مونٹی ہال مسئلہ: دروازہ بدلنے سے جیت کیوں زیادہ ہوتی ہے

اتوار کے رسالے میں ایک سوال

9 ستمبر 1990 کو ایک قاری نے Parade رسالے کے کالم Ask Marilyn میں میریلن ووس ساونت سے ایک ٹی وی گیم شو کے بارے میں پوچھا۔ آپ کے سامنے تین دروازے ہیں۔ ایک کے پیچھے کار ہے، باقی دو کے پیچھے بکریاں۔ آپ ایک دروازہ چنتے ہیں، فرض کریں نمبر 1۔ میزبان، جسے معلوم ہے کہ ہر دروازے کے پیچھے کیا ہے، کوئی دوسرا دروازہ کھولتا ہے، فرض کریں نمبر 3، اور ایک بکری دکھاتا ہے۔ پھر وہ پوچھتا ہے کہ کیا آپ دروازہ 2 پر بدلنا چاہیں گے۔ کیا بدلنے میں آپ کا فائدہ ہے؟

انہوں نے جواب دیا، ہاں: بدلنے سے تین میں سے دو بار جیت ہوتی ہے۔ اس کے بعد ہزاروں خط آئے، اور بہت سے پیشہ ور ریاضی دانوں نے اصرار کیا کہ وہ غلط ہیں۔ ٹورنٹو یونیورسٹی کے جیفری روزنتھل نے ان کے استعمال کیے ہوئے کچھ جملے جمع کیے، جن میں «آپ بالکل غلط ہیں» اور «بکری تو آپ ہیں» بھی شامل تھے۔ بحث جماعتوں میں جا کر ختم ہوئی۔ انہوں نے اسکولوں کی ریاضی کی جماعتوں سے کہا کہ کاغذ کے کپوں اور سکوں سے یہ کھیل کھیلیں، اور جماعتوں نے کچھ حیرت کے ساتھ لکھ بھیجا کہ وہ درست تھیں۔

اس پہیلی کا ایک سادہ جواب ہے اور ایک ضدی غلط جواب، اور دونوں کا فرق ایک ہی بات پر آ کر رکتا ہے: میزبان کیا جانتا ہے۔ یہ نمائش آپ کو 3 سے 100 دروازوں کے ساتھ یہ کھیل کھیلنے دیتی ہے، ایک دو سیکنڈ میں دس ہزار کھیل چلانے دیتی ہے، اور میزبان کو تب تک بدلنے دیتی ہے جب تک جواب بھی نہ بدل جائے۔

اسٹیج کیسے استعمال کریں

کسی دروازے کو چننے کے لیے اس پر ٹیپ کریں۔ دائیں طرف کا روبوٹ بازو میزبان کا کردار ادا کرتا ہے: جو بھی دروازہ کھولتا ہے اس پر لیزر سے اشارہ کرتا ہے، اور دروازے گھوم کر کھلتے ہیں اور روشن بوتھ میں ایک بکری دکھائی دیتی ہے۔ جب صرف آپ کا دروازہ اور ایک دوسرا بند رہ جائیں تو دو بٹن آتے ہیں۔ «بدلیں» آپ کا انتخاب دوسرے دروازے پر لے جاتا ہے، «رہیں» اسے وہیں رکھتا ہے۔ آپ جس دروازے پر ختم کرتے ہیں وہ کھلتا ہے، اور بلب کار کے لیے سبز اور بکری کے لیے سرخ چمکتے ہیں۔

اسٹیج کے نیچے تین بٹن سیدھے 3، 10 یا 100 دروازوں پر لے جاتے ہیں۔ «کنٹرول» پینل میں «میزبان» سلائیڈر بدلتا ہے کہ میزبان کیا جانتا ہے اور کیسا برتاؤ کرتا ہے، «امکانات» ہر بند دروازے کے اوپر کار کا امکان دکھاتا ہے، اور «دروازوں کے پیچھے دیکھیں» دروازوں کو شفاف بنا دیتا ہے تاکہ آپ کار کو دیکھ سکیں۔ سلائیڈروں کے نیچے والا حصہ ایک ساتھ کئی کھیل کھیلتا ہے، اس بار آپ کے ہاتھ سے کھیلے گئے کھیلوں کا حساب رکھتا ہے (کچھ محفوظ نہیں ہوتا)، اور سامنے جاری کھیل کا بیز جدول دکھاتا ہے۔

آپ کا پہلا انتخاب تین میں ایک پر ہی کیوں رہتا ہے

جب آپ کوئی دروازہ چنتے ہیں تو تین میں سے ایک کھیل میں کار اس کے پیچھے ہوتی ہے۔ اس پر کسی کو اعتراض نہیں۔ اختلاف دروازہ کھلنے پر شروع ہوتا ہے۔ بہت سے لوگوں کو لگتا ہے کہ اب دو دروازے بچے ہیں، اس لیے ہر ایک کا امکان آدھا ہونا چاہیے۔

دروازوں کے بجائے میزبان پر نظر رکھیں۔ اسے ایسا دروازہ کھولنا ہے جو آپ کا نہ ہو اور جس کے پیچھے کار نہ ہو۔ اگر آپ کے دروازے کے پیچھے کار ہے تو وہ باقی دو میں سے کوئی بھی کھول سکتا ہے۔ اگر آپ کے دروازے کے پیچھے بکری ہے تو اس کے پاس کوئی چارہ ہی نہیں: باقی دروازوں میں سے ایک کے پیچھے کار ہے، اس لیے اسے دوسری بکری والا دروازہ ہی کھولنا پڑے گا۔

اب ان کھیلوں کو دیکھیں جن میں آپ نے بکری چنی۔ ایسا تین میں سے دو بار ہوتا ہے۔ ان میں سے ہر کھیل میں میزبان کی مجبوری والی چال کار کو اکیلے بچے بند دروازے کے پیچھے چھوڑ دیتی ہے، اور بدلنے سے جیت ہوتی ہے۔ تین میں سے اس ایک کھیل میں جس میں آپ نے کار چنی، بدلنے سے ہار ہوتی ہے۔ اس لیے بدلنا تین میں سے دو کھیل جیتتا ہے اور رہنا ایک۔

میزبان کا عمل آپ کے اپنے دروازے کے بارے میں کچھ نیا نہیں بتاتا، کیونکہ اس کے پیچھے جو بھی ہو، وہ بکری والا دروازہ ہی کھولتا۔ مگر جس دروازے کو اس نے چھوڑا، اس کے بارے میں یہ بہت کچھ بتاتا ہے۔ اس نے وہ دروازہ یونہی بند نہیں چھوڑا؛ تین میں سے دو کھیلوں میں وہ ایسا کرنے پر مجبور تھا۔

سو دروازے بات واضح کر دیتے ہیں

بہت سے دروازوں والی صورت بہت سے لوگوں کی مدد کرتی ہے۔ تصور کریں 100 دروازے ہیں۔ آپ ایک چنتے ہیں۔ میزبان، جسے معلوم ہے کہ کار کہاں ہے، باقی میں سے 98 دروازے کھولتا ہے، ہر ایک میں بکری، اور صرف ایک دروازہ بند چھوڑتا ہے۔ کیا آپ کو اپنے دروازے پر رہنا چاہیے یا اس پر جانا چاہیے جس سے وہ احتیاط سے بچا؟

جب آپ نے دروازہ چنا تھا تو اس کا امکان سو میں ایک تھا، اور تب سے اس کے ساتھ کچھ نہیں ہوا۔ باقی 99 دروازوں کے پاس مل کر سو میں 99 امکانات تھے۔ میزبان نے کار کو چھوئے بغیر ان میں سے 98 ہٹا دیے، اس لیے پورا 99/100 اب اسی ایک دروازے پر ہے جو اس نے چھوڑا۔ «100 دروازے» بٹن دبا کر چند کھیل کھیلیں: دیوار قطار در قطار کھلتی ہے، اور اتنی بکریوں کے بیچ کھڑا بچا دروازہ اتنا ہی مشکوک لگتا ہے جتنا اسے لگنا چاہیے۔

عام اصول آسانی سے پڑھا جا سکتا ہے۔ n دروازوں اور ایسے میزبان کے ساتھ جو آپ کے اور ایک دوسرے دروازے کے سوا سب کھول دیتا ہے، رہنا 1/n بار جیتتا ہے اور بدلنا (n − 1)/n بار۔ 3 دروازوں پر یہ 1/3 بمقابلہ 2/3 ہے، 10 دروازوں پر 10% بمقابلہ 90%، اور 100 دروازوں پر 1% بمقابلہ 99%۔ «کنٹرول» پینل کے نیچے کا جدول آپ کے چنے ہوئے میزبان کے لیے دروازوں کی ساتوں تعدادیں دکھاتا ہے۔

ہر صورت گننا

اگر دلائل قائل نہ کریں تو گنیں۔ دروازوں کو 1، 2 اور 3 نمبر دیں اور فرض کریں کہ آپ ہمیشہ دروازہ 1 چنتے ہیں (تشاکل کی وجہ سے باقی انتخاب بھی وہی نتیجہ دیتے ہیں)۔ کار کسی بھی دروازے کے پیچھے ہونے کا امکان برابر ہے، اور جب میزبان کے پاس انتخاب ہو تو وہ دونوں میں سے کسی کو بھی برابر امکان سے چنتا ہے۔

پہلی دو قطاریں وہ ایک تہائی آپس میں بانٹتی ہیں جس میں کار آپ کے دروازے کے پیچھے ہے۔ رہنے سے جیت کا امکان 1/6 + 1/6 = 1/3 ہے، بدلنے سے 1/3 + 1/3 = 2/3۔

جدول سوال کی زیادہ درست صورت کا بھی جواب دیتا ہے، جو قاری نے اصل میں پوچھی تھی: آپ نے میزبان کو دروازہ 3 کھولتے دیکھا ہے۔ اب صرف قطار 2 اور 3 ممکن ہیں۔ قطار 2 کا امکان 1/6 ہے اور قطار 3 کا 1/3، اس لیے آپ جیسے نظر آنے والے کھیلوں میں کار دروازہ 2 کے پیچھے، دروازہ 1 کے مقابلے میں دگنی بار ہوتی ہے۔ مشروط جواب پھر 2/3 ہے۔

پیشکش کے لمحے میں بیز کا اصول

یہی گنتی عام طور پر بیز کے اصول سے لکھی جاتی ہے، جو بتاتا ہے کہ نیا ثبوت آنے پر امکان کیسے بدلنا چاہیے۔ ہر وہ جگہ لکھیں جہاں کار ہو سکتی ہے، ثبوت سے پہلے کا امکان لکھیں (سابقہ امکان)، اسے اس امکان سے ضرب دیں کہ اگر وہ سچ ہو تو بالکل یہی ثبوت نظر آئے (احتمالیت)، اور پھر ہر حاصل ضرب کو ان کے کل مجموعے سے تقسیم کریں۔

آپ نے دروازہ 1 چنا اور میزبان نے دروازہ 3 کھولا:

حاصل ضربوں کا مجموعہ 1/2 ہے، یعنی میزبان کو دروازہ 3 کھولتے دیکھنے کا کل امکان۔ اس سے تقسیم کرنے پر آخری کالم ملتا ہے۔ «کنٹرول» پینل کا جدول اسٹیج پر جاری کھیل کے لیے اسی طرح بنتا ہے، اور دروازوں کی تعداد اور میزبان کے ساتھ بدلتا ہے۔ باخبر میزبان اور n دروازوں کے ساتھ، آپ کے دروازے کا حاصل ضرب 1/(n(n − 1)) ہے اور اس کے چھوڑے دروازے کا 1/n، جس سے 1/n بمقابلہ (n − 1)/n ملتا ہے۔

درمیانی کالم ہی وہ جگہ ہے جہاں میزبان رہتا ہے۔ اس کا اصول بدلیں تو احتمالیتیں بدلتی ہیں، اور ان کے ساتھ جواب بھی۔

میزبان کیا جانتا ہے، یہی جواب طے کرتا ہے

کلاسیکی جواب میزبان کے بارے میں تین باتوں پر ٹکا ہے: وہ ہمیشہ دروازے کھولتا ہے، وہ ہمیشہ بکریاں دکھاتا ہے کیونکہ اسے معلوم ہے کہ کار کہاں ہے، اور وہ ہمیشہ بدلنے کی پیشکش کرتا ہے۔ ان میں سے کوئی بھی ہٹا دیں تو اعداد کھسک جاتے ہیں۔ «میزبان» سلائیڈر کی پانچ ترتیبیں ہیں۔

جانتا ہے (کلاسیکی)۔ اوپر والی صورت: رہیں 1/n، بدلیں (n − 1)/n۔

نہیں جانتا۔ روزنتھل اسے Monty Fall کہتے ہیں: میزبان کیلے کے چھلکے پر پھسلتا ہے اور کوئی بھی دروازہ دھکے سے کھول دیتا ہے، جس کے پیچھے اتفاق سے بکری نکلتی ہے۔ تین دروازوں میں، آپ کے سوا کوئی بھی بے ترتیب دروازہ تین میں ایک بار کار چھپائے ہوتا ہے۔ وہ کھیل بگڑ جاتے ہیں۔ باقی کھیلوں میں آپ کا دروازہ اور دوسرا بند دروازہ برابر ممکن ہیں، اس لیے رہنا اور بدلنا دونوں آدھی بار جیتتے ہیں۔ اسٹیج پر، جن کھیلوں میں بازو کار دکھا دیتا ہے وہ ایک پیغام کے ساتھ ختم ہوتے ہیں اور شمار نہیں ہوتے، اور کئی کھیلوں کا دور بتاتا ہے کہ کتنے رد ہوئے۔ 100 دروازوں اور 98 دروازے بے ترتیب کھولنے والے میزبان کے ساتھ 100 میں سے صرف 2 کھیل بچتے ہیں، مگر ان میں بھی جواب آدھا ہی ہے۔

جب پیشکش کے لمحے میں اسٹیج کے دروازے بالکل ایک جیسے لگتے ہیں تو فرق کیوں؟ کیونکہ ثبوت مختلف ہے۔ 98 بکریاں دکھانے والے باخبر میزبان نے وہ کیا جو وہ ہمیشہ کر سکتا تھا۔ اتفاق سے 98 بکریاں دکھانے والے اندھے میزبان نے کچھ بہت بعید از امکان کیا، جب تک کہ کار ان دو دروازوں میں سے کسی کے پیچھے نہ ہو جنہیں اس نے چھوا نہیں۔ وہ دونوں دروازے ساتھ ساتھ اور برابر فائدہ پاتے ہیں۔ بیز جدول میں اندھے میزبان کی چال کی احتمالیت وہی رہتی ہے، 1/(n − 1)، چاہے کار آپ کے دروازے کے پیچھے ہو یا دوسرے کے، اس لیے مابعد امکانات برابر نکلتے ہیں۔

پسندیدہ دروازہ۔ روزنتھل کا Monty Crawl ایسا میزبان ہے جو جانتا ہے کہ کار کہاں ہے، مگر انتخاب ہو تو ہمیشہ سب سے چھوٹے نمبر والا بکری کا دروازہ کھولتا ہے، کیونکہ وہ تھکا ہوا ہے اور وہی سب سے قریب ہے۔ اسٹیج پر یہ ایک سلائیڈر ہے: یہ امکان کہ میزبان، چننے کی آزادی ہو تو، سب سے چھوٹے نمبر والا دوسرا دروازہ بند چھوڑ دے۔ سب کھیلوں کا اوسط لیں تو کچھ نہیں بدلتا، اور بدلنا اب بھی 2/3 بار جیتتا ہے۔ مگر اب اس کا چھوڑا دروازہ معلومات لیے ہوتا ہے۔ تین دروازوں اور ہمیشہ چھوٹا دروازہ بند چھوڑنے والے میزبان کے ساتھ، اگر آپ اسے بڑا دروازہ بند چھوڑتے دیکھیں تو اس کا مطلب ہے کہ اس کے پاس چارہ نہیں تھا: کار اسی کے پیچھے ہے، اور بدلنا ہر بار جیتتا ہے۔ اسے چھوٹا دروازہ بند چھوڑتے دیکھنے کا مطلب صرف 1/2 ہے۔ کسی بھی ترجیح p کے لیے دونوں جواب 1/(1 + p) اور 1/(2 − p) ہیں، اور بدلنا کبھی رہنے سے برا نہیں ہوتا۔

صرف جیتنے والوں کو پیشکش۔ اگر میزبان بدلنے کی پیشکش صرف تب کرے جب آپ کا پہلا انتخاب کار ہو، تو پیشکش بری خبر ہے۔ ہر پیشکش پر بدلنا کبھی نہیں جیتتا۔

صرف ہارنے والوں کو پیشکش۔ الٹ: وہ صرف تب پیشکش کرتا ہے جب آپ نے بکری چنی ہو، اس لیے پیشکش پر بدلنا ہر بار جیتتا ہے۔ یہ دونوں دکھاتے ہیں کہ میزبان جس اصول پر چلتا ہے وہ اسٹیج پر نظر آنے والی کسی بھی چیز سے زیادہ اہم ہے۔

دس ہزار کھیل

«چلائیں» بٹن چند سیکنڈ میں 100، 1,000 یا 10,000 کھیل کھیلتے ہیں۔ ہر کھیل میں کار رکھی جاتی ہے، پہلا انتخاب بے ترتیب ہوتا ہے اور میزبان اپنی چال چلتا ہے، پھر اسی تقسیم پر تین کھلاڑیوں کا حساب ہوتا ہے: ایک ہمیشہ بدلتا ہے، ایک ہمیشہ رہتا ہے، اور ایک سکہ اچھالتا ہے۔ پٹیاں ہر کھلاڑی کے جیتے حصے کو دکھاتی ہیں، اور باریک نشان درست قدر پر ہوتا ہے۔ نیچے کا گراف کھیل بڑھنے کے ساتھ جیت کی شرح دکھاتا ہے، کھیلوں کے لوگارتھمی پیمانے پر۔

10 کھیلوں کے بعد لکیریں کہیں بھی ہو سکتی ہیں۔ یہ سمولیشن کی خرابی نہیں؛ اتنے کم کھیلوں میں صرف اتفاق ہی جیت کے حصے کو 15 فیصدی پوائنٹ یا اس سے زیادہ کھسکا دیتا ہے۔ N کھیلوں پر ناپی گئی جیت کی شرح p کا عام پھیلاؤ p(1 − p)/N کا جذر المربع ہوتا ہے۔ p = 2/3 کے لیے یہ 100 کھیلوں پر تقریباً 4.7 فیصدی پوائنٹ، 1,000 پر 1.5 اور 10,000 پر 0.47 ہے۔ اس لیے دس ہزار کھیلوں کے بعد بدلنے کی لکیر تقریباً ہر بار 66.7% سے ایک فیصدی پوائنٹ کے اندر رہتی ہے۔

کلاسیکی میزبان کے ساتھ سکہ اچھالنے والا ہمیشہ آدھے کے آس پاس پہنچتا ہے۔ آدھی بار وہ بدلتا ہے اور 2/3 جیتتا ہے، آدھی بار رہتا ہے اور 1/3 جیتتا ہے۔ یہی وہ عدد ہے جو وجدان پورے کھیل کے لیے دیتا ہے، اور یہ ایک دوسرے سوال کا درست جواب ہے: اگر آپ دونوں بند دروازوں کو برابر سمجھیں تو آپ کتنی بار جیتیں گے۔

3، 4، 5 اور 10 دروازوں اور ہر میزبان کے لیے کار، انتخاب اور میزبان کی چال کی ہر ترتیب گننے سے درست امکانات ملتے ہیں۔ دروازوں کی ساتوں تعدادوں اور پانچوں میزبانوں میں سے ہر ایک کے لیے 100,000 شمار شدہ کھیل کھیلنے پر ہر حکمت عملی درست قدر کے آدھے فیصدی پوائنٹ کے اندر آتی ہے، تمام 292 صورتوں میں۔ پسندیدہ دروازے والے میزبان کا بیز جدول بھی سمولیشن کے کھیلوں سے مل جاتا ہے، مثلاً جب میزبان p = 0.8 سے چھوٹا دروازہ پسند کرتا ہے اور بڑا بند چھوڑتا ہے تو 40,014 کھیلوں میں 83.1%، جبکہ درست قدر 5/6 ہے۔

وجدان آدھا کیوں کہتا ہے

ماہرین نفسیات دہائیوں سے اس پہیلی کا مطالعہ کر رہے ہیں، کیونکہ بہت سے محتاط لوگ اسے غلط سمجھتے ہیں اور سمجھائے جانے کے بعد بھی غلطی پر قائم رہتے ہیں۔ زیادہ تر لوگ اپنے پہلے اندازے پر رہنا چنتے ہیں، حالانکہ بدلنے سے جیتنے کا امکان دگنا ہو جاتا ہے۔

کئی وضاحتیں پرکھی گئی ہیں۔ کراؤس اور وانگ (2003) نے پایا کہ جب مسئلہ فطری تعدد میں سنایا گیا، یعنی امکانات بتانے کے بجائے کھیل گنے گئے، اور میزبان کے نقطہ نظر سے سنایا گیا، تو لوگوں نے اسے کہیں زیادہ بار حل کیا۔ برنز اور ویتھ (2004) کا کہنا تھا کہ مشکل علت و معلول کی ساخت میں ہے۔ کار کہاں ہے اور آپ نے کون سا دروازہ چنا، یہ دونوں آزاد ہیں، مگر دونوں مل کر طے کرتے ہیں کہ میزبان کون سا دروازہ کھولے گا، اس لیے اس کا انتخاب جان لینے سے یہ دونوں جڑ جاتے ہیں، جس کی لوگ توقع نہیں کرتے۔ جب کھیل کو ایک مقابلے کے طور پر سنایا گیا، جس سے یہ وجوہ دیکھنا آسان ہو جاتا ہے، تو زیادہ لوگوں نے درست جواب دیا۔

ہربرانسن اور شروڈر (2010) نے کبوتروں پر تجربہ کیا۔ تجربہ گاہ کے خانے میں تین چونچ والے بٹن دروازوں کا کام کرتے تھے اور انعام دانہ تھا۔ بہت سی کوششوں کے دوران کبوتروں نے بدلنے کی شرح کو تب تک ڈھالا جب تک وہ بہترین حکمت عملی کے قریب نہیں پہنچ گئے؛ وہی مشق پانے والے انسانی رضاکار نہیں پہنچے۔ پرندوں کے پاس امکان کا کوئی نظریہ نہیں تھا، صرف اس کا تجربہ کہ کس چیز سے فائدہ ہوا، اور یہی «چلائیں» بٹن آپ کو دیتے ہیں۔

مختصر تاریخ

یہ ساخت گیم شو سے پرانی ہے۔ جوزف برٹرینڈ کی 1889 کی امکانیات کی درسی کتاب میں ڈبوں کا تضاد تھا: تین ڈبوں میں دو سونے کے سکے، دو چاندی کے سکے، اور ایک ایک سکہ ہیں۔ آپ کسی بے ترتیب ڈبے سے سونے کا سکہ نکالتے ہیں۔ اس ڈبے کا دوسرا سکہ سونے کا ہونے کا امکان 2/3 ہے، 1/2 نہیں، کیونکہ دو سونے والا ڈبہ ملے جلے ڈبے کے مقابلے میں سونا دینے کا دگنا امکان رکھتا ہے۔ 1959 میں Scientific American میں مارٹن گارڈنر کے کالم Mathematical Games نے تین قیدیوں کا مسئلہ پیش کیا، جن میں سے ایک کو معافی ملنی ہے۔ جو قیدی جان لیتا ہے کہ کسی دوسرے کو پھانسی ہوگی، اس کا اپنا امکان 1/3 ہی رہتا ہے، جبکہ تیسرے قیدی کا 2/3 ہو جاتا ہے۔ یہ بکریوں کی جگہ قیدیوں والے تین دروازے ہی ہیں۔

گیم شو والی صورت 1975 میں آئی، حیاتیاتی شماریات دان اسٹیو سیلون کے The American Statistician کے مدیر کے نام ایک خط میں، جنہوں نے اس کا نام ایک حقیقی امریکی ٹی وی گیم شو کے میزبان مونٹی ہال کے نام پر رکھا۔ 1990 میں Parade کے کالم نے اسے مشہور کر دیا۔

بحث جماعتوں کے ساتھ ختم نہیں ہوئی۔ کچھ شماریات دانوں نے نشاندہی کی کہ چھپا ہوا سوال یہ نہیں کہتا کہ میزبان ہمیشہ دروازہ کھولتا ہے یا نہیں، یا انتخاب ہونے پر وہ کیسے چنتا ہے، اور یہ کہ غیر مشروط جواب (بدلنا سب کھیلوں کا 2/3 جیتتا ہے) اور مشروط جواب (بدلنا ان کھیلوں کا 2/3 جیتتا ہے جن میں اس نے دروازہ 3 کھولا) کے لیے الگ الگ دلائل چاہییں۔ لائیڈن یونیورسٹی کے رچرڈ گل نے لکھا ہے کہ اس پہیلی کو کئی مختلف ریاضیاتی مسائل کے طور پر پڑھا جا سکتا ہے، اور یہ ایک وجہ ہے کہ اس پر تحقیقی مقالے آتے رہے ہیں۔ اسٹیج «میزبان» سلائیڈر سے ان قراءتوں کو الگ کرتا ہے۔

ماڈل کیا سادہ کرتا ہے

معیاری مسئلے کی طرح کار بے ترتیب رکھی جاتی ہے اور میزبان کے بے ترتیب انتخاب منصفانہ سکہ اچھال ہوتے ہیں۔ حقیقی میزبان کار وہاں رکھ سکتا ہے جہاں مقابلہ کرنے والے کم ہی دیکھتے ہیں، یا پیشکش صرف تب کرے جب اسے فائدہ ہو، اور تب کوئی مقررہ جواب لاگو نہیں ہوتا۔

اینیمیشن کے لیے روبوٹ بازو ایک کے بعد ایک دروازے کھولتا ہے۔ ریاضی میں ترتیب کی کوئی اہمیت نہیں؛ صرف یہ گنا جاتا ہے کہ کون سا دروازہ بند چھوڑا گیا۔ اندھے میزبان کے ساتھ بازو بے ترتیب ترتیب میں دروازے کھولتا ہے، اس لیے کار بیچ میں بھی نظر آ سکتی ہے۔

کئی کھیل چلانے والا حصہ گھڑی سے بیج لینے والا ایک تیز نیم بے ترتیب جنریٹر استعمال کرتا ہے، اس لیے دو دور کبھی بالکل ایک جیسے اعداد نہیں دیتے۔ تینوں کھلاڑیوں کا حساب ایک ہی تقسیم پر ہوتا ہے، اسی لیے کلاسیکی میزبان کے ساتھ بدلنے اور رہنے کی پٹیاں ہمیشہ مل کر 100% بنتی ہیں: ہر شمار شدہ کھیل میں دو بند دروازوں میں سے ٹھیک ایک کے پیچھے کار ہوتی ہے۔

آپ کے اپنے کھیلوں کا حساب صرف کھلے صفحے میں رہتا ہے۔ صفحہ دوبارہ لوڈ کرنے پر وہ مٹ جاتا ہے۔

صرف دروازے گننا نہیں، شواہد کا حساب

فرض کریں C1 کا مطلب ہے کہ کار دروازہ 1 کے پیچھے ہے، اور H3 کا مطلب ہے کہ میزبان دروازہ 3 کھول کر بدلنے کی پیشکش کرتا ہے۔ فرض کریں آپ نے دروازہ 1 چنا، کار یکساں امکان سے رکھی گئی، میزبان ہمیشہ کار سے بچتا ہے، اور جب باقی دونوں دروازوں کے پیچھے بکریاں ہوں تو منصفانہ طور پر چنتا ہے۔ بیز کا اصول یہ ہے:

P(C1 | H3) = P(H3 | C1) × P(C1) / P(H3)

مخرج صرف یہ امکان نہیں کہ دروازہ 3 کے پیچھے بکری ہے۔ یہ بیان کردہ اصولوں کے تحت میزبان کے ٹھیک اسی عمل کا امکان ہے۔

آپ کے دروازے کے لیے شمار کنندہ (1/2) × (1/3) = 1/6 ہے۔ دروازہ 2 کے لیے یہ 1 × (1/3) = 1/3 ہے۔ دروازہ 3 صفر کا اضافہ کرتا ہے۔ اس لیے P(H3) = 1/6 + 1/3 = 1/2 ہے۔ اس سے P(C1 | H3) = (1/6)/(1/2) = 1/3 نکلتا ہے۔ اسی طرح P(C2 | H3) = (1/3)/(1/2) = 2/3 ہے۔ برکلے کی وضاحت اس فرق پر زور دیتی ہے کہ کسی دروازے کے پیچھے انعام نہیں، یہ جاننا ایک بات ہے، اور یہ جاننا دوسری بات کہ میزبان نے اسے یہ دکھانے کے لیے چنا کہ انعام نہیں ہے۔ الواراڈو کی بحث بھی کار، پہلے انتخاب اور کھولنے کے عمل کے باہمی انحصار کو آگے بڑھاتی ہے۔

ایک مفید جانچ یہ ہے کہ ایک ہی پہلے انتخاب والے 600 آزاد کھیلوں کا تصور کریں۔ تقریباً 200 میں کار ہر دروازے کے پیچھے ہوتی ہے۔ پہلے 200 میں سے تقریباً 100 میں دروازہ 3 کھلتا ہے۔ دوسرے 200 میں سب 200 میں کھلتا ہے۔ آخری 200 میں ایک میں بھی نہیں۔ اب تقریباً 300 مطابق مشاہدات بچتے ہیں، جن میں 100 میں کار آپ کے دروازے کے پیچھے اور 200 میں دوسرے دروازے کے پیچھے ہے۔ یہ متوقع گنتیاں ہیں، کسی خاص 600 کھیلوں کے گروہ کی ضمانت نہیں۔

چھوڑے گئے کھیل کیوں اہم ہیں

اب فرض کریں کہ میزبان بغیر جانے کوئی نہ چنا ہوا دروازہ چنتا ہے۔ پہلا انتخاب دروازہ 1 پر مقرر رکھیں اور صرف ان مواقع پر غور کریں جب وہ دروازہ 3 کھول کر بکری دکھاتا ہے۔ اگر کار دروازہ 1 کے پیچھے ہے تو اس مشاہدے کا امکان 1/2 ہے۔ اگر کار دروازہ 2 کے پیچھے ہے تو بھی 1/2 ہے۔ بچ جانے والے دونوں شمار کنندہ 1/6 ہیں، ان کا مجموعہ 1/3 ہے، اور ہر مابعد امکان 1/2 ہے۔ وہی نظر آنے والی بکری مختلف حساب دیتی ہے، کیونکہ اسے چننے والا عمل مختلف تھا۔

کھلے دروازے کا نام لیے بغیر بھی گنا جا سکتا ہے۔ 600 کھیلوں میں تقریباً 200 میں آپ کا دروازہ شروع سے درست ہوتا ہے۔ یہ سب 200 اندھے کھولنے کے بعد بچے رہتے ہیں۔ تقریباً 400 میں آپ کا دروازہ غلط ہوتا ہے۔ ان میں سے صرف تقریباً 200 بچتے ہیں، کیونکہ میزبان کے کار دکھا دینے کا امکان 1/2 ہے۔ یوں تقریباً 400 کھیل گنے جاتے ہیں: ٹھہرنا 200 جیتتا ہے اور بدلنا 200 جیتتا ہے۔ بدلنے کی جیتوں کو تمام 600 کوششوں پر تقسیم کریں تو 1/3 آئے گا۔ وہ عدد کسی اور سوال کا جواب ہے، جس میں بگڑے ہوئے کھیل ناکامی شمار ہوتے ہیں۔ مخرج ہمیشہ بتائیں۔

100 دروازوں میں آپ کا ابتدائی انتخاب 1/100 کوششوں میں درست ہوتا ہے، اور وہ کوششیں ہمیشہ بچی رہتی ہیں۔ اگر وہ غلط ہو تو اندھے میزبان کو کار کو واحد نہ چنا ہوا بند دروازہ چھوڑنا ہوگا۔ اس کا امکان 1/99 ہے۔ غلط پہلے انتخاب کے ساتھ بچنے والا حصہ (99/100) × (1/99) = 1/100 ہے۔ یوں دونوں گروہ برابر حصہ ڈالتے ہیں۔ کوششوں کا 2/100 بچتا ہے، اور بچنے والوں میں سے 1/2 میں بدلنا جیتتا ہے۔ یہ جاننے والے میزبان کا 99/100 نہیں ہے۔

سمیولیشن کی غلطی کا مطلب

آزاد کلاسیکی کھیلوں میں بدلنے سے جیتوں کی تعداد p = 2/3 والی دو رقمی تقسیم کی پیروی کرتی ہے۔ مشاہدہ شدہ تناسب کی معیاری غلطی یہ ہے:

sqrt(p × (1 − p) / N)

N = 1000 پر یہ 0.0149 ہے، یعنی 1.49 فیصدی نکات۔ تقریباً 95% نمونہ جاتی حد متوقع تناسب جمع یا منفی 1.96 معیاری غلطی ہے۔ یعنی تقریباً 66.67% ± 2.92 فیصدی نکات، یا 63.75% سے 69.59%۔ ہزار کھیلوں کے تقریباً تین فیصدی نکات کے فرق کا یہی مطلب ہے، یہ وعدہ نہیں کہ ہر بار چلانا اس کے اندر ہی رہے گا۔

سین ہوزے اسٹیٹ کے نوٹس تناسب کے لیے اس عمومی تخمین کی وضاحت کرتے ہیں۔ N کو 4 سے ضرب دینے سے معیاری غلطی آدھی رہ جاتی ہے۔ اسے 100 سے ضرب دینے سے غلطی تقریباً دس گنا چھوٹی ہو جاتی ہے۔ اس لیے 10,000 کھیلوں کا چلانا 1000 سے زیادہ مستحکم ہے، مگر دس گنا زیادہ درست نہیں۔ نتیجہ یہ بھی فرض کرتا ہے کہ کھیل آزاد ہیں اور درست طور پر بنے ہیں۔ پروگرامنگ کی غلطی دہرانے سے وہ ختم نہیں ہوتی۔

اس اسٹیج پر دونوں حکمت عملیاں ایک ہی تقسیم استعمال کرتی ہیں۔ ان کے نتائج جوڑی دار ہیں، دو آزاد نمونے نہیں۔ جب بدلنا جیتتا ہے تو ٹھہرنا ہارتا ہے۔ اندھے میزبان کے ساتھ N کے لیے تمام کوششوں کی جگہ شمار شدہ کھیل لیں۔ 100 دروازوں میں 1000 اندھے کھولنے کی کوششوں سے اوسطاً صرف تقریباً 20 شمار شدہ کھیل ملتے ہیں۔ یہ اوپر کے تین فیصدی نکات والے بیان کے لیے بہت کم ہیں۔

اسکرین پر آزمانے کے لیے ایک تجربہ

3 دروازے اور «جانتا ہے (کلاسیکی)» چنیں، پھر «1000 چلائیں» دبانے سے پہلے اندازہ لگائیں۔ «ہمیشہ بدلیں» کا موازنہ صرف پچھلی بار کے چلانے سے نہیں، درست نشان سے بھی کریں۔ صرف میزبان کو «نہیں جانتا» پر بدلیں اور دوبارہ چلائیں۔ رد شدہ کھیلوں کی تعداد کو شمار شدہ کل کے ساتھ پڑھیں۔ آخر میں 100 دروازے چنیں۔ کلاسیکی میزبان کے ساتھ بدلنے کی شرح 99% کے قریب پہنچنی چاہیے۔ اندھا میزبان کوششوں کا صرف ایک چھوٹا حصہ رکھتا ہے۔ یہ موازنے میزبان کے اصول کو الگ کرتے ہیں، بجائے اس کے کہ کئی مفروضے بغیر توجہ کے ایک ساتھ بدل جائیں۔

کبوتروں کی تحقیق اور بعد کے نفسیاتی جائزے یہ فرق کرتے ہیں کہ کون سا عمل فائدہ مند ہے، یہ سیکھنا ایک بات ہے اور یہ سمجھانا کہ وہ کیوں فائدہ مند ہے، دوسری بات۔ کوئی زائر ردعمل سے «بدلیں» دبانا سیکھ سکتا ہے، پھر بھی امکانیت والے کالم کو دوبارہ نہیں بنا سکتا۔ تجربے کے بعد سمجھائیں کہ اندھا میزبان درست پہلے انتخاب والے کھیلوں سے زیادہ غلط پہلے انتخاب والے کھیل کیوں چھوڑ دیتا ہے۔ قسمت کی جیتوں کی لڑی نہیں، یہی وضاحت سمجھ کی کسوٹی ہے۔ لی کا ڈیٹا تجزیے سے موازنہ بھی یہی بتاتا ہے: آخری اسکرین پر دو امکانات دکھائی دیں تب بھی ترتیب اور انتخاب کا طریقہ اہم ہے۔

پہیلیوں کے اسٹیج: دوسری میزوں پر وہی سوال

«پہیلیاں» بٹن 17 اسٹیج کھولتا ہے۔ آٹھ دروازوں پر رہتے ہیں اور صرف میزبان کے اصول یا دروازوں کی تعداد بدلتے ہیں؛ نو گول، کپڑے سے ڈھکی میز پر جاتے ہیں جہاں ڈبے، سکے، لوگ یا لفافے دروازوں کی جگہ لیتے ہیں۔ ہر اسٹیج پر «ایک بار کھیلیں» اور 100,000 کھیل چلانے کا بٹن ہے (دو پہیلیوں میں شرط کم پوری ہوتی ہے، اس لیے 1,000,000)۔ بائیں قرأت درست قدر کو تجرباتی تناسب کے ساتھ دکھاتی ہے۔

مختلف اصول والے میزبان

مونٹی فال پھسل کر بے ترتیب دروازہ کھولتا ہے۔ اتفاقاً بکری نکلے تو رہنا اور بدلنا دونوں 1/2 سے جیتتے ہیں: کار دکھانے والے کھیل خارج ہوتے ہیں، اور یہی وہ کھیل ہیں جن میں بدلنا جیتتا۔ مونٹی کرال اختیار ہونے پر باقی دروازوں میں سب سے چھوٹا نمبر بند چھوڑتا ہے۔ آپ 1 چنیں اور وہ 2 کھولے تو اس کے پاس اختیار نہیں تھا: کار 3 کے پیچھے ہے اور بدلنا ہمیشہ جیتتا ہے۔ وہ 3 کھولے تو بدلنے کی جیت صرف 1/2 ہے۔ دونوں کو ملا کر ہمیشہ بدلنا اب بھی 2/3 جیتتا ہے۔ Grinstead اور Snell درمیانی صورت بیان کرتے ہیں: اختیار ہونے پر 4 میں سے 3 بار بڑا نمبر کھولنے والا میزبان، 3 کھولنے کے بعد بدلنے کو 4/7 امکان دیتا ہے۔

جہنمی مونٹی اور فرشتہ مونٹی طے کرتے ہیں کہ پیشکش کرنی بھی ہے یا نہیں۔ مونٹی ہال نے 1991 میں صحافی کو بتایا کہ اصل شو میں وہ اس کا پابند نہیں تھا۔ صرف کار چننے پر پیشکش، بدلنے کو یقینی ہار بناتی ہے؛ صرف بکری چننے پر پیشکش اسے یقینی جیت بناتی ہے۔ پیشکش خود شہادت ہے۔

بہت سے دروازوں میں صرف ایک کھلا

«دوسرے بند دروازے» سلائیڈر بتاتا ہے کہ آپ کے علاوہ کتنے بند رہیں۔ 5 میں سے ایک بکری والا کھلے تو باقی تین بند رہتے ہیں۔ رہنے کی جیت 1/5 ہے۔ تین میں سے بے ترتیب ایک پر بدلنے کی جیت (5 − 1) / (5 × 3) = 4/15، تقریباً 26.7% ہے۔ عمومی طور پر n میں سے k کھلیں تو بدلنے کی جیت (n − 1) / (n (n − 1 − k)) ہے، ہمیشہ 1/n سے زیادہ۔ k = n − 2 پر معروف (n − 1)/n ملتا ہے: تین کے لیے 2/3 اور سو کے لیے 99/100۔

دو کھلاڑی

«دو کھلاڑی» انہی دروازوں پر باری باری کھیلنے والوں کا الگ اسکور رکھتا ہے۔ ایک ہمیشہ رہے اور دوسرا ہمیشہ بدلے تو 30 کھیل فی کس کے بعد متوقع اسکور 10 اور 20 کاریں ہیں۔ مختصر مقابلہ الٹا بھی نکل سکتا ہے؛ 10 کاروں کے فرق میں ہر طرف تقریباً 3.7 کاروں کا پھیلاؤ ہے۔

ڈبے، قیدی اور بچے

برٹرانڈ کے تین ڈبوں میں دو سونے کے سکے، دو چاندی کے، اور ایک ایک ہیں۔ بے ترتیب سکہ نکالا اور سونا دیکھا: تینوں سنہری سکوں کے نکلنے کا امکان برابر تھا، اور دو مکمل سنہری ڈبے میں ہیں۔ لہٰذا دوسرا سکہ سونے کا ہونے کا امکان 2/3 ہے، 1/2 نہیں۔ تین قیدی، دروازوں کا مسئلہ دوسرے لباس میں ہے۔ B کی سزا کا نام لینے والا محافظ میزبان بنتا ہے؛ A کا 1/3 رہتا ہے اور C کا 2/3 ہو جاتا ہے۔

بچوں کی دو پہیلیاں الفاظ کی اہمیت دکھاتی ہیں۔ دو بچوں میں کم از کم ایک لڑکا ہو تو دونوں لڑکے ہونے کا امکان 1/3 ہے: چار یکساں ممکن خاندانوں (لڑکا لڑکا، لڑکا لڑکی، لڑکی لڑکا، لڑکی لڑکی) میں آخری خارج، باقی تین میں ایک کے دونوں لڑکے۔ بڑا بچہ لڑکا بتایا جائے تو 1/2 ہے۔ بیٹا منگل کو پیدا ہوا ہو تو 13/27 ہے: جنس اور دن کے 196 برابر ممکن جوڑوں میں 27 میں منگل کا لڑکا ہے، اور ان میں 13 کے دونوں لڑکے ہیں۔

سالگرہیں

23 لوگوں میں دو کی سالگرہ ایک ہونے کا امکان 50.7%، 22 میں 47.6%، اور 57 میں 99.0% ہے۔ اہم بات جوڑوں کی گنتی ہے: 23 لوگ 253 جوڑے بناتے ہیں، ہر جوڑے کے ملنے کا امکان 365 میں 1 ہے۔ «لوگ» سلائیڈر 2 سے 70 تک ہے؛ ہر کھیل کے بعد یکساں سالگرہ والے سنہری روشن ہوتے ہیں۔

مثبت ٹیسٹ

ٹیسٹ کی میز 1,000 لوگ دکھاتی ہے۔ فی 1,000 ایک 1 بیمار اور صحت مندوں میں 5% غلط مثبت ہوں تو تقریباً 50 صحت مند، ایک بیمار کے ساتھ مثبت نکلتے ہیں۔ مثبت کے بیمار ہونے کا امکان 51 میں 1، تقریباً 2.0% ہے۔ 2014 کے سروے میں 61 ڈاکٹروں اور طلبہ میں 14 نے یہ جواب دیا۔ دوسرا آزاد مثبت اسے تقریباً 28.6% تک بڑھاتا ہے، پھر بھی آدھے سے کم۔ دونوں سلائیڈر بیماروں کا تناسب اور غلط مثبت شرح بدلتے ہیں۔

بے یادداشت سکے

مسلسل 5 چت کے بعد اگلے اچھال پر چت کا امکان 1/2 ہے۔ اسٹیج پر 32 میں صرف 1 کوشش پانچ چت سے شروع ہوتی ہے، اسی لیے دس لاکھ کوششیں چلتی ہیں۔ سلسلے کی جانچ زیادہ باریک ہے۔ 4 سکے اچھالیں، چت کے بعد آنے والے اچھالوں میں چت کا تناسب لکھیں۔ تمام 16 ترتیبوں میں، جہاں چت اتنا پہلے ہو کہ گنتی ممکن ہو، اوسط 17/42، تقریباً 40.5% ہے، 50% نہیں۔ Miller اور Sanjurjo نے 2018 میں دکھایا کہ باسکٹ بال کے «گرم ہاتھ» کی 1985 کی جانچ یہی اوسط لیتی تھی، اس لیے حقیقی مسلسل کامیابی بھی غائب لگ سکتی تھی۔

دو لفافے

اسٹیج پر چھوٹی رقم 10، 20 اور یوں 100 تک ہے، دوسرے میں دگنی۔ بدلنے سے آدھے کھیلوں میں زیادہ ملتا ہے اور رقم کی اوسط تبدیلی 0 ہے۔ یہ دلیل کہ دوسرے لفافے کی اوسط قدر آپ کے 1.25 گنا ہے، آپ کی رقم دونوں حالتوں میں ایک ہی مقررہ مقدار فرض کرتی ہے، جو ممکن نہیں۔

امکانات کا درخت

«امکانات کا درخت» سوئچ درخت اسٹیج پر لاتا ہے؛ «کنٹرول» پینل میں وہ ہمیشہ ہے۔ نقطے کی ہر شاخ کار (یا سکے یا بیماری) کی ممکنہ جگہ ہے، موٹائی اس کے امکان کے مطابق۔ یہ دیکھی اور نہ دیکھی شہادت میں بٹتی ہے۔ نہ ہونے والی شاخیں کاٹ کر باقی کا مجموعہ 1 کرنا بیز کا اصول ہے۔ MIT کا کمپیوٹر سائنس کی ریاضی کا کورس یہی چار قدمی درخت سکھاتا ہے۔ Andrew Vazsonyi نے 1995 میں مسئلہ Paul Erdős کو دکھایا تو انہوں نے 100,000 کمپیوٹر کھیل دیکھ کر جواب مانا، مگر پھر بھی وجہ مانگی؛ درخت وہ وجہ ہے۔