怎样折纸鹤

模型展示了什么

拿起一张正方形折纸，不用剪刀也不用胶水，就能折出一只纸鹤。可要问怎么折，大多数人只记得结果：细长的颈、扁平的翅膀，却记不得中间那三十来步。这件展品在 3D 中把一张正方形一步一步折成传统纸鹤，再把它重新展开，让你看清它用过的每一条折痕。

模型下方的控制条一次前进或后退一步。倒回按钮把纸退回到平整的正方形，所有折叠都会倒着演一遍。上方的快捷按钮可以跳到「讲解」里列出的八个阶段。某一步即将开始时，虚线表示谷折，点划线表示山折，橙色箭头画出正在移动的那个角的真实路径。拖动可以转动模型，从下面看它。在「操作」里可以改变折叠速度，用滑块在全部 30 步之间来回拖动，隐藏箭头、折线或折痕，把叠在一起的纸层拉开一些，还可以换纸的颜色。「部件」列表列出了四个角、中心、主要折痕，以及折好后的头、颈、尾、翅膀和身体。选中一项，它就会在纸上亮起来。

为什么先折折痕

前十步把正方形折了又展开四次，看上去纸几乎没变。之所以要这样做，是因为下一步收成正方基本型时，要同时折八条折痕。只有折痕事先已经在纸上，纸才会干净利落地折好。

从有色面看，两条对角线是谷折：纸沿着它们向你这边弯。两条中线是从白色面折的，所以是山折。把两侧往里推时，中心隆起，四个角在下面滑到一起，纸压平成一个边长只有原来一半的正方形。在模型里可以看到这个过程分三段。先是中心抬起，八条折痕一起折；接着四条角上的折痕笔直朝下，四片纸两两合拢，直到贴平；最后，这个小正方形平放到桌上。

这个平的形状有好几个名字。折纸书里叫它预备基本型、正方基本型，也叫双正方形。把它里外翻过来就是水雷基本型（又叫气球基本型），折痕完全相同，只是每条山折和谷折都互换了。

两种折法和图解的画法

这件展品里的每一步都由两个简单动作组成。谷折是把纸向你这边折，折线位于 V 字的底部。山折是把纸向远离你的方向折，折线成为一道脊。把纸翻过来，所有谷折都变成山折，所以同一条折痕叫哪一种，取决于你从哪一面看。

折纸图解用的是吉泽章在 1954 年的著作《新折纸艺术》（Atarashi Origami Geijutsu）中提出的画法：虚线表示谷折，带点的虚线表示山折。塞缪尔·兰德列特和罗伯特·哈宾又加上了「旋转」「放大」等符号，兰德列特在 1961 年的《折纸艺术》（The Art of Origami）中系统地介绍了这套画法。如今它被称为吉泽-兰德列特体系，大多数语言的折纸书都在用。本展品的折线也按照这套体系来画。

花瓣折做出鹤基本型

从正方基本型出发，纸鹤需要两个将来做翅膀的长尖角，以及两个将来做颈和尾的尖角。花瓣折就是用来做这些的。先做三次练习性的折叠：把上层的两条下边折到中线（风筝折），把顶上的三角形折下来盖住它们，再把三处全部展开。然后沿水平折痕掀起上层的下角。它抬起的同时，两侧顺着风筝折痕向内合拢，这一片最后压平成细长的菱形。

花瓣折是折纸鹤最难的一步，因为四片纸同时在动，哪一片都没法按住不动。在模型里，水平折痕的两端各是四条折痕相交的点：这一片转动所绕的转轴、这一片上的风筝折痕、侧面三角形和它下面那层之间的折痕，以及下层的风筝折痕。纸在折痕之间保持平直，这四片纸就像四块用铰链连起来的板组成的连杆机构。掀起的这一片转过任何角度，侧面三角形和里层的位置也就确定了，所以模型在每一帧都算出它们的位置。侧面三角形绕到正在抬起的那一片背后，最后落在它的外侧，这就是为什么折好的鹤基本型每一片长瓣中间都有一道接缝。

在背面重复风筝折和花瓣折，就得到鹤基本型，也叫鸟基本型：上方两片长瓣，下方两片分开的瓣。它是后面表格里列出的经典基本型之一。

颈、尾和头都是内翻折

下方两瓣太宽，做不了颈，所以正反两面都把它们的下边折到中线。每一瓣大约窄成原来的一半。

要让一个细尖朝上翻，不能直接把它折上去，那样它会贴在身体外面，挡住翅膀。办法是做内翻折：把尖角的两半稍微分开，沿一条折线把尖角从两半之间往上推，再压平。尖角沿着自己的折边里外翻转，最后夹在身体的两层之间。颈和尾各是一次内翻折，方向相反。在模型里，颈转过 152 度。头是第三次、也是更小的一次内翻折，在颈的末端附近，这里转过 100 度。

最后，鹤立起来，两只翅膀分别沿着颈根到尾根的连线折下来。把翅膀抬到水平，纸鹤就完成了。

可以在模型上核对的数字

把正方形的边长记为 1。

• 正方基本型是边长 1/2 的正方形，面积是原来的四分之一。
• 风筝折痕与对角线成 22.5 度。每条风筝折痕在离中心 1 − 1/√2（约 0.293）处与中线相交。
• 四条花瓣转轴在中心周围围成一个小正方形，边长 √2 − 1，约 0.414。
• 正方基本型和鹤基本型从闭合中心点到开放尖端的长度都是 1/√2，约为纸张边长的 0.71 倍。
• 在折好压平的纸鹤最厚处，模型叠了 20 层纸。
• 画出折痕图时，一共折过 111 段折痕。它们的总长约为正方形边长的 15.7 倍，其中山折约占 60%。

前川定理和川崎定理

最后一个阶段展开的正方形就是折痕图。在图内部折痕相交的每个点上，只要纸在那里能折平，就有两条规则成立。

前川定理说，山折的条数和谷折的条数正好相差 2。川崎定理说，绕这个点转一圈，把相邻折痕之间的角交替相加、相减，结果是 0。换句话说，这些角可以分成交替的两组，每组的和都是 180 度。

正方形的中心是检验这两条定理的好地方。在正方基本型中，中心的八条折痕是：四条山折的中线、两条谷折的对角线，以及两条最后在正反面上展平的对角线。四减二等于二，符合前川定理。不算展平的那两条，其余六条折痕之间的角依次是 90、45、45、90、45、45 度。隔一个取一个，两组都是 90 + 45 + 45 = 180，符合川崎定理。

这两条规则都只管一个点。马歇尔·伯恩和巴里·海斯在 1996 年证明，判断一张有许多交点的完整折痕图能不能折平是 NP 完全问题，所以没有那种又快又通用的检验办法。

模型自己的折痕图在正方形内部有 62 个折痕交点，其中 46 个通过川崎检验。没通过的点在收窄折痕的上端和内翻折的两端，也就是模型简化了纸的实际动作的地方（见下一节）。

模型和真实的纸有哪些不同

模型从不拉伸纸。它沿着每一条将来会折的线，把纸切成 80 块平的小片，每一步都是让小片绕折线转动。收成正方基本型这一步在中心点上精确求解，花瓣折按上面说的四板连杆机构求解。叠在一起的纸层之间画成固定的间距，即边长的 0.0016（15 cm 的纸上是 0.24 mm），并在每条公共边上用一条细带连起来，所以纸面上从不出现缝隙。一个检查程序把全部 30 步各分成 25 个点逐一检查，确认没有任何一片穿过另一片。

还剩三处简化。

• 内翻折显示成尖角绕折边上的一个点，在纸层内部转过去。真实的纸会把层稍微打开，尖角里外翻转。最终位置的轮廓相同，只是成了镜像。
• 收窄的一瓣和它上面的翅膀那层相接处，真实的纸会稍微弯一点。模型在这道缝上画了一小条纸。
• 模型让身体保持扁平。真正的纸鹤在两翅向外拉开时，身体会鼓成立体的形状。

纸鹤小史

「折鹤」（orizuru）是最有名的日本折纸作品之一。折纸资源中心（Origami Resource Center）提到鸟居清忠的一幅木版画，年代在 1720 年到 1750 年之间，画中一位女子手里拿着纸鹤，说明 18 世纪初的日本人已经熟悉这件作品。1797 年的《秘传千羽鹤折形》是已知最早的折纸书之一。书中介绍的是「连鹤」（renzuru）：把一张纸部分剪开，分成几个小正方形，折出的一群纸鹤在翅膀、嘴或尾巴处仍连在一起。

在日本，鹤是长寿的象征，折一千只纸鹤，也就是「千羽鹤」（senbazuru），寄托着病愈或和平的愿望。为千羽鹤出售的成套折纸通常有大约一千张纸和线，纸鹤常常串成 25 串，每串 40 只。这个习俗因佐佐木祯子而传遍世界。她两岁时在广岛原子弹爆炸中受到辐射，1955 年 10 月 25 日死于白血病。许多转述说她没折够一千只。她的家人和广岛和平纪念资料馆则说，她折完了一千只后还在继续折，一共折了 1300 多只。广岛和平纪念公园里的「原爆之子像」于 1958 年 5 月 5 日揭幕，塑像是她双手把一只鹤举过头顶，世界各地送来的纸鹤就挂在那里。

用同样折法折出的其他作品

纸鹤开头的几步和一大类作品是相同的。下面列出的经典基本型，是折纸书默认你在开始一件作品之前就该会的形状。表中大多数作品都从其中某个基本型开始，或者是在纸鹤本身上做变化。

选择纸张大小

只有折痕位置和最后展开翅膀的角度保持相同比例，大纸才会折出同比例的大纸鹤。设正方形边长为 s，成品两翼尖之间的距离为 w，则 w/s 是无量纲比值。假设用 15 cm 正方形折成的一只纸鹤实测翼展为 12 cm，比值就是 0.8。若用 20 cm 正方形折出几何相似的形状，预计翼展为 16 cm。这是根据假设测量值作出的缩放计算，不是所有传统纸鹤的固定尺寸。改变翅膀展开角度，就会改变投影宽度；斜拍的照片也可能让纸鹤显得较窄。

有些尺寸无需知道最后的翼角就能计算。正方形基础形的边长为 s/2，所以 15 cm 纸张折出的边长为 7.5 cm。其可见正方形面积为 56.25 cm²，原纸面积则为 225 cm²。纸没有消失，而是多层重叠在同一范围内。花瓣折铰链围成的小正方形边长为 (√2 − 1)s，本例约为 6.21 cm。这张 15 cm 纸折成的两种基本型，从中心到开放尖端都长约 10.6 cm。这不是成品纸鹤的高度或展开翼展。

若将 15 cm 正方形换成 7.5 cm 正方形，理想长度均减半，原始面积由 225 cm² 减为 56.25 cm²。但折叠次数不会减半，从同一种纸裁出的纸张厚度也不变。因此几何结构相同的小纸鹤仍更难折得整齐。可比较纸厚与边长之比：边长减半时，这个比值加倍。

20层纸不能像一张纸那样运动

模型最厚处叠有 20 层。仅为估算厚度，假设单张纸厚为 0.10 mm，则紧密堆叠的 20 层厚为 2.0 mm。若单张厚为 0.15 mm，则为 3.0 mm。实际折叠还包含空气间隙和圆弧弯曲，因此这是简化估算，不是身体精确厚度。以 g/m² 标示的定量与以 mm 表示的厚度不同；相同定量的纸也可能有不同密度和涂层。

屏幕中相邻层之间的距离为纸边长的 0.0016 倍。对于 15 cm 纸张，这一显示间距为 0.24 mm。它用于区分重叠表面，不表示所有折纸都厚 0.24 mm。在控制区增大层间距，可以看清夹在身体层之间的颈部，但不会变成厚纸物理模拟。软件不计算摩擦、撕裂强度或压平折痕所需的力。

实际花瓣折卡住时，应先检查提起纸瓣之前，两条下边是否都对准中线。强压错误的折痕会产生新折痕，改变预定图案。对于厚纸，稍微打开纸瓣再反转两侧折痕，往往比用力压更有用。理想铰链结构解释纸面的位置，却不规定拇指压力或真实纸张的弯曲半径。

平折规则与可展开航天器

内部顶点若有 4 条实际折叠的折线，前川定理允许 3 条山折和 1 条谷折，或相反分配。2 条山折和 2 条谷折不满足数量相差 2 的条件。川崎定理可用依次为 60、80、120、100 度的扇区角来说明。总和为 360 度，交替相加分别为 60 + 120 = 180 和 80 + 100 = 180。总和为 360 度本身并不足够：60、80、110、110 度的总和也为 360，但交替和是 170 与 190。这些是教学例子，并非纸鹤某个顶点的实测角度。

前提不可忽略。保持展开的折痕不计为实际山折或谷折。纸张边界上的点没有完整一圈纸面，因此不能直接套用内部顶点检验。即使两个局部条件都满足，也不能证明远处的纸瓣在连续运动中不会相互穿过。存在平折终态与存在无碰撞运动路径，是不同的问题。

航天工程还有更多限制。三浦折使用重复排列的平行四边形，而非纸鹤的鸟基础形。其联动运动有助于将大面积表面紧凑收纳再展开，但并非所有折叠航天器都采用这种图案。JAXA 的 IKAROS 于 2010 年 5 月 21 日发射，通过离心力展开 14 m × 14 m 的太阳帆。帆上还装有薄膜太阳能电池，并验证了太阳帆加速。共同的工程问题是将大面积表面放进较小体积，不是制造放大的纸鸟。太阳帆必须承受发射载荷并在太空工作；本展项不模拟这些条件。这里也不能选择 IKAROS 作为另一种模型。

在屏幕上检验

暂停播放，用步骤滑块比较正方形基础形与鸟基础形。保持视角固定，避免将透视变化误认为长度变化。正方形基础形的轮廓缩小是由于层叠，而非纸张面积减少。接着从下方观看花瓣折，适度增大层间距以辨认内部纸瓣。判断最终轮廓之前，先恢复原间距。

折颈部时隐藏箭头，直接追踪细长尖端。若难以定位铰链，可重新显示折线。头部是在同一个尖端的小部分上再做一次内反折，不是另粘上去的部件。倒回平纸，比较残留折痕与你记得的动作。折痕记录过去的弯折，却不一定在终态仍是完全闭合的山折或谷折。这些控件不测量真实纸鹤的翼展。若要实测，应折一张纸，并同时记录纸张尺寸和翅膀姿态。

同一舞台上的另外六个作品

「作品」按钮打开七个作品的列表，其中包括纸鹤。它们使用与纸鹤相同的程序折叠：纸张沿将来会出现的每条折痕分成小面，每一步让一组小面绕折线旋转，纸层之间始终保持一个很小的固定间距。可以按名称搜索，也可以按动物、物品和玩具筛选，然后选择作品在舞台上折叠。每项旁边的「折纸图解」链接会打开这组步骤所依据的公开图解或说明。

拍翅鸟省去了纸鹤收窄尖角的折叠。下方的尖角保持较宽，所以做颈和尾的内翻折会带动更多纸张，尾巴也就成了把手：拉它时，翅膀会绕鸟身摆动。武士头盔、纸杯和小狗脸的开头一样，都是白面朝上，把正方形转成一个角朝上的菱形，再对折成三角形。之后的区别只是各个角折向哪里。纸飞机采用史密森尼国家航空航天博物馆说明中的飞镖型，这里用正方形代替长方形，因此两侧纸片各有一个小角伸到尾部后方。「东南西北」原本是盐罐：一面四角折向中心，翻面再折一次，每次面积都减半。

这些数字来自各作品的折痕图，与列表下方数值面板中的数字相同。内部交点是正方形边缘以外、两条或更多已折折痕相交的地方。成品尺寸是最后姿态沿桌面方向测得的最大跨度。因此，用 15 cm 正方形折成、像舞台上那样展开翅膀的纸鹤宽约 14 cm，纸杯宽约 9 cm。

四个简单作品的每个交点都通过两项检验。头盔的大多数交点不通过，原因值得留意。有几步只折部分纸层：角饰只转动每片的上层，帽带只转动前层。这样形成的折痕到这层纸已折起的边缘就停止了，所以在展开的纸上，它止于另一条折痕，而不是穿过它，交点处就会出现奇数条折痕。真实纸张会在这些端点稍微弯曲。纸鹤和拍翅鸟不通过的原因则如前文所述：模型简化了内翻折。

挑战

「挑战」按钮列出七项任务。列表显示已完成多少项，进度只保存在这台设备上。一项要求你在 150 秒内只用 › 按钮折完整只纸鹤。五项要求你在舞台上找答案：中心的折痕、两条平折定理、变成头的那个角，以及成品纸鹤的尺寸。最后一项要求把所有作品都折到最后一步。答案根据数值面板使用的同一组折痕数据和最终姿态来检查，所以模型变化时，答案也会随之变化。

纸张种类

「纸张」按钮切换三种表面。普通折纸是单面有色、薄而光滑的折纸用纸。和纸画有长植物纤维，表面更柔和，像把楮树皮制成的纸对着光看。金属箔纸的有色面有一层金属，背面衬纸，因此只有正面发亮。几何形状不会改变：舞台仍在折一张自身没有厚度的理想纸，所以实际使用更厚的纸时，每条折线都需要留出更多空间。

正方基本型和鹤基本型从闭合中心点（也就是纸张中心）到开放尖端的长度，都约为纸张边长的 0.71 倍。这是纸张对角线的一半，即 1/√2。成品纸鹤的宽度是另一项尺寸：最终姿态的宽度约为边长的 0.95 倍，用 15 cm 正方形折成后为 14.2 cm，挑战中取整为 14 cm。数值面板和表格使用同一个最终姿态。