몬티홀 문제 시뮬레이션으로 문을 바꿀 확률 비교하기

일요일 잡지에 실린 질문

몬티홀 문제에서 사회자가 염소가 있는 문을 열어 주면, 문을 바꿀 때 세 판 중 두 판을 이깁니다. 처음 고른 문이 맞을 확률은 세 판 중 한 판으로 그대로이기 때문입니다. 1990년 9월 9일, 한 독자가 퍼레이드(Parade) 잡지의 「마릴린에게 물어보세요」 칼럼에 게임 쇼 이야기를 보냈습니다. 문이 셋 있습니다. 한 문 뒤에는 자동차가, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있습니다. 내가 1번 문을 고르자, 문 뒤에 무엇이 있는지 아는 사회자가 3번 문을 열어 염소를 보여 줍니다. 그러고는 2번 문으로 바꾸겠느냐고 묻습니다. 바꾸는 편이 유리할까요?

마릴린 보스 사반트의 답은 「바꾸세요」였습니다. 바꾸면 세 판 중 두 판을 이긴다는 것입니다. 편지가 수천 통 쏟아졌고, 그 가운데에는 그가 틀렸다고 우기는 수학자도 많았습니다. 토론토 대학교의 제프리 로젠솔은 그 편지들에 나온 표현을 모아 두었는데, 「완전히 틀렸다」, 「염소는 당신이다」 같은 말이 있었습니다. 논쟁은 교실에서 끝났습니다. 보스 사반트가 학교 수학 수업에서 종이컵과 동전으로 직접 해 보라고 하자, 학생들은 놀라면서 그의 답이 맞았다고 알려 왔습니다.

이 문제에는 간단한 정답과 끈질긴 오답이 있고, 둘을 가르는 것은 한 가지, 사회자가 무엇을 아느냐입니다. 이 전시에서는 문 3개부터 100개까지 직접 게임을 하고, 1만 판을 몇 초 만에 두고, 사회자를 바꿔 가며 답이 어떻게 달라지는지 볼 수 있습니다.

무대를 쓰는 법

문을 누르면 그 문을 고릅니다. 오른쪽 로봇 팔이 사회자 역할을 합니다. 열 문에 레이저를 비추고, 문이 열리면 불 켜진 칸에 서 있는 염소가 보입니다. 내 문과 다른 문 하나만 닫혀 남으면 버튼 두 개가 나옵니다. 「바꾸기」를 누르면 남은 문으로 옮기고, 「그대로」를 누르면 처음 문을 지킵니다. 마지막에 고른 문이 열리고, 자동차면 전구가 초록으로, 염소면 빨강으로 깜박입니다.

무대 아래 버튼 세 개로 문 3개, 10개, 100개로 바로 넘어갑니다. 조작 칸의 「사회자」 막대는 사회자가 무엇을 알고 어떻게 행동하는지 바꾸고, 「확률 보기」는 닫힌 문마다 자동차가 있을 확률을 띄우며, 「문 뒤 보기」는 문을 투명하게 만들어 자동차 위치를 보여 줍니다. 막대 아래에는 여러 판을 한꺼번에 두는 칸, 이번 방문에서 직접 둔 판의 기록(저장하지 않음), 지금 무대 위 게임의 베이즈 표가 있습니다.

처음 고른 문이 3분의 1에 머무는 이유

문을 고를 때 그 문 뒤에 자동차가 있는 경우는 세 판 중 한 판입니다. 여기까지는 아무도 반대하지 않습니다. 의견이 갈리는 것은 문이 하나 열린 뒤입니다. 문이 두 개 남았으니 이제 각각 절반이라고 느끼는 사람이 많습니다.

문 대신 사회자의 움직임을 따라가면 답이 보입니다. 사회자는 내 문도 아니고 자동차도 없는 문을 열어야 합니다. 내 문 뒤에 자동차가 있으면 다른 두 문 중 아무거나 열 수 있습니다. 내 문 뒤에 염소가 있으면 고를 여지가 없습니다. 다른 두 문 중 하나에 자동차가 있으니, 두 번째 염소가 있는 문을 열 수밖에 없습니다.

내가 염소를 고른 판은 세 판 중 두 판입니다. 그 판들에서는 언제나 사회자가 어쩔 수 없이 연 문 때문에 자동차가 남은 문 하나에 남고, 바꾸면 이깁니다. 내가 자동차를 고른 세 판 중 한 판에서는 바꾸면 집니다. 그래서 바꾸기는 세 판 중 두 판, 유지는 한 판을 이깁니다.

사회자의 행동은 내 문에 대해서는 새로 알려 주는 것이 없습니다. 내 문 뒤에 무엇이 있든 그는 염소 문을 열었을 것이기 때문입니다. 대신 그가 건너뛴 문에 대해서는 많은 것을 알려 줍니다. 그 문은 우연히 닫혀 남은 것이 아니라, 세 판 중 두 판은 어쩔 수 없이 남겨 둔 문입니다.

문이 100개면 훨씬 잘 보입니다

문이 많은 판으로 생각하면 쉽게 이해하는 사람이 많습니다. 문이 100개라고 하겠습니다. 하나를 고르면, 자동차 위치를 아는 사회자가 다른 문 98개를 열어 모두 염소를 보여 주고, 문 하나만 닫아 둡니다. 내 문을 지킬까요, 그가 조심스럽게 피해 간 그 문으로 옮길까요?

내 문은 고를 때 100분의 1이었고, 그 뒤로 이 문에는 아무 일도 없었습니다. 다른 99개 문은 합쳐서 100분의 99를 가지고 있었습니다. 사회자는 자동차를 한 번도 건드리지 않고 그중 98개를 지웠으니, 100분의 99가 통째로 그가 남겨 둔 문 하나에 모입니다. 「문 100개」 버튼을 누르고 몇 판 해 보세요. 벽이 한 줄씩 열리고, 염소 한가운데 홀로 닫혀 있는 문이 마땅히 수상해 보입니다.

일반 규칙도 바로 나옵니다. 문이 n개이고 사회자가 내 문과 다른 문 하나만 빼고 모두 연다면, 유지는 1/n, 바꾸기는 (n − 1)/n의 확률로 이깁니다. 문 3개면 1/3 대 2/3, 10개면 10% 대 90%, 100개면 1% 대 99%입니다. 조작 칸 맨 아래 표에 지금 고른 사회자로 문 수 일곱 가지의 값이 나옵니다.

모든 경우를 세어 보기

설명으로 납득이 안 되면 세어 보면 됩니다. 문에 1, 2, 3번을 붙이고 늘 1번을 고른다고 합시다(다른 문을 골라도 대칭이라 결과가 같습니다). 자동차는 어느 문 뒤에나 같은 확률로 있고, 사회자는 고를 수 있을 때 두 문을 같은 확률로 고릅니다.

앞의 두 줄은 내 문 뒤에 자동차가 있는 3분의 1을 나눠 가집니다. 유지해서 이길 확률은 1/6 + 1/6 = 1/3, 바꿔서 이길 확률은 1/3 + 1/3 = 2/3입니다.

이 표로 독자가 실제로 물은 더 날카로운 질문에도 답할 수 있습니다. 사회자가 3번 문을 여는 것을 이미 보았다면 가능한 줄은 둘째와 셋째뿐입니다. 둘째 줄은 1/6, 셋째 줄은 1/3이니, 지금과 같은 모양의 판에서는 자동차가 1번보다 2번 뒤에 두 배 자주 있습니다. 조건부로 물어도 답은 2/3입니다.

제안 순간의 베이즈 규칙

같은 셈을 보통은 베이즈 규칙으로 씁니다. 새 증거가 들어올 때 확률을 어떻게 고쳐야 하는지 알려 주는 규칙입니다. 자동차가 있을 수 있는 자리를 모두 적고, 증거를 보기 전 확률(사전 확률)에, 그 자리가 맞다면 지금 본 일이 일어날 확률(가능도)을 곱한 뒤, 곱을 모두 더한 값으로 나눕니다.

1번을 골랐고 사회자가 3번을 열었을 때입니다.

곱을 다 더하면 1/2로, 사회자가 3번 문을 열 전체 확률입니다. 이 값으로 나누면 마지막 열이 나옵니다. 조작 칸의 표도 무대 위 게임으로 똑같이 만들고, 문 수와 사회자에 따라 바뀝니다. 아는 사회자와 문 n개라면 곱은 내 문이 1/(n(n − 1)), 남긴 문이 1/n이고, 나누면 1/n 대 (n − 1)/n입니다.

가운데 열이 바로 사회자의 자리입니다. 사회자의 규칙이 바뀌면 가능도가 바뀌고, 답도 따라 바뀝니다.

사회자가 무엇을 아느냐가 답을 정합니다

기본 답은 사회자에 대한 세 가지 사실에 기댑니다. 사회자는 늘 문을 열고, 자동차 위치를 알아서 늘 염소를 보여 주며, 늘 바꿀 기회를 줍니다. 그중 하나만 빠져도 숫자가 움직입니다. 「사회자」 막대에는 다섯 가지가 있습니다.

안다 (기본). 앞에서 본 경우입니다. 유지는 1/n, 바꾸기는 (n − 1)/n입니다.

모른다 (모르는 사회자). 로젠솔은 이것을 「미끄러진 몬티」라고 부릅니다. 사회자가 바나나 껍질을 밟고 미끄러지면서 아무 문이나 밀어 열었는데, 마침 염소가 나온 경우입니다. 문이 3개면 내 문이 아닌 아무 문 뒤에 자동차가 있을 확률이 3분의 1이고, 그런 판은 망가집니다. 남은 판에서는 내 문과 닫힌 다른 문의 확률이 같아서 유지와 바꾸기가 모두 절반씩 이깁니다. 무대에서는 로봇 팔이 자동차를 열어 버린 판은 안내 문구와 함께 세지 않고, 여러 판 돌리기에서는 버린 판 수를 따로 보여 줍니다. 문 100개에서 아무 문이나 98개를 열면 100판 중 2판만 살아남지만, 살아남은 판에서도 답은 절반입니다.

제안 순간의 무대 모습은 똑같은데 왜 답이 다를까요? 증거가 다르기 때문입니다. 아는 사회자가 염소 98마리를 보여 주는 것은 언제든 할 수 있는 일입니다. 모르는 사회자가 우연히 염소 98마리를 보여 주는 것은, 그가 건드리지 않은 두 문 중 하나에 자동차가 있지 않은 한 거의 일어나지 않는 일입니다. 그래서 두 문의 확률이 함께, 똑같이 올라갑니다. 베이즈 표에서 모르는 사회자의 행동 가능도는 자동차가 내 문에 있든 다른 문에 있든 1/(n − 1)로 같고, 그래서 연 뒤 확률도 같게 나옵니다.

좋아하는 문. 로젠솔의 「기어가는 몬티」는 자동차 위치를 알지만, 고를 수 있을 때는 지쳐서 가장 가까운 번호가 작은 염소 문부터 엽니다. 무대에서는 이것을 막대로 바꿨습니다. 사회자가 고를 수 있을 때 번호가 가장 작은 다른 문을 닫아 둘 확률입니다. 모든 판을 평균하면 달라지는 것이 없어서 바꾸기는 여전히 2/3을 이깁니다. 하지만 그가 남긴 문이 정보를 담게 됩니다. 문이 셋이고 사회자가 늘 번호가 작은 문을 닫아 둔다면, 그가 번호가 큰 문을 닫아 두었다는 것은 고를 여지가 없었다는 뜻입니다. 자동차가 그 문 뒤에 있고, 바꾸면 반드시 이깁니다. 번호가 작은 문을 닫아 두었다면 1/2에 그칩니다. 선호 확률을 p라고 하면 두 경우의 답은 1/(1 + p)과 1/(2 − p)이고, 어느 쪽이든 바꾸기가 유지보다 나쁘지 않습니다.

맞힌 사람에게만 제안. 처음 고른 문에 자동차가 있을 때만 바꿀 기회를 준다면, 제안 자체가 나쁜 소식입니다. 제안받을 때마다 바꾸면 한 번도 이기지 못합니다.

틀린 사람에게만 제안. 반대로 염소를 골랐을 때만 제안한다면, 제안받고 바꾸면 늘 이깁니다. 두 경우 모두 무대 위에서 보이는 것보다 사회자가 따르는 규칙이 더 중요하다는 것을 보여 줍니다.

1만 판

돌리기 버튼은 100판, 1,000판, 1만 판을 몇 초 안에 둡니다. 판마다 자동차를 놓고, 처음 문을 무작위로 고르고, 사회자가 행동한 뒤, 같은 배치로 세 사람의 승패를 셉니다. 한 사람은 늘 바꾸고, 한 사람은 늘 그대로 두고, 한 사람은 동전을 던져 정합니다. 막대는 각자 이긴 비율이고 가는 눈금은 정확한 값입니다. 아래 그래프는 판 수를 로그 눈금으로 놓고 승률이 어떻게 움직이는지 보여 줍니다.

10판쯤에서는 선이 어디에나 있을 수 있습니다. 시뮬레이션이 잘못된 것이 아니라, 판이 적으면 우연만으로도 승률이 15퍼센트포인트 넘게 흔들립니다. N판에서 잰 승률 p의 흔들림은 대략 p(1 − p)/N의 제곱근입니다. p = 2/3이면 100판에서 약 4.7퍼센트포인트, 1,000판에서 1.5, 1만 판에서 0.47입니다. 그래서 1만 판을 두면 바꾸기 선은 거의 언제나 66.7%에서 1퍼센트포인트 안에 들어옵니다.

동전 던지는 사람은 기본 사회자일 때 늘 절반 근처에 머뭅니다. 절반은 바꿔서 2/3을, 절반은 그대로 두어 1/3을 이기기 때문입니다. 직관이 이 게임 전체에 대해 내놓는 숫자가 바로 이것이고, 이것은 다른 질문의 정답입니다. 닫힌 두 문을 똑같이 대하면 얼마나 이기느냐는 질문입니다.

문 3, 4, 5, 10개와 모든 사회자에 대해 자동차 위치, 처음 선택, 사회자 행동의 모든 경우를 세면 정확한 확률이 나옵니다. 문 수 일곱 가지와 사회자 다섯 가지마다 센 판이 10만 판이 되도록 게임을 두면, 모든 전략이 정확한 값에서 0.5퍼센트포인트 안에 들어옵니다. 292가지 경우 모두 그렇습니다. 좋아하는 문이 있는 사회자의 베이즈 표도 시뮬레이션과 맞습니다. 예를 들어 p = 0.8인 사회자가 번호가 큰 문을 닫아 둔 40,014판에서 바꾸기는 83.1%를 이겼고, 정확한 값은 5/6입니다.

직관이 절반이라고 말하는 이유

심리학자들은 수십 년 동안 이 문제를 연구했습니다. 꼼꼼한 사람들도 많이 틀리고, 답을 들은 뒤에도 생각을 잘 바꾸지 않기 때문입니다. 바꾸면 이길 확률이 두 배인데도 대부분은 처음 고른 문을 지킵니다.

여러 설명이 실험으로 검증되었습니다. 크라우스와 왕(2003)은 확률 대신 판 수로 세어 말하는 「자연 빈도」 방식과 사회자의 관점에서 문제를 내면 정답률이 크게 오른다는 것을 보였습니다. 번스와 위스(2004)는 문제의 원인 구조를 지목했습니다. 자동차 위치와 내가 고른 문은 서로 상관이 없지만, 둘 다 사회자가 열 문을 정합니다. 그래서 사회자의 선택을 알면 둘이 이어지는데, 사람들은 이것을 예상하지 못합니다. 게임을 경쟁 상황으로 바꿔 원인이 잘 보이게 하자 정답을 고르는 사람이 늘었습니다.

허브랜슨과 슈로더(2010)는 비둘기로 실험했습니다. 실험 상자의 반응 키 세 개가 문 역할을 하고 곡식이 상품이었습니다. 여러 번 되풀이하자 비둘기는 바꾸는 비율을 조절해 가장 좋은 전략에 가까워졌지만, 같은 연습을 한 사람들은 그러지 못했습니다. 비둘기에게는 확률 이론이 없고, 무엇이 보상을 주었는지에 대한 경험만 있었습니다. 돌리기 버튼이 주는 것도 바로 그 경험입니다.

짧은 역사

이 구조는 게임 쇼보다 오래되었습니다. 조제프 베르트랑의 1889년 확률 교과서에는 상자 역설이 나옵니다. 상자 셋에 금화 두 개, 은화 두 개, 금화와 은화 한 개씩이 들어 있습니다. 아무 상자에서 금화를 꺼냈다면 그 상자의 다른 동전도 금화일 확률은 1/2이 아니라 2/3입니다. 금화만 든 상자가 섞인 상자보다 금화를 두 배 잘 내주기 때문입니다. 1959년 마틴 가드너는 사이언티픽 아메리칸의 「수학 게임」 칼럼에 세 죄수 문제를 냈습니다. 셋 중 한 명이 사면될 때, 다른 한 명이 처형된다는 말을 들은 죄수의 확률은 그대로 1/3이고, 남은 죄수의 확률은 2/3로 오릅니다. 염소 대신 죄수가 나오는 세 문 문제입니다.

게임 쇼 형태는 1975년 생물통계학자 스티브 셀빈이 미국 통계학회지(The American Statistician)에 보낸 편지에 처음 나왔고, 그는 이 문제에 실제 미국 텔레비전 게임 쇼 사회자 몬티 홀의 이름을 붙였습니다. 그리고 1990년 퍼레이드 칼럼이 이 문제를 널리 알렸습니다.

교실 실험으로 논쟁이 다 끝난 것은 아닙니다. 일부 통계학자는 잡지에 실린 질문만으로는 사회자가 늘 문을 여는지, 고를 수 있을 때 어떻게 고르는지 알 수 없다고 지적했습니다. 또 모든 판에서 바꾸기가 2/3을 이긴다는 무조건부 답과, 사회자가 3번을 연 판에서 바꾸기가 2/3을 이긴다는 조건부 답은 다른 논증이 필요하다고 했습니다. 레이던 대학교의 리처드 길은 이 문제를 여러 가지 다른 수학 문제로 읽을 수 있고, 그래서 지금도 논문이 나온다고 썼습니다. 이 무대는 「사회자」 막대로 그 읽기들을 나눠 보여 줍니다.

모형에서 단순하게 한 것

자동차는 무작위로 놓고, 사회자의 무작위 선택은 공정한 동전 던지기로 했습니다. 표준 문제와 같습니다. 실제 사회자라면 참가자가 잘 고르지 않는 문에 자동차를 두거나, 자기에게 유리할 때만 바꿀 기회를 줄 수도 있고, 그러면 정해진 답이 없습니다.

로봇 팔은 보기 좋게 문을 하나씩 엽니다. 수학에서는 여는 순서가 상관없고, 어떤 문이 닫혀 남는지만 중요합니다. 모르는 사회자일 때는 문을 무작위 순서로 열기 때문에 중간에 자동차가 나올 수도 있습니다.

여러 판 돌리기는 시계로 씨앗값을 정하는 빠른 의사 난수 생성기를 써서, 두 번 돌리면 결과가 똑같지 않습니다. 세 사람의 승패는 같은 배치로 세기 때문에, 기본 사회자에서는 바꾸기와 유지 막대를 더하면 늘 100%입니다. 센 판마다 닫힌 두 문 중 정확히 하나에 자동차가 있기 때문입니다.

내가 둔 판의 기록은 열려 있는 페이지 안에만 있고, 새로 고치면 지워집니다.

문 개수 대신 증거를 계산하기

C1은 자동차가 1번 문 뒤에 있는 사건, H3은 사회자가 3번 문을 열고 교체를 제안한 사건이라고 하겠습니다. 참가자는 1번 문을 골랐고, 자동차는 균등하게 배치했으며, 사회자는 언제나 자동차를 피하고 두 염소 문 중에서는 공평하게 고른다고 가정합니다. 베이즈 정리는 P(C1 | H3) = P(H3 | C1) × P(C1) / P(H3)입니다. 분모는 3번 문에 염소가 있을 확률이 아니라, 정해진 규칙에 따라 사회자가 바로 이 행동을 할 확률입니다.

내 문에 해당하는 분자는 (1/2) × (1/3) = 1/6입니다. 2번 문의 분자는 1 × (1/3) = 1/3이고, 3번 문의 기여는 0입니다. 따라서 P(H3) = 1/6 + 1/3 = 1/2이며, P(C1 | H3) = (1/6)/(1/2) = 1/3입니다. 마찬가지로 P(C2 | H3) = (1/3)/(1/2) = 2/3입니다. 버클리 대학교의 설명은 어떤 문에 상품이 없다는 사실과 사회자가 상품 없는 문을 골라 보여 주었다는 사실을 구별합니다. Alvarado도 자동차 위치, 첫 선택, 공개 행동 사이의 의존 관계를 설명합니다.

첫 선택을 고정하고 독립적인 600판을 생각해 보면 계산을 확인할 수 있습니다. 각 문에 자동차가 있는 판은 평균 약 200판입니다. 첫 번째 200판 중 약 100판에서 3번 문을 열고, 두 번째 200판에서는 모두 3번 문을 열며, 마지막 200판에서는 한 번도 열지 않습니다. 관찰과 일치하는 약 300판 중 내 문에 자동차가 있는 것은 100판, 다른 문에 있는 것은 200판입니다. 이는 기대 횟수이지, 실제 600판에서 반드시 나오는 횟수가 아닙니다.

제외된 판을 세어야 하는 이유

이번에는 사회자가 선택되지 않은 문을 무작위로 연다고 하겠습니다. 첫 선택은 1번 문으로 고정하고, 사회자가 3번 문을 열어 염소를 보여 준 경우만 봅니다. 자동차가 1번 문에 있으면 이 관찰의 확률은 1/2입니다. 자동차가 2번 문에 있어도 1/2입니다. 살아남은 두 분자는 각각 1/6이고 합은 1/3이므로 사후 확률은 각각 1/2입니다. 같은 염소를 보았지만 그것을 골라 보여 준 과정이 달라서 계산도 달라집니다.

문 번호를 지정하지 않고도 셀 수 있습니다. 600판 중 약 200판은 첫 선택이 정답이며, 이 200판은 모두 무작위 공개를 통과합니다. 처음에 틀린 약 400판 중에는 약 200판만 남습니다. 사회자가 자동차를 드러낼 확률이 1/2이기 때문입니다. 따라서 집계되는 약 400판에서 유지와 교체는 각각 200판을 이깁니다. 교체 승수를 전체 시도 600판으로 나누면 1/3이지만, 이는 무효 판을 실패에 포함한 다른 질문의 답입니다. 분모가 무엇인지 밝혀야 합니다.

문이 100개라면 첫 선택이 정답인 시도는 1/100이고 모두 살아남습니다. 첫 선택이 틀렸을 때 무작위 사회자가 자동차를 유일한 다른 닫힌 문으로 남길 확률은 1/99입니다. 처음에 틀렸다가 살아남는 비율은 (99/100) × (1/99) = 1/100입니다. 두 집단의 기여가 같으므로 전체 시도 중 2/100 비율만 집계되고, 그중 교체가 이기는 비율은 1/2입니다. 아는 사회자의 99/100과는 다릅니다.

시뮬레이션 오차의 뜻

서로 독립인 고전 규칙의 판에서 교체 승수는 p = 2/3인 이항분포를 따릅니다. 관측 승률의 표준오차는 sqrt(p × (1 − p) / N)입니다. N = 1,000이면 0.0149, 즉 1.49퍼센트포인트입니다. 대략적인 95% 표집 범위는 기대 승률에서 표준오차의 1.96배를 더하고 뺀 값입니다. 약 66.67% ± 2.92퍼센트포인트, 즉 63.75%에서 69.59%입니다. 1,000판의 오차가 약 3퍼센트포인트라는 말은 이런 뜻이며, 모든 실행이 이 안에 들어온다는 보장이 아닙니다.

새너제이 주립대학교 자료는 비율에 대한 이 정규근사를 설명합니다. N을 4배로 늘리면 표준오차가 절반이 되고, 100배로 늘리면 약 10분의 1이 됩니다. 따라서 10,000판은 1,000판보다 안정적이지만 정밀도가 10배인 것은 아닙니다. 독립적이고 올바르게 생성한 판이라는 조건도 필요합니다. 같은 프로그래밍 오류를 반복한다고 오류가 사라지지는 않습니다.

이 화면에서는 두 전략이 같은 배치를 사용합니다. 두 표본은 독립이 아니라 짝지어져 있어서 교체가 이기면 유지가 집니다. 모르는 사회자에서는 N에 전체 시도 대신 집계된 판 수를 넣습니다. 문 100개로 무작위 공개를 1,000번 시도하면 평균 약 20판만 집계됩니다. 앞의 약 3퍼센트포인트 설명을 적용하기에는 턱없이 적습니다.

화면에서 비교 실험하기

문 3개와 아는 사회자를 고르고, 1,000판 실행을 누르기 전에 결과를 예상해 봅니다. 항상 교체의 막대를 직전 실행뿐 아니라 정확한 값의 표시와 비교합니다. 다음에는 사회자만 모름으로 바꾸어 반복합니다. 무효 판 수와 집계된 판 수를 함께 읽습니다. 마지막으로 문 100개를 고릅니다. 아는 사회자에서는 교체 승률이 99%에 가까워지지만, 모르는 사회자에서는 극히 일부 시도만 남습니다. 여러 조건을 몰래 바꾸지 않고 사회자의 규칙만 분리해 비교하는 실험입니다.

비둘기 실험과 이후 심리학 검토는 보상이 큰 행동을 배우는 것과 그 이유를 설명하는 것을 구별합니다. 관람객은 피드백으로 교체 버튼을 누르는 법을 익히면서도 가능도 열을 재구성하지 못할 수 있습니다. 실험 후에는 무작위 사회자가 처음에 정답인 판보다 처음에 틀린 판을 더 많이 제외하는 이유를 설명해 봅니다. 운 좋은 연승보다 이 설명이 이해도를 확인합니다. Li의 데이터 분석 비교도 같은 점을 짚습니다. 마지막에 두 가능성이 보이더라도 순서와 선택 과정이 중요합니다.

퍼즐 무대: 다른 탁자 위의 같은 질문

무대의 「퍼즐」 단추를 누르면 퍼즐 무대 17개가 열립니다. 8개는 문 그대로 사회자의 규칙이나 문 수만 바꾸고, 9개는 둥근 탁자로 옮겨 가서 상자, 동전, 사람, 봉투가 문을 대신합니다. 무대마다 한 판만 해 보는 단추와 100,000판을 한꺼번에 돌리는 단추가 있습니다(조건에 맞는 판이 드문 두 퍼즐은 1,000,000판). 왼쪽 판독창은 정확한 값과 돌려 본 결과를 나란히 보여 줍니다.

규칙이 다른 사회자

미끄러진 몬티는 미끄러져 아무 문이나 여는 사회자입니다. 그 문에서 마침 염소가 나오면 유지와 바꾸기가 각각 1/2로 이깁니다. 자동차를 보여 버린 판을 버리는데, 버린 판이 바로 바꾸면 이겼을 판이기 때문입니다. 기어가는 몬티는 고를 수 있을 때 늘 번호가 가장 작은 다른 문을 닫아 둡니다. 1번을 골랐는데 그가 2번을 열었다면 고를 여지가 없었다는 뜻이므로 자동차는 3번에 있고, 바꾸면 반드시 이깁니다. 3번을 열었다면 바꾸기는 1/2입니다. 두 경우를 합치면 늘 바꾸는 전략은 여전히 2/3입니다. 그린스테드와 스넬의 교재는 그 사이 경우를 풉니다. 고를 수 있을 때 네 번 중 세 번 큰 번호 문을 여는 사회자가 3번을 열면, 바꾸는 사람은 4/7로 이깁니다.

지옥의 몬티와 천사 몬티는 바꿀 기회를 줄지 말지를 정합니다. 몬티 홀은 1991년 기자에게 실제 쇼에서 제안할 의무가 없었다고 말했습니다. 처음 고른 문이 자동차일 때만 제안하는 사회자라면 바꾸기는 반드시 지고, 염소를 골랐을 때만 제안하는 사회자라면 반드시 이깁니다. 제안 자체가 증거입니다.

문은 많은데 하나만 열 때

「닫아 두는 다른 문」 막대는 내 문 말고 사회자가 닫아 두는 문의 수를 바꿉니다. 문 5개에서 염소 문 하나만 열면 다른 문 셋이 닫혀 있습니다. 유지는 1/5로 이깁니다. 셋 가운데 하나로 아무렇게나 바꾸면 (5 − 1) ÷ (5 × 3) = 4/15, 약 26.7%로 이깁니다. 일반적으로 문 n개 중 k개를 열면 바꾸기는 (n − 1) ÷ (n (n − 1 − k))로 이기고, 이 값은 늘 1/n보다 큽니다. k = n − 2이면 익숙한 (n − 1)/n이 나옵니다. 문 셋이면 2/3, 문 100개면 99/100입니다.

두 사람 대결

「두 사람 대결」 무대는 같은 문으로 번갈아 두는 두 사람의 점수를 따로 셉니다. 한 사람은 늘 유지하고 다른 사람은 늘 바꾸면, 각자 30판씩 둔 뒤 기대 점수는 자동차 10대와 20대입니다. 짧은 시합은 거꾸로 끝날 수도 있습니다. 10대 차이의 흔들림은 양쪽으로 약 3.7대입니다.

상자, 죄수, 아이

베르트랑 상자에는 상자 셋에 금화 둘, 은화 둘, 금화와 은화 하나씩이 들어 있습니다. 동전을 아무렇게나 꺼냈더니 금화라면, 금화 세 개가 꺼내질 가능성은 똑같고 그중 두 개가 금화 두 개짜리 상자에 있습니다. 그래서 남은 동전이 금화일 확률은 1/2이 아니라 2/3입니다. 세 죄수 문제는 옷만 바꿔 입은 세 문입니다. 처형될 사람으로 B를 대는 간수가 사회자 역할이고, A는 1/3 그대로, C는 2/3로 오릅니다.

두 아이 문제는 말 한마디가 얼마나 중요한지 보여 줍니다. 아이가 둘이고 적어도 한 명이 아들이면 둘 다 아들일 확률은 1/3입니다. 똑같이 그럴듯한 네 가족(아들 아들, 아들 딸, 딸 아들, 딸 딸) 가운데 마지막이 빠지고, 남은 셋 중 하나만 아들이 둘이기 때문입니다. 첫째가 아들이라고 들으면 1/2입니다. 화요일에 태어난 아들이 있다고 들으면 13/27입니다. 성별과 요일을 묶은 196가지 쌍 가운데 화요일 아들이 들어간 쌍은 27가지이고, 그중 13가지가 아들 둘입니다.

생일

탁자에 23명이 있으면 생일이 같은 두 사람이 있을 확률은 50.7%입니다. 22명이면 47.6%, 57명이면 99.0%입니다. 중요한 것은 짝의 수입니다. 23명이면 짝이 253개이고, 짝마다 365분의 1 확률로 생일이 같습니다. 「사람 수」 막대는 2명에서 70명까지이고, 한 판이 끝나면 생일이 같은 사람에게 금색 불이 들어옵니다.

검사 양성

검사 탁자에는 1,000명이 있습니다. 1,000명에 1명이 병에 걸리고 건강한 사람의 5%가 거짓 양성이면, 환자 1명과 함께 건강한 사람 약 50명이 양성으로 나옵니다. 그래서 양성이 병일 확률은 51분의 1, 약 2.0%입니다. 2014년 조사에서는 의사와 의대생 61명 가운데 14명이 이렇게 답했습니다. 서로 독립인 두 번째 양성이 나오면 확률은 약 28.6%로 오르지만 여전히 절반에 못 미칩니다. 검사 막대 두 개로 환자 비율과 거짓 양성 비율을 바꿀 수 있습니다.

기억이 없는 동전

앞면이 5번 연속 나온 뒤 다음도 앞면일 확률은 1/2입니다. 무대에서 다섯 번 연속 앞면으로 시작하는 판은 32판에 한 판뿐이라서 이 퍼즐은 100만 번을 돌립니다. 연속 검사는 더 미묘합니다. 동전 4개를 던지고, 앞면 바로 다음에 던진 것 가운데 앞면의 비율을 적습니다. 셀 수 있는 순서 16가지에 대해 평균하면 그 비율은 50%가 아니라 17/42, 약 40.5%입니다. 밀러와 산후르호는 2018년, 1985년의 농구 「뜨거운 손」 검사가 이런 평균을 써서 실제로 있는 연속 효과가 없는 것처럼 보였음을 밝혔습니다.

두 봉투

봉투 무대에서 작은 쪽 금액은 10, 20부터 100까지이고, 다른 봉투에는 그 두 배가 들어 있습니다. 바꾸면 절반의 판에서 더 받고, 평균으로는 금액이 0만큼 달라집니다. 다른 봉투가 평균 1.25배라는 계산은 내가 든 금액을 두 경우 모두에서 같은 값으로 놓는데, 그럴 수는 없습니다.

확률 나무

「확률 나무」 단추를 켜면 무대에 나무가 나오고, 조작 창에는 늘 나무가 있습니다. 점에서 뻗은 가지 하나는 자동차(또는 동전, 병)가 있을 수 있는 자리 하나이고, 굵기가 그 확률입니다. 가지는 내가 본 증거와 보지 못한 증거로 다시 갈라집니다. 일어나지 않은 가지를 잘라 내고 남은 가지의 합이 1이 되도록 다시 맞추는 것이 베이즈 규칙입니다. MIT의 컴퓨터 과학 수학 강의도 세 문을 바로 이 네 단계 나무로 가르칩니다. 1995년 앤드루 바존이가 이 문제를 에르되시에게 보였을 때, 이 수학자는 컴퓨터가 10만 판을 둔 뒤에야 답을 받아들였고 그래도 이유를 물었습니다. 나무가 그 이유입니다.