मॉन्टी हॉल समस्या: दरवाज़ा बदलने से जीत क्यों ज़्यादा होती है

रविवार की पत्रिका में एक सवाल

9 सितंबर 1990 को एक पाठक ने Parade पत्रिका के कॉलम Ask Marilyn में मैरिलिन वॉस सावंत से एक टीवी गेम शो के बारे में पूछा। आपके सामने तीन दरवाज़े हैं। एक के पीछे कार है, बाक़ी दो के पीछे बकरियाँ। आप एक दरवाज़ा चुनते हैं, मान लीजिए नंबर 1। मेज़बान, जिसे पता है कि हर दरवाज़े के पीछे क्या है, कोई दूसरा दरवाज़ा खोलता है, मान लीजिए नंबर 3, और एक बकरी दिखाता है। फिर वह पूछता है कि क्या आप दरवाज़ा 2 पर बदलना चाहेंगे। क्या बदलने में आपका फ़ायदा है?

उन्होंने जवाब दिया, हाँ: बदलने से तीन में से दो बार जीत होती है। इसके बाद हज़ारों चिट्ठियाँ आईं, और कई पेशेवर गणितज्ञों ने ज़ोर देकर कहा कि वे ग़लत हैं। टोरंटो विश्वविद्यालय के जेफ़्री रोज़ेंथल ने उनके इस्तेमाल किए कुछ वाक्य इकट्ठा किए, जिनमें "आप बिल्कुल ग़लत हैं" और "बकरी तो आप हैं" भी शामिल थे। बहस कक्षाओं में जाकर ख़त्म हुई। उन्होंने स्कूलों की गणित कक्षाओं से काग़ज़ के कपों और सिक्कों से यह खेल खेलने को कहा, और कक्षाओं ने कुछ हैरानी के साथ लिखकर बताया कि वे सही थीं।

इस पहेली का एक सरल सही जवाब है और एक ज़िद्दी ग़लत जवाब, और दोनों का फ़र्क़ एक ही बात पर टिका है: मेज़बान क्या जानता है। इस प्रदर्शनी में आप 3 से 100 दरवाज़ों के साथ यह खेल खेल सकते हैं, एक-दो सेकंड में दस हज़ार खेल चला सकते हैं, और मेज़बान को तब तक बदल सकते हैं जब तक जवाब भी न बदल जाए।

मंच का इस्तेमाल कैसे करें

किसी दरवाज़े को चुनने के लिए उस पर टैप करें। दाईं ओर की रोबोट भुजा मेज़बान का काम करती है: जो भी दरवाज़ा वह खोलती है उस पर लेज़र से इशारा करती है, और दरवाज़े घूमकर खुलते हैं और रोशन बूथ में एक बकरी दिखती है। जब सिर्फ़ आपका दरवाज़ा और एक दूसरा बंद रह जाते हैं, तो दो बटन आते हैं। «बदलें» आपका चुनाव दूसरे दरवाज़े पर ले जाता है, «टिकें» उसे वहीं रखता है। आप जिस दरवाज़े पर रुकते हैं वह खुलता है, और बल्ब कार के लिए हरे और बकरी के लिए लाल चमकते हैं।

मंच के नीचे तीन बटन सीधे 3, 10 या 100 दरवाज़ों पर ले जाते हैं। «नियंत्रण» पट्टी में «मेज़बान» स्लाइडर बदलता है कि मेज़बान क्या जानता है और कैसे बर्ताव करता है, «संभावनाएँ» हर बंद दरवाज़े के ऊपर कार की संभावना दिखाता है, और «दरवाज़ों के पीछे देखें» दरवाज़ों को पारदर्शी बना देता है ताकि आप कार को देख सकें। स्लाइडरों के नीचे वाला हिस्सा एक साथ कई खेल खेलता है, इस बार आपके हाथ से खेले गए खेलों का हिसाब रखता है (कुछ सहेजा नहीं जाता), और सामने चल रहे खेल की बेज़ तालिका दिखाता है।

आपका पहला चुनाव तीन में एक पर ही क्यों रहता है

जब आप कोई दरवाज़ा चुनते हैं, तो तीन में से एक खेल में कार उसके पीछे होती है। इस पर किसी को आपत्ति नहीं। असहमति दरवाज़ा खुलने पर शुरू होती है। बहुत लोगों को लगता है कि अब दो दरवाज़े बचे हैं, तो हर एक की संभावना आधी होनी चाहिए।

दरवाज़ों के बजाय मेज़बान पर नज़र रखें। उसे ऐसा दरवाज़ा खोलना है जो आपका न हो और जिसके पीछे कार न हो। अगर आपके दरवाज़े के पीछे कार है, तो वह बाक़ी दो में से कोई भी खोल सकता है। अगर आपके दरवाज़े के पीछे बकरी है, तो उसके पास कोई विकल्प ही नहीं: बाक़ी दरवाज़ों में से एक के पीछे कार है, इसलिए उसे दूसरी बकरी वाला दरवाज़ा ही खोलना पड़ेगा।

अब उन खेलों को देखें जिनमें आपने बकरी चुनी। ऐसा तीन में से दो बार होता है। इनमें से हर खेल में मेज़बान की मजबूरी वाली चाल कार को अकेले बचे बंद दरवाज़े के पीछे छोड़ देती है, और बदलने से जीत होती है। तीन में से उस एक खेल में जहाँ आपने कार चुनी, बदलने से हार होती है। इसलिए बदलना तीन में से दो खेल जीतता है और टिके रहना एक।

मेज़बान की चाल आपके अपने दरवाज़े के बारे में कुछ नया नहीं बताती, क्योंकि उसके पीछे जो भी हो, वह बकरी वाला दरवाज़ा ही खोलता। पर जिस दरवाज़े को उसने छोड़ा, उसके बारे में यह बहुत कुछ बताती है। उसने वह दरवाज़ा यूँ ही बंद नहीं छोड़ा; तीन में से दो खेलों में वह ऐसा करने को मजबूर था।

सौ दरवाज़े बात साफ़ कर देते हैं

कई दरवाज़ों वाला रूप बहुत लोगों की मदद करता है। सोचिए 100 दरवाज़े हैं। आप एक चुनते हैं। मेज़बान, जिसे पता है कि कार कहाँ है, बाक़ी में से 98 दरवाज़े खोलता है, हर एक में बकरी, और सिर्फ़ एक दरवाज़ा बंद छोड़ता है। क्या आपको अपने दरवाज़े पर टिके रहना चाहिए या उस पर जाना चाहिए जिससे वह सावधानी से बचा?

जब आपने अपना दरवाज़ा चुना था, उसकी संभावना सौ में एक थी, और तब से उसके साथ कुछ नहीं हुआ। बाक़ी 99 दरवाज़ों के पास मिलकर सौ में 99 संभावनाएँ थीं। मेज़बान ने कार को छुए बिना उनमें से 98 हटा दिए, इसलिए पूरी 99/100 अब उसी एक दरवाज़े पर है जो उसने छोड़ा। «100 दरवाज़े» बटन दबाकर कुछ खेल खेलें: दीवार पंक्ति-दर-पंक्ति खुलती है, और इतनी बकरियों के बीच खड़ा बचा दरवाज़ा उतना ही संदिग्ध दिखता है जितना उसे दिखना चाहिए।

सामान्य नियम आसानी से पढ़ा जा सकता है। n दरवाज़ों और ऐसे मेज़बान के साथ जो आपके और एक दूसरे दरवाज़े को छोड़कर सब खोल देता है, टिके रहना 1/n बार जीतता है और बदलना (n − 1)/n बार। 3 दरवाज़ों पर यह 1/3 के मुक़ाबले 2/3 है, 10 दरवाज़ों पर 10% के मुक़ाबले 90%, और 100 दरवाज़ों पर 1% के मुक़ाबले 99%। «नियंत्रण» पट्टी के नीचे की तालिका आपके चुने मेज़बान के लिए दरवाज़ों की सातों संख्याएँ दिखाती है।

हर स्थिति गिनना

अगर तर्क आपको न मनाएँ, तो गिनिए। दरवाज़ों को 1, 2 और 3 नंबर दें और मान लें कि आप हमेशा दरवाज़ा 1 चुनते हैं (सममिति से बाक़ी चुनाव भी वही नतीजा देते हैं)। कार किसी भी दरवाज़े के पीछे होने की संभावना बराबर है, और जब मेज़बान के पास विकल्प हो, तो वह दोनों में से किसी को भी बराबर संभावना से चुनता है।

पहली दो पंक्तियाँ वह एक-तिहाई आपस में बाँटती हैं जिसमें कार आपके दरवाज़े के पीछे है। टिके रहने से जीत की संभावना 1/6 + 1/6 = 1/3 है, बदलने से 1/3 + 1/3 = 2/3।

तालिका सवाल के ज़्यादा सटीक रूप का भी जवाब देती है, जो पाठक ने असल में पूछा था: आपने मेज़बान को दरवाज़ा 3 खोलते देखा है। अब सिर्फ़ पंक्ति 2 और 3 संभव हैं। पंक्ति 2 की संभावना 1/6 है और पंक्ति 3 की 1/3, इसलिए आपके जैसे दिखने वाले खेलों में कार दरवाज़ा 2 के पीछे, दरवाज़ा 1 की तुलना में दोगुनी बार होती है। सशर्त जवाब फिर से 2/3 है।

पेशकश के पल में बेज़ का नियम

यही गिनती आमतौर पर बेज़ के नियम से लिखी जाती है, जो बताता है कि नया सबूत आने पर संभावना कैसे बदलनी चाहिए। हर वह जगह लिखें जहाँ कार हो सकती है, सबूत से पहले की संभावना लिखें (पूर्व संभावना), उसे इस संभावना से गुणा करें कि अगर वह सच हो तो ठीक यही सबूत दिखे (संभाविता), और फिर हर गुणनफल को उनके कुल योग से भाग दें।

आपने दरवाज़ा 1 चुना और मेज़बान ने दरवाज़ा 3 खोला:

गुणनफलों का योग 1/2 है, यानी मेज़बान को दरवाज़ा 3 खोलते देखने की कुल संभावना। इससे भाग देने पर आख़िरी कॉलम मिलता है। «नियंत्रण» पट्टी की तालिका मंच पर चल रहे खेल के लिए इसी तरह बनती है, और दरवाज़ों की संख्या और मेज़बान के साथ बदलती है। जानकार मेज़बान और n दरवाज़ों के साथ, आपके दरवाज़े का गुणनफल 1/(n(n − 1)) है और उसके छोड़े दरवाज़े का 1/n, जिससे 1/n के मुक़ाबले (n − 1)/n मिलता है।

बीच वाला कॉलम ही वह जगह है जहाँ मेज़बान रहता है। उसका नियम बदलिए, तो संभाविताएँ बदलती हैं, और उनके साथ जवाब भी।

मेज़बान क्या जानता है, यही जवाब तय करता है

क्लासिक जवाब मेज़बान के बारे में तीन बातों पर टिका है: वह हमेशा दरवाज़े खोलता है, वह हमेशा बकरियाँ दिखाता है क्योंकि उसे पता है कि कार कहाँ है, और वह हमेशा बदलने की पेशकश करता है। इनमें से कोई भी हटा दें, तो संख्याएँ खिसक जाती हैं। «मेज़बान» स्लाइडर की पाँच सेटिंग हैं।

जानता है (क्लासिक)। ऊपर वाली स्थिति: टिकें 1/n, बदलें (n − 1)/n।

नहीं जानता। रोज़ेंथल इसे Monty Fall कहते हैं: मेज़बान केले के छिलके पर फिसलता है और कोई भी दरवाज़ा धक्के से खोल देता है, जिसके पीछे संयोग से बकरी निकलती है। तीन दरवाज़ों में, आपके सिवा कोई भी बेतरतीब दरवाज़ा तीन में एक बार कार छिपाए होता है। वे खेल बिगड़ जाते हैं। बचे खेलों में आपका दरवाज़ा और दूसरा बंद दरवाज़ा बराबर संभावित हैं, इसलिए टिकना और बदलना दोनों आधी बार जीतते हैं। मंच पर, जिन खेलों में भुजा कार दिखा देती है वे एक संदेश के साथ ख़त्म होते हैं और गिने नहीं जाते, और कई खेलों की दौड़ बताती है कि कितने रद्द हुए। 100 दरवाज़ों और 98 दरवाज़े बेतरतीब खोलने वाले मेज़बान के साथ, 100 में से सिर्फ़ 2 खेल बचते हैं, पर उनमें भी जवाब आधा ही है।

जब पेशकश के पल में मंच के दरवाज़े बिल्कुल एक जैसे दिखते हैं, तो फ़र्क़ क्यों? क्योंकि सबूत अलग है। 98 बकरियाँ दिखाने वाले जानकार मेज़बान ने वह किया जो वह हमेशा कर सकता था। संयोग से 98 बकरियाँ दिखाने वाले अंधे मेज़बान ने कुछ बहुत असंभावित किया, जब तक कि कार उन दो दरवाज़ों में से किसी के पीछे न हो जिन्हें उसने छुआ नहीं। वे दोनों दरवाज़े साथ-साथ और बराबर लाभ पाते हैं। बेज़ तालिका में अंधे मेज़बान की चाल की संभाविता वही रहती है, 1/(n − 1), चाहे कार आपके दरवाज़े के पीछे हो या दूसरे के, इसलिए पश्च संभावनाएँ बराबर निकलती हैं।

पसंदीदा दरवाज़ा। रोज़ेंथल का Monty Crawl एक ऐसा मेज़बान है जो जानता है कि कार कहाँ है, पर विकल्प होने पर हमेशा सबसे छोटे नंबर वाला बकरी का दरवाज़ा खोलता है, क्योंकि वह थका है और वही सबसे पास है। मंच पर यह एक स्लाइडर है: वह संभावना कि मेज़बान, चुनने की छूट होने पर, सबसे छोटे नंबर वाला दूसरा दरवाज़ा बंद छोड़ दे। सब खेलों का औसत लें तो कुछ नहीं बदलता, और बदलना अब भी 2/3 बार जीतता है। पर अब उसका छोड़ा दरवाज़ा जानकारी लिए होता है। तीन दरवाज़ों और हमेशा छोटा दरवाज़ा बंद छोड़ने वाले मेज़बान के साथ, अगर आप उसे बड़ा दरवाज़ा बंद छोड़ते देखें तो इसका मतलब है उसके पास विकल्प नहीं था: कार उसी के पीछे है, और बदलना हर बार जीतता है। उसे छोटा दरवाज़ा बंद छोड़ते देखने का मतलब सिर्फ़ 1/2 है। किसी भी पसंद p के लिए दोनों जवाब 1/(1 + p) और 1/(2 − p) हैं, और बदलना कभी टिकने से बुरा नहीं होता।

सिर्फ़ जीतने वालों को पेशकश। अगर मेज़बान बदलने की पेशकश तभी करता है जब आपका पहला चुनाव कार हो, तो पेशकश बुरी ख़बर है। हर पेशकश पर बदलना कभी नहीं जीतता।

सिर्फ़ हारने वालों को पेशकश। उल्टा: वह तभी पेशकश करता है जब आपने बकरी चुनी हो, इसलिए पेशकश पर बदलना हर बार जीतता है। ये दोनों दिखाते हैं कि मेज़बान जिस नियम पर चलता है, वह मंच पर दिखने वाली किसी भी चीज़ से ज़्यादा मायने रखता है।

दस हज़ार खेल

«चलाएँ» बटन कुछ सेकंड में 100, 1,000 या 10,000 खेल खेलते हैं। हर खेल में कार रखी जाती है, पहला चुनाव बेतरतीब होता है और मेज़बान अपनी चाल चलता है, फिर उसी बँटवारे पर तीन खिलाड़ियों का हिसाब होता है: एक हमेशा बदलता है, एक हमेशा टिकता है, और एक सिक्का उछालता है। पट्टियाँ हर खिलाड़ी के जीते हिस्से को दिखाती हैं, और पतला निशान सटीक मान पर होता है। नीचे का ग्राफ़ खेल बढ़ने के साथ जीत की दर दिखाता है, खेलों के लघुगणकीय पैमाने पर।

10 खेलों के बाद रेखाएँ कहीं भी हो सकती हैं। यह सिमुलेशन की ग़लती नहीं; इतने कम खेलों में सिर्फ़ संयोग ही जीत के हिस्से को 15 प्रतिशत अंक या उससे ज़्यादा खिसका देता है। N खेलों पर मापी गई जीत की दर p का आम फैलाव p(1 − p)/N का वर्गमूल होता है। p = 2/3 के लिए यह 100 खेलों पर लगभग 4.7 प्रतिशत अंक, 1,000 पर 1.5 और 10,000 पर 0.47 है। इसलिए दस हज़ार खेलों के बाद बदलने की रेखा लगभग हर बार 66.7% से एक प्रतिशत अंक के भीतर रहती है।

क्लासिक मेज़बान के साथ सिक्का उछालने वाला हमेशा आधे के आसपास पहुँचता है। आधी बार वह बदलता है और 2/3 जीतता है, आधी बार टिकता है और 1/3 जीतता है। यही वह संख्या है जो अंतर्ज्ञान पूरे खेल के लिए देता है, और यह एक दूसरे सवाल का सही जवाब है: अगर आप दोनों बंद दरवाज़ों को बराबर मानें तो आप कितनी बार जीतेंगे।

3, 4, 5 और 10 दरवाज़ों और हर मेज़बान के लिए कार, चुनाव और मेज़बान की चाल का हर संयोजन गिनने पर सटीक संभावनाएँ मिलती हैं। दरवाज़ों की सातों संख्याओं और पाँचों मेज़बानों में से हर एक के लिए 1,00,000 गिने गए खेल खेलने पर हर रणनीति सटीक मान के आधे प्रतिशत अंक के भीतर आती है, सभी 292 मामलों में। पसंदीदा दरवाज़े वाले मेज़बान की बेज़ तालिका भी सिमुलेशन वाले खेलों से मेल खाती है, जैसे जब मेज़बान p = 0.8 से छोटा दरवाज़ा पसंद करता है और बड़ा बंद छोड़ता है, तो 40,014 खेलों में 83.1%, जबकि सटीक मान 5/6 है।

अंतर्ज्ञान आधा क्यों कहता है

मनोवैज्ञानिक दशकों से इस पहेली का अध्ययन कर रहे हैं, क्योंकि बहुत से सावधान लोग इसे ग़लत समझते हैं और बताए जाने के बाद भी ग़लत पर टिके रहते हैं। ज़्यादातर लोग अपने पहले अनुमान पर टिके रहना चुनते हैं, जबकि बदलने से जीतने की संभावना दोगुनी हो जाती है।

कई व्याख्याएँ परखी गई हैं। क्राउस और वांग (2003) ने पाया कि जब समस्या प्राकृतिक आवृत्तियों में सुनाई गई, यानी संभावनाएँ बताने के बजाय खेल गिने गए, और मेज़बान के नज़रिए से सुनाई गई, तो लोगों ने उसे कहीं ज़्यादा बार हल किया। बर्न्स और वीथ (2004) का तर्क था कि मुश्किल कारण-संरचना में है। कार कहाँ है और आपने कौन सा दरवाज़ा चुना, ये दोनों स्वतंत्र हैं, पर दोनों मिलकर तय करते हैं कि मेज़बान कौन सा दरवाज़ा खोलेगा, इसलिए उसका चुनाव जान लेने से ये दोनों जुड़ जाते हैं, जिसकी लोग उम्मीद नहीं करते। जब खेल को एक मुक़ाबले की तरह सुनाया गया, जिससे ये कारण देखना आसान हो जाता है, तो ज़्यादा लोगों ने सही जवाब दिया।

हर्ब्रैंसन और श्रोडर (2010) ने कबूतरों पर प्रयोग किया। परीक्षण-कक्ष में तीन चोंच-बटन दरवाज़ों का काम करते थे और इनाम था दाना। कई प्रयासों के दौरान कबूतरों ने बदलने की आवृत्ति को तब तक ढाला जब तक वे सबसे अच्छी रणनीति के क़रीब नहीं पहुँच गए; वही अभ्यास पाने वाले इंसानी स्वयंसेवक नहीं पहुँचे। पक्षियों के पास संभावना का कोई सिद्धांत नहीं था, सिर्फ़ इसका अनुभव कि किससे फ़ायदा हुआ, और यही «चलाएँ» बटन आपको देते हैं।

संक्षिप्त इतिहास

यह संरचना गेम शो से पुरानी है। जोसेफ़ बर्ट्रेंड की 1889 की संभाव्यता पाठ्यपुस्तक में बक्सा विरोधाभास था: तीन बक्सों में दो सोने के सिक्के, दो चाँदी के सिक्के, और एक-एक सिक्का हैं। आप किसी बेतरतीब बक्से से सोने का सिक्का निकालते हैं। उस बक्से का दूसरा सिक्का सोने का होने की संभावना 2/3 है, 1/2 नहीं, क्योंकि दो सोने वाला बक्सा मिले-जुले बक्से की तुलना में सोना देने की दोगुनी संभावना रखता है। 1959 में Scientific American में मार्टिन गार्डनर के कॉलम Mathematical Games ने तीन क़ैदियों की समस्या रखी, जिनमें से एक को माफ़ी मिलनी है। जो क़ैदी जान लेता है कि किसी दूसरे को फाँसी होगी, उसकी अपनी संभावना 1/3 ही रहती है, जबकि तीसरे क़ैदी की 2/3 हो जाती है। यह बकरियों की जगह क़ैदियों वाले तीन दरवाज़े ही हैं।

गेम शो वाला रूप 1975 में आया, जीवसांख्यिकीविद स्टीव सेल्विन के The American Statistician के संपादक को लिखे एक पत्र में, जिन्होंने इसका नाम एक असली अमेरिकी टीवी गेम शो के मेज़बान मॉन्टी हॉल पर रखा। 1990 में Parade के कॉलम ने इसे मशहूर कर दिया।

बहस कक्षाओं के साथ ख़त्म नहीं हुई। कुछ सांख्यिकीविदों ने बताया कि छपा हुआ सवाल यह नहीं कहता कि मेज़बान हमेशा दरवाज़ा खोलता है या नहीं, या विकल्प होने पर वह कैसे चुनता है, और यह कि बिना शर्त जवाब (बदलना सब खेलों का 2/3 जीतता है) और सशर्त जवाब (बदलना उन खेलों का 2/3 जीतता है जिनमें उसने दरवाज़ा 3 खोला) के लिए अलग-अलग तर्क चाहिए। लाइडन विश्वविद्यालय के रिचर्ड गिल ने लिखा है कि इस पहेली को कई अलग-अलग गणितीय समस्याओं के रूप में पढ़ा जा सकता है, और यह एक कारण है कि इस पर शोधपत्र आते रहे हैं। मंच «मेज़बान» स्लाइडर से इन पाठों को अलग करता है।

मॉडल क्या सरल बनाता है

मानक समस्या की तरह कार बेतरतीब ढंग से रखी जाती है और मेज़बान के बेतरतीब चुनाव निष्पक्ष सिक्का-उछाल होते हैं। असली मेज़बान कार वहाँ रख सकता है जहाँ प्रतियोगी कम ही देखते हैं, या पेशकश तभी करे जब उसे फ़ायदा हो, और तब कोई तय जवाब लागू नहीं होता।

एनिमेशन के लिए रोबोट भुजा एक के बाद एक दरवाज़े खोलती है। गणित में क्रम का कोई महत्व नहीं; सिर्फ़ यह गिना जाता है कि कौन सा दरवाज़ा बंद छोड़ा गया। अंधे मेज़बान के साथ भुजा बेतरतीब क्रम में दरवाज़े खोलती है, इसलिए कार बीच में भी दिख सकती है।

कई खेल चलाने वाला हिस्सा घड़ी से बीज लिया गया एक तेज़ छद्म-यादृच्छिक जनरेटर इस्तेमाल करता है, इसलिए दो दौड़ कभी बिल्कुल एक जैसी संख्याएँ नहीं देतीं। तीनों खिलाड़ियों का हिसाब एक ही बँटवारे पर होता है, इसीलिए क्लासिक मेज़बान के साथ बदलने और टिकने की पट्टियाँ हमेशा मिलकर 100% होती हैं: हर गिने गए खेल में दो बंद दरवाज़ों में से ठीक एक के पीछे कार होती है।

आपके अपने खेलों का हिसाब सिर्फ़ खुले पेज में रहता है। पेज दोबारा लोड करने पर वह मिट जाता है।

सिर्फ़ दरवाज़े गिनना नहीं, प्रमाण की गणना

मान लीजिए C1 का अर्थ है कि कार दरवाज़े 1 के पीछे है, और H3 का अर्थ है कि मेज़बान दरवाज़ा 3 खोलकर बदलने की पेशकश करता है। मान लें आपने दरवाज़ा 1 चुना, कार समान संभावना से रखी गई, मेज़बान हमेशा कार से बचता है, और जब बाकी दोनों दरवाज़ों के पीछे बकरियाँ हों तब निष्पक्ष ढंग से चुनता है। बेज़ का नियम है P(C1 | H3) = P(H3 | C1) × P(C1) / P(H3)। हर सिर्फ़ यह संभावना नहीं है कि दरवाज़े 3 के पीछे बकरी है। यह बताए गए नियमों में मेज़बान की ठीक इसी कार्रवाई की संभावना है।

आपके दरवाज़े के लिए अंश (1/2) × (1/3) = 1/6 है। दरवाज़े 2 के लिए यह 1 × (1/3) = 1/3 है। दरवाज़ा 3 शून्य जोड़ता है। इसलिए P(H3) = 1/6 + 1/3 = 1/2 और P(C1 | H3) = (1/6)/(1/2) = 1/3। इसी तरह P(C2 | H3) = (1/3)/(1/2) = 2/3। बर्कले की व्याख्या इस अंतर पर ज़ोर देती है कि किसी दरवाज़े के पीछे इनाम नहीं है, यह जानना एक बात है, और यह जानना दूसरी बात कि मेज़बान ने उसे यह दिखाने के लिए चुना कि इनाम नहीं है। अल्वाराडो की चर्चा भी कार, पहले चुनाव और खोलने की कार्रवाई के बीच की निर्भरता को ही आगे बढ़ाती है।

एक उपयोगी जाँच यह है कि एक ही पहले चुनाव वाले 600 स्वतंत्र खेलों की कल्पना करें। लगभग 200 में कार हर दरवाज़े के पीछे होती है। पहले 200 में से लगभग 100 में दरवाज़ा 3 खुलता है; दूसरे 200 में सभी 200 में खुलता है; आख़िरी 200 में एक में भी नहीं। अब लगभग 300 मेल खाते प्रेक्षण बचते हैं, जिनमें 100 में कार आपके दरवाज़े के पीछे और 200 में दूसरे दरवाज़े के पीछे है। ये अपेक्षित गिनतियाँ हैं, किसी ख़ास 600 खेलों के समूह के लिए गारंटी नहीं।

छोड़े गए खेल क्यों मायने रखते हैं

अब मान लें कि मेज़बान बिना जाने किसी न चुने गए दरवाज़े को चुनता है। पहला चुनाव दरवाज़े 1 पर स्थिर रखें और सिर्फ़ उन मौकों पर विचार करें जब वह दरवाज़ा 3 खोलकर बकरी दिखाता है। यदि कार दरवाज़े 1 के पीछे है, तो इस प्रेक्षण की संभावना 1/2 है। यदि कार दरवाज़े 2 के पीछे है, तो भी 1/2 है। बचे हुए दोनों अंश 1/6 हैं, उनका योग 1/3 है, और हर पश्च संभावना 1/2 है। वही दिखती बकरी अलग गणना देती है, क्योंकि उसे चुनने वाली प्रक्रिया अलग थी।

खुले दरवाज़े का नाम लिए बिना भी गिना जा सकता है। 600 खेलों में लगभग 200 में आपका दरवाज़ा शुरू से सही होता है; ये सभी 200 अंधे खोलने के बाद बचे रहते हैं। लगभग 400 में आपका दरवाज़ा ग़लत होता है; इनमें से सिर्फ़ लगभग 200 बचते हैं, क्योंकि मेज़बान के कार दिखा देने की संभावना 1/2 है। इस तरह लगभग 400 खेल गिने जाते हैं: टिके रहने से 200 जीतते हैं और बदलने से 200। बदलने की जीतों को सभी 600 कोशिशों से भाग दें तो 1/3 आएगा। वह संख्या दूसरे सवाल का जवाब है, जिसमें बिगड़े खेल भी हार माने जाते हैं। हर में क्या है, यह हमेशा बताएँ।

100 दरवाज़ों के साथ आपका पहला चुनाव 1/100 कोशिशों में सही होता है, और वे कोशिशें हमेशा बची रहती हैं। यदि वह ग़लत है, तो अंधे मेज़बान को कार को अकेले न चुने गए बंद दरवाज़े के रूप में छोड़ना होगा, जिसकी संभावना 1/99 है। ग़लत पहले चुनाव वाला बचा हुआ हिस्सा (99/100) × (1/99) = 1/100 है। दोनों समूह बराबर योगदान देते हैं: 2/100 कोशिशें बचती हैं और उन बचे हुओं में से 1/2 में बदलना जीतता है। यह जानने वाले मेज़बान का 99/100 नहीं है।

सिमुलेशन की त्रुटि का क्या अर्थ है

स्वतंत्र क्लासिक खेलों में बदलने से जीतों की संख्या p = 2/3 वाले द्विपद बंटन का पालन करती है। देखे गए अनुपात की मानक त्रुटि sqrt(p × (1 − p) / N) है। N = 1000 पर यह 0.0149 है, यानी 1.49 प्रतिशत अंक। लगभग 95% प्रतिदर्श सीमा अपेक्षित अनुपात जमा-घटा 1.96 मानक त्रुटि है: लगभग 66.67% ± 2.92 प्रतिशत अंक, यानी 63.75% से 69.59%। हज़ार खेलों के लगभग तीन प्रतिशत अंक के अंतर का यही अर्थ है, यह वादा नहीं कि हर बार का चलना इसके भीतर ही रहेगा।

सैन होज़े स्टेट के नोट अनुपात के लिए इस सामान्य सन्निकटन को समझाते हैं। N को 4 से गुणा करने पर मानक त्रुटि आधी रह जाती है; 100 से गुणा करने पर त्रुटि लगभग दस गुना छोटी हो जाती है। इसलिए 10,000 का चलना 1000 के चलने से ज़्यादा स्थिर है, पर दस गुना ज़्यादा सटीक नहीं। यह नतीजा यह भी मानता है कि खेल स्वतंत्र हैं और सही ढंग से बने हैं। प्रोग्रामिंग की ग़लती दोहराने से वह ग़ायब नहीं होती।

इस मंच पर दोनों रणनीतियाँ एक ही बँटवारे का इस्तेमाल करती हैं। उनके नतीजे जोड़ीदार हैं, दो स्वतंत्र प्रतिदर्श नहीं: जब बदलना जीतता है, टिकना हारता है। अंधे मेज़बान के साथ N के लिए सभी कोशिशों की जगह गिने गए खेल लें। 100 दरवाज़ों में 1000 अंधे खोलने की कोशिशों से औसतन सिर्फ़ लगभग 20 गिने गए खेल मिलते हैं, जो ऊपर के तीन प्रतिशत अंक वाले कथन के लिए बहुत कम हैं।

स्क्रीन पर आज़माने लायक एक प्रयोग

3 दरवाज़े और «जानता है (क्लासिक)» चुनें, फिर «1000 चलाएँ» दबाने से पहले अनुमान लगाएँ। «हमेशा बदलें» की तुलना सिर्फ़ पिछले चलने से नहीं, सटीक निशान से करें। सिर्फ़ मेज़बान को «नहीं जानता» पर बदलें और दोहराएँ। रद्द खेलों की संख्या को गिनी गई कुल संख्या के साथ पढ़ें। अंत में 100 दरवाज़े चुनें: क्लासिक मेज़बान के साथ बदलने की दर 99% के पास पहुँचनी चाहिए, जबकि अंधा मेज़बान कोशिशों का सिर्फ़ छोटा-सा हिस्सा रखता है। ये तुलनाएँ मेज़बान के नियम को अलग करती हैं, बजाय इसके कि कई मान्यताएँ बिना ध्यान दिए एक साथ बदल जाएँ।

कबूतरों वाला अध्ययन और बाद की मनोवैज्ञानिक समीक्षाएँ यह अलग करती हैं कि कौन-सी कार्रवाई फ़ायदेमंद है, यह सीखना एक बात है और यह समझाना कि वह क्यों फ़ायदेमंद है, दूसरी बात। कोई आगंतुक प्रतिक्रिया से «बदलें» दबाना सीख सकता है, फिर भी संभाव्यता वाले स्तंभ को दोबारा नहीं बना सकता। प्रयोग के बाद समझाएँ कि अंधा मेज़बान सही पहले चुनाव वाले खेलों से ज़्यादा ग़लत पहले चुनाव वाले खेल क्यों छोड़ देता है। भाग्य की जीत की लड़ी नहीं, यह स्पष्टीकरण ही समझ की कसौटी है। ली की डेटा विश्लेषण से तुलना भी यही बताती है: अंतिम स्क्रीन पर दो संभावनाएँ दिखने पर भी क्रम और चयन की प्रक्रिया मायने रखती है।

पहेलियों के मंच: दूसरी मेज़ों पर वही सवाल

मंच का «पहेलियाँ» बटन 17 मंच खोलता है। आठ दरवाज़ों पर रहते हैं और सिर्फ़ मेज़बान के नियम या दरवाज़ों की संख्या बदलते हैं; नौ फ़ेल्ट से ढकी गोल मेज़ पर जाते हैं, जहाँ डिब्बे, सिक्के, लोग या लिफ़ाफ़े दरवाज़ों की जगह लेते हैं। हर मंच पर «एक बार खेलें» और 100,000 खेल चलाने का बटन है (दो पहेलियों में शर्त कम पूरी होती है, इसलिए 1,000,000)। बाईं ओर सटीक मान और प्रयासों से मिला अनुपात साथ दिखते हैं।

अलग नियम वाले मेज़बान

मॉन्टी फ़ॉल फिसलकर बेतरतीब दरवाज़ा खोलता है। संयोग से बकरी निकले तो टिकना और बदलना दोनों 1/2 से जीतते हैं: कार दिखाने वाले खेल हटा दिए जाते हैं, और ठीक उन्हीं में बदलना जीतता। मॉन्टी क्रॉल विकल्प होने पर दूसरे दरवाज़ों में सबसे छोटा नंबर बंद छोड़ता है। आप 1 चुनें और वह 2 खोले तो उसके पास विकल्प नहीं था: कार 3 के पीछे है और बदलना हमेशा जीतता है। वह 3 खोले तो बदलने की जीत सिर्फ़ 1/2 है। दोनों को मिलाकर हमेशा बदलना अब भी 2/3 जीतता है। Grinstead और Snell बीच की स्थिति देखते हैं: विकल्प होने पर 4 में से 3 बार बड़ा नंबर खोलने वाला मेज़बान, 3 खोलने के बाद बदलने को 4/7 संभावना देता है।

नरक का मॉन्टी और फ़रिश्ता मॉन्टी तय करते हैं कि बदलने का प्रस्ताव देना भी है या नहीं। मॉन्टी हॉल ने 1991 में पत्रकार को बताया कि असली शो में वे इसके लिए बाध्य नहीं थे। सिर्फ़ कार चुनने पर प्रस्ताव मिले तो बदलना पक्की हार है; सिर्फ़ बकरी चुनने पर मिले तो पक्की जीत। प्रस्ताव ख़ुद सबूत है।

कई दरवाज़ों में सिर्फ़ एक खुला

«दूसरे बंद दरवाज़े» स्लाइडर तय करता है कि आपके अलावा कितने बंद रहें। 5 में बकरी वाला एक खुले तो दूसरे तीन बंद हैं। टिकने की जीत 1/5 है। तीन में से किसी एक पर बेतरतीब बदलने की जीत (5 − 1) / (5 × 3) = 4/15, लगभग 26.7% है। सामान्यतः n में k खुलें तो बदलने की जीत (n − 1) / (n (n − 1 − k)) है, हमेशा 1/n से अधिक। k = n − 2 पर जाना-पहचाना (n − 1)/n मिलता है: तीन के लिए 2/3, सौ के लिए 99/100।

दो खिलाड़ी

«दो खिलाड़ी» उन्हीं दरवाज़ों पर बारी-बारी खेलने वालों का अलग स्कोर रखता है। एक हमेशा टिके और दूसरा हमेशा बदले तो 30 खेल प्रति व्यक्ति के बाद अपेक्षित स्कोर 10 और 20 कार हैं। छोटा मुक़ाबला उलटा भी निकल सकता है; 10 कारों के अंतर में दोनों ओर लगभग 3.7 कारों का फैलाव है।

डिब्बे, क़ैदी और बच्चे

बर्ट्रांड के तीन डिब्बों में दो सोने के सिक्के, दो चाँदी के और एक-एक हैं। बेतरतीब सिक्का निकाला और सोना देखा: तीनों सोने के सिक्कों के निकलने की संभावना समान थी, और दो पूरे सोने वाले डिब्बे में हैं। इसलिए दूसरा सिक्का सोने का होने की संभावना 2/3 है, 1/2 नहीं। तीन क़ैदियों की समस्या दरवाज़ों को दूसरा रूप देती है। B की फाँसी बताने वाला पहरेदार मेज़बान है; A का 1/3 बना रहता है और C का 2/3 हो जाता है।

बच्चों की दोनों पहेलियाँ बताती हैं कि शब्द कितने अहम हैं। दो बच्चों में कम से कम एक लड़का हो तो दोनों लड़के होने की संभावना 1/3 है: चार समान संभावित परिवारों (लड़का लड़का, लड़का लड़की, लड़की लड़का, लड़की लड़की) में आख़िरी हटता है और बाक़ी तीन में एक के दोनों लड़के हैं। बड़ा बच्चा लड़का बताया जाए तो 1/2 है। बेटा मंगलवार को जन्मा हो तो 13/27 है: लिंग और वार के 196 समान संभावित जोड़ों में 27 में मंगलवार को जन्मा लड़का है, और उनमें 13 में दोनों लड़के हैं।

जन्मदिन

23 लोगों में दो का जन्मदिन मिलने की संभावना 50.7%, 22 में 47.6% और 57 में 99.0% है। अहम संख्या जोड़ियों की है: 23 लोग 253 जोड़ियाँ बनाते हैं, हर जोड़ी के मिलने की संभावना 365 में 1 है। «लोग» स्लाइडर 2 से 70 तक है; हर खेल के बाद समान जन्मदिन वाले सुनहरे चमकते हैं।

पॉज़िटिव टेस्ट

टेस्ट की मेज़ पर 1,000 लोग हैं। प्रति 1,000 में 1 बीमार और स्वस्थ लोगों में 5% ग़लत पॉज़िटिव हों तो लगभग 50 स्वस्थ लोग, उस 1 बीमार के साथ पॉज़िटिव निकलते हैं। पॉज़िटिव के बीमार होने की संभावना 51 में 1, लगभग 2.0% है। 2014 के सर्वेक्षण में 61 डॉक्टरों और छात्रों में 14 ने यह जवाब दिया। दूसरा स्वतंत्र पॉज़िटिव संभावना लगभग 28.6% करता है, फिर भी आधे से कम। दो स्लाइडर बीमारों का अनुपात और ग़लत पॉज़िटिव दर बदलते हैं।

बिना याददाश्त के सिक्के

लगातार 5 हेड के बाद अगले उछाल में हेड की संभावना 1/2 है। मंच पर 32 में सिर्फ़ 1 प्रयास पाँच हेड से शुरू होता है, इसलिए दस लाख प्रयास चलते हैं। सिलसिले की जाँच अधिक बारीक है। 4 सिक्के उछालें और हेड के बाद आने वाले उछालों में हेड का अनुपात लिखें। सभी 16 क्रमों में, जहाँ हेड गिनती के लिए काफ़ी पहले आता है, औसत 17/42, लगभग 40.5% है, 50% नहीं। Miller और Sanjurjo ने 2018 में दिखाया कि बास्केटबॉल के «हॉट हैंड» का 1985 का परीक्षण यही औसत लेता था; असली सिलसिला भी ग़ायब दिख सकता था।

दो लिफ़ाफ़े

मंच पर छोटी रकम 10, 20 और ऐसे 100 तक है; दूसरे लिफ़ाफ़े में दोगुनी। बदलने से आधे खेलों में ज़्यादा मिलता है और रकम का औसत बदलाव 0 है। दूसरे लिफ़ाफ़े की औसत क़ीमत आपकी 1.25 गुना होने का तर्क आपकी रकम को दोनों स्थितियों में एक ही स्थिर मान मानता है, जो संभव नहीं।

संभावना का पेड़

«संभावना का पेड़» स्विच पेड़ को मंच पर दिखाता है; «नियंत्रण» पट्टी में वह हमेशा है। बिंदु की हर शाखा कार (या सिक्के या बीमारी) की संभावित जगह है, मोटाई उसकी संभावना के अनुसार। वह देखे और न देखे सबूत में बँटती है। न हुई शाखाएँ काटकर बाक़ी का योग 1 करना बेज़ का नियम है। MIT का कंप्यूटर विज्ञान के लिए गणित पाठ्यक्रम यही चार कदम वाला पेड़ सिखाता है। Andrew Vazsonyi ने 1995 में Paul Erdős को समस्या दिखाई तो गणितज्ञ ने 100,000 कंप्यूटर खेल देखने के बाद जवाब माना, मगर फिर भी वजह माँगी; पेड़ वह वजह है।