3×3 큐브 맞추는 법, 한 수씩 따라 하기

섞는 데 10초, 익히는 데 한나절

섞인 3×3 큐브를 들고 한 면을 돌려 보면, 옆면 네 개에서 스티커가 세 장씩 따라 움직이고 돌린 면은 제자리에서 빙글 돕니다. 다른 면을 돌리면 흐트러짐이 더 번집니다. 대여섯 번만 돌려도 큐브는 완전히 뒤죽박죽처럼 보이고, 감으로 되돌리려는 사람은 대개 하나를 고칠 때마다 이미 맞춰 둔 것이 망가지는 경험을 합니다.

이 페이지의 큐브도 그렇게 시작합니다. 43,252,003,274,489,856,000가지 배치 가운데 하나로 섞여 있고, 처음 몇 초 동안은 초급 방법이 1초에 16수 빠르기로 한 층씩 맞춰 가는 모습을 보게 됩니다. 그다음부터는 내 큐브입니다. 손가락이나 마우스로 아무 층이나 끌어서 돌릴 수 있고, 같은 풀이를 한 수씩 앞으로도 뒤로도 넘겨 볼 수 있습니다. 책상 위 실제 큐브의 색을 칠해 넣어 그 큐브의 풀이를 받을 수도 있고, 분해해서 무엇이 큐브를 붙들고 있는지 보거나 2×2, 4×4 옆에 나란히 놓아 볼 수도 있습니다.

여기서 보여 주는 방법은 대부분의 사람이 처음 배우는 방법입니다. 흰 십자를 만들고, 흰 층을 마저 맞추고, 가운데 층을 맞춘 뒤 노란 면과 마지막 층을 맞춥니다. 짧은 공식 일곱 개를 씁니다. 대회 선수들의 방법보다 느려서 이 페이지의 방식으로는 평균 140수쯤 걸리지만, 단계마다 눈으로 따라갈 수 있고 몇 번 해 보면 페이지 없이도 맞출 수 있습니다.

큐브 둘레에는 사람들이 자주 묻는 숫자가 있습니다. 배치 수가 왜 그렇게 큰지, 왜 분해했다 끼워도 더 늘지 않는지, 「신의 수」가 무엇이고 그것이 20이라는 것을 보이는 데 왜 2010년까지 컴퓨터가 필요했는지, 공식 대회를 여는 세계큐브협회(WCA) 기록으로 가장 빠른 사람은 얼마나 빠른지입니다. 조작 아래 실험 칸에는 과제 열두 개, 어떤 순서를 몇 번 되풀이해야 제자리로 오는지 계산하는 칸, 맞춘 상태에서 몇 수 떨어진 배치가 몇 개인지 보여 주는 표, 기록 표가 있습니다.

무대에서는 상표 이름 대신 「3×3 큐브」라고 부릅니다. 발명가 에르뇌 루빅의 이름은 역사를 이야기할 때만 나옵니다.

조각: 가운데 조각이 면의 색을 정합니다

3×3 큐브는 작은 정육면체 27개처럼 보이지만, 겉으로 보이는 조각은 26개이고 세 종류로 나뉩니다.

• 가운데 조각. 면마다 한가운데 있는, 스티커가 한 장인 조각 여섯 개입니다. 축에 붙어 있어 제자리에서 돌기만 합니다. 서로 위치가 바뀌지 않으니 흰색 맞은편은 언제나 노랑, 초록 맞은편은 파랑, 빨강 맞은편은 주황입니다. 다 맞추면 각 면은 그 가운데 조각의 색이 됩니다.
• 모서리 조각. 가운데 조각 두 개 사이에 있는, 스티커가 두 장인 조각 열두 개입니다. 제자리에 바로도 거꾸로도 들어갈 수 있는데, 이 두 가지를 「뒤집힘」이라고 합니다.
• 꼭짓점 조각. 스티커가 세 장인 조각 여덟 개입니다. 제자리에 세 방향으로 들어갈 수 있는데, 이 세 가지를 「비틀림」이라고 합니다.

면 하나를 돌리면 모서리 조각 네 개와 꼭짓점 조각 네 개가 한 바퀴씩 자리를 옮기고 가운데 조각이 제자리에서 돕니다. 가운데 층을 돌리면 모서리 조각 네 개와 가운데 조각 네 개가 움직입니다. 돌리기로 할 수 있는 일은 이것뿐입니다. 그래서 큐브는 스티커 하나하나가 아니라 조각 단위로 풉니다. 스티커는 생각할 필요가 없고, 모서리와 꼭짓점 조각이 각각 어디에 어느 방향으로 있는지만 보면 됩니다.

가운데 조각이 움직이지 않으니 이 페이지의 칠하기에서도 가운데 칸은 고정입니다. 큐브를 흰색이 위, 초록이 앞으로 오게 잡으면(세계큐브협회가 섞기에 쓰는 방향입니다) 나머지 스티커 색만으로 어느 조각이 어디에 있는지 정확히 알 수 있습니다.

큐브를 붙들고 있는 것

「속」 보기를 열고 막대를 당겨 보세요. 한가운데에 여섯 갈래로 팔이 뻗은 축이 있고, 팔 하나가 면 하나를 향합니다. 팔마다 가운데 조각을 붙들고 있으며, 이 모형에서는 요즘 많은 큐브처럼 가운데 조각 밑에 나사와 작은 용수철을 그렸습니다. 나사를 조이면 큐브가 뻑뻑하게 돕니다. 모서리와 꼭짓점 조각은 어디에도 붙어 있지 않습니다. 조각마다 발이 있어 이웃 조각 밑으로 들어가고, 가운데 조각이 모서리를, 모서리가 꼭짓점을 눌러 줍니다. 층을 벌리면 큐브는 조각 26개와 축으로 흩어집니다.

에르뇌 루빅의 헝가리 특허(HU 170062, 1975년 1월 30일 출원, 1977년 3월 28일 공개)도 이런 식으로 가운데 축 둘레에 조각을 붙든 구조를 설명합니다. 다만 모형의 발 모양과 용수철은 요즘 큐브를 그린 것이지 특허 도면을 옮긴 것은 아닙니다.

처음은 아니었습니다

조각이 묶음으로 돌아가는 큐브 퍼즐 특허는 3×3보다 먼저 나왔습니다. 1970년 3월 래리 니컬스(Larry D. Nichols)가 「무늬 만들기 퍼즐」로 미국 특허 3,655,201을 냈습니다. 작은 큐브 여덟 개를 자석으로 붙여 세 축을 따라 네 개씩 돌리는 퍼즐로, 1972년 4월에 공개되었습니다. 돌아가는 구조만 다를 뿐 2×2×2와 같습니다. 이 페이지의 방 벽에는 두 특허가 다 걸려 있습니다.

표기 읽기

큐브 풀이는 글자로 적고, 그 글자는 세계큐브협회 규정의 12번 조항에서 정합니다. 큐브의 한 면을 나를 향하게 가만히 잡은 채로 읽습니다.

• F 는 앞면, B 는 뒷면, R 은 오른쪽, L 은 왼쪽, U 는 윗면, D 는 아랫면입니다.
• 글자만 있으면 그 면을 4분의 1바퀴, 그 면을 똑바로 보았을 때 시계 방향으로 돌립니다. R 은 오른쪽 면을 오른쪽에서 보아 시계 방향으로 돌리는 것이라, 앞면 오른쪽 줄 스티커가 위로 올라갑니다.
• 프라임(R′, 흔히 R' 로 칩니다)은 시계 반대 방향 4분의 1바퀴입니다.
• 2(R2)는 반 바퀴입니다. 방향은 상관없습니다.

그러니 R U R′ U′ 는 오른쪽 면을 시계 방향, 윗면을 시계 방향, 오른쪽 면을 되돌리고, 윗면을 되돌린다는 뜻입니다. 이 네 수가 이 페이지의 방법에서 가장 많이 쓰이고, 둘째 안내 단계에서 방향 화살표를 켜고 볼 수 있습니다.

가운데 층, 두 층 돌리기, 큐브 전체 돌리기

초급 방법에는 면 글자 여섯 개면 충분하지만, 책이나 실험 칸, 돌리기 버튼에는 다른 표기도 나옵니다.

• M, E, S 는 가운데 층을 돌립니다. M 은 L 과 R 사이 층으로 L 과 같은 방향, E 는 U 와 D 사이 층으로 D 와 같은 방향, S 는 F 와 B 사이 층으로 F 와 같은 방향입니다.
• Rw(r 로도 씁니다)는 오른쪽 면과 가운데 층을 함께 돌리는 「두 층 돌리기」입니다. 규정은 3×3에서 이것을 Rw 로도 2Rw 로도 쓸 수 있게 합니다.
• x, y, z 는 큐브 전체를 돌립니다. x 는 R 과 같은 방향, y 는 U 와 같은 방향, z 는 F 와 같은 방향입니다. 무늬는 그대로 두고 잡는 방향만 바꿉니다.

이 페이지의 검사 프로그램은 이 정의들을 서로 맞대어 봅니다. x 는 R M′ L′ 과 같고, r 은 R M′ 과 같은 식으로 글자마다 확인합니다.

수를 세는 방법

수를 세는 방법은 여러 가지입니다. 신의 수에 쓰는 반 바퀴 기준(HTM)에서는 R 도 R2 도 1수입니다. 4분의 1바퀴 기준에서는 R2 가 2수입니다. 규정은 최소 수 종목을 위해 바깥 블록 기준(OBTM)을 정해 두었는데, 면 돌리기와 두 층 돌리기는 1수, 큐브 전체 돌리기는 0수입니다. 이 페이지의 수는 반 바퀴 기준이고 x, y, z 는 세지 않습니다.

이 페이지의 층별 풀이

이 방법은 일곱 단계로 큐브를 맞춥니다. 각 단계는 앞 단계에서 맞춘 것을 건드리지 않거나, 건드려도 공식이 끝날 때 되돌려 놓습니다. 검사 프로그램은 배치 2,000개(모든 배치 가운데 같은 확률로 고른 1,000개와 무작위 25수 섞기 1,000개)를 풀고, 단계가 끝날 때마다 약속한 상태가 되었는지 확인합니다.

잡기: 흰색을 아래로

이 페이지는 흰 가운데를 아래에 두고 풉니다. 흰색이 다른 곳에 있으면 첫 「수」는 큐브 전체 돌리기(x, x2, z)로 흰색을 아래로 내리는 것입니다. 흰 십자를 아래에 만들면 나중에 큐브를 뒤집을 필요가 없지만, 만드는 동안 십자가 보이지 않는다는 값을 치릅니다. 그래서 셋째 안내 단계는 큐브를 아래에서 올려다보고, 무대 구석에는 모든 면을 한꺼번에 보여 주는 작은 펼친 그림이 있습니다.

1단계: 흰 십자

흰 모서리 조각 네 개를 흰 가운데 둘레로 내립니다. 모서리 조각마다 두 번째 색이 있는데, 그 색의 가운데 조각 옆에 와야 합니다. 흰색과 초록 모서리는 초록 가운데 밑에, 흰색과 빨강 모서리는 빨강 가운데 밑에 놓습니다. 모양은 십자인데 옆면 색이 틀리면 아직 끝나지 않은 것입니다.

사람은 이 단계를 감으로 하는데, 페이지도 어떤 의미에서는 비슷합니다. 흰 모서리 네 개가 놓일 수 있는 모든 경우를 살핀 뒤 함께 넣는 가장 짧은 길을 고릅니다. 살피는 경우는 190,080가지이고, 십자에는 여덟 수를 넘게 쓸 일이 없다는 것도 여기서 나옵니다. 시험 배치 2,000개에서 평균 5.8수가 들었습니다.

2단계: 첫 층

이제 흰 꼭짓점 네 개입니다. 하나를 찾아 윗면을 돌려 들어갈 칸 바로 위에 놓고, 흰색이 아래를 보며 들어갈 때까지 그 칸에 맞춘 R U R′ U′ 를 되풀이합니다. 흰 스티커가 어느 쪽을 보고 있었느냐에 따라 한 번, 세 번, 다섯 번이 듭니다. 꼭짓점이 이미 아래층에 있는데 자리가 틀리거나 비틀려 있으면, 같은 공식을 한 번 해서 먼저 꺼냅니다.

수로 따지면 가장 긴 단계로 평균 48수쯤 듭니다. 한 번에 네 수이고 꼭짓점 하나에 다섯 번이 들 수도 있기 때문입니다. 공식이 손에 붙는 단계이기도 합니다. R U R′ U′ 는 몇 분이면 손으로 익힐 만큼 짧고, 「공식 하나 외우기」 과제는 이것을 외워서 넣어 보라고 합니다.

3단계: 둘째 층

가운데 층에는 모서리 조각이 네 개 있고, 흰색이나 노랑이 들어간 것은 하나도 없습니다. 윗면을 돌려 이런 모서리 하나의 옆면 색을 그 색의 가운데 조각과 맞춥니다. 그러면 위쪽 색이 갈 곳을 알려 줍니다. 위쪽 색이 오른쪽 가운데와 같으면 U R U′ R′ U′ F′ U F 로 오른쪽에, 왼쪽 가운데와 같으면 U′ L′ U L U F U′ F′ 로 왼쪽에 넣습니다. 두 공식 모두 아래 꼭짓점을 잠깐 꺼냈다가 모서리와 함께 다시 넣습니다.

모서리가 가운데 층의 엉뚱한 칸에 끼어 있거나 제자리에서 뒤집혀 있으면, 같은 공식으로 윗면 모서리 아무거나 그 칸에 밀어 넣습니다. 그러면 끼어 있던 모서리가 위로 올라와 제대로 넣을 수 있게 됩니다. 이 단계는 평균 37수쯤 듭니다.

4단계: 윗면 십자

이제 윗면(노랑) 층만 남았습니다. 먼저 노란 십자를 만듭니다. 공식은 F R U R′ U′ F′ 입니다. 윗면에 노란 가운데만 보이면(점) 한 번에 ㄱ자가 되고, ㄱ자를 왼쪽 뒤에 두고 한 번 더 하면 일자가, 일자를 가로로 두고 또 한 번 하면 십자가 됩니다. 이 공식은 윗면 모서리를 두 개씩 뒤집고 아래 두 층은 그대로 둡니다.

5단계: 노란 윗면

R U R′ U R U2 R′ 은 많은 사람이 「수네」라고 부르는 공식입니다. 윗면 꼭짓점 세 개를 비틀고 나머지는 제자리에 두는데, 윗면 모서리끼리는 자리를 바꿉니다. 윗면을 돌려 가며 윗면이 모두 노랑이 될 때까지 되풀이하면 한 번에서 세 번이 듭니다. 페이지는 윗면을 네 방향으로 돌려 본 뒤마다 공식을 써 보고 가장 짧은 조합을 고르는데, 사람은 몇 가지 모양을 알아보는 것으로 같은 일을 합니다.

6단계: 마지막 층

공식 두 개로 끝납니다. R′ F R′ B2 R F′ R′ B2 R2 는 윗면 꼭짓점 세 개를 비틀지 않고 자리만 한 바퀴 돌립니다. 알맞게 윗면을 돌린 뒤 하면 꼭짓점이 모두 제자리로 갑니다. 그다음 R2 U R U R′ U′ R′ U′ R′ U R′ 이 윗면 모서리 세 개의 자리를 돌리고, 윗면을 돌려 가며 한두 번 하면 다 맞춰집니다.

몇 수가 드는가

시험 배치 2,000개에서 이 방식은 68수에서 209수까지, 평균 140.8수가 들었습니다. 첫 안내 단계의 섞인 큐브는 129수가 듭니다. 대회 선수들은 공식이 훨씬 많고 수는 훨씬 적은 방법을 쓰고, 가장 짧은 풀이는 아래에서 보듯 20수를 넘지 않습니다. 초급 방법은 길이를 내주고 쉬움을 얻습니다.

공식이 통하는 까닭: 멀어졌다가 돌아오기

R U R′ U′ 를 한 번 하면 큐브가 조금 흐트러져 보입니다. 여섯 번 하면 다시 맞춘 큐브가 됩니다. 이 순서만의 우연이 아닙니다. 어떤 순서든 충분히 여러 번 되풀이하면 처음 상태로 돌아옵니다. 큐브의 배치 수는 끝이 있고, 모든 돌리기는 되돌릴 수 있기 때문입니다.

돌아오는 데 필요한 반복 횟수를 그 순서의 위수라고 합니다. R 하나는 위수가 4, R2 U2 는 6입니다. 가장 간단한 두 수짜리 순서 R U 는 위수가 105라서, 105번(210수)을 되풀이해야 다시 맞춘 큐브가 됩니다. R U2 D′ B D′ 는 1,260번, 6,300수가 듭니다.

조작 아래 실험 칸은 입력한 순서에 대해 이 수를 계산합니다. 순서를 스티커 54장의 섞임 하나로 합친 뒤 그것을 고리들로 나누면, 위수는 고리 길이들의 최소공배수입니다. 위수가 작으면 큐브에서 직접 되풀이해 제자리로 돌아오는 모습도 보여 줍니다.

R U R′ U′ 같은 공식이 쓸모 있는 것은 바꾸는 것이 아주 적기 때문입니다. R U R′ U′ 는 꼭짓점 하나 근처의 조각 몇 개만 건드리고, 아래층에 미치는 영향은 한 번 하고 나면 상쇄됩니다. 첫 층 단계에 꼭 필요한 성질입니다. 이런 돌리기 순서를 다루는 수학 분야인 군론에서는 R U R′ U′ 를 R 과 U 의 교환자라고 부릅니다. 겹치는 조각이 몇 개뿐인 두 수의 교환자는 조각 몇 개만 움직이고, 더 높은 단계 방법의 공식도 대부분 이것으로 만듭니다.

43,252,003,274,489,856,000가지 배치

43,252,003,274,489,856,000이라는 수는 어디서 왔을까요? 조각을 늘어놓는 방법을 센 다음, 돌리기로 실제로 닿을 수 있는 것만 남깁니다.

큐브를 분해합니다. 꼭짓점 조각 여덟 개를 꼭짓점 칸 여덟 곳에 다시 넣는 순서는 8! = 40,320가지이고, 꼭짓점마다 비틀림이 세 가지라 3⁸을 곱합니다. 모서리 조각 열두 개를 넣는 순서는 12! = 479,001,600가지이고, 모서리마다 뒤집힘이 두 가지라 2¹²을 곱합니다. 모두 곱하면 큐브를 다시 조립하는 방법은 519,024,039,293,878,272,000가지입니다.

돌리기로는 이 가운데 일부에만 닿습니다. 돌려서 만들 수 있는 배치는 반드시 다음 세 규칙을 지키고, 이 규칙을 지키는 배치만 돌려서 만들 수 있습니다.

1. 비틀림. 꼭짓점의 비틀림을 0, 1, 2로 매기면 여덟 개의 합은 언제나 3의 배수입니다. 그래서 꼭짓점 일곱 개의 비틀림이 정해지면 여덟 번째는 고를 수 없습니다. 3으로 나눕니다.
2. 뒤집힘. 뒤집힘을 0과 1로 매기면 열두 개의 합은 언제나 짝수입니다. 열두 번째 모서리는 고를 수 없습니다. 2로 나눕니다.
3. 자리 바꾸기. 면을 4분의 1바퀴 돌릴 때마다 꼭짓점은 홀수 번, 모서리도 홀수 번 자리를 바꿉니다. 그래서 꼭짓점과 모서리가 자리를 바꾼 횟수는 늘 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수입니다. 모서리 두 개만 맞바꿀 수는 없습니다. 2로 나눕니다.

519,024,039,293,878,272,000 ÷ 3 ÷ 2 ÷ 2 = 43,252,003,274,489,856,000이고, 무대에 적힌 대로 쓰면 8! × 3⁷ × 12! × 2¹¹ ÷ 2입니다. 재닛 첸의 군론 강의 노트 같은 대학 강의 자료는 이 세 규칙이 필요할 뿐 아니라 그것으로 충분하다는 것, 다시 말해 세 규칙을 모두 지키는 배치는 반드시 돌려서 만들 수 있다는 것을 증명합니다. 그래서 이 페이지의 풀이 프로그램은 검사를 통과한 칠한 큐브라면 무엇이든 풀 수 있습니다.

분해한 큐브에 생기는 일

큐브를 아무렇게나 다시 조립하면 비틀림 규칙을 지킬 확률이 3분의 1, 뒤집힘 규칙이 2분의 1, 자리 바꾸기 규칙이 2분의 1입니다. 모두 합치면 12분의 1입니다. 분해했다가 대충 끼운 큐브는 12번 중 11번은 아무리 잘 돌려도 영영 풀 수 없습니다. 검사 프로그램은 무작위로 조립한 큐브 24,000개를 검사해 이 비율을 확인하는데, 8.3%쯤이 통과합니다.

칠하기에서는 이런 큐브를 일부러 만들 수 있습니다. 「꼭짓점 비틀기」는 꼭짓점 하나를 제자리에서 비틀고, 「모서리 뒤집기」는 모서리 하나를 뒤집고, 「모서리 두 개 바꾸기」는 모서리 두 개를 맞바꿉니다. 그때마다 페이지는 풀 수 없다고 하며 어느 규칙을 어겼는지 알려 줍니다. 내 큐브를 칠할 때의 실수도 같은 검사가 잡아냅니다. 한 색이 9칸이 아니라 10칸인 경우, 어떤 꼭짓점에도 없는 색 조합(또는 흰색과 노랑처럼 어느 큐브에도 없는 모서리), 꼭짓점 하나의 스티커 두 장이 바뀌어 색 순서가 거꾸로 된 경우, 같은 조각이 두 번 나오는 경우입니다.

다 훑어보려면 얼마나 걸릴까

1초에 배치 하나씩 본다면 모두 보는 데 약 1조 3,700억 년이 걸립니다. 플랑크 위성 연구진의 2018년 결과로 우주 나이는 약 138억 년이니, 우주 나이의 약 99배입니다. 「나」 칸과 실험 칸에 생일을 넣으면 1초에 하나씩 보았을 때 지금까지 전체의 몇 퍼센트를 보았을지 알려 주는데, 살아 있는 누구라도 100만분의 1퍼센트에 한참 못 미칩니다. 신의 수를 확인한 프로그램처럼 1초에 10억 개씩 본다면 오래 산 사람은 몇 퍼센트까지 갑니다.

2×2와 4×4

2×2에는 꼭짓점 조각만 있습니다. 방향을 정해 줄 가운데 조각이 없으니, 같은 배치를 두 번 세지 않도록 꼭짓점 하나를 고정하고 셉니다. 7! × 3⁶ = 3,674,160가지로, 컴퓨터가 순식간에 모두 확인할 수 있는 크기입니다.

4×4에는 꼭짓점 조각 8개, 모서리 조각 24개, 가운데 조각 24개가 있고 고정된 가운데 조각이 아예 없습니다. 그래서 3×3에서는 불가능해 보이는 상황(큐버들은 패리티라고 부릅니다)이 생깁니다. 마찬가지로 꼭짓점 하나를 고정하고 세면 7! × 3⁶ × 24! × 24! ÷ (4!)⁶ = 7,401,196,841,564,901,869,874,093,974,498,574,336,000,000,000가지, 약 7.4 × 10⁴⁵가지입니다. 두 수 모두 검사 프로그램이 정확한 정수로 계산하고, 「크기」 보기에 나옵니다.

신의 수

어떤 배치는 수가 많이 듭니다. 언제나 가장 짧은 풀이를 쓴다면, 가장 어려운 배치에는 몇 수가 들까요? 큐버들은 이것을 신의 수라고 부르고, 이 질문은 큐브가 나온 뒤부터 2010년까지 풀리지 않았습니다.

토마스 로키키, 헤르베르트 코치엠바, 몰리 데이비드슨, 존 데스리지가 SIAM 이산수학 학술지 논문(2013년)에 정리한 역사는 반 바퀴 기준으로 다음과 같습니다.

하한 18은 세기에서 나왔습니다. 17수 이하의 순서로는 모든 배치에 닿을 만큼 경우가 많지 않으니, 어떤 배치는 적어도 18수가 필요합니다. 상한은 정해진 수 안에 반드시 끝나는 방법에서, 그 뒤에는 점점 영리해진 컴퓨터 탐색에서 나왔습니다. 쿤클과 쿠퍼먼의 26수에는 CPU 8,000시간과 테라바이트 단위의 디스크가 들었습니다.

20을 증명한 방법

2010년의 증명은 모든 배치의 최단 풀이를 구한 것이 아닙니다. 모든 배치를 19,508,428,800개씩 담긴 묶음(잉여류) 2,217,093,120개로 나누고, 큐브의 대칭을 이용해 다뤄야 할 묶음을 55,882,296개로 줄인 뒤, 묶음마다 그 안의 모든 배치가 20수 이하로 풀린다는 것을 보였습니다. 중심 프로그램은 데스크톱 프로세서 하나로 1초에 배치 약 10억 개를 처리했습니다. 전체 계산은 2010년 7월 구글 서버에서 돌았고, 네할렘 데스크톱 프로세서 하나였다면 약 35 CPU년이 걸렸을 양입니다. 몰리 데이비드슨은 켄트주립대 수학자이고, 코치엠바는 1992년에 2단계 알고리즘을 내놓았는데 그 뒤 많은 빠른 풀이 프로그램이 이 방법을 씁니다.

덤으로, 저자들은 맞춘 상태에서 정확히 15수 떨어진 배치의 수를 처음으로 구했습니다. 91,365,146,187,124,313개입니다. 실험 칸의 표는 거리마다 배치 수를 보여 줍니다. 15수까지는 정확한 값이고, 16수부터는 저자들의 추정값입니다. 16수 떨어진 배치가 약 1.1 × 10¹⁸개, 17수가 1.2 × 10¹⁹개, 18수가 2.9 × 10¹⁹개, 19수가 1.5 × 10¹⁸개이고, 20수는 약 3억 개뿐입니다. 그러니 무작위로 섞은 큐브는 거의 언제나 17수나 18수 떨어져 있고, 20수가 다 필요한 배치는 100,000,000,000개 가운데 1개보다도 드뭅니다.

UCLA의 리처드 코프는 1997년 무작위 배치의 최단 풀이를 처음 찾았는데, 배치 하나에 하루쯤 걸리는 탐색이었습니다. 그가 추정한 최단 풀이 길이의 중앙값은 18수였고, 뒤에 나온 수와도 들어맞습니다.

슈퍼플립

슈퍼플립은 꼭짓점은 모두 제자리, 모서리도 모두 제자리에 있지만 뒤집혀 있는 배치입니다. 1995년 마이클 리드가 이 배치에 20수가 필요하다는 것을 증명해 하한이 20으로 올라갔습니다. 페이지는 이 배치를 만드는 20수 순서 하나를 보여 줍니다. U R2 F B R B2 R U2 L B2 R U′ D′ R2 F R′ L B2 U2 F2 입니다. 슈퍼플립은 자기 자신이 거꾸로이기도 해서(모서리를 모두 두 번 뒤집으면 제자리입니다) 같은 20수를 한 번 더 하면 풀립니다. 열한째 안내 단계가 바로 그것을 보여 주고, 무늬 목록에서 직접 만들어 볼 수도 있습니다.

다른 기준으로 세면

반 바퀴를 2수로 세는 4분의 1바퀴 기준에서는, 2013년 논문이 하한 26과 상한 29를 적고 답이 26일 것으로 봅니다. 가운데 층 돌리기도 1수로 세는 기준에서는 18에서 20 사이이고 18일 것으로 봅니다.

더 큰 큐브, 더 어려운 질문

n×n×n 큐브에 대해서는 MIT의 에릭 드메인 연구진이 2011년, 신의 수가 n² ÷ log n 에 비례해 늘어난다는 것을 보였습니다. 조각 수는 n² 처럼 늘어나니, 큰 큐브는 작은 큐브보다 조각 하나에 드는 수가 적습니다. 큰 큐브에서는 한 번 돌릴 때 여러 조각을 한꺼번에 진척시킬 수 있기 때문입니다.

주어진 배치의 가장 짧은 풀이를 찾는 것은 또 다른 문제입니다. 드메인, 세라 아이젠스탯, 미하일 루도이는 2017년, 일반적인 n×n×n 큐브에서 어떤 배치를 정해진 수 안에 풀 수 있는지 판정하는 문제가 NP-완전이라는 것을 증명했습니다. 큐브가 커져도 언제나 빨리 답하는 방법은 알려져 있지 않고, 그런 방법을 찾으면 컴퓨터 과학의 가장 큰 미해결 문제 하나가 풀립니다. 3×3 자체는 경우가 유한해서, 많은 궁리를 얹은 전수 계산으로 답이 나왔습니다.

컴퓨터, 신경망, 로봇 손

컴퓨터가 3×3을 푸는 방식은 크게 두 가지입니다.

첫째는 표를 곁들인 탐색입니다. 코프의 1997년 프로그램과 코치엠바의 2단계 알고리즘은 큐브의 어떤 부분이 맞춘 상태에서 얼마나 떨어져 있는지 표로 미리 계산해 두고, 수순을 찾으면서 그 표로 가망 없는 갈래를 잘라 냅니다. 이 페이지의 십자 단계가 작은 예입니다. 모서리 네 개의 배치 190,080가지를 미리 계산한 표가 어떤 수가 십자에 한 걸음 더 가까워지는지 알려 줍니다.

둘째는 학습입니다. 캘리포니아대 어바인의 연구진(스티븐 매캘리어, 포레스트 아고스티넬리, 알렉산더 시마코프, 피에르 발디)은 사람이 만든 풀이법을 하나도 주지 않은 채, 맞춘 큐브에서 거꾸로 거슬러 가며 배치가 맞춘 상태에서 얼마나 떨어져 있는지 가늠하도록 신경망을 훈련했습니다. 2019년 Nature Machine Intelligence에 실린 프로그램 딥큐브A는 시험한 배치를 모두 풀었고, 60.3%는 가장 짧은 풀이를 찾았습니다.

2019년 OpenAI 연구진은 사람 손 모양의 로봇 손을 시뮬레이션에서 훈련한 뒤 실제 큐브를 돌리게 했습니다. 손은 실제로 돌리는 일을 맡았고, 어떤 수를 돌릴지는 코치엠바 풀이 프로그램이 정했습니다. 면 돌리기 15번이 필요한 섞기는 60%, 가장 어려운 섞기(4분의 1바퀴 26번)는 20% 성공했습니다.

스피드큐빙과 세계큐브협회

세계큐브협회(WCA)는 2004년에 세워졌고 돌리는 퍼즐 대회를 관할합니다. 거의 모든 일을 자원봉사자가 맡습니다. 158개 지역에서 24만 5천 명 넘게 대회에 나왔고, 세계 대회는 2년마다 열립니다.

대회에서 생기는 일

세계큐브협회 규정에 따라 선수는 섞인 큐브를 15초 미만 동안 살펴볼 수 있습니다. 시간은 손을 올리는 패드가 두 개 달린 타이머로 재고, 선수의 손이 패드에서 떨어지는 순간 시작됩니다. 대부분의 종목은 5회 평균을 씁니다. 다섯 번 풀고 가장 빠른 기록과 가장 느린 기록을 뺀 세 번을 평균합니다. 방 안 탁자의 기록지에 그런 라운드가 하나 있습니다. 9.84, 7.12, 8.95, 12.40, 9.31초이면 평균은 9.37초입니다.

섞기는 무작위로 돌린 것이 아닙니다. 규정 4b3은 공식 섞기 프로그램이 풀이에 2수 이상 드는 모든 배치 가운데 하나를 같은 확률로 골라야 한다고 정합니다. 그런 다음 프로그램이 그 배치를 만드는 수순을 적습니다. 이 페이지의 돌리기 모드도 같은 방식입니다. 「섞기」는 풀 수 있는 모든 배치 가운데 하나를 같은 확률로 고릅니다.

기록

2026년 10월 20일 기준으로 세계큐브협회 기록 페이지의 세계 기록은 다음과 같습니다.

3×3 단일 기록은 자주 깨졌습니다. 세계큐브협회 기록의 역사는 1982년 6월 5일 부다페스트의 첫 세계 대회에서 시작합니다. 19명이 겨뤘고 민 타이가 22.95초를 냈습니다. 2003년 토론토 세계 대회에서는 예스 본데가 16.53초를 세웠고, 댄 나이츠가 평균 20.00초로 우승했습니다. 기록은 2007년에 10초 아래로, 2015년에 5초 아래로(루커스 에터, 4.90초), 2018년에 4초 아래로(두위성, 3.47초) 내려갔습니다. 2017년 10월에는 한국의 조승범 선수가 4.59초로 이 기록을 가졌습니다. 맥스 박이 2023년 3.13초, 겅쉬안이가 2025년 4월 3.05초, 테오도르 자이데르가 2026년 2월 2.76초를 세웠고, 2026년 10월 5일 겅쉬안이가 지금 기록인 2.51초를 세웠습니다.

실험 칸의 「나와 큐브」는 내 최고 기록을 세계 기록과 견줍니다. 1분이면 약 24배 느리고, 그 시간에 기록 보유자는 큐브 23개를 풉니다.

눈 가리고, 한 손으로, 최소 수로

눈 가리고 풀기에서는 시간이 먼저 갑니다. 선수는 큐브를 살펴 외우고(외우는 단계) 안대를 쓴 뒤 보지 않고 풉니다. 기록에는 외우는 시간도 들어갑니다. 메모는 할 수 없습니다. 11.56초라는 기록은 이것을 모두 합친 시간입니다.

최소 수 종목은 빠르기와 정반대입니다. 섞기 수순과 종이, 60분을 받고, 가장 짧은 풀이를 적어 낸 사람이 이깁니다. 수는 바깥 블록 기준으로 세고, 큐브 전체 돌리기를 포함해 80수를 넘으면 안 됩니다. 2003년 세계 대회의 첫 세계 기록은 29수였습니다. 지금의 단일 기록 16수는 2019년 세바스티아노 트론토가 처음 냈고 그 뒤 세 명이 같은 기록을 냈습니다. 16수가 20보다 작은 것은 대회 섞기가 가장 어려운 배치에 걸리는 일이 드물기 때문입니다. 배치 대부분의 최단 풀이는 17수나 18수이고, 주어진 섞기에서 사람 손으로 16수를 찾아내려면 실력과 운이 함께 따라야 합니다.

짧은 역사

문서로 남은 큐브의 역사는 짧고 날짜가 분명합니다. 래리 니컬스는 자석 2×2 특허를 1970년 3월 4일 출원했고 1972년 4월 11일 공개되었습니다. 에르뇌 루빅은 3×3의 헝가리 특허 170062를 1975년 1월 30일 출원했고 1977년 3월 28일 공개되었습니다. 신의 수에 처음으로 보장된 상한을 준 시슬스웨이트의 52수 방법은 1981년 7월에 나왔습니다. 첫 세계 대회는 1982년 부다페스트에서 열렸습니다. 지금 같은 대회의 시대는 2003년 토론토 세계 대회와 2004년 세계큐브협회 설립으로 시작했고, 신의 수를 찾던 긴 노력은 2010년 7월 20수면 언제나 충분하다는 증명으로 끝났습니다.

큐브에 얽힌 나머지 이야기(얼마나 팔렸는지, 어느 나라에 언제 들어갔는지)는 이 페이지가 기관이나 학술지로 확인하지 못한 대중적인 이야기라서 싣지 않았습니다.

이 페이지의 모형은 이렇게 움직입니다

무대의 큐브는 면마다 번호를 매긴 스티커 54장으로 움직입니다. 표기의 모든 수는 손으로 적어 넣은 것이 아니라 기하에서 만듭니다. 스티커마다 위치와 바깥쪽 방향이 있고, 수 하나는 그 층의 스티커들을 축 둘레로 90도 돌립니다. 그러고 나서 각 스티커가 어디로 갔는지 찾습니다. 같은 표가 3D 큐브와 풀이 프로그램과 검사 프로그램을 모두 움직이니, 보이는 큐브와 풀리는 큐브는 같은 것입니다.

3D 큐브는 둥근 조각 26개와 스티커 54장을 종류마다 인스턴스 메시 하나로 그려서, 큐브 전체가 드로우콜 두 번이면 됩니다. 한 번 돌릴 때는 한 층의 조각을 돌리고, 다 돌고 나면 조각을 제자리로 되돌린 뒤 스티커 54장의 상태에서 새 색을 칠합니다.

끌어서 돌리기는 실제 큐브처럼 움직입니다. 스티커를 누르고 손가락을 움직이면, 페이지는 그 면을 따라가는 두 방향 가운데 화면에서 끈 방향과 가장 가까운 쪽을 고르고 그 방향으로 끌면 움직일 층을 돌립니다. 앞면 오른쪽 줄을 위로 끌면 R, 윗줄을 옆으로 끌면 U 나 U′ 입니다. 가운데 줄을 끌면 가운데 층이 돕니다.

풀이 프로그램은 위에서 설명한 초급 방법을 코드로 옮긴 것입니다. 십자 단계는 표 탐색을 쓰고, 나머지 단계는 사람이 쓰는 규칙을 그대로 따르며, 마지막 층 단계는 윗면을 네 방향으로 돌린 뒤마다 공식을 써 봅니다. 검사 프로그램은 무작위 배치 1,000개와 무작위 섞기 1,000개를 풀고, 단계마다 제 할 일을 했는지 확인하고, 모든 수를 정확한 정수로 계산하며, 칠한 큐브 검사가 실제 배치는 모두 받아들이고 비틀리거나 뒤집히거나 맞바뀐 큐브는 모두 거부하는지 확인합니다.

모형에서 단순하게 한 것은 다음과 같습니다.

• 큐브는 57 mm 모형(조각 하나 19 mm)입니다. 실제 큐브는 크기와 모양이 제각각이고, 용수철과 발은 잰 것이 아니라 그린 것입니다.
• 돌리기는 완벽합니다. 모서리가 덜 맞은 채 돌아가거나 걸리거나 조각이 튀어나오는 일이 없습니다.
• 여기 실은 초급 방법은 여러 방식 가운데 하나입니다. 마지막 층에 어떤 공식을 쓰는지는 책과 가르치는 사람마다 다릅니다.
• 신의 수 표의 16수부터 20수까지는 논문의 추정값이고 ≈로 표시했습니다.

해 볼 것

• 첫 안내 단계에 머물러 풀이를 끝까지 보세요. 그다음 「천천히 따라 하기」를 눌러 같은 129수를 화살표와 함께 한 수씩 넘겨 보세요.
• 돌리기에서 앞면 오른쪽 줄을 위로 끌어 보세요. 그것이 R 입니다. 아래로 끌면 R′ 입니다. R U R′ U′ 를 여섯 번 하면 큐브가 돌아옵니다.
• 섞은 뒤 흰 십자를 직접 만들어 보세요. 구석의 펼친 그림이 작업하는 동안 아랫면을 보여 줍니다.
• 내 큐브를 칠해 넣어 보세요. 흰색이 위, 초록이 앞으로 오게 잡고 54칸을 모두 칠합니다. 페이지가 거부하면 어느 규칙을 어겼는지 알려 줍니다. 분해한 적이 있는 큐브라면 꼭짓점 하나를 다시 비틀어 끼워야 할 수도 있습니다.
• 실험 칸에 R U 를 넣고 「계산」을 누르면 105가 나옵니다. 그다음 R U2 D′ B D′ 를 넣어 보세요.
• 슈퍼플립을 만든 뒤 같은 20수를 한 번 더 돌려 보세요.
• 방 안에 숨은 볼거리 14개를 찾아보세요. 타이머, 기록지, 로봇 손, 특허 도면이 저마다 카드를 엽니다.