Tsuru de papel: dobra a dobra, modelo interativo

O que o modelo mostra

Pegue um quadrado de papel de origami e você consegue fazer um tsuru sem tesoura nem cola. Pergunte como, e a maioria das pessoas lembra do fim, um pássaro de pescoço fino e asas planas, mas não dos cerca de trinta passos no meio. Esta exposição dobra um quadrado em 3D até chegar ao tsuru tradicional, um passo por vez, e depois o desdobra para você ver cada vinco que ele usou.

A barra sob o modelo avança e volta um passo por vez. O botão de rebobinar leva o papel de volta ao quadrado plano, refazendo todas as dobras ao contrário. Os atalhos no alto pulam para as oito etapas listadas no "Guia". Quando um passo está para começar, uma linha tracejada marca uma dobra vale e uma linha de traço e ponto marca uma dobra montanha, e uma seta laranja traça o caminho real do canto que se move. Arraste para girar o modelo e olhar por baixo. Em "Controles" você pode mudar a velocidade da dobra, percorrer os 30 passos com um controle deslizante, esconder as setas, as linhas de dobra ou os vincos, afastar mais as camadas empilhadas e trocar a cor do papel. A lista de "Peças" nomeia os quatro cantos, o centro, os vincos principais e a cabeça, o pescoço, a cauda, as asas e o corpo do tsuru pronto. Ao escolher um deles, ele se acende no papel.

Por que os vincos vêm primeiro

Os dez primeiros passos dobram e desdobram o quadrado quatro vezes, e ele fica quase como antes. Eles existem porque o passo seguinte, fechar a folha na base preliminar, dobra oito vincos ao mesmo tempo. O papel só faz isso direito se os vincos já estiverem nele.

Vistas pelo lado colorido, as duas diagonais são dobras vale: o papel se curva na sua direção ao longo delas. As duas medianas, dobradas pelo lado branco, são dobras montanha. Quando você empurra os lados para dentro, o centro sobe, os quatro cantos deslizam juntos por baixo e a folha achata num quadrado com lados da metade do original. No modelo isso aparece em três fases. Primeiro o centro sobe enquanto os oito vincos dobram juntos. Depois, com os quatro vincos dos cantos apontando direto para baixo, as quatro abas giram aos pares até ficarem planas. Por fim, o quadrado pequeno é deitado sobre a mesa.

Essa forma plana tem vários nomes. Os livros de origami a chamam de dobra preliminar, base preliminar ou base quadrada. Vire-a do avesso e você tem a base balão (ou bomba d'água), que tem os mesmos vincos com cada montanha e cada vale trocados.

Dois tipos de dobra e como os diagramas as desenham

Cada passo desta exposição é feito de duas ações simples. Uma dobra vale curva o papel na sua direção, de modo que a linha de dobra fica no fundo de um V. Uma dobra montanha curva o papel para longe de você, e a linha vira uma crista. Vire o papel e cada vale vira montanha; por isso o mesmo vinco pode ter um nome ou outro, dependendo do lado de onde você olha.

Os diagramas de origami as desenham com o sistema que Akira Yoshizawa apresentou em seu livro de 1954, Atarashi Origami Geijutsu. Uma linha tracejada é uma dobra vale, e uma linha tracejada com pontos é uma dobra montanha. Samuel Randlett e Robert Harbin acrescentaram símbolos como "girar" e "ampliar", e Randlett descreveu o sistema em The Art of Origami, em 1961. Hoje ele é conhecido como sistema Yoshizawa-Randlett e é usado em livros de origami na maioria das línguas. As linhas de dobra desta exposição seguem esse sistema.

A dobra pétala forma a base do pássaro

A partir da base preliminar, o tsuru precisa de duas pontas compridas que vão virar asas e de duas que vão virar pescoço e cauda. A dobra pétala faz isso. Primeiro vêm três dobras de treino: as duas bordas de baixo da camada de cima são dobradas até a linha do meio (as dobras da pipa), o triângulo de cima é dobrado para baixo por cima delas, e as três são desfeitas. Depois o canto de baixo da camada de cima é levantado pelo vinco horizontal. Enquanto ele sobe, os dois lados giram para dentro pelos vincos da pipa e a aba deita plana como um losango comprido.

A dobra pétala é o passo mais difícil do tsuru, porque quatro pedaços de papel se movem ao mesmo tempo e nenhum pode ficar parado. No modelo, cada ponta do vinco horizontal é um ponto onde quatro vincos se encontram: a dobradiça em que a aba gira, o vinco da pipa na aba, o vinco entre o triângulo lateral e a camada de baixo, e o vinco da pipa nessa camada de baixo. Como o papel fica plano entre os vincos, esses quatro pedaços se comportam como um mecanismo articulado de quatro placas ligadas por dobradiças. Levantar a aba a qualquer ângulo fixa onde o triângulo lateral e a camada interna têm de estar, então o modelo calcula as posições deles a cada quadro. Os triângulos laterais giram por trás da aba que sobe e terminam do lado de fora dela; por isso a base do pássaro pronta mostra uma emenda no meio de cada aba comprida.

Repita as dobras da pipa e a dobra pétala atrás e você tem a base do pássaro, também chamada base do tsuru: duas abas compridas em cima e duas abas separadas embaixo. É uma das bases clássicas da tabela mais abaixo.

Pescoço, cauda e cabeça são dobras invertidas

As duas abas de baixo são largas demais para um pescoço, então suas bordas de baixo são dobradas até a linha do meio dos dois lados. Cada aba fica com mais ou menos metade da largura.

Para virar uma ponta fina para cima, não dá para simplesmente dobrá-la para cima, porque ela ficaria do lado de fora do corpo e atrapalharia a asa. Em vez disso se faz uma dobra invertida interna. Abra um pouco as duas metades da ponta, empurre a ponta para cima entre elas ao longo de uma linha de dobra e achate. A ponta se vira do avesso ao longo da borda dobrada e fica presa entre as camadas do corpo. O pescoço e a cauda são uma dobra invertida cada, em sentidos opostos. No modelo, o pescoço gira 152 graus. A cabeça é uma terceira dobra invertida, menor, aqui de 100 graus, perto da ponta do pescoço.

Por fim, o pássaro fica em pé e cada asa é dobrada para baixo pela linha que liga a base do pescoço à base da cauda. Levantar as asas até a horizontal termina o tsuru.

Números que você pode conferir no modelo

Considere o lado do quadrado igual a 1.

• A base preliminar é um quadrado de lado 1/2, então ocupa um quarto da área original.
• Os vincos da pipa fazem um ângulo de 22,5 graus com uma diagonal. Cada um encontra uma mediana a uma distância de 1 − 1/√2 do centro, cerca de 0,293.
• As quatro dobradiças das pétalas formam em volta do centro um quadrado pequeno de lado √2 − 1, cerca de 0,414.
• A base preliminar e a base do pássaro medem ambas 1/√2, cerca de 0.71 vezes o lado do papel, do centro fechado até uma ponta aberta.
• No ponto mais grosso do tsuru dobrado e plano, o modelo empilha 20 camadas de papel.
• Quando o padrão de vincos é desenhado, 111 trechos de vinco já foram dobrados. O comprimento total deles é cerca de 15,7 vezes o lado do quadrado, e as dobras montanha somam cerca de 60% disso.

Os teoremas de Maekawa e Kawasaki

O quadrado desdobrado da última etapa é o padrão de vincos. Em cada ponto interno onde vincos se encontram valem duas regras, se o papel puder ficar plano ali.

O teorema de Maekawa diz que o número de dobras montanha e o de dobras vale diferem em exatamente dois. O teorema de Kawasaki diz que, dando a volta no ponto e somando e subtraindo alternadamente os ângulos entre vincos vizinhos, o resultado é 0. Dito de outro jeito, os ângulos se dividem em dois grupos alternados que somam 180 graus cada.

O centro do quadrado é um bom lugar para conferir os dois. Na base preliminar, seus oito vincos são quatro medianas em montanha, duas diagonais em vale e duas diagonais que terminam abertas e planas nas faces da frente e de trás. Quatro menos dois dá dois, como pede o teorema de Maekawa. Deixando de fora as duas planas, os ângulos entre os seis vincos restantes são 90, 45, 45, 90, 45 e 45 graus. Pegando um sim e outro não, os dois grupos dão 90 + 45 + 45 = 180, como pede o teorema de Kawasaki.

As duas regras são locais. Marshall Bern e Barry Hayes mostraram em 1996 que decidir se um padrão de vincos inteiro, com muitos pontos, pode ficar plano é um problema NP-completo; então não existe um teste geral rápido desse tipo.

O padrão do próprio modelo tem 62 pontos dentro do quadrado onde vincos dobrados se encontram. 46 deles passam no teste de Kawasaki. Os que falham estão no alto das dobras de afinamento e nas pontas das dobras invertidas, os lugares onde o modelo simplifica o que o papel faz (veja a seção seguinte).

Em que o modelo difere do papel de verdade

O modelo nunca estica o papel. Ele é cortado em 80 pedaços planos ao longo de todas as linhas que algum dia vão ser vincadas, e cada passo gira pedaços em torno de linhas de dobra. O fechamento na base preliminar é resolvido de forma exata no ponto central, e a dobra pétala é resolvida como o mecanismo de quatro placas descrito acima. As camadas empilhadas são desenhadas a uma distância fixa entre si, 0,0016 do lado (0,24 mm num quadrado de 15 cm), e ligadas ao longo de cada borda comum por uma tira fina, de modo que a folha nunca mostra buracos. Um programa de verificação percorre os 30 passos em 25 pontos cada e confirma que nenhum pedaço atravessa outro.

Restam três simplificações.

• As dobras invertidas aparecem como a ponta girando dentro das camadas em torno de um único ponto da borda dobrada. O papel de verdade abre um pouco as camadas e a ponta se vira do avesso. A posição final tem o mesmo contorno, espelhado.
• Onde uma aba afinada encontra a camada da asa acima dela, o papel de verdade se curva um pouco. O modelo desenha uma tirinha de papel sobre o vão.
• O modelo mantém o corpo plano. Num tsuru de verdade, puxar as asas para os lados estufa o corpo numa forma tridimensional.

Uma breve história do tsuru

O orizuru (grou dobrado) é um dos modelos de origami japonês mais conhecidos. O Origami Resource Center cita uma xilogravura de Torii Kiyotada, datada de 1720 a 1750, em que uma mulher segura um tsuru de papel, sinal de que o modelo já era familiar no Japão no começo do século 18. O Hiden Senbazuru Orikata, de 1797, é um dos livros de origami mais antigos que se conhecem. Ele mostra renzuru, grupos de tsurus dobrados de uma só folha parcialmente cortada em quadrados menores, de modo que os pássaros continuam unidos pelas asas, bicos ou caudas.

No Japão o tsuru é símbolo de vida longa, e dobrar mil deles, o senbazuru, está ligado ao desejo de se curar de uma doença ou ao desejo de paz. Os kits vendidos para senbazuru costumam ter cerca de mil folhas e linha, e os tsurus muitas vezes são pendurados em 25 fios de 40. O costume ficou conhecido no mundo todo por causa de Sadako Sasaki, exposta à radiação da bomba atômica de Hiroshima aos dois anos, que morreu de leucemia em 25 de outubro de 1955. Muitas versões da história dizem que ela dobrou menos de mil. Sua família e o Museu Memorial da Paz de Hiroshima dizem que ela completou os mil e continuou dobrando, até mais de 1300. O Monumento da Paz das Crianças, no Parque Memorial da Paz de Hiroshima, inaugurado em 5 de maio de 1958, a mostra segurando um tsuru acima da cabeça, e tsurus de papel vindos do mundo todo são deixados ali.

Outros modelos com as mesmas dobras

O tsuru compartilha os primeiros passos com uma grande família de modelos. As bases clássicas abaixo são as formas que os livros esperam que você já conheça antes de começar um modelo. A maioria dos modelos da lista começa de uma delas ou modifica o próprio tsuru.

Escolher o tamanho do papel

Uma folha maior só produz um tsuru maior se as posições dos vincos e os ângulos finais de abertura mantiverem as mesmas proporções. Seja s o lado do quadrado original e w a distância entre as pontas das asas da figura pronta. A razão w/s não tem unidade. Se um tsuru específico mede 12 cm de largura quando dobrado a partir de um quadrado de 15 cm, sua razão medida é 0.8. Um tsuru geometricamente semelhante feito de um quadrado de 20 cm teria então 16 cm de envergadura. São uma medida suposta e sua previsão em escala, não uma dimensão garantida de todos os tsurus tradicionais. Abrir as asas muda a envergadura projetada sem mudar o tamanho do papel. Uma foto tirada de lado também pode fazer um tsuru correto parecer mais estreito.

Várias dimensões podem ser calculadas sem adivinhar o ângulo final das asas. A base quadrada tem lado s/2, então uma folha de 15 cm dá uma base de 7.5 cm de lado. Sua área visível é de 56.25 cm², contra os 225 cm² do quadrado original. O papel não sumiu: várias camadas se sobrepõem na mesma área. O quadrado da dobradiça da pétala tem lado (√2 − 1)s, cerca de 6.21 cm para esta folha. Com esta folha de 15 cm, ambas as bases medem cerca de 10.6 cm do centro até uma ponta aberta. Não é a altura final nem a envergadura com as asas abertas.

Se um quadrado de 7.5 cm substitui um de 15 cm, cada comprimento ideal cai pela metade e a área original cai para um quarto, de 225 para 56.25 cm². O número de dobras não cai pela metade. A espessura de uma folha cortada do mesmo papel também não. Por isso um tsuru em miniatura é mais difícil de dobrar com capricho, mesmo que a construção geométrica seja a mesma. A comparação prática é a espessura dividida pela largura da folha, que dobra quando a largura da folha cai pela metade.

Vinte camadas não se comportam como uma folha só

A pilha mais grossa deste modelo tem 20 camadas. Suponha, só para estimar a espessura, que uma folha tenha 0.10 mm. Vinte camadas perfeitamente empacotadas ocupariam 2.0 mm. Com papel de 0.15 mm, a mesma contagem dá 3.0 mm. As dobras reais também têm bolsas de ar e curvas arredondadas, então essa multiplicação é uma estimativa grosseira da pilha, não uma previsão da espessura exata do corpo. Não confunda a massa do papel por área, muitas vezes impressa em g/m², com a espessura em milímetros: papéis com a mesma massa por área podem ter densidades e revestimentos diferentes.

A tela separa camadas vizinhas por 0.0016 vez o lado do quadrado. Em 15 cm, esse afastamento visual é de 0.24 mm. É uma convenção de desenho para que as superfícies sobrepostas fiquem legíveis, não uma afirmação de que todo papel de origami tenha 0.24 mm de espessura. Aumentar a separação das camadas em «Controles» ajuda a expor o pescoço entre as camadas do corpo, mas não transforma o modelo numa simulação de papel mais grosso. O programa não calcula atrito, resistência ao rasgo nem a força necessária para achatar um vinco.

Quando uma dobra de pétala trava num papel de verdade, veja primeiro se as duas bordas inferiores chegaram à linha central antes de a aba ser levantada. Forçar um vinco fora do lugar até ficar plano cria outro vinco e muda o padrão pretendido. Com papel grosso, costuma ser mais útil abrir um pouco a aba enquanto se invertem os vincos laterais do que apertar com mais força. A articulação ideal explica onde os painéis devem ficar; ela não prescreve a pressão de um polegar nem o raio de curvatura de uma folha real.

Regras de dobra plana e naves desdobráveis

Num vértice interno com quatro vincos ativos, Maekawa permite três montanhas e um vale, ou o inverso. Duas montanhas e dois vales não atendem à sua condição de diferença igual a dois. Para Kawasaki, considere quatro ângulos de setor consecutivos de 60, 80, 120 e 100 graus. Eles somam 360 graus, e as somas alternadas são 60 + 120 = 180 e 80 + 100 = 180. Quatro ângulos somarem 360 não basta: 60, 80, 110 e 110 somam 360, mas suas somas alternadas são 170 e 190. Estes são exemplos de ensino, não medições de um vértice escolhido no tsuru.

As hipóteses importam. Um vinco que permanece aberto não conta como montanha ou vale ativo. Um ponto na borda da folha não tem um anel completo de papel à sua volta, então o mesmo teste de vértice interno não se aplica a ele sem mais. Mesmo passar nos dois testes locais não prova que abas distantes consigam passar uma pela outra num movimento contínuo de dobra. Um arranjo final plano e um caminho sem colisões até ele são perguntas diferentes.

A engenharia espacial acrescenta ainda mais restrições. O padrão Miura-ori usa um arranjo repetido de paralelogramos em vez da base de pássaro do tsuru. Seu movimento encadeado é útil quando uma superfície grande precisa ser compactada e depois desdobrada. Nem toda nave dobrada usa esse padrão. O IKAROS da JAXA, lançado em 21 de maio de 2010, desdobrou uma vela solar de 14 m por 14 m usando a força centrífuga. A vela também levava células solares de filme fino, e a missão demonstrou aceleração por vela solar. O problema de engenharia em comum é guardar uma superfície grande num volume menor, não fazer um pássaro de papel ampliado. Uma vela precisa suportar as cargas do lançamento e funcionar no espaço; a exposição do tsuru não modela nenhuma dessas condições. O IKAROS não aparece aqui como modelo adicional selecionável.

Testes para fazer na tela

Pause a reprodução e use o controle deslizante de passos para comparar a base quadrada com a base de pássaro. Mantenha fixa a direção de visão para não confundir uma mudança de perspectiva com uma mudança de comprimento. O contorno da base quadrada encolhe porque as camadas se sobrepõem, não porque área de papel foi removida. Depois gire a vista para baixo da dobra de pétala e aumente a separação das camadas o bastante para distinguir a aba interna. Volte a separação ao ajuste original antes de julgar a silhueta final.

Na dobra do pescoço, esconda as setas e acompanhe o próprio ponto estreito. Mostre de novo as linhas de dobra se a dobradiça for difícil de achar. A cabeça é outra dobra invertida numa parte menor do mesmo ponto; não é uma peça separada presa ao pescoço. Volte à folha plana e compare os vincos restantes com as dobras de que você se lembra. Um vinco registra uma dobra anterior, mas não precisa continuar como montanha ou vale totalmente fechado na etapa final. Nenhum desses controles mede a envergadura de um tsuru real. Para isso, dobre uma folha física e anote, junto com a medida, o tamanho dela e a posição das asas.

Mais seis modelos na mesma cena

O botão "Modelos" abre uma lista de sete modelos, incluindo o tsuru. Todos são dobrados pelo mesmo programa que dobra o tsuru: a folha é dividida ao longo de cada vinco que terá, cada passo gira um conjunto de faces em torno de uma linha de dobra, e as camadas mantêm uma pequena distância fixa entre si. Busque pelo nome ou filtre por animais, objetos e brinquedos, depois escolha um modelo para dobrá-lo na cena. O link "Diagrama" de cada item abre o diagrama publicado ou as instruções que a sequência segue.

O pássaro que bate asas é o tsuru sem as dobras que estreitam as pontas. Como as pontas inferiores ficam largas, as dobras invertidas do pescoço e da cauda movem muito mais papel, e a cauda vira uma alça: puxá-la faz as asas oscilarem ao redor do corpo. O capacete de samurai, ou kabuto, o copo e o rosto de cachorro começam do mesmo jeito, com o lado branco para cima, o quadrado girado como um losango e dobrado em triângulo. Depois, só muda para onde vão os cantos. O avião de papel é o dardo das instruções do Museu Nacional do Ar e do Espaço do Smithsonian. Aqui ele é dobrado a partir de um quadrado, e não de uma folha retangular, por isso um pequeno canto de cada aba lateral passa da cauda. O abre e fecha começou como saleiro: os cantos vão ao centro de um lado e depois do outro, reduzindo a área pela metade a cada vez.

As contagens vêm do padrão de vincos de cada modelo e são os mesmos números exibidos no painel abaixo da lista. Um vértice interior é um ponto longe da borda do quadrado onde dois ou mais vincos já dobrados se encontram. O tamanho final é a maior extensão da última posição, medida no plano da mesa. Assim, um quadrado de 15 cm dá um tsuru com cerca de 14 cm de largura, com as asas abertas como na cena, e um copo com cerca de 9 cm de largura.

Os quatro modelos simples passam nas duas verificações em todos os vértices. O capacete não passa na maioria deles, e o motivo ajuda a entender suas dobras. Várias passam só por algumas camadas: os chifres giram a camada superior de cada aba, e a faixa gira só a camada da frente. Um vinco feito assim para na borda dobrada daquela camada. Por isso, na folha aberta, ele termina em outro vinco em vez de cruzá-lo, e o vértice tem um número ímpar de vincos. O papel real acomoda isso se curvando um pouco nessas pontas. O tsuru e o pássaro que bate asas não passam pelo motivo já explicado: o modelo simplifica as dobras invertidas.

Desafios

O botão "Desafios" lista sete tarefas. A lista mostra quantas foram resolvidas, e o progresso fica guardado apenas neste aparelho. Uma pede para dobrar o tsuru inteiro com o botão › em 150 segundos. Cinco fazem perguntas cujas respostas você encontra na cena: os vincos no centro, os dois teoremas da dobra em plano, o canto que vira a cabeça e o tamanho do tsuru pronto. A última pede para levar cada modelo até o último passo. As respostas são conferidas com os mesmos dados de vincos e a mesma posição final usados pelo painel numérico, então uma mudança no modelo também mudaria as respostas.

Tipos de papel

O botão "Papel" alterna entre três superfícies. O papel de origami é fino e liso, colorido de um lado. O washi é desenhado com longas fibras vegetais e uma superfície mais suave, como o papel feito da casca de kozo visto contra a luz. O papel metalizado tem uma camada de metal no lado colorido e papel no verso; por isso só a frente brilha. A geometria não muda: a cena continua dobrando uma folha ideal sem espessura própria, então um papel mais grosso precisaria, na prática, de mais espaço em cada dobra.

A base preliminar e a base do pássaro medem ambas cerca de 0.71 vezes o lado do papel do centro fechado, que é o centro da folha, até uma ponta aberta. É metade da diagonal da folha, 1/√2. A largura do tsuru pronto é outra medida: a última posição mede cerca de 0.95 vezes o lado, ou 14.2 cm com um quadrado de 15 cm, arredondados para 14 cm no desafio. O painel numérico e a tabela usam essa mesma posição final.