으로, 흰 수구 하나와 번호가 적힌 목적구 열다섯 개가 한 벌입니다. 캐롬 공이 지름은 7 %쯤 크고 무게는 30 %쯤 더 나갑니다. 포켓은 밀리미터 단위까지 정해져 있습니다. 쿠션 코가 포켓 쪽으로 꺾이는 두 점 사이를 입구라고 하는데, 코너 포켓 입구는 4.54.625 인치(114.3117.5 mm), 사이드 포켓 입구는 그보다 반 인치 넓은 127130.2 mm 입니다. 코너 포켓 쪽 쿠션은 142도, 사이드 포켓 쪽은 104도로 잘라야 합니다.

WPA 는 쿠션이 얼마나 잘 튀는지 보는 시험도 정해 두었습니다. 수구를 헤드 스폿에 놓고 풋 스폿을 지나가게, 큐를 수평으로 들고 가운데를 세게 치면, 공이 튀어 오르지 않고 테이블 길이의 4~4.5 배 이상을 가야 합니다. 무대의 포켓볼 테이블에서는 가운데를 친 공이 4배를 가려면 약 6.2 m/s 가 필요하고, 4 m/s 로는 2.9 배를 갑니다. 「세게 친다」를 숫자로 바꾸면 그 정도입니다.

두 테이블을 나란히

무대 위쪽 단추로 테이블을 바꿉니다. 캐롬 테이블에는 포켓이 없고 공이 세 개이며 바닥이 데워져 있습니다. 포켓볼 테이블에는 포켓 여섯 개와 더 작은 공, 녹색 천이 있습니다(WPA 는 황록색, 청록색, 밝은 파란색을 허용합니다). 테이블 옆 마네킹의 키는 1.7 m 입니다. 나 단추에 내 키를 넣으면 마네킹이 바뀌고, 조작판 아래에서 레스트 없이 각 테이블 한가운데까지 손이 닿는지도 알려 줍니다. 레일 가장자리에서 닿는 거리를 키의 0.62 배로 잡았는데, 이 비율은 측정값이 아니라 추정입니다.

고스트 볼로 겨냥하기

목적구를 포켓으로 보내고 싶은 경우를 생각해 보겠습니다. 목적구는 맞는 순간 두 공의 중심을 잇는 선, 중심선을 따라 나갑니다. 그러니 맞는 순간 수구 중심은 이 선 위, 목적구에서 공 지름만큼 뒤에 있어야 합니다. 그 자리에 공이 하나 더 있다고 떠올려 보세요. 포켓 반대쪽에서 목적구에 붙어 있는 가상의 공, 이것이 고스트 볼입니다. 겨냥한다는 것은 수구 중심을 고스트 볼 중심으로 보낸다는 뜻입니다.

숫자로 쓰면, 목적구가 O, 포켓이 P 에 있을 때 고스트 볼 중심 G 는 다음과 같습니다.

G = O − 2R (P − O) / |P − O|

R 은 공의 반지름입니다. 무대의 고스트 볼 단계에서 노란 1번 공은 포켓볼 테이블 한가운데에서 (0.60, 0.28) m 에 있고, 오른쪽 위 코너 포켓은 (1.27, 0.635), R 은 28.6 mm 입니다. 계산하면 고스트 볼은 (0.5495, 0.2532) 에 옵니다. (−0.55, −0.10) 에 있는 수구에서 1.155 m 떨어져 있고, 긴 축에서 17.8도 위쪽 방향입니다. 무대에 저장된 이 단계의 샷도 정확히 이 각도를 쓰고, 모형에서 공이 들어갑니다.

고스트 볼은 두 공이 닿는 점이 아닙니다. 닿는 점은 두 중심의 한가운데, 목적구 표면 위에 있습니다. 수구 중심을 고스트 볼이 아니라 닿는 점에 겨냥하면 너무 두껍게 맞아 모든 샷이 덜 깎입니다. 두 겨냥점 사이는 공 반지름 하나만큼 떨어져 있습니다.

두께와 분리각

겨냥선을 따라 목적구를 바라보세요. 수구가 목적구를 덮게 될 비율을 두께, 또는 맞는 비율 f 라고 합니다. 정면으로 맞히면 전부를 덮으니 f = 1 입니다. 수구 중심을 목적구 가장자리에 겨냥하면 절반을 덮어 f = 1/2 입니다. 겨냥선과 중심선 사이의 각도를 분리각 φ 라고 하면, 같은 크기의 두 원이 이루는 기하에서 다음 식이 나옵니다.

f = 1 − sin φ, 따라서 φ = asin(1 − f).

그래서 1/2 두께는 분리각 30도, 1/4 두께는 약 48.6도, 1/8 은 61도, 1/16 은 69.6도입니다. 조작판 아래 표가 이 값들과 그다음 수구가 가는 방향을 함께 보여 줍니다. 얇게 치기가 어려운 까닭도 여기서 보입니다. f 가 0 에 가까울수록 겨냥이 조금만 바뀌어도 분리각이 크게 바뀝니다. 1/2 에서 1/4 로 가면 분리각이 18.6도 커지고, 1/8 에서 1/16 으로 가면 8.6도 커지는데, 캐롬 공에서 이때 겨냥이 움직이는 거리는 3.8 mm 뿐입니다.

무대에서는 치기 전에 지금 겨냥선의 분리각과 두께가 숫자판에 나오고, 고스트 볼에서 세 방향의 선이 그려집니다. 목적구가 갈 길(빨강), 그와 직각인 접선(파랑), 구르는 수구가 갈 방향(노랑)입니다.

90도 법칙

맞는 순간 회전이 없는 수구, 스턴 상태의 수구로 목적구를 맞히면 두 공은 직각으로 갈라집니다. 목적구는 중심선을 따라, 수구는 그와 직각인 접선을 따라 갑니다. 분리각이 얼마이든 그렇습니다. 그래서 테이블에서 가장 쓸모 있는 사실 가운데 하나입니다. 치기 전에 수구가 어디로 갈지 보입니다.

증명에는 보존 법칙 두 개가 쓰입니다. 질량이 같은 m 이고, 들어오는 속도가 v, 나가는 속도가 수구 v₁, 목적구 v₂ 라고 놓겠습니다. 운동량에서 m v = m v₁ + m v₂ 이므로 v = v₁ + v₂ 입니다. 마찰 없는 완전 탄성 충돌이면 에너지에서 ½ m v² = ½ m v₁² + ½ m v₂² 이므로 v² = v₁² + v₂² 입니다. 첫째 식을 제곱하면 v² = v₁² + v₂² + 2 v₁·v₂ 이므로, 두 식을 함께 놓으면 v₁·v₂ = 0 이 남습니다. 한 공이 멈췄거나, 두 속도가 직각이라는 뜻입니다. 세 벡터가 v 를 빗변으로 하는 직각삼각형을 이루니, 목적구의 속도는 v cos φ, 수구는 v sin φ 입니다.

실제 공은 완전 탄성이 아닙니다. 콜로라도주립대 데이비드 알시아토레는 포켓볼 공의 반발계수를 보통 0.93 정도로 보고, 그래서 90도 법칙은 실제로는 85도 법칙에 가깝다고 정리합니다. 두 공은 닿는 순간 서로 조금 비비기도 하는데, 이 마찰도 각도를 조금 더 바꿉니다. 이 페이지의 모형은 반발계수 0.95, 공과 공 마찰 0.06 을 씁니다. 둘 다 알시아토레가 정리한 범위(0.920.98, 0.030.08) 안입니다. 이 값으로 스턴 샷을 치면 분리각 15도에서 두 공이 81.6도로, 30도에서 83.9도, 45도에서 85.0도, 60도에서 85.7도, 75도에서 86.2도로 갈라집니다. 이 페이지와 함께 돌아가는 검산은 반발계수 1, 마찰 0 이면 모든 분리각에서 0.05도 안으로 90도가 나오는지, 두 경우 모두 운동량이 정확히 보존되고 에너지는 이상적인 경우에만 보존되는지 확인합니다.

이 법칙에는 예외가 하나 있습니다. 분리각 없이 정면으로 스턴을 칠 때입니다. 그러면 수구는 그 자리에 멈추고 목적구가 속도를 모두 가져갑니다. 스톱 샷입니다. 반발계수가 e 이면 수구는 속도의 (1 − e)/2 를 남기는데, 이 모형에서는 2.5 % 입니다. 실제 스톱 샷에서 수구가 1~2 cm 쯤 더 밀리는 까닭이 이것입니다.

먼저 미끄러지고, 나중에 구릅니다: 12/49 식

공 가운데를 정확히 치면 공은 처음에 구르지 않습니다. 회전 없이 미끄러지며 큐를 떠나고, 천이 공 아랫면을 붙잡아 끕니다. 이 마찰은 공을 느리게 만드는 동시에 구르는 방향으로 돌려 놓습니다. 회전이 속도를 따라잡으면 공 아랫면이 천 위에서 더는 미끄러지지 않고, 공은 구르기 시작합니다.

계산은 짧습니다. 마찰력은 μ m g 이고, μ 는 공과 천 사이 미끄럼 마찰계수로 약 0.2 입니다(알시아토레는 0.150.4 로 정리하고, 매서번·잭슨·파킨은 고속 카메라로 스누커 테이블에서 0.1780.245 를 쟀습니다). 공은 μ g 로 느려집니다. 같은 힘이 중심에서 R 만큼 떨어진 곳에 작용하고 공의 관성 모멘트가 (2/5) m R² 이므로, 회전은 (5/2) μ g / R 로 빨라집니다. 그래서 공 아랫면의 미끄러짐 v − R ω 는 μ g + (5/2) μ g = (7/2) μ g 로 줄어듭니다. 회전 없이 v₀ 로 출발하면 미끄러짐이 0 이 되는 시간은 다음과 같습니다.

t = 2 v₀ / (7 μ g).

그동안 간 거리 v₀ t − ½ μ g t² 를 정리하면 다음 식이 됩니다.

d = 12 v₀² / (49 μ g).

이때 공은 처음 속도의 7분의 5로 구릅니다. 2 m/s, μ = 0.2 이면 0.29초 동안 0.50 m 를 미끄러진 뒤 1.43 m/s 로 굴러갑니다. 1 m/s 이면 0.125 m, 4 m/s 이면 2.0 m 입니다. 더 뻑뻑한 새 천(μ = 0.3)에서는 2 m/s 일 때 거리가 0.33 m 로 줄고, 닳은 천(μ = 0.15)에서는 0.67 m 로 늘어납니다. 미끄러지는 동안 공의 운동 에너지 가운데 7분의 2가 천에서 사라지고, 이 비율은 속도와 상관없습니다.

무대의 「미끄러지다가 구릅니다」 단계는 2 m/s 로 가운데를 치고, 모형이 구르기 시작한다고 계산한 자리에 고리를 놓습니다. 표시에는 0.50 m, 식으로도 0.50 m 가 나옵니다. 검산은 1, 2, 4 m/s 에서 같은 비교를 되풀이해 거리·시간·속도가 2 mm, 2 ms 안에서 맞는지 봅니다. 시드니대학교의 로드 크로스는 펠트를 덮은 면에서 미끄러짐이 구름으로 바뀌는 모습을 직접 쟀고, 일정한 미끄럼 마찰 뒤에 훨씬 작은 구름 마찰이 오는 이 단순한 모형이 보통 출발점이 됩니다.

같은 계산에서 처음부터 구르게 하려면 어디를 쳐야 하는지도 나옵니다. 큐가 주는 회전은 ω = 5 v b / (2 R²) 이고, b 는 팁이 중심보다 높은 거리입니다(알시아토레 TP A.12). 구르려면 ω = v / R 이어야 하니 b = 0.4 R 입니다. 공 높이의 70 % 지점, 타격 중심입니다. 여기를 치면 미끄러짐이 없습니다.

밀어치기와 끌어치기

당점이 만드는 회전

팁을 중심보다 위로 옮기면 공은 윗회전을 안고 떠나고, 팁이 0.4 R 보다 높으면 구르는 데 필요한 것보다 많이 돕니다. 아래로 옮기면 아랫회전이 걸립니다. 얼마나 비껴 칠 수 있을까요? 알시아토레의 분석으로는 반지름의 절반 정도가 쓸 수 있는 한계입니다. 0.5 R 보다 바깥을 치면 초크를 발라도 팁과 공이 닿는 1,000분의 1초 사이에 팁이 미끄러지기 쉽습니다. 미스큐입니다. 무대의 당점 그림은 이 한계를 점선 원으로 그리고, 그 바깥은 고를 수 없게 해 두었습니다.

목적구에서 일어나는 일

두 공이 닿아 있는 시간은 1,000분의 1초보다 훨씬 짧고 표면도 매끄러워서, 수구의 회전은 거의 넘어가지 않습니다. 수구는 중심선 방향 속도를 대부분 잃지만 회전은 거의 그대로 갖고 있습니다. 정면으로 맞히면 수구는 거의 멈춘 채 돌고 있게 됩니다. 이때 윗회전은 수구를 목적구 뒤로 밀고 나가게 하는데, 이것이 밀어치기입니다. 아랫회전은 수구를 치는 사람 쪽으로 끌어오는데, 이것이 끌어치기입니다.

무대의 밀어치기 단계에서는 팁을 0.3 R 위에 두고 1.5 m/s 로 쳐서 빨간 공을 정면으로 맞히고, 수구가 맞은 자리를 지나 0.57 m 더 나갑니다. 끌어치기 단계에서는 팁을 0.3 R 아래에 두고 3 m/s 로 치며, 정면으로 맞힌 뒤 수구가 1.30 m 돌아옵니다. 아랫회전은 목적구까지 가는 동안 줄어들기 때문에, 끌어치기는 생각보다 세게 쳐야 합니다. 회전이 목적구까지 살아남아야 하기 때문입니다.

30도 법칙과 코리올리의 포물선

수구가 구르면서 목적구를 비껴 맞히면, 수구는 접선을 따라 떠나지만 앞으로 도는 회전을 아직 갖고 있습니다. 그러면 천이 수구를 앞쪽으로 끌어당겨, 수구는 접선과 원래 겨냥선 사이 어딘가로 가게 됩니다. 알시아토레는 1/2 두께일 때의 결과를 30도 법칙이라고 부릅니다. 수구의 길이 겨냥선에서 약 30도 꺾이고, 1/4 두께에서 3/4 두께까지는 거의 30도를 유지합니다. 손으로 확인하는 방법도 소개합니다. 검지와 중지를 편하게 V 자로 벌려 한 손가락을 겨냥선에 맞추면, 다른 손가락이 수구가 갈 방향을 가리킵니다.

가스파르 귀스타브 코리올리가 1835년에 이것을 풀었습니다. 이상적인 공이라면 휘어짐이 끝난 뒤 수구의 속도는, 충돌 직후 속도의 7분의 5에 회전이 구를 때 낼 속도의 7분의 2를 더한 것입니다. 여기서 겨냥선에서 꺾이는 각이 가장 큰 것은 분리각 28.1도일 때 33.7도라는 결과가 나옵니다. 이 페이지의 검산은 이 식의 최댓값을 분리각 28.1도에서 33.75도로 찾습니다. 3/4, 1/2, 1/4 두께에서는 27.6, 33.7, 27.3도이고, 반발계수가 1보다 조금 작은 실제 공은 이보다 조금 작아서 30이라는 어림수가 나옵니다.

코리올리는 접선에서 마지막 방향까지의 곡선이 포물선이라는 것도 보였습니다. 미끄러지는 공이 받는 마찰력은 곡선이 이어지는 동안 크기가 일정하고 방향도 거의 그대로이니, 공은 일정한 힘을 받으며 날아가는 돌처럼 움직입니다. 검산은 1/2 두께 뒤 모형의 곡선에 포물선을 맞춰 보고, R² 가 0.999 를 넘는지 봅니다.

옆회전, 스쿼트, 스워브, 스로

옆회전만으로는 길이 휘지 않습니다

큐를 수평으로 두고 수구 가운데에서 왼쪽이나 오른쪽을 치면, 공은 수직축을 중심으로 돕니다. 이 회전은 천 위를 가는 길에 아무 영향을 주지 않습니다. 공 아랫면이 옆으로 미끄러지지 않고, 수직축 회전은 공을 옆으로 밀 수 없기 때문입니다. 이 회전은 공이 무언가에 닿을 때, 쿠션이나 다른 공에 닿을 때만 드러납니다. 무대에서 큐를 수평으로 두고 당점을 오른쪽 끝에 놓은 뒤 긴 쿠션을 겨냥해 쳐 보세요. 쿠션까지 가는 길은 곧은 직선입니다.

스쿼트

옆회전은 다른 이유로 출발 방향을 바꿉니다. 팁이 가운데를 비켜 맞히면 공이 큐 끝을 옆으로 밀고, 작용 반작용 법칙에 따라 큐는 공을 반대쪽으로 밉니다. 공은 친 쪽의 반대쪽으로 겨냥선에서 조금 벗어나 떠납니다. 알시아토레의 TP A.31 은 당점 거리 b/R 와, 공 질량을 큐 끝 몇 센티미터의 유효 질량으로 나눈 비로 이 각도를 구합니다.

tan(스쿼트) = (5/2)(b/R)√(1 − (b/R)²) / (1 + m공/m끝 + (5/2)(1 − (b/R)²)).

이 모형에서 보통 큐로 잡은 질량비 25 에서 반지름의 절반만큼 옆을 치면 2.22도, 2 m 를 가면 78 mm 벗어납니다. 질량비 40 인 저스쿼트 큐는 1.45도, 질량비 15 인 무거운 브레이크 큐는 3.47도입니다. 조작판 아래 계산기로 직접 구해 볼 수 있고, 스쿼트 스위치로 무대에서 이 효과를 켜고 끌 수 있습니다.

스워브

실제 큐는 레일을 넘어가야 하므로 완전히 수평일 수 없습니다. 팁이 가운데를 비켜 맞히고 큐가 아래로 기울어 있으면, 충격의 일부가 공을 천 쪽으로 누르고 회전축이 기울어집니다. 회전축이 기울면 공 아랫면이 옆으로 미끄러지고, 천이 길을 휘게 합니다. 이것이 스워브이고, 큐를 많이 세우면 아래에서 다룰 마세가 됩니다.

스로

공끼리의 마찰은 목적구의 길도 휘게 합니다. 비껴 맞히는 순간 수구 표면이 목적구 표면 위를 미끄러지고, 그 마찰이 목적구를 수구가 움직이는 쪽으로 중심선에서 조금 밀어냅니다. 알시아토레는 이것을 충돌에 의한 스로라고 부르고, 1/2 두께 근처에서 가장 크며 느린 속도에서 더 크다는 것을 보입니다. 옆회전이 있으면 회전에 의한 스로가 더해지고, 같은 마찰이 목적구에 회전을 조금 넘겨 주기도 합니다. 이 모형에서 분리각 15도 스턴 샷을 치면 목적구가 15도가 아니라 12.3도로 나가, 약 2.7도 밀립니다. 1 m 를 가면 47 mm, 포켓 폭의 절반 가까이 됩니다.

쿠션: 튀어 나오는 각이 거울과 다른 까닭

빛은 거울에 들어간 각도 그대로 나옵니다. 당구공은 그렇지 않은데, 까닭이 세 가지 있고 무대에서 하나씩 볼 수 있습니다.

첫째, 쿠션은 쿠션 쪽으로 향하는 속도는 줄이지만 쿠션을 따라가는 속도는 그대로 둡니다. 수직 방향 속도가 e 배로 돌아오고 쿠션 방향 속도가 그대로라면, 공은 들어간 것보다 눕혀져 나옵니다. 쿠션 선에서 잰 각도로 tan(나간 각) = e tan(들어간 각) 입니다. 레잘은 1883년에, 이 수직 속도의 비가 들어오는 각도에 거의 상관없다는 것이 실험으로 알려져 있다고 적었습니다. 그래서 숫자 하나로 쿠션을 나타낼 수 있습니다. 알시아토레는 포켓볼 쿠션에 0.6~0.9 를 정리했고, 매서번 연구진은 구르는 스누커 공을 쿠션에 수직으로 보냈을 때 평균 0.818 배 속도로 돌아온다는 것을 촬영으로 확인했습니다.

둘째, 쿠션 코의 높이입니다. 캐롬 테이블에서 쿠션 코는 천에서 37 mm, 공 중심은 30.75 mm 높이라서, 쿠션은 공 중심보다 위를 칩니다. 그래서 접촉력은 뒤쪽뿐 아니라 조금 아래쪽을 향해 공을 천에 누르고, 쿠션 코의 마찰도 중심과 같은 높이가 아닌 점에 작용합니다. 매서번의 분석은 스누커와 포켓볼에서 접촉점을 테이블에서 반지름의 5분의 7 높이에 둡니다. WPA 의 63.5 % 는 1.27 R 로 조금 낮습니다. 실험에 맞춘 그들의 수치 모형은 쿠션 반발계수 0.98, 공과 쿠션 마찰계수 0.14 를 주고, 약 2.5 m/s 까지 맞습니다. 그보다 빠르면 쿠션이 너무 눌려서 단단한 물체로 보는 모형이 맞지 않습니다.

셋째, 회전입니다. 수직축으로 도는 공은 쿠션에 닿는 순간 쿠션을 따라 문지릅니다. 문지르는 방향이 레일을 따라가는 공의 진행 방향과 반대이면(순회전) 마찰이 공을 쿠션 방향으로 앞으로 밀어, 튀어 나오는 각이 넓어집니다. 같은 방향이면(역회전) 각이 좁아집니다. 구르는 공의 윗회전도 공 중심보다 높은 쿠션 코를 문지릅니다. 구르는 공이 쿠션에서 나온 뒤 휘는 것도 이 때문입니다. 튀어 나온 직후 잠깐 동안 회전이 새 방향과 맞지 않습니다.

모형에서 구르는 공을 긴 쿠션에 45도로 보내면, 옆회전이 없을 때 쿠션 선에서 38.9도, 순회전이면 30.0도, 역회전이면 39.3도로 나옵니다. 30도로 넣으면 27.4, 23.4, 35.4도입니다. 구르는 공을 1.2 m/s 로 쿠션에 수직으로 보내면 튀어 나온 직후에는 속도의 0.87 배, 윗회전이 천에서 다 풀린 뒤에는 0.49 배로 돌아옵니다. 윗회전이 잠깐 동안 공을 쿠션 쪽으로 계속 밀기 때문입니다.

모형의 쿠션은 매서번의 것보다 단순합니다. 튀는 순간을 쿠션 코 높이에서 한 번 작용하는 충격으로 보고, 수직 속도에 반발계수 0.9, 쿠션 코의 미끄러짐에 마찰계수 0.2 를 쓰며, 공이 천에 더 눌리는 만큼 천의 마찰을 더합니다. 마찰계수를 매서번의 0.14 보다 크게 잡은 것은 일부러 한 일입니다. 이 값이면 단순한 쿠션 모형이 아래 다이아몬드 시스템의 기준 경로를 다이아몬드 반 칸 안에서 따라갑니다. 두 값 모두 조작판 아래 표에 모형 값으로 표시해 두었습니다.

다이아몬드 시스템

레일 위의 번호

쓰리쿠션 선수들은 쿠션 세 번 이상을 거치는 길을 다이아몬드 시스템으로 계획합니다. 다이아몬드에 번호를 붙이고, 뺄셈을 하고, 겨냥합니다. 가장 널리 쓰이는 것이 Corner-5 시스템입니다. 알시아토레의 정리표는 포켓볼 테이블로 보여 주고, 캐롬에서는 번호에 10을 곱해 씁니다. 물리 법칙이 아니라 경기하면서 찾아낸 경험식입니다.

무대에서 다이아몬드 보기를 누르거나 다이아몬드 번호를 켜면, 레일 위에 번호가 세 줄로 나타납니다.

• 수구 번호(파랑)는 먼 쪽 왼쪽 모서리가 50 이고, 먼 긴 레일을 따라 45, 40, 35, 30, 왼쪽 짧은 레일을 따라 60, 70, 80 입니다.
• 첫 쿠션 번호(주황)는 가까운 긴 레일을 따라 왼쪽 모서리 80 에서 오른쪽 모서리 0 까지, 다이아몬드 하나에 10씩입니다.
• 세 번째 쿠션 번호(흰색)는 먼 긴 레일을 따라 같은 방식으로 붙습니다.

겨냥하는 첫 쿠션 지점에서 수구를 지나는 선을 뒤로 늘려, 그 선이 먼 긴 레일이나 왼쪽 짧은 레일과 만나는 곳의 수구 번호를 읽습니다. 그러면 식은 다음과 같습니다.

세 번째 쿠션 도착 = 수구 번호 − 첫 쿠션 번호.

모서리(50)에서 30 을 겨냥하면 세 번째 쿠션의 20 에, 20 을 겨냥하면 30 에 닿습니다. 수구 번호 C 에서 도착 A 로 가려면 C − A 를 겨냥합니다.

맞을 때와 맞지 않을 때

이 시스템은 공을 치는 방법을 하나로 정해 둡니다. 보통 속도에 순회전을 주어, 쿠션마다 들어간 각보다 조금 넓게 나오게 하는 것입니다. 부르카르트 폴스터와 마티 로스는 다이아몬드 시스템 노트에서 이 점을 분명히 적었습니다. A − B = C 라는 규칙은 근사일 뿐이고, 공의 위치와 수구를 치는 방법에 따라 복잡하게 정확도가 달라진다는 것입니다. 알시아토레의 정리표에도 보정이 따라옵니다. 도착 번호가 작으면 조금 낮게, 크면 조금 높게 겨냥합니다. 선수들은 테이블과 천, 속도마다 자기 보정을 익히는데, 데워서 조건을 맞춘 표준 테이블이 중요한 까닭 가운데 하나가 이것입니다.

무대에서는 이 식을 모형과 맞대어 볼 수 있습니다. 모서리에서 30 cm 나온 수구를 팁 0.2 R 위, 순회전 쪽 0.2 R 에 두고 2.5 m/s 로 치면, 모형의 도착은 예상 35 에 33.1, 30 에 29.0, 25 에 25.0, 20 에 20.7, 15 에 16.0 입니다. 모두 식과 다이아몬드 반 칸 안에서 맞고, 하나라도 벗어나면 이 페이지의 검산이 실패합니다. 속도나 회전을 바꾸면 도착이 밀리는데, 그것이 이 시스템의 한계를 눈으로 보여 줍니다.

홍익대학교 인환 한(Inhwan Han)은 2005년에 캐롬과 쓰리쿠션의 동역학을 강체 역학으로 분석했습니다. 운동을 세 부분, 테이블 위의 공, 공과 공의 충돌, 공과 쿠션의 충돌로 나누고 각각에 마찰을 넣었습니다. 이런 모형이 있어야 이 페이지 같은 시뮬레이션을 선수들의 시스템과 견주어 볼 수 있습니다.

휘는 공: 마세

큐를 가파르게 세우고 가운데를 비켜 치면, 충격의 큰 부분이 아래쪽을 향합니다. 공은 천에 눌리면서 수직에서 크게 기운 축으로 회전을 얻습니다. 알시아토레는 이 마세 회전을 비행기가 제 몸 길이 방향을 축으로 구르는 동작에 빗댑니다. 이제 공 아랫면이 천 위에서 옆으로 미끄러지고, 미끄러짐이 이어지는 동안 마찰이 공을 옆으로 밉니다. 길이 휩니다.

코리올리는 이것을 겨냥하는 방법도 찾았고, 알시아토레는 이를 BAR 방법이라고 부릅니다. 휘어짐이 끝난 뒤 공의 마지막 방향은, 수구가 놓인 점에서 큐가 겨냥하는 천 위의 점으로 그은 선과 나란합니다. 무대의 마세 단계에서는 큐를 45도로 세우고 팁을 왼쪽으로 0.45 R, 위로 0.3 R 에 두고 1.6 m/s 로 칩니다. 공은 직선에서 5 cm 넘게 휘어 노란 공을 돌아가고, 쿠션에 닿지 않고 빨간 공을 맞힙니다. 4분의 1 빠르기로 보면 수구의 빨간 점으로 회전을 쉽게 따라갈 수 있습니다.

캐롬과 포켓볼을 나란히

UMB 83번 조항가 정하는 쓰리쿠션에서는 수구가 두 번째 목적구에 닿기 전에 쿠션을 세 번 이상 맞혀야 합니다. 첫 번째 공 전에 맞혀도, 두 공 사이에 맞혀도, 둘 다여도 되고, 같은 쿠션을 여러 번 맞혀도 셉니다. 원쿠션(82번 조항)은 쿠션 한 번이면 됩니다. 득점하지 못하면 상대에게 차례가 넘어갑니다. UMB 월드컵에서는 한 샷에 40초 제한이 있고 30초에 경고가 나오며, 선수마다 한 경기에 두 번, 40초를 더 쓰는 타임아웃을 쓸 수 있습니다.

포켓볼은 문제를 거꾸로 놓습니다. 공 하나로 두 공에 닿는 대신, 공 하나를 포켓에 넣고 수구는 남겨야 합니다. 물리는 같지만 노리는 것이 다릅니다. 캐롬에서는 첫 충돌 뒤 수구가 어디로 가느냐가 가장 중요하고, 포켓볼에서는 목적구가 어디로 가느냐가 먼저이고 수구의 길은 그다음 문제입니다. 그래서 포켓볼 지도에서는 고스트 볼과 스로가, 캐롬 지도에서는 90도·30도 법칙과 다이아몬드 시스템이 중심에 놓입니다.

공도 다릅니다. 더 무거운 캐롬 공은 같은 속도에서 에너지가 더 많고, 데운 천 위에서 더 멀리 갑니다. 무대의 첫 샷에서 수구는 득점까지 7.9초 동안 4.8 m 를 가고, 더 긴 쓰리쿠션 샷은 그 두 배를 갑니다. 포켓볼 테이블의 포켓은 따로 기하 문제를 만듭니다. 쿠션을 따라 코너 포켓으로 굴러가는 공은 142도로 깎인 포켓 입구에 닿아 떨어지거나 튕겨 나옵니다.

마티외 부빌은 캐롬의 포지션 플레이를 마르코프 과정으로 설명했습니다. 샷의 어려움은 바로 앞 샷에 달려 있습니다. 쉽게 득점하는 선수는 다음 샷도 쉽게 남기기 때문입니다. 잘 치는 선수는 두 샷 앞을 봅니다. 무대에서는 그 부분을 여러분에게 맡겨 두었습니다.

짧은 역사

가죽 팁이 경기를 바꾸었습니다. 그전의 큐 끝은 맨 나무라서 공을 돌릴 만큼 붙잡지 못했습니다. 가죽 팁은 프랑스인 프랑수아 맹고(Mingaud)가 처음 쓴 것으로 알려져 있습니다. 알시아토레가 전하는 이야기로는 1800년대 초 감옥에 있던 그가 갈라진 큐 끝에 가죽 조각을 붙였다고 합니다. 공을 붙잡는 팁이 생기자 큐가 미끄러지지 않고 가운데를 비켜 칠 수 있게 되었고, 옆회전이 경기의 일부가 되었습니다. 알시아토레는 이름에 담긴 우스운 점도 짚습니다. 미국에서 옆회전을 「잉글리시」라고 부르는데, 그것을 가능하게 한 사람은 프랑스인이었습니다.

코리올리는 맹고의 경기를 직접 보았습니다. 1835년에 낸 『당구 효과의 수학 이론(Théorie mathématique des effets du jeu de billard)』 머리말에, 맹고가 만들어 내는 효과를 보고 이 주제를 연구하기 시작했고, 맹고의 경기를 보며 자기 식이 실제와 맞는지 확인할 수 있었다고 적었습니다. 이 책은 천 위의 구름과 미끄러짐, 큐의 타격, 마찰이 있을 때와 없을 때의 두 공 충돌, 휘는 길까지 다룹니다. 코리올리는 공과 공 사이 마찰계수를 약 0.028 로 재고, 너무 작아서 처음에는 빼고 계산하기로 했습니다. 회전 좌표계의 힘에 이름이 붙은 바로 그 코리올리이고, 세인트앤드루스대학교 맥튜터 수학사는 그의 생몰년을 1792~1843년으로 적습니다.

레잘은 1883년에 코리올리 이론의 해설을 냈습니다. 그 뒤로 이 주제는 고속 카메라를 든 공학자와 물리학자들이 이어받았습니다. 알시아토레의 기술 증명들, 로봇 스누커 선수를 만들려고 천과 쿠션의 마찰을 잰 매서번·잭슨·파킨, 인환 한의 쓰리쿠션 동역학, 찰스 페스킨의 회전과 마찰이 있는 3차원 충돌 분석, 그리고 회전하는 두 공이 부딪힐 때 테이블이 목적구를 붙잡는 힘이 결과를 바꾼다는 2024년 연구가 그 예입니다. 초당 3,000장으로 찍어 보면 팁이 공에 닿아 있는 시간은 약 1,000분의 1초입니다.

이 페이지의 모형이 하는 일

무대는 공마다 위치, 속도, 세 성분으로 된 회전을 기억하고, 0.5 ms 마다 다음을 합니다.

1. 천. 공 아랫면이 천 위에서 미끄러지면, 0.2 × m g 의 마찰이 미끄러짐 반대쪽으로 작용해 속도와 회전을 함께 바꿉니다. 한 걸음 안에서 미끄러짐이 0 이 되면 구름으로 바뀝니다. 구르는 공은 0.01 × g 로 느려지고, 수직축 회전은 10 rad/s² 로 줄어듭니다.
2. 공과 공. 두 공이 겹치면 닿는 순간으로 되돌아갑니다. 중심선 방향으로 반발계수 0.95 인 충격을 주고, 그 0.06 배를 넘지 않는 마찰 충격을 두 표면의 미끄러짐 반대쪽으로 줍니다. 미끄러짐에는 윗회전, 아랫회전, 옆회전이 만드는 것까지 들어가고, 마찰 충격은 속도와 회전을 함께 바꿉니다.
3. 쿠션. 공이 쿠션에 닿으면 닿는 순간으로 되돌아갑니다. 접촉점은 쿠션 코 높이(캐롬 37 mm, 포켓볼은 공 지름의 63.5 %)입니다. 수직 속도는 0.9 배로 돌아오고, 수직 충격의 0.2 배를 넘지 않는 마찰이 쿠션 코의 미끄러짐 반대쪽으로 작용하며, 공이 천에 더 눌리는 만큼 천의 마찰이 작용합니다.
4. 포켓. 포켓볼 테이블에서는 포켓 입구 안쪽에서 쿠션 선에 닿은 공이 떨어집니다.
5. 타격. 큐의 충격을 당점 그림이 가리키는 점에, 큐 방향으로 줍니다. 이것으로 속도, 세 회전 성분(TP A.12), 스쿼트를 켰다면 겨냥선에서 벗어나는 작은 출발 각(TP A.31)이 정해집니다. 큐를 세우면 회전축이 기웁니다.

조작판 아래 숫자 표에는 모든 값이 발표된 범위, 출처와 함께 있습니다. 쓴 값은 모두 그 범위 안에 있고, 위에서 설명한 대로 쿠션 마찰만 맞춘 값입니다.

단순하게 만든 부분도 있습니다. 접촉은 한 점에서 순간적으로 일어난다고 보았습니다. 천에는 결이 없고 테이블은 완전히 수평입니다. 공이 천에서 떨어지지 않으니 점프 샷은 없고, 마세 공이 천에 눌리는 것은 타격의 일부로 처리했습니다. 포켓은 입구 모양을 모형으로 만들지 않고 쿠션이 끊긴 곳으로만 다룹니다. 다이아몬드 번호는 레일 위 다이아몬드가 아니라 쿠션 코 선에서 읽습니다. 다이아몬드를 보고 겨냥하는 선수는 조금 다른 번호를 얻게 됩니다.

모형은 850개가 넘는 경우로 시험했습니다. 이상적인 공의 90도 법칙, 운동량과 에너지, 12/49 거리, 코리올리의 33.7도, 포물선, 쿠션의 움직임, 스쿼트, 마세 곡선, 다이아몬드 경로 다섯 개, 그리고 과제마다 저장해 둔 샷을 모형이 실제로 풀어 내는지까지 확인합니다.

해 볼 것

1. 90도 법칙 단계에서 보기를 누른 다음, 조작판에서 윗·아랫회전을 바꿔 같은 분리각으로 쳐 보세요. 윗회전이 있으면 수구가 접선이 아니라 30도 방향으로 갑니다.
2. 스톱 샷을 찾아보세요. 끌어치기 단계 배치에서 속도를 줄여, 아랫회전이 빨간 공에 닿을 때 막 다 풀리게 하면 수구가 그 자리에 섭니다.
3. 「미끄러지다가 구릅니다」 단계에서 속도를 바꿔 보세요. 고리는 속도의 제곱에 따라 움직입니다. 속도를 두 배로 하면 고리는 네 배 멀어집니다.
4. 다이아몬드 보기에서 25 를 겨냥하고 옆회전 없이 쳐 본 뒤, 순회전을 다시 주고 쳐 보세요. 두 도착을 파란 고리와 비교해 보세요.
5. 포켓볼 테이블을 켜고, 수구가 포켓에 빠지지 않게 끌어치기로 1번 공을 코너에 넣어 보세요.
6. 옆회전을 끝까지 주고 스쿼트를 껐다 켜며 출발 방향이 바뀌는 것을 보세요.
7. 시간을 1/16 로 두고 끌어치기 샷에서 수구의 빨간 점을 보세요. 나갈 때는 앞으로, 부딪히는 순간에는 뒤로 돌다가 공이 돌아옵니다.