モンティ・ホール問題：扉を替えると勝ちやすいわけ

日曜版の雑誌に届いた質問

1990 年 9 月 9 日、ある読者が『Parade』誌のコラム「Ask Marilyn」で、マリリン・ボス・サバントにテレビのクイズ番組についての質問を寄せました。目の前に扉が 3 枚あります。1 枚の奥には車、残り 2 枚の奥にはヤギがいます。あなたは扉を 1 枚選びます。たとえば 1 番です。どの扉の奥に何があるかを知っている司会者は、別の扉、たとえば 3 番を開けてヤギを見せます。そして、2 番の扉に替えますかと尋ねます。替えたほうが得でしょうか。

彼女の答えは「得です。替えると 3 回に 2 回勝ちます」でした。その後に何千通もの手紙が届き、多くのプロの数学者が彼女は間違っていると言い張りました。トロント大学のジェフリー・ローゼンタールは、そのとき使われた言葉をいくつか集めています。「あなたは完全に間違っている」「ヤギはあなたのほうだ」などです。論争は教室で決着しました。彼女が学校の数学の授業で紙コップと硬貨を使ってこのゲームをしてほしいと頼むと、各クラスから、いくらか驚きをこめて、彼女が正しかったという報告が届いたのです。

この問題には単純な正解と、しつこく残る誤答があり、両者の違いは一つの点に行き着きます。司会者が何を知っているかです。この展示では、3 枚から 100 枚の扉でゲームをし、1 万回のゲームを 1、2 秒で試し、答えが変わるまで司会者を取り替えることができます。

舞台の使い方

扉をタップすると選べます。右側のロボットアームが司会者の役です。開ける扉ごとにレーザーを向け、扉が開くと明るいブースにヤギが立っています。閉じた扉があなたの扉ともう 1 枚だけになると、ボタンが二つ現れます。「替える」で選択をもう一方の扉に移し、「替えない」でそのままにします。最後に選んだ扉が開き、車なら緑、ヤギなら赤に電球が光ります。

舞台の下の三つのボタンで、扉 3 枚、10 枚、100 枚にすぐ切り替えられます。「操作」パネルでは、「司会者」スライダーで司会者が何を知り、どう振る舞うかを変え、「確率」で閉じた扉ごとに車がある確率を表示し、「扉の奥を見る」で扉を透明にして車の位置を見られます。スライダーの下の欄では、たくさんのゲームを一度に行い、今回の訪問で自分の手で遊んだゲームを記録し（何も保存しません）、目の前のゲームのベイズ表を表示します。

最初の選択が 3 分の 1 のままである理由

扉を選んだとき、その奥に車があるのは 3 回に 1 回です。ここに異論はありません。意見が割れるのは扉が開いたときです。扉が 2 枚残ったのだから、どちらも半々のはずだと感じる人が多いのです。

扉ではなく司会者を追ってください。司会者は、あなたの扉ではなく、車も隠していない扉を開けなければなりません。あなたの扉の奥が車なら、残る 2 枚のどちらを開けてもかまいません。あなたの扉の奥がヤギなら、彼に選択肢はまったくありません。ほかの扉の一方に車があるので、2 匹目のヤギの扉を開けるしかないのです。

では、あなたがヤギを選んだゲームを見てみましょう。それは 3 回に 2 回起こります。そのどれでも、司会者のやむをえない動きによって、車はただ一つ残った閉じた扉の奥に残り、替えれば勝ちます。あなたが車を選んだ 3 回に 1 回のゲームでは、替えると負けます。つまり替えると 3 回に 2 回勝ち、替えないと 1 回勝ちます。

司会者の行動は、あなたの扉について何も新しいことを教えません。奥に何があっても、彼はヤギの扉を開けたはずだからです。しかし、彼が飛ばした扉については多くを語ります。彼はその扉をたまたま残したのではありません。3 回に 2 回は、残すしかなかったのです。

扉が百枚なら一目でわかる

扉の多い版にすると、わかる人が大勢います。扉が 100 枚あると考えてください。あなたは 1 枚を選びます。車の場所を知っている司会者は、ほかの扉を 98 枚開け、どれもヤギを見せ、1 枚だけを閉じたまま残します。自分の扉のままにしますか。それとも、彼が注意深く避けた扉に移りますか。

選んだとき、あなたの扉の確率は 100 分の 1 で、その後この扉には何も起きていません。ほかの 99 枚の扉は合わせて 100 分の 99 を持っていました。司会者は車に一度も触れずに、そのうち 98 枚を取り除いたので、99/100 がそっくり彼の残した 1 枚に移っています。「扉 100 枚」のボタンを押して何回か遊んでみてください。壁が列ごとに開き、ヤギばかりの中に立ち残った扉が、いかにも怪しく見えてきます。

一般の規則も簡単に読み取れます。扉が n 枚あり、司会者があなたの扉ともう 1 枚以外をすべて開けるなら、替えないと 1/n、替えると (n − 1)/n の割合で勝ちます。扉 3 枚なら 1/3 対 2/3、10 枚なら 10% 対 90%、100 枚なら 1% 対 99% です。「操作」パネルのいちばん下の表に、選んだ司会者についての七つの扉の数すべてを載せています。

すべての場合を数える

理屈で納得できなければ、数えてみましょう。扉に 1、2、3 の番号を付け、いつも扉 1 を選ぶとします（対称性から、ほかの扉を選んでも結果は同じです）。車はどの扉の奥にも同じ確率であり、司会者は選べるときには 2 枚のどちらかを同じ確率で選びます。

最初の 2 行は、車があなたの扉の奥にある 3 分の 1 を分け合っています。替えないで勝つ確率は 1/6 + 1/6 = 1/3、替えて勝つ確率は 1/3 + 1/3 = 2/3 です。

この表は、読者が実際に尋ねた、より厳密な形の問いにも答えます。あなたは司会者が扉 3 を開けるのを見ました。ありうるのは 2 行目と 3 行目だけです。2 行目の確率は 1/6、3 行目は 1/3 なので、あなたと同じように見えるゲームの中では、車が扉 2 の奥にあるのは扉 1 の奥にある場合の 2 倍です。条件付きで考えても答えは 2/3 です。

提案の瞬間のベイズの定理

同じ数え方は、ふつうベイズの定理で書きます。新しい証拠が届いたときに確率をどう変えるべきかを示す定理です。車がありうる場所をすべて挙げ、証拠の前の確率（事前確率）を書き、その場所が正しいとしたらまさにこの証拠が見られる確率（尤度）を掛け、それぞれの積を積の合計で割ります。

あなたが扉 1 を選び、司会者が扉 3 を開けた場合：

積を足すと 1/2 で、これは司会者が扉 3 を開けるのを見る確率全体です。これで割ると最後の列になります。「操作」パネルの表も、舞台上のゲームについて同じように作られ、扉の数と司会者に応じて変わります。扉が n 枚で事情を知る司会者なら、積はあなたの扉が 1/(n(n − 1))、彼が残した扉が 1/n で、1/n 対 (n − 1)/n になります。

真ん中の列こそ司会者の居場所です。彼の規則を変えれば尤度が変わり、それとともに答えも変わります。

答えを決めるのは司会者が知っていること

古典的な答えは、司会者についての三つの事実に支えられています。いつも扉を開けること、車の場所を知っているのでいつもヤギを見せること、そしていつも替える機会をくれることです。どれか一つでも外すと数字は動きます。「司会者」スライダーには五つの設定があります。

知っている（古典）。 上で見た場合です。替えない 1/n、替える (n − 1)/n。

知らない。 ローゼンタールはこれを Monty Fall と呼びます。司会者がバナナの皮で足を滑らせて無作為に扉を押し開け、たまたまヤギが出た場合です。扉が 3 枚なら、あなたの扉以外から無作為に選んだ扉の奥に車があるのは 3 回に 1 回です。そのゲームは台無しになります。残ったゲームでは、あなたの扉ともう 1 枚の閉じた扉は同じ確率なので、替えても替えなくても半分ずつ勝ちます。舞台では、アームが車を見せてしまったゲームはメッセージを出して終わり、数えません。たくさんのゲームを一度に行うと、除外した数も表示します。扉 100 枚で、司会者が 98 枚を無作為に開けるなら、残るのは 100 回に 2 回だけですが、そこでも答えは半分です。

提案の瞬間、舞台の扉はまったく同じに見えるのに、なぜ違いが生まれるのでしょうか。証拠が違うからです。事情を知る司会者が 98 匹のヤギを見せるのは、いつでもできることです。何も見えない司会者がたまたま 98 匹のヤギを見せるのは、車が彼の触れなかった 2 枚のどちらかの奥にある場合を除けば、とても起こりにくいことです。その 2 枚は一緒に、しかも同じだけ確率を得ます。ベイズ表では、何も知らない司会者の動きの尤度は、車があなたの扉の奥でももう一方の奥でも同じ 1/(n − 1) なので、事後確率は等しくなります。

好きな扉。 ローゼンタールの Monty Crawl は、車の場所を知っていながら、選べるときはいつも番号がいちばん小さいヤギの扉を開ける司会者です。疲れていて、その扉がいちばん近いからです。舞台ではこれがスライダーになっていて、自由に選べるときに司会者が番号のいちばん小さいほかの扉を閉じたまま残す確率を決めます。すべてのゲームを平均すると何も変わらず、替えればやはり 2/3 の割合で勝ちます。ところが、彼が残した扉が情報を持つようになります。扉が 3 枚で、司会者がいつも小さいほうを残すなら、大きいほうを残したのを見たときは、彼に選択肢がなかったことになります。車はその奥にあり、替えれば毎回勝ちます。小さいほうを残したのを見たときは 1/2 にすぎません。一般の好み p については、二つの答えは 1/(1 + p) と 1/(2 − p) で、替えるほうが替えないより悪くなることはありません。

当たった人にだけ勧める。 最初に選んだのが車のときだけ司会者が替える機会をくれるなら、提案は悪い知らせです。提案されるたびに替えると、決して勝てません。

外れた人にだけ勧める。 逆に、あなたがヤギを選んだときだけ提案するなら、提案されたときに替えれば毎回勝ちます。どちらの場合も、司会者が従う規則のほうが、舞台で目に見えるどんなことよりも重要だと示しています。

1 万回のゲーム

実行ボタンを押すと、100 回、1,000 回、10,000 回のゲームを数秒で行います。各ゲームでは車を配置し、最初の選択を無作為に決め、司会者に動いてもらってから、同じ配置で 3 人のプレイヤーを採点します。1 人はいつも替え、1 人はいつも替えず、1 人は硬貨を投げます。棒はそれぞれが勝った割合を示し、細い印が正確な値の位置にあります。下のグラフは、ゲームが積み重なるにつれての勝率を、ゲーム数の対数目盛で追います。

10 回のゲームのあとでは、線はどこにあってもおかしくありません。シミュレーションの欠陥ではありません。この程度の回数では、偶然だけで勝ちの割合が 15 ポイント以上動きます。N 回のゲームで測った勝率 p の典型的なばらつきは、p(1 − p)/N の平方根です。p = 2/3 なら、100 回で約 4.7 ポイント、1,000 回で 1.5、10,000 回で 0.47 です。だから 1 万回のあとでは、替える線はほぼ毎回 66.7% から 1 ポイント以内に収まります。

古典的な司会者のもとでは、硬貨を投げるプレイヤーはいつも半分あたりに落ち着きます。半分の回は替えて 2/3 勝ち、半分の回は替えずに 1/3 勝つからです。これは直感がゲーム全体について出す数字であり、別の問いへの正しい答えでもあります。閉じた 2 枚の扉を同等に扱ったら何回勝つか、という問いです。

扉 3、4、5、10 枚とすべての司会者について、車、選択、司会者の動きのあらゆる組み合わせを数え上げると、正確な確率が求まります。七つの扉の数と五人の司会者それぞれについて、数えるゲームを 10 万回行うと、どの作戦も正確な値から 0.5 ポイント以内に入ります。292 通りすべてで同じです。好きな扉がある司会者のベイズ表もシミュレーションと合います。たとえば、司会者が p = 0.8 で小さい扉を好み、大きい扉を残した場合、40,014 回中 83.1% で、正確な値は 5/6 です。

直感が半分と言うわけ

心理学者は何十年もこの問題を研究してきました。注意深い人の多くが間違え、説明を受けたあとも間違ったままでいるからです。ほとんどの人は最初の選択のままにすることを選びますが、替えれば勝つ確率は倍になります。

いくつかの説明が検証されています。クラウスとワン（2003）は、確率を言う代わりにゲームの回数を数える自然頻度で、しかも司会者の視点から問題を語ると、解ける人がずっと多くなることを見いだしました。バーンズとウィース（2004）は、難しさは因果の構造にあると論じました。車の場所とあなたの選んだ扉は互いに独立ですが、どちらも司会者がどの扉を開けるかを左右するので、彼の選択を知ると両者が結びつきます。人はそれを予想していません。ゲームを競争として語り、その原因を見えやすくすると、正解する人が増えました。

ハーブランソンとシュローダー（2010）はハトで試しました。実験箱の三つの反応キーが扉の役をし、賞品は餌の穀物でした。何度も試行するうちに、ハトは替える頻度を調整して最善の作戦に近づきましたが、同じ練習をした人間の参加者はそうなりませんでした。鳥たちに確率論はなく、あったのは何が報われたかという経験だけです。実行ボタンがくれるのも、まさにそれです。

短い歴史

この構造はクイズ番組より古いものです。ジョゼフ・ベルトランの 1889 年の確率論の教科書には、箱のパラドックスが載っています。3 つの箱に、金貨 2 枚、銀貨 2 枚、金貨と銀貨 1 枚ずつが入っています。無作為に選んだ箱から金貨を 1 枚取り出します。同じ箱のもう 1 枚も金貨である確率は 1/2 ではなく 2/3 です。金貨 2 枚の箱は、混ざった箱の 2 倍、金貨を出しやすいからです。1959 年には、マーティン・ガードナーが『Scientific American』のコラム「Mathematical Games」で、3 人のうち 1 人が恩赦を受ける三囚人問題を出しました。別の 1 人が処刑されると知った囚人の確率は 1/3 のままで、3 人目の確率は 2/3 に上がります。ヤギの代わりに囚人を置いた 3 枚の扉です。

クイズ番組の形は 1975 年、生物統計学者スティーブ・セルビンが『The American Statistician』の編集者に送った投書で登場しました。セルビンは、実在したアメリカのテレビのクイズ番組の司会者モンティ・ホールの名をこの問題に付けました。1990 年、『Parade』のコラムがこれを有名にしました。

論争は教室で終わったわけではありません。一部の統計学者は、掲載された問いでは司会者がいつも扉を開けるのか、選べるときにどう選ぶのかが述べられていないこと、そして条件なしの答え（替えると全ゲームの 2/3 で勝つ）と条件付きの答え（彼が扉 3 を開けたゲームの 2/3 で勝つ）では必要な論証が違うことを指摘しました。ライデン大学のリチャード・ギルは、この問題はいくつもの異なる数学の問題として読めると書いています。それが論文が書かれ続ける理由の一つです。舞台では「司会者」スライダーで、これらの読み方を分けています。

このモデルが単純化していること

標準的な問題と同じく、車は無作為に置かれ、司会者の無作為な選択は公平な硬貨投げです。実際の司会者なら、出場者があまり選ばない場所に車を置いたり、自分に都合のよいときだけ替える機会を出したりできます。そうなると決まった答えはありません。

ロボットアームは、アニメーションのために扉を 1 枚ずつ開けます。数学では順序は関係なく、どの扉が閉じたまま残ったかだけが重要です。何も知らない司会者の場合、アームは無作為な順序で扉を開けるので、途中で車が出ることもあります。

多数回の実行には、時計から種を取る高速な疑似乱数生成器を使っているので、2 回の実行がまったく同じ数字になることはありません。3 人のプレイヤーは同じ配置で採点されるので、古典的な司会者では、替える棒と替えない棒を足すといつも 100% になります。数えたどのゲームでも、閉じた 2 枚の扉のちょうど一方に車があるからです。

自分で遊んだゲームの記録は、開いているページの中にしかありません。再読み込みすると消えます。

観察した出来事の確率を計算する

C1を車が1番の扉にある事象、H3を司会者が3番を開けて交換を提案する事象とします。あなたは1番を選び、車の配置は一様、司会者は必ず車を避け、両方がヤギなら公平に選ぶと仮定します。ベイズの定理は P(C1 | H3) = P(H3 | C1) × P(C1) / P(H3) です。分母は3番にヤギがある確率そのものではなく、この規則の下で司会者がこの行動を取る確率です。

自分の扉の分子は (1/2) × (1/3) = 1/6、2番の分子は 1 × (1/3) = 1/3、3番の寄与は0です。したがって P(H3) = 1/6 + 1/3 = 1/2 で、P(C1 | H3) = (1/6)/(1/2) = 1/3 となります。同様に P(C2 | H3) = (1/3)/(1/2) = 2/3 です。バークレー校の解説は、ある扉に賞品がないと知ることと、司会者が賞品のない扉を選んで見せたと知ることを区別しています。Alvaradoも、車の位置、最初の選択、公開行動の依存関係を説明しています。

最初の選択を固定して独立な600回を考えると、車が各扉にあるのは平均約200回です。最初の200回のうち約100回では3番を開け、次の200回ではすべて3番を開け、最後の200回では一度も開けません。観察に一致する約300回のうち、自分の扉に車があるのは100回、他方にあるのは200回です。これは期待される回数であり、実際の600回で必ずこうなるという意味ではありません。

除外されたゲームも数える理由

今度は司会者が未選択の扉を無作為に開けます。最初の選択を1番に固定し、3番を開けてヤギを見せた場合だけを考えます。車が1番にあるとき、この観察の確率は1/2です。車が2番にあっても1/2です。残る二つの分子はともに1/6、合計は1/3なので、事後確率はそれぞれ1/2です。見えるヤギは同じでも、それを選んだ過程が違うため計算も違います。

開いた扉の番号を指定せずにも数えられます。600回中、最初から正解なのは約200回で、この200回はすべて無作為の公開を通過します。最初に外した約400回のうち残るのは約200回です。司会者が車を公開する確率が1/2だからです。集計される約400回では、維持と交換がそれぞれ200回勝ちます。交換の勝数を試行全体の600回で割れば1/3になりますが、これは無効なゲームを失敗に含めた別の問いへの答えです。分母を明確にする必要があります。

扉が100枚なら、最初から正解の試行は1/100で、すべて残ります。最初に外した場合、無作為な司会者が車だけを唯一の未選択・未公開の扉として残す確率は1/99です。最初に外してから残る割合は (99/100) × (1/99) = 1/100 です。両群の寄与が等しいので、全試行の2/100が集計され、そのうち交換が勝つ割合は1/2です。車の場所を知る司会者の99/100とは違います。

シミュレーションの誤差の意味

独立な通常ルールのゲームでは、交換の勝数は p = 2/3 の二項分布に従います。観測勝率の標準誤差は sqrt(p × (1 − p) / N) です。N = 1,000 では0.0149、つまり1.49パーセントポイントです。近似的な95%の標本変動の範囲は、期待勝率に標準誤差の1.96倍を加減した値です。約66.67% ± 2.92パーセントポイント、すなわち63.75%から69.59%です。1,000回で誤差が約3パーセントポイントというのはこの意味であり、すべての実行が範囲内に入る保証ではありません。

サンノゼ州立大学の資料は、比率に対するこの正規近似を説明しています。Nを4倍にすると標準誤差は半分、100倍にすると約10分の1になります。10,000回は1,000回より安定しますが、精度が10倍になるわけではありません。独立で正しく生成したゲームであることも条件です。プログラムの同じ間違いを繰り返しても、その間違いは消えません。

この画面では両戦略が同じ配置を使います。二つの標本は独立ではなく対になっていて、交換が勝てば維持は負けます。知らない司会者では、Nは全試行数ではなく集計されたゲーム数です。100枚の扉で無作為の公開を1,000回試しても、平均約20回しか集計されません。先ほどの約3パーセントポイントの説明を適用するには少なすぎます。

画面で比較実験する

扉3枚と場所を知る通常の司会者を選び、1,000回の実行を押す前に結果を予想します。「常に替える」の棒を、前回の結果だけでなく正確な値の印とも比べます。次は司会者だけを「知らない」に変更して繰り返します。無効な回数と集計された回数を一緒に読みます。最後に扉100枚を選びます。知る司会者では交換勝率は99%に近づきますが、知らない司会者では試行のごく一部しか残りません。複数の条件を気づかず変えるのではなく、司会者の規則を切り分ける比較です。

ハトの実験とその後の心理学のレビューは、報酬の多い行動を学ぶことと、その理由を説明することを区別しています。来館者は結果のフィードバックから交換ボタンを押すことを覚えても、尤度の列を再現できるとは限りません。実験後、知らない司会者が最初から正解のゲームより最初に外したゲームを多く除外する理由を説明してみてください。運のよい連勝より、その説明が理解の確認になります。Liによるデータ分析との比較も同じ点を示します。最後に二つの可能性が見えていても、順序と選択手順が重要なのです。

パズルの舞台：テーブルが変わっても問いは同じ

舞台の「パズル」ボタンから 17 種類の舞台を開けます。8 種類は扉のままで、司会者の規則や扉の数だけが変わります。9 種類は丸いフェルトのテーブルに移り、箱、硬貨、人、封筒が扉の役を引き継ぎます。どの舞台にも「1 回遊ぶ」と 100,000 回の実行ボタンがあります（条件に合う回が少ない 2 問では 1,000,000 回）。左の表示欄で、正確な値と実行結果の割合を比べられます。

規則の違う司会者

モンティ・フォールは、うっかり無作為に扉を開ける司会者です。たまたまヤギが出た場合、替えても替えなくても勝率は 1/2 です。車が出るはずだった回を除外するためで、それはまさに替えれば勝てた回です。モンティ・クロールは選べるとき、ほかの扉のうち最小の番号を必ず残します。扉 1 を選び、扉 2 が開いたなら、司会者に選択肢はありません。車は扉 3 にあり、替えれば必勝です。扉 3 が開いたなら、替える勝率は 1/2 だけです。両方を合わせると、常に替える勝率は 2/3 のままです。Grinstead と Snell は中間の場合も扱います。選べるとき 4 回中 3 回、大きい番号を開ける司会者なら、扉 3 が開いたあとの勝率は 4/7 です。

地獄のモンティと天使のモンティは、そもそも替える機会を与えるかどうかを決めます。モンティ・ホールは 1991 年の取材で、実際の番組では必ず提案する義務はなかったと語りました。最初に車を選んだときだけ提案するなら、替えると必ず負けます。ヤギを選んだときだけなら、替えると必ず勝ちます。提案そのものが証拠なのです。

多くの扉から 1 枚だけ開ける

「ほかに閉じておく扉」のスライダーは、自分の扉以外に何枚残すかを変えます。扉が 5 枚でヤギの扉を 1 枚だけ開ければ、ほかに 3 枚が残ります。替えない勝率は 1/5。その 3 枚から無作為に選んで替える勝率は (5 − 1) / (5 × 3) = 4/15、約 26.7% です。一般に n 枚の扉から k 枚を開けると、替える勝率は (n − 1) / (n (n − 1 − k)) で、常に 1/n より大きくなります。k = n − 2 なら、おなじみの (n − 1)/n となり、3 枚なら 2/3、100 枚なら 99/100 です。

2 人対戦

「2 人対戦」では、同じ扉で交互に遊ぶ 2 人の得点を別々に記録します。一方が常に替えず、もう一方が常に替えると、それぞれ 30 回後の期待得点は車 10 台と 20 台です。短い対戦なら逆転もあり得ます。10 台の差には、両側に約 3.7 台のばらつきがあります。

箱、囚人、子ども

ベルトランの箱では、3 箱に金貨 2 枚、銀貨 2 枚、金銀 1 枚ずつが入っています。無作為に引いた硬貨が金貨だったとします。3 枚の金貨はどれも同じ確率で引かれ、そのうち 2 枚は金貨 2 枚の箱にあります。したがって残る硬貨も金貨である確率は、1/2 ではなく 2/3 です。三囚人問題は扉の問題の衣装替えです。B の処刑を告げる看守が司会者の役で、A は 1/3 のまま、C は 2/3 に上がります。

2 つの子ども問題は、言い方の重要さを示します。子どもが 2 人いて、少なくとも 1 人が男の子なら、2 人とも男の子である確率は 1/3 です。等確率の 4 組（男男、男女、女男、女女）の最後が除かれ、残る 3 組の 1 組が男男だからです。上の子が男だと聞けば 1/2 です。火曜日生まれの息子がいると聞けば 13/27 です。性別と曜日の等確率の組は 196 通りあり、そのうち 27 通りに火曜日生まれの男の子がいて、13 通りは男の子 2 人です。

誕生日

23 人なら同じ誕生日の 2 人がいる確率は 50.7%、22 人なら 47.6%、57 人なら 99.0% です。鍵はペアの数です。23 人からは 253 組ができ、各ペアの一致確率は 365 分の 1 です。「人数」は 2 から 70 まで変えられます。各回の終了後、一致した人が金色に光ります。

検査で陽性

検査のテーブルには 1,000 人が並びます。1,000 人中の患者が 1 人で、健康な人の偽陽性率が 5% なら、患者 1 人に加えて約 50 人の健康な人が陽性になります。陽性の人が病気である確率は 51 分の 1、約 2.0% です。2014 年の調査でこの答えを出せた医師と学生は 61 人中 14 人でした。独立した 2 回目の陽性で約 28.6% に上がりますが、なお半分未満です。2 つのスライダーで患者の割合と偽陽性率を変えられます。

記憶のない硬貨

表が 5 回続いても、次に表が出る確率は 1/2 です。舞台で最初の 5 回が表になるのは 32 回中 1 回だけなので、この問題は 100 万回実行します。連続の検定はもう少し複雑です。硬貨を 4 回投げ、表の直後の投げ方に占める表の割合を記録します。集計可能な早い位置に表がある列について、全 16 列を通じて平均すると 17/42、約 40.5% で、50% ではありません。Miller と Sanjurjo は 2018 年、バスケットボールのホットハンドを調べた 1985 年の検定がこの種の平均を使っており、本物の連続効果さえ見えなくなり得ると示しました。

2 つの封筒

この舞台では少額の封筒が 10、20 と 100 までの金額を取り、他方はその倍です。替えると半分の回で増え、金額の平均変化は 0 です。「他方の期待金額は手元の 1.25 倍」という議論は、両方の場合で手元の金額を固定していますが、そうはできません。

確率の樹形図

「確率の樹形図」をオンにすると舞台にも図が出ます。「操作」パネルには常に表示されます。点から延びる枝は車（または硬貨や病気）のあり得る場所で、太さが確率です。そこから観察した証拠としなかった証拠に分かれます。起きなかった枝を切り、残りの合計を 1 にそろえるのがベイズの定理です。MIT の計算機科学のための数学では、この 4 段階の樹形図で扉の問題を教えます。Andrew Vazsonyi が 1995 年に Paul Erdős に見せたとき、彼はコンピューターが 100,000 回遊んで初めて答えを受け入れ、それでも理由を求めました。その理由がこの樹形図です。