Как сложить бумажного журавлика

Что показывает модель

Из квадратного листа бумаги для оригами можно сложить журавлика без ножниц и клея. Спросите, как именно, и большинство вспомнит конец, птицу с тонкой шеей и плоскими крыльями, но не примерно тридцать шагов между началом и концом. Этот экспонат складывает один квадрат в 3D в традиционного журавлика, шаг за шагом, а потом снова разворачивает его, чтобы были видны все сгибы, которые понадобились.

Полоса под моделью переводит её на один шаг вперёд или назад. Кнопка перемотки возвращает бумагу к плоскому квадрату, проигрывая все складки в обратном порядке. Кнопки вверху ведут к восьми этапам из раздела «Экскурсия». Перед каждым шагом штриховая линия отмечает складку «долина», штрихпунктирная отмечает складку «гора», а оранжевая стрелка рисует настоящий путь движущегося угла. Перетаскивайте модель, чтобы повернуть её и посмотреть снизу. В разделе «Управление» можно менять скорость складывания, проходить все 30 шагов ползунком, скрывать стрелки, линии сгиба или следы сгибов, раздвигать уложенные слои и менять цвет бумаги. Список «Детали» называет четыре угла, центр, главные сгибы, а также голову, шею, хвост, крылья и туловище готового журавлика. Выбранная часть подсвечивается на бумаге.

Почему сначала намечают сгибы

Первые десять шагов четыре раза складывают и раскрывают квадрат, и он выглядит почти нетронутым. Они нужны потому, что следующий шаг, складывание «двойного квадрата», сгибает сразу восемь линий. Бумага делает это аккуратно, только если сгибы в ней уже есть.

С цветной стороны обе диагонали оказываются «долинами»: бумага сгибается вдоль них к вам. Две средние линии, сложенные с белой стороны, оказываются «горами». Когда вы вдавливаете стороны внутрь, центр поднимается, четыре угла вместе съезжают вниз, и лист сплющивается в квадрат со стороной вдвое короче исходной. В модели это происходит в три фазы. Сначала центр поднимается, а все восемь сгибов складываются вместе. Затем, когда четыре угловых сгиба смотрят прямо вниз, четыре клапана попарно поворачиваются, пока не лягут плоско. Наконец, маленький квадрат кладут на стол.

У этой плоской формы несколько названий. В книгах по оригами её называют предварительной складкой, предварительной базовой формой или базовой формой «двойной квадрат». Если вывернуть её наизнанку, получится базовая форма «двойной треугольник» (её ещё называют «водяной бомбочкой»): сгибы те же, но каждая «гора» и каждая «долина» поменялись местами.

Два вида складок и как их рисуют на схемах

Каждый шаг этого экспоната собран из двух простых действий. Складка «долина» сгибает бумагу к вам, так что линия сгиба лежит на дне буквы V. Складка «гора» сгибает её от вас, и линия становится гребнем. Переверните лист, и каждая «долина» станет «горой»; поэтому один и тот же сгиб называют то так, то иначе, в зависимости от того, с какой стороны на него смотреть.

На схемах оригами их рисуют по системе, которую Акира Ёсидзава представил в книге 1954 года Atarashi Origami Geijutsu. Штриховая линия означает «долину», штриховая с точками означает «гору». Сэмюэл Рэндлетт и Роберт Харбин добавили знаки вроде «повернуть» и «увеличить», а Рэндлетт описал систему в книге The Art of Origami в 1961 году. Сегодня её называют системой Ёсидзавы-Рэндлетта, и ей пользуются книги по оригами на большинстве языков. Линии сгиба в этом экспонате следуют ей же.

Складка «лепесток» даёт базовую форму «птица»

Из «двойного квадрата» журавлику нужны два длинных конца, которые станут крыльями, и два, которые станут шеей и хвостом. Их делает складка «лепесток». Сначала идут три пробных сгиба: два нижних края верхнего слоя подгибают к средней линии (сгибы «воздушного змея»), верхний треугольник отгибают вниз поверх них, и все три снова раскрывают. Затем нижний угол верхнего слоя поднимают по горизонтальному сгибу. Пока он поднимается, обе стороны поворачиваются внутрь по сгибам «змея», и клапан ложится плоско длинным ромбом.

Складка «лепесток» самая трудная в журавлике: четыре куска бумаги движутся одновременно, и ни один нельзя придержать. В модели каждый конец горизонтального сгиба представляет собой точку, где сходятся четыре сгиба: шарнир, вокруг которого поворачивается клапан, сгиб «змея» на клапане, сгиб между боковым треугольником и слоем под ним и сгиб «змея» в этом нижнем слое. Бумага между сгибами остаётся плоской, поэтому четыре куска ведут себя как шарнирный механизм из четырёх пластин. Если поднять клапан на любой угол, положение бокового треугольника и внутреннего слоя однозначно определено, и модель вычисляет их в каждом кадре. Боковые треугольники обходят поднимающийся клапан сзади и оказываются на его внешней стороне; поэтому на готовой базовой форме «птица» посередине каждого длинного клапана виден шов.

Повторите сгибы «змея» и складку «лепесток» на обороте, и получится базовая форма «птица», её ещё называют «журавлик»: два длинных клапана сверху и два разделённых снизу. Это одна из классических базовых форм из таблицы ниже.

Шея, хвост и голова: обратные складки

Два нижних клапана слишком широки для шеи, поэтому их нижние края с обеих сторон подгибают к средней линии. Каждый клапан становится примерно вдвое уже.

Чтобы повернуть тонкий конец вверх, его нельзя просто загнуть: тогда он ляжет снаружи туловища и помешает крылу. Вместо этого делают внутреннюю обратную складку. Слегка раскройте две половинки конца, протолкните его вверх между ними по линии сгиба и прижмите. Конец выворачивается вдоль своего сложенного края и оказывается зажатым между слоями туловища. Шея и хвост получаются каждый одной обратной складкой, повёрнутой в противоположные стороны. В модели шея поворачивается на 152 градуса. Голова представляет собой третью, меньшую обратную складку, здесь на 100 градусов, у конца шеи.

Наконец птица встаёт, и каждое крыло опускают по линии, соединяющей основание шеи с основанием хвоста. Когда крылья поднимают горизонтально, журавлик готов.

Числа, которые можно проверить на модели

Примем сторону квадрата за 1.

• «Двойной квадрат» представляет собой квадрат со стороной 1/2, то есть занимает четверть исходной площади.
• Сгибы «змея» образуют с диагональю угол 22,5 градуса. Каждый пересекает среднюю линию на расстоянии 1 − 1/√2 от центра, около 0,293.
• Четыре шарнира лепестков образуют вокруг центра маленький квадрат со стороной √2 − 1, около 0,414.
• Базовые формы «двойной квадрат» и «птица» обе имеют длину 1/√2, около 0.71 стороны листа, от закрытого центра до открытого кончика.
• В самом толстом месте сложенного плоского журавлика модель укладывает 20 слоёв бумаги.
• К тому моменту, когда рисуется схема сгибов, согнуто 111 отрезков. Их общая длина около 15,7 стороны квадрата, и примерно 60 % её приходится на «горы».

Теоремы Маэкавы и Кавасаки

Развёрнутый квадрат на последнем этапе и есть схема сгибов. В каждой внутренней точке, где сходятся сгибы, выполняются два правила, если бумага может там сложиться плоско.

Теорема Маэкавы говорит, что число «гор» и число «долин» отличаются ровно на два. Теорема Кавасаки говорит, что если обойти точку, поочерёдно прибавляя и вычитая углы между соседними сгибами, получится 0. Иначе говоря, углы делятся на две чередующиеся группы, и сумма каждой равна 180 градусам.

Обе теоремы удобно проверить в центре квадрата. В «двойном квадрате» восемь его сгибов составляют четыре средние линии-«горы», две диагонали-«долины» и две диагонали, которые в итоге лежат раскрытыми на передней и задней гранях. Четыре минус два равно двум, как и требует теорема Маэкавы. Если не считать два плоских сгиба, углы между оставшимися шестью равны 90, 45, 45, 90, 45 и 45 градусам. Взяв углы через один, получаем в обеих группах 90 + 45 + 45 = 180, как и требует теорема Кавасаки.

Оба правила локальные. Маршалл Берн и Барри Хейс показали в 1996 году, что задача о том, можно ли сложить плоско целую схему сгибов со множеством точек, NP-полна, так что быстрой общей проверки такого рода нет.

На собственной схеме модели внутри квадрата 62 точки, где сходятся согнутые линии. 46 из них проходят проверку Кавасаки. Не проходят точки у верхнего конца сужающих сгибов и на концах обратных складок, то есть там, где модель упрощает поведение бумаги (см. следующий раздел).

Чем модель отличается от настоящей бумаги

Модель никогда не растягивает бумагу. Лист разрезан на 80 плоских кусков по всем линиям, которые когда-либо будут согнуты, и каждый шаг поворачивает куски вокруг линий сгиба. Складывание «двойного квадрата» решено точно в центральной точке, а складка «лепесток» решена как описанный выше механизм из четырёх пластин. Уложенные слои рисуются на постоянном расстоянии друг от друга, 0,0016 стороны (0,24 mm для квадрата 15 cm), и по каждому общему краю соединены тонкой полоской, так что в листе никогда не видно щелей. Проверочная программа проходит все 30 шагов по 25 точек в каждом и подтверждает, что ни один кусок не проходит сквозь другой.

Остаются три упрощения.

• Обратные складки показаны так, будто конец поворачивается внутри слоёв вокруг одной точки на своём сложенном крае. Настоящая бумага немного раскрывает слои, и конец выворачивается наизнанку. Конечное положение имеет тот же контур, только зеркально.
• Там, где сужённый клапан встречается со слоем крыла над ним, настоящая бумага слегка изгибается. Модель рисует поперёк щели маленькую полоску бумаги.
• Модель оставляет туловище плоским. У настоящего журавлика, если развести крылья, туловище раздувается в объёмную форму.

Краткая история бумажного журавлика

Орицуру (сложенный журавль) одна из самых известных японских моделей оригами. Origami Resource Center указывает на гравюру Тории Киётады, датированную периодом между 1720 и 1750 годами, где женщина держит бумажного журавлика: значит, в начале 18 века модель в Японии уже была знакома. Hiden Senbazuru Orikata 1797 года входит в число старейших известных книг по оригами. В ней показаны рэндзуру, группы журавликов из одного листа, частично надрезанного на квадраты поменьше, так что птицы остаются соединены крыльями, клювами или хвостами.

В Японии журавль символизирует долголетие, а тысяча сложенных журавликов, сэмбадзуру, связана с желанием выздороветь или с пожеланием мира. В наборах для сэмбадзуру обычно около тысячи листов и нитка, а журавликов часто подвешивают на 25 нитях по 40 штук. По всему миру этот обычай стал известен благодаря Садако Сасаки, которая в два года попала под излучение атомной бомбардировки Хиросимы и умерла от лейкоза 25 октября 1955 года. Во многих пересказах она не успела сложить тысячу. Её семья и Мемориальный музей мира в Хиросиме говорят, что она сложила тысячу и продолжала дальше, больше 1300. Детский памятник миру в Мемориальном парке мира в Хиросиме, открытый 5 мая 1958 года, изображает её с журавлём над головой, и туда приносят бумажных журавликов со всего мира.

Другие модели из тех же складок

Первые шаги журавлика общие с большим семейством моделей. Классические базовые формы ниже считаются тем, что вы уже знаете, когда книга начинает модель. Большинство моделей из списка начинается с одной из них или видоизменяет самого журавлика.

Как выбрать размер бумаги

Лист побольше даёт журавлика побольше только в том случае, если положение сгибов и конечные углы раскрытия остаются в тех же пропорциях. Пусть сторона исходного квадрата равна s, а расстояние между кончиками крыльев готовой фигуры равно w. Отношение w/s безразмерно. Если конкретный журавлик, сложенный из квадрата 15 см, имеет ширину 12 см, измеренное отношение равно 0.8. Геометрически подобный журавлик из квадрата 20 см тогда будет иметь размах 16 см. Это предполагаемое измерение и его пересчёт по масштабу, а не гарантированный размер любого традиционного журавлика. Раскрытие крыльев меняет проекцию размаха, но не размер бумаги. Снимок, сделанный под углом, тоже может сделать правильного журавлика на вид уже.

Несколько размеров можно вычислить, не угадывая конечный угол крыльев. Сторона базовой формы «квадрат» равна s/2, так что лист 15 см даёт основу со стороной 7.5 см. Её видимая площадь равна 56.25 см² против 225 см² у исходного квадрата. Бумага не исчезла: несколько слоёв лежат друг на друге на одной и той же площади. Сторона квадрата шарнира лепестковой складки равна (√2 − 1)s, для этого листа около 6.21 см. Из этого листа 15 см обе базовые формы имеют длину около 10.6 см от центра до открытого кончика. Это не высота готовой птицы и не размах её раскрытых крыльев.

Если квадрат 7.5 см заменяет квадрат 15 см, каждая идеальная длина уменьшается вдвое, а исходная площадь падает до четверти, с 225 до 56.25 см². Число сгибов вдвое не уменьшается. Толщина листа, вырезанного из той же бумаги, тоже. Поэтому миниатюрного журавлика труднее сложить аккуратно, хотя геометрическое построение то же самое. Практическое сравнение даёт толщина, делённая на ширину листа: она удваивается, когда ширина листа уменьшается вдвое.

Двадцать слоёв ведут себя не как один лист

Самая толстая стопка в этой модели состоит из 20 слоёв. Допустим, только для оценки толщины, что один лист имеет толщину 0.10 мм. Двадцать идеально плотно уложенных слоёв заняли бы 2.0 мм. С бумагой 0.15 мм то же число даёт 3.0 мм. В настоящих сгибах есть и воздушные зазоры, и скруглённые изгибы, так что это умножение лишь грубо оценивает стопку и не предсказывает точную толщину туловища. Не путайте массу бумаги на единицу площади, которую часто печатают в г/м², с толщиной в миллиметрах: бумага с одинаковой массой на площадь может иметь разную плотность и покрытие.

Экран разделяет соседние слои на 0.0016 стороны квадрата. При 15 см этот видимый зазор равен 0.24 мм. Это условность рисунка, нужная, чтобы перекрывающиеся поверхности можно было различить, а не утверждение, что вся бумага для оригами имеет толщину 0.24 мм. Увеличение расстояния между слоями в разделе «Управление» помогает увидеть шею между слоями туловища, но не превращает модель в симуляцию более толстой бумаги. Программа не вычисляет трение, прочность на разрыв и усилие, нужное, чтобы выровнять сгиб.

Если лепестковая складка на настоящей бумаге заедает, сначала проверьте, дошли ли оба нижних края до центральной линии до того, как клапан подняли. Если насильно выровнять сгиб, лежащий не там, где нужно, получится ещё один сгиб, и задуманный узор изменится. С толстой бумагой часто полезнее слегка приоткрыть клапан, разворачивая его боковые сгибы, чем давить сильнее. Идеальная шарнирная схема объясняет, где должны лежать панели; она не задаёт ни давления большого пальца, ни радиуса изгиба настоящего листа.

Правила плоской укладки и раскладные космические аппараты

В внутренней вершине с четырьмя действующими сгибами Маэкава допускает три «горы» и одну «долину» или наоборот. Две «горы» и две «долины» не удовлетворяют его условию разности в два. Для Кавасаки возьмём четыре последовательных угла сектора: 60, 80, 120 и 100 градусов. В сумме они дают 360 градусов, а чередующиеся суммы равны 60 + 120 = 180 и 80 + 100 = 180. Одной суммы 360 для четырёх углов недостаточно: 60, 80, 110 и 110 тоже дают 360, но их чередующиеся суммы равны 170 и 190. Это учебные примеры, а не измерения выбранной вершины журавлика.

Условия важны. Сгиб, который остаётся раскрытым, не считается действующей «горой» или «долиной». У точки на границе листа нет полного кольца бумаги вокруг, поэтому тот же тест внутренней вершины там просто так не применить. Даже прохождение обеих локальных проверок не доказывает, что удалённые клапаны смогут разойтись друг с другом при непрерывном движении складывания. Плоское конечное расположение и путь к нему без столкновений — это разные вопросы.

Космическая техника добавляет ещё ограничения. Узор Миура-ори использует повторяющееся расположение параллелограммов, а не базовую форму «птица» журавлика. Его связанное движение полезно, когда большую поверхность нужно компактно упаковать и затем раскрыть. Не каждый сложенный космический аппарат использует этот узор. IKAROS от JAXA, запущенный 21 мая 2010 года, раскрыл солнечный парус 14 м на 14 м с помощью центробежной силы. На парусе были и тонкоплёночные солнечные элементы, а миссия продемонстрировала разгон солнечным парусом. Общая инженерная задача — убрать большую поверхность в меньший объём, а не сделать увеличенную бумажную птицу. Парус должен выдерживать нагрузки старта и работать в космосе; выставка с журавликом не моделирует ни то, ни другое. IKAROS здесь не показан как дополнительная выбираемая модель.

Проверки, которые можно сделать на экране

Поставьте воспроизведение на паузу и ползунком шагов сравните базовую форму «квадрат» с базовой формой «птица». Держите направление взгляда неизменным, чтобы не принять смену перспективы за изменение длины. Контур базовой формы «квадрат» сжимается потому, что слои накладываются друг на друга, а не потому, что площадь бумаги убрали. Затем поверните вид под лепестковую складку и увеличьте расстояние между слоями настолько, чтобы различить внутренний клапан. Верните расстояние к исходному значению, прежде чем оценивать итоговый силуэт.

На складке шеи скройте стрелки и следите за самой узкой точкой. Верните линии сгиба, если шарнир трудно найти. Голова — ещё одна обратная складка на меньшей части той же точки; это не отдельная деталь, приделанная к шее. Перемотайте к плоскому листу и сравните оставшиеся следы сгибов со сгибами, которые вы помните. След хранит память о прежнем изгибе, но на последнем этапе он не обязан оставаться полностью закрытой «горой» или «долиной». Ни один из этих элементов управления не измеряет размах крыльев настоящего журавлика. Для этого сложите реальный лист и запишите рядом с измерением и его размер, и положение крыльев.

Ещё шесть моделей на той же сцене

Кнопка «Модели» открывает список из семи моделей, включая журавлика. Все складываются той же программой: лист разделён вдоль каждой будущей складки, каждый шаг поворачивает набор граней вокруг линии сгиба, а между слоями сохраняется небольшой постоянный зазор. Найдите модель по имени или отберите животных, предметы либо игрушки, затем выберите её для складывания на сцене. Ссылка «Схема» у каждой записи открывает опубликованную схему или инструкцию, которой следует последовательность.

Машущая птица получается из журавлика, если пропустить складки, сужающие кончики. Нижние кончики остаются широкими, поэтому обратные складки шеи и хвоста поворачивают гораздо больше бумаги. Хвост становится ручкой: если тянуть за него, крылья качаются вокруг туловища. Самурайский шлем, или кабуто, стаканчик и мордочка собаки начинаются одинаково: белая сторона сверху, квадрат повёрнут ромбом и сложен в треугольник. Дальше различается лишь то, куда загибают углы. Бумажный самолётик здесь повторяет дротик из инструкции Национального музея авиации и космонавтики Смитсоновского института, но складывается из квадрата, а не прямоугольника, поэтому небольшой угол каждого бокового клапана выступает за хвост. Гадалка появилась как солонка: углы складывают к центру с одной стороны, затем с другой, и каждый раз площадь уменьшается вдвое.

Числа получены из развёртки каждой модели и совпадают с показаниями панели под списком. Внутренняя вершина находится не на краю квадрата, а там, где сходятся две или более уже сложенные линии. Готовый размер означает наибольшую протяжённость последней позы вдоль плоскости стола. Поэтому квадрат 15 см даёт журавлика шириной около 14 см с крыльями, раскрытыми как на сцене, и стаканчик шириной около 9 см.

Четыре простые модели проходят обе проверки в каждой вершине. У шлема большинство вершин их не проходит, и причина помогает понять его устройство. Несколько сгибов затрагивают лишь часть слоёв: рожки поворачивают верхний слой каждого клапана, ободок только передний. Такая складка заканчивается на сложенном крае соответствующего слоя. На раскрытом листе она поэтому упирается в другую складку, а не пересекает её, и в вершине сходится нечётное число складок. Настоящая бумага приспосабливается, немного изгибаясь у этих концов. Журавлик и машущая птица не проходят проверки по уже названной причине: модель упрощает обратные складки.

Задания

Кнопка «Задания» показывает семь задач. Список сообщает, сколько решено, а прогресс хранится только на этом устройстве. Одна задача предлагает сложить всего журавлика кнопкой › за 150 секунд. Ещё пять задают вопросы, ответы на которые можно найти на сцене: складки в центре, две теоремы плоского складывания, угол, который станет головой, и размер готового журавлика. Последняя просит довести каждую модель до последнего шага. Ответы проверяются по тем же данным складок и конечной позе, что использует числовая панель, поэтому изменение модели изменило бы и ответы.

Виды бумаги

Кнопка «Бумага» переключает три поверхности. Бумага для оригами тонкая, гладкая и окрашена с одной стороны. Васи изображена с длинными растительными волокнами и более мягкой поверхностью, как бумага из коры кодзо на просвет. У фольгированной бумаги на цветной стороне есть металлический слой, а сзади бумажная основа, поэтому блестит только лицевая сторона. Геометрия не меняется: сцена по-прежнему складывает идеальный лист без собственной толщины, поэтому более плотной бумаге на практике нужно больше места у каждого сгиба.

Базовые формы «двойной квадрат» и «птица» обе имеют длину около 0.71 стороны листа от закрытого центра, то есть центра бумаги, до открытого кончика. Это половина диагонали листа, 1/√2. Ширина готового журавлика отличается: последняя поза даёт около 0.95 стороны, то есть 14.2 см из квадрата 15 см, с округлением до 14 см в задании. Числовая панель и таблица используют ту же конечную позу.