El problema de Monty Hall: por qué conviene cambiar de puerta

Una pregunta en una revista de domingo

El 9 de septiembre de 1990, un lector preguntó a Marilyn vos Savant, en su columna Ask Marilyn de la revista Parade, por un concurso de televisión. Tienes delante tres puertas. Detrás de una hay un coche; detrás de las otras dos, cabras. Eliges una puerta, por ejemplo la 1. El presentador, que sabe qué hay detrás de cada una, abre otra, por ejemplo la 3, y muestra una cabra. Luego te pregunta si quieres cambiar a la puerta 2. ¿Te conviene cambiar?

Ella respondió que sí: cambiar gana dos veces de cada tres. Llegaron miles de cartas, y muchos matemáticos profesionales insistieron en que se equivocaba. Jeffrey Rosenthal, de la Universidad de Toronto, recopiló algunas de las frases que usaron, entre ellas «está usted completamente equivocada» y «la cabra es usted». La discusión terminó en las aulas. Ella pidió a clases de matemáticas de escuelas que jugaran con vasos de papel y monedas, y le contestaron, con cierto asombro, que tenía razón.

El acertijo tiene una respuesta sencilla y otra equivocada muy terca, y la diferencia entre ambas se reduce a un detalle: lo que sabe el presentador. Esta exposición te deja jugar con 3 a 100 puertas, simular diez mil partidas en un par de segundos y cambiar de presentador hasta que también cambie la respuesta.

Cómo usar el escenario

Toca una puerta para elegirla. El brazo robótico de la derecha hace de presentador: apunta con un láser a cada puerta que abre, y las puertas giran para mostrar una cabra en una cabina iluminada. Cuando solo quedan cerradas tu puerta y otra, aparecen dos botones. «Cambiar» lleva tu elección a la otra puerta y «Quedarse» la mantiene. La puerta en la que terminas se abre y las bombillas destellan en verde si hay coche o en rojo si hay cabra.

Bajo el escenario, tres botones saltan directamente a 3, 10 o 100 puertas. En el panel «Controles», el control «Presentador» cambia lo que sabe el presentador y cómo se comporta, «Probabilidades» pone la probabilidad del coche sobre cada puerta cerrada y «Ver tras las puertas» vuelve transparentes las puertas para que veas el coche. La sección bajo los controles juega muchas partidas a la vez, lleva un registro de las partidas que jugaste a mano durante esta visita (no se guarda nada) y muestra la tabla de Bayes de la partida que tienes delante.

Por qué tu primera elección se queda en una entre tres

Cuando eliges una puerta, el coche está detrás de ella en una partida de cada tres. Eso nadie lo discute. El desacuerdo empieza cuando se abre una puerta. Mucha gente siente que quedan dos puertas, así que cada una debe tener ahora la mitad.

Sigue al presentador en lugar de a las puertas. Tiene que abrir una puerta que no sea la tuya y que no esconda el coche. Si tu puerta esconde el coche, puede abrir cualquiera de las otras dos. Si tu puerta esconde una cabra, no tiene ninguna elección: una de las otras puertas tiene el coche, así que debe abrir la de la segunda cabra.

Ahora mira las partidas en las que elegiste una cabra. Eso ocurre dos veces de cada tres. En cada una de ellas, el movimiento forzado del presentador deja el coche detrás de la única otra puerta cerrada, y cambiar gana. En la partida de cada tres en que elegiste el coche, cambiar pierde. Así que cambiar gana en dos partidas de cada tres y quedarse en una.

La acción del presentador no te dice nada nuevo sobre tu propia puerta, porque habría abierto una puerta con cabra hubiera lo que hubiera detrás. Pero dice mucho de la puerta que se saltó. No la dejó cerrada al azar; en dos partidas de cada tres estaba obligado a hacerlo.

Con cien puertas se ve claro

Una versión con muchas puertas ayuda a mucha gente. Imagina 100 puertas. Eliges una. El presentador, que sabe dónde está el coche, abre 98 de las otras, todas con cabra, y deja una sola cerrada. ¿Te quedas con tu puerta o pasas a la que él evitó con tanto cuidado?

Tu puerta tenía una probabilidad entre cien cuando la elegiste, y desde entonces no le ha pasado nada. Las otras 99 puertas juntas tenían 99 entre cien. El presentador ha retirado 98 de ellas sin tocar nunca el coche, así que los 99/100 enteros están ahora en la única puerta que dejó. Pulsa el botón de 100 puertas y juega unas cuantas partidas: la pared se abre fila a fila, y la puerta que queda en pie entre tantas cabras parece tan sospechosa como debe.

La regla general se lee fácilmente. Con n puertas y un presentador que abre todas menos la tuya y otra, quedarse gana 1/n de las veces y cambiar gana (n − 1)/n. Con 3 puertas es 1/3 contra 2/3; con 10 puertas, 10% contra 90%; y con 100 puertas, 1% contra 99%. La tabla al final del panel «Controles» recoge los siete números de puertas para el presentador que hayas elegido.

Contar todos los casos

Si los argumentos no te convencen, cuenta. Numera las puertas 1, 2 y 3 y supón que siempre eliges la puerta 1 (por simetría, las otras elecciones dan el mismo resultado). El coche tiene la misma probabilidad de estar tras cualquier puerta, y cuando el presentador puede elegir, escoge cualquiera de las dos con igual probabilidad.

Las dos primeras filas se reparten el tercio en que el coche está tras tu puerta. Quedarse gana con probabilidad 1/6 + 1/6 = 1/3, y cambiar con 1/3 + 1/3 = 2/3.

La tabla también responde a la versión más precisa de la pregunta, la que hizo realmente el lector: has visto al presentador abrir la puerta 3. Ahora solo son posibles las filas 2 y 3. La fila 2 tiene probabilidad 1/6 y la fila 3, 1/3, así que entre las partidas que se parecen a la tuya el coche está tras la puerta 2 el doble de veces que tras la puerta 1. La respuesta condicional vuelve a ser 2/3.

La regla de Bayes en el momento de la oferta

El mismo recuento suele escribirse con la regla de Bayes, que dice cómo debe cambiar una probabilidad cuando llega una prueba nueva. Haz una lista de todos los lugares donde podría estar el coche, anota la probabilidad antes de la prueba (la probabilidad a priori), multiplícala por la probabilidad de ver exactamente esa prueba si eso fuera cierto (la verosimilitud) y divide cada producto por su total.

Elegiste la puerta 1 y el presentador abrió la puerta 3:

Los productos suman 1/2, la probabilidad total de ver al presentador abrir la puerta 3. Dividir por ella da la última columna. La tabla del panel «Controles» se construye igual para la partida del escenario, y cambia con el número de puertas y con el presentador. Con n puertas y el presentador que sabe, los productos son 1/(n(n − 1)) para tu puerta y 1/n para la que dejó, lo que da 1/n contra (n − 1)/n.

La columna del medio es donde vive el presentador. Cambia su regla y cambian las verosimilitudes, y con ellas la respuesta.

Lo que sabe el presentador decide la respuesta

La respuesta clásica depende de tres hechos sobre el presentador: siempre abre puertas, siempre muestra cabras porque sabe dónde está el coche y siempre ofrece cambiar. Quita cualquiera de ellos y los números se mueven. El control «Presentador» tiene cinco posiciones.

Sabe (clásico). El caso de arriba: quedarse 1/n, cambiar (n − 1)/n.

No sabe. Rosenthal lo llama Monty Fall: el presentador resbala con una cáscara de plátano y abre de un empujón una puerta al azar, que resulta mostrar una cabra. Con tres puertas, una puerta al azar distinta de la tuya esconde el coche una vez de cada tres. Esas partidas se estropean. En las que quedan, tu puerta y la otra puerta cerrada son igual de probables, así que quedarse y cambiar ganan la mitad de las veces. En el escenario, las partidas en que el brazo descubre el coche terminan con un mensaje y no cuentan, y una simulación de muchas partidas indica cuántas se descartaron. Con 100 puertas y un presentador que abre 98 al azar, solo sobreviven 2 partidas de cada 100, pero en ellas la respuesta sigue siendo la mitad.

¿Por qué la diferencia, si las puertas del escenario se ven exactamente igual en el momento de la oferta? Porque la prueba es distinta. Un presentador que sabe y muestra 98 cabras ha hecho algo que siempre podía hacer. Un presentador a ciegas que por casualidad muestra 98 cabras ha hecho algo muy improbable, salvo que el coche estuviera tras una de las dos puertas que no tocó. Esas dos puertas ganan juntas y por igual. En la tabla de Bayes, la verosimilitud del gesto del presentador a ciegas es la misma, 1/(n − 1), esté el coche tras tu puerta o tras la otra, así que las probabilidades a posteriori salen iguales.

Puerta favorita. El Monty Crawl de Rosenthal es un presentador que sabe dónde está el coche, pero cuando puede elegir siempre abre la puerta con cabra de número más bajo, porque está cansado y es la más cercana. En el escenario esto es un control deslizante: la probabilidad de que el presentador, cuando puede elegir, deje cerrada la otra puerta de número más bajo. Promediando todas las partidas no cambia nada, y cambiar sigue ganando 2/3 de las veces. Pero la puerta que deja ahora lleva información. Con tres puertas y un presentador que siempre deja cerrada la más baja, verlo dejar cerrada la más alta significa que no tenía elección: el coche está detrás, y cambiar gana siempre. Verlo dejar cerrada la más baja significa solo 1/2. Para una preferencia general p, las dos respuestas son 1/(1 + p) y 1/(2 − p), y cambiar nunca es peor que quedarse.

Ofrece solo a quien acierta. Si el presentador ofrece cambiar solo cuando tu primera elección es el coche, una oferta es una mala noticia. Cambiar cada vez que te lo ofrecen no gana nunca.

Ofrece solo a quien falla. Lo contrario: solo ofrece cuando elegiste una cabra, así que cambiar cuando te lo ofrecen gana siempre. Ambos casos muestran que la regla que sigue el presentador importa más que cualquier cosa que veas en el escenario.

Diez mil partidas

Los botones de simulación juegan 100, 1000 o 10 000 partidas en unos segundos. Cada partida reparte el coche, hace una primera elección al azar y deja actuar al presentador; luego puntúa a tres jugadores con el mismo reparto: uno siempre cambia, otro siempre se queda y otro lanza una moneda. Las barras dan la proporción que ganó cada jugador, con una marca fina en el valor exacto. El gráfico de abajo sigue las tasas de victoria a medida que se acumulan partidas, en escala logarítmica de partidas.

Tras 10 partidas las líneas pueden estar en cualquier sitio. No es un fallo de la simulación; con tan pocas partidas, el azar por sí solo mueve la proporción de victorias 15 puntos porcentuales o más. La dispersión típica de una tasa de victorias p medida sobre N partidas es la raíz cuadrada de p(1 − p)/N. Para p = 2/3 son unos 4,7 puntos porcentuales con 100 partidas, 1,5 con 1000 y 0,47 con 10 000. Así que tras diez mil partidas la línea de cambiar queda casi siempre a menos de un punto porcentual del 66,7%.

Con el presentador clásico, el que lanza la moneda siempre acaba cerca de la mitad. La mitad de las veces cambia y gana 2/3, la otra mitad se queda y gana 1/3. Ese es el número que da la intuición para el juego entero, y es la respuesta correcta a otra pregunta: cuántas veces ganas si tratas las dos puertas cerradas como iguales.

Si se cuentan todas las combinaciones de coche, elección y gesto del presentador para 3, 4, 5 y 10 puertas y para cada presentador, salen las probabilidades exactas. Al jugar 100 000 partidas contadas para cada uno de los siete números de puertas y los cinco presentadores, cada estrategia queda a menos de medio punto porcentual del valor exacto, en los 292 casos. La tabla de Bayes del presentador con puerta favorita también coincide con partidas simuladas; por ejemplo, 83,1% de 40 014 partidas frente al exacto 5/6 cuando el presentador prefiere la puerta baja con p = 0,8 y deja cerrada la alta.

Por qué la intuición dice la mitad

Los psicólogos estudian este acertijo desde hace décadas, porque mucha gente cuidadosa se equivoca y sigue equivocada después de que se lo expliquen. La mayoría decide quedarse con su primera elección, aunque cambiar duplica la probabilidad de ganar.

Se han puesto a prueba varias explicaciones. Krauss y Wang (2003) vieron que la gente resolvía el problema con mucha más frecuencia cuando se contaba con frecuencias naturales, contando partidas en vez de citar probabilidades, y desde el punto de vista del presentador. Burns y Wieth (2004) sostuvieron que la dificultad está en la estructura causal. Dónde está el coche y qué puerta elegiste son independientes, pero ambos deciden qué puerta abre el presentador, así que conocer su elección los vincula, algo que la gente no espera. Cuando el juego se contó como una competición, que hace más visibles esas causas, acertó más gente.

Herbranson y Schroeder (2010) lo probaron con palomas. Tres teclas de respuesta en una cámara de prueba hacían de puertas y el premio era grano. A lo largo de muchos ensayos, las palomas ajustaron la frecuencia con que cambiaban hasta acercarse a la mejor estrategia; los voluntarios humanos con la misma práctica no lo lograron. Las aves no tenían ninguna teoría de la probabilidad, solo la experiencia de lo que daba premio, que es lo que te dan los botones de simulación.

Breve historia

La estructura es más antigua que el concurso. El libro de probabilidad de Joseph Bertrand de 1889 incluía la paradoja de la caja: tres cajas contienen dos monedas de oro, dos de plata y una de cada. Sacas una moneda de oro de una caja al azar. La probabilidad de que la otra moneda de esa caja sea de oro es 2/3, no 1/2, porque la caja de dos monedas de oro tiene el doble de probabilidad que la mixta de darte oro. En 1959, la columna Mathematical Games de Martin Gardner en Scientific American planteó el problema de los tres prisioneros, uno de los cuales va a ser indultado. Un prisionero que se entera de que otro será ejecutado conserva su probabilidad de 1/3, mientras que la del tercero sube a 2/3. Son las tres puertas con prisioneros en lugar de cabras.

La versión del concurso apareció en 1975, en una carta al director de The American Statistician del bioestadístico Steve Selvin, que le puso el nombre de Monty Hall, presentador de un concurso real de la televisión estadounidense. En 1990 la columna de Parade lo hizo famoso.

La discusión no acabó en las aulas. Algunos estadísticos señalaron que la pregunta tal como se publicó no dice si el presentador abre siempre una puerta ni cómo elige cuando puede elegir, y que la respuesta incondicional (cambiar gana 2/3 de todas las partidas) y la condicional (cambiar gana 2/3 de las partidas en que abrió la puerta 3) necesitan argumentos distintos. Richard Gill, de la Universidad de Leiden, ha escrito que el acertijo puede leerse como varios problemas matemáticos distintos, y esa es una de las razones por las que sigue produciendo artículos. El escenario separa esas lecturas con el control «Presentador».

Lo que simplifica el modelo

El coche se coloca al azar y las elecciones aleatorias del presentador son lanzamientos de una moneda justa, como en el problema estándar. Un presentador real podría poner el coche donde los concursantes rara vez miran, u ofrecer el cambio solo cuando le conviene, y entonces no hay una respuesta fija.

El brazo robótico abre las puertas una tras otra para la animación. En las matemáticas el orden no importa; solo cuenta qué puerta queda cerrada. Con el presentador a ciegas, el brazo abre las puertas en orden aleatorio, así que el coche puede aparecer a mitad de camino.

El simulador de muchas partidas usa un generador pseudoaleatorio rápido con semilla tomada del reloj, así que dos simulaciones nunca dan exactamente los mismos números. Los tres jugadores se puntúan con el mismo reparto, y por eso las barras de cambiar y quedarse suman siempre 100% con el presentador clásico: en cada partida contada, exactamente una de las dos puertas cerradas tiene el coche.

El registro de tus propias partidas solo vive en la página abierta. Al recargarla se borra.

Calcular la evidencia, no solo contar puertas

Sea C1 que el coche está tras la puerta 1 y H3 que el presentador abre la puerta 3 y ofrece cambiar. Supón que elegiste la puerta 1, que el coche se colocó de forma uniforme, que el presentador siempre evita el coche y que elige con igualdad cuando las otras dos puertas tienen cabras. La regla de Bayes es P(C1 | H3) = P(H3 | C1) × P(C1) / P(H3). El denominador no es solo la probabilidad de que la puerta 3 tenga una cabra. Es la probabilidad de esta acción concreta del presentador bajo las reglas indicadas.

Para tu puerta, el numerador es (1/2) × (1/3) = 1/6. Para la puerta 2 es 1 × (1/3) = 1/3. La puerta 3 aporta cero. Por tanto P(H3) = 1/6 + 1/3 = 1/2 y P(C1 | H3) = (1/6)/(1/2) = 1/3. Del mismo modo, P(C2 | H3) = (1/3)/(1/2) = 2/3. La explicación de Berkeley subraya la diferencia entre saber que una puerta no tiene premio y saber que el presentador la eligió para mostrar que no lo tiene. El análisis de Alvarado sigue igualmente la dependencia entre el coche, la primera elección y la revelación.

Una comprobación útil es imaginar 600 partidas independientes con la misma primera elección. En unas 200 el coche está tras cada puerta. De las primeras 200, unas 100 muestran la puerta 3; de las segundas 200, las 200 la muestran; de las últimas 200, ninguna. Quedan unas 300 observaciones coincidentes, con 100 coches tras tu puerta y 200 tras la otra. Son recuentos esperados, no una garantía sobre un lote concreto de 600 partidas.

Por qué importan las partidas descartadas

Ahora supón que el presentador elige a ciegas una puerta no seleccionada. Mantén la primera elección fija en la puerta 1 y considera solo las ocasiones en que abre la puerta 3 y muestra una cabra. Si el coche está tras la puerta 1, la probabilidad de esa observación es 1/2. Si está tras la puerta 2, también es 1/2. Los dos numeradores que sobreviven valen 1/6, su suma es 1/3 y cada probabilidad a posteriori es 1/2. La misma cabra visible ha dado un cálculo distinto porque la eligió un proceso distinto.

Hay otra forma de contar sin nombrar la puerta abierta. En 600 partidas, unas 200 empiezan con tu puerta correcta; las 200 sobreviven a una revelación a ciegas. Unas 400 empiezan con tu puerta equivocada; solo unas 200 sobreviven, porque el presentador tiene una probabilidad de 1/2 de mostrar el coche. Así que cuentan unas 400 partidas: mantener gana 200 y cambiar gana 200. Dividir las victorias por cambio entre las 600 partidas intentadas daría 1/3. Ese número responde a otra pregunta, que incluye las partidas estropeadas como fracasos. Indica siempre el denominador.

Con 100 puertas, tu elección original es correcta en 1/100 de los intentos, y esos intentos siempre sobreviven. Si es errónea, el presentador a ciegas debe dejar el coche como la única puerta cerrada no elegida, lo que tiene probabilidad 1/99. La parte que sobrevive con primera elección errónea es (99/100) × (1/99) = 1/100. Ambos grupos aportan por igual: sobreviven 2/100 de los intentos y cambiar gana en 1/2 de esos supervivientes. No es el 99/100 del presentador que sabe.

Qué significa el error de una simulación

Para partidas clásicas independientes, el número de victorias por cambio sigue una distribución binomial con p = 2/3. El error estándar de la proporción observada es sqrt(p × (1 − p) / N). Con N = 1000 es 0,0149, es decir, 1,49 puntos porcentuales. Un rango muestral aproximado del 95 % es la proporción esperada más o menos 1,96 errores estándar: cerca de 66,67 % ± 2,92 puntos porcentuales, o de 63,75 % a 69,59 %. En este sentido mil partidas tienen un margen de unos tres puntos porcentuales, no como promesa de que todas las ejecuciones caigan dentro.

Los apuntes de San José State explican esta aproximación normal para una proporción. Multiplicar N por 4 reduce el error estándar a la mitad; multiplicarlo por 100 lo hace unas diez veces menor. Una ejecución de 10.000 es, por tanto, más estable que una de 1000, pero no diez veces más precisa. El resultado supone además partidas independientes y bien generadas. Repetir un error de programación no lo hace desaparecer.

En este escenario ambas estrategias usan el mismo reparto. Sus resultados están emparejados, no son dos muestras independientes: cuando cambiar gana, mantener pierde. Con el presentador a ciegas, usa las partidas contadas como N y no todos los intentos. Con 100 puertas, 1000 revelaciones a ciegas intentadas dan en promedio solo unas 20 partidas contadas, muy pocas para la afirmación de tres puntos porcentuales de arriba.

Un experimento para probar en la pantalla

Elige 3 puertas y Sabe (clásico), y haz una predicción antes de pulsar Simular 1000. Compara Cambiar siempre con la marca exacta, no solo con la ejecución anterior. Cambia únicamente el presentador a No sabe y repite. Lee el número de partidas nulas junto con el total contado. Por último elige 100 puertas: con el presentador clásico la tasa de cambio debería acercarse al 99 %, mientras que el presentador a ciegas conserva solo una pequeña fracción de los intentos. Estas comparaciones aíslan la regla del presentador en lugar de cambiar varias suposiciones sin notarlo.

El estudio con palomas y las revisiones psicológicas posteriores distinguen entre aprender qué acción compensa y explicar por qué compensa. Un visitante puede aprender a pulsar Cambiar con la retroalimentación sin ser capaz de reconstruir la columna de verosimilitudes. Tras el experimento, explica por qué el presentador a ciegas descarta más partidas con primera elección errónea que con primera elección correcta. Esa explicación, y no una racha de suerte, es la prueba de comprensión. La comparación de Li con el análisis de datos apunta en la misma dirección: importan el orden y el procedimiento de selección, aunque la pantalla final ofrezca dos posibilidades.

Escenarios de acertijos: la misma pregunta en otras mesas

El botón «Acertijos» abre 17 escenarios. Ocho conservan las puertas y solo cambian las reglas del presentador o su número; nueve pasan a una mesa redonda de fieltro donde cajas, monedas, personas o sobres sustituyen a las puertas. Todos tienen «Jugar una vez» y una simulación de 100,000 partidas (1,000,000 en los dos acertijos donde pocas cumplen la condición). La lectura de la izquierda compara el valor exacto con la proporción obtenida.

Presentadores con otras reglas

Monty Fall resbala y abre una puerta al azar. Si por casualidad muestra una cabra, quedarse y cambiar ganan cada uno con probabilidad 1/2: se descartan las partidas donde habría mostrado el coche, justo aquellas donde cambiar habría ganado. Monty Crawl siempre deja cerrada la otra puerta de número menor cuando puede elegir. Si eliges la 1 y abre la 2, no tenía elección: el coche está tras la 3 y cambiar siempre gana. Si abre la 3, cambiar solo gana con probabilidad 1/2. Al combinar ambos casos, cambiar siempre sigue ganando 2/3. Grinstead y Snell estudian el caso intermedio: un presentador que abre el número mayor 3 de cada 4 veces cuando puede elegir da al cambio una probabilidad de 4/7 tras abrir la puerta 3.

Monty infernal y Monty angelical deciden si ofrecen cambiar. Monty Hall contó a un periodista en 1991 que en el programa real nunca estuvo obligado a hacer la oferta. Si solo la hace cuando elegiste el coche, cambiar pierde seguro; si solo la hace cuando elegiste una cabra, cambiar gana seguro. La propia oferta es la evidencia.

Solo una puerta abierta entre muchas

El control «Otras puertas cerradas» cambia cuántas deja cerradas el presentador además de la tuya. Con 5 puertas y una sola con cabra abierta, quedan otras tres cerradas. Quedarse gana con probabilidad 1/5. Cambiar al azar a una de las tres gana con (5 − 1) / (5 × 3) = 4/15, cerca del 26.7%. En general, con n puertas y k abiertas, cambiar gana con (n − 1) / (n (n − 1 − k)), siempre mayor que 1/n. Si k = n − 2, se obtiene el conocido (n − 1)/n: 2/3 con tres puertas y 99/100 con cien.

Dos jugadores

El escenario «Dos jugadores» lleva los puntos de dos personas que se turnan ante las mismas puertas. Si una siempre se queda y la otra siempre cambia, tras 30 partidas cada una se esperan 10 y 20 coches. Una partida corta puede salir al revés; la diferencia de 10 coches tiene una dispersión de unos 3.7 coches a cada lado.

Cajas, prisioneros e hijos

Las tres cajas de Bertrand contienen dos monedas de oro, dos de plata y una de cada. Sacas una moneda al azar y es de oro: las tres monedas de oro tenían la misma probabilidad de salir, y dos están en la caja con dos de oro. Por tanto, la otra moneda es de oro con probabilidad 2/3, no 1/2. Los tres prisioneros son las puertas con otro disfraz. El guardia que nombra a B para la ejecución hace de presentador; A conserva 1/3 y C sube a 2/3.

Los dos acertijos de hijos muestran cuánto importa la formulación. Una familia con dos hijos, al menos uno niño, tiene dos niños con probabilidad 1/3: de las cuatro familias equiprobables (niño niño, niño niña, niña niño, niña niña), se excluye la última y una de las tres restantes tiene dos niños. Si en cambio se dice que el mayor es niño, la probabilidad es 1/2. Si un hijo nació en martes, es 13/27: de los 196 pares equiprobables de sexo y día de la semana, 27 incluyen un niño nacido en martes y 13 de ellos tienen dos niños.

Cumpleaños

Con 23 personas en la mesa, la probabilidad de que dos compartan cumpleaños es 50.7%; con 22 es 47.6%, y con 57 es 99.0%. Importa el número de parejas: 23 personas forman 253 parejas y cada una tiene una probabilidad de 1 entre 365 de coincidir. El control «Personas» va de 2 a 70; tras cada partida, las personas que coinciden se iluminan en dorado.

Una prueba positiva

La mesa de la prueba muestra 1,000 personas. Con 1 enfermo por 1,000 y un 5% de falsos positivos entre los sanos, unos 50 sanos dan positivo junto al único enfermo. Un positivo indica enfermedad con probabilidad 1 entre 51, cerca del 2.0%. En una encuesta de 2014, 14 de 61 médicos y estudiantes dieron esa respuesta. Un segundo positivo independiente la eleva a cerca del 28.6%, aún menos de la mitad. Los dos controles cambian la proporción de enfermos y la tasa de falsos positivos.

Monedas sin memoria

Tras 5 caras seguidas, el siguiente lanzamiento da cara con probabilidad 1/2. En el escenario solo 1 de cada 32 series comienza con cinco caras, por eso este acertijo ejecuta un millón de series. La prueba de rachas es más sutil. Lanza 4 monedas y anota la proporción de caras entre los lanzamientos posteriores a una cara. Al promediar las 16 secuencias, considerando aquellas con una cara lo bastante temprana para contar, la proporción es 17/42, cerca del 40.5%, no el 50%. Miller y Sanjurjo mostraron en 2018 que la prueba de 1985 sobre la «mano caliente» en baloncesto usaba esta media: una racha real podía parecer inexistente.

Dos sobres

En este escenario la cantidad menor es 10, 20 y así hasta 100; el otro sobre contiene el doble. Cambiar da más en la mitad de las partidas y modifica la cantidad en 0 de media. El argumento de que el otro sobre vale de media 1.25 veces el tuyo trata la cantidad que tienes como fija en ambos casos, pero no puede serlo.

El árbol de probabilidades

El interruptor «Árbol de probabilidades» lo muestra en el escenario; el panel «Controles» siempre lo incluye. Cada rama que sale del punto representa una posible ubicación del coche (o de la moneda o de la enfermedad), con un grosor proporcional a su probabilidad. Se divide en la evidencia que viste y la que no viste. Cortar las ramas que no ocurrieron y ajustar el resto para que sume 1 es la regla de Bayes. El curso del MIT de matemáticas para informática enseña las puertas con ese mismo árbol de cuatro pasos. Cuando Andrew Vazsonyi mostró el problema a Paul Erdős en 1995, el matemático solo aceptó la respuesta tras ver 100,000 partidas de ordenador y aun así pidió una razón; el árbol es esa razón.