Grue en papier : pliage origami pas à pas, modèle interactif

Ce que montre le modèle

Avec un carré de papier origami, on peut faire une grue sans ciseaux ni colle. Demandez comment, et la plupart des gens se souviennent de la fin, un oiseau au cou fin et aux ailes plates, mais pas de la trentaine d’étapes entre les deux. Cette exposition plie un carré en 3D jusqu’à la grue traditionnelle, une étape à la fois, puis la déplie pour que vous voyiez chaque pli qu’elle a utilisé.

La barre sous le modèle avance ou recule d’une étape à la fois. Le bouton de retour ramène le papier au carré à plat en rejouant tous les plis à l’envers. Les raccourcis en haut mènent aux huit étapes de la « Visite ». Quand une étape va commencer, une ligne de tirets indique un pli vallée et une ligne de tirets et de points un pli montagne, et une flèche orange trace le vrai trajet du coin qui bouge. Faites glisser pour tourner le modèle et le regarder par-dessous. Dans « Réglages », vous pouvez changer la vitesse de pliage, parcourir les 30 étapes avec un curseur, masquer les flèches, les lignes de pli ou les marques, écarter davantage les couches empilées et changer la couleur du papier. La liste « Pièces » nomme les quatre coins, le centre, les principaux plis, puis la tête, le cou, la queue, les ailes et le corps de la grue terminée. En choisir un l’éclaire sur le papier.

Pourquoi les plis viennent d’abord

Les dix premières étapes plient et déplient le carré quatre fois, et il semble presque intact. Elles sont là parce que l’étape suivante, la formation de la base préliminaire, plie huit marques à la fois. Le papier ne le fait proprement que si les marques y sont déjà.

Vues depuis la face colorée, les deux diagonales sont des plis vallée : le papier se plie vers vous le long de ces lignes. Les deux médianes, pliées depuis la face blanche, sont des plis montagne. Quand vous poussez les côtés vers l’intérieur, le centre monte, les quatre coins glissent ensemble par-dessous et la feuille s’aplatit en un carré de côté deux fois plus court que l’original. Le modèle montre cela en trois temps. D’abord le centre se soulève pendant que les huit marques se plient ensemble. Puis, quand les quatre marques des coins pointent tout droit vers le bas, les quatre rabats pivotent par paires jusqu’à se coucher à plat. Enfin, le petit carré est posé sur la table.

Cette forme plate porte plusieurs noms. Les livres d’origami l’appellent pli préliminaire, base préliminaire ou base carrée. Retournez-la comme un gant et vous obtenez la base de la bombe à eau, qui a les mêmes marques, chaque montagne et chaque vallée étant inversées.

Deux sortes de plis et leur dessin dans les diagrammes

Chaque étape de cette exposition se compose de deux gestes simples. Un pli vallée plie le papier vers vous, la ligne de pli se trouvant au fond d’un V. Un pli montagne le plie en l’éloignant de vous, la ligne formant une arête. Retournez le papier et chaque vallée devient une montagne : c’est pourquoi une même marque peut porter l’un ou l’autre nom selon le côté d’où on la regarde.

Les diagrammes d’origami les dessinent selon le système qu’Akira Yoshizawa a présenté dans son livre de 1954, Atarashi Origami Geijutsu. Une ligne de tirets est un pli vallée, une ligne de tirets avec des points est un pli montagne. Samuel Randlett et Robert Harbin ont ajouté des symboles comme « faire pivoter » et « agrandir », et Randlett a décrit le système dans The Art of Origami en 1961. On l’appelle aujourd’hui le système Yoshizawa-Randlett, et les livres d’origami de la plupart des langues l’utilisent. Les lignes de pli de cette exposition le suivent.

Le pli pétale donne la base de l’oiseau

À partir de la base préliminaire, la grue a besoin de deux longues pointes qui deviendront les ailes et de deux autres qui deviendront le cou et la queue. Le pli pétale les fabrique. Viennent d’abord trois plis d’entraînement : les deux bords inférieurs de la couche du dessus sont pliés jusqu’à la ligne médiane (les plis du cerf-volant), le triangle du haut est rabattu par-dessus, puis les trois sont rouverts. Ensuite, le coin inférieur de la couche du dessus est soulevé le long de la marque horizontale. Pendant qu’il monte, les deux côtés pivotent vers l’intérieur le long des marques du cerf-volant et le rabat se couche à plat en long losange.

Le pli pétale est l’étape la plus difficile de la grue, parce que quatre morceaux de papier bougent en même temps et qu’aucun ne peut être tenu immobile. Dans le modèle, chaque extrémité de la marque horizontale est un point où se rejoignent quatre plis : la charnière autour de laquelle tourne le rabat, le pli du cerf-volant sur le rabat, le pli entre le triangle latéral et la couche en dessous, et le pli du cerf-volant de cette couche inférieure. Comme le papier reste plat entre les plis, ces quatre morceaux se comportent comme un mécanisme de quatre plaques articulées. Soulever le rabat d’un angle quelconque fixe la position du triangle latéral et de la couche intérieure, si bien que le modèle calcule leur position à chaque image. Les triangles latéraux passent derrière le rabat qui monte et finissent sur sa face extérieure ; c’est pourquoi la base de l’oiseau terminée montre une couture au milieu de chaque long rabat.

Répétez les plis du cerf-volant et le pli pétale au dos et vous obtenez la base de l’oiseau, aussi appelée base de la grue : deux longs rabats en haut et deux rabats séparés en bas. C’est l’une des bases classiques du tableau plus bas.

Le cou, la queue et la tête sont des plis inversés

Les deux rabats inférieurs sont trop larges pour un cou, alors leurs bords inférieurs sont pliés jusqu’à la ligne médiane des deux côtés. Chaque rabat perd à peu près la moitié de sa largeur.

Pour tourner une pointe fine vers le haut, on ne peut pas simplement la plier vers le haut, car elle se retrouverait à l’extérieur du corps et gênerait l’aile. On fait plutôt un pli inversé intérieur. Écartez légèrement les deux moitiés de la pointe, poussez la pointe vers le haut entre elles le long d’une ligne de pli, puis aplatissez. La pointe se retourne le long de son bord plié et se retrouve prise entre les couches du corps. Le cou et la queue sont chacun un pli inversé, tournés en sens opposés. Dans le modèle, le cou tourne de 152 degrés. La tête est un troisième pli inversé, plus petit, ici de 100 degrés, près du bout du cou.

Enfin, l’oiseau se redresse et chaque aile est rabattue le long de la ligne qui joint la base du cou à la base de la queue. Relever les ailes à l’horizontale termine la grue.

Des nombres à vérifier sur le modèle

Prenez le côté du carré égal à 1.

• La base préliminaire est un carré de côté 1/2 : elle couvre le quart de la surface d’origine.
• Les plis du cerf-volant font un angle de 22,5 degrés avec une diagonale. Chacun coupe une médiane à une distance de 1 − 1/√2 du centre, soit environ 0,293.
• Les quatre charnières des pétales forment autour du centre un petit carré de côté √2 − 1, soit environ 0,414.
• La base préliminaire et la base de l’oiseau mesurent toutes deux 1/√2, environ 0.71 fois le côté du papier, du centre fermé à une pointe ouverte.
• À l’endroit le plus épais de la grue pliée à plat, le modèle empile 20 couches de papier.
• Quand le canevas est dessiné, 111 segments de pli ont été pliés. Leur longueur totale vaut environ 15,7 fois le côté du carré, dont environ 60 % en plis montagne.

Les théorèmes de Maekawa et de Kawasaki

Le carré déplié de la dernière étape est le canevas, c’est-à-dire le motif des plis. En chaque point intérieur où des plis se rejoignent, deux règles sont vraies si le papier peut s’y plier à plat.

Le théorème de Maekawa dit que le nombre de plis montagne et le nombre de plis vallée diffèrent d’exactement deux. Le théorème de Kawasaki dit que si l’on fait le tour du point en ajoutant et en retranchant tour à tour les angles entre plis voisins, le résultat est 0. Autrement dit, les angles se répartissent en deux ensembles alternés dont la somme vaut 180 degrés pour chacun.

Le centre du carré se prête bien à la vérification des deux. Dans la base préliminaire, ses huit plis sont quatre médianes en montagne, deux diagonales en vallée et deux diagonales qui finissent ouvertes à plat sur les faces avant et arrière. Quatre moins deux font deux, comme l’exige le théorème de Maekawa. Sans compter les deux plis à plat, les angles entre les six plis restants valent 90, 45, 45, 90, 45 et 45 degrés. En prenant un angle sur deux, on obtient 90 + 45 + 45 = 180 pour les deux ensembles, comme l’exige le théorème de Kawasaki.

Les deux règles sont locales. Marshall Bern et Barry Hayes ont montré en 1996 que décider si un canevas complet comportant de nombreux points peut se plier à plat est un problème NP-complet : il n’existe donc pas de test général rapide de ce genre.

Le canevas du modèle compte 62 points à l’intérieur du carré où se rejoignent des plis effectués. 46 d’entre eux passent le test de Kawasaki. Ceux qui échouent se trouvent en haut des plis d’affinage et aux extrémités des plis inversés, là où le modèle simplifie ce que fait le papier (voir la section suivante).

En quoi le modèle diffère du vrai papier

Le modèle n’étire jamais le papier. La feuille est découpée en 80 morceaux plats le long de toutes les lignes qui seront pliées à un moment ou à un autre, et chaque étape fait pivoter des morceaux autour de lignes de pli. La formation de la base préliminaire est résolue exactement au point central, et le pli pétale est résolu comme le mécanisme à quatre plaques décrit plus haut. Les couches empilées sont dessinées à une distance fixe les unes des autres, 0,0016 du côté (0,24 mm pour un carré de 15 cm), et reliées le long de chaque bord commun par une fine bande, si bien que la feuille ne montre jamais de trou. Un programme de vérification parcourt les 30 étapes en 25 points chacune et confirme qu’aucun morceau ne traverse un autre.

Il reste trois simplifications.

• Les plis inversés sont montrés comme une pointe qui pivote à l’intérieur des couches autour d’un seul point de son bord plié. Le vrai papier écarte un peu les couches et la pointe se retourne comme un gant. La position finale a le même contour, en miroir.
• Là où un rabat affiné rencontre la couche de l’aile au-dessus de lui, le vrai papier se courbe légèrement. Le modèle dessine une petite bande de papier au-dessus de l’espace.
• Le modèle garde le corps à plat. Sur une vraie grue, écarter les ailes fait gonfler le corps en une forme en trois dimensions.

Petite histoire de la grue pliée

L’orizuru (grue pliée) est l’un des modèles d’origami japonais les plus connus. L’Origami Resource Center signale une estampe de Torii Kiyotada, datée de 1720 à 1750, où une femme tient une grue en papier, signe que le modèle était déjà familier au Japon au début du 18e siècle. Le Hiden Senbazuru Orikata de 1797 est l’un des plus anciens livres d’origami connus. Il présente des renzuru, groupes de grues pliées dans une seule feuille en partie découpée en carrés plus petits, de sorte que les oiseaux restent reliés par les ailes, le bec ou la queue.

Au Japon, la grue est un symbole de longue vie, et en plier mille, le senbazuru, est associé au vœu de guérir d’une maladie ou au vœu de paix. Les coffrets vendus pour le senbazuru contiennent en général environ mille feuilles et du fil, et les grues sont souvent suspendues en 25 fils de 40. La coutume s’est fait connaître dans le monde entier grâce à Sadako Sasaki, exposée aux radiations du bombardement atomique d’Hiroshima à l’âge de deux ans et morte d’une leucémie le 25 octobre 1955. Bien des récits disent qu’elle en a plié moins de mille. Sa famille et le Musée du Mémorial pour la paix d’Hiroshima affirment qu’elle a terminé les mille et continué à plier, jusqu’à plus de 1300. Le Monument de la paix des enfants, dans le parc du Mémorial pour la paix d’Hiroshima, inauguré le 5 mai 1958, la montre tenant une grue au-dessus de sa tête, et des grues pliées venues du monde entier y sont déposées.

D’autres modèles issus des mêmes plis

La grue partage ses premières étapes avec une grande famille de modèles. Les bases classiques ci-dessous sont les formes que les livres supposent connues avant le début d’un modèle. La plupart des modèles de la liste partent de l’une d’elles ou modifient la grue elle-même.

Choisir la taille du papier

Une feuille plus grande ne donne une grue plus grande que si les positions des plis et les angles d’ouverture finaux gardent les mêmes proportions. Appelons s le côté du carré de départ et w la distance entre les bouts des ailes de la grue terminée. Le rapport w/s n’a pas d’unité. Si une grue précise mesure 12 cm de large une fois pliée dans un carré de 15 cm, son rapport mesuré est de 0.8. Une grue géométriquement semblable pliée dans un carré de 20 cm ferait alors 16 cm d’envergure. Ce sont une mesure supposée et sa prédiction à l’échelle, pas une dimension garantie de toutes les grues traditionnelles. Ouvrir les ailes change l’envergure projetée sans changer la taille du papier. Une photo prise en biais peut aussi faire paraître une grue correcte plus étroite.

Plusieurs dimensions se calculent sans deviner l’angle final des ailes. La base carrée a pour côté s/2 : une feuille de 15 cm donne donc une base de 7.5 cm de côté. Sa surface visible est de 56.25 cm², contre 225 cm² pour le carré d’origine. Le papier n’a pas disparu : plusieurs couches se superposent sur la même empreinte. Le carré de la charnière du pétale a pour côté (√2 − 1)s, soit environ 6.21 cm pour cette feuille. Pour cette feuille de 15 cm, les deux bases mesurent environ 10.6 cm du centre à une pointe ouverte. Ce n’est ni la hauteur finale ni l’envergure ailes ouvertes.

Si un carré de 7.5 cm remplace un carré de 15 cm, chaque longueur idéale est divisée par deux et la surface d’origine tombe au quart, de 225 à 56.25 cm². Le nombre de plis n’est pas divisé par deux. L’épaisseur d’une feuille découpée dans le même papier non plus. Voilà pourquoi une grue miniature est plus difficile à plier proprement, même si la construction géométrique est identique. La comparaison pratique est l’épaisseur divisée par la largeur de la feuille, qui double quand la largeur de la feuille est divisée par deux.

Vingt couches ne se comportent pas comme une seule feuille

La pile la plus épaisse de ce modèle compte 20 couches. Supposons, pour une simple estimation d’épaisseur, qu’une feuille mesure 0.10 mm. Vingt couches parfaitement tassées occuperaient 2.0 mm. Avec du papier de 0.15 mm, le même nombre donne 3.0 mm. Les vrais plis contiennent aussi des poches d’air et des courbures arrondies : cette multiplication est donc une estimation de l’ordre de grandeur de la pile, pas une prédiction de l’épaisseur exacte du corps. Ne confondez pas la masse du papier par surface, souvent imprimée en g/m², avec l’épaisseur en millimètres : des papiers de même grammage peuvent avoir des densités et des couchages différents.

L’écran sépare les couches voisines de 0.0016 fois le côté du carré. À 15 cm, cet écart visuel est de 0.24 mm. C’est une convention de dessin destinée à rendre lisibles les surfaces superposées, pas l’affirmation que tout papier d’origami mesure 0.24 mm d’épaisseur. Augmenter l’écart entre couches dans « Réglages » aide à voir le cou entre les couches du corps, mais ne transforme pas le modèle en simulation de papier plus épais. Le logiciel ne calcule ni le frottement, ni la résistance à la déchirure, ni la force nécessaire pour aplatir un pli.

Quand un pli en pétale se bloque sur du vrai papier, vérifiez d’abord si les deux bords inférieurs ont atteint la ligne centrale avant que le rabat ne soit levé. Forcer à plat un pli mal placé crée un autre pli et change le motif prévu. Avec du papier épais, il est souvent plus utile d’ouvrir légèrement le rabat en inversant ses plis latéraux que d’appuyer plus fort. Le mécanisme idéal explique où les panneaux doivent se placer ; il ne prescrit ni la pression d’un pouce ni le rayon de courbure d’une vraie feuille.

Règles du pliage à plat et engins spatiaux déployables

À un sommet intérieur à quatre plis actifs, Maekawa autorise trois montagnes et une vallée, ou l’inverse. Deux montagnes et deux vallées ne respectent pas sa condition de différence égale à deux. Pour Kawasaki, prenons quatre angles de secteur consécutifs de 60, 80, 120 et 100 degrés. Ils totalisent 360 degrés, et les sommes alternées valent 60 + 120 = 180 et 80 + 100 = 180. Que quatre angles totalisent 360 ne suffit pas : 60, 80, 110 et 110 totalisent 360, mais leurs sommes alternées valent 170 et 190. Ce sont des exemples pédagogiques, pas des mesures d’un sommet choisi sur la grue.

Les hypothèses comptent. Un pli qui reste ouvert n’est pas compté comme montagne ou vallée active. Un point du bord de la feuille n’est pas entouré d’un anneau complet de papier ; le même test de sommet intérieur ne s’y applique donc pas tel quel. Même réussir les deux vérifications locales ne prouve pas que des rabats éloignés puissent se croiser pendant un mouvement de pliage continu. Un état final à plat et un chemin sans collision pour y arriver sont deux questions différentes.

L’ingénierie spatiale ajoute d’autres contraintes. Le motif Miura-ori utilise une disposition répétée de parallélogrammes plutôt que la base de l’oiseau de la grue. Son mouvement lié est utile quand il faut ranger une grande surface de façon compacte, puis la déployer. Tous les engins spatiaux pliés n’emploient pas ce motif. IKAROS, de la JAXA, lancé le 21 mai 2010, a déployé une voile solaire de 14 m sur 14 m grâce à la force centrifuge. Sa voile portait aussi des cellules solaires en couche mince, et la mission a démontré l’accélération par voile solaire. Le problème d’ingénierie commun est de ranger une grande surface dans un volume plus petit, pas de fabriquer un oiseau de papier agrandi. Une voile doit supporter les charges du lancement et fonctionner dans l’espace ; l’exposition de la grue ne modélise ni l’un ni l’autre. IKAROS n’est pas proposé ici comme modèle supplémentaire sélectionnable.

Essais à faire à l’écran

Mettez la lecture en pause et utilisez le curseur d’étapes pour comparer la base carrée et la base de l’oiseau. Gardez la direction de vue fixe afin de ne pas prendre un changement de perspective pour un changement de longueur. Le contour de la base carrée rétrécit parce que les couches se superposent, pas parce que de la surface de papier a été retirée. Passez ensuite sous le pli en pétale et augmentez assez l’écart entre couches pour distinguer le rabat intérieur. Remettez l’écart à son réglage d’origine avant de juger la silhouette finale.

Au pli du cou, masquez les flèches et suivez le point étroit lui-même. Réaffichez les lignes de pli si la charnière est difficile à repérer. La tête est un autre pli inversé sur une partie plus petite du même point ; ce n’est pas une pièce séparée fixée au cou. Revenez à la feuille plate et comparez les marques de pli restantes avec les plis dont vous vous souvenez. Une marque garde la trace d’un pli précédent, mais elle n’a pas besoin de rester une montagne ou une vallée entièrement fermée à l’étape finale. Aucune de ces commandes ne mesure l’envergure d’une vraie grue. Pour cela, pliez une feuille réelle et notez, avec la mesure, sa taille et la position des ailes.

Six autres modèles sur la même scène

Le bouton « Modèles » ouvre une liste de sept modèles, grue comprise. Tous sont pliés par le même programme que la grue : la feuille est découpée le long de tous les plis qu’elle recevra, chaque étape fait tourner un ensemble de facettes autour d’une ligne de pli, et les couches restent séparées par une petite distance fixe. Cherchez par nom ou filtrez par animaux, objets et jouets, puis choisissez un modèle pour le plier sur la scène. Le lien « Diagramme » de chaque entrée ouvre le diagramme publié ou les instructions suivies par la séquence.

L’oiseau qui bat des ailes est la grue sans les plis qui affinent ses pointes. Comme les pointes du bas restent larges, les plis inversés du cou et de la queue déplacent bien plus de papier. La queue devient une poignée : tirer dessus fait osciller les ailes autour du corps. Le casque de samouraï, ou kabuto, le gobelet et la tête de chien commencent de la même façon, face blanche vers le haut, le carré tourné en losange puis plié en triangle. Seule la destination des coins change ensuite. L’avion en papier est la fléchette des instructions du National Air and Space Museum de la Smithsonian Institution. Il est plié ici dans un carré plutôt qu’un rectangle, si bien qu’un petit coin de chaque rabat latéral dépasse derrière la queue. La cocotte était à l’origine une salière : les coins sont ramenés au centre sur une face, puis sur l’autre, ce qui divise chaque fois la surface par deux.

Ces nombres viennent du patron de plis de chaque modèle et correspondent aux valeurs affichées sous la liste. Un sommet intérieur est un point éloigné du bord du carré où se rencontrent au moins deux plis marqués. La taille finale est la plus grande étendue de la dernière pose, mesurée dans le plan de la table. Un carré de 15 cm donne donc une grue d’environ 14 cm de large avec les ailes ouvertes comme sur la scène, et un gobelet d’environ 9 cm de large.

Les quatre modèles simples passent les deux tests à chaque sommet. Le casque échoue à la plupart des siens, pour une raison instructive. Plusieurs de ses plis ne traversent qu’une partie des couches : les cornes font tourner la couche supérieure de chaque rabat, et la bande seulement la couche avant. Un tel pli s’arrête au bord replié de cette couche. Sur la feuille ouverte, il se termine donc sur un autre pli au lieu de le traverser, et le sommet compte un nombre impair de plis. Le vrai papier s’adapte en se courbant un peu à ces extrémités. La grue et l’oiseau qui bat des ailes échouent pour la raison donnée plus haut : le modèle simplifie les plis inversés.

Défis

Le bouton « Défis » propose sept tâches. La liste indique combien sont résolues, et la progression n’est conservée que sur cet appareil. L’une demande de plier toute la grue avec le bouton › en 150 secondes. Cinq posent des questions dont vous pouvez trouver la réponse sur la scène : les plis au centre, les deux théorèmes du pliage à plat, le coin qui devient la tête et la taille de la grue finie. La dernière demande de plier chaque modèle jusqu’à sa dernière étape. Les réponses sont vérifiées avec les mêmes données de plis et la même pose finale que le panneau des nombres ; une modification du modèle changerait donc aussi les réponses.

Sortes de papier

Le bouton « Papier » alterne entre trois surfaces. Le papier origami est le papier fin et lisse, coloré sur une face, vendu pour le pliage. Le washi est dessiné avec de longues fibres végétales et une surface plus douce, comme le papier d’écorce de kozo vu à contre-jour. Le papier métallisé possède une couche métallique sur sa face colorée et un support en papier : seul le recto brille. La géométrie ne change pas. La scène plie toujours une feuille idéale sans épaisseur propre ; en pratique, un papier plus épais aurait besoin de plus de place à chaque pli.

La base préliminaire et la base de l’oiseau mesurent toutes deux environ 0.71 fois le côté du papier, du centre fermé, qui est le centre de la feuille, à une pointe ouverte. C’est la moitié de la diagonale de la feuille, 1/√2. La largeur de la grue finie est différente : la dernière pose mesure environ 0.95 fois le côté, soit 14.2 cm avec un carré de 15 cm, arrondis à 14 cm pour le défi. Le panneau des nombres et le tableau utilisent cette même pose finale.