Задача Монти Холла: почему выгодно сменить дверь

Вопрос в воскресном журнале

9 сентября 1990 года читатель спросил Мэрилин вос Савант в её колонке Ask Marilyn в журнале Parade об одной телеигре. Перед вами три двери. За одной автомобиль, за двумя другими козы. Вы выбираете дверь, скажем номер 1. Ведущий, который знает, что за каждой дверью, открывает другую, скажем номер 3, и показывает козу. Потом он спрашивает, не хотите ли вы перейти к двери 2. Выгодно ли вам сменить выбор?

Она ответила «да»: смена выигрывает два раза из трёх. Пришли тысячи писем, и многие профессиональные математики настаивали, что она ошибается. Джеффри Розенталь из Университета Торонто собрал некоторые из их выражений, среди них «вы совершенно неправы» и «коза здесь вы». Спор закончился в классах. Она попросила школьные уроки математики сыграть в эту игру с бумажными стаканчиками и монетками, и ей сообщили, не без удивления, что она права.

У головоломки есть простой ответ и упрямый неверный, а разница между ними сводится к одной детали: что знает ведущий. В этом экспонате можно сыграть с числом дверей от 3 до 100, провести десять тысяч игр за пару секунд и менять ведущего, пока не изменится и ответ.

Как пользоваться сценой

Нажмите на дверь, чтобы выбрать её. Роботизированная рука справа играет ведущего: она наводит лазер на каждую открываемую дверь, и двери распахиваются, показывая козу в освещённой кабинке. Когда закрытыми остаются только ваша дверь и ещё одна, появляются две кнопки. «Сменить» переносит ваш выбор на другую дверь, «Остаться» сохраняет его. Дверь, на которой вы остановились, открывается, и лампочки мигают зелёным, если там автомобиль, и красным, если коза.

Под сценой три кнопки сразу переключают на 3, 10 или 100 дверей. В панели «Управление» ползунок «Ведущий» меняет то, что знает ведущий и как он себя ведёт, «Вероятности» показывают над каждой закрытой дверью вероятность того, что автомобиль за ней, а «Видеть за дверями» делает двери прозрачными, чтобы можно было следить за автомобилем. Раздел под ползунками разыгрывает много игр разом, ведёт учёт игр, сыгранных вами вручную за этот визит (ничего не сохраняется), и показывает таблицу Байеса для текущей игры.

Почему ваш первый выбор остаётся один из трёх

Когда вы выбираете дверь, автомобиль за ней в одной игре из трёх. С этим никто не спорит. Разногласия начинаются, когда открывается дверь. Многим кажется, что осталось две двери, значит, у каждой теперь половина.

Следите не за дверями, а за ведущим. Он должен открыть дверь, которая не ваша и за которой нет автомобиля. Если за вашей дверью автомобиль, он может открыть любую из двух других. Если за вашей дверью коза, выбора у него нет вовсе: за одной из других дверей автомобиль, значит, он обязан открыть ту, где вторая коза.

Теперь посмотрите на игры, в которых вы выбрали козу. Так бывает два раза из трёх. В каждой из них вынужденный ход ведущего оставляет автомобиль за единственной другой закрытой дверью, и смена выигрывает. В той одной игре из трёх, где вы выбрали автомобиль, смена проигрывает. Значит, смена выигрывает в двух играх из трёх, а отказ от смены в одной.

Действие ведущего ничего нового не говорит о вашей двери, потому что он открыл бы дверь с козой, что бы за ней ни было. Зато о двери, которую он пропустил, оно говорит многое. Он оставил её закрытой не случайно: в двух играх из трёх он был вынужден так поступить.

Сто дверей делают всё очевидным

Вариант с множеством дверей многим помогает. Представьте 100 дверей. Вы выбираете одну. Ведущий, который знает, где автомобиль, открывает 98 из остальных, за каждой коза, и оставляет закрытой одну-единственную. Остаться при своей двери или перейти к той, которую он так старательно обошёл?

Когда вы выбирали, у вашей двери был один шанс из ста, и с тех пор с ней ничего не случилось. У остальных 99 дверей вместе было 99 шансов из ста. Ведущий убрал 98 из них, ни разу не задев автомобиль, поэтому все 99/100 теперь приходятся на единственную оставленную им дверь. Нажмите кнопку «100 дверей» и сыграйте несколько игр: стена открывается ряд за рядом, и дверь, оставшаяся стоять среди всех этих коз, выглядит ровно так подозрительно, как и должна.

Общее правило читается легко. При n дверях и ведущем, который открывает все двери, кроме вашей и ещё одной, отказ выигрывает в 1/n случаев, а смена в (n − 1)/n. Для 3 дверей это 1/3 против 2/3, для 10 дверей 10% против 90%, для 100 дверей 1% против 99%. Таблица внизу панели «Управление» показывает все семь значений числа дверей для выбранного ведущего.

Перебор всех случаев

Если доводы не убеждают, посчитайте. Пронумеруйте двери 1, 2 и 3 и допустите, что вы всегда выбираете дверь 1 (по симметрии другие выборы дают тот же результат). Автомобиль с равной вероятностью стоит за любой дверью, а когда у ведущего есть выбор, он берёт любую из двух с равной вероятностью.

Первые две строки делят ту треть, в которой автомобиль за вашей дверью. Отказ выигрывает с вероятностью 1/6 + 1/6 = 1/3, смена с вероятностью 1/3 + 1/3 = 2/3.

Таблица отвечает и на более точную версию вопроса, ту, которую читатель задал на самом деле: вы видели, как ведущий открыл дверь 3. Теперь возможны только строки 2 и 3. У строки 2 вероятность 1/6, у строки 3 вероятность 1/3, поэтому среди игр, похожих на вашу, автомобиль за дверью 2 вдвое чаще, чем за дверью 1. Условный ответ снова 2/3.

Формула Байеса в момент предложения

Тот же подсчёт обычно записывают формулой Байеса, которая говорит, как должна меняться вероятность при поступлении новых данных. Перечислите все места, где может быть автомобиль, запишите вероятность до появления данных (априорную), умножьте её на вероятность увидеть именно эти данные, если это место верное (правдоподобие), и разделите каждое произведение на их сумму.

Вы выбрали дверь 1, ведущий открыл дверь 3:

Произведения в сумме дают 1/2: это полная вероятность увидеть, как ведущий открывает дверь 3. Деление на неё даёт последний столбец. Таблица в панели «Управление» строится так же для игры на сцене и меняется вместе с числом дверей и ведущим. При n дверях и знающем ведущем произведения равны 1/(n(n − 1)) для вашей двери и 1/n для оставленной им, что даёт 1/n против (n − 1)/n.

Средний столбец и есть место ведущего. Измените его правило, и изменятся правдоподобия, а с ними и ответ.

Ответ решает то, что знает ведущий

Классический ответ опирается на три факта о ведущем: он всегда открывает двери, всегда показывает коз, потому что знает, где автомобиль, и всегда предлагает сменить выбор. Уберите любой из них, и числа сдвинутся. У ползунка «Ведущий» пять положений.

Знает (классика). Случай, разобранный выше: отказ 1/n, смена (n − 1)/n.

Не знает. Розенталь называет этот случай Monty Fall: ведущий поскальзывается на банановой кожуре и толкает случайную дверь, за которой случайно оказывается коза. При трёх дверях случайная дверь, кроме вашей, скрывает автомобиль один раз из трёх. Такие игры испорчены. В оставшихся ваша дверь и другая закрытая дверь равновероятны, поэтому отказ и смена выигрывают по половине раз. На сцене игры, где рука открыла автомобиль, заканчиваются сообщением и не засчитываются, а серия из многих игр сообщает, сколько было отброшено. При 100 дверях и ведущем, открывающем 98 наугад, уцелевают только 2 игры из 100, но и в них ответ остаётся половиной.

Почему разница, если двери на сцене в момент предложения выглядят совершенно одинаково? Потому что данные разные. Знающий ведущий, показавший 98 коз, сделал то, что мог сделать всегда. Слепой ведущий, случайно показавший 98 коз, сделал нечто крайне маловероятное, если только автомобиль не стоит за одной из двух дверей, которых он не коснулся. Эти две двери выигрывают вместе и поровну. В таблице Байеса правдоподобие хода слепого ведущего одно и то же, 1/(n − 1), будь автомобиль за вашей дверью или за другой, поэтому апостериорные вероятности выходят равными.

Любимая дверь. Monty Crawl у Розенталя это ведущий, который знает, где автомобиль, но при выборе всегда открывает дверь с козой с наименьшим номером, потому что устал, а она ближе всех. На сцене это ползунок: вероятность того, что ведущий, когда волен выбирать, оставит закрытой другую дверь с наименьшим номером. В среднем по всем играм ничего не меняется, и смена по-прежнему выигрывает в 2/3 случаев. Но оставленная им дверь теперь несёт информацию. При трёх дверях и ведущем, который всегда оставляет закрытой меньшую, если вы видите, что он оставил закрытой бо́льшую, значит, выбора у него не было: автомобиль за ней, и смена выигрывает каждый раз. Если он оставил закрытой меньшую, это означает лишь 1/2. Для произвольного предпочтения p эти два ответа равны 1/(1 + p) и 1/(2 − p), и смена никогда не хуже отказа.

Предлагает только угадавшим. Если ведущий предлагает сменить выбор, только когда вы сразу выбрали автомобиль, предложение означает плохую новость. Менять каждый раз, когда предлагают, значит никогда не выигрывать.

Предлагает только ошибшимся. Наоборот: он предлагает, только если вы выбрали козу, поэтому смена по предложению выигрывает каждый раз. Оба случая показывают, что правило, которому следует ведущий, важнее всего, что вы видите на сцене.

Десять тысяч игр

Кнопки запуска разыгрывают 100, 1000 или 10 000 игр за несколько секунд. Каждая игра расставляет автомобиль, делает случайный первый выбор и даёт ведущему сделать ход, а затем засчитывает результат трём игрокам на одной и той же раскладке: один всегда меняет выбор, другой всегда остаётся, третий бросает монету. Столбики показывают долю побед каждого, тонкая метка стоит на точном значении. Нижний график следит за долей побед по мере накопления игр, в логарифмическом масштабе по числу игр.

После 10 игр линии могут оказаться где угодно. Это не ошибка моделирования: при так малом числе игр одна лишь случайность сдвигает долю побед на 15 процентных пунктов и больше. Типичный разброс доли побед p, измеренной по N играм, равен квадратному корню из p(1 − p)/N. Для p = 2/3 это около 4,7 процентного пункта при 100 играх, 1,5 при 1000 и 0,47 при 10 000. Поэтому после десяти тысяч игр линия смены почти всегда лежит в пределах одного процентного пункта от 66,7%.

При классическом ведущем игрок с монетой всегда оказывается около половины. Половину раз он меняет выбор и выигрывает 2/3, половину раз остаётся и выигрывает 1/3. Именно это число интуиция даёт для всей игры, и оно верный ответ на другой вопрос: как часто вы выигрываете, если считаете две закрытые двери равноценными.

Если перебрать все расстановки автомобиля, выбора и хода ведущего для 3, 4, 5 и 10 дверей и для каждого ведущего, получатся точные вероятности. Если разыграть 100 000 засчитанных игр для каждого из семи значений числа дверей и пяти ведущих, каждая стратегия ложится в пределах половины процентного пункта от точного значения, во всех 292 случаях. Таблица Байеса для ведущего с любимой дверью тоже совпадает с моделированием, например 83,1% из 40 014 игр против точных 5/6, когда ведущий предпочитает меньшую дверь с p = 0,8 и оставляет закрытой бо́льшую.

Почему интуиция говорит «половина»

Психологи изучают эту головоломку десятилетиями, потому что очень многие внимательные люди ошибаются и остаются при ошибке даже после объяснений. Большинство предпочитает остаться при первом выборе, хотя смена удваивает шанс выиграть.

Проверялось несколько объяснений. Краусс и Ванг (2003) обнаружили, что люди решали задачу гораздо чаще, когда её излагали в естественных частотах, считая игры вместо того, чтобы называть вероятности, и с точки зрения ведущего. Бёрнс и Вит (2004) утверждали, что трудность в причинной структуре. Где стоит автомобиль и какую дверь вы выбрали, не зависит одно от другого, но оба обстоятельства определяют, какую дверь откроет ведущий, поэтому знание его выбора связывает их, а этого люди не ждут. Когда игру подавали как соревнование, в котором эти причины видны легче, верный ответ давало больше людей.

Хербрансон и Шрёдер (2010) провели опыт с голубями. Три клавиши в экспериментальной камере служили дверями, а призом было зерно. За множество попыток голуби подстроили частоту смены выбора так, что приблизились к лучшей стратегии; добровольцы-люди с той же практикой этого не сделали. У птиц не было никакой теории вероятностей, только опыт того, что приносит награду, и именно его дают вам кнопки запуска.

Немного истории

Сама структура старше телеигры. В учебнике теории вероятностей Жозефа Бертрана 1889 года был парадокс коробок: в трёх коробках лежат две золотые монеты, две серебряные и по одной каждого вида. Вы достаёте золотую монету из случайной коробки. Вероятность того, что вторая монета в этой коробке тоже золотая, равна 2/3, а не 1/2, потому что коробка с двумя золотыми вдвое вероятнее смешанной даёт золото. В 1959 году колонка Мартина Гарднера Mathematical Games в Scientific American предложила задачу о трёх заключённых, одного из которых помилуют. Заключённый, узнавший, что казнят другого, сохраняет свой шанс 1/3, а шанс третьего поднимается до 2/3. Это те же три двери, только вместо коз заключённые.

Версия с телеигрой появилась в 1975 году, в письме в редакцию The American Statistician от биостатистика Стива Селвина, который назвал её по имени Монти Холла, ведущего настоящей американской телеигры. В 1990 году колонка в Parade сделала задачу знаменитой.

Спор не закончился в классах. Некоторые статистики заметили, что в напечатанном вопросе не сказано, всегда ли ведущий открывает дверь и как он выбирает, когда может выбирать, и что безусловный ответ (смена выигрывает 2/3 всех игр) и условный (смена выигрывает 2/3 тех игр, где он открыл дверь 3) требуют разных рассуждений. Ричард Гилл из Лейденского университета писал, что головоломку можно прочесть как несколько разных математических задач, и это одна из причин, почему о ней продолжают выходить статьи. Сцена разделяет эти прочтения ползунком «Ведущий».

Что упрощает модель

Автомобиль ставится случайно, а случайный выбор ведущего это бросок честной монеты, как в стандартной задаче. Настоящий ведущий мог бы ставить автомобиль туда, куда участники редко смотрят, или предлагать смену только тогда, когда ему выгодно, и тогда никакой фиксированный ответ не подходит.

Роботизированная рука открывает двери одну за другой ради анимации. В математике порядок не важен; значение имеет только то, какая дверь осталась закрытой. Со слепым ведущим рука открывает двери в случайном порядке, так что автомобиль может появиться на полпути.

Блок многих игр использует быстрый генератор псевдослучайных чисел с начальным значением от часов, поэтому два запуска никогда не дают в точности одинаковых чисел. Всем трём игрокам результат засчитывается на одной и той же раскладке, поэтому при классическом ведущем столбики смены и отказа всегда в сумме дают 100%: в каждой засчитанной игре автомобиль ровно за одной из двух закрытых дверей.

Учёт ваших собственных игр живёт только в открытой странице. Перезагрузка его стирает.

Считаем свидетельство, а не только двери

Пусть C1 означает, что автомобиль за дверью 1, а H3 означает, что ведущий открывает дверь 3 и предлагает поменять выбор. Допустим, вы выбрали дверь 1, автомобиль размещён равномерно, ведущий всегда обходит автомобиль, а когда за обеими другими дверями козы, выбирает честно. Формула Байеса: P(C1 | H3) = P(H3 | C1) × P(C1) / P(H3). Знаменатель не просто вероятность того, что за дверью 3 коза. Это вероятность именно этого действия ведущего при заданных правилах.

Для вашей двери числитель равен (1/2) × (1/3) = 1/6. Для двери 2 он равен 1 × (1/3) = 1/3. Дверь 3 вносит ноль. Поэтому P(H3) = 1/6 + 1/3 = 1/2, а P(C1 | H3) = (1/6)/(1/2) = 1/3. Аналогично P(C2 | H3) = (1/3)/(1/2) = 2/3. В разборе из Беркли подчёркнуто различие между известием, что за дверью нет приза, и известием, что ведущий выбрал её, чтобы показать отсутствие приза. Обсуждение Альварадо тоже прослеживает зависимость между автомобилем, первым выбором и открытием двери.

Полезная проверка: представьте 600 независимых игр с одним и тем же первым выбором. Примерно в 200 из них автомобиль за каждой дверью. Из первых 200 около 100 показывают дверь 3; из вторых 200 показывают её все 200; из последних 200 не показывает ни одна. Остаётся примерно 300 подходящих наблюдений: 100 с автомобилем за вашей дверью и 200 за другой. Это ожидаемые числа, а не гарантия для какой-то конкретной серии из 600 игр.

Почему важны отброшенные игры

Теперь пусть ведущий вслепую выбирает одну из невыбранных дверей. Первый выбор остаётся на двери 1, а рассматриваются только случаи, когда он открывает дверь 3 и показывает козу. Если автомобиль за дверью 1, вероятность такого наблюдения равна 1/2. Если за дверью 2, она тоже равна 1/2. Оба оставшихся числителя равны 1/6, их сумма равна 1/3, и каждая апостериорная вероятность равна 1/2. Та же видимая коза дала другой расчёт, потому что её выбрал другой процесс.

Можно посчитать и без названия открытой двери. Из 600 игр около 200 начинаются с вашей верной двери; все 200 переживают слепое открытие. Около 400 начинаются с неверной двери; остаётся только около 200, потому что у ведущего вероятность 1/2 показать автомобиль. Значит, засчитывается около 400 игр: оставшись, вы выигрываете 200, поменяв, тоже 200. Если разделить выигрыши при смене на все 600 попыток, получится 1/3. Это ответ на другой вопрос, в котором испорченные игры считаются неудачами. Всегда указывайте знаменатель.

При 100 дверях ваш первоначальный выбор верен в 1/100 попыток, и эти попытки остаются всегда. Если он неверен, слепой ведущий должен оставить автомобиль единственной невыбранной закрытой дверью, а вероятность этого 1/99. Доля оставшихся при неверном первом выборе равна (99/100) × (1/99) = 1/100. Обе группы вносят поровну: остаётся 2/100 попыток, и смена выигрывает в 1/2 из них. Это не 99/100 знающего ведущего.

Что означает ошибка симуляции

Для независимых классических игр число выигрышей при смене имеет биномиальное распределение с p = 2/3. Стандартная ошибка наблюдаемой доли равна sqrt(p × (1 − p) / N). При N = 1000 это 0,0149, то есть 1,49 процентного пункта. Приближённый 95-процентный выборочный диапазон равен ожидаемой доле плюс-минус 1,96 стандартной ошибки: около 66,67 % ± 2,92 процентного пункта, то есть от 63,75 % до 69,59 %. Именно в этом смысле у тысячи игр погрешность около трёх процентных пунктов, и это не обещание, что каждый запуск попадёт в диапазон.

Конспект Государственного университета Сан-Хосе объясняет это нормальное приближение для доли. Если умножить N на 4, стандартная ошибка уменьшится вдвое; если на 100, примерно в десять раз. Поэтому запуск из 10.000 стабильнее запуска из 1000, но не в десять раз точнее. Результат также предполагает независимые и правильно сгенерированные игры. Повтор программной ошибки её не устраняет.

На этой сцене обе стратегии используют один и тот же расклад. Их результаты парные, а не две независимые выборки: когда смена выигрывает, оставшийся проигрывает. При слепом ведущем в качестве N берите засчитанные игры, а не все попытки. При 100 дверях 1000 попыток слепого открытия дают в среднем лишь около 20 засчитанных игр, что слишком мало для приведённого выше утверждения о трёх процентных пунктах.

Опыт, который можно провести на экране

Выберите 3 двери и «Знает (классика)», затем сделайте прогноз, прежде чем нажимать «Запуск: 1000». Сравните «Всегда менять» с отметкой точного значения, а не только с предыдущим запуском. Измените только ведущего на «Не знает» и повторите. Читайте число отменённых игр вместе с засчитанным итогом. Наконец, выберите 100 дверей: при классическом ведущем доля выигрышей при смене должна приближаться к 99 %, а слепой ведущий оставляет лишь небольшую часть попыток. Эти сравнения изолируют правило ведущего, а не меняют незаметно несколько допущений сразу.

Исследование на голубях и более поздние психологические обзоры различают умение узнать, какое действие выгодно, и объяснение, почему оно выгодно. Посетитель может научиться нажимать «Поменять» по обратной связи, но не суметь восстановить столбец правдоподобий. После опыта объясните, почему слепой ведущий отбрасывает больше игр с неверным первым выбором, чем с верным. Это объяснение, а не полоса везения, и есть проверка понимания. Сравнение Ли с анализом данных говорит о том же: важны порядок и процедура отбора, даже если итоговый экран предлагает две возможности.

Сцены задач: тот же вопрос за другими столами

Кнопка «Задачи» открывает 17 сцен. Восемь оставляют двери, меняя лишь правила ведущего или число дверей; девять переходят к круглому столу с сукном, где двери заменяют ящики, монеты, люди или конверты. На каждой сцене есть «Сыграть один раз» и запуск 100,000 игр (1,000,000 для двух задач, где условие выполняется редко). Слева точное значение стоит рядом с долей, полученной в опытах.

Ведущие с другими правилами

Монти Фолл поскальзывается и открывает случайную дверь. Если за ней оказалась коза, сохранение и смена выигрывают с вероятностью 1/2: игры, где он показал бы автомобиль, отброшены, а именно в них смена выиграла бы. Монти Кроул при свободном выборе всегда оставляет закрытой другую дверь с наименьшим номером. Если вы выбрали 1, а он открыл 2, выбора у него не было: автомобиль за дверью 3, и смена всегда выигрывает. Если открыта 3, смена выигрывает лишь с вероятностью 1/2. В среднем по обоим случаям постоянная смена по-прежнему даёт 2/3. Grinstead и Snell разбирают промежуточный случай: ведущий, открывающий больший номер 3 раза из 4 при свободном выборе, после открытия двери 3 даёт смене вероятность 4/7.

Монти из ада и Монти-ангел решают, предлагать ли смену вообще. Монти Холл сказал журналисту в 1991 году, что в настоящей передаче не был обязан делать предложение. Если оно поступает только выбравшим автомобиль, смена гарантирует проигрыш; если только выбравшим козу, гарантирует выигрыш. Само предложение служит свидетельством.

Открыта одна дверь из многих

Ползунок «Других закрытых дверей» задаёт, сколько дверей помимо вашей ведущий оставит закрытыми. При 5 дверях и одной открытой с козой остаются три другие закрытые. Сохранение выигрывает с вероятностью 1/5. Случайная смена на одну из трёх выигрывает с (5 − 1) / (5 × 3) = 4/15, примерно 26.7%. Для n дверей и k открытых смена выигрывает с (n − 1) / (n (n − 1 − k)), что всегда больше 1/n. При k = n − 2 получается знакомое (n − 1)/n: 2/3 для трёх дверей и 99/100 для ста.

Два игрока

Сцена «Два игрока» ведёт отдельный счёт для двух человек, играющих по очереди на одних дверях. Если один всегда сохраняет выбор, а другой всегда меняет, после 30 игр каждого ожидаются 10 и 20 автомобилей. Короткая встреча может закончиться наоборот; разница в 10 автомобилей имеет разброс примерно 3.7 автомобиля в каждую сторону.

Ящики, заключённые и дети

В трёх ящиках Бертрана лежат две золотые монеты, две серебряные и по одной каждой. Вы достали случайную монету и увидели золото. Каждая из трёх золотых монет имела равный шанс попасться, и две лежат в ящике с двумя золотыми. Поэтому вторая монета золотая с вероятностью 2/3, а не 1/2. Задача о трёх заключённых лишь переодевает задачу о дверях. Охранник, называющий B для казни, играет ведущего; A остаётся при 1/3, C поднимается до 2/3.

Две задачи о детях показывают важность формулировки. В семье с двумя детьми, хотя бы один из которых мальчик, два мальчика имеют вероятность 1/3: из четырёх равновероятных семей (мальчик мальчик, мальчик девочка, девочка мальчик, девочка девочка) последняя исключена, а одна из трёх оставшихся имеет двух мальчиков. Если же старший ребёнок мальчик, вероятность 1/2. Если сын родился во вторник, она равна 13/27: из 196 равновероятных пар пола и дня недели 27 содержат мальчика, родившегося во вторник, и в 13 из них оба ребёнка мальчики.

Дни рождения

При 23 людях вероятность совпадения дней рождения равна 50.7%, при 22 равна 47.6%, при 57 равна 99.0%. Важно число пар: 23 человека образуют 253 пары, у каждой шанс совпадения 1 из 365. Ползунок «Люди» меняется от 2 до 70; после игры совпавшие люди подсвечиваются золотым.

Положительный тест

Стол теста показывает 1,000 человек. Если болен 1 из 1,000, а среди здоровых 5% ложноположительных результатов, положительный результат получают около 50 здоровых вместе с единственным больным. Значит, положительный тест указывает на болезнь с вероятностью 1 из 51, примерно 2.0%. В опросе 2014 года так ответили 14 из 61 врача и студента. Второй независимый положительный тест повышает вероятность примерно до 28.6%, всё ещё меньше половины. Два ползунка меняют долю больных и частоту ложноположительных результатов.

Монеты без памяти

После 5 орлов подряд следующий бросок даёт орла с вероятностью 1/2. На сцене лишь 1 опыт из 32 начинается пятью орлами, поэтому эта задача выполняет миллион опытов. Проверка серий тоньше. Бросьте 4 монеты и запишите долю орлов среди бросков сразу после орла. При усреднении по всем 16 последовательностям, в которых орёл появляется достаточно рано для подсчёта, доля равна 17/42, примерно 40.5%, а не 50%. Miller и Sanjurjo показали в 2018 году, что проверка «горячей руки» в баскетболе 1985 года использовала такое усреднение: реальная серийность могла выглядеть отсутствующей.

Два конверта

На сцене меньшая сумма равна 10, 20 и так далее до 100, а в другом конверте лежит вдвое больше. Смена даёт больше в половине игр, а среднее изменение суммы равно 0. Рассуждение, будто другой конверт в среднем стоит в 1.25 раза больше вашего, считает вашу сумму неизменной в обоих случаях, что невозможно.

Дерево вероятностей

Переключатель «Дерево вероятностей» помещает дерево на сцену, а панель управления показывает его всегда. Каждая ветвь от точки обозначает возможное место автомобиля (или монеты, или болезни); её толщина пропорциональна вероятности. Она делится на увиденные и неувиденные свидетельства. Отсечь неслучившиеся ветви и привести сумму остальных к 1 означает применить формулу Байеса. Курс MIT по математике для информатики объясняет двери именно таким деревом в четыре шага. Когда Andrew Vazsonyi показал задачу Paul Erdős в 1995 году, математик принял ответ лишь после 100,000 компьютерных игр и всё равно попросил причину; дерево и есть эта причина.