계산자는 어떻게 곱셈을 할까

모형이 보여 주는 것

전자계산기가 나오기 전, 3.14 × 2.72를 구해야 하는 공학자는 종이에 긴 곱셈을 쓰지 않았습니다. 셔츠 주머니에서 자 하나를 꺼내 가운데 막대를 몇 cm 밀고, 작은 창을 옮긴 다음 8.54를 읽었습니다. 몇 초면 끝났고 전지도 필요 없었지요. 이 전시는 그 자, 계산자를 움직이는 모형으로 만든 것이고, 이 글은 나무 막대 두 개를 엇갈려 미는 일이 왜 곱셈이 되는지 설명합니다.

모형은 20세기에 수백만 개씩 팔린 25 cm 만하임식 계산자입니다. 서로 움직이는 부분이 셋 있습니다. 몸체는 고정된 부분으로, 위아래 두 쪽을 끝 브래킷이 묶고 있습니다. 슬라이드는 그 사이 홈을 따라 움직입니다. 커서는 빨간 선이 그어진 투명한 창으로, 자 전체를 덮고 미끄러집니다. 눈금은 아홉 줄입니다. 몸체 위쪽에 K와 A, 아래쪽에 D, S, T, L이 있고, 슬라이드에 B, CI, C가 있습니다.

슬라이드나 커서는 마우스나 손가락 하나로 모형 위에서 바로 끌 수 있고, 조작 탭의 막대로 옮겨도 됩니다. 무대 구석의 상자에는 커서 선 아래에 있는 모든 눈금의 값이 나옵니다. 그 아래에는 지금 맞춰 놓은 곱셈이 나옵니다. C 기준점 아래 D의 수와 커서 선 아래 C의 수, 두 수의 로그, 정확한 곱, 자에서 읽은 값입니다.

책상 위에는 같은 원리로 움직이는 도구가 세 가지 더 있고, 조작 탭의 기종 막대로 바꿔 볼 수 있습니다. 아폴로 승무원이 가지고 탄 것과 같은 15 cm 노란 알루미늄 주머니 계산자, 지름 10 cm 원판의 원형 계산자, 그리고 지금도 조종사들이 배우는 E6B 비행 계산기입니다. 조작 탭 아래에는 실험 칸이 있습니다. 과제 6개, 어떤 문제든 자에 맞춰 주는 계산 칸, 시간을 재는 계산 문제 33개, 읽기 오차 표, 계산자와 그것을 쓴 사람들 39가지 목록이 들어 있습니다.

곱셈이 덧셈으로 바뀌는 이유

보통 자 두 개를 나란히 놓으면 덧셈 기계가 됩니다. 위 자의 0을 아래 자의 3에 맞추고 위 자의 4를 따라 내려가면 아래 자에 7이 있습니다. 길이가 더해진 것입니다.

계산자는 같은 일을 다른 종류의 자로 합니다. 로그 눈금에서는 왼쪽 끝 1에서 어떤 수 v까지의 거리가 v가 아니라 v의 로그에 비례합니다.

x(v) = 250 mm × log v

이 자에서 2는 250 × 0.30103 = 75.3 mm, 3은 250 × 0.47712 = 119.3 mm, 6은 250 × 0.77815 = 194.5 mm 자리에 있습니다. 앞의 두 길이를 더하면 75.3 + 119.3 = 194.5 mm로, 꼭 6이 있는 자리입니다. log a + log b = log (a × b)라는 식을 나무와 셀룰로이드로 그려 놓은 셈입니다. C의 왼쪽 끝을 D의 2에 맞추고 C의 3 아래를 읽으면 두 길이가 더해지고, D 눈금이 그 합친 길이를 다시 수로 바꿔 줍니다.

나눗셈은 같은 동작을 거꾸로 하는 것입니다. log a − log b = log (a ÷ b)이므로 길이 하나에서 다른 길이를 빼면 됩니다. 길이를 빼는 일은 더하는 일만큼 쉽습니다.

몸체 맨 아래의 L 눈금은 이 원리를 눈으로 보여 줍니다. 0에서 1까지 고르게 나눈 평범한 눈금을 D와 나란히 새긴 것입니다. 커서 선을 D의 2에 두면 L은 2의 로그인 0.301을 가리킵니다. 계산자가 나오기 전에는 인쇄된 로그표에서 로그를 찾아 손으로 더하고, 그 합을 다시 표에서 찾아 곱을 구했습니다. L 눈금은 그 표를 작게 줄여 놓은 것입니다.

눈금 읽는 법

C와 D의 수는 왼쪽 기준점의 1에서 오른쪽 기준점의 10까지 이어지고, 오른쪽으로 갈수록 촘촘해집니다. 1과 2 사이는 75.3 mm인데 9와 10 사이는 250 × log (10/9) = 11.4 mm밖에 안 됩니다. 그래서 계산자를 만드는 사람들은 구간마다 눈금 간격을 바꿉니다. 이 모형의 C와 D는 1에서 2까지 0.01마다, 2에서 4까지 0.02마다, 4에서 10까지 0.05마다 한 칸입니다.

가장 작은 칸의 실제 폭을 보면 어느 부분이 읽기 쉬운지 알 수 있습니다.

• 1.00과 1.01 사이: 250 × log 1.01 = 1.08 mm
• 2.00과 2.02 사이: 2.02/2 = 1.01이므로 역시 1.08 mm
• 4.00과 4.05 사이: 250 × log 1.0125 = 1.35 mm
• 8.50과 8.55 사이: 250 × log (8.55/8.5) = 0.64 mm
• 9.95와 10 사이: 0.54 mm

계산자에는 소수점이 없습니다. D 눈금이 6을 가리키면 답이 0.6인지, 6인지, 6,000인지는 따로 어림해서 정합니다. 공학자들은 10의 거듭제곱을 종이에 따로 적어 두었고, 과학적 표기법을 자주 썼습니다.

모형으로 곱하고 나누기

2 × 3부터 해 봅니다. C의 왼쪽 기준점(왼쪽 끝의 1, 빨간 쐐기로 표시)이 D의 2 위에 오도록 슬라이드를 옮기고, 커서 선을 C의 3으로 옮깁니다. 커서 선 아래 D에 6이 나옵니다. 상자에는 log 0.301 + 0.477 = 0.778이 나오고, 10^0.778은 6입니다.

답이 자 끝을 넘어갈 때도 있습니다. 7 × 4를 왼쪽 기준점으로 맞추면 C의 4가 D의 왼쪽 기준점에서 211.3 + 150.5 = 361.8 mm 떨어진 곳, 250 mm 눈금 밖으로 나갑니다. 이때는 C 오른쪽 끝의 10인 오른쪽 기준점을 씁니다. C10을 D7에 맞추면 250 × (log 7 − 1) = −38.7 mm이므로 슬라이드가 왼쪽으로 38.7 mm 움직입니다. 커서 선을 C4에 두면 D에는 2.8이 나옵니다. 실제로는 7 × 4 ÷ 10을 계산한 것이라서 소수점을 직접 되돌려 28로 읽습니다.

8.4 ÷ 2.1은 커서 선을 D의 8.4에 두고, C의 2.1이 커서 선 아래 오도록 슬라이드를 민 다음, C 기준점 아래 D를 읽습니다. 4가 나옵니다. log 8.4에서 log 2.1을 뺀 것이고, 0.924 − 0.322 = 0.602는 log 4입니다.

계산이 이어질 때 계산자가 가장 빠릅니다. 8.4 ÷ 2.1 × 1.5를 구하려면 나눗셈을 마친 자리에 슬라이드를 그대로 두고 커서 선만 C의 1.5로 옮깁니다. D에 6이 나오고, 8 ÷ 2 × 1.5가 6쯤이라는 어림으로 소수점 자리를 확인합니다. 중간값 4는 읽거나 적을 필요가 없습니다.

제곱, 제곱근, 역수

A와 B 눈금에는 같은 250 mm 안에 1~10이 두 번 들어 있어서, 수 v가 125 × log v 자리에 놓입니다. D에서 250 × log u 자리에 있는 점은 125 × log v = 250 × log u를 만족하는 A의 v와 같은 줄에 섭니다. 이 식을 풀면 v = u²입니다. 커서 선을 D의 3에 두면 A는 9를 가리킵니다. 위로 읽으면 제곱이 되고, 아래로 읽으면 제곱근이 됩니다. A의 50은 125 × log 50 = 212.4 mm 자리에 있고, 그 아래 D는 50의 제곱근인 7.07입니다. A의 어느 쪽 절반에서 시작하는지가 중요합니다. 왼쪽 절반의 5에서 내려가면 2.24, 오른쪽 절반의 50에서 내려가면 7.07이 나옵니다.

CI는 C를 거꾸로 새긴 눈금이고, 보통 빨간색으로 찍습니다. 수 v가 250 × (1 − log v) = 250 × log (10/v) 자리에 있는데, 이것은 C에서 10/v가 있는 자리입니다. 그래서 커서 선 아래 CI는 언제나 C 값의 역수를 소수점 한 자리 옮긴 값으로 보여 줍니다. 커서 선을 C4에 두면 CI는 2.5이고, 1/4 = 0.25로 읽습니다. CI 값을 곱하는 것은 그 아래 C 값으로 나누는 것과 같아서, 나눗셈이 여러 번 이어질 때 슬라이드를 앞뒤로 옮기지 않고 곱셈으로 바꿔 계산할 수 있습니다.

K로 세제곱, S와 T로 각도

몸체 먼 쪽 가장자리의 K 눈금은 A보다 한 걸음 더 나갑니다. 250 mm에 1~10이 세 번 들어 있어서 수 v는 83.3 × log v 자리에 놓입니다. D의 u는 K의 u³과 줄이 맞습니다. 커서 선을 D의 2에 두면 K는 8이고, 2.5에 두면 정확한 값 15.625에 가까운 15.6입니다. K에서 아래로 읽으면 세제곱근이 되고, A와 마찬가지로 K의 어느 구간에서 시작하느냐가 답을 정합니다. 첫 구간의 2는 1.26, 가운데 구간의 20은 2.71, 마지막 구간의 200은 5.85를 줍니다.

D 아래의 S와 T 눈금에는 수 대신 각도가 있습니다. S는 각 θ가 D에서 10 × sin θ가 나오는 자리에 오도록 새겼습니다. 그 자리는 250 mm × log (10 sin θ)입니다. 커서 선을 S의 30에 두면 D에 5가 나오고, 이것을 sin 30° = 0.5로 읽습니다. sin 5.74° = 0.1이라서 눈금은 5.74°보다 아래로 내려가지 못합니다. 그보다 작은 각은 sin θ가 라디안으로 잰 θ, 대략 θ ÷ 57.3과 거의 같다는 성질로 처리했습니다. 이 모형에서 빨갛게 새긴 T는 5.71°에서 45°까지의 탄젠트를 같은 방식으로 다룹니다. 커서 선을 20에 두면 D에 3.64가 나오니 tan 20° = 0.364입니다. 45°보다 큰 각은 tan θ = 1 / tan (90° − θ)를 써서 CI에서 역수를 읽습니다.

S와 T가 D와 같은 몸체에 있으므로 삼각함수 값을 곧바로 곱셈에 이어 쓸 수 있습니다. 70°로 기댄 12 m 사다리의 높이를 구한다면, 커서 선을 S의 70에 두고 C의 오른쪽 기준점을 그 아래로 가져온 뒤 커서 선을 C의 1.2로 옮깁니다. D에 1.13이 나오니 사다리 끝은 11.3 m 높이에 있습니다.

로그 눈금을 새기는 방법

조작 탭의 눈금 만들기 막대는 D의 눈금이 어디서 왔는지 보여 줍니다. 책상 위 종이 띠는 처음에 1부터 10까지 27.8 mm 간격으로 표시된 보통 자입니다. 막대를 움직이면 표시 하나하나가 250 mm × log v 자리로 미끄러집니다. 2는 27.8 mm에서 75.3 mm로, 5는 111.1 mm에서 174.7 mm로 가고, 10은 250 mm에 그대로 있습니다. 주황색 선이 D의 같은 수에서 끝나므로, 로그 눈금은 보통 눈금의 표시를 옮겨 놓은 것일 뿐이라는 것을 볼 수 있습니다.

도구 장인들은 이 일을 분할기로 했습니다. 깎는 날을 정해진 거리만큼씩 옮기며 멈출 때마다 선을 긋는 기계입니다. 위치는 로그표에서 가져왔습니다. 칸이 잘수록 선이 많아집니다. 이 모형은 C와 D에 각각 321개, 두 자릿수 범위를 담은 A에 321개, 세 범위를 담은 K에 226개의 눈금을 그렸습니다.

계산자로 얻을 수 있는 자릿수

3.14 × 2.72를 해 봅니다. 왼쪽 기준점을 3.14에, 커서 선을 2.72에 맞춥니다. 두 수의 정확한 곱은 8.5408입니다. 상자에는 자에서 읽은 값이 8.54로 나오고, 차이는 −0.0094%입니다. 8.5 부근의 D 눈금은 0.05마다 한 칸이고 그 폭이 0.64 mm라서, 커서 선이 8.50에서 8.55 쪽으로 다섯 분의 넷쯤 간 자리에 있는 것을 보고 8.54라고 적습니다. 넷째 자리를 읽으려면 0.64 mm 칸을 50등분해야 합니다. 조작 탭의 맞춤 오차 막대는 작은 실수가 무엇을 바꾸는지 보여 줍니다. 서두르는 눈이 커서 선을 맞출 만한 자리에 파란 선이 생기고, 상자에 오차의 크기가 백분율로 나옵니다.

오차의 크기는 눈금 식에서 나옵니다. 커서 선을 Δx만큼 잘못 맞추면 값은 일정한 비율만큼 달라집니다.

Δv / v ≈ ln 10 × Δx / 250 mm

그래서 1 mm 오차는 자의 어디에서나 2.3026/250 = 0.92%이고, 0.1 mm까지 정확하게 맞추면 0.092%입니다. 왼쪽 기준점 가까이에서는 0.0009라서 1.234처럼 넷째 자리를 어림할 수 있습니다. 오른쪽 기준점 가까이에서는 9 × 0.00092 = 0.008이므로 9.87 정도가 한계입니다. 그래서 흔히 새겨진 눈금으로 두 자리를 읽고 셋째 자리는 눈으로 어림한다고 말합니다.

오차가 눈금 길이에 대한 일정한 비율이므로, 눈금이 길수록 더 잘게 읽힙니다. 50 cm 계산자는 그 비율이 절반입니다. 자릿수를 한 자리 늘리려면 눈금이 열 배인 2.5 m가 되어야 합니다. 그래서 긴 눈금을 쓰는 계산기는 눈금을 나선으로 감거나 원통에 둘렀습니다.

책상 위의 네 가지 도구

25 cm 계산자는 학생과 공학자 대부분이 가졌던 것입니다. 주머니 계산자는 같은 도구를 짧게 만든 것입니다. 15 cm 노란 모형은 같은 눈금을 0.6배 길이로 담았으므로, 답은 모두 같지만 읽기는 더 거칩니다. 150 mm 눈금에서 0.1 mm를 잘못 맞추면 값이 0.15% 달라지고, 250 mm에서는 0.09%입니다. 스미스소니언 항공우주박물관의 아폴로 13호 계산자인 피켓 N600-ES는 15.24 cm × 3.81 cm이고 알루미늄과 플라스틱으로 되어 있습니다. 박물관 기록에 따르면 NASA는 공학자들 사이에서 널리 쓰이던 이 기종을 골랐고, 우주에서 쓰려고 고칠 곳은 없었습니다.

원형 계산자는 D 눈금을 고정된 바깥 고리에, C 눈금을 그 안에서 도는 원판에 감아 둔 것입니다. 원에는 끝이 없으니 기준점을 바꿀 일이 없습니다. 원판의 1을 7에 맞추고 팔을 4에 두면 D에 바로 2.8이 나옵니다. 지름 10 cm 원판에서 고리와 원판의 경계는 중심에서 36 mm이므로 눈금 길이는 2π × 36 = 226 mm입니다. 몸집은 절반인데 25 cm 직선 계산자에 가까운 눈금을 가진 셈입니다.

E6B 비행 계산기는 조종사용 표시가 붙은 원형 계산자입니다. 바깥 눈금은 거리나 연료로, 안쪽 원판은 분으로 읽습니다. 안쪽 눈금 60 자리의 빨간 화살표가 속도 표시입니다. 속도는 60분 동안 가는 거리이기 때문입니다. 화살표를 120 아래에 두면 120노트이고, 안쪽 눈금 45 위의 바깥 눈금을 보면 90해리가 나옵니다. 같은 맞춤으로 거꾸로, 120노트로 90해리를 가는 데 걸리는 시간도 읽힙니다. 공학을 공부한 해군 조종사 필립 돌턴이 1930년대에 이런 계산기를 만들었고, E6B는 지금도 조종사 필기시험을 위해 배웁니다.

모형으로 연습하기

조작 탭 아래의 과제는 끌거나 막대를 움직여 직접 결과를 맞추게 합니다. 버튼을 눌렀을 때가 아니라 자에 답이 나왔을 때 표시가 붙습니다. 3.14 × 2.72, 8.4 ÷ 2.1, 50의 제곱근, sin 30°, E6B로 45분 비행, 그리고 문제 은행에서 다섯 문제 연속입니다.

문제 은행에는 2 × 3부터 tan 40°까지 25 cm 계산자로 풀 수 있는 문제 33개가 있습니다. 모형으로 풀고, 자에 나온 값을 적은 뒤 확인을 누릅니다. 정확한 값과 0.5% 안이면 맞는 것으로 칩니다. 세 자리를 꼼꼼히 읽는 사람이 얻는 정밀도입니다. 시간은 첫 답에서 시작해 다섯 번째로 연달아 맞힌 답에서 멈추고, 최고 기록은 브라우저에 남습니다. 자에서 보기를 누르면 지금 문제를 단계별로 맞춰 보여 줍니다.

실제 계산자와 다른 점

비율과 눈금 배치는 흔한 25 cm 계산자를 따랐습니다. C와 D의 칸, A, B, CI 눈금은 위의 식으로 그렸기 때문에 실제로 값을 읽을 수 있습니다. 다만 실제 물건보다 단순하게 만든 부분이 있습니다.

• 실제 공학용 계산자에는 여기 아홉 줄보다 눈금이 더 많습니다. 접은 눈금(CF, DF, CIF)과 거듭제곱용 로그로그 눈금 같은 것입니다. S와 T를 슬라이드 뒷면에 두는 계산자도 많습니다. 이 모형은 커서 하나로 함께 읽도록 모두 한 면에 두었습니다.
• 주머니 계산자, 원형 계산자, E6B는 각 기종을 대신하는 모형입니다. 특정 유물을 본뜬 것이 아니고, E6B의 바람 계산 면은 단순한 격자로만 그렸습니다.
• 상자의 값은 슬라이드와 커서의 정확한 위치로 계산해 유효숫자 세 자리로 반올림한 것입니다. 실제 계산자에서는 눈이 그 반올림을 하고, 결과는 조명, 시차, 커서 선의 굵기에 따라 달라집니다.
• 이 모형의 슬라이드에는 마찰이 없고 브래킷도 조일 수 없습니다. 실제 계산자에서는 브래킷 나사를 풀었다 조여서 슬라이드가 얼마나 빡빡하게 움직일지 맞춥니다.
• 3.14 예제는 π가 아니라 3.14를 썼습니다. C와 D의 π 표시는 3.1416 자리에 있고, 3.1416 × 2.7183 = 8.5397입니다.

네이피어의 로그표에서 전자계산기까지

존 네이피어는 1614년 『Mirifici logarithmorum canonis descriptio』에서 로그를 발표했습니다. 1620년 무렵 에드먼드 건터가 자 위에 로그 눈금 한 줄을 새기고, 디바이더로 길이를 옮겨 재는 방식으로 곱셈을 했습니다. 뱃사람들은 이 자를 「건터」라고 불렀습니다. 계산자 자체를 만든 사람으로는 보통 윌리엄 오트레드를 꼽습니다. 1622년 무렵 그런 눈금 두 개를 나란히 놓고 하나를 밀어 읽었고, 1630년 무렵에는 원형 계산자도 만들었습니다.

아이작 뉴턴이 1675년에 커서와 비슷한 것을 제안했지만 그때는 널리 쓰이지 않았습니다. 먼저 퍼진 것은 특수한 계산자였습니다. 1677년 헨리 코그셜이 완성한 목수용 계산자는 200년 동안 쓰였고, 술통 재는 자는 통에 든 양과 그 세금을 계산했습니다. 1799년에는 제임스 와트와 매슈 볼턴의 소호 계산자가 증기기관 일에 쓰였고, 1815년에는 뒷날 유의어 사전을 쓴 피터 로제가 거듭제곱용 로그로그 눈금을 만들었습니다. 이 모형의 눈금 배치는 1850년대 프랑스 포병 장교 아메데 만하임에게서 시작됩니다. 자료마다 1850년부터 1859년까지 연도가 다릅니다. 그의 계산자는 대부분의 계산을 C와 D로 하고, 제곱은 A와 B로 하며, 커서로 눈금 사이를 맞춰 읽었습니다. CI 눈금은 나중에 미국의 코이펠 앤드 에서(K&E)가 더했습니다. 데너르트 운트 파페나 파버 같은 독일 회사는 나무에 셀룰로이드를 붙였고, 1891년 윌리엄 콕스의 양면 계산자는 커서 하나 아래 두 면에 눈금을 두었습니다. 자릿수를 늘리려고 눈금을 감기도 했습니다. 1878년 조지 풀러의 원통 계산기는 41피트(약 12.5 m) 눈금을 나선으로 감았고, 1922년 특허를 받은 오티스 킹의 주머니 원통은 지름 1.2인치(약 3 cm) 통에 66인치(약 168 cm)를 담았습니다. 일본의 헴미는 대나무에 셀룰로이드를 입혔고, 1960년대에는 한 해에 약 100만 개를 만들었습니다. 오트레드 협회는 20세기에 만들어진 계산자가 약 4천만 개라는 추정을 소개하고, 피켓 계산자는 아폴로 우주선에 비상용으로 실렸습니다. 1970년 4월 아폴로 13호에서 쓴 계산자는 지금 스미스소니언 항공우주박물관에 있습니다. 베르너 폰 브라운은 네슬러 23으로 레드스톤 로켓의 추력 곡선을 계산했고, E. H. 로리는 디츠겐 계산자로 금문교 진입로를 설계했습니다.

끝은 빨리 왔습니다. 휴렛팩커드의 HP-35가 1972년 395달러에 나온 첫 휴대용 공학용 계산기였고, 몇 년 지나지 않아 값싼 계산기가 계산자를 밀어냈습니다. 아폴로 기체를 마지막으로 쓴 1975년 아폴로-소유스 비행에서는 승무원이 계산자 대신 휴렛팩커드 주머니 계산기를 가지고 탔습니다.

반올림한 답을 다음 계산에 쓰면 생기는 문제

유효 숫자 세 자리면 두 길이를 비교하거나 연료 여유분을 어림하기에 충분한 경우가 많습니다. 그렇다고 뒤따르는 계산에서도 유효 숫자 세 자리가 보장되지는 않습니다. 어떤 공학 계산에서 3.14 × 2.72와 8.54의 차이가 필요하다고 가정합니다. 특정 기계의 측정값이 아니라 산술 설명을 위해 고른 숫자입니다. 정확한 곱은 8.5408이므로 차이는 0.0008입니다. 계산자에서 반올림된 8.54를 먼저 종이에 옮기면 뺄셈 결과는 영이 됩니다. 곱은 정확한 값에 아주 가까웠지만, 알고 싶던 차이 전체가 반올림으로 사라졌습니다.

이 뺄셈은 계산자의 조작이 아닙니다. 종이에서 따로 계산해야 합니다. 큰 중간 결과에 생긴 작은 백분율 오차가 작은 최종 답보다 클 수 있어 문제가 됩니다. 전시의 정확한 곱 표시에는 더 많은 자릿수가 있어 무엇이 사라졌는지 설명할 수 있습니다. 그렇다고 새겨진 눈금을 더 정밀하게 읽을 수 있게 되는 것은 아닙니다. 이 표시는 비교용이며, 사람이 모형 눈금에서 표시된 모든 자릿수를 읽을 수 있다는 증거가 아닙니다.

슬라이드를 움직이기 전에 답의 대략적인 크기를 적고, 거의 같은 두 수를 빼는 단계는 곱셈과 구분해 두면 좋습니다. 구하려는 차이가 각 수의 불확실성보다 작다면 더 긴 계산자나 다른 계산 방법이 필요합니다. 같은 값을 거듭 읽는다고 반올림으로 잃은 정보가 돌아오지는 않습니다. 이 예는 앞서 설명한 로그 눈금 식과 유효 숫자 세 자리 표시에서 직접 계산했습니다. 연습 문제 은행에 이 뺄셈 문제가 들어 있다는 뜻은 아닙니다.