도르래와 유압 잭으로 무거운 것을 드는 원리

모형이 보여 주는 것

시멘트 한 포대(50 kg)를 바닥에서 들어 올려 보면 490 N이라는 무게가 고스란히 팔에 걸립니다. 그런데 공사장에서는 밧줄과 도르래 몇 개로 같은 짐을 한 손으로도 끌어 올리고, 정비소에서는 작은 손잡이를 몇 번 눌러 자동차 한 대를 들어 올립니다. 어느 쪽도 공짜로 힘을 얻지는 않습니다. 둘 다 힘을 줄이는 대신 거리를 늘리고 있고, 이 전시는 그 거래를 숫자로 보여 줍니다.

작업장 바닥은 실제 크기(미터 단위)로 그렸습니다. 왼쪽에는 강철 문형 크레인에 50 kg 소나무 상자가 도르래로 매달려 있습니다. 「줄 가닥 수」를 바꾸면 같은 밧줄을 여섯 가지로 겁니다. 고정 도르래 하나부터 위아래 블록에 도르래를 세 개씩 넣은 것까지, 상자를 받치는 줄이 1가닥에서 6가닥이 됩니다. 홀수 가닥에서는 줄 끝을 움직도르래에 묶습니다. 모형의 밧줄은 실제 관(튜브)으로 만들어 도르래를 하나하나 감고, 전체 길이가 변하지 않습니다. 블록에서 빠져나온 줄은 손을 지나 바닥의 사리(둥글게 감아 둔 줄)로 쌓입니다. 0.4 m마다 칠한 빨간 표시를 따라가면 줄이 어디로 움직이는지 보입니다.

오른쪽에는 1,200 kg 자동차가 유압 램 하나로 올라가는 리프트 위에 서 있고, 옆에서 손이 펌프 손잡이를 누릅니다. 펌프 실린더와 체크 밸브 두 개, 램을 앞쪽으로 잘라 두어서 공이 움직이는 모습과 기름 높이가 바뀌는 모습이 보입니다. 구석의 계기판은 모형의 실제 치수로 계산한 힘과 거리를 양쪽 모두 보여 줍니다.

고정 도르래는 방향만 바꿉니다

먼저 들보에 도르래 하나를 고정하고 줄 끝을 상자에 바로 묶습니다. 줄은 위로 올라가 도르래를 넘고 손으로 내려옵니다. 도르래가 걸림 없이 돈다면 양쪽 줄의 장력은 같습니다. 한쪽만 더 세게 당길 까닭이 없기 때문입니다. 상자는 줄 한 가닥에 매달려 있으니 그 가닥이 무게를 전부 받습니다. 50 kg × 9.81 m/s² = 490.5 N이고, 손도 490.5 N으로 당깁니다.

대신 방향을 얻습니다. 물건을 들어 올리는 것보다 아래로 당기는 편이 쉽습니다. 몸무게를 줄에 실을 수 있기 때문입니다. 상자는 줄이 움직이는 만큼 정확히 올라갑니다. 줄을 1 m 당기면 상자도 1 m 올라갑니다. 안내의 두 번째 단계가 이 경우이고, 줄에 1번 표시 하나만 붙습니다.

움직도르래와 줄 가닥 세기

이번에는 상자에 도르래를 하나 더 매답니다. 줄 끝을 위 블록에 묶고, 아래로 내려 움직도르래 밑을 돌린 뒤 다시 위 도르래를 넘겨 손으로 내립니다. 움직도르래와 거기 매달린 것만 놓고 보면 줄 두 가닥이 받치고 있고, 두 가닥의 장력이 같으니 한 가닥에 무게의 절반인 245 N만 걸립니다. 손에 쥔 줄도 같은 줄이므로 손의 힘도 245 N입니다.

여기서 모든 복합 도르래에 통하는 규칙이 나옵니다. 움직도르래(아래 블록)를 받치는 줄 가닥을 셉니다. 그 수가 n이고 도르래가 걸림 없이 돈다면, 당기는 힘은 무게를 n으로 나눈 값입니다. 이 n을 이상적인 역학적 이득이라고 부릅니다. 모형에서 위아래 두 개씩이면 네 가닥이라 123 N, 세 개씩이면 여섯 가닥이라 82 N입니다. 줄에 붙은 파란 숫자가 가닥 수를 대신 세어 줍니다. 위 블록에서 손으로 내려오는 마지막 줄은 상자를 받치지 않으므로 세지 않습니다.

힘 × 거리, 줄 길이로 치르는 값

값은 손에서 치릅니다. 상자가 0.5 m 올라가면 여섯 가닥이 모두 0.5 m씩 짧아집니다. 그 3 m의 줄은 어딘가로 가야 하고, 결국 손을 지나 사리로 들어갑니다. 일반적으로 손이 당기는 줄 길이는 n × (올라간 높이)입니다. 계기판의 「당긴 줄」이 바로 이 값이고, 바닥의 사리도 같은 길이만큼 커집니다.

힘에 거리를 곱하면 양쪽이 맞아떨어집니다. 네 가닥으로 0.5 m를 올리면 손은 122.6 N으로 2 m를 당기므로 245 J의 일을 합니다. 상자가 얻는 위치 에너지는 490.5 N × 0.5 m = 245 J입니다. 도르래는 일을 옮겨 줄 뿐 늘려 주지는 못합니다. 지레나 톱니바퀴에도 그대로 통하는 규칙입니다. 계기판에는 두 값을 나란히 적어 두었으니, 마찰을 끈 상태에서는 언제나 같은 숫자가 나옵니다. 마찰을 끈 상태에서는 움직도르래 블록과 밧줄의 무게도 계산에 넣지 않습니다.

마찰, 그리고 줄을 여섯 가닥쯤에서 멈추는 까닭

실제 도르래는 축에서 비벼지고, 줄도 도르래를 돌 때마다 휘어져야 합니다. 그래서 줄이 손 쪽으로 도르래 하나를 지날 때마다 장력이 조금씩 커져야 합니다. 모형의 「도르래 마찰」 스위치를 켜면 도르래 하나가 장력의 95%만 넘겨준다고 봅니다. 묶인 끝에서 손 쪽으로 갈수록 여섯 가닥의 장력이 조금씩 달라지고, 당기는 힘은 무게를 6이 아니라 0.95 + 0.95² + … + 0.95⁶ = 5.03으로 나눈 값이 됩니다. 힘이 82 N에서 97 N으로 늘어납니다. 손이 한 일은 여전히 힘 × 당긴 줄이지만 그 가운데 84%만 상자에 가고, 나머지는 축과 줄에서 열이 됩니다.

도르래를 더 달면 힘은 계속 줄지만 줄어드는 폭이 점점 작아집니다. 도르래마다 5%를 잃는다면 나누는 수가 0.95 ÷ 0.05 = 19를 넘을 수 없습니다. 도르래를 몇 개 달든 490 N 상자를 약 26 N 아래로 당길 수는 없다는 뜻입니다. 그보다 훨씬 앞서 줄 길이가 감당할 수 없게 됩니다. 열아홉 가닥이면 1 m를 올리는 데 줄 19 m를 당겨야 합니다. 손으로 쓰는 도르래가 대개 네 가닥에서 여섯 가닥에 머무는 까닭이고, 큰 크레인이 도르래를 더 다는 대신 윈치와 드럼을 쓰는 까닭이기도 합니다.

닫힌 기름 속의 파스칼 원리

유압 잭은 같은 거래를 액체로 합니다. 기름은 거의 압축되지 않으므로 닫힌 통 속 한 곳을 누르면 통 안 어디서나 압력이 똑같이 올라갑니다. 이것이 파스칼의 원리입니다. 압력은 면적당 힘이므로, 같은 압력이 넓은 면에 걸리면 힘이 커집니다.

모형에서 작은 피스톤의 지름은 20 mm, 램은 120 mm입니다. 면적은 지름의 제곱에 비례하므로 램의 면적은 (120 ÷ 20)² = 36배입니다. 자동차 무게는 1,200 kg × 9.81 = 11,772 N입니다. 이를 램의 면적 0.0113 m²로 나누면 필요한 압력은 1.04 MPa, 대기압의 약 10배입니다. 같은 1.04 MPa를 작은 피스톤 면적 0.000314 m²에 걸려면 327 N이면 됩니다.

여기서도 거리로 값을 치릅니다. 작은 피스톤을 50 mm 한 번 누르면 기름 15.7 cm³가 램 실린더로 들어갑니다. 이 기름이 36배 넓은 면에 퍼지니 램은 50 ÷ 36 = 1.39 mm 올라갑니다. 한 번 누를 때 손 쪽의 일은 327 N × 0.05 m = 16.4 J이고, 자동차가 얻는 에너지도 11,772 N × 0.00139 m = 16.4 J입니다. 차를 0.3 m 올리려면 216번을 눌러야 합니다.

잭 속의 피스톤, 체크 밸브 두 개, 되돌림 밸브

한 번 눌러서는 차가 1.39 mm밖에 오르지 않으니, 펌프는 기름을 다시 채우고 또 눌러야 합니다. 그 사이에 기름이 거꾸로 흘러서는 안 됩니다. 이 일을 체크 밸브 두 개가 맡습니다. 체크 밸브는 작은 스프링이 공을 둥근 자리(시트)에 눌러 둔 구조입니다. 시트 쪽에서 기름이 밀면 공이 들려 기름이 지나가고, 반대쪽에서 밀면 공이 시트에 더 단단히 눌립니다.

손잡이를 들어 올리면 피스톤이 올라가고 펌프 실 안의 압력이 떨어집니다. 그러면 흡입 밸브가 열려 탱크의 기름이 들어옵니다. 배출 밸브는 램 쪽의 높은 압력이 공을 누르고 있어 닫힌 채입니다. 손잡이를 누르면 펌프 실 압력이 램 압력보다 높아집니다. 흡입 쪽 공은 닫히고 배출 쪽 공이 들려 기름이 램으로 갑니다. 모형에서는 이때마다 해당 기름 통로가 밝아지고 공이 시트에서 떠오릅니다.

기름보다 먼저 지렛대가 힘을 한 번 더 키웁니다. 손은 받침점에서 0.5 m, 피스톤 연결점은 0.1 m 떨어져 있으므로 손에는 327 ÷ 5 = 65 N이면 됩니다. 6.7 kg짜리 가방을 들고 있는 정도의 힘입니다. 세 번째 밸브가 되돌림 밸브입니다. 이 밸브를 열면 램과 탱크가 이어지고, 자동차 무게가 기름을 탱크로 밀어 보냅니다. 조작 패널에서 켜 보면 탱크 기름이 다시 차오르는 동안 차가 일정한 속도로 내려옵니다.

자동차의 숫자로 보는 설계 선택

피스톤 크기 조절 막대를 움직여 보면 설계 선택들이 서로 부딪히는 모습이 보입니다. 작은 피스톤을 40 mm, 램을 60 mm로 하면 면적비가 2.25로 떨어집니다. 한 번에 차가 22 mm씩 올라가지만 작은 피스톤에 5,232 N, 손잡이 끝에 1,046 N이 필요해 사람 힘으로는 누를 수 없습니다. 반대로 10 mm 피스톤에 200 mm 램을 쓰면 면적비가 400입니다. 손에는 6 N도 들지 않지만 한 번에 0.125 mm씩 올라가서 0.3 m에 2,400번을 눌러야 합니다. 실제 수동 잭은 이 사이의 면적비에 긴 손잡이를 붙여, 1~2분 펌프질하면 차가 올라가도록 만듭니다.

다른 치수를 정하는 것은 압력입니다. 1.04 MPa면 모형의 기름은 꽤 순한 편입니다. 램 지름 30 mm짜리 작은 병 모양 잭(보틀 잭)으로 1톤을 받치면 그 열 배가 넘는 압력이 걸립니다. 잭 실린더를 두꺼운 강철로 만드는 까닭입니다.

계산 예: 같은 자동차를 두 방법으로 들어 올리기

전시의 1,200 kg 자동차를 봅니다. 무게는 11,772 N이고, 0.3 m 올리면 11,772 × 0.3 = 3,532 J의 위치 에너지를 얻습니다. 이 일을 하는 기계는 적어도 그만큼의 일을 받아야 합니다. 아래 두 기계는 그 일을 힘과 거리로 나누는 방식만 다릅니다.

먼저 복합 도르래입니다. 전시에서는 50 kg 상자만 매달지만, 여기서는 가정을 하나 둡니다. 여섯 가닥 장치를 자동차에 맞게 키우고, 줄은 충분히 튼튼하며, 도르래마다 5%를 잃는다고 봅니다. 마찰이 없으면 당기는 힘은 11,772 ÷ 6 = 1,962 N이고, 200 kg 물체의 무게쯤 됩니다. 당긴 줄은 6 × 0.3 = 1.8 m이므로 손이 하는 일은 1,962 × 1.8 = 3,532 J입니다. 마찰 스위치를 켜면 나누는 수가 5.03이 되어 힘은 11,772 ÷ 5.03 = 2,339 N이고, 손의 일은 2,339 × 1.8 = 4,210 J입니다. 그중 3,532 ÷ 4,210 = 84%가 자동차에 갑니다.

이번에는 기본 크기의 유압 잭입니다. 손에는 65 N이 필요하고, 손잡이를 한 번 누를 때 손은 5 × 0.05 = 0.25 m 움직이며 차는 1.39 mm 올라갑니다. 0.3 m를 올리려면 216번을 눌러야 하므로 손은 216 × 0.25 = 54 m를 움직이고, 일은 65.4 × 54 = 3,532 J입니다. 복합 도르래와 에너지가 같습니다. 달라지는 것은 청구서의 모양뿐입니다. 1,962 N으로 1.8 m 대신 65 N으로 54 m를 움직입니다.

잭에는 깔끔한 규칙이 숨어 있습니다. 피스톤 크기를 어떻게 정하든, 0.3 m를 올리는 데 필요한 손의 힘과 누르는 횟수를 곱하면 14,126 N이 나옵니다. 작은 피스톤 24 mm에 램 120 mm이면 면적비가 25라서 손에 94 N이 들고 150번을 누릅니다. 작은 피스톤 14 mm에 램 140 mm이면 면적비가 100이라서 손에 23.5 N이 들고 600번을 누릅니다. 둘 다 곱하면 14,126입니다. 피스톤 크기는 이 선 위의 어느 지점을 고를지만 정합니다. 쉽게 누르되 여러 번 누를지, 세게 누르되 몇 번만 누를지입니다.

마찰이 쌓이는 방식: 캡스턴 규칙

모형의 도르래당 5%는 단순화한 값이고, 한 번 뜯어 볼 만합니다. 곡면에 닿은 줄은 그 면을 누르고, 거기서 생기는 마찰은 누르는 힘에 비례합니다. 줄의 짧은 토막 하나에 대해 식을 세우고 토막을 모두 더하면 깔끔한 결과가 나오고, 흔히 캡스턴 식이라고 부릅니다. 무거운 쪽 장력은 가벼운 쪽 장력에 e의 μθ제곱을 곱한 값을 넘지 못합니다. μ는 마찰 계수이고 θ는 줄이 감긴 각도(라디안)입니다. 이 식의 유도는 MIT의 동역학계 모델링 강의 노트에 실려 있습니다.

지수 하나로 두 가지가 설명됩니다. 좋은 베어링 위에서 도는 도르래는 이 한계에서 한참 떨어져 있습니다. 줄이 홈 위에서 미끄러지는 것이 아니라 구르기 때문에, 베어링 마찰과 줄이 휘는 데 드는 힘만 남습니다. 모형의 5%는 그 둘을 대신하는 값입니다. 또 복합 도르래에서는 손실이 도르래를 하나 지날 때마다 곱해지고, 앞에서 본 합이 등비수열이 되는 까닭이 이것입니다.

선원의 캡스턴은 같은 식의 반대쪽 모습입니다. 줄과 고정된 드럼 사이의 μ를 0.3, 감은 횟수를 두 바퀴로 가정하면 θ = 4π = 12.57 rad이고 계수는 e^3.77 = 43입니다. 느슨한 끝을 100 N으로 잡은 선원이 반대쪽의 4,300 N을 붙잡을 수 있습니다. 이 경우 드럼은 돌지 않습니다. 당기는 힘이 더 커지면 줄이 미끄러지겠지만, 그 전까지는 마찰이 붙잡아 줍니다. 복합 도르래는 정반대로 마찰을 가능한 한 줄이려 하는데도 매번 5%를 잃습니다.

크레인, 엘리베이터, 굴착기, 자동차 브레이크

로마의 건설 크레인. 콜로세움 공사에도 참여한 건축업자 집안 하테리우스가의 무덤 부조가 지금 바티칸 박물관에 있습니다. 왼쪽에 큰 바퀴를 사람이 돌려 움직이는 크레인이 새겨져 있습니다. 비트루비우스도 『건축십서』 제10권에서 같은 계열의 기계를 도르래 세 개짜리 트리스파스토스부터 폴리스파스톤까지 설명합니다. 사람이 밟는 바퀴가 드럼을 돌리고, 드럼이 줄을 감고, 도르래 블록이 짐을 한 번 더 나누어 돌에 전하므로 두 배율이 곱해집니다. 이때도 값은 거리로 치렀습니다. 돌이 1 m 오르면 줄이 n미터 지나갔습니다.

수압 크레인. 1846년 윌리엄 암스트롱이 뉴캐슬 부두에 석탄을 내리는 최초의 수압 크레인을 세웠습니다. 1845년에 시작된 시내 상수도 사업이 그 수압을 마련해 주었고, 이 크레인은 시내 수도관의 남는 수압으로 움직였습니다. 같은 파스칼의 원리를 자동차 잭과는 전혀 다른 용도에 쓴 경우입니다. 압력은 바깥에서 오고, 크레인의 피스톤이 그것을 당기는 힘으로 바꿉니다.

엘리베이터. 대부분의 엘리베이터 카는 구동 도르래 위의 강철 줄에 매달려 있고, 반대편에 균형추가 있습니다. 가정을 하나 두겠습니다. 카 1,000 kg, 정격 하중 800 kg, 균형추는 카에 하중의 절반을 더한 1,400 kg입니다. 카가 가득 차 있으면 모터는 1,800 − 1,400 = 400 kg만큼의 불균형을 지탱합니다. 카가 비어 있으면 1,400 − 1,000 = 400 kg을 반대 방향으로 지탱합니다. 균형추가 없다면 모터는 매번 카 전체 무게, 최대 1,800 kg을 들어야 합니다. 미국 공학한림원의 엘리베이터 역사 글은 최초의 균형추가 1670년 이전에는 나타나지 않았고, 균형추와 2:1 로핑이 필요한 동력을 줄인다고 설명합니다. 2:1 로핑은 이 전시의 n = 2인 경우입니다. 카는 줄 속도의 절반으로 움직이고, 줄은 카 무게의 절반을 받습니다. 엘리베이터 회사를 세운 엘리샤 오티스는 1854년 뉴욕 만국박람회에서 플랫폼 위에 선 채 줄을 도끼로 자르게 해 안전 브레이크를 보였다고 ASME와 미국 발명가 명예의 전당이 전합니다. 이 브레이크는 역학적 이득을 전혀 바꾸지 않았습니다. 기계를 사람이 탈 만큼 안전하게 만들었습니다.

굴착기. 한 제조사(SANY)의 22.6톤급 굴착기 자료는 작업 장치 회로의 릴리프 밸브 설정 압력을 34.3 MPa로, 붐 실린더 지름을 120 mm로 적고 있습니다. 이 전시의 램과 같은 지름입니다. 압력은 34.3 ÷ 1.04 = 33배 높고, 릴리프 설정에서 밀 수 있는 힘은 34.3 MPa × 0.01131 m² = 388 kN으로 모형 램의 11.8 kN과 비교됩니다. 이 값은 릴리프 밸브가 정하는 상한이지 붐이 실제로 내는 힘이 아닙니다. 팔의 기하 구조와 다른 실린더, 펌프 유량이 버킷에 닿는 힘을 정합니다. 그래도 굴착기가 유압을 쓰는 까닭은 보입니다. 압력이 33배 높으면 그만큼의 힘이 이 전시의 램 크기 실린더 하나에 들어갑니다.

자동차 브레이크. OpenStax에 브레이크 풀이가 있습니다. 운전자가 100 N으로 밟으면 지렛대가 이를 페달 실린더에서 500 N으로 키웁니다. 페달 실린더의 지름은 5 mm이고 바퀴 실린더 네 개는 각각 25 mm입니다. 면적비는 (25 ÷ 5)² = 25이므로 바퀴 실린더 하나가 12,500 N으로 밉니다. 바퀴 실린더 하나가 받아들이는 기름은 페달 실린더에서 오므로 페달 쪽 피스톤은 바퀴 쪽 피스톤의 25배를 움직여야 합니다. 네 바퀴가 기름을 나눠 가지면 바퀴 하나가 움직이는 거리의 100배입니다. OpenStax는 파워 브레이크에 일의 대부분을 하는 모터 펌프가 들어 있다고 덧붙입니다. 따라서 이 풀이는 페달에서 바퀴까지의 배율만 다룹니다.

홀수 가닥

짐을 받치는 줄 가닥이 꼭 짝수일 필요는 없습니다. 줄 끝을 위 블록에 묶으면 줄이 늘 내려갔다 올라오는 짝으로 다니므로 2, 4, 6가닥이 됩니다. 줄 끝을 움직도르래 쪽의 작은 고리(베켓)에 묶으면 그 첫 가닥도 짐을 받칩니다. 위에 도르래 두 개, 아래에 한 개면 세 가닥이고, 위에 세 개, 아래에 두 개면 다섯 가닥입니다. 비트루비우스가 쓴 이름도 이 둘입니다. 도르래 세 개짜리가 트리스파스토스, 다섯 개짜리가 펜타스파스토스입니다.

도르래 실험대에서 3이나 5를 고르고 번호 붙은 가닥을 세어 보세요. 마찰이 없으면 당기는 힘은 490.5 ÷ 3 = 164 N, 490.5 ÷ 5 = 98 N이고, 당기는 줄은 올라간 높이의 세 배, 다섯 배입니다. 모형은 그린 줄로도 검산합니다. 아래 블록을 0.5 m 올리면 묶인 끝에서 손까지 줄 경로가 정확히 1.5 m, 2.5 m 짧아집니다. 블록을 거꾸로 달아 한 가닥을 더 얻는 요령도 같은 이치입니다. 손으로 가는 줄이 고정 블록에서 나오느냐 움직이는 블록에서 나오느냐가 가닥 수를 정합니다.

차동 사슬 도르래

가닥이 많은 도르래는 줄이 많이 듭니다. 토머스 앨드리지 웨스턴은 크기가 조금 다른 사슬 바퀴 두 개를 한 축에 붙이고 끝없는 사슬 하나를 거는 방법으로 이 문제를 풀었습니다. 사슬의 한 고리는 갈고리 달린 도르래를 돌아 내려가고, 다른 고리는 손으로 당기도록 늘어집니다. 축이 한 바퀴 돌 때마다 큰 바퀴는 큰 둘레만큼 사슬을 감고 작은 바퀴는 작은 둘레만큼 풀어 주므로, 짐 쪽 고리는 그 차이만큼 짧아지고 갈고리는 그 절반만큼 올라갑니다. 기계적 이득은 2R ÷ (R − r)입니다.

모형은 홈이 10개, 9개인 사슬 바퀴를 써서 기계적 이득이 2 × 10 ÷ 1 = 20이고, 잃는 것이 없으면 200 kg을 손 사슬 약 98 N으로 듭니다. 값은 역시 거리로 치릅니다. 1 m 올릴 때마다 손 사슬을 20 m 당겨야 합니다. 10과 8이면 10배, 15와 14면 30배입니다.

시드니 파워하우스 소장품에 버밍엄의 탕이 회사가 만든 2톤짜리 차동 도르래가 있습니다. 소장품 설명에 따르면 탕이 형제는 사슬 고리가 홈에 깔끔하게 들어앉도록 피치 사슬을 개발했고, 1862년 런던 국제 박람회에 10 cwt에서 3톤까지 다섯 가지 크기를 내놓았으며, 9달 동안 약 3,000세트를 팔았습니다.

사슬 도르래는 느리고 손실이 크지만, 그것이 쓸모이기도 합니다. 모형에서는 아래 도르래와 축을 지날 때마다 힘의 95%가 남습니다. 그러면 10과 9 블록의 효율은 49%가 되고, 효율이 50%쯤보다 낮은 이런 기계는 짐 무게로 거꾸로 돌지 않습니다. 손 사슬을 놓아도 짐이 그 자리에 머뭅니다.

실제 도르래가 잃는 몫

모형의 손실 5%는 어림값이 아닙니다. 로프 작업·구조 장비를 만드는 Petzl은 도르래마다 효율을 적어 둡니다. 밀봉 볼 베어링에 38 mm 도르래를 얹은 RESCUE M과 SPIN L1은 95%입니다. 자기 윤활 부싱에 21 mm 도르래를 얹은 작은 FIXE는 71%로, 당긴 힘의 71%만 반대쪽으로 나옵니다.

이 차이는 금방 커집니다. FIXE 도르래 네 가닥은 무게를 0.71 + 0.71² + 0.71³ + 0.71⁴ = 1.83으로 나누므로, 마찰 없는 고정 도르래 하나에 드는 힘의 절반보다 여전히 큽니다. 다섯 가닥이 2.006, 여섯 가닥도 2.13뿐인데, 이 합은 0.71 ÷ 0.29 = 2.45를 넘지 못하기 때문입니다. 그래서 구조대는 값싼 도르래를 여러 개 쓰기보다 효율 좋은 도르래를 적게 씁니다. 도르래 실험대에서 FIXE를 고르면 세 가닥 뒤로 막대가 거의 줄지 않는 것이 보입니다.

굴착기 붐 실린더 속

자동차 리프트 뒤에서는 복동 실린더가 붐을 듭니다. 보어 120 mm, 행정 1,285 mm, 릴리프 밸브 압력 34.3 MPa는 SANY SY215C 자료 값이고, 시험대는 0.45 비율로 그렸으며 팔의 치수는 모형입니다. 기름이 머리 쪽으로 들어가면 피스톤이 밀려 나옵니다. 되당길 때는 펌프가 로드 쪽으로 기름을 보내는데, 로드가 면적 일부를 차지하므로 같은 압력에서 당기는 힘은 작고 로드는 더 빨리 움직입니다.

압력은 펌프가 아니라 짐이 정합니다. 붐 끝에 3,000 kg을 달고 실린더가 0.6 m 나와 있으면 실린더는 약 105 kN으로 밀어야 하고 기름 압력은 9.3 MPa 안팎입니다. 12,000 kg을 달면 필요한 압력이 34.3 MPa를 넘어 릴리프 밸브가 열리고, 기름은 탱크로 돌아가며 아무것도 올라가지 않습니다. 펌프가 정하는 것은 속도뿐입니다. 펌프 하나가 222 L/min을 모두 보내면 120 mm 피스톤은 0.33 m/s로 나옵니다.

산업용 실린더의 크기도 같은 규칙으로 정합니다. Enerpac 목록의 복동 실린더 BRD256은 보어 63.5 mm, 플런저 47.8 mm입니다. 정격 700 bar에서 222 kN으로 밀지만 돌아올 때 유효 면적이 31.7 cm²에서 13.7 cm²로 줄어 98 kN으로만 당깁니다.

시험대 위의 브레이크 회로

바닥 앞쪽의 브레이크 회로는 OpenStax 예제 값을 씁니다. 페달을 100 N으로 밀면 5 대 1 지렛대를 거쳐 페달 실린더에 500 N이 걸립니다. 페달 실린더는 지름 5 mm, 캘리퍼 피스톤은 25 mm라서 관 압력은 약 25.5 MPa이고 캘리퍼 피스톤은 12,500 N으로 조입니다. 페달 실린더 피스톤은 캘리퍼 피스톤보다 25배 더 움직여야 하고, 바퀴 네 개가 같은 기름을 나눠 쓰면 100배입니다.

「바퀴를 50 km/h로 돌리기」를 누르고 페달 힘을 정해 보세요. 패드 마찰 계수 0.4, 패드 반지름 0.11 m, 바퀴 관성은 그럴듯한 정지 거리가 나오도록 고른 모형 값이므로 바퀴 수는 보기로만 봅니다. 100 N이면 바퀴가 약 4.2바퀴 돌고 서고, 250 N이면 약 1.7바퀴입니다.

기계 목록의 숫자는 어디서 왔나

「무거운 것을 드는 기계」의 항목마다 출처가 하나씩 있고, 카드의 숫자는 그 출처가 밝힌 값입니다. 도르래 효율은 Petzl 제품 페이지, 웨스턴 블록은 파워하우스 소장품, 실린더 크기와 압력은 SANY 자료, BRD256은 Enerpac 카탈로그, 크롤러 운반차는 NASA 자료, 5만 톤 프레스는 ASME 랜드마크 자료, 앤더턴 보트 리프트는 Canal and River Trust, 폴커크 휠은 Scottish Canals, 타워 브리지의 수압 엔진은 타워 브리지 누리집, 항공기 압력은 FAA 정비 교범에서 가져왔습니다. 「출처 숫자로 계산한 값」 표시가 붙은 카드는 그 숫자를 조합한 것입니다. 예를 들어 NASA 크롤러의 보어 23인치 실린더 16개에 3,000 psi를 걸면 약 1,990만 파운드(19.9 million pounds)의 힘이 되고, 이런 계산은 전시의 검산 파일에서 확인합니다.

흔한 오해

• "도르래를 쓰면 짐이 가벼워진다." 상자는 여전히 490.5 N입니다. 달라지는 것은 그 무게를 나눠 받는 줄 가닥 수입니다. 도르래가 걸림 없이 돌면 가닥마다 490.5 ÷ n N을 받고, 손은 줄을 n배 멀리 당겨야 합니다.
• "블록에 든 바퀴를 모두 센다." 움직도르래를 받치는 줄 가닥만 셉니다. 줄을 손 쪽으로 돌려 주기만 하는 도르래는 마찰만 더할 뿐 가닥 수에는 보태지 않습니다. 고정 블록의 여분 도르래가 그렇습니다.
• "도르래 스무 개가 여섯 개보다 낫다." 도르래마다 5%를 잃으면 나누는 수는 19를 넘지 못하고, 도르래를 하나 더할 때마다 늘어나는 폭은 점점 작아집니다. 여섯 가닥에서 모형은 이미 6 가운데 5.03을 얻습니다. 그 뒤로는 더 당겨야 하는 줄과 더 점검해야 하는 부품이 실제 부담이 됩니다.
• "큰 피스톤이 압력도 더 받는다." 두 피스톤의 압력은 같습니다. 기본 크기에서는 1.04 MPa입니다. 큰 쪽의 힘이 큰 까닭은 면적이 넓어서입니다.
• "잭이 에너지를 만들어 낸다." 한 번 누를 때 피스톤에 들어가는 일이 16.4 J이고 차가 얻는 에너지도 16.4 J입니다. 실제 잭에서는 밀봉과 기름에서 일부가 열이 되어 조금 덜 도착합니다.
• "잭의 힘은 파스칼의 원리 하나로 커진다." 배율이 두 개입니다. 지렛대가 5배, 피스톤이 36배라서 손의 힘이 차에 닿을 때는 180배가 됩니다. 11,772 N ÷ 65.4 N = 180입니다.
• "유압은 높은 압력의 기름이다." 기본 잭은 1.04 MPa에서 움직입니다. 「작은 피스톤 지름」을 10 mm, 「큰 피스톤 지름」을 100 mm로 하면 압력이 1.50 MPa로 오르고, 20 mm와 200 mm로 하면 0.37 MPa로 내려갑니다. 두 경우 모두 차에 걸리는 힘은 11,772 N으로 같습니다. 압력은 짐의 무게와 램 면적이 정하며, 누가 얼마나 세게 펌프질하느냐와는 상관이 없습니다.

화면에서 해 보기

1. 「줄 가닥 수」를 첫 번째 위치로, 「상자 높이」를 0.5 m로 맞춥니다. 계기판에 당기는 힘 490.5 N, 당긴 줄 0.5 m가 나옵니다. 2, 4, 6가닥으로 옮기면 힘이 245, 123, 82 N으로 내려가고 당긴 줄은 1, 2, 3 m로 늘어납니다.
2. 설정마다 당기는 힘에 당긴 줄을 곱해 봅니다. 「도르래 마찰」가 꺼져 있으면 매번 245 J이고, 계기판의 일과 효율 줄도 이에 맞습니다.
3. 「도르래 마찰」를 켜고 설정을 하나씩 되짚어 봅니다. 당기는 힘이 약 516, 265, 139, 97 N이고 효율은 95, 93, 88, 84%입니다. 1가닥에서는 490.5 ÷ 0.95입니다.
4. 「부품 이름」을 켜고 줄에 붙은 파란 숫자를 찾습니다. 움직도르래로 내려가는 줄 가닥을 직접 세어 막대의 값과 비교합니다.
5. 「작은 피스톤 지름」은 20 mm, 「큰 피스톤 지름」은 120 mm로 둡니다. 계기판에 면적비 36, 기름 압력 1.04 MPa, 작은 피스톤 327 N, 손잡이 끝 65 N이 나옵니다. 펌프 손잡이를 한 번 누르면 차가 약 1.4 mm 올라갑니다.
6. 「차 높이」를 0.3 m로 맞추고 펌프질 줄을 읽습니다. 216번입니다. 그다음 「작은 피스톤 지름」을 40 mm, 「큰 피스톤 지름」을 60 mm로 바꿉니다. 면적비 2.25이고 손잡이 끝에 약 1,046 N이 필요하다고 나오며, 계기판이 「사람 힘으로는 무리」라고 표시합니다. 10 mm와 200 mm로 바꾸면 힘은 약 6 N이지만 2,400번을 눌러야 합니다.
7. 손잡이 끝에 30 N 미만이 드는 크기 조합을 찾아 봅니다. 14 mm와 140 mm가 그렇습니다. 0.3 m까지의 펌프질 횟수를 읽습니다. 그다음 쉽게 눌리면서 횟수도 적은 조합을 찾아 보면, 없습니다. 힘과 횟수의 곱은 14,126으로 남습니다.
8. 차를 올려 둔 채 「되돌림 밸브」를 켭니다. 차가 일정한 속도로 내려오고 탱크의 기름 높이가 올라갑니다.

모형이 실제보다 단순한 점

실제 블록은 도르래를 한 축에 나란히 끼우기 때문에 줄 가닥이 한데 모여 세기 어렵습니다. 모형은 도르래를 들보를 따라 옆으로 펼쳐 가닥마다 따로 늘어지게 했습니다. 힘과 줄 길이의 규칙은 이 배치와 상관이 없습니다.

모형의 밧줄은 늘어나지 않고 완전히 유연하다고 보았고, 움직도르래 블록과 밧줄, 리프트 받침판과 램의 무게는 넣지 않았습니다. 마찰 스위치는 도르래마다 똑같이 5%를 잃는다고 보지만, 실제 손실은 베어링과 줄의 뻣뻣함, 얼마나 급하게 휘는지에 따라 달라집니다. 유압 쪽은 기름이 압축되지 않고 새지 않으며, 밀봉에 마찰이 없고 기름 자체의 무게도 없다고 보아 높이와 상관없이 압력이 같습니다. 실제 리프트에는 차가 기름에만 의지하지 않도록 기계식 안전 잠금장치가 따로 있습니다.

아르키메데스에서 브라마까지

도르래 장치는 아주 오래되었습니다. 기원전 1세기 로마의 건축가 비트루비우스는 『건축십서』 제10권에서 블록에 든 도르래 수로 들어 올리는 기계를 구분해, 도르래 세 개짜리 블록을 트리스파스토스, 도르래가 많은 기계를 폴리스파스톤이라고 불렀습니다.

가장 유명한 도르래 이야기는 아르키메데스의 일화이고, 플루타르코스의 『마르켈루스 전』에 실려 있습니다. 아르키메데스가 기원전 212년에 죽고 약 300년 뒤에 쓰인 글입니다. 플루타르코스에 따르면 아르키메데스는 시라쿠사의 히에론 왕에게 주어진 힘으로 주어진 무게를 얼마든지 움직일 수 있다고 썼고, 다른 세계가 있어 그리로 갈 수 있다면 이 세계도 움직이겠다고 말했습니다. 왕이 보여 달라고 하자, 그는 여러 사람이 애써 뭍으로 끌어 올린 돛대 셋 달린 왕실 상선에 승객과 짐을 싣게 한 뒤 멀찍이 앉아 복합 도르래를 손으로 움직여 배를 자기 쪽으로 끌어당겼다고 합니다. 사건 뒤 오랜 세월이 지나 전해진 이야기이고 목격담은 아니지만, 이 생각이 일찍부터 아르키메데스의 이름과 함께 전해졌다는 것은 알 수 있습니다.

유압의 원리는 블레즈 파스칼이 액체의 평형을 다룬 논문에서 정리했습니다. 1654년 무렵 마무리한 이 글은 그가 세상을 떠난 이듬해인 1663년에 출판되었습니다. 닫힌 액체 속의 압력은 힘을 키울 수 있고, 그래서 파스칼은 흔히 수압기의 착상을 낸 사람으로 꼽힙니다. 이 생각을 실제 기계로 만들려면 높은 압력을 견디는 밀봉이 필요했습니다. 런던의 자물쇠 장인 조지프 브라마가 1795년에 수압기 특허를 받았고, 작은 펌프 피스톤과 큰 램을 기름으로 잇는 이 구조가 오늘날 손으로 펌프질하는 잭의 기본입니다.

숫자를 검산한 방법

계기판은 W = mg(g = 9.81 m/s²), 이상적인 도르래의 F = W ÷ n, 마찰이 있을 때의 F = W ÷ (e + e² + … + eⁿ)(e = 0.95), 당긴 줄 = n × h, 차동 도르래의 기계적 이득 2R ÷ (R − r), p = W ÷ A₂, F₁ = p × A₁, 한 번 누를 때 올라가는 높이 = 50 mm × A₁ ÷ A₂를 씁니다. 이 값들은 손 계산과 맞고, 모형에 그린 밧줄 경로의 길이로도 움직도르래가 0.5 m 올라갈 때 손을 지나는 줄이 정확히 n × 0.5 m인지도 확인합니다.