蒙提霍尔问题：为什么换门更容易赢

周日杂志上的一个问题

1990 年 9 月 9 日，一位读者在《Parade》杂志的「Ask Marilyn」专栏里向玛丽莲·沃斯·莎凡特提了一个关于电视游戏节目的问题。你面前有三扇门。一扇门后是汽车，另外两扇门后是山羊。你选了一扇，比如 1 号。主持人知道每扇门后有什么，他打开另一扇，比如 3 号，露出一只山羊。然后他问你：要不要换成 2 号门？换门对你有利吗？

她的回答是：有利，换门每三局能赢两局。随后寄来了几千封信，其中不少职业数学家坚持说她错了。多伦多大学的杰弗里·罗森塔尔收集过他们用的一些说法，比如「你完全错了」和「你才是那只山羊」。争论最后在教室里结束。她请学校的数学课用纸杯和硬币来玩这个游戏，学生们带着几分惊讶回信说：她是对的。

这道题有一个简单的答案，也有一个顽固的错误答案，两者的差别只在一个细节：主持人知道什么。这件展品让你用 3 到 100 扇门玩这个游戏，在一两秒内跑完一万局，还可以换一位主持人，直到答案也跟着变。

怎样使用舞台

点一扇门就选中它。右边的机械臂扮演主持人：它用激光指向要打开的每一扇门，门向外转开，亮灯的展台里站着一只山羊。当只剩你的门和另一扇门还关着时，会出现两个按钮。「换」把你的选择移到另一扇门，「保留」则不变。你最后选定的门打开，灯泡闪绿色表示汽车，闪红色表示山羊。

舞台下方的三个按钮直接切换到 3、10 或 100 扇门。在「操作」面板里，「主持人」滑块改变主持人知道什么、怎样行动；「概率」在每扇关着的门上方显示汽车在那里的概率；「看到门后」让门变透明，你可以看着汽车在哪。滑块下面的区域可以一次玩很多局，记录你这次访问中亲手玩的局（什么都不保存），并显示眼前这一局的贝叶斯表。

为什么你第一次选的门始终是三分之一

你选一扇门时，每三局里有一局汽车在它后面。这一点没人有异议。分歧从开门那一刻开始。很多人觉得只剩两扇门，所以每扇现在都该是一半。

别盯着门，盯着主持人。他必须打开一扇不是你选的、后面也没有汽车的门。如果你的门后是汽车，另外两扇他都可以开。如果你的门后是山羊，他就完全没得选：另外两扇里有一扇是汽车，所以他只能打开另一只山羊所在的门。

现在看你选中山羊的那些局。这种情况每三局发生两次。在每一局里，主持人被迫的动作都把汽车留在唯一另一扇关着的门后，换门就赢。在三局里你选中汽车的那一局，换门就输。所以换门三局赢两局，不换赢一局。

主持人的动作对你自己的门没有提供任何新信息，因为不管门后是什么，他都会去开一扇山羊门。可是关于他跳过的那扇门，这个动作说明了很多。他不是随便把那扇门留下的；每三局里有两局，他是被迫留下它的。

一百扇门让答案一目了然

门多的版本能帮很多人想通。设想有 100 扇门。你选一扇。知道汽车在哪的主持人打开另外 98 扇，每一扇后面都是山羊，只留下一扇关着。你该守着自己的门，还是换到他小心避开的那一扇？

你选门时，你的门只有百分之一的机会，之后它没有发生任何事。另外 99 扇门加起来有百分之九十九的机会。主持人去掉了其中 98 扇，却始终没有碰到汽车，所以整整 99/100 都落到了他留下的那扇门上。按下「100 扇门」按钮玩几局：门墙一排排打开，在一大片山羊中间留下来的那扇门，看起来就像它应有的那样可疑。

一般规律很容易读出来。有 n 扇门、主持人打开除你的门和另一扇以外的所有门时，不换赢的概率是 1/n，换门是 (n − 1)/n。3 扇门是 1/3 对 2/3，10 扇门是 10% 对 90%，100 扇门是 1% 对 99%。「操作」面板最下方的表格列出了你所选主持人下全部七种门数的结果。

把每种情况数一遍

道理说服不了你，那就数。把门编为 1、2、3 号，假设你总是选 1 号门（由对称性，选别的门结果一样）。汽车在每扇门后的可能性相等；主持人能选时，两扇门各以相同概率被选。

前两行分享汽车在你门后的那三分之一。不换赢的概率是 1/6 + 1/6 = 1/3，换门赢的概率是 1/3 + 1/3 = 2/3。

这张表也回答了问题更精确的版本，也就是那位读者真正问的：你已经看到主持人打开了 3 号门。现在只可能是第 2 行或第 3 行。第 2 行的概率是 1/6，第 3 行是 1/3，所以在和你这局看起来一样的那些局里，汽车在 2 号门后的次数是在 1 号门后的两倍。条件概率的答案还是 2/3。

换门机会出现时的贝叶斯法则

上面的计数通常用贝叶斯法则来写，它说明有了新证据时概率该怎样变化。列出汽车可能在的每个位置，写下证据出现之前的概率（先验），乘以「假如它为真、恰好看到这条证据」的概率（似然），再把每个乘积除以它们的总和。

你选了 1 号门，主持人打开了 3 号门：

乘积加起来是 1/2，也就是看到主持人打开 3 号门的总概率。除以它就得到最后一列。「操作」面板里的表格按同样的方法为舞台上这一局计算，并随门数和主持人改变。有 n 扇门、主持人知情时，你的门的乘积是 1/(n(n − 1))，他留下的门是 1/n，于是得到 1/n 对 (n − 1)/n。

中间那一列就是主持人所在的地方。改变他的规则，似然就变，答案也跟着变。

主持人知道什么，决定了答案

经典答案依赖关于主持人的三个事实：他总会开门；他知道汽车在哪，所以总是露出山羊；他总会给你换门的机会。拿掉其中任何一条，数字就会变。「主持人」滑块有五种设置。

知情（经典）。 就是上面的情况：不换 1/n，换门 (n − 1)/n。

不知情。 罗森塔尔把这种叫作「摔倒的蒙提」：主持人踩到香蕉皮滑倒，随手撞开一扇门，碰巧露出山羊。三扇门时，除你的门以外随机的一扇门，每三局有一局后面是汽车。那些局就作废了。在剩下的局里，你的门和另一扇关着的门可能性相等，所以不换和换门都赢一半。在舞台上，机械臂露出汽车的局会以一条提示结束且不计入，一次跑很多局时会报告作废了多少局。100 扇门、主持人随机打开 98 扇时，100 局里只有 2 局能留下来，但在这些局里，答案仍然是一半。

在换门机会出现的那一刻，舞台上的门看起来一模一样，为什么结果不同？因为证据不同。知情的主持人露出 98 只山羊，是他随时都能做到的事。看不见的主持人碰巧露出 98 只山羊，是一件极不可能的事，除非汽车就在他没碰过的两扇门之一后面。这两扇门一起、同等地变得更可能。在贝叶斯表里，不管汽车在你的门后还是另一扇门后，盲目主持人这一动作的似然都一样，是 1/(n − 1)，所以后验概率相等。

偏爱的门。 罗森塔尔的「慢吞吞的蒙提」是一位知道汽车在哪的主持人，但能选的时候，他总是打开号码最小的山羊门，因为他累了，那扇门最近。在舞台上这是一个滑块：主持人能自由选择时，把号码最小的另一扇门留着不开的概率。对所有局取平均，什么都没变，换门仍然赢 2/3。但他留下的那扇门现在带有信息。三扇门、主持人总是留下号码小的门时，如果看到他留下了号码大的门，说明他没得选：汽车就在那里，换门每次都赢。如果看到他留下号码小的门，换门赢的概率只有 1/2。对一般的偏好 p，这两个答案分别是 1/(1 + p) 和 1/(2 − p)，换门从来不会比不换差。

只给猜中的人换。 如果主持人只在你第一次选中汽车时才给换门的机会，那么有机会就是坏消息。有机会就换，永远赢不了。

只给猜错的人换。 正好相反：他只在你选中山羊时才给机会，所以有机会就换，每次都赢。这两种情况都说明，主持人遵循的规则比你在舞台上看到的任何东西都更重要。

一万局

「运行」按钮在几秒内玩 100、1,000 或 10,000 局。每一局先放好汽车，随机做第一次选择，让主持人行动，然后在同一局上给三位玩家记分：一位总是换门，一位总是不换，一位抛硬币决定。柱条给出每位玩家赢的比例，细线标出精确值。下方的图表跟踪局数累积时的胜率，横轴是局数的对数刻度。

玩到 10 局时，曲线可能在任何地方。这不是模拟出了问题；局数这么少，光是偶然就能让胜率移动 15 个百分点甚至更多。在 N 局上测得的胜率 p，典型波动是 p(1 − p)/N 的平方根。p = 2/3 时，100 局约为 4.7 个百分点，1,000 局为 1.5，10,000 局为 0.47。所以玩到一万局后，换门的曲线几乎每次都落在 66.7% 上下一个百分点以内。

经典主持人下，抛硬币的玩家总是落在一半附近。他一半时候换门、赢 2/3，一半时候不换、赢 1/3。这正是直觉对整个游戏给出的数字，它也是另一个问题的正确答案：如果你把两扇关着的门当成一样，你会赢多少。

把 3、4、5、10 扇门和每一种主持人的汽车位置、你的选择和主持人动作的所有组合逐一数出来，就得到精确概率。对七种门数和五种主持人各玩 100,000 局计入的局，每种策略都落在精确值上下半个百分点以内，292 种情形全部如此。偏爱门主持人的贝叶斯表也和模拟的局相符，例如主持人以 p = 0.8 偏爱号码小的门、却留下了号码大的门时，40,014 局里有 83.1% 换门赢，精确值是 5/6。

为什么直觉会说一半

心理学家研究这道题已有几十年，因为太多细心的人会答错，而且被告知答案后仍然坚持错的。大多数人选择守着第一次的猜测，尽管换门能让赢的机会翻倍。

研究者检验过好几种解释。克劳斯和王（2003）发现，用自然频率来讲这道题（数局数而不是说概率），并从主持人的角度来讲时，答对的人多得多。伯恩斯和维斯（2004）认为问题出在因果结构上。汽车在哪和你选了哪扇门彼此独立，但两者共同决定主持人打开哪扇门，所以一旦知道他的选择，两者就联系起来了，而人们没想到这一点。把游戏讲成一场比赛、让这些原因更容易看清时，答对的人更多。

赫布兰森和施罗德（2010）用鸽子做了实验。实验箱里的三个啄键充当三扇门，奖品是谷粒。经过多次试验，鸽子调整了换门的频率，直到接近最佳策略；经过同样练习的人类志愿者却没有做到。鸟儿没有概率论，只有「什么有回报」的经验，而这正是「运行」按钮给你的东西。

简史

这个结构比游戏节目还古老。约瑟夫·贝特朗 1889 年的概率论教科书里有箱子悖论：三个箱子里分别是两枚金币、两枚银币、金银各一枚。你从随机一个箱子里取出一枚金币。同一箱子里另一枚也是金币的概率是 2/3，而不是 1/2，因为两枚金币的箱子给出金币的可能性是混合箱子的两倍。1959 年，马丁·加德纳在《科学美国人》的「数学游戏」专栏里提出了三囚犯问题，三人中有一人将被赦免。一名囚犯得知另一人会被处决后，他自己的机会仍是 1/3，第三名囚犯的机会则升到 2/3。这就是把山羊换成囚犯的三扇门。

游戏节目版本出现在 1975 年，生物统计学家史蒂夫·塞尔文给《The American Statistician》写了一封读者来信，用真实美国电视游戏节目的主持人蒙提·霍尔的名字给它命名。1990 年，《Parade》的专栏让它出了名。

争论并没有在教室里结束。一些统计学家指出，印出来的问题没有说主持人是否总会开门，也没有说他能选时怎样选；而且无条件的答案（换门赢所有局的 2/3）和有条件的答案（在他打开 3 号门的那些局里换门赢 2/3）需要不同的论证。莱顿大学的理查德·吉尔写道，这道题可以读成几个不同的数学问题，这也是它不断催生论文的原因之一。舞台用「主持人」滑块把这些读法分开。

模型做了哪些简化

和标准问题一样，汽车随机放置，主持人的随机选择是公平的抛硬币。真实的主持人可能把汽车放在参赛者很少会去猜的地方，或者只在对他有利时才给换门的机会，那样就没有固定的答案了。

为了动画，机械臂一扇接一扇地开门。在数学上顺序无关紧要，只有哪扇门留着关着才算数。不知情的主持人会按随机顺序开门，所以汽车可能在中途出现。

多局运行器用以时钟为种子的快速伪随机数生成器，所以两次运行永远不会得到完全相同的数字。三位玩家都在同一局上记分，这就是为什么在经典主持人下，换门和不换的柱条加起来总是 100%：每一局计入的局里，两扇关着的门中正好有一扇是汽车。

你自己玩的局的记录只存在于打开的页面里。刷新就会清空。

计算证据，而不只是数门

设 C1 表示汽车在 1 号门后，H3 表示主持人打开 3 号门并提出换门。假设你选了 1 号门，汽车均匀放置，主持人总是避开汽车，当另外两扇门后都是山羊时他公平地选一扇。贝叶斯法则是 P(C1 | H3) = P(H3 | C1) × P(C1) / P(H3)。分母不只是 3 号门后有山羊的概率，而是在上述规则下出现这个具体主持人动作的概率。

对你选的门，分子是 (1/2) × (1/3) = 1/6。对 2 号门，分子是 1 × (1/3) = 1/3。3 号门的贡献为零。因此 P(H3) = 1/6 + 1/3 = 1/2，P(C1 | H3) = (1/6)/(1/2) = 1/3。同理 P(C2 | H3) = (1/3)/(1/2) = 2/3。伯克利大学的讲解强调了两种情形的区别：一种是得知某扇门后没有奖品，另一种是得知主持人挑了这扇门来展示没有奖品。Alvarado 的讨论同样沿着汽车位置、第一次选择与揭门动作之间的依赖关系展开。

一个有用的检验是设想 600 局独立的游戏，第一次选择都相同。汽车在每扇门后的局数大约各 200。在第一组 200 局中，约 100 局会打开 3 号门；第二组 200 局全部打开 3 号门；最后一组 200 局一次也不会。这样符合观察的局数约 300，其中 100 局汽车在你的门后，200 局在另一扇门后。这些是期望局数，并不保证任何一批 600 局都恰好如此。

为什么作废的局也要算进来

现在让主持人盲目地从未选的门中挑一扇。第一次选择固定为 1 号门，只考虑他打开 3 号门并露出山羊的情形。若汽车在 1 号门后，这个观察出现的概率是 1/2。若汽车在 2 号门后，概率也是 1/2。两个留下来的分子都是 1/6，和为 1/3，每个后验概率都是 1/2。看到的是同一只山羊，但选出它的过程不同，所以计算也不同。

也可以不指明被打开的是哪扇门来数。在 600 局中，约 200 局一开始你就选对了，这 200 局在盲目揭门后全部保留。约 400 局一开始选错，其中只有约 200 局保留，因为主持人有 1/2 的概率露出汽车。于是大约 400 局被计入：不换赢 200 局，换门也赢 200 局。如果把换门的胜局数除以全部 600 次尝试，就会得到 1/3。这个数回答的是另一个问题，它把作废的局也当成了失败。分母一定要写清楚。

有 100 扇门时，你一开始选对的概率是 1/100，这些尝试一定保留。如果选错了，盲目的主持人必须恰好把汽车留作唯一未被选择的关着的门，概率是 1/99。选错后仍然保留的份额是 (99/100) × (1/99) = 1/100。因此两组贡献相等：全部尝试的 2/100 被保留，在这些保留的局中换门赢的占 1/2。这与知情主持人的 99/100 不同。

模拟的误差是什么意思

对于相互独立的经典游戏，换门获胜的次数服从 p = 2/3 的二项分布。观察到的比例的标准误差是 sqrt(p × (1 − p) / N)。当 N = 1,000 时，它是 0.0149，即 1.49 个百分点。近似的 95% 抽样范围是期望比例加减 1.96 倍标准误差：约 66.67% ± 2.92 个百分点，即 63.75% 到 69.59%。所谓一千局大约有三个百分点的误差，指的就是这个意思，并不是承诺每次运行都落在范围内。

圣何塞州立大学的讲义解释了对比例的这种正态近似。把 N 乘以 4，标准误差减半；乘以 100，误差缩小到约十分之一。因此 10,000 局比 1,000 局更稳定，但精度并不是十倍。这一结果还假设各局相互独立且生成正确。重复同一个编程错误并不会让错误消失。

在这个舞台上，两种策略使用同一次发牌。它们的结果是成对的，而不是两个独立样本：换门赢时，不换就输。对盲目的主持人，应使用计入局数 N，而不是全部尝试。在 100 扇门时，1,000 次盲目揭门平均只得到约 20 个计入的局，对上面三个百分点的说法来说太少了。

在屏幕上做一个实验

选择 3 扇门和“知情（经典）”，然后在按下“运行 1,000 局”之前先做一个预测。把“总是换门”的柱与精确值标记比较，而不只是与上一次运行比较。只把主持人改成“不知情”，再重复一次。读数时把作废局数和计入局数放在一起看。最后选择 100 扇门：经典主持人时换门率应接近 99%，而盲目主持人只保留很小一部分尝试。这些比较把主持人的规则单独分离出来，而不是在不知不觉中同时改变好几个假设。

鸽子实验以及后来的心理学综述区分了两件事：学会哪个动作有回报，和解释它为什么有回报。访客可以通过反馈学会按“换门”，却不一定能重建似然那一列。做完实验后，请解释为什么盲目的主持人会作废更多选错的局，而不是选对的局。能解释这一点，而不是一连串的好运，才是理解的检验。Li 把它与数据分析作的比较说明了相近的道理：即使最后显示出两种可能，顺序和选择程序仍然重要。

谜题舞台：换张桌子，还是同一个问题

舞台的「谜题」按钮打开 17 个场景。其中 8 个仍用门，只改变主持人规则或门数；9 个移到圆形毡桌，用盒子、硬币、人或信封代替门。每个场景都有「玩一局」和运行 100,000 次的按钮（符合条件的次数很少的两题运行 1,000,000 次）。左侧读数把精确值与实测比例并排显示。

规则不同的主持人

蒙提失足会随机打开一扇门。若碰巧是山羊，换与不换各以 1/2 获胜，因为原本会露出汽车的局被排除了，而那些恰好都是换门本可获胜的局。蒙提爬行有选择时，总把其他门中号码最小的留着。若你选 1 号、他开 2 号，他就没有选择：汽车在 3 号后，换门必赢。若他开 3 号，换门胜率只有 1/2。两种情况合计，始终换门仍赢 2/3。Grinstead 与 Snell 讨论了中间情况：能选时每 4 次有 3 次开大号码的主持人，开 3 号后会给换门者 4/7 的胜率。

地狱蒙提与天使蒙提决定是否提出换门。蒙提·霍尔 1991 年告诉记者，真实节目里他没有必须提议的义务。只向选中汽车的人提议，换门必输；只向选中山羊的人提议，换门必赢。提议本身就是证据。

多扇门只开一扇

「其他未开的门」滑块改变除了你的门以外还留几扇。5 扇门只开一扇山羊门，另外三扇仍关闭。不换胜率为 1/5。随机换到三扇之一，胜率为 (5 − 1) / (5 × 3) = 4/15，约 26.7%。一般而言，n 扇门打开 k 扇，换门胜率为 (n − 1) / (n (n − 1 − k))，总大于 1/n。k = n − 2 时得到熟悉的 (n − 1)/n：三扇门为 2/3，一百扇为 99/100。

双人对局

「双人对局」分别记录两名轮流在同一组门前玩的玩家分数。如果一人总不换，另一人总换，各玩 30 局后，期望得分为 10 辆和 20 辆汽车。短局仍可能反过来；10 辆的差距，向两边各有约 3.7 辆的波动。

盒子、囚犯和孩子

贝特朗的三个盒子装两枚金币、两枚银币、一金一银。随机抽出一枚，看到金币：三枚金币被抽到的机会相同，其中两枚在全金币盒中，所以另一枚是金币的概率是 2/3，而不是 1/2。三个囚犯只是门问题换了外衣。说出 B 会被处决的狱卒扮演主持人；A 仍为 1/3，C 升至 2/3。

两道孩子题说明措辞有多重要。一家有两个孩子，至少一个是男孩，两个都是男孩的概率为 1/3：四种等可能家庭（男男、男女、女男、女女）中最后一种被排除，剩下三种只有一种全是男孩。如果改成「年长的是男孩」，概率为 1/2。如果说有个星期二出生的儿子，概率为 13/27：196 种等可能的性别与星期组合中，27 种包含星期二出生的男孩，其中 13 种有两个男孩。

生日

桌边 23 人时，有两人生日相同的概率为 50.7%；22 人时为 47.6%，57 人时为 99.0%。关键是配对数：23 人组成 253 对，每对相同生日的概率为 365 分之 1。「人数」滑块范围是 2 到 70，每局后生日相同的人会亮成金色。

检测阳性

检测桌上有 1,000 人。如果每 1,000 人中有 1 名患者，健康者假阳性率为 5%，那么除了这 1 名患者，还有约 50 名健康者阳性。所以阳性者患病概率为 51 分之 1，约 2.0%。2014 年的调查中，61 名医生与学生只有 14 人答对。第二次独立阳性会把概率提高到约 28.6%，仍不到一半。两个滑块分别改变患病比例与假阳性率。

没有记忆的硬币

连续 5 次正面后，下次正面的概率仍是 1/2。舞台中每 32 次试验才有 1 次以五个正面开始，所以这道题运行一百万次。连串检验更微妙。抛 4 次，记录紧接正面之后的抛掷中正面所占比例。对全部 16 种序列中足够早出现正面、能够计数的序列取平均，得到 17/42，约 40.5%，不是 50%。Miller 与 Sanjurjo 在 2018 年指出，1985 年研究篮球「手热」的检验使用这类平均，即使确有连中效应，也可能看不出来。

两个信封

信封舞台里，较小金额为 10、20，一直到 100，另一个装两倍。交换在一半的局里得到更多，金额平均变化为 0。「另一个信封平均值是手中金额的 1.25 倍」的论证，把手中金额在两种情况下都当成固定值，但这是不成立的。

概率树

打开「概率树」会在舞台显示树形图，「操作」面板则始终显示。从圆点伸出的分支代表汽车（或硬币、疾病）可能处于的情况，粗细对应概率，再分成观察到与未观察到的证据。剪掉未发生的分支，把其余调整到总和为 1，就是贝叶斯法则。MIT 计算机科学数学课正是用这四步树形图教授门问题。Andrew Vazsonyi 在 1995 年向 Paul Erdős 提出问题时，这位数学家直到看过 100,000 局计算机游戏才接受答案，却仍要一个理由；概率树就是这个理由。